FM ve Reciprocal FM matrislerinin normları için sınırlar

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FM VE RECİPROCAL FM MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Nuran YILMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FM VE RECİPROCAL FM MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Nuran YILMAZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez …./…./…….. tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

………. ………. ……….

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

FM, RECIPROCAL-FM LMATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Nuran YILMAZ SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Danışman: Prof. Dr. Ali SİNAN 2007, 31 sayfa Bu çalışmada A=       ) ( ). ( 1 j F i F FM ve B=

[

F(i).F(j)

]

reciprocal-FM matrisleri tanımladık. Daha sonraA₌GoH_{olmak üzere A}2≤_r1

( ) ( )

_G._c1_H eşitsizliğini

kullanarak bu matrislerin Euclidean ve Spektral normları için bazı üst sınırlar elde ettik.

Elde edilen bu üst sınırlar 4. Bölümde değerlendirilmiştir.

ANAHTAR KELİMELER: Matris normu, Fibonacci sayısı, GCD, LCM ve Hilbert matrisi.

ABSTRACT

MS Thesis

ON THE BOUNDS OF THE NORMS OF FIBONACCI MULTIPLICATION(FM), RECIPROCAL FIBONACCI MULTIPLICATION MATRICES

Nuran YILMAZ Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Ali SİNAN 2007, 31 Page

In this study, we have defined A= _      ) ( ). ( 1 j F i F FM and B=

[

F(i).F(j)

]

reciprocal FM matrices . Later, we have obtained some upper bounds for noms of Euclidean and Spectral of the these matrices.

Obtain conclusion have offered in the shape of tables at 4th section.

KEY WORDS: Norm of matrix , Fibonacci number , GCD, LCM and Hilbert Matrix.

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

öğretim üyesi Prof. Dr. Ali SİNAN yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen

Bilimleri Enstitüsü’ne yüksek lisans tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışma, matris teoride önemli bir yeri olan matris normları ve bazı matris

normlarının sınırları üzerine hazırlanmıştır. Birinci bölümde, matrisler üzerine

yapılan çalışmalarla ilgili genel bilgiler verildi. İkinci bölümde matris normları ile

ilgili genel tanım ve teoremlere yer verildi. Üçüncü bölümde bazı özel tipteki ,FM ve Reciprocal- FM matrislerinin normları için sınırlar elde edildi.

Çalışma konusunun bana veren, çalışma süresince destek olan ve yol gösteren

danışman hocam sayın Prof. Dr. Ali SİNAN’a teşekkür ederim.

Nuran YILMAZ KONYA, 2007

İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ………….………1

2. ÖN BİLGİLER………..4

2.1Matris Normları………...………..…18

2.2Matris Normları Arasındaki Bağıntılar….……….20

2.3 GCD,LCM veHilbert Matrislerinin Normları İçin Sınırlar...21

3. FM VE RECIPROCAL-FM MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR………..25

4. NÜMERİK SONUÇLAR………...28

5. KAYNAKLAR………30

1. GİRİŞ

Smith (1876) :

( )

i, j , i ve j pozitiftamsayılarının en büyük ortak bölenini göstermek üzere S =

[

( )

i, j

]

matrisinin determinantının φ

( ) ( ) ( )

1φ 2...φ n olduğunu

göstermiştir. Ayrıca, bu sonucun çarpan kapalı bir kümede de doğru olduğunu

göstermiştir. Burada φ Euler'in toplam fonksiyonudur.

GCD matrisleri olarak adlandırılan bu matrislerin incelemesini Beslin ve Ligh başlatmıştır. Beslin ve Ligh, Smith determinantından hareketle GCD matrisini

tanımlamışlar ve bu matrisin yapısını inceleyerek determinantını hesaplamışlardır.

GCD kapalı küme üzerinde tanımlanan bir GCD matrisinin determinantını hesaplayarak bu sonucu genellemişlerdir. GCD matrislerinin kesin olarak pozitif

tanımlı olduklarını ve belirli bir matris ve transpozunun çarpımı halinde yazılabildiklerini göstermişlerdir[3].

Ayrıca Smith, p asalının. pr kuvveti için

( )

pr p

− =

∏ şeklinde

tanımlanan ∏çarpımsal fonksiyon olmak üzere LCM matrislerinin determinantının da

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x1φ x2 ...φ xn ∏ x1 ∏ x2 ...∏

( )

xn

φ olduğunu göstermiştir.

Buna göre, S kümesi çarpan kapalı bir küme olmak üzere

( )

S , GCD matrisi ve

[ ]

S , LCM matrislerinin tersleri alınabilir.

[ ]

S 'nin terslerinin çarpımı bir integral matris (elemanları tamsayı olan bir matris) olduğu görülür. Ayrıca dete(S),

det[S]'yi bölmektedir.

Eğer S=

{

x1,x2,...,xn

}

birbirinden farklı pozitif tamsayılardan oluşan

herhangi bir küme ise det

( )

S ≤x1x2...x_n dir [3]. Li, bu üst sınır için eşitliğin yalnız

ve yalnız S kümesi çarpan kapalı bir küme ise,

( ) ( ) ( )

( )

! 2 ... det ... 1 2 2 1 n x x x S x x x φ φ n ≤ ≤ n − φ

olduğunu göstermiştir [13]. Bu sonuç birbirinden farklı pozitif tamsayılardan oluşan herhangi bir S kümesi üzerinde tanımlanmış olan

( )

S GCD matrisinin tersinin tanımlanabilir olduğunu göstermektedir.

( )

S , GCD matrisinin yapısal özelliği 1

( )

d

φ 'ye bağlıdır. Burada d ∈ ve T de , S 'yi kapsayan ve çarpan kapalı bir T kümedir.

Her bir pozitif m tamsayısı için,

( )

1

( )

( ) ( )

₂ m m m d d m m g m d φ π µ = =

∑

şeklinde

tanımlanan fonksiyon LCM matrisinin yapısal özelliğini, Euler toplam GCD matrisinin yapısal özelliğini belirlediği kadar belirler.

Bourque ve Ligh, S çarpan kapalı olması durumunda GCD ve LCM matrislerinin terslerinin elemanlarını Euler'in toplam fonksiyonu ve Möbius fonksiyonu cinsinden ifade etmişlerdir [6].

Apostol (1972), f ve g aritmetik fonksiyonlar olmak Üzere, f * g Dirichlet çarpımını,

(

)

( )

( )       =

∑

d k g d f k m S k m d g f , / * ,

şeklinde genelleştirerek, Smith determinantının bir genellemesi olan

( )

n

j i g f i j S 1 , * , ₌

determinantının değerini f ve g aritmetik fonksiyonları cinsinden hesaplamıştır [1]. McCarthy (1986), r modülünde m tamsayısının çift fonksiyonu olan

(

m r

)

f , aritmetik fonksiyonu için

[

f

( )

i,j

]

_mxn matrisinin determinantını bazı özel aritmetik fonksiyonlar cinsinden hesaplamıştır [15].

Altınışık, GCD matrislerinden hareketle n ×n tipinde

[ ]

( )

( )

_      = = ij j i s S ij ,

hemen hemen Hilbert-Smith matrisini tanımlamıştır. Bu matrisin yapısını inceleyerek. determinantını ve tersinin elemanlarını bazı özel aritmetik fonksiyonlar cinsinden elde etmiştir [8]. Hemen hemen Hilbert-Smith matrisini, elemanları pozitif tamsayılar olan S=

{

x1,x2,...,xn

}

kümesi üzerinde

[ ]

( )

(

)

_       = = j i j i ij _{x x} x x S

_s

,

biçiminde ele alarak bu matrisin yapısını incelemiştir. S kümesinin çarpan kapalı, en büyük ortak bölen kapalı küme ve herhangi bir pozitif tamsayı kümesi olması durumlarında, bu matrisin determinantını hesaplamış ve bu matrisin tersinin

elemanlarını, bazı özel aritmetik fonksiyonlar cinsinden ifade etmiştir. Ayrıca, hemen hemen Hilbert-Smith matrisinin _{r∈ Z}+ _{olmak üzere}

[ ]

( )

(

)

_       = = _r j r i r j i ij _{x x} x x S

_s

,

biçiminde bir genelleştirmesini yaparak, bu matrisin yapısını incelemiş; determinantını Euler’in toplam fonksiyonunun bir genelleştimesi olan Jordan'ın toplam fonksiyonu cinsinden ifade etmiş ve tersinin elemanlarını, Jordan’ın toplam fonksiyonu ve Möbius fonksiyonu cinsinden hesaplamıştır [8].

Türkmen, ( )

(

i j n

)

R

F

i j , , 2 , 1 , 1 , K =

= Fibonacci En Büyük Ortak Bölen

matrisini tanımlayarak bu matrisin spektral ve

_l

_p normları için sınırlar bulmuştur [19]. Özer ,

( )

(

)

     = j i lcm F A , 1 FLCM,

( ) ( )

(

)

     = j F i F lcm B , 1 LCMF ve

( ) ( )

(

)

[

lcmF i F j

]

C= , reciprocal LCMF matrislerini tanımlayarak bu matrislerin normları için bazı sınırlar bulmuştur.[21]

Biz bu çalışmada , A= _      ) ( ). ( 1 j F i

F Fibonacci çarpım matrisi (FM) ve

B=

[

F(i).F(j)

]

reciprocal Fibonacci çarpım matrisini tanımladık ve bu matrislerin normları için bazı sınırlar elde ettik.

2. ÖN BİLGİLER

Bu bölümde, çalışmamızda yararlanılacak temel kavramlarla ilgili tanım ve teoremler verilecektir.

Tanım 2.1 Doğal sayılar kümesinden, reel sayılar kümesi (veya kompleks sayılar kümesi) içine tanımlanan her fonksiyona aritmetik fonksiyon denir.

Tanım 2.2 n≥1 ise n doğal sayısını geçmeyen ve n ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını veren fonksiyona Euler'in toplam fonksiyonu denir ve φ

( )

n ile gösterilir [2].

Tanım 2.3

π

bir aritmetik fonksiyon olsun. ∀ ,a ∈b N için

( )

ab

π

=

π

( ) ( )

a

π

b ise,

π

'ye çarpımsal fonksiyon denir.

Tanım 2.4 p1, p2,...,pr birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere n doğal

sayısı n = r r p p pα α α .... 2 1 2

1 biçiminde asal çarpanlarına ayrılsın. Bu taktirde

( )

     = − > = = r i p p p n a n n r _K 2 1 , ) 1 ( 1 , 0 1 , 1 µ

biçiminde tanımlanan aritmetik fonksiyona Möbius fonksiyon fonksiyonu denir.µ

çarpımsal bir aritmetik fonksiyondur.

Tanım 2.5 S =

{

x1,x2,...,xn

}

elemanları birbirinden farklı olan pozitif

tamsayılar kümesi olsun ij - inci elemanları xi ve xj nin ortak bölenlerinin en büyüğü

olan (xi, xj) lerden oluşan (S) matrisine en büyük ortak bölen (Greatest Comman

Divisor GCD-OBEB) matrisi denir [3].

Tanım 2.6 S =

{

x1,x2,Kxn

}

elemanları birbirinden farklı olan pozitif tamsayılar kümesi olsun. ij -inci elemanları xi ve xjnin ortak katlarının en

küçüğü olan [xi, xj ]lerden oluşan [S] matrisine en küçük ortak kat (Least Common

Multiple, LCM-OKEK) matrisi denir [3].

Tanım 2.7 Eğer S kümesi her bir elemanının tüm bölenlerini içeriyorsa S kümesine çarpan kapalıdır (Factor Closed, FC) denir. Yani, S çarpan kapalı bir küme ise, S’ nin her elemanının tüm pozitif bölenleri yine S’ nin elemanıdır [3].

Tanım 2.8 Bir S kümesi için (xi , xj ) ∈ S

(

1≤ ,i j≤n

)

ise S' e GCD

kapalıdır denir.

O halde çarpan kapalı bir küme GCD kapalıdır. Ancak tersi doğru değildir. Tanım 2.9 Elemanları pozitif tamsayılar olan bir kümenin herhangi iki elemanının ortak bölenlerinin en büyüğü, yine bu kümenin bir elemanı ise, bu kümeye en büyük ortak bölen kapalı (Greatest Common Divisor Closed, GCDC) küme denir.

φ, Euler'in toplam fonksiyonu olmak üzere, x1<x2<...<xn olacak şekilde

elemanları pozitif tamsayılar olan bir S={x1,x2,...,xn}kümesi üzerinde her i=1,2,...,n

( )

∑

( )

< = i j x d x d i j i d x B φ

aritmetik fonksiyonu tanımlansın. S kümesi üzerinde B

( )

xi =φ

( )

xi olması için gerek

ve yeter şart S kümesinin çarpan kapalı olmasıdır. Ayrıca S kümesi en büyük ortak bölen kapalı ise her i ,j =1,2,...,n için (xi,xj)=

( )

( )

∑

j i k x x x k x B , dır [5].

Teorem 2.1 φ çarpımsal bir aritmetik fonksiyondur [11].

Tanım 2.10 Elemanları O ya da 1 olan m x n matrise (0-1) matrisi ya da incidence matris denir.

Tanım 2.11 f ve g iki aritmetik fonksiyon olsun. ∀n ∈N için f ve g

aritmetik fonksiyonları için (f *g)(n)=

∑

( )

      n d d n g d f / şeklinde tanımlanan çarpıma Dirichlet çarpımı denir [8]. f * g fonksiyonu da aritmetik bir fonksiyondur.

Teorem 2.2 (Möbius Birinci Ters Çevirme Formülü): ƒ herhangi bir aritmetik fonksiyon ve =

∑

n d d f n F / ) ( ) ( ise

∑

∑

      =       = n d n d d n d F d d n F n f / / ) ( ) ( ) ( µ µ dir[8].

Teorem 2.3 Her n pozitif tamsayısı için

{

1 1 / , 1 , 0

)

(

= >

∑

=

n_n n d

d

µ

dir[8].

Teorem 2.12 m ∈ Z+ _{verilsin. Her n pozitif tamsayısı için}

Jm(n)=      

∑

d n d n d m_µ /

biçiminde tanımlanan aritmetik fonksiyona Jordan’ın toplam fonksiyonu denir. Jordan’ın toplam fonksiyonu, Euler’in toplam fonksiyonunun genelleştirilmiş bir biçimidir ve m=1 için bu fonksiyon Euler’in toplam fonksiyonudur[2].

Teorem 2.4 Her n pozitif tamsayısı için ve =

∑

n d d n / ) ( φ dir[11].

Tanım 2.13 Bir A ∈M_n(F)simetrik matrisi verilsin. Eğer her _Fn

x ∈ vektörü için xTAx>0 ≥( 0)

ise A matrisi pozitif tanımlıdır (pozitif yarı-tanımlıdır PYT) denir. Eğer her x

∈

Fn vektörü için xTAx<0 ≤( 0)_{ise A matrisi negatif} tanımlıdır (negatif yarı-tanımlıdır NYT) denir.

A matrisinin PYT olması için gerek ve yeter şart bütün özdeğerlerinin sıfır veya pozitif olmasıdır. A pozitif tanımlı ise;

i) A’nın esas köşegen elemanlarının hepsi pozitiftir.

ii) i≠ jiçin 2

| | ij

ii a

a > dir.

iii) A’nın mutlak değerce en büyük elemanı esas köşegeni üzerindedir. iv) det(A) > 0 dır.

Teorem 2.5 Bir A= (aij)

∈

Mn(F) matrisinin pozitif tanımlı olması için gerek

ve yeter şart her i = 1,2,...,n için

det             ii i i i i a a a a a a a a a L M O M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 >0 olmasıdır[14].

Teorem 2.6 (Cauchy-Binet Formülü): Bir A=(aij)

∈

Mn (F) matrisi için

B=(bij)

∈

Mn,m (F) ve C= (cij)

∈

M m,n (F) olmak üzere A= BC olsun.

i) Eğer n ≤ m ise det A=

∑

≤ < < < ≤k k k m k k k T k k k n n n C B ... 1 ) ,..., , ( ) ,..., , ( 2 1 2 1 2 1 det

det dir. Burada

) ,..., , (k1k2 kn B ve (k1,k2,...,kn) T

C matrisleri, sırasıyla B ve CT _{matrislerinin k}

1, k2, ..., kn-inci

sütunlarından oluşan alt matrislerdir. ii) Eğer n>m ise det(A)=0 dır[9].

Tanım 2.14 F1=1, F2=1 ve n ≥ 3 için Fn=Fn-1+Fn-2 şeklinde tanımlanan

sayılara Fibonacci sayıları denir(Leonardo Fibonacci, 1170-1250).

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...

Fibonacci sayılarının bazı özellikleri 1) n

∈

Z+ için

∑

= + − = n i n i F F 1 2 1 , 2) n

∈

Z+için

∑

= + = n i n n i F F F 1 1 2 , 3) m,n

∈

Z+için FnFm+Fn+1Fm+1=Fm+n+1, 4) m,n,r

∈

Z+ için Fm+n-2Fm+r-1-Fm+n-1Fm+r-2=(-1)m+r-2Fn-r+1, 5) n

∈

Z+için (1 5) 2 1 , ), 5 1 ( 2 1 − = + = β α olmak üzere β α β α − − = n n n F dır.

Teorem 2.7 S={χ1,χ2,...,χn}, elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme

olsun. Bu taktirde S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi, bir n x m A matrisi 7

ile bu matrisin transpozu olan AT matrisinin çarpımı şeklinde yazılabilir (A matrisinin sıfırdan farklı olan bütün elemanları φ(d) formundadır ve d, S kümesini kapsayan bir çarpan kapalı kümenin elemanıdır.)[3].

İspat: D={d1,d2,...,dm}, S kümesini kapsayan çarpan kapalı bir küme olsun.

A=(αij) matrisi,

( )

dj φ λ₁ = ve    = halde aksi x d e_ij j i , 0 , 1 (2.1) olmak üzere 2 1 j ij ij e a = λ (2.2)

ile tanımlansın. Bu durumda A ve AT sırasıyla n ×m ve m ×ntipinde matrisler olacaklardır. Buradan AAT matrisinin ij-inci elemanı:

(

)

( ) ( )

( )

(

)

(

)

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

m k x d x d d x x ij j i k k k jk ik ij T j k i k k i j

s

x

x

d

d

d

a

a

AA

1 ,

;

φ

φ

φ

olup, (S)=AAT olduğu görülür.

Bu teorem GCD matrisinin yapısını tanımlar.

Sonuç 2.1 eij ve λj (2.1) deki gibi tanımlanmak üzere E =

( )

eij ve

(

m

)

diag λ1,λ2,...,λ

=

Λ sırasıyla, n ×m(0-1) tipinde matris ve m × tipinde köşegen m matris olmak üzere GCD matrisi

( )

_{S AA}T

(

_E

)(

_E

)

T _{E E}T

∆ = ∆ ∆ = = 12 12 olarak yazılabilir[3].

İspat: D ve S kümeleri Teorem 2.7 deki gibi olmak üzere _ET

E∆ matrisinin ij-inci elemanı;

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

∑

∑

∑

= = = = = = Λ m k x d x d d x x ij j i k k jk ik k ij T j k i k k j s x x x x e e x E E 1 1, , φ φ φ

şeklindedir. Böylece ispat tamamlanır.

Sonuç 2.2 S =

{

x1,x2,Kxn

}

çarpan kapalı bir küme ve (S), S kümesi üzerinde GCD matrisi olsun. Bu taktirde det

( )

S =φ

( ) ( ) ( )

x1 φ x2 ...φ xn dir[10].

İspat: S ={x1,x2,...,xn}çarpan kapalı olduğundan ve Teorem 2.7 den, verilen D kümesi yerine S kümesi alınabilir. ₍S₎ AAT_,A

= ve AT sırasıyla alt ve üst üçgen matrislerdir. Ayrıca her 1≤i ≤n için

( )

( )

ii

T i n x A a = φ = dir. O halde

( )

( )... ( ) ) det( ) det( ) det( ) det( 1 2 n T T _{A A x x x} AA S = = =φ φ φ bulunur.

Z. Li (1990), Belsin ve Ligh’in sonucunun (Sonuç 2.2 nin) tersinin doğru olup olmadığı üzerine ortaya koydukları bu önermeyi ispatlamış ve elemanları pozitif tamsayılar olan herhangi bir S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantını Euler’in toplam fonksiyonu cinsinden hesaplamıştır.

Teorem 2.8 x1 <x2 <...<xn ve xn+1 <xn+2 <...< xn+s olmak üzere

} ,..., , ,..., , {x1 x2 xn xn1 xn s

S = _{+ +} kümesi S ={x1,x2,...,xn}kümesini kapsayan en küçük çarpan kapalı küme olsun. Bu taktirde

∑

+ ≤ < < < ≤ = s n k k k k k k k k k n n n x x x E S ... 1 2 ) ,..., , ( 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( )... ( ) (det ) det( φ φ φ (2.3) dir. Burada, E E n k k k, ,..., ),

(1 2 matrisinin sırasıyla k1,k2,...,kn-inci sütunlarından oluşan

alt matrisidir[13].

İspat: Teorem 2.7 gereği _AAT

S =)

( dir. O halde Cauchy-Binet formülünden

∑

+ ≤ < < < ≤ = = s n k k k k k k T n n A AA S ... 1 2 ) ,..., , ( 2 1 2 1 ) (det ) det( ) det( olur. Burada

( ) ( ) ( )

(

)

1/2 ) ,..., , ( ) ,..., , ( det ... detAk₁k₂ k_n = Ek₁k₂ k_n φ xk₁ φ xk₂ φ xk_n olduğundan

( )

(

) ( ) ( ) ( )

n n n k k k s n k k k k k k x x x E S det φ φ ...φ det _{1 2} 2 1 2 1 ... 1 2 ) ,..., , (

∑

+ ≤ < < < ≤ = elde edilir.

Teorem 2.9 x1< x2 <...<xn olmak üzere S =

{

x1,x2,...,xn

}

, elemanları

pozitif tamsayılar olan bir küme ve

( )

S ,Skümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi olsun. Bu taktirde det

( )

S ≥φ

( ) ( ) ( )

x1φ x2 ...φ xn dir. Eşitliğin olması için gerek ve yeter

şart S kümesinin çarpan kapalı olmasıdır[13].

İspat: (2.3) ile verilen toplamda terimler negatif olamaz ve

(

k1,k2,...,k_n

) (

= 1,2,...,n

)

için ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) ( detE(1,2,...,n)φ x1 φ x2 φ xn =φ x1 φ x2 φ xn

dir. Çünkü burada E(1,2,...,n), köşegeni üzerindeki elemanları 1 olan bir alt üçgen matristir. O halde

( )

( ) ( )... ( )

detS ≥φ x1 φ x2 φ xn

olacağı açıktır. S kümesi çarpan kapalı ise det

( )

S =φ(x1)φ(x2)...φ(xn) olduğu Sonuç 2.2’de ispatlanmıştı. O halde Sonuç 2.2.’nin tersini göstermek ispatı tamamlayacaktır.

( )

S

det =φ(x1)φ(x2)...φ(xn) olsun. Bu kabul S kümesinin çarpan kapalı olduğunu iddia eder. S kümesinin çarpan kapalı olmadığını varsayalım. Bu durumda

S

S ≠ tir ve x_n+1∈

(

S−S

)

,S kümesinin bir elemanının bölenidir. xn+1/xr olacak

şekilde en küçük r∈{1,2,…,n} tamsayısı alınsın. E matrisinin r-inci sütunu yerine (n+1)-inci sütunu alınarak elde edilen E(1,2,...,r−1,n+1,r+1,...,n,n+1) alt matrisi ele alınsın. r

tamsayısının seçiminden bu matris ve öyleyse determinantı 1 dir. Bu durumda 1

detE(1,2,...,r−1,n+1,r+1,...,n,n+1) =m olur. O halde (2.3) ten

( )

S ≥

det φ(x₁)φ(x₂)...φ(xn)+φ(x₁)φ(x₂)...φ(xr₋₁)φ(xr₊₁)...φ(xn)φ(xn₊₁) olur ki, bu ise det(S)≥φ(x₁)φ(x₂)...φ(x_n)olması ile gelişir. Bu yüzden S =S olmalıdır. Yani, S çarpan kapalıdır.

Sonuç 2.3 GCD matrisi pozitif tanımlıdır ve tersinirdir[8].

İspat:

( )

S =

( )

sij _n×n,S ={x1,x2,...,xn}kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi ve S ={x1,x2,...,xn,xn+1,...,xn+s}kümesi, S kümesini kapsayan en küçük çarpan kapalı küme olsun. Teorem 2.8 gereği her i=1,2,…,n için

(

) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 ... det det ... 1 2 ) ,..., , ( 2 1 2 22 21 1 12 11 i n i k k k s n k k k k k k ii i i i i x x x E s s s s s s s s s φ φ φ

∑

+ ≤ < < < ≤ =             K M O M M K K 10

olur. Her +

∈ Z

x için φ

( )

x >0 olduğundan yukarıdaki toplamda her terim pozitiftir. O halde her i=1,2,…,n için

0 det 2 1 2 22 21 1 12 11 >             ii i i i i s s s s s s s s s K M O M M K K

dir. Teorem 2.5 gereği,

( )

S =

( )

sij _n×n GCD matrisi pozitif tanımlıdır.

Buna göre det

( )

S >0dır. O halde GCD matrisi tersinirdir. Belsin ve Ligh, daha önce bu sonucu

( )

_{S E E}T

Λ

= eşitliğinden hareketle aşağıdaki şekilde göstermişlerdir[3]:

Teorem 2.10 GCD matrisi pozitif tanımlıdır[3].

İspat:

( )

S =

( )

sij _n×n,S ={x1,x2,...,xn}kümesinde tanımlanan GCD matrisi olsun. x1< x2 <...< xn için Teorem 2.7 ve Sonuç 2.1 den;

( )

T

T _{E E}

AA

S = = Λ ve D

kümesi d1 = x1,d2 =x2,...,dn =xn olacak biçimde seçilebilir. Böylece E =

[

E1, E2

]

şeklinde bir blok matris olsun.

( )

E n×n

            1 * 1 0 1 O O O

şeklinde alt üçgen matristir. Dolayısıyla E, A ve _AAT

matrislerinin mertebeleri n dir. Buradan GCD matrisinin determinantı pozitiftir. O halde GCD matrisi pozitif tanımlıdır.

Teorem 2.11 S ={x1,x2,...,xn}elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olsun. Eğer S çarpan kanalı ise S üzerindeki GCD matrisinin tersi, φ ve µ sırasıyla Euler’in toplam fonksiyonu ve Möbius fonksiyonu olmak üzere ij-inci elemanı;

( )

∑

_



























=

k j k i x x x x _j k i k k ij

x

x

x

x

x

b

/ /

1

µ

µ

φ

olan B =

( )

bij matrisidir[6]. 11

İspat: E =

( )

eij ve U =

( )

uij matrisleri sırasıyla    = halde aksi x x e j i ij , 0 / , 1 ve              = halde aksi x x x x u j i j i ij , 0 / , µ

biçiminde tanımlanan nxn tipinde matrisler olsun. Bu taktirde EU çarpım matrisinin ij-inci elemanı;

(

)

∑

∑

∑

( )

=    ≠ = =         = n k x x x x x x x k j k kj ik ij k j k i j i k j i j i x x x u e EU 1 / / 0, , 1 µ µ

dir. O halde _{U = E}−1_{dir. Eğer ( ( ), ( ),..., ( ))} 2

1 x xn

x

diag φ φ φ

=

Λ ise Sonuç 2.1 den

GCD matrisi

( )

_{S E E}T

Λ

= olarak yazılabilir. Buradan GCD matrisinin tersi

( )

1 ( ) 1 1 ( ) ij T T _{U U b} E E S − = ∆ − = Λ− = olur. Burada

(

)

( )

_            = Λ =

∑

= − j k n k i k k ij T ij x x x x x U U b µ µ φ 1 1 1

dir. Böylece ispat tamamlanır.

Lemma 2.1 m ve r pozitif tamsayılar ve

(

m r

)

r t , = olsun. Eğer k a k a a _{p p} p m 1 2... 2 1

= birbirinden farklı p_i asallarının çarpımı ise;

(

)

[

]

(

)

( ) (

)

∑

   _{≤ ≤} = = m d a i halde aksi r m m k i r p d m r d r m i , , 1 , / , 0 , , φ µ ψ elde edilir[6].

Teorem 2.12 S ={x1,x2,...,xn}birbirinden farklı olan pozitif tamsayılar kümesi olsun. S çarpan kapalı ise [S] LCM matrisi, bir integral matris ile (S) GCD matrisinin çarpımıdır[6]. İspat:

( )

( )

(

)

[

]

(

)

∑

∑

= k j x x k j k k ij x x d x x d x b µ µ φ 1 olmak üzereB =

( )

bij nxn

matrisi olsun. Lemma 2.1 den her bir bij tamsayıdır. [ ]S =B

( )

S olduğunu göstermek

istiyoruz. Teorem 2.11 den

[ ]( )

(

)

[

]

( )

(

)

(

)

( )

(

)

[

] (

)

∑

∑

∑

∑

= − = = n m x x x x x x dx k i j k k j k m k k m i ij k j k m j k k d x x d x x x x x x x x x x S S 1 1 , , , 1 , , 1 , µ µ φ µ µ φ

elde edilir. Dolayısıyla [ ]S =B

( )

S dir. Ayrıca GCD ve LCM matrisleri simetrik olduğundan

( )

[ ]

_{S B}T

S = dir.

S çarpan kapalı değilse [S] LCM matrisi, (S) OBEB matrisi ile bir integral matrisin çarpımı olmayabilir.

Belsin ve Ligh (1992), GCD kapalı S ={x1,x2,...,xn}kümesi üzerinde GCD matrisinin determinantını genişletmişlerdir.

Teorem 2.13 S ={x₁,x₂,...,x_n}birbirinden farklı olan pozitif tamsayılar kümesi olsun. ,

∑

= k j k i x x x x _k jk ik ij b c c a

∑

( )

<< = i i i ji x x d x d i d b φ ve

∑

( )

< ≤ = j i j i j i x x x dx dx dx ij d c µ

olmak üzere S, GCD kapalı bir küme ise S’de tanımlı GCD matrisinin tersi A =

( )

aij

matrisidir[6].

Teorem 2.14 S ={x1,x2,...,xn} birbirinden farklı pozitif tamsayılar kümesi olsun. S, GCD kapalı bir küme ise

( )

_∏

∑

( )

= = = n i x x x d x d i i i j i j i d g a a x S 1 2 , det dır[6].

İspat: S üzerinde tanımlı LCM matrisinin determinantı S’nin elemanlarından bağımsız olduğundan x₁< x₂ <...<x_n olduğunu varsayalım.D=diag

(

x1,x2,...,xn

)

ve ∆ =

( )

δij _n×n matrisi    = halde aksi x x a_{ij i j} ij , 0 , δ

şeklinde tanımlansın. Eğer E matrisi Teorem 2.11 deki gibi ise

(

)

( )

∑

∑

= = = ∆ n k x x x k j i kj ik j i ij j i k a x x e x x D DE 1 , δ dir.

Beslin ve Ligh’e göre

( ) (

∑

)

( )

∑

= j i j i k x x d x x x k g d a , ,

dir. Möbius yerdeğiştirme

formülünden

( )

m d g m d 1 =

∑

dir. Dolayısıyla

[ ]

S =DEADdir. Buradan

∏

= = n i i ia x S 1 2 )

det( elde edilir.

Teorem 2.15 S ={x1,x2,...,xn} birbirinden farklı pozitif tamsayılar kümesi olsun. S çarpan kapalı ise, S üzerinde tanımlanan [S], LCM matrisinin tersi

( )

(

)

(

)

∑

= k j k i x x x x j k i k k j i ij x x x x x g x x b 1 1 µ µ

olmak üzere B =

( )

bij matrisidir[6].

İspat: D=diag

(

x1,x2,...,xn

)

olsun. [4, Teorem 2] den

[ ]

S DAA D T = dir. Burada A=(aij)n×n matrisi;

( )

   = halde aksi x x x g a j j i ij , 0 ,

şeklindeki aij lerden oluşur.

Eğer E Teorem 2.11 deki matris ve diag

(

g

( ) ( )

x1 ,g x2 ,...,g

( )

x_n

)

ise

(

)(

)

T T

T _{E E E E}

AA = ∆12 ∆12 = ∆ dir. Dolayısıyla eğer U , Teorem 2.11 deki matris ise

( )

(

)

(

)

∑

= k j k i x x x x _k k i k j j i ij x x x x x g x x b 1 1 µ µ olmak üzere

[ ]

( )

ij T _{UD b} U D S −1 = −1 ∆−1 −1=

dir. Böylece ispat tamamlanır.

Ancak S kümesinin çarpan kapalı olmadığı durumlarda; (S)-1 matrisinin elemanlarının, bazı aritmetik fonksiyonlar cinsinden yazılması halen bir problemdir.

Belsin ve Ligh (1992), çalışmalarında bir kümenin en büyük ortak bölen kapalı olması özelliğini vererek, GCD matrisinin determinantını farklı bir yoldan hesaplamışlardır.

Teorem 2.16 x1< x2 <...<xm ve y1< y2 <...< yn olmak üzere

{

x x xm

}

S = 1, 2,..., elemanları pozitif tamsayılar olan bir S =

{

y1,y2,...,yn

}

kümesini

kapsayan en büyük ortak bölen kapalı, en dar küme olsun. O taktirde (S) , GCD matrisi n x m tipinde bir A matrisi ile A matrisinin transpozuna karşılık gelen (0-1) C matrisinin çarpımı şeklinde kyazılabilir[5].

İspat: A =

( )

aij matrisi ve A matrisinin transpozuna karşılık gelen

( )

(

0 −1

)

= c_ij C matrisi sırasıyla

( )

   = halde aksi y x x B a ij j i ij , 0 , ve    = halde aksi y x c i j ij , 0 , 1

ile verilsin. O halde AC çarpım matrisinin ij-inci elemanı;

(

)

∑

∑

( )

(

)

= = = = n k y x y x j i k kj ik ij j k i k y y x B c a AC 1 ,

olur. Böylece ispat tamamlanır.

Sonuç 2.4 Elemanları pozitif tamsayılar olan S ={x₁,x₂,...,x_n}kümesi en büyük ortak bölen kapalı ise det(S =) B(x1)B(x2)...B(xn)dir[5].

İspat: S kümesi en büyük ortak bölen kapalı olduğundan Teorem 2.16 da verilen A ve C matrisleri sırasıyla, köşegeni

(

B(x1)B(x2)...B(xn)

)

olan bir n x n alt üçgen matris ve köşegeni (1,1,…,1) olan n x n üst üçgen (0-1) matrisi olacaktır. Sonuç olarak;

( )

S =det

(

AC

)

=detAdetC=

det B(x₁)B(x₂)...B(x_n)

dır. S =

{

x1,x2,...,xm

}

, elemanları pozitif tam sayılar olan bir S =

{

y1,y2,...,yn

}

kümesini kapsayan en büyük ortak bölen kapalı, en dar küme olmak üzere Teorem 2.10 da verilen A =

( )

aij matrisinin ij-inci elemanı,

   = halde aksi y x e j i ij , 0 , 1 15

olmak üzere a =ij eijB

( )

xij olarak yazılabilir. E, ij- inci elemanı eij olan n x m bir

matris olsun. Öyleyse _ET

C = dir. Ayrıca Λ , köşegeni

(

B(x1)B(x2)...B(xn)

)

olan m x m olan bir köşegen matris ise (S) GCD matrisi,

( )

_{S AC E E}T

Λ =

= olarak

yazılabilir. Şimdik1,k2,...,k_n; 1≤k1 <k2 <...<k_n ≤m olacak şekilde farklı pozitif tamsayılar ve E_{( )} E

n

k k

k1, 2,..., , matrisinin k1,k2,...,kn-inci sütunlarından oluşan alt

matrisini göstersin. Aynı şekilde _{( )} n

k k k

A _{1, 2,...,} matrisi de tanımlansın. Buradan

( ) ( )

( )

(

B xk B xk B xkn

)

diag ₁ , ₂ ,..., = Λ ise (k k kn) A _{1, 2,...,} = _{( )}Λ n k k k E _{1, 2,...,} olduğundan = n k k k A_{1, 2,...,} det B

( ) ( )

x_k1 ,B x_k2 ,...,B

( )

x_kn detE_k1,k2,...,kn yazılabileceği açıktır.

Teorem 2.17 Sve S kümeleri Teorem 2.16 daki gibi olsun. (S) matrisi, S kümesi üzerinde bir GCD matrisi ise; E₍k1,k2,...,k_n), E matrisinin k1,k2,...,kn-inci

sütunlarından oluşan alt matrisi olmak üzere

( )

∑

(

_{( )}

)

≤ < < < ≤ = m k k k k k k n n E S ... 1 2 ,..., , 2 1 2 1 det det B

( ) ( )

xk1 ,B xk2 ,...,B

( )

xk_n dir[5].

İspat: Teorem 2.16 dan (S)=AC dir. Bu eşitliğe Cauchy- Binet formülü uygulanarak,

( )

S =det

(

AC

)

= det

( )

∑

_{( ) ( )} ≤ < < < ≤ = m k k k k k k k k k n n n E A S ... 1 ,..., , ,..., , 2 1 2 1 2 1 det det det

elde edilir. Burada (2.4) eşitliği yerine yazılırsa,

( )

∑

(

_{( )}

)

≤ < < < ≤ = m k k k k k k n n E S ... 1 2 ,..., , 2 1 2 1 det

det B

( ) ( )

x_k1 ,B x_k2 ,...,B

( )

x_kn olur. Böylece ispat tamamlanır.

Sonuç 2.5 S ={x1,x2,...,xn}çarpan kapalı bir küme olsun.

[ ]

S , S üzerinde tanımlı LCM matrisi olsun.

[ ]

( ) ( )

i

n i i x x S

_∏

π φ = = 1 det dir[10]. 16

Tanım 2.15 a₁,a₂,...,a_2n−1∈Cve Hn =

( )

aij _n×n kare matris olsun. H’ ın

(i,j)-inci elemanı aij =ai+j−1 ise

            = − + + 1 2 1 1 3 2 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a H M O M M n

H matrisine Hankel matrisi denir.

Tanım 2.16 1 1 − + = j i

a_ij olmak üzere A =

( )

a_ij matrisine Hilbert matrisi denir.

Tanım 2.17 ij-inci elemanı

( )

ij j i s_ij = , olan

[ ]

( )

(

+

)

× ∈ = s i j Z S n n ij ,

matrisine hemen hemen Hilbert- Smith matrisi denir[8].

Teorem 2.18 S =

( )

sij _n×n Hilbert-Smith matrisi olsun.A=

( )

aij _n×n matrisi

( )

    = halde aksi i j i j a_ij , 0 / , φ

şeklinde tanımlı ise

[ ]

_AAT

S = dir[8].

İspat: _AAT _{çarpım matrisinin ij-inci elemanı olmak üzere,}

(

)

=

∑

=

∑

( )

( )

=

∑

( ) ( )

= = =1 /(, ) / / , 1 j i k ij n k j k i k jk ik ij T s ij j i k ij j k i k a a

AA φ φ φ olup böylece ispat

tamamlanır.

Sonuç 2.6 S, n x n hemen hemen Hilbert-Smith matrisi ise,

( )

n

( ) ( ) ( )

n A A S T _{φ1φ 2...φ} ! 1 det det det = = ₂ dir[8].

Sonuç 2.7 Hilbert-Smith matrisi pozitif tanımlıdır[8].

İspat: S, nxn hemen hemen Hilbert- Smith matrisi olmak üzere Sonuç 2.6 dan

( )

n n ij a A × = matrisi köşegeni ;

( )

( )

( )

_       n n φ φ φ ,..., 2 2 , 1 1

olan alt üçgen

matristir.O halde

( ) ( ) ( )

[

]

1/2 ... 2 1 ! 1 det n n A= φ φ φ

ve 1≤i ≤n için φ

( )

i >0 olur. Teorem 2.5 den det

( )

A >0 olduğundan S, AAT ve A matrislerinin mertebeleri n dir. Buradan S pozitif tanımlıdır. Dolayısıyla tersinirdir.

Teorem 2.19 S=

( )

sij _n×n Hilbert-Smith matrisi olsun. S matrisinin tersi;

( )

( )

           = =

∑

j k i k k ij b B k j k i ij µ µ φ / / 1 matrisidir.[8].

Teorem 2.20 S =

{

x1,x2,...,xn

}

elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme

olsun. Eğer S çarpan kapalı ise;

[ ]

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 1 2 1 ... ... det n n x x x x x x S =φ φ φ dir [8]. 2.1 Matris Normları

Tanım 2.1.1 C kompleks ve R reel sayılar kümesi olmak üzere R Cn _→ : . fonksiyonu : i) Her _Cn x ∈ için x ≥0 dır .

(

x =0⇔x=0

)

ii) Her _{x y C}n ∈

, için x+ y ≤ x + y dir.(Üçgen eşitsizliği) iii) Her α∈C ve αx = α x dir.

şartlarını sağlıyorsa negatif olmayan x reel sayısına x vektörünün vektör normu denir.

Tanım 2.1.2 ∀A, ∈B Mm,n için . :Mm,n →R şeklinde tanımlanan

fonksiyon

1) A ≥0 ve A =0⇔A=0 dır.

2) c herhangi bir kompleks sayı olmak üzere cA = c A 3) A+B ≤ A + B

4) AB ≤ A B

şartlarını sağlıyorsa bu fonksiyona matris normu denir. (1),(2) ve (3) şartlarını sağlayan bir fonksiyona genelleştirilmiş matris normu denir.

5) Ax ≤ A x ise matris normu ile x vektör normu uygundur denir. Buradan sup, sıfırdan farklı her x vektörü için en küçük üst sınırı göstermek üzere;

x Ax A x 0 sup ≠ = normunu tanımlayalım. x x

y = alınırsa y =1 elde edilir.

1 sup = = y Ay A

ifadesine denk olur.Buna bir vektör normuyla uygun doğal norm denir. Şimdi matris norm çeşitlerini verelim.

A, m ×n mertebeli matris olmak üzere ; a) j A₁ =max

∑

= n i ij a 1

ifadesine A matrisinin sütun normu,

b) A _∞= i max

∑

= m j ij a 1

ifadesine A matrisinin satır normu,

c) A_F= 2 1 2 1 1        

∑∑

= = m i n j ij

a ifadesine A matrisinin Frobenius (veya Euclide- Schur) normu, d) A

(

AHA

)

i n i≤ λ ≤ = 1

2 max ifadesine A matrisinin spektral normu

( )

(

_H T

)

A A = , e) A _p= p m i n j p ij a 1 1 1        

∑∑

= =

(1< p<∞) ifadesine A matrisinin lp normu

denir.

(e)’de p=1 ise sütun, p=2 ise Frobenius, p =∞ ise satır normu olur. A=

( )

aij _m×n

matrisinin bütün satırlarının ve sütunlarının Euclides (Frobenius) uzunlukları

( )

( 1,2,..., ) 1 2 m i a A r n j ij i =

∑

= = ve ( ) ( 1,2,..., ) 1 2 n j a A c m i ij j =

∑

= = şeklinde gösterilir.

2.2 Matris Normları Arasındaki Bağıntılar

A, m × ü mertebeli matris olmak üzere, A matrisinin nrmları arasında n aşağıdaki bağıntılar vardır:

1) A₂ A n A₂ F ≤ ≤ 2) A_∆ ≤ A ₂ ≤ mn A_{∆ ,}

(

A _∆ =maxaij

)

3) A₂ ≤ A₁ A _∞ 4) n 1 ∞ ∞ ≤ A ≤ m A A ₂ 5) m 1 1 2 1 A n A A ≤ ≤ Tanım 2.2.1

∫

∞ − − = Γ 0 1 ) (x e ttx dt olmak üzere dx d x = Ψ )(

{

ln

[

Γ(x)

]

}

şeklinde tanımlanan fonksiyona psi (veya digamma) fonksiyonu denir.

Bir psi fonksiyonunun n. Türevine polygamma fonksiyonu denir.Yani; _n n dx d x n = Ψ( , ) _n n dx d x Psi( )=

[

]

      Γ )( ln x dx d

dir. Eğer n=0 ise ( ) ( )

{

ln

[

(x)

]

}

dx

d x Psi

x = = Γ

Ψ dir.Diğer taraftan eğer a>0, b herhangi bir sayı ve n pozitif tamsayı ise;

lim_n→∞Ψ(a,n+b)=0 olur.[17]

Tanım2.2.2 A=

( )

aij _n×n ve B=

( )

bij _n×n matrisleri için AoB=

(

aijbij

)

_n×n

şeklinde tanımlanan çarpma A ve B matrislerinin Hadamard Çarpımı denir.

Hadamard Çarpımda iki matrisin aynı mertebede olması gerekir.Çarpım, matris toplamı gibi karşılıklı elemanların çarpımıdır.Schur (1991), Hadamard Çarpım Teoremi ile ilgili AoB ₂ ≤ A ₂ B _{2 eşitsizliğini ispatlamıştır[12].}

Teorem 2.2.1 A, B ve C, m × matrisler olsun.Eğer n A₌ BoC _ise

( ) ( )

B c C r

A ₂ ≤ _{1 1} dir [16].

2.3 GCD,LCM ve Hilbert Matrislerinin Normları

Teorem 2.3.1 H hilbert matrisi olsun. 3≤ p≤∞ için

(

)

(

)

p

p p

H ≤ ς −1 1 dir[20].

İspat: lp normunun tanımından

∑

= = n s p p p s s H 1 +

∑

− = + − 1 1 n s n sp s n =

∑

= − n s1 sp 1 1 =

∑

− = + − 1 1 n s n sp s n olur.

∑

= − n s 1sp1 1 =

( )

(

2

)

! 1 − − p p

(

−2, +1

)

+

(

−1

)

Ψ p n ς p (2.7) ve

(

)

( )

(

) (

)

[

(

)

(

)

]

( )

(

)

[

(

)

(

)

]

       + − Ψ − − Ψ − − + + − Ψ − − Ψ − − − = + − − − =

∑

1 , 2 2 , 2 ! 2 1 1 , 1 2 , 1 1 2 ! 2 1 1 1 1 n p n p p n p n p p n p s n s n p p n s p (2.8)

olur.Eğern→∞ için (2.7) ve (2.8) in limitlerini alırsak (2.6) dan

( )

(

)

∑

= − →∞ ∞ → ₋ − = n s p n p n _{s p} 1 1 2! 1 lim 1 lim Ψ

(

p−2,n+1

)

+ς

(

p−1

)

=ς

(

p−1

)

ve

(

)

( )

(

) (

)

[

(

)

(

)

]

( )

(

)

[

(

)

(

)

]

       + − Ψ − − Ψ − − + + − Ψ − − Ψ − − − = + − − ∞ → − ∞ → − = ∞ →

∑

1 , 2 2 , 2 ! 2 1 lim 1 , 1 2 , 1 1 2 ! 2 1 lim lim 1 1 1 1 n p n p p n p n p p n p s n s n p n p n n s p n =0 21

elde ederiz. Dolayısıyla H _pp ≤ς

(

p−1

)

ve buradan

(

(

)

)

p p p H ≤ ς −1 1 olur ve ispat tamamlanır. Teorem 2.3.2 H

(

(

i j

)

)

in,j1 2 1 2 1 1 1 + − ₌ = o

, H Hilbert matrisinin Hadamard karekökü olsun.Bu takdirde

(

₁

)

12 2

(

_2ln2

)

12

≤

F

H

n o

eşitsiliği geçerlidir[20]. İspat: Frobenius normunun tanımndan

∑

∑

∑

∑

= − = − = = + − + = + − + = n s n s n s n s F _{n s} s n s n s n s s H 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ₁ o eşitliği, n n s =

∑

=1 1 ve

∑

(

) (

)

( )

(

)

− = + + − + − = + − 1 1 1 1 2 2 2 n s n n n n n s n s n ψ ψ olup

( )

(

)

(

)

[

2 2 1 1

]

2 2 1 + + − = n n H F ψ ψ o (2.9)

olur. Her iki tarafı n’e bölersek,

( )

(

)

(

)

_   + + − = n n n H n F 1 1 2 2 1 ₁₂ 2 ψ ψ o

elde ederiz. Buradan

( )

(

)

(

2 1

)

1 2ln2 2 lim =           + + − ∞ → n n n n ψ ψ olup 2 ln 2 1 2 ln 2 1 12 2 12 ≤ ⇒ ≤ F F _n H H n o o

olur. Böylelikle ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.3.3 G =

(

gcd

( )

i,j

)

n×n GCD matrisi olsun. Bu taktirde

( ) ( ) ( ) ( )

_F n _G n n 1 ... 3 2 1φ φ φ ≤ φ eşitsizliği geçerlidir[20]. İspat: Teorem [7] den

(

)

n n F H n A A A 2 det ≤ (2.10) 22

eşitsizliğini göz önüne alalım. Eğer G =

(

gcd

( )

i, j

)

n×n matrisi

( )

   = halde aksi i j j A , 0 , φ

olmak üzere, _{G = AA}T _{olup (2.8)’den}

_{( )}

(

)

n n F

T _{A n}

AA

G det 2

det = ≤ dir. Dolayısıyla

( )

G

( ) ( ) ( ) ( )

n n A n n F det φ1φ 2φ 3...φ 2 = ≥

dır[8]. Eğer _AAT_{yerine G yazılırsa}

(

)

[

(

)(

)

]

_n n F n n F T T T n G n AA AA AA GG 2 2 det det = ≤ = olup

(

)

_n n F n G G 2 2 det ≤

olacaktır. Sonuç olarak;

( ) ( ) ( ) ( )

_F n F n _G n n n G G 1 2 3... 1 det ≤ ₁₂ ⇒ φ φ φ φ ≤

elde ederiz ki, ispat tamamlanır.

Teorem 2.3.4 L=

(

lcm

( )

i,j

)

n×n bir LCM matrisi ise

( )

( ) ( ) ( ) ( )

F n L n n n 1 ... 3 2 1 ! 1 2φ φ φ φ ≤ eşitsizliği geçerlidir[20]. İspat: ij =lcm

( )

i, j gcd

( )

i,j olduğundan

( )

( )

n n n n ij j i j i lcm L × ×       =       = gcd , , 1

dir. Diğer taraftan

( )

    = halde aksi i j i j H , 0 , φ olmak üzere

( )

T n n HH ij j i =       × , gcd dir. 23

(

HHT

)

(

( )

n

)

_φ

( ) ( ) ( )

_{φ φ} n ... 2 1 ! 1

det = 2 dir [8].( 2.12) den,

( )

[

(

)(

)

]

_n n F n n F T T T n L n HH HH HH LL 2 2 det det = ≤ = n n F n L 2 ≤ elde ederiz. Sonuç olarak ;

( )

( ) ( ) ( ) ( )

F n L n n n 1 ... 3 2 1 ! 1 2φ φ φ φ ≤

olup ispat tamamlanır.

3.FM,RECIPROCAL –FM MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Tanım 3.1 i,j =1,2,…,n pozitif tamsayılar ve F(k) k, fibonacci sayısı olmak üzere,       = ) ( ). ( 1 j F i F A

şeklinde tanımlanan A, n-kare matrisine Fibonacci Multiplication (FM) matrisi denir. i,j=1,2,…,n pozitif tamsayılar ve F(k) k, fibonacci sayısı olmak üzere,

[

F(i).F(j)

]

B = şeklinde tanımlanan B, n-kare matrisi de Reciprocal-Fibonacci Multiplication matrisidir.

Teorem 3.1 A matrisi FM matrisi ise,

4 2 2,426320751 3.10 − + ≤ A dir. İspat: 25

(

)

( )

n F n F

( )

nF n _nn F n F F n F F n F n F G ×                       = ) ( 1 ) ( 1 1 10 1 5 1 5 1 ) ( ) 4 1 9 1 6 1 3 1 3 1 ) ( ) 3 ( 1 10 1 6 1 4 1 2 1 2 1 ) ( 1 5 1 3 1 2 1 1 1 ) ( 1 5 1 3 1 2 1 1 1 L L L L M M M M M M M M L M M L M L L L ve

( )

( )

n F n F

( )

n F n _{n n} F n F F n F F n F n F H ×                       = ) ( 1 ) ( 1 1 10 1 5 1 5 1 ) ( ) 4 ( 1 9 1 6 1 3 1 3 1 ) ( ) 3 ( 1 10 1 6 1 4 1 2 1 2 1 ) ( 1 5 1 3 1 2 1 1 1 1 5 1 3 1 2 1 1 1 L L L L M M M M M M M M L M M L M L L L

olarak seçersek A₌GoH _{olarak yazılabilir. Teorem 2.2.1’den A r}

( ) ( )

_{G c H}

1 1 2 ≤ olur. O halde;

(

)

(

)

∑

=       + − + = n k F k F k G r 1 2 1 1 2 1 ) ( ve

(

)

(

)

∑

=       + − + = n k F k F k H c 1 2 1 1 2 1 ) (

eşitlikleri yerine yazılarak,

( ) ( )

G c H r A ₂ ≤ _{1 1} ≤

(

)

(

)

∑

=       + − + n k 1 F k F k 2 1 2 1

(

)

(

)

∑

=       + − + n k 1 F k F k 2 1 2 1 26

(

)

(

)

∑

=       + − + ≤ n k 1 F k F k 2 1 2 1 ... 8 1 5 1 3 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 +       +       +       +       + + ≤ olur.

(

)

(

)

∑

= +       + − + ≤ 25 1 2 1 2 1 k F k F k ε bulunur. 4 10 . 3 − = ε alınırsa, 4 2 2,426320751 3.10 − + ≤ A elde edilir. (bk. Tablo 4.1)

Teorem 3.2 B matrisi Reciprocal- FM matrisi ise,

F

B →∞

dir.

İspat: B matrisi Reciprocal FM matrisi

[

]

( )

( )

( )

( )

                      = = ) ( . ) ( ). 5 ( 5 5 ) ( ). 4 ( 3 3 ) ( ). 3 ( 2 2 1 1 1 1 ) ( ). ( n F n F n F n F F n F F n F F n F n F j F i F B L L M M M M L L L L L

yazalım. Burada B matrisinin hangi satır ya da sütununu alırsak alalım sonuçlara

göre;

∑

(

)

= + − + n k k F k F 1 2 ) 1 ( ) 2

( toplamının sonsuza yakınsadığı görülür (Tablo 4.2). O halde B F →∞ bulunur.

4. NÜMERİK SONUÇLAR

Bu kısımda 3. bölümde elde edilen sonuçlar ile olması gereken gerçek sonuçlar tablolar halinde karşılaştırılmıştır.

Sonuç 4.1 A FM matrisi olsun. A₂için sınırları Tablo 4.1 ile verelim. Tablo 4.1 n 2 A

(

)

(

)

∑

= + − + n k k F k F 1 2 ) 1 ( 2 / 1 1 1 1 2 2 2 3 2.25 2.25 4 2.361111111 2.3611111111 5 2.4011111111 2.4011111111 6 2.4167361111 2.4167361111 7 2.4226532708 2.4226532708 8 2.4249208445 2.4249208445 9 2.4257858964 2.4257858964 10 2.4261164749 2.4261164749 11 2.4262427216 2.4262427216 12 2.4262909469 2.4262909469 13 2.4263093669 2.4263093669 14 2.4263164027 2.4263164027 15 2.4263190902 2.4263190902 16 2.4263201167 2.4263201167 17 2.4263205088 2.4263205088 18 2.4263206586 2.4263206586 19 2.4263207158 2.426320716 20 2.4263207376 2.4263207376 21 2.4263207460 2.4263207460 22 2.4263207491 2.4263207491 23 2.4263207504 2.4263207504 24 2.4263207508 2.4263207508 25 2.4263207510 2.4263207510 M M M 150 K K M M M 28