Faktöryel Deneylerle İlgili Temel Kavramlar

FAKTÖRYEL DENEYLERLE _İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR

Doç. Dr. Münevver TURANLI

1. FAKTÖRYEL DENEY KAVRAMI

_{VE ESASLARI}

1.1. FAKTÖRYEL DENEYLERiN TANIMI VE __NEDENLERİ KULLANIM.

Faktöryel deneylere _{.ait ilk çalışmıa:lar}

1848 - 44 yıllarında Rohlıemsted Araştırma _{Merkezinde yapılmış,}

daha sonra 1926 yı­

lında Fi\Slhm-, yaptığı araştumalar_{· sonucunda faktöryel deneylerin} . analizlerine _{ilişkin çeşitli yöntemler geliştirmiştir.}

1844 yıllannıa _{kadar yapılan araştfrmalart:la}

ikullamlan de-ney ~rtipleriııde _{bir tek faktörün}

çeşitli durumlarının _{·karşılaş­}

tırılması yapıldı _{ve· bu . faktörün bağımlı değişik}

en üzerindeki et-kileri araştırıldı. _{Fakat tek bir faktörün}

· kullanıldığı _{ve <:iiğerle­}

rinin 6abit tutulduğu _{bir dıeney, araştırmanın}

konusu hakkllıdıa genel bir bilgi vermekten umktır. _{Bu nedenle sonraki yıllarda}

yapılan ·_{araştırmalarda olanakların elverdiği}

ölçüde faktöryel de- · ney tertiplerinin _{kullanılması öngörülmüştür.}

Varyanıs 1analizi

tekniğinin kurucularından _{olan Fi.Sher'in de}

belirttiği _{gibi birden çok faktörün}

kullanıldığı _{ve böylece bir·}

den çok faktörün etkilerinin _{karşılaştırılmasının yapılacağı araş.}

tırma}arda _{en uygun deney}

tert~bi _{· faktöryel deneylerdir1.} (1) Per Ottes,ted, _{Statlstlcal Models and Their Experlmental Appllcatlon,}

Char-les Griffin And Co., _{Ltd., London, 1970, s. 56.}

]1\a'.ktötyıei deneyler, verilen

fak

1törlerin bütün seviyelerinin

. deneydeki diğer fıaktörlerin bütün seviyeleri ile kombinasyon ha-linlde olduğu deney tertilbidir2 • Bu deney tertibinin amacı; birden çok faktörün, bir bağımsız değişken üzerindeki etıkilerinin aynı anda incelenebilmesidir.

Fakıtöryel deneyler ile bütün gözlem değerleri kullanılaralk birden fazfa ftaktör ve bu faktör le·rin ç!eşitli se:viyeleri

aynı anda karşılaştıtrılaıbilir. faktörler arası e·tkiler araştırılaıbilir ve

varılan sonuçların geniş bir şıelkilde yorumu yapılaıbilir.

Her bir faktörün diğer faktörler ile olan ~eş:Ltli komıbinıasyon­ liannın da ·araştırıldığı bu deney tertibi, yalnız bir faktörün

· de-ğiŞkıen ve diğerl1_e~'ıinin sa!bit olaraJk kabul edildiği teik faktörlü ter-tiplerden elde edilen sonuçlardan daha sağlıklı son uçlar verir3.

F3.il<töryel deney tertipleri düızenienmeıden eıveıvl aşağıda gö-rmen soruların cevavlandırrlma:sı gereıkir

4_•

- Hangi f!aıkıtörler deney kapsamına alınmalıdır?

-- Her bir fakıtörün kaç adet seviyesi deney kapsamına alın-malıdır?

- Deney birimleri nasıl seçilmelidir?

- Her bir muamele kombinasyonu için kaç adet deney biri-mi seçilmelidir?

- Muamel,e faktörlerinin etkilerinin değerlendirilmesinde hangi ölçüler kullanılmalıdır?

- Kontrol edH:emeyen değişkenlerin etkilerim aztaltmak için hangi önlemler alınmalıdır?·

Thlktöcyel dene:yler d'üzıenlenirken bu soruların cevaplandırıl­

ma:sı ile saptanan her bir faktörün denenecek seviyelerinden her biri, diğer fa~törün denenecek seviyelerlııden herbiri ile ayrı ayrı muamele komıbinaı.syonlan olll:§turur. Bu muamele

komıbinrasyon-('2J Oharles R. Hicks, Fundaniental Concept ·in the Design and

Expıeriment,

Hıolt Rinehar·t and .Winston lnıe., New-York, 197B, s. 89. ('3) Witnam G. G.uenther, Analysis of Variance, Prenti'ce Hall,

ine., U.S.A., 19&ı,

6. 99-100.

(4) B.J. Winer, Statictical Princlplıes in Experime·

ntaı Design, McGrow-HiH, Kogaikusha ltd., Tokyo, 1971, s .. 1130.

larından her biri, homoJen olarıak seçilen deney gereçlerine, te-sadüfi olarak Ye gereği _{kadar tekrarlanma ile dağıtılır}5_•

Fa!kıtöryeı deneyleme· _{deney tertibi, tesadüfi parseller, tesıa.­} dilli blok v~ya _{L.Min karesi tertibinde olalbilir.}

1.2.·_{FAKT'ÖRYEL DENEYLERDE FAKTÖR VE SEVİYE}

KAVRAMLARININ AÇIKLANMASI

~aktör teı-imi _{genel anlamda deney bir!imlerine tahsis} edile-bilecek olan deney koşullarının herhangi bir özelliğini göster-mek için kullanılır; örneğin: sıcaıklık veya basınç gibi. Diğer bir

deyişle faktör; bağımlı değişkeni etkileyen değişfkenler diye tıa.­

nımlanalbilir6.

Deney planının seçiminde; varo~an faktör sayısı ve bu fak-törlerin 6zellikleri çok önemli rol oynar, fakat fa(ktör sayısinın

çoğaltılması faktör _{kombinaJsyıonları sıayıısını çoğaltacağından} de-ney· tertiJbinin analizi aıçıısmıdan sakıncalı _{olabilir. Bu nedenle}

araştırılan _{konu ile ilgili faktörlerin seçiminde dikikatli davranıl­} ması gerekir.

maktörler gen1el olarak; niteliksel_.

ve niceliksel falktöırler, de-. gişmez ve tesadüfi. faktörler, sınıflandırılabilen _{fa!ktörle:r, mua·}

mele f a!kıtöırleri ve grup faktörleri g~bi sımflandırılaibiliırler1_•

Bun-lar içinde eın önemlil!eri nitelikısel _{ve niceliksei faktörlerdir.} Nice1iksel Faktörler:

S,eviyeleri ölçek skalalan üzerinde _{sayı!sıal değerlerle tanım­}

lanıa.bilen faktörlıerdir. _{Bu falktörlere özellikle kimya sanayiinde}

yapılan deneylerde çak raı~tlamr. Niteliksel Faktörler :

Bu faikıtörleride farklı seviyeler arasında kurulmuş bir doğal sım yoktur ve seviyeler birıhirindı_{en ayrılabilir. Örneğin, değişik} (15) Orhan Düzgüneş, «Bilimsel», _{Araştırmalarda İstat'lstlk, PrenslpllerJ ve}

Me-todları, Ege Ünıi'Versitesi Ma:t'ba,ası, İzmir 1963, s. 202.

(6) Bernard W. Lindgren, Stotistical Theory, Ma,cmillan Purblıish'i'ng Co. ln1c.,

New-York, 1976, s. 559.

(7) Wayne Lee, Experlmental Oesign and Ana·lysls, W.H. Fre·eman a·nd Company, San Fra.nciısco, 19'35, s. 44.

-üretim yöntemleri

altında

üretjmde

meydana ge~en değişmelef

gföi.

Yukarıda~ değinildiği gibi çeşitli şe!killerde sınıflandırılabi­

len faktörlerin faırklı seviyeleri söz konusudur. Seviye, faktörle-rin değişik değerlerini veya faktörlerin incelenecek değişik

dav-ranışlarım tammlamalk için kullıanılırı.

Faktör seviyelerinin seçimi çoik önemli bi rsorundur. Her fak-törün kaç seviyeden oluşacağı ve faktör, seviye ıaralıklarının ne

olacağı aıraştırıcı tarafından saptanır.

Fakıtöryel deneyin boyutları; faktör sayıları ve her bir· fak-törün seviye sıayılan aracılığıyla belirtilir. ·

Örneğin, bir deney planlamasında bağımlı değişkeni etkileyen (A) ve (B) gd.ıbi iiki faktör olduğunu, .ve bu faktörlerden (A) fak-törünün (2) ve (B) fakrfak-törünün de (3) farklı değişimi, diğer bir

deyişle (A) 'nl.n (2) ve (B) 'nin (3) seviyesi olduğunu varsayalım. Bu (2x3) fa'ktöryel deneyıde muamele kombinasyonları · şematik olarak ·aşağıda görüldüğü gibi gösterilelbilir ..

TABL0-3

2

x

3 Deneyinde Muamele .Kombtnasyonlar.

1

B Faktörünün Seviyeleri

bı b.., bs

!A faktörünün seıvılyete.ri Oı 0₁b1 o,b2 01b3 0,2 0.2bı a'2b,., O,zbs

Bu şemada (aı) ve (a2) , (A) faktörünün seviyelerini, (bı), '(b2), (b3) ise (B) faktörünün seviyelerini göstermeıktedir. (2x3) faktöryel. deneyde altı muamıeıle kombinasıyonu oluşur. Buradan faktöryel deneylerin en önemli özelliği olan şu sonuca varabili-riz: Bu tertiplerde her falktör diğer füktörlerin bütün

seviye-(8) N:orman L. John,son and Fred C. Statistlcs and Experimental Design, John

lerinıde _{bulunur. Tabloda görüldüğü giıbi f~ktörler büyük} harf-lerle, fa\ktölerin dernenecek seıviyıeıleri _{ise küçük harflerle} gösteri-lebilitr. Fakrtör ve serviye ka:vıramlarımn _{daha iyi belirlenebilmesi} için şöyle bir 6melk vıexilebilir.

Yapı _{malzemesi üretiminde bulunan bir işletmede üretilen} toprak yapı malızemesi üzeriınde,. kile katı~aIJ. kum oranı (A fak-törü) ve pişme sıcaklığının (B) faktörü etkilen araştırılmak is-tenme\kte!clir. Ki:le katılan kıum oranı % 5, (a0) , % 10 (a1 ) '· % 15

(az) alarak ve pi~e s.ıcaıklığı 800°C (bo)' 850 C0

. (bı)' 900 C0 (b2)

olartaik saptanmıştır. Bu verilere göre (3x3) faktöryel deney Tab-lo 4'te· görüldüğü gi:bi düzenlenebilir :

.TABL0-4

3

x

3 Faktöryel Deneyde Muamele Komblnasyon!arı

A faktörü Muamele Kombinasyonları ~ a0b0 o0b1 o~b~ a, o1b0 a,b1 a1ıbJ?..

012 O.zb0 o,,b1 .o1ibz .S faktörü _bo 1_{bı b121}

Fa:kıtör ve seviyelerin saptanmasından _{sonra deney tertibi~}

nin düzenlenmesi araştırmaya büyük kolaylıklar sağlar.

1.3. FAKTÖRYEL DENEYLERDE ESAS VE FAKTöRLER

· ARASI ETKİ

Esas etki basit etkilerin ortalama;sı ol!aralk tanımlanabilir.

örneğin iki faktöırlü ve her f1aktörün iiki seviyeye sahip olduğu

bir fakıtöcyel _{deney tertibi ele alalım. Böyle bir deney tertibi} (2~2) veya (2:2) olarak ifade edileıbilir ve aşağıda görülen tablo ile gösterilebilir.

TABL0-5

2 x 2 Faktöryel Deneyinde Basit Etkiler

A Faktörünün

Faktör A Basit

·Etkileri

Seviye Oı (J~

B O;b1-o1b1

bı Oıbı a,2b2 ~:b.2-aıb~

b~ aıb.;ı aızb2

B Faktörünün 0₁b₂-a₁b1 'o~b,2 -o,2b1 Basit

Etkileri

'Tiaibloda göruldüğü giıbi (A) faktörünün her seviyesinde

(b2·-bı) farkları (A) 'nın ba1si;t et!kisini, (B) faktörünün her

se-viyesinde (a2-a1 ) farklaı-ı (B) 'nin basit etkisini verir. Bu basit etkilerin ortalamaları alınarak esas etkiler hesap~anır. Bu

ta-nımlamaya göre (A) vıe (B) faktörlerinin esas etlkileri:

.N,

'

=

1

[

l

2 (aib2-~b2) + (a2'bl'-aıbı) . B

·

=

l

[

]

2 (8db~-1adb1)

+

(aıb2-a ·1bı)

ifadeleıri ile hesaplanır.

(A) ve (B) falktörlerinin ~sas etkilerinin daha iyi açıklanalbil­

mesi için bu faktörlerin basit etkileri Şekil l'de görüldüğü gibi göSte.rilebilir.

Şekilde görüldüğü gibi doğruların paralel olması A ve B

fak-törlerinin basit etkilerinin kendi aralarında eşit olduğu, yani

fak-törler arası etJkinin olmadığı sonucunu verir9 • .

(9) Naim Dincer, Turhan Atay, «Belli Başlı Deneme Metodlaırı, Fak'törye·t Dene-meler», Toprak Su Dergisi, ('Sayı: J6, 1983), s. 28.

1

~ ~-"'9 S faktt:,.ünÜ'l aa\ 4_.,;~uı"lulcrki basll:. t:c.sı.,ı:

: A Fakl;.Örwnwn bı. 6&'tı'yuincılc"' ·boaıi~ tA••·,.;

1 _.,.

_________

,

1 1 : ı A F•""•·.:ü"ü" b,

ı

l ___

---~~Jr

&

'·~····~~

o.

~·"·

...

. ~. "& Şekil: 1

Fa.ık-törler arası etki ise, basit etkiler farkının ortalamasıdır.

Esaıs etkilerin hesaplamldığı örnek ele alınırsa, (A) ve (B) fak-. törler arası etki, . bıasit etkiler ortalaması olaırak Şelkil l 'de de

gö-nüldüğü gibi,

AB

= -

1

.

- /

-

(a,2b,'.l....:.aıb2)

+

(aA>ı

•

-ıa

.

.

ıbı)

_-, 2 ....

ifadesi ile hesaplan,abilir.

· (A) ile (B) aarnındaki fa!ktörl~ arası etki Şelkil 2 ve 3'de gö-rülmektedir.

10

-t

Şekil: 2 Şekil: 3

Ş~il 2 ve 3 'de de görüldüğü gifbi ( A) ve (B) füktörlerinin

yönleri aynı veya farklı olan karşılıklı etkileri vardır. Bu

durum-da faktöırlerin

tek

olarak ele alınmaları araştırmacıyı yanlış

so-nuçlara gö.türüT1_·0_•

2 seviyeli ve n sayıda faktörü içeııen bir falktöriyel araştır­

mada faktörler arası etki sayıları11 _:

n (n-1)/2

n (n-1) (n-2) /6

iki fıalktöırlü faktörler arası etki, veya

bi-rinci derecede f1a'.kförler arası etki,

Üç. faktörlü faktörıler arası etki, veya

ikinci derecede faktöder arası etki

(1.Q) F. Yates, The Design and Anaylsıis of Factorlal Experiments, Technlcaf Communication, B'ucks, Eng1land, 1937, s. 5.

(1'1) W.G. Corchron, G.M. G<»e, EXl,Perlmental Design, John WHey and So~.~ ine., London, 19715, s. 157.

ifauele·ri ile hesaplanır ve bu işlemlere devam edilerek istenilen

et.ki sayıları saptanıaıbilir.

Faktöryel deneylerle yapılan araştırmalarda faktörler arası etkinin önemli ~r yeri vardır.

1.4. FAKTÖRYEL DENEYLERDE .DOÖRUSAL MODEL

Faktöryel deney planının amacı, bağımlı değişkendeki değiş­

melere neden olan fruktörlerin etkilerinin hesaplanılmasıdır. Bu

nedenle deney tertiplerinde kullanılan doğrusal model ifadeleri-nin deneydeki bağımlı değ.işken ve faktörleri kapsaması gerekir.

Örneğin A ve B gibi iki faktörlü bir arıaştırnıada A

faktörü-nün (i) seviyeli ve B faıktörünün {j) seviyeli olduğunu varsaya-lım. Bu araştırmakla Y ·bağımlı değişkeni A ve B faktörlerinin bir fonksiyonudur.

ve

Yo = µ.

+

Aı

+

Bj

+

ABij

+

eıj olarak üade edilir.

Burada:

- gÖZlemlenen değer, veya bağımlı değişkenin

değerini

p.

=

artıa kütle ortalamasını

Ai

= A faktörünün eısas etki:s~nt

B j - B faktörünün esas etkisini

ABij - A ve B faktörlen arasındaki eıtkiyi

e

0 - hatayı _(tesadüfi hata)

gösıte~mektedir.

Bu doğrusal model iıfadesi ile· yapılan hesaplamalar sonucun-da esas etki ve faktörler arası etıkiler hesaplanabilir. Eğer faktör . ve seviye sayısı az. ise hesaplamalar bilgisayara gereksinme du~

yulmadan yapıla:bilir. Fa!kat çok sayıdaki faktörlerin etkilerinin

araştırıldığı deneylde hesapların bilgisayar ile yapılması daha

uy-gundur. Günümfr?rle fa!ktöryel deney tertiplerinin diğer deney

tertipleri arasında oldukça önemli bir yeri vardır. Özellikle çok sayıda.iki faktörlerin

esas

etki ve faktörler arası etlkilerinin arıaştı­

rıimaik istendiği du,rumlarda faJktöcyel deney tertiplerinden

L5. FAKTÖRYEL DENEYLERDE VARYANS ANALİZİ

Görüldüğü giıbi faiktöcyel deneyler'de birden çok fa!ktöriin

esas etki ve fıak~örler ara'Sı etkisi araştırılma'ktadır. Böyle bir

araştırmada bir faktöırün etkisi diğer bir faktörün eıtıkisi ile yok

olabilir. Bu nedenle faktöryel deneylerde yapılan varyana analizi

işlemlerinde, muamele kareler toplamları ve seroestlik derecele-.

ri deneydıe!ki fa!ktör ve fıalkförler arası etkilere ayrılarak analiz

edilmelidir12 •

Varyans Analizi hesaplamaları iıçin:

Yij = µ

+

Ai

+

Bj

+

ABij

+

eij

g.ibi i!ki fa'ktörlü bir model ele alınmıştır. Bu modele gö1re varyans analizi işlemleri aşağıda görüldüğü gibi sırasıyla açık~anmaya ça-lışılacaktır.

- Faktöryel deneyleT·e göre araştınlacak olan fa!ktörler,

te-saldüfi blok, tesadüfü parsel ve ~aıtin kare tertiplerinden uygun olan bir tertibe göre düzenlenir.

- Esas etki ve faktörler amsı etıkinin kareler toplamı

hesap-lanır: . ~ ~~ i (Yıl~ ( i j Yıj)~

-NA

N ~ ~~ j (yj)2 ( i j yij)2

-NB

N ~~ ~l1 SSAB i j (Y1j)2

-NAB

( i j YıJP N l: l1 (i j Y1j)2 N

sshata = SStoplam - SSA - SSB :--- SSAB dir.

(12) M.H. Qu~nouille. The Deslgn and Analysis of Experlment, Ch(lrles, Grlffln and Comıpany Uimiıted. London, ~953. s. 713.

- Serlbestlik dereceleri hesaplanır.

A

=

(i-1), B

=

(j-1) ! AB

=

_{(i-1) (j-1),}

Toplam

=

(ij-1)

Deney hartası

=

_{toplam serlbestli!l{ derecesi - diğer terimlerin} serlbestJik derecesi

(ij-1) - { (i-1)

+

(j-1)

+

l(i-1) (j-l)j}

--- Hesap~anan ser!bestlik dereceıleri kareler toplamına

bölü-nerek kareler ortalamaları hesaplanır.

MSSA ;= SSA/ (i-1) _MSSB = _{SSB/ (j-1)}

MSSAB = SSAB/ (i-1) (j-1) MSE

=

SSE/dfE

Her bir falktörün esas etki ve faktörler araJsı etkilerinin

kare-ler orıtalamaları, deney haJta;sımn kıareler orıtalamasıına

bölün-mesiyle F oranı hesaplanır _{Yani :} MSSA

FA=

-MSSE

~ Hipotez testleri _{.oluşturularak kar1§ılaştırmalıar yapılır.}

·Hipotez testleri ile esas etki ve· f aktöder arıası etkilerin belli bir önemlilik de~ece:sine _{göre (}1a) incelenerek olayın meydana gelmesinde hangi faiktorlerin daha ertkin bir rol oynadığı

sapta-nır.

Ho doğru ise·

yani A, B falktörlerinin olay üzerinde belirgin bir etkisi yoktur.

Hı doğru ise,

FA, FB• FAB

>

Fa

F ldeğeTinden uzaklaışıyor, a önem dıereceGine _{göre bu A ve B} faktörlerinin bağımsız ve ba,ğımlı _{olarak olay üzerinde bir etkisi} sö~ konusudur.

Fafktöryel deneylerde varyans analizi işlemleri Trublo 6'da gö-rülmeiktedir :

TABL0-6

Fa·ktöryel Modellet"e ilişkin Varyans AnaNZi Tablosu

Değiş-kenllk Kayna-ğı 1 d.f.

ss

MSS F A H-·I) B (i-1) AB (l-~) (j-1} (k-1) ' - SSB -

ss

AB - ••• -12 Yi' ••• ljk

E Gene·I d.f. - (dıi-Gene'I SS diğer terıimlerin SS SS.E/dfE

~ '12 Genel ~iik ••. ) - 1: l l l ··· Yınc

~ktör sayılarının ve seviyelerinin artması durumunda . vıar­

yıans anaılizi işlemlerinde baizı kolaylıkların sağlana.bilmesi için

birçOk yöntemler geli'ştirilmiştir. _{Bu yöntemlerin} asıl amacı;

fak-töryel deneylıenn anıalizinde, muameleler kareler toplamım ve

serlbesrtlik: derecelerini deneydeki faktör ve faktörler arası ·

etkile-re göetkile-re ayırmak, diğı~ bir deyişle muamele kareler ortaJ.amrusını

esas etki ve faktörler arası etıki oLriıaJk üzere bileşenlerine ayıra­

rak hesaplamaktır.

Bu hesaplamalar gelenekse:! , yönrteme göre varyans analizi

tablosunda görüldüğü gibi yapıla/bilir, fakat faktör sayısının ve

seviyelerinin artması sonucunda bu işlemlerin yıapılmasında bazı

g:üçlüıklerle karşılaşılaibilir, bu güçlüklerin ortadan kaldırılabil­

mesi için iiki yöntem geliştirilnıiıştir. Bu yöntemleri şöy1ece

özet-leye biliriz :

· - Birinci yönıtemde muamele kareleT toplamlarının .bileşim­

lere ayrılmasında muamele kombinasyonları klajtı-3ayılarından

fay-dalanılır. Örneğin 2 faktörlü ve 2 seviyeli bir deney tertilbi için

muamele kombinasyonları tablosu aşağida görüldüğü gibi

dü-zenlenebilir :

\ TABL0-7

(22) Faktörye.l Deneyinde Muamele Kombinasyonları Katsayısı 13>

Faktöryel Muamele Kombinasyonları

Etki

m

(a) . (b)• (ab) IAi -1 _+1- +1" ;+1 B .,...1 -1 -1 ₊₁

1

ıAB +1 -1 - t ₊₁

(13) Muamele kombinasyonları katsaıyılannın elde edilebilmesi icin fa'ktör et'k1

i-lerinin muamele kombi·na$yonıu icinde bulunup bulunmadığı saptanır. Tablo-da görüldüğü gibi A faktörü birinci muamelede kombinaısyonunda yan1_{i (1)}

de bulunmadığı icln (-1) değerini alır, ikinci muamele kombinasyonunda

bulunduğu icin ('11) .değerinıi alır, üçüncü muamele kombinasyonu yani (b) de bul·unmadığı için (-1) değerini, ve (ab) de bulunduğu için (1) değerini alır. Es-a1s etkiler için hesaplamal·aır bu şekilde yapılır, faktörler arası

et-kile·rıinıi ya·n;i burada AıB nin değeri ise (ıA) ve (B) nıin aynı süıtundak1i işa.reıt­ leri .carpılma:k suretiyle bulunur. ·

Düzenlenen bu tabloya göre: (A) faktörünün esas etkisi,

A = [ (ıaıb)

₊

(a) - (b) - (1) ) (B) faktörünün esas etkisi,

B

= (

(ab)

+

(b) - (a) - (1)]

(A), (B) faktörler arası etki,

AB= [(ab)

+

_(l) - .(a) .- (b)]

olarak hesaplanır.

Hesaplanan bu etki dıeğerleri, muamele kombinasyonları

kat-s·ayılannın kareler toplamının (K), deneyin tekrarlanma sayısı

ile ç_arpımmdan elde efil'len değere bölünür, yani:

SSA

- - -

l [ (aJb)

+

.(a) - (b) - (1)]

Kr 1 [ (ab)

+

_(b)_ - (a) - (1)] SSıı i=· -Kr 1 [(aib)

+

(1) - ıa>- (b)] 1 SSAB := ---" Kr

değerleri hesaplanarak muamele kareler toplamları biieşenlerine ayrılmış olur. (n-1) derecesine sahip herhangi bir muıamele ka-reler toplamı. her biri 1 serbestlik derecesine sahip (n-1) adet bileşene ayrılabilir.

Muame'le kareler toplamının ve sevbesıtlik derecelerinin

bile-şenlere ayrılmasından sonra, elde erulen bu değerler, deneyin tümü için tertiplenmiş _{olan varyans analizi} tıaiblosuna e'klenerek

işlemlıere devam edilir.

Muamele kareler toplamının bileşenlere ayrılmasında

kuHa-nılaın diğer yön.tem Yates'in Algoritma yönıtemidir. Bu yöntemi

açıklayaıbilmek iÇin (2k) falktöryel deneyini ele alalım.

Bu yöntem iıçin gerekli olan ilk işlem deney sonucun/da elde edilen gözlem değerlerinin standart sıraya göre yeniden düzen-352

lenmesidir~ ı. S~.andart sıra, muamele kombinasyonlarına _göre

dü-zeınienE:n _{sıradl'r. Örneğin (2}2

) tertibinde gözlem sonuçları _(1), (a), (b), (1_{J.ıb) .olarak düzenlenir.}

Bu düzrn1cmecle göz.lemlerin aTdı·şık _{çiftler halinde olduğu}

kabul ediHr ve bu gözlem değ1_{erlerinin toplanması ve çıkarılması}

ile (lk) a~det sütun elde _{edilir. Birinci sütunun i1k yarısı ardışık}

çiftler durumunda _bulunan gözlıem değerlerinin. _{toplanmasiyle,}

ikinci yarısı ise, her bir çifte birinci _{değerin ikinıci değerden çı­}

karıtılma.siyle _{elde edilir. Bu işlemler birinci sıütunıdan}

ikinci

l3Ü-tun _{ve ikinci sütundan üçüncü sütun elde edilirken telkrarlamr.}

Genel olarak 2k deney tertirbi için gözlem değerlerinin

toplanma-sı ve çıkarıimaısiyle _{1, 2, ... k adet sütun olm~turn1acaiktır}15_•

Sü-tunların oluı.şturu1masıından _{sonra kareier toplamının eldıe:}

edile-bi~mesi iıçin (k) runcı _{sütundaiki terimlerin kareleri alınır ve}

(2k) ifadesine bölünür16_•

2:2 _{dıeney tertiibi için}

btı yönıtemi cebirseJ olıarak Tablo 8'de

göstereıbiliriZ11

:

TABL0-8

Yotes'ln Algoritma Yönetimine Göre Sütun!orın Hesaplanması

IB ..

I Kereler . o en Toplamı

·

-

- - -

.,

!ab+a+b+1 (1) a+1 ab+a+lb+t 8 1 8 (1) 1 aıb +ıb-b-'1 ab+b ob+b-b-11. 4

'

a 1 o 4 aib-a+b-1 :lj a-1\ alb-a+b-111 4 b i.4

ıab

oıb-b ob-a·-ıb+1 ₄

lalb-o-ıb+'11

ob

1

4

1

(lL'.\) George, E.P. Box, Stat'_{istics for Experimenteri, John Wiley and Sons ine.,}

1979', s. 323.

(15) A.g.e., s. 323-324.

(1i6) Olive Jean Dunn, Virgin'ia A. Clark, Applied Statictics, _{John Wiley and Sons,}

ine., Niew-Yorik, .1974, s. 181.

(17) C.C. L!i, lntroduction to Expıerimental Stotistics, _{McGraw-Hill, New-York,}

1964, S, 266.

Ö~etle Y1ates'in Algoritma yöntemi veya muamele

kombinas

-yonları katJ.sayısına göre muamele kareler toplamı kolaylıkla

bi-leşenleT'ine eyrılaibi1ir ve faktörlerin esas eıt!ki ve faikıtfuler arası

etkilerinin ka·reler toplamı hesaplıanaibilir.

Ka:rıeler toplamının hesaplanılmasrndan sonra bu toplam her

bir etkinin serbesıtliik derece'Sine bölünerek .kareler ortıaJaması

bu-lunur ve her bir etki için· F oranı oluşt~rularak ayrı ayrı analiz

ve

yorum yapılır ..

1.6. SONUÇ

Herhaıngi bir a:raştırmada deney düzenılemıeden önce bir ön

çalışmanın yapılması geTeki·r. Bu çalışma, sonucunda bir

faktö-rün etkisi, cli.ğer bir fa!ktör ile ilgili olara!k değiştiği sonucuna

va-rılıT'sa bu deneyin faktöryel deney ile düzenlenmeısi gıexekir,

böy-lece hem f akıtörlerin ç~şi:tli seviyelerini kaTŞılaştırma!k ye hem de

bunlardan herhangi brrinin di·ğer fıaktör ve faktörler karşısında.­

ki durumlarını, alYilı deneyde incelemek olanağına sahip olunuır.

Görüldüğü gifbi. faktörye1 deney dfüzenılemede amaç, birden çok

faktörün esas etki ve faktörler amsı eıtıkiierinin aynı deneyde

hesapl!arnalbiln;ıesi ve olayın meydana gelmesinde hangi

falktörle-rin daha etikin bir rol oynadığının saptanmasıdır. Bu amacın

g·erçekleşeibilmeısi için muamele kare'ler toplamları, deneydeki

faktör ve falkförler arası etıki:Iere göre bileşenlerine ayrılmalı ve

her bileşen aıjn ayn test edilmelidir.

Y ~RABLA1NI L~N KAYNAKLAR

1_{BOX, E.P. George; HUNTIER,} . G.W. HUNITER, J.S., Statlstlcs for

Exp.er1menters,

John Wileıy anıd Sons, ine., U.S.~., 1978.

COCHıRON, W.G., COX, G.M., Experlmental Deslgn, John Wiley and Sons, ine.,

ILX>ndon, 1975.

DUINN, Olive, · J., OLIA!R'K, A. Virgi·nia, Applled Statlstlcs, John Wlley,

a1nd Sons,

ine., New-York, .1974.

DÜZGÜNEŞ, Orıha·n, Bilimsel Araştırmalarda istatlst1k, Prensipleri ve Metodları,

OIİNCER, Naim, AıTIA:Y, T., «BeHıi Başlı Deneme Metodları, Fa:ktöryel Deneyler»,.

Toprak Su Derıgıis'i, S. 16, 19631).

GU8NTHER, William G., Analyısis _{of Variance, Prenttice Haıı,· ine., U.S.A. 1964.}

Hıl:OKS, Chorle:s. R., Fundamental Concept in the Des·ıgn and Experlment, Holıt

\Rıinehart and Winston ine., New-York, 1979.

JOH!NISION L. Normon; RRIED, C., _{Statistics and Experiment(lf Design, John W:i'ley}

and Sonıs, ine., N'ew-York, 1964.

LE'E, Waıyne, Exparimental Design Qnd Analysis, W.H. Freeman and Company,

Son Frqndis·oo. _1~.

LI, _{C:C., lntroduction to Experimental Statistics, MoGraw-Hill, New Y:or:k, 1964.} L.ıliNIDGIRiBN, _{Bernard W., Statistical Theory, Ma·cMiflan Puıb~isıh:ing Co., ine.,}

New-Vor'k, _1976 ...

OTT'ES71ED, Per, St(lıtistical Mode·_{IS and Their Ex,perimental Appllcation, Charles}

Griffin ıAnd Co., Ltd., London, 1970~

OUENOVlıLL'E, M.ıH., _{The Design and Analysis of Experiment, Oharle:s Griffin and}

Comıpany Ltd., Landon, .1.~.

WINIE'R, B.J., StaUstical Prlnciples in Experimental Design~ Mc:Graw-Hnt,

Ko-za·kusih'a· Ltd., To'kyo, .1971.

Y\ATES, F., The Design anıcı Ana·lys·is of Fa·etorial Experimentıs, Te·ohn·ical