Sayı dizilerinin genelleştirilmesi

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SAYI DİZİLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ

Fatih YILMAZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

KONYA 2009

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SAYI DİZİLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ

Fatih YILMAZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez 13/08/2009 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

SAYI DİZİLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ

Fatih YILMAZ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT 2009, 48 sayfa

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde günümüz bilim insanlarının ilgisini çeken Fibonacci, Pell, Lucas ve Jacobsthal sayı dizilerinin tanımları ve bilinen bazı özellikleri verilip, bu dizilerle ilgili olarak tanımlanan genelleştirilmiş sayı dizileri incelenmiştir.

İkinci bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda Jacobsthal sayı dizisi genelleştirilmiş, ikinci ve üçüncü kısımda ise Fibonacci, Pell, Jacobsthal ve Lucas sayı dizilerini de kapsayacak şekilde sayı dizileri tanımlanarak, companion matrisler yardımıyla sayı dizileri matris teoriye taşınmış ve matrisler yardımıyla dizinin sağladığı özellikler incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Fibonacci Sayı Dizisi; Pell Sayı Dizisi; Jacobsthal Sayı Dizisi; Matris Metot; Companion Matris; Binet formülü.

ABSTRACT

Mc.S. Thesis

GENERALIZATION OF NUMBER SEQUENCES

Fatih YILMAZ Selcuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT 2009, 48 page

In this study, we investigate Fibonacci, Pell, Lucas and Jacobsthal number sequences which have huge interest in modern science. Initially, we give definitions and some known properties of these sequences. Then we defined new sequences which contain previous ones.

In the first section of second the chapter, we generalized Jacobsthal sequence and, also in the second and third sections of this chapter, we defined new sequences which contain Fibonacci, Pell and Jacobsthal sequences. By Companion Matrices, we combined matrix and number sequence concepts and give some properties of these sequences.

Keywords: Fibonacci Sequence; Pell Sequence; Jacobsthal Sequence; Matrix Method; Companion Matrix; Binet Formula.

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi danışman hocam Prof. Dr. Durmuş BOZKURT yönetiminde hazırlanmış ve Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Çalışma başlıca üç bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde Fibonacci, Pell, Lucas ve Jacobsthal sayı dizilerinin tanımları ve bazı özellikleri verilmiş, bu sayı dizileriyle ilgili olarak daha önce yapılmış olan çalışmalar incelenmiştir.

Çalışmamızın esas kısmı olan ikinci bölümde ise bu sayı dizileri ile ilgili genelleştirmeler tanımlanmış ve tanımlanan dizilerin bazı özellikleri incelenmiştir.

Üçüncü bölümde çalışmamızla ilgili sonuç ve öneriler paylaşılmıştır.

Çalışma süresince yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Sayın Prof. Dr. Durmuş BOZKURT’a teşekkürlerimi sunarım.

SEMBOL TABLOSU

Kısaltmalar Açıklamalar

n

F n-inci Fibonacci Sayısı

n

P n-inci Pell Sayısı

n

L n-inci Lucas Sayısı

n

J n-inci Jacobsthal Sayısı

P-J Pell-Jacobsthal sayı dizisi

F-P-J Fibonacci-Pell-Jacobsthal sayı dizisi

i n

P

i-inci genelleştirilmiş k-mertebeli Pell dizisinin n-inci elemanı

i n

g

i-inci genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci dizisinin n-inci elemanı

i n

J

i-inci genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal dizisinin n-inci elemanı

v İÇİNDEKİLER Özet İ Abstract İi Önsöz İii Sembol Tablosu İv İçindekiler V 1. GİRİŞ 1 2. SAYI DİZİLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ 10

2.1. Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal Dizisi

2.1.1 Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal Dizisi İçin Binet Formülü 2.1.2 Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal Sayılarının Toplamları

10 14 18 2.2. Genelleştirilmiş k-mertebeli Pell-Jacobsthal Dizisi

2.2.1 P-J Sayılarının Toplamları

2.2.2 Genelleştirilmiş P-J Sayılarının Toplamları İçin Kesin Bir Formül

21 27 29 2.3. Genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci-Pell-Lucas Dizisi

2.3.1 Genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci-Pell-Lucas Dizisi İçin Binet Formülü

2.3.2. Genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci-Pell-Lucas Dizisi İçin Toplamlar

2.3.3. Genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci-Pell-Lucas Dizisi İçin Bir Kesin (Explicit) Formül

33 37 40 43 3. SONUÇ 46 4. KAYNAKLAR 47

1. GİRİŞ

Düşünce tarihinin en önemli olaylarından biri olan ve matematiğin temelini oluşturan sayıların tarihi milattan önceki devirlere kadar gitmektedir. Sayıların yerine mağara duvarlarına çizilen çizgiler, ağaç dallarına atılan çentikler, bazen de ipe atılan düğümler veya çakıl taşları kullanılmıştır. Eski Mısır’da rakam ve sayılar bazı sembollerin yanyana gelmesiyle ifade edilmiştir. Zamanla sayı sistemleri tanımlanmış, bu tanımlar üzerinde çalışılarak daha da geliştirilmiş ve daha başka sayı sistemlerinin ortaya çıkması sağlanmıştır.

Son yıllarda bilim dünyasının ilgisini çeken, sanat ve mimari gibi bir çok alanda karşımıza çıkan Fibonacci sayıları, İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci tarafından tanımlanmıştır. Ünlü matematikçi 13. yüzyılda yaşamış, ilk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci’yı 1202 yılında yazmıştır. Fibonacci ismi, Liber Abaci’de yer alan ve ilk bakıldığında matematikle pek ilgisi olmadığı düşünülen, tavşanların üremesi ile ilgili basit bir problemden dolayı günümüze kadar gelmiştir. Problem şunu sorgulamaktadır: Bir tavşan çifti her ay yeni bir çift yavru doğurursa ve yeni tavşan çifti kendi doğumundan iki ay sonra yavrulamaya başlarsa, bir yıl sonunda kaç çift tavşan elde edilir. Aylara göre tavşan sayılarındaki değişim Tablo 1 ile verilmiştir. Birey\Aylar O Ş M N M H T A E E K A Yetişkin Yavru Toplam 0 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 3 3 2 5 5 3 8 8 5 13 13 8 21 21 13 34 34 21 55 55 34 89 89 55 144 Tablo 1

Bu mantıkla düşünmeye devam edilirse, her terimi kendisinden önceki ardışık iki terimin toplamı olarak ifade edilebilecek olan bir sayı dizisi elde edilir ve bu dizi aşağıdaki rekürans formülüyle ifade edilmiştir.

Tanım 1.1. F₁= 1, F₂ 1= olmak üzere n>1 için,

1

-n n n

F₊ =F +F ₁

Fibonacci sayıları, Binet formülü olarak da bilinen, α ve β dizinin rekürans bağıntısından elde edilen 2 _{1 0}

x − − = denkleminin kökleri olmak üzere x n n n F α β α β − = −

formülüyle de ifade edilebilir.

Fibonacci sayı dizisi sadece sanat ve mimaride değil, aynı zamanda Öklit (Euclidean) algoritmasında en büyük ortak bölen hesaplaması, müziğin tonunu belirleme gibi diğer başka alanlarda da karşımıza çıkmaktadır.

Fibonacci sayılarının bilim dünyasında bu kadar ilgi görmesi üç nedenle ifade edilebilir. Bunlardan ilki, dizinin bazı terimleri doğada beklenmedik şekillerde ve yerlerde karşımıza çıkmasıdır. Örneğin papatyadaki yaprakların sayıları, ayçiçeğindeki sarmalların sayısı Fibonacci sayılarıdır. Yapılan çalışmalarda bu tür sıralanmanın güneşi en verimli şekilde kullanmayı sağladığı, polen taşıyan böceklerin bu tür bir düzeni tercih ettiği sonucuna varılmıştır.

İkinci olarak ise, ardışık iki Fibonacci sayısının oranının altın oran diye bilinen, sanat ve mimaride güzel sonuçlar veren 1.61803… sayısına yakınsamasıdır. Bu oranı şöyle ifade edebiliriz: Bir AB doğru parçası düşünelim. Bu doğru parçasını küçük parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın bütüne oranını verecek şekilde ikiye bölelim. Öyleki büyük parça a birim ve küçük parça da 1 birim ise

1

1 a a = a+ oranı bize altın oranı verir. Bu ifade düzenlenirse

2 _{1 0}

a − − = a denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 1 5

2

∓ _{olup, pozitif kök altın oranı ifade} etmektedir.

Üçüncüsü ise matematikte ve fizikteki uygulamalarıdır.

İtalyan matematikçi Edouardo Lucas (1842-1891) ise Fibonacci sayı sisteminde kullanılan son iki terimin toplamı bir sonraki terimi verir kuralını, başlangıç koşullarını değiştirerek uygulamış ve yeni bir sayı sistemi tanımlamıştır.

Tanım 1.2. n>1 için L₁= 1, L₂= 3 olmak üzere n-1

= +

n+1 n

L L L rekürans bağıntısı ile verilen sayılara Lucas sayıları denir.

Lucas sayılarını α = (1+ 5) / 2 ve = (1- 5) / 2β olmak üzere n n

n

L =α +β

formülüyle de elde edebiliriz. Bu dizilere benzer olarak tanımlanan ve bilim dünyasının ilgisini çeken başka sayı dizileri de vardır.

Tanım 1.3. P₁= 1, P₂ = 2 olmak üzere = 2 + n n-1 n-P P P ₂ rekürans bağıntısı ile verilen sayılara Pell sayıları denir.

Pell sayıları aynı zamanda dizinin rekürans bağıntısından elde edilen polinomunun kökleri olan

2 _{2 1 0} x − x− = 1∓ 2 ile (1 2) (1 2) 2 2 n n n P = + + −

şeklinde de ifade edilebilir. Ardışık iki Pell sayısının oranının limiti, gümüş oran olarak da bilinen 1+ 2 sayısına yakınsamaktadır.

Alman matematikçi Ernst Jacobsthal (1882-1965) kendi adıyla anılan sayı dizisini aşağıdaki gibi tanımlamıştır.

Tanım 1.4. n>1 için J₁= 1, J₂ = 1 olmak üzere = + 2 n n-1 n-2 J J J

rekürans bağıntısı ile elde edilen diziye Jacobsthal sayı dizisi denir. Bu sayı dizisi aynı zamanda

2 ( 1) 3

n n

n

J = − − formülü ile de elde edilebilir.

Tanım 1.5. j₀ =2 ve j₁=1 olmak üzere n≥2 için 1 2 2

n n n

j = j ₋ + j ₋

rekürans bağıntısı ile tanımlanan diziye Jacobsthal-Lucas dizisi, bu dizinin terimlerine ise Jacobsthal-Lucas sayıları denir.

Jacobsthal-Lucas sayılarını

( )

2_n 1 n n

j = + − formülü ile de elde edebiliriz.

Fibonacci, Lucas, Pell, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayıları Tablo 2’de karşılaştırılmıştır. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … Ln 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 … Pn 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 … Jn 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 … n j 2 1 5 7 17 31 65 127 257 511 1025 … Tablo 2

Fibonacci, Pell ve Jacobsthal sayı dizileri matris kuvvetleri ile de ifade edilebilmektedir. Charles H. King 1960 yılında tanımladığı

1 1 1 0 Q= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦

matrisinin kuvvetlerini alarak,

n

≥

1

olmak üzere 1 1 1 1 1 0 n n n n n n F F Q F F + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥ = ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

şeklinde Fibonacci sayılarını elde etmiştir. Ercolano, Pell sayı dizisini 2 1

1 0 M = ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦

şeklinde tanımlanan matrisin kuvvetlerini alarak 1 1 2 1 1 0 n n n n n n P P M P P + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥ = ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

olarak elde etmiştir. Köken ve Bozkurt Jacobsthal sayılarını 1 2

1 0 F = ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦

matrisinin kuvvetini alarak

1 1 2 1 2 2 1 0 n n n n n n J J F J J + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥ = ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

elde etmiştir [Köken, Bozkurt; 2008].

Bilim insanları bu sayı dizilerinin daha genel olarak ifade edilmesi için çalışmışlar ve genelleştirilmiş sayı dizileri tanımlamışlardır.

Miles, genelleştirilmiş k-Fibonacci sayılarını n> ≥k 2 için

1 2 k 2 0

f = f = = f ₋ = ve f_k−1= f_k = 1 başlangıç koşulları ile

1 2

n n n n k

f = f ₋ + f ₋ + + f ₋

rekürans bağıntısı ile tanımlamıştır [Miles; 1960]. Bu dizinin bazı elemanları Tablo 3’te verilmiştir. \ k n 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 1 2 3 5 8 13 21 3 0 1 1 2 4 7 13 24 4 0 0 1 1 2 4 8 15 Tablo 3

Kılıç ve Taşçı genelleştirilmiş k-mertebeli Pell sayı dizisini i-inci genelleştirilmiş k-mertebeli Pell dizisinin n-inci elemanı olmak üzere, ve

için i n P n> 0 1 i k≤ ≤ 1 1 1 0 0 aksi halde i n i -n P =⎧⎨ = − ≤ ≤k n ⎩

başlangıç koşulları ile

1 2

2

i i i i

n n n n

P = P₋ +P₋ + +P_−k

olarak tanımlamıştır [Kılıç, Taşçı; 2006]. Dizinin katsayıları ile oluşturulan companion matris ile, sayı dizisini matris teoriye taşımıştır. Elde edilen companion matrisin öz değerlerinin katlılığını incelemiş ve katlı öz değerlere sahip olmadığını göstermiştir. Öz değerlere bağlı olarak verilen vandermonde matris yardımıyla da genelleştirilmiş Binet formülünü elde etmiştir [Kılıç, Taşçı; 2006].

k=2 k=3 k=4 \ n i 1 2 1 2 3 1 2 3 4 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 5 2 5 3 2 5 3 3 2 3 12 5 13 7 5 13 8 7 5 4 29 12 30 18 13 30 20 18 13 Tablo 4

Taşçı ve Kılıç, i-inci dizinin n-inci terimi olmak üzere, genelleştirilmiş k-mertebeli Lucas sayılarını ve 1

i n l

0

n> ≤ ≤i k için 1− ≤ ≤k n 0 olmak üzere

2 2 1 1 0 aksi halde i n i n l i n = − ⎧ ⎪ = −_⎨ = − ⎪⎩ başlangıç koşullarıyla 1 2 i i i i n n n n l =l ₋ +l ₋ + +l _−k olarak tanımlamışlardır [Taşçı, Kılıç; 2004].

Kılıç genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci-Pell sayı dizisini, i-inci dizinin n-inci terimi olmak üzere, , ve 1

i n u 0 n> m>0 ≤ ≤i k için 1 =1-, 1- 0 0 aksi halde i n i n u =⎧⎨ k≤ ≤n ⎩ başlangıç koşullarıyla 1 2 2 i m i i i n n n u = u − +u − + +un k−

şeklinde tanımlamıştır [Kılıç; 2007]. Bu dizinin Binet formülünü matris metotlarla elde etmiş, toplamları için bir formül vermiştir.

Er, genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci sayılarının k dizilerini ve olmak üzere 0 n> 1 i k≤ ≤ 1, = 1-1- 0 0, aksi halde i n i n g =⎧⎨ , k ≤ ≤n ⎩ başlangıç koşullarıyla, 1 k i i n j j g c gn j− = =

∑

şeklinde tanımlamıştır [Er; 1984]. Ayrıca k-mertebeli Fibonacci dizisi için bir üreteç matris vermiştir.

Yukarıda tanımlanan dizilerin hepsi aslında Kalman tarafından tanımlanan, ’ler sabit ve ’ler dizinin elemanları olmak üzere

i

c a_i

0 1 1 1

n k n n k n k

a ₊ =c a +c a ₊ + +c ₋a _{+ −1} dizisinin özel bir halidir.

Örneğin Fibonacci dizisini, a₀ = ve 0 a₁ = olmak üzere 1

2 1

n n

a ₊ =a ₊ + (1.1) a_n

olarak ifade etmiştir. (1.1)’deki gibi ifade edilen fark denklemi, sayı dizisinin katsayıları yardımıyla oluşturulan companion matrisle matris teoriye taşınabilmekte, matrislerin özelliklerinden de faydalanarak dizinin farklı özelliklerini incelenebilmektedir [Kalman; 1980].

Tanım 1.6. ck ≠0 olmak üzere

1

1 1

( ) k k

k

C x =x −c x − − −c ₋ x− monik polinomu ck verilsin. Polinomun katsayılarına bağlı olarak ifade edilen

1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 k k c c c ₋ c ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ veya 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n c c c c ₋ − ⎡ ⎤ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦

şeklindeki matrise companion matris denir. Tanım 1.7. x x … x skalerler olmak üzere ₁, , ,₂ k

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k k k k k k k k k x x x x x x V x x x − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ veya

1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 k k k k k k k 1 x x x x V x x x x x − x − x − x − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

formundaki matrislere Vandermonde matrisi denir.

Aşağıda Fibonacci, Pell, Lucas ve Jacobsthal sayıları ile ilgili iyi bilinen ve çok kullanılan bazı özelikler verilmiştir. [Koshy, Vajda]

• 2 _{(Cassini Formülü)} 1 1 ( 1) n n n n F F_{− +} −F = − • ₁ 2₂ 1 4 çift ise 1 tek ise, n n i i i n L n L L L n − = ⎧ − = ⎨ ₊ ⎩

∑

, • 2 22 1 22 2 2 2 2 2 1 3 2 6 −2 −5 5 n n n n n i i F F F F n F + + + = + − =

∑

• 2 22 22 1 2 2 2 2 1 1 3 2 4 +2 −2 5 n n n n n i i F F F F n F ₋ − − = + − =

∑

• 3 32 31 1 3 3( 1) F +2 4 n n n n n i i F F F + + = − + − =

∑

• _{2 2 1 2 2} 1 1 n i i n n i F F₊ F ₊ F ₊ = = −

∑

• 2 2 1 1 1 [1 ( 1) ]/ 2 n n i n n n i iF nF F₊ F − = = − + + −

∑

• _{2 1 2n} y 1 n i i F ₋ F = =

∑

2 2 1 1 1 n i n i F F ₊ = = −

∑

• ₂ 1 1 n i n i F F₊ = = −

∑

y _{1 2} 0 k i j i i k j F₊ F₊ F₊ = + =

∑

+ • 2 y 1 1 n i n n i F F F₊ = =

∑

2 2 1 2 n n n F₊ +F =F ₊₁ • 2 2 _2n y _m 1 1 n n F₊ −F₋ =F F_n =F F_{m n m− +1}+F_m−1F_n− • 22 2 22 1 2 2 1 2 5 n n n i i i F F n F F ₊₊ + + = + − − =

∑

y 2 2 1 2 1 1 1 n i i n i F F₊ F ₊ = = −

∑

• 3 23 3 2 4 n+ Fn _y 2 1 1 n i i F F ₋ = =

∑

3 22 1 2 1 2 1 3 2 4 n n n i i F F F + − = − + =

∑

• ₂ 1 3 n i n i L L₊ = = −

∑

y _{2 1 2} 1 2 n i n i L ₋ L = = −

∑

• _{2 2 1} 1 1 n i n i L L ₊ = = −

∑

y 2 1 1 1 5( 1) n n n n L ₋L₊ −L = − − • 2 1 1 2 n i n n i L L L ₊ = = −

∑

y _{1 2 1} ( 1)n n n n L L ₊ =L ₊ + − • _{1 −1} y )n n n n L =F₊ +F L2_n =5F_n2+ −4( 1 • F_2n =F L_{n n} yF_n+2−F_n−2 =L_n • L_n−1+L_n+1 =5F_n yL_4n =5F₂2_n + 2 • 2 2 y 2 2 2 5 m n m n m n L ₊ −L ₋ = L F F L_{m n}+F L_{n m} = F_{m n+} • P_{m n+} =P P_{m n+1}+P_m−1P _n y 2 1 1 2 n n n k k P P P + = =

∑

• ₂ 1 3 n i n i L L₊ = = −

∑

y _{2 1 2} 1 2 n i n i L ₋ L = = −

∑

• _{2 2 1} 1 1 n i n i L L ₊ = = −

∑

y 2 1 1 1 5( 1) n n n n L ₋L₊ −L = − − • 2 1 1 2 n i n n i L L L ₊ = = −

∑

y _{1 2 1} ( 1)n n n n L L ₊ =L ₊ + − • _{1 −1} y )n n n n L =F₊ +F L2n =5Fn2+ −4( 1 • F_2n =F L_{n n} yF_n+2−F_n−2 =L_n • L_n−1+L_n+1 =5F_n yL_4n =5F₂2_n + 2 • 2 ₉ 2 _{( 1) 2}n n 2 _y n n j − J = − + ₂ 1 1 ( _n+ 5) 2 n i i j J =

∑

= − • _{9 ( 1) 2}n n 1 m n n m m n j j − J J = − + j ₋ yJ_n+1J_n−1−J_n2 = −( 1) 2n n−1 • _{( 1) 2}n n 1 m n n m m n J j −J j = − + J ₋ y j_n+1j_n−1− j_n2 = −9( 1) 2n−1 n−1 • ₁ 3( ₁ ) 3.2n y _{n n 2n} n n n n j ₊ + j = J ₊ +J = J j =J • 1 1 2 3(2 1) 3.( 1) n n n n n j ₊ − j = J −J ₊ = − + yL_4n =5F₂2_n + 2

2. SAYI DİZİLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ

Genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci, Pell, Lucas sayı dizileri ve Kalman’ın tanımladığı genel sayı dizisi birinci bölümde verildi. Bu bölümde tanımlanmış olan bu genelleştirilmiş sayı dizilerini temel alarak

● Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal dizisi, ● Genelleştirilmiş k-mertebeli Pell-Jacobsthal dizisi, ● Genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci-Pell-Lucas dizisi,

olmak üzere üç yeni sayı dizisi tanımladık. Tanımlanan dizilerin bazı özelliklerini inceledik. Companion matrisler yardımıyla, matrislerin de özelliklerinden faydalanarak, bu diziler için farklı özellikler elde ettik.

Öncelikle bu bölümde kullanılacak olan ve polinomların köklerinin katlılığını incelemeye yardımcı olacak, bilinen bir teorem verelim.

Teorem 2.1. T bir tamlık bölgesi ve ( )p x ∈T x[ ] olsun. α∈ ’nin ( )T p x ’in katlı kökü olması için gerek ve yeter şart (p α) 0= ve '(p α) 0= olmasıdır.

İspat.

⇒) α , ( )p x ’in katlı kökü olsun. Yani, ( )p x =(x−α) ( )mq x olsun. Bu ifadenin birinci türevi alınırsa

1

'( ) ( )m ( ) ( )m '( ) p x =m x−α − q x + x−α q x olup '( ) 0p α = elde edilir ki istenendir.

⇐) ( ) 0p α = ve '( ) 0p α = olsun. ( ) (p x = x−α) ( )q x olacak şekilde polinomu vardır.

( ) q x

α ’nın q x( )’in de bir kökü olduğunu göstermek istiyoruz. p x ’in türevini ( ) alırsak

'( ) ( ) ( ) '( ) p x =q x + x−α q x

olur. '( ) 0p α = olduğundan '( )p α =q( ) (α + α α− ) '( ) 0q α = elde edilir ki, istenendir [Bozkurt, Türen, Türkmen; 2006].

2.1 Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal Dizisi

Jacobsthal sayılar birinci bölümde tanımlanmıştı. Bu kısımda, Jacobsthal sayı dizisini genelleştirerek, genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayı dizisi olarak adlandıracağımız yeni bir sayı dizisini tanımladık.

Tanım 2.1.1. i i-inci dizinin n-inci terimi ve ve 1 n J n>0 ≤ ≤i k olmak üzere 1 1 0 aksi halde i n i n J =⎧_⎨ = − 1-k≤ ≤n 0 ⎩

başlangıç koşulları için

1 2 2 3

i i i i i

n n n n n

J =J ₋ + J ₋ +J ₋ + +J _−k (2.1.1) rekürans bağıntısı ile tanımlanan diziye k-mertebeli Jacobsthal sayı dizisi denir.

Bu sayı dizisine bazı örnekler verelim. n=3 ve i=2 seçilirse; k=2 için 2 2 2 2 J₁ + 2 J₀ J + 2 J_{0 - 1} 1 0 0 2 2 J + 2 J_{0 - 1} 1 0 2 2 2 3 2 1 J = J + 2 J 6 ↓ ↓ ↓ = k=3 için 2 2 2 2 2 2 J + 2 J_{1 0} J_-1 J + 2 J_{0 1} J_-2 1 1 0 0 0 2 2 2 2 2 3 2 1 0 0

J =

J

+ 2

J

J

7

+ ₋ + ↓ ↓ ↓

+

=

k=4 için 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 J₁ 2 J₀ J ₁ J ₂ J₀ 2 J ₁ J ₂ J ₃ J ₁ 2 J ₂ J ₃ J ₄ J ₂ 2 J ₃ J ₄ J ₅ 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 3 2 1 0 1

J =

J

+ 2

J

J

J

8

+ +₋ + ₋ + ₋ + ₋ +_{− −} + ₋ + ₋ + _{− −} + ₋ + ₋ + ₋ − ↓ ↓ ↓ ↓

+

+

=

olarak elde edilir. Bu dizide k=2 ve i=1 alındığında dizi bilinen Jacobsthal sayı dizisine indirgenmektedir.

Tanımlanan dizinin katsayılarından oluşan ve genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal matrisi olarak adlandıracağımız k mertebeli companion matrisi

1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 C ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2.1.2)

1 1 1 2 1 i i n n i i n n i n i i n k n k J J J J C J J J J + − − − + − + 2 i n− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 1 ⎥ ⎥ n (2.1.3)

ifadesi yazılabilir. Genelleştilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayı dizisini

1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 k n n n k n n n n ij k n k n k n k J J J J J J B b J J J − − − − + − + − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ =_{⎣ ⎦ ⎢}= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2.1.4)

şeklinde matris formunda yazalım. (2.1.3) eşitliğini k sütun genişletirsek 1

n

B =CB ₋ (2.1.5)

matris eşitliği elde edilir.

Lemma 2.1.1. C ve B sırasıyla (2.1.2) ve (2.1.4)’teki gibi matrisler olsun. _n tamsayıları için 0 n≥ n n B =C dir.

İspat. Bn =CBn−₁ olduğunu (2.1.5)’ten biliyoruz. İfade daha açık yazılırsa

2 1 2 3 2 1 3 4 3 1 1 1 1 m m m B CB B CB C B B CB C B B CB ₋ C −B = = = = = = =

elde edilir. Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayı dizisinin tanımından

1 2 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 k k k k k k J J J J J J B C J ₋ J ₋ J ₋ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ _{⎤ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ = _{= ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ = olup n n B =C

olarak elde edilir.

Sonuç 2.1.1. B , (2.1.4)’teki gibi bir matris olsun. _n n≥1 için

2 2 ise

det 1 tek ise

1 çift ise n k= B k k (k 2) − ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪− ≠ ⎩ dir. İspat. n n B =C olduğunu biliyoruz. 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 det 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 C= olmak üzere

det det n (det )n n

B = C = C olup ispat kolayca görülür.

Lemma 2.1.2. i genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayı dizisi olmak üzere n J 1 1 2 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 2 , 3 1 n n n n n n i i n n n k n n J J J J J J J J J i k J J + + + + + = + = + = + ≤ ≤ = − dir.

İspat. (2.1.5) ifadesinden Bn =Bn−_{1 1}B =B B₁ n−₁ olduğunu biliyoruz. Matris çarpım özellikleri kullanılarak 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 k k n n n n n n k k n n n n n n k k n k n k n k n k n k n k J J J J J J J J J J J J J J J J J J + + + − − − − + − + − + − + − + − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ _{⎤ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢₌ ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦

2.1.1. Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal Dizisi için Binet Formülü

Bu kısımda genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayıları için Binet formülünü, Crammer metodu kullanarak elde ettik. Öncelikle tanımlanan dizinin katsayılarından oluşan matrisin öz değerlerinin katlılığını inceleyeceğiz.

Lemma 2.1.3. k≥3 için

1 ₂ 1 2 ₁

k k k k

x + − x −x − +x − + = 0 denkleminin katlı kökü yoktur.

İspat. Companion matrisin özelliklerinden, C matrisinin karakteristik polinomunun aynı zamanda genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayı dizisinin rekürans bağıntısına karşılık gelen polinom olduğu bilinmektedir. Yani

1 2 3

( ) k k 2 k k 1 0

f x =x −x − − x − −x − − − − = x

ifadesi aynı zamanda genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayı dizisinin de karakteristik denklemidir. k≥3 için x=1’in, ( )f x karakteristik polinomunun kökü olmadığı açıktır. 1 2 3 1 1 2 ( ) ( 1) ( ) ( 1)( 2 1) 2 1 k k k k k k k k g x x f x x x x x x x x x x x − − − + − − = − = − − − − − − − = − − + +

olsun. 1, g x( )’in bir köküdür fakat f x ’in kökü olmadığı için ( ) ’in katlı kökü değildir.

( ) g x 0

β ≠ ve β ≠ olmak üzere 1 β , g x( )’in bir katlı kökü olsun. β ’nın bir katlı kök olması için gerek ve yeter şartın ( )g β = ve '( )0 g β = olduğunu Teorem 0 2.1’den biliyoruz. β katlı kök olduğu için

1 1 2 2 3 2 ( ) 2 1 [ 2 1] 1 k k k k k g β β β β β β β β β + − − − = − − + + 0 = − − + + = ve 1 2 3 3 2 '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 2) [( 1) 2 ( 1) 2] 0 k k k k g k k k k k k k k 3 k β β β β β β β β β − − − − = + − − − + − = + − − − + − = olmalıdır. 0β ≠ olduğundan _{[( 1)} 3 ₂ 2 _{( 1) 2] 0} k+ β − kβ − k− β + − = ’dır. Bu k ifadenin kökleri 3 2 28 432 612 216 a= k − k − k− ve 4 3 2 147 126 1149 1164 336 b= − k + k + k + k+ olmak üzere

(

)

(

)

1/3 2 1 1/3 12 1 14 2 3( 1) 2 ₁₂ a bk b _k k k _{a bk b} β ⎡ _{+ +} ⎤ − ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ + _{+ +} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 6 ₊

(

)

(

)

(

)

(

)

1/3 2 2,3 1/3 1/3 1/3 12 1 7 2 3( 1) 4 ₁₂ 12 3 14 6 2 2 ₁₂ a bk b _k k k _{a bk b} a bk b _k i a bk b β = − ⎧ +⎪_⎨ + − − + + _{⎪⎩ + +} ⎫ ⎡ _{+ + −} ⎤ ⎪ ⎢ ₋ ⎥_⎬ ⎢ _{+ +} ⎥_⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎭ ∓ 3

olarak elde edilir.

2 3 2 , [ 2 k i k i i i i v =β − −β + β +β −1], 1≤ ≤i 3 olmak üzere , ( ) _{i k} 1 0 g β v − = − = olarak da yazılabilir. 1 β için; 2 3 2 1 1 1 1 1 ( ) k [ 2 1] 1 0 g β β − β β β − = − + + − − =

dır. k=3 seçilirse v_1,3= −0.8445476618 1≠ olup bu bir çelişkidir.

2 β için; 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) k [ 2 1] 1 0 g β β − β β β − = − + + − − = .

olup k =3 için v_2,3= −1.172273831 0.3253556687+ i≠1 dir ki, bu da bir çelişkidir. 3

β için de benzer işlemler yapılırsa

2 3 2

3 3 3 3 3

( ) k [ 2 1] 1 0

g β β − β β β

− = − + + − − =

olur. seçilirse olup bir çelişki elde

edilir ki, katlı köke sahip değildir.

3 k = ( g x 3,3 1.172273831 0.3253556687 1 v = − − i≠ )

Genelleştirilmiş k-mertebeli C matrisinin karakteristik polinomu f( )λ olsun. Lemma 2.1.3’ten matrisinin farklı öz değerlere sahip olduğunu biliyoruz. C

Öz değerlere bağlı Vandermonde matrisi 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k k k k k k k k k V λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ olur. 1 2 n k i n k i i k n k i k c λ λ λ + − + − + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

şeklinde bir vektör olsun. V matrisinin j-inci sütununun ile değiştirilmesiyle elde edilen matris olsun.

i k c ( )i j V

Genelleştirillmiş k-mertebeli Jacobsthal sayıları için genelleştirilmiş Binet formülü aşağıdaki teoremle ifade edilebilir.

Teorem 2.1.1. i-inci Jacobsthal sayı dizisinin n-inci elemanı olmak üzere için i n J 1 i k≤ ≤ ( ) 1 det( ) det( ) i j j n i V J V − + = dir.

İspat. ’nin öz değerleri birbirlerinden farklı olduğu için C matrisi köşegenleştirilebilirdir.

C

T

V = olmak üzere Q ’nun tersi vardır. O halde Q

1

1 2

( , , , )_k Q CQ− =diag λ λ … λ =D

dir. Yani, C ile benzer matrislerdir. Buradan elde edilir. Lemma 2.1.1’den D n n C Q=QDn n

1 1 1 1 11 12 13 1 1 2 3 2 2 2 2 21 22 23 2 1 2 3 3 3 3 3 31 32 33 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 1 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k n k k k k k kk k k k k k k k b b b b b b b b B Q b b b b b b b b λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 1 2 2 2 3 3 3 3 3 1 2 3 0 0 1 1 1 1 n n k k k n n k k k k k n k QD λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ matris çarpımından 1 2 1 2 11 1 12 1 1 11 12 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 k k k k n k k k k k k k k k n k k k kk k k k k kk k b b b b b b b b b b b b λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − + − − − − + ⎡ + + + + + + ⎤ ⎢ _{⎥ =} ⎢ ⎥ ⎢ _{+ + + + + +} ⎥ ⎣ ⎦ i i − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 1 k k k elde edilir. Buradan, i=1, 2, ,… k için

1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 k k n i i ik k k n i i ik k k n i k i k ik k b b b b b b b b b λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − + − − − + − − − + + + + = + + + = + + + = −

lineer denklem sistemini elde ederiz. Böylece her j=1,2, ,… için k

( ) 1 det( ) det( ) i j j n i V J V − + = dir.

Örneğin, için ve Jacobsthal sayılarını genelleştirilmiş Binet formülünü kullanarak hesaplayalım.

2 k= J₃2 J₄2 1 2 1 0 C= ⎢⎡ ⎤_⎥ ⎣ ⎦

Companion matrisinin özdeğerleri λ₁= , 2 λ₂ = − olarak elde edilir. 1 1 için, Vandermonde matris i k ≤ ≤ 1 2 1 2 1 1 1 1 V λ λ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥ ⎢}= _⎥ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ve

2 1 2 2 2 ( 1) n k i n i i k n k i n i c λ λ + − + − + − + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥ ⎢}= _⎥ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dir. 2j= , i=1 olmak üzere

3 n= için 4 4 (1) 2 2 3 2 2 1 ( 1) det( ) 18 6 2 1 det( ) 3 1 1 V J V − − = = = − = 4 n= için 4 2 1 4 2 1 (1) 2 2 4 2 2 1 ( 1) det( ) 30 10 2 1 det( ) 3 1 1 V J V + − + − − − = = = − = i J

olarak elde edilir ki değerler Tablo 5’teki değerlerle aynıdır.

2.1.2. Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal Sayılarının Toplamları

Bu kısımda matris özellikleri kullanarak genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayılarının toplamlarını elde ettik. Genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayılarının 1 1 0 n n i T − = =

∑

şeklinde tanımlanan kısmi toplamlarını Lemma 2.2.1’de bilinen 1 eşitliğinden 1 k n n J =J ₊ 1 n k n i i T J = =

∑

olarak da yazabiliriz. C ve B , (2.1.2) ve (2.1.4)’teki gibi matrisler olmak üzere _n ve matrislerini sırasıyla E n W 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 E C ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥}= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

ve 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 k n n n n n k n n n n n n n k n k n k n k n k n k T J J J T W T J J J T B T J J J T − − − − − − + − + − + − + − + ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ şeklinde tanımlayalım. 1 1 k n n J =J ₊ eşitliğini kullanırsak 1 1 1 n n n T =J ₋ +T₋ olur. Böylece 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 k n n n n k n n n n n n k n k n k n k n k T J J J W T J J J W T J J J − − − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ _{⎤ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ = _{⎢ ⎥}= ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E

ifadesi elde edilir. Bu ifade diğer bir şekilde 1 1

n n

W =W E − olarak da yazılabilir. 1≤i≤k için T−i = oldu0

E

ğundan ve genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayılarının tanımından

1 2 1 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 k k k k k k k T J J J W T J J J T₋ J ₋ J ₋ J ₋ ⎡ ⎤ ⎡ _{⎤ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ = =_{⎢ ⎥}= ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dir. O halde yukarıdaki ifade n n

W =E olarak yazılabilir. Böylece genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayıları için üreteç matrisi elde edilmiş olur. n

n W =E olduğundan 1 1 1 n n W₊ =W W =WW_n (2.1.6)

1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 k k n n n n n n n n k k n n n n n n n n k n k n k n k n k n k n k T J J J T J J J T J J J T J J J T J J J T J − − − − − − − − − − − − − + − + − + − + − − ⎡ ⎤ ⎡ _{⎤ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ = ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 k n k n k J ₋ J ₋ 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

olur ki bu bize ’in, ile matris çarpımının değişmeli olduğunu gösterir. (2.1.6) ifadesindeki matris çarpımı ile

1 W W_n 1 2 3 1 2 k n n n i T T₋ T₋ T_{n i} = = + + +

∑

₋ (2.1.7)

şeklinde genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayı dizisi için bir toplam elde edilir. ve için dizi bilinen Jacobsthal sayı dizisine indirgeniyordu. Dolayısıyla,

2 k= i=1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 3 2 1 2 n n n n n n n i n n i J T n n T J J n n n n n n T J T T J T J T J J J J − − − − − − − = ₊ − − − − 1 2 − − − − − = = + + = + + = + + − − + − =

∑

elde edilir.

Tablo 5’te bazı genelleştirilmiş k-mertebeli Jacobsthal sayılarını verelim:

k=2 k=3 k=4 \ n i 1 2 1 2 3 1 2 3 4 -2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 3 2 3 3 1 3 3 2 1 3 5 6 6 7 3 6 8 4 3 4 11 10 13 15 6 14 16 9 6 5 21 22 28 32 13 30 37 20 14 Tablo 5

2.2. Genelleştirilmiş k-mertebeli Pell-Jacobsthal Dizisi

Bu kısımda ilk iki teriminin katsayısı genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci sayıları olan yeni bir sayı dizisi tanımlayıp, bu dizinin bazı özelliklerini inceledik.

Karaduman, birinci bölümde, M. C. Er’in tanımladığı genelleştirilmiş k-mertebeli Fibonacci sayılarının k dizilerini n>0 durumunu ihmal ederek incelemiş,

i-inci dizinin n-inci terimi olmak üzere i n g 1 1- ise 1 0 0 aksi halde i n i n , g k , = ⎧ n =_⎨ − ≤ ≤ ⎩ sınır koşullarıyla 1 , k i i n n j g g −j = =

∑

1 i k≤ ≤

sayı dizisinin elemanlarını

1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 k n n n k n n n n k n k n k n k g g g g g g G g g g − − − − + − + − + 1 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

şeklinde bir kare matris olarak ifade etmiştir [Karaduman; 2004]. Yazar bu çalışmada n=1 özel durumunu inceleyerek

0 1 2 2 1 1 2 0 0 1 3 2 1 1 1 1 2 0 0 4 3 0 0 0 1 1 2 0 1 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 k k k k k k k k k k k g g g g g g G B g g g − − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ _{⎤ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ = _{= ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = m

olacak şekilde bir B matrisi tanımlamıştır [Karaduman; 2004]. Tanım 2.2.1. m≥1, 1 l k≤ ≤ ve i,n tam sayılar olmak üzere

1 1 ise 1 0 0 aksi halde l m m+l= u =⎧⎨ , − ≤ ≤k ⎩

başlangıç koşulu ile

(2.2.1)

1 2 3

l i n l i l l l

m n m n m m m k

u =g + u ₋ +g u ₋ +u ₋ + +u ₋

şeklinde tanımlanan diziye Pell-Jacobsthal sayı dizisi denir. Bu diziyi kısaca P-J sayı dizisi olarak sembolize edeceğiz.

Özel olarak n= −2, i=5 ve k =2 seçilirse dizi bilinen Jacobsthal sayı dizisine, n i= =1 seçilirse k-mertebeli Pell dizisine indirgenmektedir.

Genelleştirilmiş k-mertebeli P-J sayı dizisinin elemanları B , m kare matris olmak üzere

k k× 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 k m m m k m m m m k m k m k m k u u u u u u B u u u − − − − + − + − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ (2.2.2)

şeklinde ifade edilebilir. (2.2.1)’de tanımlanan dizinin katsayılarından oluşan Companion matris de 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 i n i n n g g C + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2.2.3)

olacaktır. Companion matris tanımından Bm=CBm−₁ ifadesi her zaman doğrudur. Lemma 2.2.1. B ve C, (2.2.2) ve (2.2.3)’teki gibi matrisler olsun. _m m≥1 için

m m B =C dir.

İspat. Bm=CBm−₁ olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi

2 1 2 3 2 1 3 4 3 1 1 1 1 m m m B CB B CB C B B CB C B B CB ₋ C −B = = = = = = =

1 2 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 i n i n n k k k k k k g g u u u u u u B C u u u + − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ _{⎤ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ = _{= ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ = dir. Sonuçta m m

B =C olarak elde edilir.

Sonuç 2.2.1.B , (2.2.2)’deki gibi bir matris ve m için k, matrisin mertebesi olmak üzere

1

m≥ = 2 ise

det 1 tek ise

1 çift ise ( 2 i n m g k B k k k ⎧− ⎪ = ⎨ ⎪_{− ≠ )} ⎩ dir. İspat. m m

B =C olduğunu Lemma 2.2.1’den biliyoruz. det det m (det )m

m

B = C = C

olup istenen elde edilir.

Teorem 2.2.1. , l-inci genelleştirilmiş k-mertebeli P-J sayı dizisinin m-inci elemanı olsun. 1 , ve olmak üzere

l m u ≤ ≤l k m≥1 r≥0 1 1 k l j l m r m r j j u ₊ u u_{− +} = =

∑

dir. İspat. m m

B =C olduğunu Lemma 2.2.1’den biliyoruz. Buna göre

1 1 1 1

m m m

B =B ₋B =B B ₋ (2.2.4)

yazılabilir. Bu ifadeyi genel olarak

m r m r r m B ₊ =B B =B B

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 k k m m m r r r k k m m m r r r m r m r k k m k m k m k r k r k r k k k k k m r m r m r k m r m r m r k u u u u u u u u u u u u B B B u u u u u u u u u u u u u u u u u u u − − − − − − + − + − + − + − + − + − + − − + − − + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + + + + + + = 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k m k− +ur um k− +ur− um k− +ur k− + um k− +ur um k− +ur− um k− +ur k− + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + + + + + + ⎥ ⎣ ⎦ k 1 k

elde edilir ki, matrisin elemanları istenen formdadır.

Lemma 2.2.2. l genelleştirilmiş P-J sayısı olsun. Bu taktirde m u 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 , 3 1 i n m n m m k m m i i m m m i m n m m u g u u u u u u u i k u g u u + + + + + + = + = = + ≤ ≤ = + − m dir.

İspat. (2.2.4) ifadesinden Bm+₁ =B Bm ₁ =B B₁ olduğunu biliyoruz. O halde

1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 i n i n n k k m m m m m m k k m m m m m m k k m k m k m k m k m k m k g g u u u u u u u u u u u u u u u u u u + + + + − − − − + − + − + − + − + − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ _{⎢ ⎥}⎡ ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥}⎢ ⎢ ⎥_{= ⎢ ⎥}⎢ ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥}⎢ ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥}⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ _{⎢ ⎥}⎣ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ = 2 ₀

olup matris çarpım özelliklerini kullanırsak istenen elde edilir. C companion matrisinin karakteristik denklemi

1 2 3 _{1 0}

k i n k i k k

n n

x −g+ x − −g x − −x − − − −x

olup bu denklem aynı zamanda genelleştirilmiş k-mertebeli P-J sayılarının rekürans bağıntısının da karakteristik denklemidir. Bu denklemin köklerinin (öz değerlerinin) katlı olup olmadığını inceleyelim.

Lemma 2.2.3. k≥3 için

1 _{( 1) ( )} 1 _{(1 ) 1}

k i n k i n i k i k

n n n n

x + − g+ + x + g + −g x − − −g x − + = ifadesinin katlı kökü yoktur.

İspat. _{( )} k i n k 1 i k 2 k 3 ₁

n n

f x =x −g+ x − −g x − −x − − − − olsun. ( )x f x , hem C companion matrisinin karakteristik denklemi, hem de genelleştirilmiş k-mertebeli P-J sayı dizisinin rekürans bağıntısına karşılık gelen karakteristik denklemdir. , 1 f x( )’in kökü değildir. 1 2 3 1 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( ) (1 ) 1 k i n k i k k n n k i n k i n i k i k n n n n h x x f x x x g x g x x x x g x g g x g x + − − − + + + − −2 = − = − − − − − − − = − + + − − − +

dir. , 1 f x ’in kökü olmadığından, ( ) h x( )’in de katlı kökü değildir. β ≠ ve 0 β ≠ 1 olmak üzere, β sayısı h x( )’in bir katlı kökü olsun. Bu taktirde

1 1 2 3 2 ( ) ( 1) ( ) (1 ) 1 [ ( 1) ( ) (1 )] 1 0 k i n k i n i k i k n n n n k i n i n i i n n n n h g g g g g g g g β β β β β β β β β + + + − − − + + = − + + − − − + = − + + − − − + = 2 3 (2.2.5) ve Teorem 2.1’den 1 2 3 3 2 '( ) ( 1) ( 1) ( )( 1) (1 )( 2) [( 1) ( 1) ( )( 1) (1 )( 2)] 0 k i n k i n i k i k n n n n k i n i n i i n n n n h k g k g g k g k k g k g g k g k β β β β β β β β + − + − − + + = + − + + − − − − − = + − + + − − − − − = β − (2.2.6) dır. β ≠ olduğundan 0 3 2 3 2 3 3 3 3 3 12 ( ) 120 36( ) 360 36 36 36 36 116 324 216 216 8 ( ) i n i n i n i n i i n i i i n n n n n n n n n i i n i n n n n u k g g k g k g k g k g g k g kg g k k k g k g n + + + + + + + = − − + + + + − − + − − + + + 2 2 n g + n ve 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 324 648 324 12 72 ( ) 756 108 6 ( ) ( ) 246 ( ) 243 324( ) 54 540 6 324( ) 156 ( ) 384 108 186 i n i i n i n i i n i i i n n n n n n n n n i n i n i i n i i n i n n n n n n n n i n i n i n n n v g k g k g kg g g k g k k g k g k g g k g k g k g g k k g g k g k k + + + + + + + + + + + = − + − + − + + − − + − + + + − + − − − 3 3 3 4 3 4 2 4 2 4 2 2 4 2 3 4 4 2 2 2 4 2 2 2 3 4 2 12( ) 72 ( ) 192 36( ) 78( ) 3( ) 3( ) 54 60 ( ) 6 78 ( ) 66 ( ) 30 ( ) 6 ( ) 6( ) 6 ( i n i n i n n n n i n i n i i i i n i n i n n n n n n n i i n i i n i n i i n i i n i n n n n n n n n n n i n g k g g k g k g k g k g k g k k g g k g g k g g k g g k g g k g g k g g k g + + + + + + + + + + + + − − + + − − + − + − + + − + + 3 2 2 2 4 3 4 4 2 2 2 4 3 4 3 3 4 3 2 2 3 2 3 3 3 ) 3( ) ( ) 93 12( ) 15 ( ) 36 ( ) 36 ( ) 3 ( ) 12( ) 132( ) 30 ( ) 156 ( ) 180 ( ) 60 ( ) 12 ( ) 6 ( i n i i n i i n i i n n n n n n n n i n i i n i i n i n i i n n n n n n n n n i i n i n i i n i n n n n n n n g k g k g k g g g g g k g g k g k k g g k g g k g k g g k g g k g + + + + + + + + + + + + − + + − + − − − + + + − − − + i₎2 _{24 ( )}3 i 3 _{24 ( )}i 3 n n k g k g + −

1/ 2 1/ 2 1/ 3 2 2 2 2 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 3 ( 12 12 ) 2( 3 3 3 ( ) ) ( 1) 6( 1) ( 12 12 ) 3( 1) i n i n i i i n i n n n n n n n u v k v g k g g k g k g k k g k u v k v β = + + + − + + + + − + + + + + + + + + k+ 1/ 2 1/ 2 1/ 3 2 2 2 2 2 2,3 1/ 2 1/ 2 1/ 3 1/ 2 1/ 2 1/ 3 2 2 2 2 2 ( 12 12 ) ( 3 3 3 ( ) ) ( 1 12( 1) 3( 1)( 12 12 ) 3( 1) 1 ( 12 12 ) ( 3 3 3 ( ) ) 3[ 2 2 6( 1) i n i n i i i n i n n n n n n n i n i n i i i n n n n n n u v k v g k g g k g k g k k g k k u v k v u v k v g k g g k g k g k i k β + + + + + + + + + − + + − + + + = − − + + + + + + + − + + − + + − + ∓ ) k+ 1/ 2 1/ 2 1/ 3 ] 3(k+1)(u+12v k+12v )

olarak elde edilir. (2.2.6) ifadesindeki köşeli parantez içerisinde bulunan polinomun kökleri, Teorem 2.1 gereği, aynı zamanda (2.2.5) polinomunun da kökleri olacağından 2_[ 3 _{( 1)} 2 _{( ) (1} k i n i n i j j j n j n n j n t =β − −β + g + + β − g + −g β + − )]i g , 1≤ ≤ j 3 olmak üzere, 2.2.5 ifadesi

( )j j 1 0 h β t

− = − =

şeklinde de ifade edilebilir. Özel olarak i=4, n=-1 ve k= seçilirse 3

1 1 2 β = − , ₂ 1 1 2 β = + ve ₃ 1 1 2 β = − bu kökler h x( ) polinomunda yazılırsa

1 1 ( ) 1 7 1 0 16 h β t − = − = − ≠ 2 2 ( ) 1 5 2 1 0 4 h β t − = − = + − ≠ 3 3 ( ) 1 5 2 1 0 4 h β t − = − = − − ≠

olup bir çelişki elde edilir ki, h x( ) katlı köke sahip değildir.

C companion matrisinin farklı öz değerlere sahip olduğunu Lemma 2.2.3’ten biliyoruz. C matrisinin öz değerlerine bağlı vandermonde matrisi

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k k k k k k k k k V λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

olsun. matrisi i k e 1 2 n k i n k i i k n k i k e λ λ λ + − + − + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

olarak tanımlansın. V matrisinin j-inci sütununun ile değiştirilmesi ile elde edilen matris olsun. Aşağıdaki teoremde k-mertebeli P-J sayılarının genelleştirimiş Binet formülü elde edilmiştir.

i k e ( )i j V

Teorem 2.2.2. u_ml , l-inci P-J sayısının -inci terimi olmak üzere m 1≤ ≤l k için ( ) 1 det( ) det( ) i j j m l V u V − + = dir.

İspat. C matrisinin öz değerleri birbirinden farklı olduğundan, C köşegenleştirilebilirdir. T

V = olmak üzere, D matrisinin tersi hesaplanabilir olup D

1 _{( , )}

D CD− = Λ =diag α α_{1 2}, ,… α_k ’dır. Yani, C ile Λ benzerdir. Buradan, yazılabilir. Lemma 2.2.2’den

m m

C D= ΛD Bm=Cm olduğu bilinmektedir. O halde

1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 k k m i i ik k k m i i ik k k m i k i k ik k b b b b b b b b b α α α α α α α α α k i k i k i − − + − − − + − − − + + + + = + + + = + + + = −

lineer denklem sistemi yazılabilir. Böylece j ₁ ij m l

b =u _{− +} olmak üzere her j=1,2, ,… k için ( ) det( ) det( ) i j ij V b V = dir. 2.2.1. P-J Sayılarının Toplamları

Genelleştirilmiş k-mertebeli P-J sayılarının 1’den n’ye kadar olan toplamları 1 1 0 m m l l S u − = =

∑

olsun. Lemma 2.2.2’den 1

1 k m