Kontakt-Kompleks Riemann submersiyonlar

(1)

T.C.

DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONTAKT-KOMPLEKS RİEMANN SUBMERSİYONLAR

Esra BAŞARIR NOYAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DİYARBAKIR Haziran - 2019

(2)

(3)

TEŞEKKÜR

Lisans ve yüksek lisans eğitimim boyunca bana yol gösterip destek olan, akademik bilgileri ve tecrübesi ile tezimin hazırlanmasında yardımcı olan ayrıca bana her türlü olanağı sağlayan, çok değerli hocam ve tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Yılmaz GÜNDÜZALP' e en içten duygularımla teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca her zaman yanımda olan, her türlü desteğini benden esirgemeyen değerli aileme sonsuz sevgilerimi ve teşekkürlerimi sunarım.

(4)

II İÇİNDEKİLER Sayfa TEŞEKKÜR………...………..……... I İÇİNDEKİLER………...………... II ÖZET………..…………... III ABSTRACT………...………... IV KISALTMA VE SİMGELER…………..…………... V 1. GİRİŞ………..………..……… 1 2. KAYNAK ÖZETLERİ………...………...……. 3

2.1. Temel Tanım ve Teoremler………...………... 3

3. MATERYAL VE METOT………. 9

3.1. Riemann Submersiyonları ve Temel Tensörler………..……... 9

3.2. Hemen Hemen Hermityen Manifoldlar………...…………...……... 14

3.3. Hemen Hemen Kontakt Metrik Manifoldlar...………..………. 16

4. BULGULAR VE TARTIŞMA……….……….. 21

4.1. Kontakt-Kompleks Riemann Submersiyonlar ve Özellikleri……..………….. 21

4.2. O'Neill Tensörleri ve Özellikleri...……….……….……… 26

4.3. Yapıların Transferi...……..………….…..………... 31

4.4. Hemen Hemen Kontakt- Kompleks Riemann Submersiyonlar için Eğrilik... ilişkileri... 37

5. TARTIŞMA VE SONUÇ…………....……….... 41

6. KAYNAKLAR……….………... 43

(5)

ÖZET

KONTAKT-KOMPLEKS RİEMANN SUBMERSİYONLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ

Esra BAŞARIR NOYAN DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

2019

Yüksek lisans tezi olarak hazırlanan bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmı olup, burada genel bir literatür bilgisi verilmiştir.

İkinci bölümde tez için gerekli temel tanım ve teoremler tanıtılmıştır.

Üçüncü bölümde Riemann submersiyonlar ve temel tensörler ele alınmış. Ayrıca hemen hemen Hermityen manifoldlar ve hemen hemen kontakt metrik manifoldlar incelenmiştir.

Dördüncü bölümde, önce Kontakt-kompleks Riemann submersyonları ve özellikleri verilmiştir. Daha sonra O'Neill tensörleri, yapıların transferi ve hemen hemen kontakt-kompleks Riemann submersiyonlar için eğrilik ilşkileri incelenmiştir.

Son kısımda ise tartışma ve sonuçlar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Hemen hemen Hermityen manifold, Hemen hemen kontakt metrik manifold, Kontakt-kompleks Riemann submersyonlar,.

(6)

IV ABSTRACT

CONTACT-COMPLEX RİEMANNİAN SUBMERSİONS MASTER THESIS

Esra BAŞARIR NOYAN UNIVERSITY OF DICLE

INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS

2019

This graduate thesis consist of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction section and provide a general knowladge of literature.

In the second chapter, the necessary basic definitions and theorems are introduced. In the third chapter, Riemannian submersions and basics tensors are considered. Moreover ,almost Hermitian manifolds and almost contact product manifolds were examined.

In the fourth chapter, primarily, the definitions, examples and properties of contact-complex Riemannian submersions are mentioned. Then we studied O'neill tensors, transfer of structures and curvature properties for contact-complex Riemannian submersions.

In the fifth chapter, discussions and conclusions were given.

Keywords: Almost Hermitian manifolds, Almost contact product manifolds, contact-complex Riemannian submersions.

(7)

KISALTMA VE SİMGELER

n

E : n-boyutlu Euclid Uzayı

 : Reel sayılar cümlesi

M _,B :Manifold y

T M

:Tanjant uzayı

TM

:Tanjant demet :Norm

 

,

:Lie braketi  _{:Riemann konneksiyon}

 

M

 :Vektör alanlarının uzayı

g :Metrik tensör

R :Riemann eğrilik tensörü

K :Kesit eğriliği x

V :Dikey uzay x

H :Yatay uzay

A :Yatay tensör alanı

T : Dikey tensör alanı

 :Temel-2 form

B :Bi-Kesit eğriliği

H :Holomorfik kesit eğriliği J :Hemen hemen kompleks yapı

(8)

1. G·IR·I¸S

Manifoldlardaki yap¬lar¬n teorisi Riemann geometrisi için geni¸s ve verimli bir

alana sahiptir. Manifoldlar teorisinde çe¸sitli diferansiyel geometrik yap¬lar¬n teorisi

ve baz¬yap¬larlarla uygun dönü¸sümleri tan¬mlamakt¬r. Bu dönü¸sümlerden en

önem-lisi submersiyon dönü¸sümleridir. Submersiyonlar teorisinde izometrik

immersiyon-lar¬n kar¸s¬l¬¼g¬olarak Riemann submersiyonlar,O’Neill taraf¬ndan 1966 y¬l¬nda

tan¬m-land¬ (O’Neill 1966). O’Neill makalesinde, iki tane tensör alan¬ tan¬mlad¬ ve bun-lar¬n temel özelliklerini inceledi. Bu temel tensörler O’Neill tensörleri olarak ad-land¬r¬l¬p Riemann submersiyonlar için önemli araçlard¬r. Ayr¬ca bu tezde

man-ifoldlar aras¬ndaki submersiyondan yararlan¬larak,manman-ifoldlar¬n e¼grilikleri

incelen-mi¸stir. O’Neill in makalesinden sonra bu konu üzerine birçok makale yay¬nlanm¬¸st¬r.

Böylece Riemann submersiyonlar¬n diferansiyel geometride geni¸s bir alana sahip

oldu¼gu gösterildi. Bu konu ile ilgili sonuçlar Falcitelli, Ianus ve Pastore taraf¬ndan

derlendi(Falcitelli,Ianus ve Pastore 2004).

Chinea kontakt submersiyonlar¬n geometrisini ve bu tür dönü¸sümlerin baz

man-ifoldu üzerindeki hemen hemen kontakt yap¬ya etkisini inceledi. Watson 3-kontakt yap¬lar için benzer tan¬m¬ göz önüne ald¬ ve bu tür submersiyonlar¬n geometrisini inceledi(Watson 1984).

1930 y¬l¬nda Schouten ve Dantzng’¬n Riemann manifoldlar¬için buldu¼gu sonuçlar¬

Hermit denilen uzaya ta¸s¬mas¬yla kompleks manifoldlarla ilgili çal¬¸smalar ba¸slar.

Bu tezde kontakt-kompleks Riemann submersiyonlar çal¬¸s¬ld¬. Hemen hemen

kontakt metrik manifolddan hemen hemen hermityen manifolda bir holomor…k dönü¸süm

tan¬mland¬. Bu dönü¸süm kullan¬larak hemen hemen kontakt-kompleks Riemann

submersiyon tan¬mlanm¬¸st¬r.

(M1; g1; '; ; )hemen hemen kontakt metrik manifold ve (M2; J; g2)hemen hemen

Hermityen manifold olsun.

F : M1 ! M2

dönü¸sümü için

F ' = J F

¸sart¬sa¼glan¬yorsa F ye ('; J ) holomor…k dönü¸süm denir.

(M1; g1; '; ; )hemen hemen kontakt metrik manifold ve (M2; J; g2)hemen hemen

(9)

1. G·IR·I¸S

F : M1 ! M2

dönü¸sümü verilsin.

(i) F bir Riemann submersiyonudur.

(ii) F ' = J F

¸sartlar¬sa¼glan¬yorsa F ye bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon denir

(Fal-citelli ve ark. 2004).

Bu çal¬¸smalardan yararlan¬larak kontakt-kompleks Riemann submersiyonlar,O’Neill

tensörleri,yap¬lar aras¬nda transferler ve hemen hemen kontakt-kompleks Riemann submersiyonlar için e¼grilik ili¸skileri incelenmi¸stir.

(10)

2.KAYNAK ÖZETLER·I

Bu bölümde di¼ger bölümlerde kulan¬lacak olan temel tan¬m ve teoremler

verile-cektir.

2.1. Temel Tan¬m ve Teoremler

Tan¬m 2.1.1. En _{üzerinde bir f : E}n

! R reel fonksiyonu verilmi¸s oldu¼gunu

varsayal¬m. W 2 En için

lim

t!0

f (y + tW ) f (y)

t

limiti mevcut ise bu limit de¼_{gerine f 0nin y 2 E}n _{noktas¬nda ve W yönündeki}

türevi denir. Bu türev

Wy[f ] = df (Wy) =

d

dt (f (y + tW ))jt=0 ¸seklinde gösterilir (Hac¬saliho¼glu 1982).

Tan¬m 2.1.2. M1 bir manifold ve y 2 M1 olsun.

C1(M1 ; R) =ffjf : W ! R; f 2 C1(W )g

cümlesini ele alal¬m. Bir

W y : C1(M1; R)! R f _{! W}y[f ] = n X i=1 wijy df dxij y

dönü¸_{sümü için a; b 2 R; 8f; g 2 C}1(M1; R) olmak üzere

1) Wy(af + bg) = aWy[f ] + bWy[g]

2) Wy(f g) = Wy[f ] g (y) + f (y) Wy[g]

özellikleri sa¼glan¬yorsa Wy fonksiyonuna M1nin y noktas¬ndaki tanjant vektörü

denir. M1 manifoldunun bir y 2 M1 noktas¬ndaki tanjant vektörlerinin cümlesini

TyM1 =fWyjWy: C1(M1; R) ! Rg

(11)

2. KAYNAK ÖZETLER·I (+) : TyM1 TyM1 ! TyM1 (Wy; Uy) ! Wy + Uy: C1(M1; R)! R (Wy + Uy) [f ] = Wy[f ] + Uy[f ] ve (:) : R TyM1 ! TyM1 (a; Wy) ! aWy: C1(M1; R) ! R (aWy) [f ] = aWy[f ] ; 8f 2 C1(M1; R)

i¸slemlerine göre R üzerinde vektör uzay¬ olur. Bu uzaya M1 nin y noktas¬ndaki

tanjant uzay¬denir (Hac¬saliho¼glu 1982).

Tan¬m 2.1.3. M1 diferansiyellenebilir bir manifold oldu¼gunu varsayal¬m. Her

y_{2 M}1noktas¬na Xy 2 TyM1tanjant vektörünü kar¸s¬l¬k getiren dönü¸sümüne vektör

alan¬denir.

T M1 =

[

y2M

TyM1

tanjant demeti olsun.

X : M1 ! T M1

y _{! X}y

dönü¸sümüne bir vektör alan¬ad¬verilir. Bu durumda

Xy = n X i=1 ai(y) @ @xi y (Xf ) = n X i=1 ai @f @xi

dir. Dolay¬s¬yla X vektör alan¬ M1 üzerindeki diferansiyellenebilir fonksiyonlar¬n

(12)

X vektör alan¬na da diferansiyellenebilirdirdenir (Do Carmo 1992).

Tan¬m 2.1.4. M1 ve M2 manifoldlar¬aras¬nda bir

: M1 ! M2

C1 _dönü¸_{sümünün türev dönü¸}_sümü

d : (M1)! (M2)

biçiminde gösterilir. Bu dönü¸_{süm her y 2 M noktas¬nda}

( )_y = d y: TyM1 ! T (y)M2

lineer dönü¸sümünü verir ve buna da nin y noktas¬ndaki türev dönü¸sümü

denir (Do Carmo 1992).

Tan¬m 2.1.5. M1; M2 diferansiyellenebilir iki manifold ve F : M1 ! M2

türevlenebilir bir dönü¸süm oldu¼gunu varsayal¬m. M1 üzerindeki vektör alan¬ E;

M2 üzerindeki vektör alan¬G olacak ¸sekilde p 2 M1 için

F (Ep) = GF (p)

oluyorsa E ve G; F ba¼gl¬d¬r denir (O’Neill 1983).

Tan¬m 2.1.6. W1 ve W2, M1 manifoldu üzerinde iki vektör alan¬ oldu¼gunu

varsayal¬m. f 2 C1(M1) fonksiyonunu alal¬m.

[; ] : (M1) (M1)! (M1)

[W1; W2] f = W1(W2f ) W2(W1f ) (2.1.1)

ile tan¬mlanan [‚] fonksiyonuna W1 ve W2 nin Lie (parantez) operatörü denir ve

bu operatör a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼_{glar. f; g 2 C}1_(M

1) ve W1; W2; W3 2 (M1)

olmak üzere;

(i) [W1; W2] = [W2; W1]

(ii) [aW1+ bW2; W3] = a [W1; W3] + b [W2; W3] 8a,b 2 R

(13)

2. KAYNAK ÖZETLER·I

(iv) [f W1; gW2] = f g [W1; W2] + f (W1g) W2 g (W2f ) W1

d¬r (Do Carmo 1992).

Tan¬m 2.1.7. M1 bir diferansiyellenebilir manifold ve manifold üzerindeki

diferansiyellenebilir vektör alanlar¬n¬n kümesi (M1) olsun. W1; W2; W3 2 (M1)

ve a; b 2 R ve g : (M1) (M1)! C1(M1) olmak üzere 1) g (W1; W2) = g (W2; W1) ; 2) g (W1; W1) 0;8W1 için g (W1; W1) = 0 () W1 = 0; 3) Bilineer; g (aW1+ bW2; W3) = ag (W1; W3) + bg (W2; W3) g (W1; aW2+ bW3) = ag (W1; W2) + bg (W1; W3)

¸sartlar¬ sa¼glan¬yorsa g dönü¸sümü Riemann metri¼gi (veya metrik tensör) ve

(M1; g) ikilisi de Riemann manifoldu olarak adland¬r¬l¬r (Gundmundson 2006).

Tan¬m 2.1.8. M1 diferansiyellenebilir bir manifold oldu¼gunu varsayal¬m. M1

üzerinde vektör alanlar¬n¬n uzay¬ (M1),8f 2 C1(M1) ve W1; W2; W3 2 (M1)

olmak üzere;

(i) rW1+W2W3 =rW1W3+rW2W3 (ii) rW1(W2+ W3) = rW1W2+rW1W3 (iii) rf W1W2 = frW1W2

(iv) rW1(f W2) = W1[f ] W2+ frW1W2

özellikleri sa¼_{glan¬yorsa r, M}1 manifoldu üzerinde bir a…n konneksiyonudur

denir (Do Carmo 1992).

Tan¬m 2.1.9. M1n boyutlubir diferansiyellenebilir manifold ve M1üzerindeki

konneksiyon r oldu¼gunu varsayal¬m. Böylece

T : (M1) (M1)! (M1)

(14)

olarak tan¬mlanan vektör de¼gerli tensöre M1 üzerinde tan¬ml¬r konneksiyonun

tor-siyon tensörü denir (Hac¬saliho¼glu 1982).

Tan¬m 2.1.10. (M1; g)n-boyutlu bir diferansiyellenebilir manifold olsun. 8W1; W2; W3 2

(M1) için

1) [W1; W2] =rW1W2 rW2W1

2) W1g (W2; W3) = g (rW1W2; W3) + g (W2;rW1W3)

¸sartlar¬sa¼_{glan¬yorsa r konneksiyonuna M}1 manifoldu üzerinde Riemann

kon-neksiyonu, Levi-Civita konneksiyonu veya metrik konneksiyon denir. M1

üzerinde bir Levi-Civita konneksiyonu;

2g (_rW1W2; W3) = W1(g (W2; W3)) + W2(g (W3; W1)) W3(g (W1; W2)) g (W1; [W2; W3])

+g (W2; [W3; W1]) + g (W3; [W1; W2]) (2.1.3)

Kozsul e¸sitli¼gi ile görülür (O’Neill 1983).

Tan¬m 2.1.11. M1 bir Riemann manifoldu, g de M1 nin Riemann metri¼gi

ve r; M1 üzerinde bir Riemann konneksiyon oldu¼gunu varsayal¬m. 8W1; W2; W3 2

(M1) için

R : (M1) (M1) (M1)! (M1)

(W1; W2; W3)! R (W1; W2; W3) = R (W1; W2) W3 (2.1.4)

R (W1; W2) W3 =rW1rW2W3 rW2rW1W3 r[W1;W2]W3 (2.1.5)

olarak tan¬mlanan R tensör alan¬na r konneksiyonunun e¼grilik tensörü denir

(Gundmundson 2006).

Tan¬m 2.1.12. n boyutlu diferansiyellenebilir bir manifold M1 ve bu

man-ifold üzerindeki r konneksiyonunun torsiyon tensörü T olsun. E¼ger T = 0 ise r

(15)

2. KAYNAK ÖZETLER·I

Tan¬m 2.1.13. (M1; g)bir Riemann manifoldu olsun. Bu durumda

K : (M1) (M1) (M1) (M1)! C1(M1)

(W1; W2; W3; W4)! K (W1; W2; W3; W4) = g (R (W1; W2) W3; W4)

olarak tan¬mlanan 4.mertebeden kovaryant tensöre M1üzerinde Riemann

Christof-fel e¼grilik tensörü denir (Hac¬saliho¼gllu 1982).

Önerme 2.1.1. (M1; g) bir Riemann manifoldu ve r; M1 üzerinde Riemann

konneksiyon olsun. Bu durumda 8W1; W2; W3; W4 2 (M1) için

(i) R (W1; W2) W3+ R (W2; W3) W1+ R (W3; W1) W2 = 0

(ii) R (W1; W2) W3 = R (W2; W1) W3

(iii) g (R (W1; W2) W3; W4) = g (R (W1; W2) W4; W3)

(iv) g (R (W1; W2) W3; W4) = g (R (W3; W4) W1; W2)

e¸sitlikleri sa¼glan¬r (O’Neill 1983).

Önerme 2.1.2. (M1; g) bir Riemann manifoldu ve r; M1 üzerinde Riemann

konneksiyon olsun. Bu durumda 8W1; W2; W3; W4 2 (M1) için

(i) K (W1; W2; W3; W4) + K (W2; W3; W1; W4) + K (W3; W1; W2; W4) = 0

(ii) K (W1; W2; W3; W4) = K (W2; W3; W1; W4)

(iii) K (W1; W2; W3; W4) = K (W1; W2; W4; W3)

(iv) K (W1; W2; W3; W4) = K (W3; W4; W1; W2)

özellikleri sa¼glan¬r (Hac¬saliho¼glu 1982).

Tan¬m 2.1.14. (M1; g)iklisi bir Riemann manifoldu ve bir y 2 M noktas¬ndaki

tanjant uzay¬n¬n iki boyutlu bir altuzay¬n¬n Y oldu¼gunu varsayal¬m. Y nin bir baz¬

fW1; W2g olmak üzere K (Y ) = g (R (W1; W2) W2; W1) kW1k 2 kW2k 2 g (W1; W2) 2 = K (W1; W2; W1; W2) kW1k2kW2k2 g (W1; W2)2

olarak ifade edilen K (Y ) reel say¬s¬na Y nin kesit e¼grili¼gidenir (Gundmundson

(16)

3. MATERYAL VE METOT

Bu bölüm, üç alt bölüme ayr¬lm¬¸st¬r. Birinci alt bölümde Riemann

submersiyon-lar¬ve temel tensörlere yer verilmi¸stir. ·Ikinci alt bölümde hemen hemen Hermityen

manifoldlar ve üçüncü alt bölümde de hemen hemen kontakt metrik manifoldlara de¼ginilmi¸stir.

3 .1. Riemann Submersiyonlar¬ve Temel Tensörler

Tan¬m 3.1.1. (M1; g1) ve (M2; g2), s¬ras¬yla m ve n boyutlu Riemann

manifold-lar¬olsun.

: (M1; g1)! (M2; g2)

örten bir C1 _dönü¸_{sümü için}

rank x = boyM2

oluyorsa _{ye x 2 M}1 noktas¬nda bir submersiyon denir. 8x 2 M1 için bir

submersiyon ise yeM1 üzerinde bir submersiyondenir (Falc¬tell¬ve ark. 2004).

Tan¬m 3.1.2. (M1; g1) ve (M2; g2), s¬ras¬yla m ve n boyutlu Riemann

manifold-lar¬olsun. : (M1; g1)! (M2; g2) bir C1 _dönü¸_{sümü olsun. y 2 M} 1 için Vy = Vy( ) = Ker y =fY 2 TyM1j (Y ) = 0g TyM1 ve Hy = Hy( ) = Vy? TyM1

olarak tan¬mlayal¬m. Vy uzay¬na nin y noktas¬ndaki dikey uzay¬ denir. M1

deki g1 metri¼gine göre Vy dikey uzay¬n¬n dik tümleyeni olan Hy uzay¬na ise nin y

noktas¬ndaki yatay uzay¬denir. Böylece

(17)

ortogonal ayr¬¸s¬m¬yaz¬labilir (Baird and Wood 2007).

Tan¬m 3.1 3. M1 n boyutlu bir manifold olsun. M1 üzerinde

W : M1 ! TyM1

y _{! V}y TyM1

ile tan¬mlanan W dönü¸sümüne bir distribüsyondenir.

X ₂ (M1) için p 2 M1 olacak ¸sekilde Xp 2 Wp oluyorsa X vektör alan¬ W

ya aittir denir. E¼ger her p noktas¬ için W ye ait q tane diferansiyellenebilir lineer

ba¼g¬ms¬z vektör alan¬mevcut ise W ya diferansiyellenebilirdir denir (¸Sahin 1996).

Tan¬m 3.1.4. (M1; g1) ve (M2; g2)Riemann manifoldlar¬ve

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir C1 _dönü¸_{sümü olsun. Her y 2 M}

1 ve Vy; Wy 2 TyM1 için

g1(Vy; Wy) = g2( (Vy) ; (Wy))

oluyorsa ye M1 den M2 ye bir izometri denir.

Bu tan¬mda nin izometri olmas¬durumunda dönü¸sümü TyM1 ile T (y)M2

uzaylar¬ndaki iç çarp¬mlar¬korur. Yani dönü¸sümü Vy ve (Vy) tanjant

vektör-lerinin uzunluklar¬n¬da korur (Hac¬saliho¼glu 2003).

Tan¬m 3.1.5. (M1; g1) ve (M2; g2)Riemann manifoldlar¬olsun.

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir C1- submersiyonu a¸sa¼g¬daki özelliklere sahip ise ye bir Riemann

submer-siyonu denir.

(i) dönü¸sümü maksimal ranka sahiptir.

(ii) Her p 2 M1 noktas¬nda p dönü¸sümü yatay vektörlerinin uzunlu¼gunu korur.

Yani

(18)

d¬r. Bu da bir p 2 M1 noktas¬nda türev dönü¸sümünün Hp yatay uzay¬ndan

T (p)M2 üzerine bir lineer izometri oldu¼gunu gösterir (O’Neill ,Falcitelli 1966,2004).

Önerme 3.1.1. (M1; g1) ve (M2; g2) Riemann manifoldlar¬olsun.

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir Riemann submersiyonu r ve r0 s¬ras¬yla M1 ve M2 nin Levi-Civita

konneksiy-onlar¬oldu¼gunu varsayal¬m. M1 üzerindeki W1 ve W2 temel vektör alanlar¬W

0

1, W

0

2

vektör alanlar¬na ba¼gl¬olsun. Buna göre

(i) g1(W1; W2) = g2 W

0

1; W

0

2

(ii) h [W1; W2] temel vektör alan¬, W

0

1; W

0

2 vektör alan¬na ba¼gl¬d¬r.

(iii) h (rW1W2) temel vektör alan¬ve r 0

W₁0W

0

2 ba¼gl¬d¬r.

(iv) Herhangi bir W3 2 v(M1) için [W1; W3] dikey vektör alan¬d¬r (Falcitelli ve

ark. 2004).

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir Riemann submersiyon olsun. Buradan E; F 2 (M1) için (1; 2) mertebeli T

temel tensör alan¬

T (E; F ) = TEF = hrvEvF + vrvEhF

¸seklinde tan¬mlan¬r (O’Neill 1966).

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir Riemann submersiyon olsun. E; F 2 (M1)için (1; 2) mertebeli A temel tensör

alan¬

A (E; F ) = AEF = vrhEhF + hrhEvF

(19)

Lemma 3.1.1. (M1; g1) ve (M2; g2)Riemann manifoldlar¬olsun.

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir Riemann submersiyon olsun. TE ve AE anti-simetrik operatörler olsun. Buradan

X; Y; Z _{2 (M}1) için

g1(TXY; Z) = g1(TXZ; Y ) (3.1.1)

g1(AXY; Z) = g1(AXZ; Y ) (3.1.2)

d¬r (Falcitelli ve ark. 2004).

Önerme 3.1.2. (M1; g1) ve (M2; g2)Riemann manifoldlar¬olsun.

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir Riemann submersiyon olsun. T ve A tensör alanlar¬a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼glar:

(i) TVW = TWV; U; W 2 v(M1)

(ii) AVW = AWV; V; W 2 h(M1)

(iii) AVW = 1₂v [X; Y ] ; V; W 2 h(M1)

d¬r (O’Neill 1966).

Lemma 3.1.2. (M1; g1) ve (M2; g2)Riemann manifoldlar¬olsun.

(M1; g1)! (M2; g2)

bir Riemann submersiyon olacak ¸sekilde X ve Y yatay vektör alanlar¬, V ve W dikey

vektör alanlar¬için;

(i) rVW = TVW +

^

rVW

(ii) rVX = TVX + hrVX

(iii) AXV = hrVX = hrXV; X temel oldu¼gunda

(iv) rXV = AXV + vrXV

(v) rXY = AXY + hrXY

d¬r (O’Neill 1966).

Teorem 3.1.1. (M1; g1) ve (M2; g2)Riemann manifoldlar¬olsun.

(20)

bir Riemann submersiyon olsun. (M1; g1) üzerindeki yatay distribüsyonu H olsun.

Buradan H yatay distribüsyonunun integrallenebilir olmas¬için gerek ve yeter ¸sart

A = 0olmas¬d¬r (O’Neill 1966).

Teorem 3.1.2. (M1; g1) ve (M2; g2) Riemann manifoldlar¬olsun.

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir Riemann submersiyon olsun. R; R0 ve R^ s¬ras¬yla M; B ve 1_{(x) ;}_g^

x li…nin

Riemann e¼grilik tensörleri oldu¼_{gunu varsayal¬m. Bu durumda herhangi bir X; Y; Z; H 2}

h_(M 1) ve U; V; F; W 2 v(M1) için R (U; V; W; F ) = ^ R (U; V; W; F ) + g (TUF; TVW ) g (TVF; TUW ) (3.1.5) R (X; Y; Z; H) = R0(X; Y; Z; H) 2g (AXY; AZH) +g (AYZ; AXH) g (AXZ; AYH) (3.1.6) R (X; Y; V; F ) = g ((_rVA)_XY; F ) g ((rFA)_XY; V ) + g (AXV; AYF ) g (AXF; AYV ) g (TVX; TFY ) + g (TFX; TVY ) (3.1.7) d¬r (O’Neill 1966).

Teorem 3.1.3. (M1; g1) ve (M2; g2) Riemann manifoldlar¬olsun.

: (M1; g1)! (M2; g2)

bir Riemann submersiyon olsun. K; K0 ve

^

Ks¬ras¬yla M1; M2ve 1(x) ;

^

gx li…nin

kesit e¼grilikleri oldu¼gunu varsayal¬m. V1, V2 ortonormal yatay vektörler W1; W2

ortonormal dikey vektörler olmak üzere (i) K (W1; W2) = ^ K (W1; W2) +kTW1W2k 2 + g (TW1W1; TW2W2) (ii) K (V1; V2) = K 0 (V1; V2) 3kAV1V2k 2 (iii) K (V1; W2) = g (rV1T )W2W2; V1 kTW2V1k 2 +_kAV1W2k 2

(21)

3.2. Hemen Hemen Hermityen Manifoldlar

Tan¬m 3.2.1. M1; 2n boyutlu reel bir manifold ve J; M1 üzerinde (1; 1)

mertebeli tensör alan¬olacak ¸_{sekilde her p 2 M}1 için

J : TpM1 ! TpM1

lineer dönü¸sümü için J2 ₌ _I _{ile tan¬ml¬ J endomor…zmi varsa M}

1 ye hemen

hemen kompleks manifold, J ye hemen hemen kompleks yap¬denir (Kon ve Yano 1984).

Tan¬m 3.2.2. (M1; J ) hemen hemen kompleks manifold ve 8W1; W2 2 (M1)

için

g (J W1; J W2) = g (W1; W2) (3.2.1)

¸sart¬n¬ sa¼glayan Riemann metri¼gi varsa g fonksiyonuna Hermityen metrik, M1

ye Hermityen manifold, (M1; g; J ) üçlüsüne de hemen hemen Hermityen

manifold denir (Kon ve Yano 1984).

Ayr¬ca 8W1; W2 2 (M1) için (3.2.1) den

g (J W1; W2) = g (W1; J W2) (3.2.2)

elde edilir.

Tan¬m 3.2.3. (M1; g; J )bir hemen hemen Hermityen manifold olsun. 8W1; W2 2

(M1) için

(W1; W2) = g (W1; J W2) (3.2.3)

¸sart¬n¬sa¼glayan tensöre temel-2 form denir (Kon ve Yano 1984).

Ayr¬ca

(W1; W2) = g (W1; J W2) = g (J W1; W2) = g (W2; J W1)

= (W2; W1) (3.2.4)

(22)

Tan¬m 3.2.4. (M1; g; J )bir hemen hemen Hermityen manifold oldu¼gunu

varsay-al¬m. M1 nin temel-2 formu kapal¬ ise yani (d = 0) g ye Kähler metrik ve

(M1; g; J ) ye Kähler manifold denir (Kon ve Yano 1984).

Teorem 3.2.1. (M1; g; J ) hemen hemen Hermityen manifoldunun Kähler

man-ifold olmas¬için rJ = 0 olmal¬d¬r. Yani 8W1; W2 2 (M1) için

(_rW1J ) W2 =rW1J W2 JrW1W2 (3.2.5)

d¬r (Bejancu 1986). Buradan

(_rW1J ) W2 = 0) rW1J W2 = JrW1W2 (3.2.6)

d¬r.

Tan¬m 3.2.5. (M1; J ) bir hemen hemen kompleks manifold olsun. 8W1; W2 2

(M1) için

NJ(W1; W2) = J2[W1; W2] + [J W1; J W2] J [J W1; W2] J [W1; J W2]

ile tan¬ml¬tensör alan¬na J nin Nijenhuis tensörü denir (¸Sahin 1996).

Tan¬m 3.2.6. (M1; J ) hemen hemen kompleks manifold olacak ¸sekilde NJ = 0

ko¸suluyla J dönü¸sümüne integrallenebilirdirdenir (Kon ve Yano 1984).

Tan¬m 3.2.7. M1 Rde bir hemen hemen kompleks yap¬olan J integrallenebilir

ise ('; ; ) hemen hemen kontakt yap¬s¬na normaldir denir (Kon ve Yano 1984).

Tan¬m 3.2.8. (M1; g; J ) hemen hemen Hermityen manifold olsun. 8W1 2

(M1) için

(_rW1J ) W1 = 0

ise M1 ye nearly Kähler manifold denir (Kon ve Yano 1984).

Nearly Kähler manifold için W1 yerine W1+ W2 yazarsak a¸sa¼g¬daki denklem de

(23)

(_rW1+W2J ) (W1 + W2) = 0

(_rW1+W2J ) (W1 + W2) = (rW1J ) W1+ W2+ (rW2J ) W1+ W2 = 0

(_rW1+W2J ) (W1 + W2) = (rW1J ) W1+ (rW1J ) W2+ (rW2J ) W1+ (rW2J ) W2 = 0

(_rW1J ) W2+ (rW2J ) W1 = 0 (3.2.7)

3.3. Hemen hemen Kontak Metrik Manifoldlar

Tan¬m 3.3.1. (2n + 1) boyutlu diferansiyellenebilir bir Riemann manifoldu M1

oldu¼gunu varsayal¬m. '; ; de M1 üzerinde, s¬ras¬yla,(1,1)-tipinde bir tensör alan¬,

1-form ve bir vektör alan¬varsayal¬m. Buna göre '; ; için W1 2 (M1) olacak

¸sekilde

( ) = 1 (3.3.1)

ve

'2W1 = W1+ (W1) : (3.3.2)

e¸sitlikleri sa¼glan¬yorsa ('; ; ) üçlüsüne M1üzerinde hemen hemen kontakt yap¬,

(M1; '; ; ) ye ise hemen hemen kontakt manifold denir (Kon ve Yano 1984).

Teorem 3.3.1. (M1; '; ; ) bir hemen hemen kontakt manifold olsun. Bu

durumda; (i) ' ( ) = 0

(ii) ('W ) = 0

(iii) rank' = 2n

d¬r (Kon ve Yano 1984).

Tan¬m 3.3.2. (M1; '; ; ) bir hemen hemen kontakt manifold olsun. M1

üz-erinde g Riemann metri¼gi verilsin. Bu durumda ('; ; ; g) dörtlüsüne bir hemen

hemen kontakt metrik yap¬, (M1; '; ; ; g) be¸slisine ise hemen hemen

(24)

Teorem 3.3.2. (M1; '; ; ; g)bir hemen hemen kontakt metrik manifold olsun.

W1; W2 2 (M1) için

(W1) = g (W1; ) (3.3.3)

ve

g ('W1; 'W2) = g (W1; W2) (W1) (W2) (3.3.4)

olacak ¸sekilde vard¬r (Kon ve Yano 1984).

Tan¬m 3.3.3. (M1; '; ; ; g)bir hemen hemen kontakt metrik manifold oldu¼gunu

varsayal¬m. 8W1; W2 2 (M1)için

(W1; W2) = g (W1; 'W2) (3.3.5)

ile tan¬ml¬ dönü¸sümüne M1 nin temel-2 formu denir (Kon ve Yano 1984).

Teorem 3.3.3. (M1; '; ; ; g)bir hemen hemen kontakt metrik manifold oldu¼gunu

varsayal¬m.M1 nin temel-2 formu olan dönü¸sümü anti-simetriktir. Yani;

(W1; W2) = g (W1; 'W2) = g ('W1; W2) = (W2; W1)

oldu¼gundan

(W1; W2) = (W2; W1) (3.3.6)

d¬r (Kon ve Yano 1984).

Tan¬m 3.3.4. (2n + 1) boyutlu diferansiyellenebilir bir riemann manifoldu M1

olsun. M1 nin her noktas¬nda

^ (d )n 6= 0

ko¸sulunu sa¼glayan global bir formu varsa ya kontakt form denir. M1 ise

kontakt yap¬yasahiptir ve kontakt manifold olarak adland¬r¬l¬r. Buradaki (d )n

n inci mertebeden d¬¸s kuvveti gösterir ¸söyle ki;

(d )n = d ::: d

(25)

Tan¬m 3.3.5. (M1; ) bir kontakt manifold olsun.

( ) = 1 d ( ; W ) = 0

olacak ¸sekilde bir tek _{2 (M}1)vektör alan¬varsa ye kontakt yap¬s¬n¬n

karak-teristik vektör alan¬olarak adland¬r¬l¬r. ye ayn¬zamanda Reeb vektör alan¬

da denir (Kon ve Yano 1984).

Tan¬m 3.3.6. M₁2n+1; '; ; ; g bir hemen hemen kontakt metrik manifold

olsun.Buna göre,

d = 0 , d = 0

ko¸sullar¬n¬sa¼gl¬yorsa M12n+1 manifolduna hemen hemen kosimplektik manifold

denir. Hemen hemen kosimplektik manifoldun normal olmas¬¸sart¬yla bu manifolda

kosimplektik manifoldad¬verilir (Olszak 1981).

Teorem 3.3.4. M₁2n+1; '; ; ; g bir hemen hemen kontakt metrik manifold

oldu¼gunu varsayal¬m. M₁2n+1 _{manifoldunun kosimplektik manifold olmas¬ için r}

ve r kovaryant türevlerinin s¬f¬ra e¸sit olmas¬gerekir (Olszak 1981).

olsun. M12n+1 manifoldunun Kenmatsu manifold olmas¬n¬sa¼glayan gerek ve yeter

¸_{sart 8W}1; W2 2 (M1) için

(_rW1') W2 = g ('W1; W2) (W2) 'W1

d¬r (Kenmatsu 1972).

olsun. E¼ger M1 nin kontakt metrik yap¬s¬normal ise M1Sasakian yap¬ya sahiptir

denir (Kon ve Yano,1984).

olsun. M₁2n+1 manifoldunun Sasakian manifold olmas¬n¬sa¼glayan gerek ve yeter

(26)

(_rW1') W2 = g (W1; W2) (W2) W1 d¬r (Kon ve Yano 1984).

olsun. Hemen hemen kontakt yap¬için ' nin kovaryant türevi 8W1; W2; W32 (M1)

için

2g ((_rW1') W2; W3) = 3d (W1; 'W2; 'W3) 3d (W1; W2; W3) +g (S (W2; W3) ; 'W1) + S(2)(W2; W3) (W1)

+2d ('W2; W1) (W3)

2d ('W3; W1) (W2) (3.3.7)

ile verilir (Zamkovoy 2009).

olsun. Hemen hemen kontakt yap¬ ile birlikte Sasaki-Hatakeyama tensör alan¬

8E; F 2 (M1)için

S (E; F ) = N'+ 2d (E; F ) (3.3.8)

d¬r. E¼ger hemen hemen kontakt yap¬normal ise

S (E; F ) = 0 (3.3.9) d¬r. Benzer olarak ['; '] ('E; F ) + 2d ('E; F ) = 0 olup uygulan¬rsa '2E; 'F + 'E (F ) (['E; F ]) = 0 olur. Aç¬kça görülür ki S2(E; F ) = 0 (3.3.10) d¬r (Kon ve Yano 1984).

(27)

(28)

4. BULGULAR VE TARTI¸SMA

Bu bölüm dört alt bölümden olu¸smu¸stur. Birinci alt bölümde Kontakt-Kompleks

Riemann Submersiyonlar ve Özellikleri tan¬mlanmakta ve örnek verilmektedir. ·

Ik-inci alt bölümde O’Ne¬ll tensörlerinin özellikleri ve ispatlar¬na yer verilmi¸stir. Üçüncü alt bölümde Yap¬lar¬n transferi ve dördüncü alt bölümde de hemen hemen kontakt-kompleks Riemann submersiyonlar için e¼grilik ili¸skileri incelenmi¸stir.

4.1. Kontakt-Kompleks Riemann Submersiyonlar ve Özellikleri

Tan¬m 4.1.1. (M1; g1; '; ; )hemen hemen kontakt metrik manifold ve (M2; J; g2)

hemen hemen Hermityen manifold olsun.

F : M1 ! M2

dönü¸sümü için

F ' = J F

¸sart¬ sa¼glan¬yorsa F ye ('; J ) holomor…k dönü¸süm denir (Falcitelli ve ark.

2004).

Tan¬m 4.1.2. (M1; g1; '; ; )hemen hemen kontakt metrik manifold ve (M2; J; g2)

F : M1 ! M2

dönü¸sümü verilsin.

(i) F bir Riemann submersiyonudur.

(ii) F ' = J F

¸sartlar¬ sa¼glan¬yorsa F ye bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon

denir (Falcitelli ve ark. 2004).

Örnek 4.1.1. R5

(29)

4.ARA¸STIRMA BULGULARI

1-form, = _@w@

5 karakteristik vektör alan¬ve

' = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5

ile verilsin. Bu durumda ('; ; ) üçlüsü R5_{üzerinde hemen hemen kontakt yap¬d¬r.}

(R5; '; ; ) dörtlüsü de hemen hemen kontakt manifold olur.

Örnek 4.1.2. R4 _{üzerinde fw}1; w2g koordinatlar¬verilsin. g2 standart Riemann

metrik ve J = 2 40 1 1 0 3 5

bir hemen hemen kompleks yap¬oldu¼gunu varsayal¬m. Bu durumda (R2_{; g}

2; J ) bir

hemen hemen Hermityen manifold olur.

Bu iki örnekten yola ç¬karak a¸sa¼g¬daki örne¼gi elde edebiliriz.

Örnek 4.1.3. F : R5

! R2_dönü¸_{sümü F (w}

1; w2; w3;w4; w5) = (w1+ w3;w2+ w4; w5)

dönü¸sümünü hemen hemen kontakt metrik manifold ve R2 hemen hemen hermityen

manifold olsun.

F : R5

! R2_{; F (w}

1; w2; w3;w4; w5) = w1p+w₂3;;w2p+w₂ 4 dönü¸sümünü ele alal¬m.

Do¼grudan yap¬lan i¸slemlerle

F = 2 4 p12 0 1 p 2 0 0 0 p1 2 0 1 p 2 0 3 5

elde edilir. rankF = boyR2 _{= 2} _oldu¼_{gundan F örtendir. Di¼}_{ger taraftan,}

(KerF ) = Span_{fU = ( 1; 0; 1; 0; 0) ; V = (0; 1; 0; 1; 0)g}

ve

(KerF )?= Span_fW1 = (1; 0; 1; 0; 0) ; W2 = (0; 1; 0; 1; 0)g

(30)

g1(W1; W1) = 2 g1(W2; W2) = 2 F W1 = 2 p 2; 0 ; F W2 = 0; 2 p 2 g1(W1; W1) = g2(F W1; F W1) = 2 g1(W2; W2) = g2(F W2; F W2) = 2

dir. Böylece yatay vektörlerin uzunlu¼gunun korundu¼gu görülür. Buradan F in bir

Riemann submersiyon oldu¼gu aç¬kt¬r. Di¼ger taraftan

F 'W1 = F (0; 1; 0; 1; 0) = 0; 2 p 2 J F W1 = J 2 p 2; 0 = 0; 2 p 2 buradan F 'W1 = J F W1

oldu¼gu görülür. Benzer ¸sekilde

F 'W2 = F ( 1; 0; 1; 0; 0) = 2 p 2; 0 J F W2 = J 0; 2 p 2 = 2 p 2; 0 F 'W2 = J F W2

olup F in holomor…k oldu¼gu görülür. Her iki ¸sart sa¼gland¬¼g¬ndan F bir

kontakt-kompleks riemann submersiyondur.

Önerme 4.1.1. (M1; g1; '; ; ) hemen hemen kontakt metrik manifold ve

(M2; J; g2)hemen hemen Hermityen manifold olsun.

F : M1 ! M2

(31)

E¼ger M1 üzerinda temel vektör alanlar¬, M2 üzerinde X

0

; Y0 ne F bagl{ ise

bu durumda a¸sa¼g¬daki iddialar do¼grudur (Falcitelli ve ark. 2004). (i) 'W1; W 0 1 ne F bagl{d{r. (ii) h ((rW1') W2) ; r 0 W₁0J W 0 2 ne F bagl{d{r. (iii) h [W1; W2] ; W 0 1; W 0 2 ne F bagl{d{r. · Ispat:

(i) Kontakt-kompleks Riemann submersiyonun tan¬m¬n¬kullan¬rsak F ' = J

F olur. F W1 = W

0

1oldu¼gundan F 'W1 = J F W1 = J W

0

1elde edilir. Dolay¬s¬yla,M1

üzerindeki 'W1 temel vektör alan¬M2 üzerindeki J W

0 1 ne F bagl{d{r: (ii) F W1 = W 0 1ve F W2 = W 0 2d¬r. (3.2.5) kullan¬l¬rsa ((rW1') W2) = rW1'W2

'_rW1W2 olur. Do¼grudan hesaplamalarla

F (h (_rW1') W2) = F h (rW1'W2) F (h'rW1W2)

olur. F bir holomor…k dönü¸süm oldu¼gundan

F (h (_rW1') W2) = F h (rW1'W2) J F (hrW1W2) olur. Önerme 3.1.1 (iii) den

F (h (_rW1') W2) = r 0 FF 'W2_W 1 Jr0FF W2W1 F (h (_rW1') W2) = r 0 W10 J W₂0 J_r0 W10 W₂0 F (h (_rW1') W2) = r 0 W₁0J 0 W₂0 olur. (iii) F W1 = W 0 1 ve F W2 = W 0

2 d¬r. Önerme 3.1.1 (ii) den

F h [W1; W2] = [F W1; F W2] =

h

W₁0; W₂0i d¬r.

Önerme 4.1.2. (M1; g1; '; ; )hemen hemen kontakt metrik manifold ve (M2; J; g2)

(32)

kontakt-kompleks Riemann submersiyon olsun. Bu durumda yatay ve dikey

dis-tribüsyonlar ' invaryantt{r (degismezdir) (Falcitelli ve ark. 2004).

·

Ispat. F bir holomor…k dönü¸süm oldu¼gundan

F 'U = J F U

d¬r. U dikey vektör alan¬ve F bir Riemann submersiyon oldu¼gundan

F U = 0 d¬r. Böylece

F 'U = 0 d¬r. Yani 'U dikeydir.

X yatay vektör alan¬n¬ele alal¬m. M1 hemen hemen kontakt metrik manifold ve

(3.2.2) denklemi kullan¬l¬rsa

g1('X; U ) = g1(X; 'U ) = 0

d¬r. Burada 'U dikey, X yatay vektör alan¬d¬r. Böylece

g1('X; U ) = 0

d¬r. O halde 'X yatay vektör alan¬d¬r.

Teorem 4.1.1. F : M1 ! M2 bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon

olsun. E¼ger M1 bir quàsi-Sasakian manifold ise o zaman li‡er minimal

altmanifold-lard¬r (Falcitelli ve ark. 2004).

·

Ispat: M1 bir hemen hemen kontakt metrik manifold oldu¼gundan W1; W2; W3 2

(M )için (3.3.7) denklemini kullanal¬m.

2g ((_rW1') W2; W3) = 3d (W1; 'W2; 'W3) 3d (W1; W2; W3) +g (S (W2; W3) ; 'W1) + S(2)(W2; W3) (W1)

+2d ('W2; W1) (W3) 2d ('W3; W1) (W2)

(33)

g ((_rW1') W2; W3) = d ('W2; W1) (W3) d ('W3; W1) (W2)

denklemi elde edilir. W1 = W2 = U dikey vektör alan¬ ve W3 = X yatay vektör

alan¬olsun. g ((_rU') U; X) = 0) g (rU'U 'rUU; X) = 0 d¬r. X 6= 0 oldu¼gundan rU'U 'rUU = 0 d¬r. TU'U + vrU'U 'TUU 'vrUU = 0

d¬r. Dikey ve yatay bile¸senler ayr¬ayr¬s¬f¬ra e¸sitlenirse ;

TU'U 'TUU = 0) TU'U = 'TUU

d¬r. Buradan T simetrik oldu¼gundan

T'UU = 'TUU

olur. T nin özellikleri kullan¬l¬rsa

TUU + T'U'U = 0

elde edilir. U = alal¬m.

T + T' ' = 0) T = 0

d¬r. Böylece li‡er total jeodeziktir gerek ve yeter ¸sart li‡er minimal altmanifoldlard¬r. 4.2. O’Neill Tensörleri ve Özellikleri

Teorem 4.2.1 F : M1 ! M2 bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon olsun.

E¼ger M1 Nearly-K-cosymplectic manifold ise a¸sa¼g¬daki ifadeler do¼grudur (Chinea

1984). W1 2 h(M ) için

i) AW1'W1 = 'AW1W1 ii) A'W1W1 = 'AW1W1

(34)

iii) AW1'W1 = A'W1W1

iv) AW1 = 0

· Ispat:

i) M1 Nearly-K-cosymplectic manifold oldu¼gundan W1 2 h(M ) için

(_rW1') W1 = 0 rW1 = 0

(3.2.5) kullan¬l¬rsa

rW1'W1 'rW1W1 = 0

d¬r. Lemma 3.1.2 (v) kullan¬l¬rsa

AW1'W1+ hrW1'W1 ' (AW1W1+ hrW1W1) = 0

olur. E¸sitli¼gin sa¼glanmas¬için dikey ve yatay terimler ayr¬ayr¬s¬f¬ra e¸sitlenir.

AW1'W1 'AW1W1 = 0

AW1'W1 = 'AW1W1

d¬r.

ii) A alterleyen oldu¼gundan (i) den

A'W1W1 = AW1'W1 = 'AW1W1

oldu¼gu kolayca görülür.

iii) (i) ve (ii) den (iii) elde edilir.

iv) M1 Nearly-K-cosymplectic manifold oldu¼gundan

rW1 = 0

rW1 = 0 ) AW1 + vrW1 = 0

d¬r. Burada

(35)

d¬r.

olsun. E¼ger M1 Nearly-K-cosymplectic manifold ise a¸sa¼g¬daki ifadeler do¼grudur

(Chinea 1984). W2 2 v(M ) için i) TW2'W2 = 'TW2W2 ii)T'W2W2 = 'TW2W2 iii)TW2'W2 = T'W2W2 · Ispat:

i) M1Nearly-K-cosymplectic manifold oldu¼gundan W2 2 h(M )için (rW2') W2 =

0 d¬r.

(_rW2') W2 = 0 (3.2.5) kullan¬l¬rsa

rW2'W2 'rW2W2 = 0

Lemma 3.1.2 (i) kullan¬l¬rsa

TW2'W2+

^

rW2'W2 'TW2W2 '

^

rW2W2 = 0 yatay ve dikey terimler ayr¬ayr¬s¬f¬ra e¸sitlenirse

TW2'W2 'TW2W2 = 0

TW2'W2 = 'TW2W2

elde edilir.

ii) T simetrik oldu¼gu için

T'W2W2 = TW2'W2 (i) yi kullan¬rsak

T'W2W2 = 'TW2W2 elde edilir.

(36)

iii) (i) ve (ii) den

TW2'W2 = T'W2W2 d¬r.

olsun. E¼ger M1 nearly-K-cosymplectic manifold ise a¸sa¼g¬daki ifadeler do¼grudur.

W1; W2; W3 2 v(M ) ; W3 2 hM

için a¸sa¼g¬daki e¸sitlikler geçerlidir (Chinea 1984).

i) 2'TW1W2 = TW1'W2+ T'W1W2 ii)2TW1'W3 = 'TW1W3 T'W1W3

· Ispat:

i) Lemma 3.1.2 (i) kullan¬l¬rsa

TW1'W1 = rW1'W1 ^ rW1'W1 TW1'W1 = (rW1') W1+ 'rW1W1 ^ rW1 'W1 ' ^ rW1W1 TW1'W1 = ' rW1W1 ^ rW1W1 TW1'W1 = 'TW1W1

olur. Buradan W1 yerine W1+ W2 yaz¬l¬rsa;

TW1+W2' (W1+ W2) = 'TW1+W2W1+ W2 TW1+W2'W1+ TW1+W2'W2 = 'TW1+W2W1+ W2 TW1'W1+ TW2'W1+ TW1'W2+ TW2'W2 = 'TW1W1+ 'TW1W2

+'TW2W1+ 'TW2W2

Teorem 4.2.2 (i) kullan¬l¬rsa

TW2'W1+ TW1'W2 = 'TW1W2+ 'TW2W1

(37)

TW1'W2+ T'W1W2 = 2'TW1W2 elde edilir.

ii) Lemma 3.1.1 (i) den

g (2TW1'W3; W2) = g ('W3; 2TW1W2) = g (W3; 2'TW1W2)

(i) kullan¬l¬r daha sonra Teorem 4.2.2 (i) kullan¬l¬rsa

g (2TW1'W3; W2) = g (W3; TW1'W2+ T'W1W2) g (2TW1'W3; W2) = g (W3; TW1'W2) + g (W3; T'W1W2) g (2TW1'W3; W2) = g (TW1W3; 'W2) g T 'W1W3; W2 g (2TW1'W3; W2) = g ('TW1W3; W2) g T 'W1W3; W2 g (2TW1'W3; W2) = g 'TW1W3; W2 gT 'W1W3; W2 olur. Buradan 2TW1'W3 = 'TW1W3 T'W1W3 elde edilir.

Teorem 4.2.4 F : M1 ! M2 bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon olsun.

E¼ger M1cosymplectic manifold ise 8U; V 2 v(M1),W 2 h(M1)için a¸sa¼g¬dakie¸

sit-likler geçerlidir(Chinea 1984). i) TU'V = 'TUV ii)AU'V = 'AUV · Ispat: i) T nin tan¬m¬kullan¬l¬rsa TU'V = hrvUv'V + vrvUh'V = h (_rvU') vV + h' (rvUvV ) + (vrvU') hV + v' (rvUhV )

(38)

TU'V = h' (rvUvV ) + v' (rvUhV ) TU'V = ' [hrvUvV + vrvUhV ] TU'V = 'TUV olur. ii) A n¬n tan¬m¬kullan¬l¬rsa AU'V = vrhUh'V + hrhUv'V = v (_rhU') hV + v' (rhUhV ) + (hrhU') vV + h' (rhUvV ) AU'V = ' [vrhUhV + hrhUvV ] AU'V = 'AUV olur. 4.3 Yap¬lar¬n Transferi

Teorem.4.3.1. : M1 ! M2 bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon

olsun. E¼ger

M1 = 8 > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > : a)N ormal b)Sasakian c)N early K Sasakian d)Cosymplectic e)Almost Cosymplectic f )N early K Cosymplectic g)Kenmatsu ise M2 = a)Hermityen b)K•ahler c)N early K•ahler d)K•ahler e)Almost K•ahler f )N early K•ahler g)K•ahler 9 > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > ; transferi vard¬r (Falcitelli ve ark. 2004).

· Ispat:

(39)

a) M1 üzerinde X ve Y yatay vektör alanlar¬n¬temel vektör alanlar¬varsayal¬m.

Bu durumda F X = X0 ve F Y = Y0 d¬r. M nin hemen hemen kontakt yap¬s¬

normal oldu¼gundan;

N (X; Y ) = ['; '] (X; Y ) + 2d (X; Y )

d¬r. F bir Riemann submersiyon oldu¼gundan

F N (X; Y ) = F (['; '] (X; Y ) + 2d (X; Y ) ) d¬r. Nijenhuis tensörünün tan¬m¬kullan¬l¬rsa

F N (X; Y ) = F '2[X; Y ] + ['X; 'Y ] ' ['X; Y ] ' [X; 'Y ] + 2d (X; Y )

reeb vektör alan¬tan¬m¬gere¼gince

F 2d (X; Y ) = 0

d¬r. N , ' nin Nijenhuis tensör alan¬ oldu¼gundan ve kontak manifoldun tan¬m¬

kullan¬l¬rsa

F ['; '] (X; Y ) = F ( [X; Y ] + [X; Y ]) + ['X; 'Y ] ' ['X; Y ] ' [X; 'Y ]

= [F X; F Y ] + g1([X; Y ] ) F + [F 'X; F 'Y ]

F ' ['X; Y ] F ' [X; 'Y ]

Önerme 3.1.1 (ii) kullan¬larak

= hX0; Y0i+ g2(F [X; Y ] ; F ) + [J F X; JF Y ] J [F 'X; F Y ] J [F X; F 'Y ] = h X0; Y0 i + h J X0; J Y0 i J h J X0; Y0 i J h X0; J Y0 i [J; J ] (X0; Y0) = N X0; Y0

(40)

mani-folddur.

b) M1 üzerinde X ve Y yatay vektör alanlar¬n¬temel vektör alanlar¬varsayal¬m.

Bu durumda F X = X0 ve F Y = Y0 d¬r. M1 nin hemen hemen kontakt yap¬s¬

Sasakian manifold oldu¼gundan;

(_rX'Y ) = g (X; Y ) (Y ) X

F [_rX'Y 'rXY ] = 0) F rX'Y F 'rXY = 0

d¬r. Önerme 3.1.1 (ii) ve kontakt kompleks Riemann submersiyonu tan¬m¬ kul-lan¬l¬rsa r0F XF 'Y J F rXY = 0 ) r 0 X0J Y 0 J_r_X0Y 0 = 0_{) r}0_X0J Y 0 = 0 8X0; Y0 ₂ h_(M

2) için do¼gru oldu¼gundan

r0J = 0 d¬r.

c)ispat b deki gibidir. d)ispat d deki gibidir. e)ispat d deki gibidir.

g) M1; N early K Cosymplectic olup X 2 (M1) için;

(_rX') X = 0

d¬r. Önerme 3.1.1 (ii) den

r0X0J X

0 = 0

olur. Buradan M1 nin kontakt yap¬s¬ Nearly-K-cosymplectic ise M2 uzay¬ N early

K•ahler dir.

h) M1; Kenmatsu manifold olup X ve Y yatay vektör alanlar¬için;

(41)

d¬r. F X = X0 ve F Y = Y0 olsun ve F bir Riemann submersiyon oldu¼gundan

F (_rX') Y = g ('X; Y ) F g (Y; ) F 'X

F (_rX') Y = 0) F [rX'Y 'rXY ] = 0

) F rX'Y F 'rXY = 0

Önerme 3.1.1 (ii) ve Kontak-kompleks Riemann submersiyon tan¬m¬kullan¬l¬rsa

rF XF 'Y J F rXY = 0 r0X0J Y 0 J_r0_X0Y 0 = 0_{) r}0_X0J Y 0 = 0 8X0,Y0 ₂ h_(M

1) için do¼gru oldu¼gundan r

0

J = 0d¬r.O halde M1 Kenmatsu

mani-fold ise M2 Kähler manifolddur.

Önerme 4.3.1. F : M1 ! M2 bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon

olsun. E¼ger M1 cosymplectic manifold ise yatay distribüsyonu integrallenebilirdir

(Chinea 1984).

·

Ispat: M1 cosymplectic manifold oldu¼gundan d = 0 d¬r. X1 ve X2 yatay

vektör alanlar¬U dikey vektör alan¬olsun. Do¼grudan hesaplamalarla

d (X1; X2; U ) = 0) X1 (X2; U ) X2 (X1; U ) + U (X1; X2)

([X1; X2] ; U ) + ([X1; U ] ; X2) ([X2; U ] ; X1)

Temel-2 formun tan¬m¬ndan

d (X1; X2; U ) = 0) X1(g (X2; 'U )) X2(g (X1; 'U )) + U (g (X1; 'X2))

g ([X1; X2] ; 'U ) + g ([X1; U ] ; U X2) g ([X2; U ] ; 'X1)

(42)

d (X1; X2; U ) = U (g (X1; 'X2)) g ([X1; X2] ; 'U ) = 0

elde edilir. E¼ger X1 temel ise Lemma 3.1.2 (iii) denklemi kullan¬l¬rsa

U (g (X1; 'X2)) = g (hrUX1; 'X2) + g (hrU'X2; X1)

= g (AX1U; 'X2) + g (A'X2U; X1)

d¬r. A anti-simetrik operatör oldu¼gundan Lemma 3.1.1 denklemi kullan¬l¬rsa

U (g (X1; 'X2)) = g (AX1'X2; U ) g (A'X2X1; U ) = 0

d¬r. A alterleyen operatör oldu¼gundan Teorem 3.1.11 (iv) denklemi kullan¬l¬rsa

U (g (X1; 'X2)) = g (A'X2X1; U ) g (A'X2X1; U ) = 0 d¬r. Buradan g ([X1; X2] ; 'U ) = 0) g (rX1X2 rX2X1; 'U ) = 0 d¬r. 'U 6= 0 oldu¼gundan rX1X2 rX2X1 = 0 d¬r.Lemma 3.1.2 (v) kullan¬l¬rsa AX1X2+ hrX1X2 AX2X1 hrX2X1 = 0 d¬r. Dikey ve yatay bile¸senler ayr¬ayr¬s¬f¬ra e¸sitlenirse

AX1X2 AX2X1 = 0

) AX1X2+ AX1X2 = 0

) 2AX1X2 = 0

) AX1X2 = 0

) A = 0 d¬r. O halde yatay distribüsyon integrallenebilirdir.

(43)

4.4. Hemen hemen kontakt-kompleks Riemann submersiyonlar için e¼grilik ili¸skileri

Tan¬m.4.4.1. (M1; g) n-boyutlu Riemann manifold ve M1 manifoldunun bir P

noktas¬ndaki tanjant uzay¬TPM1 olsun. TPM1 uzay¬n¬n 2- boyutlu bir altuzay¬P

olsun. P düzlemini geren birim vektörler W1 ve W2 olmak üzere

K (P ) = K (W1; W2) =

g (R (W1; W2) W2; W1)

g (W1; W1) g (W2; W2) g (W1; W2)2

de¼gerine M1 manifoldunun P düzlemine göre kesit e¼grili¼gidenir (Falcitelli ve ark.

2004).

Tan¬m.4.4.2. (M1; '; ; ; g1)hemen hemen kontakt metrik manifold,(M2; J; g2)

hemen hemen Hermityen manifold ve

F : M1 ! M2

bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon olsun.

' holomorf ik bi kesit egriligini B1 ile ifade edelim. M1 üzerinde ye

ortogonal s¬f¬rdan farkl¬X1 ve X2 vektörleri için ' holomorf ik bi kesit egriligi;

B1(X1; X2) = R1(X1; 'X1; X2; 'X2) kX1k 2 kX2k 2 ile tan¬mlan¬r.

M1 üzerinde ye ortogonal X1 vektör alan¬için ' holomorf ik kesit egriligi

;

H1(X) = B1(X1; X2)

ile tan¬mlan¬r (Falcitelli ve ark. 2004).

M2 nin J holomor…k kesit e¼grili¼gi s¬ras¬yla B2 ve H2;

^

' holomor…k bi-kesit

e¼grili¼gini ise

^

B ve

^

H ile ifade edece¼giz.

Önerme.4.4.1. : M1 ! M2 bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon

olsun. Ayr¬ca V1 ve V2 birim dikey vektör alanlar¬, W1 ve W2 birim yatay vektör

alanlar¬için; a) B (V1; V2) = ^ B (V1; V2) + g (TV1'V2; TV2'V1) g (TV1V2; T'V1'V2) b) B (W1; V2) = g ((rV2A) (W1; 'W1) ; 'V2) g (AW1'V2; A'W1V2) +g (AW V2; A'W 'V2) g ((r'V A) (W1; 'W1) ; V2)

(44)

+g (T'V2W1; TV2'W1) g (TV2W1; T'V2'W1) c) B (W1; W2) = B 0 ( W1; W2) 8 < : 2g (AW1'W1; AW2'W2) g (A'W1W2; AW1'W2) + g (AW1W2; A'W1'W2) 9 = ; d¬r (Falcitelli ve ark. 2004). ·

Ispat:Bu önermeler (3.1.5), (3.1.6), (3.1.7) denklemleri kullan¬larak elde edilir.

Önerme.4.4.2. : M1 ! M2 bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon

olsun. Ayr¬ca V1 birim dikey vektör alan¬, W1 birim yatay vektör alan¬için;

a) H (V1) = ^ H (V1) +kTV1'V1k 2 g (TV1V1; T'V1'V1) b)H (W1) = H 0 ( W1) 3kAW1'W1k 2 d¬r (Falcitelli ve ark. 2004). · Ispat:

a) Önerme 4.4.1 (a) kullan¬l¬rsa

B (V1; V2) = ^ B (V1; V2) + g (TV1'V2; TV2'V1) g (TV1V2; T'V1'V2) ve V2 yerine V1 yazal¬m B (V1; V1) = ^ B (V1; V1) + g (TV1'V1; TV1'V1) g (TV1V1; T'V1'V1) B (V1; V1) = ^ B (V1; V1) +kTV1'V1k 2 g (TV1V1; T'V1'V1) den B (V1; V1) = H (V1) ise H (V1) = ^ H (V1) +kTV1'V1k 2 g (TV1V1; T'V1'V1) d¬r. b) Önerme 4.4.1 (c) kullan¬l¬rsa B (W1; W2) = B 0 ( W1; W2) 8 < : 2g (AW1'W1; AW2'W2) g (A'W1W2; AW1'W2) + g (AW1W2; A'W1'W2) 9 = ; W2 yerine W1 yazal¬m

(45)

4.ARA¸STIRMA BULGULARI B (W1; W1) = B 0 ( W1; W1) 8 < : 2g (AW1'W1; AW1'W1) g (A'W1W1; AW1'W1) + g (AW1W1; A'W1'W1) 9 = ;

A alterleyen oldu¼gundan;

B (W1; W1) = B 0 ( W1; W1) 8 < : 2g (AW1'W1; AW1'W1) g (AW1'W1; AW1'W1) + g (AW1W1; A'W1'W1) 9 = ; Önerme 4.3.1 kullan¬l¬rsa B (W1; W1) = B 0 ( W1; W1) 3g (AW1'W1; AW1'W1) B (W1; W1) = B 0 ( W1; W1) 3kAW1'W1k 2 den B (W1; W1) = H (W1) ise H (W1) = H 0 ( W1) 3kAW1'W1k 2 d¬r.

Teorem.4.4.1. : M1 ! M2 ye total uzay¬sasakian manifold olan bir

kontakt-kompleks Riemann submersiyon olsun. Bu durumda ye ortogonal s¬f¬rdan farkl¬

V1 ve V2 birim dikey vektör alanlar¬için;

a)B (V1; V2) = ^ B (V1; V2) + 2kTV1V2k 2 b)H (V1) = ^ H (V1) + 2kTV1V1k 2 d¬r (Falcitelli ve ark. 2004). · Ispat.

a) Önerme 4.4.1 (a) dan

B (V1; V2) = ^

B (V1; V2) + g (TV1'V2; TV2'V1) g (TV1V2; T'V1'V2)

(46)

B (V1; V2) = ^ B (V1; V2) + g1('TV1V2; 'TV1V2) + g1(TV1V2; TV1V2) elde edilir. g1('TV1V2; 'TV1V2) = g1(TV1V2; TV1V2) (TV1V2) (TV1V2) (TV1V2) (TV1V2) = 0 oldu¼gundan g1('TV1V2; 'TV1V2) = g1(TV1V2; TV1V2) olur. Bu e¸sitlik kullan¬l¬rsa

B (V1; V2) = ^ B (V1; V2) + g1(TV1V2; TV1V2) + g1(TV1V2; TV1V2) B (V1; V2) = ^ B (V1; V2) + 2g1(TV1V2; TV1V2) B (V1; V2) = ^ B (V1; V2) + 2kTV1V2k 2 d¬r.

Sonuç.4.4.1 F : M1 ! M2 bir kontakt-kompleks Riemann submersiyon olsun.

E¼ger M1 bir sasakian manifold ise V1; V2 2 v(M1) için;

B (V1; V2) ^

B (V1; V2)

d¬r (Falcitelli ve ark. 2004).

b)Teorem 4.4.1 (a) kullan¬l¬rsa

B (V1; V2) = ^ B (V1; V2) + 2kTV1V2k 2 ve V2 yerine V1 yazal¬m. B (V1; V1) = ^ B (V1; V1) + 2kTV1V1k 2 den B (V1; V1) = H (V1) ise H (V1) = ^ H (V1) + 2kTV1V1k 2

(47)

(48)

5.TARTI¸SMA VE SONUÇ

Riemann submersiyonlar¬nda hemen hemen kontakt metrik manifolddan hemen

hemen Hermityen manifolda bir holomor…k dönü¸süm tan¬mland¬. Bu dönü¸süm

kul-lan¬larak hemen hemen kontakt -kompleks submersiyon tan¬mlanm¬¸st¬r. Bu

submer-siyonlarda belli manifoldlar üzerine O’Neill tensörleri çal¬¸s¬lm¬¸s ve yap¬lar aras¬nda

transferler incelenmi¸stir. Son olarak hemen hemen kontakt-kompleks Riemann

(49)

5. TARTI¸SMA VE SONUÇ

(50)

6. KAYNAKLAR

Baird, P. and Wood, J. C. 2003. Harmonic Morphisms Between Rie-mannian Manifolds,Clarendon Press, Oxford.

Bejancu, A. 1986. Geometry of CR-submanifolds. D.Reidel publishing company, Dordrecht Holland.

Chinea, D. 1984. Quasi-K-Cosymplectic Submersions. Rendiconti Del Cir-colo Matematico Di Palermo Serie II. pp.319-330.

Do CARMO, M.P. 1992. Riemannian Geometry Birkhauser Boston Falcitelli, M., Ianus S., Pastore, A. M. 2004. Riemannian Submersions and Related Topics. World Scienti…c.

Gundmundsson, S. 2006. An Introduction Riemannian Geometry. Lec-tures Notes, University of Land, Mathematics, Faculty of Science.

Hac¬saliho¼glu, H.H. 1982. Diferansiyel Geometri. ·Inönü Üniversitesi,

Fen-Ed. Fak. Mat. No:2.

Hac¬saliho¼glu, H.H. 2003. Diferansiyel Geometri.Cilt: 1,2,3. Ankara

Üniversitesi, Fen Fakültesi

Kenmotsu, K., 1972. A Class of Contact Riemannian Manifold. Tohoku Mathematican Journal, 24:93-103.

Kon, M. , Yano, K. 1984. Structures on Manifolds.World Scienti…c Pub-lishing Co. Pte. Ltd.

Olszak Z. 1981. Almost Cosymplectic Manifolds With Kaehlerian Leaves.Journal Tensor, 46:117-124

O’Neill, B. 1966. The Fundamental Equations of a Submersions. Michi-gan Math. J. 13, 458-469.

O’Neill, B. 1983. Semi-Riemannian geometry with applications to rela-tivity. Academic Press.

(51)

6. KAYNAKLAR

¸

Sahin, B.1996. CR- Alt Manifoldlar¬n Geometrisi Yüksek Lisans Tezi, ·

Inönü Üniversitesi.

Watson,B. 1976. Almost Hermitian Submersions. J.Di¤.Geom. 11(1), 147-165.

Zamkovoy, S. 2009. Canonical connections on paracontact manifolds, Ann. Glob. Anal. Geom. 36,37-60

(52)

1990 y¬l¬nda Diyarbak¬r ilinin Bismil ilçesinde do¼gdum. ·Ilk, orta ve lise ö¼

gren-imimi Bismil’de tamamlad¬m. 2010 y¬l¬nda Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp E¼gitim

Fakültesi ·Ilkö¼gretim Matematik Anabilim Dal¬nda lisans ö¼grenimime ba¸slad¬m. 2017

y¬l¬nda Dicle Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬nda yük-sek lisansa ba¸slad¬m.2014 y¬l¬ndan beri Milli E¼gitim Bakanl¬¼g¬na ba¼gl¬kadrolu ö¼

(53)