Test 18 Basit Eşitsizlikler II

– 113 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 18 Çözümler

BASİT

EŞİTSİZLİKLER – II

1.

Kuvveti çift olan sayıların tamamı atılır.

. . a b b olup b negatiftir a b a b olup a da negatiftir 0 0 0 < < < < 4_$ -a $ b $ c > 0 $ $ - - + = + . . . .

ifadesinde a ve b negatif olduğundan c pozitiftir. Buna göre, a, b, c nin işaretleri sırasıyla

–, –, + bulunur. Cevap: C

2.

. a b b a b c b c olup b c a bulunur 2 0 2 0 2 & & + = = -- = = = =

-Yani a pozitif alınırsa b ve c negatiftir ya da a negatif alınırsa b ve c pozitiftir. . a b b c a b b c a c b b c a olur 2 0 0 2 0 2 2 2 2 + = + - = + + - = = =

-a, b, c her koşulda zıt işaretli olduğundan a·c < 0 ve a·b < 0 dır.

2a + b = 0 ifadesinde b yerine c yazılırsa 2a + c = 0 olur.

b·c < 0 ifadesi kesinlikle yanlıştır.

Çünkü her koşulda b ve c aynı işaretli olduklarından b·c > 0 olmalıdır. Cevap: B

3.

y < 0 < x + y < y + z y x y x 0 < < + x y y z x z < < + + Buna göre, y < 0 < x < z elde edilir. Cevap: C

4.

x < y < 0 < z

ifadesinde x ve y negatif, z pozitiftir.

I. _zx <y_z ifadesi z ile çarpılırsa

€ .

z$x_z<_{z z}$y &x<y olur ve do rudur

II. ›fl › . x z y z x y olamaz ve yanl t r > > + + III. (z x) (z x) z xz x z xz x xz xz xz xz 2 2 2 2 4 4 4 0 0 < < < < < 2 2 2 2 2 2 + -+ + - +

-olup x ve z ters işaretli olduğundan doğrudur.

– 114 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 18 Çözümler

BASİT

EŞİTSİZLİKLER – II

5.

Sayı x olsun.

Sayının 1 eksiğinin (yani x – 1) 3 katı 3·(x – 1)

olur. Bu ifadenin en az 8 olması demek bu ifadenin 8 ve 8 den büyük olması demektir. Yani,

(x ) 3$ -1 $8 olmalıdır. Cevap: D

6.

x y- < x y$ <0 x – y < 0 x < y dir. x·y < 0 x ve y zıt işaretlidir.

Bu durumda x ve y zıt işaretli ve x < y olacağından x negatif, y pozitiftir. x < 0 < y dir. I. y xy y xy 0 > > 2 2

-Her iki taraf y ile bölünürse, y y y xy > 2

y pozitif olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez. y > x olur ve doğrudur.

II. x y 0+ <

x negatif ve y pozitif olduğundan toplamlarının negatif veya pozitif olacağı kesin değildir. Örneğin;

• x = –1 ve y = 2 olsun. x + y < 0 ¡ –1 + 2 < 0 1 < 0 yanlıştır.

III. • x negatif, y pozitif olduğundan ( )

( )

( ) . .

x

dir Yani yx negatiftir

y = +

=

-• x negatif, y pozitif olduğundan

( ) ( ) ( ) .

x y$ = - $ + = - dir Yani x y$ negatiftir.

(x y$ ) ( ) ( ) › .d r - = - - = + Buna göre, yx-x y$ - + 5 < olduğundan kesinlikle negatiftir denilemez. Cevap: A

7.

0 < x < 1 olduğundan x = 21 alınırsa ) ) ) ) ) . A x B C x x D x x E x olup en k k x dir 1 1 2 1 ₁ 1 2 3 1 3 2 2 1 ₁ 1 2 1 1 ₂ 1 2 1 ₁ 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ₁ 2 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1 2 1 2 2 1 1 1 1 ₁ 1 1 üçü $ $ + = + = = -= = -- = _- =_- = -+ = ₊ = = = = = = -Cevap: B

8.

–1 < a < 0 olduğundan a = 2 1 - alınırsa x a y a z olup 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 1 ₁ 1 2 ₂ 3 3 2 2 $ = = - = -= - = - - = = = -- = e e o o 4 1 8 1 ₂ < < -

-bulunur ve doğru sıralama y < x < z dir.

– 115 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 18 Çözümler

BASİT

EŞİTSİZLİKLER – II

9.

a a 5 9 10 2 10 18 10 2 < < ( )2

-Paydalar eşit ve pozitif olduğundan paydalar atılır. a a 18 2 20 < <

-olup a nın en küçük değeri 21 dir.

Cevap: C

10.

12_x <x<0

x negatif tam sayı olduğundan

ç . ç . ç . ç . x i in olur x i in olur x i in olur x i in olmaz 1 1 12 _{1 0 12 1 0} 12 _{0 0} 12 _{0 0} 12 _{0 0} 2 2 2 6 2 3 3 3 4 3 4 4 4 3 4 < < < < < < < < < < < < < < < < & & & & = -- - - = -- - - = -- - - = -- - -

-Buna göre, x’in alabileceği değerler toplamı (–1) + (–2) + (–3) = –6 bulunur.

Cevap: C

11.

_{–5 7}

–3 15 –21

5 –25 35

x in aralık değerleri y nin aralık değerleri ile çarpılırsa x·y değerleri 15, –21, –25 ve 35 olur. Buna göre, x·y değeri,

–25 < x·y < 35

arasında olup x·y nin en büyük değeri 34 ve en küçük değeri –24 olur ve toplamları

34 – 24 = 10 bulunur.

Cevap: B

12.

3 x2<9 eşitsizliğinde her iki tarafın 3. kuvveti

alınır-sa, ( ) ( ) x x x x x 9 9 9 3 3 < < < < < 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 6

kuvvetler 2 ile sadeleştirilirse, x x 3 27 < < 3

olur ve x’in en büyük tam sayı değeri 26 bulunur.

– 116 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 18 Çözümler

BASİT

EŞİTSİZLİKLER – II

13.

x ve y sayılarına bir tanım kümesi verilmediğinden x

ve y reel sayı kabul edilir.

x ve y reel sayı olduğundan x2 _{+ y}2 _{ifadesi bir aralık}

içinde elde edilmelidir. Bunun için x ve y’ye ait aralık-ların kareleri alınmalıdır.

Bilgi:

Eşitsizliğin sınırlarının ters işaretli (yani bir sınır “–”, diğer sınır “+” ise) olduğu durumlarda eğer eşitsizliğin karesi alınacaksa en küçük değer 0’dan büyük ve eşit olmalıdır. Yani eşitsizliğin sol tarafı “0#” olmalıdır. Eşitsizliğin en büyük değeri içinde, eşitsizliğe ait sınır-lardaki sayıların kareleri alınır. Çıkan sonuçlardan en büyüğü eşitsizliğin üst sınırı olur.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; –3 < x # 2

eşitsizliğinin sınırları ters işaretli olduğundan eşitsiz-liğin en küçük değeri 0’dan büyük ve eşit olmalıdır. Yani

0 # x2 _dir.

En büyük değeri bulmak için sınırdaki sayıların karesi alınıp ve büyük olan seçileceğinden

. 9 4 ( ) ( ) x 3 2 3 2 < 2 2 1 -. . .

eşitizliğin üst sınırı 9 olacaktır. Yani

0 # x2 _{< 9 dur.}

Bilgi:

Eşitsizliğin sınırları ters işaretli değilse, sınırdaki sayı-ların kareleri alınır. Çıkan sonuçlardan küçük olan sol sınıra, büyük olan sağ sınıra yazılır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

. 16 0 ( ) ( ) y 4 0 42 02 1 # -. . . olacağından eşitsizlik 0 < y2 _{# 16 olur.}

x2 _{+ y}2 _{toplamının en büyük tam sayı değeri}

x y x y 0 9 0 16 0 25 < < < < 2 2 2 2 # # + +

sınırlara bakıldığında 24 bulunur.

Cevap: C

14.

Bu tür x2 _{ve x in aynı anda verildiği sorularda ifade}

tam kareye çevrilmeden işlem yapılamaz.

( ) . x x x x x olur 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 - + = - + + = - + –3 < x < 4 eşitsizliğinden 1 çıkarılırsa, . x x olur 3 1 1 4 1 4 1 3 < < < < - - - --

-Eşitsizliğin karesi alınırsa (13. soruda verilen bilgiye dayanarak) (x ) olur. 0# -12<16 Eşitsizliğe 2 eklenirse (x ) x x 0 2 1 2 16 2 2 2 3 18 < < 2 2 # # + - + + - +

olup en büyük değer 17 bulunur.