İktisatta lagrange çarpanı problemleri

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İKTİSATTA LAGRANGE ÇARPANI PROBLEMLERİ

Haldun Alpaslan PEKER

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

İKTİSATTA LAGRANGE ÇARPANI PROBLEMLERİ

Haldun Alpaslan PEKER

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Haydar BULGAK 2006, 46 sayfa

Jüri: Prof. Dr. Ömer AKIN Prof. Dr. Haydar BULGAK Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

Bu tezde iktisatta Lagrange çarpanı problemi ve birden fazla kısıtlama olması durumunda, ana problemle duali olan problemin Lagrange çarpanları arasındaki ilişki ele alınmıştır. Eşitlik kısıtlaması altında ikinci dereceden fonksiyonların, analitik ve conjugate gradient yöntemi kullanılarak minimizasyonu incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Lagrange çarpanları, Çoklu kısıtlamalar, Dual problemler,

ABSTRACT

M.Sc. Thesis

LAGRANGE MULTIPLIER PROBLEMS IN ECONOMICS

Haldun Alpaslan PEKER

Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Haydar BULGAK 2006, 46 pages

Jury: Prof. Dr. Ömer AKIN Prof. Dr. Haydar BULGAK Assist. Prof. Dr. Ayşe NALLI

Lagrange multiplier problem in economics and in the multiple constraint case, the relation between the Lagrange multipliers for the primal problem and its dual problem are discussed on the thesis. Minimization of quadratic functions under the equality constrained is also analyzed by conjugate gradient method and analytic method.

Key Words: Lagrange multipliers, Multiple constraints, Dual problems, Conjugate

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen – Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Haydar BULGAK yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Tez konusunun tespitinde ve tezin hazırlanması sırasındaki yardımlarından ötürü danışman hocam Prof. Dr. Haydar BULGAK’a teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Haldun Alpaslan PEKER Nisan 2006

İÇİNDEKİLER ÖZET……….. i ABSTRACT………... ii ÖNSÖZ………... iii İÇİNDEKİLER………...………... iv 1. GİRİŞ……….. 1 1.1. Literatür Özeti………. 3 1.2. Ön Bilgiler………... 4

2. FAYDA MAKSİMİZASYONU İLE İLGİLİ ÖRNEK……….. 12

3. ANA VE DUAL PROBLEMİN LAGRANGE ÇARPANLARI.…………... 21

3.1. Tek Kısıtlama Durumu………..……….………. 21

3.2. Birden Fazla Kısıtlama Durumu………..….………... 22

3.3. Yeter Şartların Durumu………... 24

4. EŞİTLİK KISITLAMASI ALTINDA İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLARIN MİNİMİZASYONU……… 27

4.1. Analitik Yöntem..………..……….. 27

4.2. İteratif Yöntem (Conjugate Gradient Metodu ile Çözüm)…...…………... 30

5. SONUÇ ve ÖNERİLER……..………... 43

1. GİRİŞ

Son 50 - 60 senedir iktisat problemlerine matematiksel yöntemlerle yaklaşım ortaya çıkmıştır. Hatta, iktisatta matematiksel yöntemlerin geliştirilmesi için Nobel ödülleri bile verilmiştir. Örneğin, Leonid Vitaliyevich Kantorovich (1912-1986), Tjalling C. Koopmans (1910-1985) ile birlikte 1975 yılında, “Kaynakların optimum dağılımı teorisine” yaptıkları katkılardan dolayı Nobel ödülüne layık görülmüşlerdir.

İktisat, genellikle bir seçim yapma bilimidir. Günlük hayatta karşılaşılan problemlerin büyük çoğunluğu kısıtlamaya veya kısıtlamalara bağlı problemlerdir. Bu problemlerde amaç, değişik kısıtlamalar altında maksimizasyon (bir firmanın karını maksimum yapma, bir ülkenin büyüme hızını maksimum yapma gibi) veya minimizasyon (bir firmanın ürettiği malın maliyetini minimum yapma gibi) yapmaktır. Bu maksimizasyon veya minimizasyon işlemleri, “en iyiyi aramak” anlamındaki optimizasyon genel başlığı altında toplanır (Chiang 1999).

Bir optimizasyon probleminin ele alınmasında yapılacak ilk iş amaç

fonksiyonunun belirlenmesidir. Bu amaç fonksiyonunun bağımlı değişkeni

maksimizasyon veya minimizasyonun nesnesini temsil eder; bağımsız değişkenler kümesi ise söz konusu iktisadi birimin, optimizasyona yönelik olarak büyüklüklerini belirleyebileceği nesneleri gösterir. Bu nedenle bağımsız değişkenlere seçim

değişkenleri, karar değişkenleri veya politika değişkenleri adı verilir. Optimizasyon

sürecinin özü, amaç fonksiyonunun istenilen uçdeğerlerini verecek bir seçim değişkenleri değerler kümesinin bulunmasından başka bir şey değildir (Chiang 1999).

Optimizasyon sayesinde karmaşık bir karar verme problemi ele alınabilir. Başka bir deyişle, performansı incelemek ve kararın kalitesini ölçmek için hazırlanmış bir amaç fonksiyonuna odaklanarak birbiriyle ilişkili birkaç değişken seçilebilir. Pratikte karşılaşılan problemlerin pek çoğu kısıtlamaya veya kısıtlamalara bağlı problemlerdir.

Bunun içindir ki matematiksel olarak problemimiz en genel haliyle şu şekilde tanımlanabilir. _f : n_→ olacak şekilde bir

1 2

( , ,..., )_n

f = f x x x fonksiyonu ve bu

fonksiyon üzerinde olacak şekilde bir

kısıtlama fonksiyonu alalım. : n g → m n 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ( , ,..., ), ( , ,..., ),..., m( , ,..., )) n n g= g x x x g x x x g x x x

g x( ) = 0 kısıtlaması altında max ( )f ( veya ) , (1.1)

x x min ( )x f x

burada , kısıtlama vektörünü göstermekte ve m < n dir. Yukarıdaki

ifadeyi daha açık olarak şu şekilde yazabiliriz; ( ) = 0 g x m×1 1 1 2 ( , ,..., )_n 0 g x x x = 2 1 2 ( , ,..., )_n 0 g x x x = . . . 1 2 ( , ,..., ) 0 m n g x x x = kısıtlamaları altında ) ,..., , ( max _{1 2} ,..., ,2 1x x n x n f x x x veya ) ,..., , ( min _{1 2} ,..., ,2 1x x n x n f x x x

olur. Bu takdirde, bu fonksiyonun bu kısıtlama altında maksimumunun veya minimumunun hesaplanması, kısıtlamalı optimizasyon problemi olarak adlandırılır.

Lagrange çarpanı metodu, kısıtlamalı optimizasyon problemlerinin çözümünde

1.1. Literatür Özeti

Baxley ve Moorhouse (1984), matematik kitaplarının, Lagrange çarpanı λ yı, kısıtlamaya bağlı problemi kısıtlamaya bağlı olmayan daha yüksek boyutlu bir probleme dönüştürmenin ötesinde herhangi bir anlamı olmayan ekstra bir değişken olarak verdiklerini ve iktisatta kısıtlamaya bağlı optimizasyon problemlerinde genellikle Lagrange çarpanı λ nın anlamı olduğunu belirtmişlerdir.

Baxley ve Moorhouse (1984), bir örnek üzerinde iktisattaki problemlerin formül halinde ifade edilmeleri ile ilgili bazı özelliklere yer vermişlerdir. Bu özelliklerden ilki, iktisat problemlerinde kullanılan fonksiyonların genellikle kapalı olarak verildiği, fakat karakteristik nitel özelliklere sahip oldukları farz edildiğidir. Bundan dolayı, problemler hesaplamadan ziyade teori gibi görünür. Ancak, problemler anlamlıdır ve çoğu kez iktisadi işleyiş hakkında önemli fikirler üretirler. İkincisi, normalde iktisatçılar, kısıtlamaya bağlı optimizasyon probleminin çözülmesiyle ilgilenmezler, bilakis onların başlangıç varsayımı, bir optimuma erişildiği ve işleyişsel tepkilerin tahminlerini arayıp bulmaktır. Örneğin, bir firmanın belli bir çıktı seviyesinde üretim yaparken maliyetini minimum yaptığı farz edilsin. Burada bilinmek istenen girdi fiyatlarındaki değişmelerin firmanın işleyişini nasıl etkileyeceğidir. Bundan dolayı problem, minimumu bulma problemi değil, minimuma ulaşıldığı farz edildiğinde bunun akabinde hangi sonuçların çıkarılabileceğidir. İşin bu noktasındaki ilginç bir sonuç şudur; iktisatçılar, optimum için esasen gerek şartlarla ilgilenirler ve yeter şartların gerçekten gerekli olduğunu bilmek isterler. Üçüncüsü, Lagrange çarpanı , iktisat problemlerinde genellikle bir anlam taşır ve çoğu kez bir parametreye bağlı olarak optimal değerdeki değişim oranı olarak yorumlanır. Son olarak, hem teorik açıdan hem de hesaplama açısından kapalı fonksiyon teoremi problem analizinde çok önemli bir rol oynar. Zira buradaki analiz lineer olmayan denklem sistemlerini bağımlı değişkenlere göre çözmeyi ve bu değişkenlerin bağımsız değişkenlere göre kısmi türevlerini gerektirmektedir.

λ

Kısıtlamaya bağlı optimizasyon problemlerinin ekonomideki en yaygın örneklerinden biri, bir ailenin bütçe sınırlaması altında mallar ve servisler üzerindeki harcamalarının fayda maksimizasyonudur. Diğer yaygın bir örnek ise firmaların belirlenmiş bir çıktı seviyesinde üretim yapmak için girdilerin maliyet

minimizasyonudur. Nicholson (1995), Sydsaeter ve Hammond (1995) ve ayrıca Silberberg ve Suen (2001) fayda fonksiyonu ile ilgili önemli bilgiler vermişlerdir. Bir malın marjinal faydası kavramı Hess (2002) tarafından incelenmiştir.

Weber (1998) bir fonksiyon tek bir kısıtlamaya göre optimize edildiğinde, ana problemle dual problemin Lagrange çarpanlarının çarpmaya göre birbirinin tersi olduğunu ve bu sonuçların birden fazla kısıtlama olması durumunda nasıl olacağını göstermiştir.

Besada ve Miras (2002), ayrıca, ana (primal) problemin ikinci mertebe yeter şartları sağlayan maksimumunun her dual problem için bir ekstremum noktası olduğunu ispatlamışlar ve sadece ana problemin çarpanları pozitif iken ana problemin maksimumunun tüm dual problemler için minimum olduğunu göstermişlerdir.

Bulgak A. ve Bulgak H. (2001), iteratif yöntemlerden conjugate gradient metodu hakkında bilgi vermişlerdir. Bununla birlikte, Miele, Huang ve Heideman (1969) lineer bir kısıtlamaya bağlı kuadratik bir fonksiyonun minimizasyonu için conjugate gradient metodu ile ilgili bilgi vermişlerdir.

1.2. Ön Bilgiler

: n

f → olacak şekilde bir f = f x x( , ,..., )_{1 2} x_n fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun ekstremumunun (maksimum veya minimum) olması için gerek şart veya birinci mertebeden şart, _i

i f f x ∂ = ∂ , i = 1,…,n ve olmak üzere, n a ∈ 1( ) 2( ) n( ) 0 f a = f a =…= f a =

olmasıdır. Bu şartı sağlayan noktasına, f fonksiyonunun durağan (stationary)

noktası veya kritik noktası adı verilir (Chiang 1999). n

Tanım 1.2.1 _f : n _→ olsun. i i f f x ∂ = ∂ , i = 1,…,n olmak üzere, 1 2 n f f f f ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∇ = ⎜ ⎟_{⎜ ⎟⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

ifadesine f fonksiyonunun gradyant vektörü denir. m fonksiyonlu

vektör fonksiyonunun gradyantı, , 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ( , ,..., ), ( , ,..., ),..., m( , ,..., )) n n g= g x x x g x x x g x x x_n ∇g 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) m m m m m m n n n _m n n n g g g x x x g g g g g g g g g g g g x x x g g g g g g x x x ⎛_{∂ ∂ ∂} ⎞_⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜_{∂ ∂ ∂ ⎟} ⎜ _⎟ ⎜ ⎛ ⎞_{⎟ ⎜} ⎟_⎟ ⎜ _{⎟ ⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ ⎜} ⎟ ∇ ∇ =_{⎜⎜ ⎟ ⎜}= ∂ ∂ _{∂ ⎟⎟} ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ _{⎟ ⎜ ⎟} ⎜ _{⎟ ⎜ ⎟} ⎜ _{⎟⎟ ⎜ ⎟} ⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎜_{⎜ ⎟⎟} ∂ ∂ ∂ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ … g =

olarak tanımlanır (Belegundu ve Chandrupatla 1999).

Tanım 1.2.2 _f : n _→ olsun.

1 2

( , ,..., )_n

f = f x x x fonksiyonunun Hessian matrisi,

2 1 2 1 2 ( , ,..., ) ( ) ( , ,..., ) n ij ij n i j f x x x f x f x x x x x ∂ = = ∂ ∂ , i, j = 1,…,n olmak üzere, 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn f x f x f x f x f x f x H x f x f x f x ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜_⎜ ⎟_⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠

olarak tanımlanır (Chiang 1999).

Buna göre, f fonksiyonunun kritik noktasının, minimum nokta olması

için yeter şart veya ikinci mertebeden şart, o noktada esas minörlerinin hepsinin yani,

n a ∈

1( ) 11( ) H a = f a , 11 12 2 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a f a H a f a f a = , … , H an( ) = H a( ) nın işaretlerinin

pozitif olmasıdır. f fonksiyonunun kritik noktasının maksimum olması için yeter şart ise o noktada birinci esas minörün işareti negatif olmak üzere diğerlerinin sırayla işaret değiştirmesidir (Chiang 1999).

üzerinde herhangi bir kısıtlama olmayan problemlere, kısıtlamaya bağlı olmayan optimizasyon problemleri denir.

n

∈

x

Örnek 1.2.1 ’in reel sayılar kümesi üzerinde maksimum ve minimum noktalarını bulalım. Burada mutlak maksimum ve mutlak minimum olmadığı açıktır. Çünkü 1 3 ) (_{x =x}3 _{− x−} f ∞ → x iken f(x)→∞ ve x→−∞ iken f(x)→−∞ olmaktadır. Dolayısıyla, burada ancak yerel maksimum söz konusu olabilir ve aşağıdaki şekilde bulunur:

2 1 ( ) 3 3 0 1 f x′ = x − = ⇒ = , x x = −₂ 1 x x f ′′( )=6 , f ′′(1)=6>0 ve f ′′(−1)=−6<0

Buna göre, x1 =1’de yerel minimum ve x2 =−1’de yerel maksimum vardır.

Örnek 1.2.2 in ’de maksimum ve minimum

noktalarını bulalım. x y xy x y x f_{( , )}=− 3 + + 2 + 2 2 ( , ) ( , ) 3 1 0 x f x y f x y x y x ∂ = = − + + ∂ = , ( , ) ( , ) 2 0 2 y f x y x f x y x y y y ∂ − = = + = ⇒ = ∂

İkinci denklemde bulduğumuz bu sonucu, birinci denklemde yerine koyarsak,

2 2 1 1 3 1 0 6 1 0 2 2 x x x x x − − + = ⇒ − − + = ⇒ = , ₂ 2 3 x =− ⇒ ₁ 1 4 y =− , ₂ 1 3 y = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⇒ 4 1 , 2 1 ) , (x₁ y₁ ve ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 3 1 , 3 2 ) , (x₂ y₂ olur.

Bu noktalar için ikinci türev testini uygulayacak olursak,

1 1 ( , ) 6 ( , ) 3 xx xx f x y = − ⇒x f x y = − < 0 ve f_xx(x₂,y₂)=4>0 ) , ( 1 ) , ( 1 ) , (x y f x₁ y₁ f x₂ y₂ f_xy = ⇒ _xy = = _xy

) , ( 2 ) , ( 2 ) , (x y f x₁ y₁ f x₂ y₂ f_yy = ⇒ _yy = = _yy olur. ) , ( 0 7 2 1 1 3 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y x y x f y x f y x f y x f yy yx xy xx ⇒ < − = −

= noktası semer noktasıdır

(Leonard ve Van Long 1992).

) , ( 0 7 2 1 1 4 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y x f y x f y x f y x f yy yx xy xx _{= = > ⇒}

noktası yerel minimumdur.

Şimdiye kadarki örneklerimizde, üzerinde herhangi bir kısıtlama

bulunmadığına dikkat edilmelidir.

n

∈

x

Tanım 1.2.3 , , … , , n tane

türevlenebilir fonksiyon olsun.

1 1 : n y = f → 2 2 : n y = f → n: n n y = f → 1 2 ( , ,..., ) i i n f = f x x x , i = 1,…, n, i. fonksiyonu göstermektedir. 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , ,..., ) ( , , , ) n n n n n n n y y y₁ n x x x y y y J x x x x x x y y y x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ … …

fonksiyonuna Jakobiyen determinantı veya kısaca Jakobiyen denir (Chiang 1999).

: n

f →

m

n x

olacak şekilde bir fonksiyon ve bu fonksiyon üzerinde olacak şekilde bir kısıtlama fonksiyonu alalım.

: n

g →

(1.1) problemi için Lagrange fonksiyonu,

1 1 1 1 1 ( ,..., , ,..., ) ( ,..., ) m j( ,..., ) m n n j j Lλ λ x x f x x λ g x = = +

∑

olacaktır (Chiang 1999).

Teorem 1.2.1 (Gerek Şartlar)

, (1.1) probleminin bir çözümü olsun. Bu durumda,

* n x ∈ * 1 * 1 1 ( ,..., , ) ( ) 0, m L x g x λ λ λ ∂ = = ∂ . . . * * 1 ( ,..., , ) ( ) 0, m m m L x g x λ λ λ ∂ = = ∂ (1.2) 1 1 * * * 1 1 1 ( ,..., , ) ( ) m j( ) 0, m x j x j L x f x g x x λ λ λ = ∂ = + = ∂

∑

. . . * * * 1 1 ( ,..., , ) ( ) ( ) 0 n n m j m x j x j n L x f x g x x λ λ λ = ∂ = + ∂

∑

= veya kısaca, * * * 1 1 1 1 * * 1 1 * * 1 1 ( ,..., , ) ( ,..., , ) ( ) ( ,..., , ) , ( ,..., , ) , ( ) , ( ,..., , ) ( ,..., , ) ( ) m m m x m x m m n m n L x L x f x x x L x L x f x L x L x f x x x λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ ⎜ _∂ ⎟ ⎜ _∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _∂ ⎟ ⎜ _∂ ⎟ _{⎝ ∂ ⎠} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 * * ∂ = ∂ 1 * * * ( ) ( ) , ( ) m g x g x g x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 m λ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ve 1 * 2 * * 1 1 1 1 * 2 * * * 2 2 2 1 * 2 * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m T x m n n n g x g x g x x x x g x g x g x g x x x x g x g x g x x x x ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ _{∂ ∂ ∂} ⎟ ⎜ ⎟ ⎜_{∂ ∂ ∂} ⎟ ⎜ ⎟ =_⎜ ∂ ∂ ∂ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜ _{∂ ∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠

olmak üzere, * * 1 ( ,..., _m, ) ( ) 0 L_λ λ λ x =g x = ve * * * 1 ( ,..., , ) ( ) T 0 x m x x L λ λ x = f x +g x( )λ=

olacak şekilde tek bir λ1, ,… λm değerler kümesi olmalıdır (Leonard ve Van Long

1992).

(1.1) probleminin Lagrange fonksiyonu için Hessian matrisi,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ,..., , ) _{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n x x m m x x m m m j m _{x x x x j x x x x j x x} j j m m m j x x x x j x x x x j x x j j g x g x g x g x H x _{g x g x f x g x f x g x} g x g x f x g x f x g x λ λ λ λ λ λ = = = = ⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ = + + + + ⎝

∑

∑

∑

∑

⎞⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ n n _⎠ j j

olarak bulunur. Burada, m = 1 olduğunda, bu matris

1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L x L x L x L x L x L x L x L x H x L x L x L x L x L x L x L x L x λλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜ =_{⎜ ⎟} ⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎜ ⎜⎜⎜ ⎝ ⎠⎟⎟⎟⎟⎟ 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g x g x g x f x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + + = + + + + + + g_{x xn n}( )x ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠ olacaktır (Chiang 1999).

Teorem 1.2.2 (Yeter Şartlar) * * * * 1 1 ( , ) ( ,..., _m, ,..., )* n x x x

λ* = λ λ _{, (1.2) deki şartları sağlasın.}

(i) _{( , )λ}* _x* _{noktasında değerlendirilen H matrisinin son (n - m) tane en}

yüksek dereceli esas minörü, ile başlayarak sıra ile işaret

değiştirirse, x

1

( 1)₋ m+

*_{, (1.1) problemi için bir lokal maksimum olur. (Bu işaret}

dizisi, en yüksek dereceli en son esas minörün, yani H nin işaretine sahip olmasını ve alternatif olarak her k x k mertebeli en yüksek dereceli her esas minörün, k = 2m + 1, 2m + 2, … , m + n için (

işaretine sahip olmasını gerektirir.)

( 1)₋ n

1)k m−

−

(ii) _{( , )λ}* _x* _{noktasında değerlendirilen H matrisinin son (n - m) tane en}

yüksek dereceli esas minörünün işareti ( 1)₋ m olursa, x*_{, (1.1) problemi}

için bir lokal minimum olur (Leonard ve Van Long 1992).

Kısıtlamalı optimizasyon problemlerinde, birden fazla kısıtlama olması durumunda veya karışık bir fonksiyonun tek bir kısıtlama olması durumunda değişkenlerden birini diğer(ler)i cinsinden yazmak zor olabilir. Bu gibi durumlarda Lagrange çarpanı yöntemi büyük kolaylıklar sağlamakta; kısıtlamaya bağlı optimizasyon problemini ekstra bir (veya daha fazla) değişken (Lagrange çarpanı) yardımıyla kısıtlamalardan kurtararak normal bir optimizasyon problemine dönüştürmektedir (Chiang 1999).

Örnek 1.2.3 xyz =1 kısıtlamasına göre f x y z( , , )= + + fonksiyonunun x y z

maksimum ve/veya minimum noktasını bulalım. Lagrange fonksiyonunu oluşturacak olursak,

[

]

( , , , ) 1

L λ x y z = + + +x y z λ −xyz

bulunur. Birinci mertebeden şartlar, ( , , , ) 1 0 L x y z xyz λ λ ∂ = − = ∂ , ( , , , ) 1 0 L x y z yz x λ λ ∂ = − = ∂ , ( , , , ) 1 0 L x y z xz y λ _λ ∂ _{= − =} ∂ , ( , , , ) 1 0 L x y z xy z λ _λ ∂ _{= − =} ∂

olup, bunların çözümünden,

* _x* _y* _z* ₁ λ = = = =

bulunur. Bu nokta için yeter şartlara bakalım. Lagrange fonksiyonu nin

Hessian matrisi, ( , , , ) Lλ x y z 0 0 ( , , , ) 0 0 yz xz xy yz z y H x y z xz z xy y x λ λ λ λ λ λ λ ⎛ − − _{− ⎟}⎞ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜_{− − ⎟} ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ = ⎜_{⎜− − − ⎟}⎟_⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜− − − ⎝ ⎠ x − 1 − olup, bu noktada 0 1 1 1 0 1 1 (1,1,1,1) 1 1 0 1 1 1 1 0 H ⎛ − − _{− ⎟}⎞ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜_{− − ⎟} ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ = ⎜_{⎜− − − ⎟}⎟_⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜− − − ⎝ ⎠ olacaktır. 3 0 1 1 (1,1,1,1) 1 0 1 2 0 1 1 0 H − − = − − = − < − −

ve H4(1,1,1,1) = H(1,1,1,1) = − <3 0 olarak bulunur. Son iki (n – m = 3 – 1 = 2) en

yüksek dereceli esas minörlerin hepsinin işareti olduğu için bulduğumuz nokta bir yerel minimumdur.

1

( 1)− <0

Tanım 1.2.4 Kısıtlamalı optimizasyon problemlerinde Lagrange fonksiyonunun Hessian matrisine, çitlenmiş (bordered) Hessian matrisi denir (Chiang 1999).

Tanım 1.2.5 A karesel simetrik bir matris olsun. Sıfırdan farklı herhangi bir x

vektörü için ise A matrisine pozitif tanımlı matris denir. ise A

matrisine negatif tanımlı matris denir. Öte yandan, ise A matrisine

yarı-pozitif tanımlı matris denir. ise A matrisine yarı-negatif tanımlı matris denir (Bulgak A. ve Bulgak H. 2001).

0 T x Ax > _{x Ax <}T 0 0 T x Ax ≥ 0 T x Ax ≤

2. FAYDA MAKSİMİZASYONU İLE İLGİLİ ÖRNEK

İktisatta kullanılan fonksiyonlar için, tanım kümesi üzerinde, değişkenler için genellikle kapalı veya kapalı olmayan sınırlamalar vardır. Örneğin, bir malın miktarının (x), genelde, negatif olmayacağını farz ederiz, dolayısıyla dır. İktisatta, kullanılan fonksiyonların tanım kümelerinin ne olduğunun net olması çoğu kez çok önemlidir. Aksi belirtilmedikçe, tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, bir formül ile tanımlanan bir fonksiyonun tanım kümesini, formülün anlamlı ve tek değer vereceği en büyük tanım kümesi olarak kabul edeceğiz (Sydsaeter ve Hammond 1995).

0 ≥

x

İktisatta, kısıtlama altında optimizasyon problemlerinde kullanılan amaç fonksiyonlarından fayda fonksiyonu önemli bir yere sahiptir. Bir birey, verilen bir zaman aralığında, n tane farklı maldan hangi miktarlarda alacağına karar vermelidir. Fayda teorisi, bireyin, kendi tercihlerini gösteren U(x1,x2,…,xn) şeklinde bir fayda

fonksiyonuna sahip olduğunu ve bu fonksiyonun, 1 numaralı maldan x1 birim, 2

numaralı maldan x2 birim, … elde ederek bireyin sağlamış olduğu tatmini ölçtüğünü

farzeder (Sydsaeter ve Hammond 1995).

Sıra ölçeği (ordinal scale) nesnelerin sıralanması işlemi sonucu oluşan bir ölçektir. Büyüklük-küçüklük, sertlik-yumuşaklık gibi nedenlere ilişkin ayırt edici farklılıkların nitelenmesinde kullanılır. Ölçeği oluşturan sıralama kuralı sabit ise ve bu kural herhangi bir matematik dönüşümde (transformasyon) değişmiyor ise, bu ölçek isotonik yapılanma veya sıra koruyan grup (order preserving group) olarak adlandırılır. Bir sıra ölçeğine atfedilen pozitif sayılar, kareleri ve logaritmaları alındığında veya normalleştirildiklerinde aralarındaki ilişki değişmez. İktisatta fayda analizinde kullanılan "fayda" kavramı sıra ölçeği ile nitelenen kavramdır. Yoğunluk, sertlik gibi nitelemeler sıra ölçekleri ile değerlendirilir (Abaan 1998).

Fayda fonksiyonu, bireyin tercihlerinin sadece ordinal bir sıralaması olup, bireyin bu tercihlerden elde ettiği faydayı, sayma (kardinal) sayılarıyla ölçer. Örneğin, bir tüketici için “Patatesin bana verdiği fayda 10 ve bifteğin bana verdiği fayda 20 dir” demesiyle “Patatesin bana verdiği fayda 7 ve bifteğin bana verdiği fayda 102 dir” demesi arasında bir fark yoktur. Çünkü kişinin herhangi bir

tercihinden veya tercihlerinden elde ettiği fayda, kardinal ölçümler olup, bunu ölçmek için 1, 2, 3, … sayıları kullanılır. Bu örnekteki ifadelerden çıkarılacak tek sonuç, bifteğin patatese tercih edildiğidir. Öte yandan, ordinal sayılar ise sadece sıralamalardır, mesela spor olaylarının çoğu ve seçimler yalnızca ordinal sıralamaya dayanır (Silberberg ve Suen 2001).

Buna ilaveten, her malın tüketimi ile ilgili olarak, marjinal faydanın pozitif fakat azalan olduğu farz edilir. U(x1,x2,…,xn) şeklindeki bir fayda fonksiyonunda,

i x i U U x ∂ =

∂ ile gösterilen kısmi türev ifadesi, i. malın marjinal faydası olarak adlandırılır. Genellikle, n tane marjinal faydanın hepsi pozitiftir. Çünkü birey, bir maldan daha fazla birim elde ettiğinde faydanın (tatminin ölçüsünün) artacağı umulur. Öte yandan, eğer marjinal fayda sıfır veya negatif ise yani başka bir deyişle toplam fayda artmıyor, hatta düşmeye başladı ise, rasyonel bir tüketici o maldan ekstra birim tüketmeyecektir. Bu, “azalan marjinal fayda kanunu” olarak tanımlanır. Örneğin, bir saat içinde bir içecekten üç kez içildiğinde, içen kişinin susuzluğunu üçüncüsü ikincisi kadar gidermez. Matematiksel olarak bu varsayımları şu şekilde ifade edebiliriz; örnek olarak iki çeşit mal için fayda fonksiyonu U=U(X,Y) ise

( , ) 0 X U X Y > ve U X Y >_Y( , ) 0 ( , ) 0 XX U X Y < ve U_YY( , ) 0X Y < dır (Hess 2002). Bununla birlikte, ( , ) 0 XY U X Y > veya U_XY( , ) 0X Y < veya U_XY( , )X Y =0

dır. nin işareti, x ve y nin ikame (birbirinin yerine-geçer) mal (çay ve kahve gibi), tamamlayıcı mal (çay ve şeker gibi) veya birbiriyle ilişkisiz mal (matematik kitapları ve şekerlemeler gibi) olup olmamalarına bağlıdır. Eğer bunlar

ikame mal ise < 0, tamamlayıcı mal iseler > 0 ve eğer

birbiriyle ilişkisiz mal iseler = 0 olur (Baxley ve Moorhouse 1984). ( , ) XY U X Y ( , ) XY U X Y U_XY( , )X Y ( , ) XY U X Y

Bireylerin ürün sepetlerinin sıralaması ve bu sıralamayı belirten fayda

öğrenebildiklerimiz, gelirin, fiyatların ve diğer faktörlerin değişimine verdikleri tepkilerden gözlemlediğimiz davranışlardan gelmektedir. Dolayısıyla, bireylerin “gerçek” fayda fonksiyonlarını gözlemleyip ölçebilmek hiçbir zaman mümkün değildir. Bundan dolayı, gerçek dünyada, insanların tükettiği pek çok mal arasından yapılan seçimlerin, zengin karışımını resmetmek basit fayda fonksiyonlarını kullanmakla mümkündür (Nicholson 1995).

Baxley ve Moorhouse (1984), bütçe kısıtlamasına bağlı olarak fayda maksimizasyonu örneği üzerinde iktisattaki problemlerin aşağıda belirtilen tipik özelliklerini göstermişlerdir.

Bu özelliklerden ilki şudur; iktisattaki problemlerde kullanılan fonksiyonlar genellikle açık olarak verilmez, fakat karakteristik nitel özelliklere sahip oldukları farz edilir. Bundan dolayı, problemler hesaplamadan ziyade teori gibi görünür. Ancak, problemler anlamlıdır ve çoğu kez iktisadi işleyiş hakkında önemli fikirler üretirler (Baxley ve Moorhouse 1984).

İkincisi, normalde iktisatçılar, kısıtlamalı optimumun çözülmesiyle ilgilenmezler, bilakis onlar, bir optimuma erişildiğini farz edip, bunun neticesinde işleyişsel tepkileri araştırırlar. Örneğin, bir firmanın belli bir çıktı seviyesinde üretim yaparken maliyetini minimum yaptığı farz edilsin. Burada bilinmek istenen girdi fiyatlarındaki değişmelerin firmanın işleyişini nasıl değiştireceğidir. Bundan dolayıdır ki problem, minimumu bulma problemi değil, minimuma ulaşıldığı farz edildiğinde bunun akabinde hangi sonuçların çıkarılabileceğidir. İşin bu noktasındaki ilginç bir sonuç şudur; iktisatçılar, optimum için esasen gerek şartlarla ilgilenirler ve yeter şartların gerçekten gerekli olduğunu bilmek isterler (Baxley ve Moorhouse 1984).

Üçüncüsü, Lagrange çarpanı , iktisat problemlerinde genellikle bir anlam taşır ve çoğu kez bir parametreye bağlı olarak optimal değerdeki değişim oranı olarak yorumlanmaktadır. Son olarak, hem teorik olarak hem de hesaplama olarak kapalı fonksiyon teoremi problem analizinde çok önemli bir rol oynar. Zira, buradaki analiz lineer olmayan denklem sistemlerini bağlı değişkenlere göre çözmeyi ve bu değişkenlerin bağımsız değişkenlere göre kısmi türevlerini gerektirmektedir (Baxley ve Moorhouse 1984).

Çalışmada ele alınan örneğe benzer ama daha basit bir halini biz de burada ele alacağız. Basitlik amacıyla piyasada sadece iki mal (x ve y) olduğunu varsayalım.

B, bireyin bütçesi olsun ve bireyin tüm gelirini bu mallara harcadığını varsayalım. P

ve Q, sırasıyla, x ve y nin bir biriminin fiyatı olsun. X, x malının miktarını, Y de y malının miktarını göstersin. Gelir, tüketim harcamalarına eşit olduğu için bütçe kısıtlaması

B = PX + QY

olur. Belli bir X ve Y seçiminden bireyin elde edeceği U faydasının da,

U = U(X,Y)

şeklinde bir fayda fonksiyonu (bireye mahsus olmak üzere) ile verildiğini ve bu fayda fonksiyonunun yukarıdaki varsayımları sağladığını farz edelim. [İktisattaki problemlerin özelliklerinden ilki] (Baxley ve Moorhouse 1984).

Lagrange metodunu uyguladığımızda, Lagrange fonksiyonu,

L(λ, X, Y) = U(X, Y) + λ( B - PX - QY )

şeklinde olacaktır. Bu çok değişkenli fonksiyonun _{( ,λ}* _{X Y}*_, *_{) ekstremum noktası}

için, * * * * * ( , , ) 0 L_λ λ X Y = −B PX −QY = (2.1a) * * * * * * ( , , ) ( , ) 0 X X L λ X Y =U X Y −λ P= λ = (2.1b) * * * * * * ( , , ) ( , ) 0 Y Y L λ X Y =U X Y − Q (2.1c)

denklemlerinin sağlanması gerekmektedir. Burada bu denklemleri sağlayan tek bir noktanın (çözümün) olduğu varsayılmaktadır. Dolayısıyla,

* * * *

* UX(X Y, ) U X YY( , )

P Q

λ = = (2.1d)

Burada marjinal faydalar pozitif olduğu için (2.1b-c) numaralı eşitliklerin her biri Lagrange çarpanının optimal değerinin pozitif olmasını gerektirir, yani > 0 olur. [İktisattaki problemlerin özelliklerinden ikincisi] (Baxley ve Moorhouse 1984).

* λ

*

λ , X* _{ve Y}* _{bulunan ekstremum nokta olsun. Açıktır ki bu değerler, P, Q ve} B ye bağlıdır, yani

*

λ = K(P,Q,B), X* _{= G(P,Q,B) ve Y}* _{= W(P,Q,B)}

dir. Bu nokta, denge noktası olarak da adlandırılır. : n

F →

n a

ye türevlenebilir bir fonksiyon ve ,

ve olacak şekilde bir nokta olsun. Bu takdirde,

ve olacak şekilde

komşuluğunda tanımlı bir ϕ fonksiyonu vardır. Ayrıca, fonksiyonu, bu

komşulukta türevlenebilir sürekli bir fonksiyondur. Bu, literatürde (örneğin, Leonard ve Van Long 1992, Silberberg ve Suen 2001, Sydsaeter ve Hammond 1995) kapalı

fonksiyon teoremi olarak adlandırılır.

1 ( , , ) n n a … a ∈ 1 ( , , )_n 0 F a … a = ( , , )₁ 0 n x n F a … a ≠ 1 1 1 1 ( , , _n , ( , , _n )) 0 F x … x₋ ϕ x … x₋ = ϕ( , ,a₁ … a_n−1)= ( , ,a₁ … a_n−1) ϕ

(2.1a-c) numaralı üç denklemin sol tarafları kısmi türev olup bu denklemler altı bilinmeyen içermektedir. Bu denklemlerin çözümü olduğu ve bulunan ekstremum noktasında da (veya denge noktasında) Lagrange fonksiyonunun Hessian matrisinin düzenli olduğu (singüler olmadığı) varsayıldığı için kapalı fonksiyon teoreminden, _λ*, X* _{ve Y}*_{, P, Q ve B ye göre türevlenebilir fonksiyonlar olacaktır.}

Fayda fonksiyonunda bu değerleri yerine yazarsak, literatürde (örneğin Sydsaeter ve Hammond 1995) optimal değer fonksiyonu olarak adlandırılan optimize edilmiş fayda fonksiyonunu buluruz, yani, bu fonksiyonu F ile gösterirsek,

* * ( , , ) ( , ) F P Q B =U X Y , _{X Y ∈}*_, * olur. Buradan, ( , , ) ( ( , , ), ( , , )) F P Q B =U G P Q B W P Q B

olduğundan zincir kuralını kullanarak, ( , , ) ( , , ) ( ( , , ), ( , , )) X F P Q B G P Q B U G P Q B W P Q B B B ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ( , , ) ( ( , , ), ( , , )) Y W P Q B U G P Q B W P Q B B ∂ + ∂ bulunur. (2.1d) sonucunu kullanarak en son bulduğumuz bu ifadeyi,

* ( , , ) ( , , ) ( , , ) F P Q B G P Q B W P Q B P Q B λ B ⎛ ⎞ ∂ _⎜ ∂ ∂ _⎟ = ⎜_⎜⎝ + ⎟_⎟⎠ ∂ ∂ ∂B

olarak yazabiliriz. Şimdi (2.1a) numaralı denklemin türevini alırsak,

( , , ) ( , , ) 1 P G P Q B Q W P Q B B B ∂ ∂ = + ∂ ∂

sonucu elde edilir. Bu sonucu kullanarak,

* F P Q B( , , ) B λ =∂

∂

ifadesi elde edilir. [İktisattaki problemlerin özelliklerinden üçüncüsü] (Baxley ve Moorhouse 1984). Bunun içindir ki , genellikle, gelirin marjinal faydası olarak adlandırılır (Sydsaeter ve Hammond 1995).

* λ

(2.1a-c) deki ifadelerin tam diferensiyelini alacak olursak,

_−PdX*_−QdY*_{= X dP Y dQ dB}* ₊ * ₋ (2.2a) * ₍ *_{, )}* * ₍ *_{, )}* * (2.2b) XX XY Pdλ U X Y dX U X Y dY λ dP − + + = * * * ₍ *_{, )}* * ₍ *_{, )}* * (2.2c) YX YY Qdλ U X Y dX U X Y dY λdQ − + + = olur.

Matematiksel olarak (2.2a-c) numaralı üç denklem, dışsal değişkenlerden herhangi ikisi sabitken diğeri değiştiğinde içsel değişkenlerin nasıl etkileneceğini

bulmak için kullanılabilir. Örneğin, Q ve B sabitken ( ve dB = 0), P

değiştiğinde 0 dQ = *_{( , , )} X P Q B P ∂ ∂ , *_{( , , )} Y P Q B P ∂

∂ v.b. hesap edilebilir. Bu şekilde oluşacak 9 tane kısmi türeve, modelin karşılaştırmalı statikleri denir. Modelin işe yararlığı, tüketici davranışındaki ayarlamaları ne kadar doğru bir şekilde tahmin ettiği ile belirlenir (Baxley ve Moorhouse 1984).

Karşılaştırmalı statikler [İktisattaki problemlerin özelliklerinden dördüncüsü], matris formunda gösterilecek olursa

* * * * * * * * * * * * * * * * * ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) XX XY YX YY P Q B P Q B P Q B P Q B P Q X P Q B X P Q B X P Q B P U X Y U X Y P Q B Q U X Y U X Y Y P Q B Y P Q B Y P Q B P Q B λ λ λ ⎛_{∂ ∂ ∂} ⎞_⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ⎜⎜ ⎛ − − ⎞_⎟⎜ ⎜ _⎟⎜ ⎜ _⎟⎜∂ ∂ ∂ ⎜_{− ⎟⎜} ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ⎜ _⎟⎜⎟ ⎜− ⎝ _⎠⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ⎜⎜ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ * * * * ( , , ) ( , , ) 1 ( , , ) 0 0 0 ( , , ) X P Q B Y P Q B P Q B P Q B λ λ ⎟⎟⎟ _{⎛ ⎞} ⎟ _{− ⎟} ⎟ ⎜ _⎟ ⎟ ⎜ _⎟ ⎟ ⎜ _⎟ ⎟==⎜ ⎟ ⎟ _{⎜ ⎟} ⎟ _{⎜ ⎟} ⎟ _{⎜ ⎟} ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ 0 olacaktır. Burada, * * * * * * * * * * * 0 ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) XX XY YX YY P Q H X Y P U X Y U X Y Q U X Y U X Y λ ⎛ − − ⎞_⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ = −_{⎜⎜ ⎟} ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜− ⎝ ⎠

matrisinin çitlenmiş Hessian matrisi olduğu açıktır. Şimdi, gelinen bu noktadan karşılaştırmalı statik sonuçları türetilebilir. Mesela, x in fiyatı arttığında, x in tüketim seviyesi nasıl değişir? Bu durumda, dQ = 0 ve dB = 0 olduğundan, yukarıdaki matris,

* * * * * * * * ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 ( , , ) P Q B P _{X P Q B} X P Q B H X Y P Q B P Y P Q B P λ λ λ ⎛_∂ ⎞_⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _{∂ ⎟} ⎜ _{⎟ ⎛ ⎞} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ⎟_{⎟ ⎜} ⎟ ⎜ _{⎟= ⎜} ⎟ ⎜ _{⎟ ⎜} ⎟_⎟ ⎜ _{∂ ⎟ ⎜ ⎟} ⎜ _{⎟ ⎜ ⎟} ⎜ _{⎟ ⎝}⎜ ⎟_⎠ ⎜_∂ ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _∂ ⎝ ⎠

olacaktır. Burada, eğer * * * * 2 * * 2 * * ( _XY( , ) _YX( , )) _XX( , ) _YY( , PQ U X Y U X Y Q U X Y P U X Y = + − − ) ise bu takdirde, * * * * * * * 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( _YY( , ) _XY( , )) ( X P Q B X P Q B P Q B QU X Y PU X Y Q P λ ∂ ₌− _{− +} ∂ − ) 0

bulunur (Chiang 1999). Burada yeter şartların bir relatif maksimum vermesi için nın, λ*_{, X}*_{, Y}* _{noktasında pozitif olduğu varsayılacaktır. Bu ifadenin sağındaki ikinci}

parça ve olduğu için negatiftir. x ve y nin tamamlayıcı mal

veya birbiriyle ilişkisiz mal olduğunu ( ) varsaydığımız için sağdaki

birinci parçanın işareti de negatif olacaktır. Dolayısıyla

*_{( , , ) 0P Q B} λ > >0 * * ( , ) XY U X Y ≥ *_{( , , )} 0 X P Q B P ∂ _< ∂ olarak

bulunur ki bu sonuç sezgisel olarak doğrudur ve deneysel kanıtlarla da tam bir uygunluk içindedir (Baxley ve Moorhouse 1984).

Şimdi de B deki değişmenin etkilerine bakalım. Bu durumda, dP = 0 ve

dQ = 0 olduğundan, yukarıdaki matris,

* * * * * * ( , , ) 1 ( , , ) ( , , ) 0 0 ( , , ) P Q B B X P Q B H X Y B Y P Q B B λ λ ⎛_∂ ⎞_⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _{∂ ⎟} ⎜ _{⎟ ⎛ ⎞−} ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟} ⎜∂ ⎟_{⎟ ⎜ ⎟} ⎜ _{⎟ ⎜= ⎟} ⎜ _{⎟ ⎜} ⎟ ⎜ ∂ _{⎟ ⎜} ⎟ ⎜ _{⎟ ⎜} ⎟_⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜_∂ ⎟ ⎜ _⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _∂ ⎝ ⎠ olacaktır. Bu takdirde, * * * * * ( , , ) 1 ( _XY( , ) _YY( , X P Q B QU X Y PU X Y B ∂ = − ∂ ))

* * * * * ( , , ) 1 ( _XX( , ) _YX( , Y P Q B QU X Y PU X Y B ∂ ₌− ₋ ∂ )) 0

bulunur. ₍ *_{, )}* varsayımına göre,

XY U X Y ≥ *_{( , , )} 0 X P Q B B ∂ > ∂ ve *_{( , , )} 0 Y P Q B B ∂ > ∂ olur (Chiang 1999). Yukarıda *_{( , , )} X P Q B B ∂

∂ için bulunan sonuç kullanılırsa,

* * * * * * * 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( _XY( , ) _YY( , )) ( X P Q B X P Q B P Q B QU X Y PU X Y Q P λ ∂ − = − + ∂ − ) * * * 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) X P Q B P Q B X P Q B Q B λ ⎛ _∂ ⎞_⎟ ⎜ _⎟ = −⎜_{⎜⎜ ⎟⎟} + − ∂ ⎝ ⎠

olarak yazılabilir. Bu ifadenin sağındaki ilk terim, fiyat değişikliğinin gelir etkisi olarak yorumlanır. P arttığında, tüketicinin satın alma gücündeki (reel gelirindeki) azalma, x malında, B de gerçek bir azalmanın yapacağı etkiye benzer bir etki yapar. Matematiksel olarak tüketicinin satın alma gücündeki kayıp,

olarak ifade edilir ve gelir etkisi,

*_{( , , )} dB= −X P Q B dP * * * ( , , ) ( , , ) ( , , ) X P Q B X P Q B dB X P Q B B B d ∂ ∂ − = ∂ ∂ P

olarak yazılabilir. Bu ifadeden açıkça anlaşılacağı üzere, gelir etkisi, P teki değişimin, B üzerinden _{X P Q B}*_{( , , ) ye etkisi olmaktadır (Chiang 1999).}

Yukarıdaki

*_{( , , )} X P Q B

P

∂

∂ ifadesinin sağındaki ikinci terim, fiyat

değişikliğinin ikame etkisi olarak yorumlanır. P arttığında, x malına olan talep azalacaktır. Dolayısıyla ikame etkisi her zaman negatiftir (Chiang 1999).

3. ANA VE DUAL PROBLEMİN LAGRANGE ÇARPANLARI

3.1 Tek Kısıtlama Durumu

Tek kısıtlamaya bağlı olarak bir fonksiyon optimize edildiğinde, ana

problemin Lagrange çarpanı ile dual problemin Lagrange çarpanının, çarpmaya göre birbirinin tersi olduğu literatürde (örneğin, Nicholson 1995, Silberberg ve Suen 2001) iyi bilinmektedir. Bunu basit bir örnek üzerinde hatırlatalım.

Piyasada sadece iki malın (x ve y) olduğu durumu yeniden ele alalım. Bireyin fayda fonksiyonunu, bütçe kısıtlamasına göre maksimize etmesi durumunda,

* * * *

*A UX(X Y, ) U X YY( , )

P Q

λ = = (3.1)

olacağını biliyoruz. Burada daki A indeksi, bulduğumuz Lagrange çarpanının ana problemin çarpanı olduğunu belirtmektedir.

* λ

Şimdi matematiksel olarak bu probleme denk olan, yukarıda incelediğimiz problemin dual problemini yani ∀X Y, ∈ için verilen bir U0_{∈ fayda seviyesine} göre bütçeyi minimumlaştırma veya daha genel olarak maliyet minimizasyonu problemini ele alalım;

U(X, Y) = U0 kısıtlamasına göre min PX + QY = B .

Bu problem için Lagrange fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır:

L(λ, X, Y) = PX + QY + λ(U0 _{– U(X, Y))}

Bu fonksiyonun _{( ,λ}* _{X Y}*_, *_{) ekstremum noktaları için,}

* * * * * * ( , , ) ( , ) 0 X X L λ X Y = −P λU X Y = * * * * * * ( , , ) ( , ) 0 Y Y L λ X Y = −Q λU X Y =

* * * 0 * *

( , , ) ( , ) 0

L_λ λ X Y =U −U X Y =

denklemlerinin sağlanması gerekmektedir. Dolayısıyla,

* * * * * ( , ) ( , ) D X Y P Q U X Y U X Y λ = = (3.2)

olarak bulunur. Burada daki D indeksi, bulduğumuz Lagrange çarpanının dual problemin çarpanı olduğunu belirtmektedir.

* λ

(3.1) ve (3.2) de bulduğumuz sonuçları birleştirecek olursak,

* * 1 A D λ λ = bulunur.

3.2 Birden Fazla Kısıtlama Durumu

Birden fazla kısıtlama olması durumunda, ana problemin ve onun dual problemlerinin kısıtlama fonksiyonu sayısı kadar Lagrange çarpanı olacaktır. Weber (1998), bu durumda Lagrange çarpanlarının birbirleriyle nasıl bağlantılı olduğunu

ortaya koymuştur. , ve m < n olmak üzere

, , olsun.

x , hane halkı tarafından tüketilen ürünlerin (1 x n) lik vektörü olsun. Bir ailenin,

fayda fonksiyonu U = U(x) = i, m tane vektör kısıtlamasına, yani

n U = → U =U x x( , ,..., )_{1 2} x_n : n m g →

(

1 2

)

1 2 1 2 1 2 ( , ,..., ), ( , ,..., ), , m( , ,..., ) n n g= g x x x g x x x … g x x x_n n ∈ 1 2 ( , ,..., )_n U x x x 1 ( ,..., ) 0 j n g x x = , j = 1,…,m (3.3)

j( ,..., )₁ 0, (j = 1,…,m) kısıtlamaları altında max (3.4)

n

g x x = U x( ,..., )₁ x_n

olacaktır. Bu problem için Lagrange fonksiyonu,

1 1 1 1 1 ( ,..., , ,..., ) ( ,..., ) m A j( ,..., ) m n n j j L λ λ x x U x x λ g x = = +

∑

x _n olur. Üst indeks A, A j

λ (j = 1,…,m) ların ana problemle ilgili olduğunu belirtmektedir. Bu problem için gerek şartlar, i = 1,…,n ve j = 1,…,m olmak üzere,

1 1 1 ( ,..., , ,..., ) ( ,..., ) 0 j j m n n L_λ λ λ x x =g x x = 1 1 1 1 1 ( ,..., , ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) 0 i i i m A j x m n x n j x n j L λ λ x x U x x λ g x x = = +

∑

=

olarak bulunur (Weber 1998).

(3.4) ile gösterilen ana problemin, her kısıtlamaya bir tane tekabül eden m tane dual problemi vardır. k. dual problem için kısıtlamalar, verilen (sabit) bir fayda seviyesi ve (3.3) numaralı ifadedeki kısıtlamalardan k. hariç geri kalan m - 1 tanesidir. Bu durumda k. dual problem,

1 ( ,..., ) 0 j n g x x = , ( j≠ , k, j = 1,…,m) ve k 0 kısıtlamaları altında 1 ( ,..., )_n U x x =U min k( ,..., )₁ (3.5) n g x x

olacaktır. Bu problem için Lagrange fonksiyonu, 1 1 1 1 1 0 1 1 1 ( , ,..., , ,..., , ,..., ) ( ,..., ) ( ( ,..., )) ( ,..., ) k k k k k k k k m n m k k k j n n j j j k L x x g x x U U x x g x x µ λ λ λ λ µ λ − + = ≠ = + − +

∑

_n

şeklinde olacaktır. Burada, , fayda kısıtlaması ile ilgili Lagrange çarpanıdır. k üst indeksi, fayda kısıtlaması ve diğer kısıtlamalar üzerindeki çarpanların m tane dual

k µ

problemin her biri için farklı olduğunu göstermektedir. Şimdi bu problem için gerek şartları yazacak olursak, i = 1,…,n ve j = 1,…,m olmak üzere,

1 1 1 1 1 ( , ,..., , ,..., , ,..., ) ( ,..., ) 0 j k k k k k j k k m n n L_λ µ λ λ₋ λ₊ λ x x =g x x = , j≠k = 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ,..., , ,..., , ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) 0 k k k k k xi k k m n m k k k j xi n xi n j xi n j j k L x x g x x U x x g x x µ λ λ λ λ µ λ − + = ≠ = − +

∑

olur. Aşağıdaki teorem çarpanlar arasındaki ilişkiyi vermektedir (Weber 1998).

Teorem 3.2.1 A j

λ , _µk ve k

j

λ yukarıda tanımlandığı gibi olsun. Bu takdirde,

1 A k k λ µ = ve k j A j k λ λ µ = , j≠ ve k, j = 1,…,m k olur (Weber 1998).

3.3 Yeter Şartların Durumu

Silberberg ve Suen 2001, iki malın olduğu durumda, bütçe kısıtlamasına göre fayda maksimizasyonu problemi için çitlenmiş Hessian matrisinin determinantının,

* * *

( , , )

A

H λ X Y , _{λ > 0 olduğu için, pozitif olmasının dual problemin çitlenmiş} *A

Hessian matrisinin determinantının _HD_{( ,λ}* _{X Y}*_{, )}* _{negatif olması ile mümkün}

olduğunu, eşitliği ile verip, ikinci mertebeden

şartların denkliğini tek kısıtlama için belirtmişlerdir. Şimdi,

ifadesine nasıl ulaşıldığını gösterelim.

* * * * * * * ( , , ) ( , , ) D A A H λ X Y = −λ H λ X Y * * * * * * * ( , , ) ( , , ) D A A H λ X Y = −λ H λ X Y

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 ( , ) ( ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) X Y D D X XX XY D D Y YX YY U X Y U X Y H X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y λ λ λ λ λ − − = − − − − − − , ) D

(

)

* * * * * * * * 3 * * * * * * * * * * * ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) X Y D D D X XX XY D Y YX YY D U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y λ λ λ λ λ = − * *

(

)

( )

* * * * 3 * * * * * 2 * * * * * * * 0 ( , ) ( , 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) X Y D X XX XY D Y YX YY U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y λ λ = − * * ) * * * * * * * * * * * * * * * * 0 ( , ) ( , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) X Y D X XX XY Y YX YY U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y U X Y λ = − * ) * * * * * * * * * * * * 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) A A D A XX XY A YX YY P Q P U X Y U X Y Q U X Y U X Y λ λ λ λ λ = − * * * * * * * * 1 * * * * 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D A A XX XY YX YY P Q P U X Y U X Y Q U X Y U X Y λ λ λ = −

( )

2 * * * * * * * 0 1 ( , ) ( ( , ) ( , ) A XX XY YX YY P Q P U X Y U X Y Q U X Y U X Y λ − − = − − − − *_, *₎ * _. *A_HA_{( ,}* _{X Y}*_{, )} λ λ = −

Dolayısıyla, tek kısıtlama durumunda, pozitif Lagrange çarpanlı ana problemin (fayda maksimizasyonu problemi) ikinci mertebeden yeter şartlarını sağlayan bir maksimumu, dual problemin (maliyet minimizasyonu) bir minimumudur.

Besada ve Miras (2002) makalelerinde birden fazla kısıtlama olması durumunu m = 2 için ispatlayıp, buldukları sonucu genelleştirmişler ve bununla ilgili olarak aşağıdaki teoremi vermişlerdir.

Teorem 3.3.1 U: , n > 2, ve g: , m < n, iki kere türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve x n _→ m n 0 1 2 ( , ,..., )_n U =U x x x n_→ 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ( , ,..., ), ( , ,..., ),..., m( , ,..., )) n n g= g x x x g x x x g x x x 0 , { } vektörleri lineer

bağımsız olacak şekilde bir nokta olsun. Ana problem (3.4) ün, Lagrange çarpanlarının n ∈ 1 2 0 0 ( ), ( ), , m( ) g x g x g x ∇ ∇ … ∇ A k

λ , (k = 1,…,m) sıfırdan farklı olduğunu ve x0∈ n’in, (3.4) ün, ikinci

mertebeden yeter şartları sağlayan bir maksimum noktası olduğunu varsayalım. O zaman, her k = 1, …, m için;

A k

λ > 0 ise x0 ∈ n, k. dual problem (3.5) in bir minimum noktasıdır,

A k

λ < 0 ise x0 ∈ n, k. dual problem (3.5) in bir maksimum noktasıdır

4. EŞİTLİK KISITLAMASI ALTINDA İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLARIN MİNİMİZASYONU 4.1 Analitik Yöntem 11 12 1 12 22 2 1 2 m m m m mm q q q q q q Q q q q ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ = ⎜_⎜ ⎟_⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠

şeklinde simetrik m boyutlu bir matris,

1 2 m x x X x ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟_{⎜ ⎟⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ , , ( ) 1 2 m c c C c ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟_{⎜ ⎟⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ , m X C ∈

olacak şekilde sütun vektörleri olmak üzere, 1 ( )

2

T T

P X = X QX−C X

şeklindeki fonksiyonlar ikinci dereceden fonksiyon olarak adlandırılır (Gallier 2001).

Tanım 4.1.1 Q, simetrik m boyutlu pozitif tanımlı bir matris,

11 12 1 21 22 2 1 2 m m n n nm a a a a a a A a a a ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ = ⎜_⎜ ⎟_⎟⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠

şeklinde satırları lineer bağımsız olan n satırlı ve m sütunlu ( ) bir matris ve ayrıca, n m≥ , m X C ∈ ve , (B ) 1 2 n b b B b ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟_{⎜ ⎟⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ n ∈

olacak şekilde sütun vektörleri olmak üzere,

AX = B

lineer kısıtlamasına bağlı olarak

1 ( )

2

T T

P X = X QX−C X

şeklindeki ikinci dereceden fonksiyonun minimum noktasını bulmaya kısıtlamalı

ikinci dereceden fonksiyonun minimizasyonu problemi denir (Gallier 2001).

Bu problem için Lagrange fonksiyonu 1

( , ) ( ) ( ) ( )

2

T T T T

L λ X =P X +λ AX−B = X QX− C−A λ X−_λTB

şeklinde olur. Bu problem için birinci mertebeden şartları yazacak olursak,

( , ) T 0 L X QX A C X λ λ ∂ _{= + − =} ∂ ( , ) 0 L X AX B λ λ ∂ _{= − =} ∂ olur. Buradan da,

T

QX+A λ= C

AX = B

şeklinde lineer denklem sistemi elde edilir. Bu lineer denklem sistemi,

0 T _{X C} Q A B A λ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎟ ⎟ ⎟} ⎜ _⎟⎜ _{⎟ =}⎜ _⎟ ⎜ _⎟⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

olarak matris formunda da yazılabilir (Gallier 2001).

Önerme 4.1.1 Q, karesel m boyutlu ve A da satırları lineer bağımsız olan n satırlı ve m sütunlu ( ) bir matris olsun. Q nun, Ker(A) = {x: Ax = 0} alt uzayında simetrik pozitif tanımlı matris olduğunu farz edelim. Bu takdirde,

m≥n 0 T Q A A ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠

matrisi regülerdir. (Luenberger 1989).

Örnek 4.1.1 ve olsun. Ker(A) = dir. Açıktır

ki, Q ve A matrisi yukarıdaki önermede belirtilen şartları sağlamaktadır. Bu takdirde, 0 0 0 1 Q=⎛⎜_⎜⎜ ⎞⎟⎟_⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ A =

(

1 0

)

⎪⎬⎪ 0 : , x z z ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ _{⎜ ⎟ ∈}⎟ ⎨ ⎜ ⎟_{⎜ ⎟⎜} ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 T Q A A ⎛ _⎞⎟ ⎜ ⎛ ⎞_{⎟ ⎜} ⎟_⎟ ⎜ _⎟=⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜_{⎜⎝ ⎟⎟⎠}

olup, bu matris regülerdir, çünkü bu matrisin satırlarının lineer bağımsız olduğu kolayca görülmektedir. Zira,

2 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 T Q A A ⎛ ⎞_⎟ ⎛ ⎞_⎟ ⎜ ⎜ ⎛ ⎞_⎟ ⎜ ⎟_⎟ ⎜ ⎟_⎟ ⎜ _{⎟ =}⎜ _{⎟ =}⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜_⎜⎝ ⎟_⎟⎠ ⎜_⎜⎝ ⎟_⎟⎠ olup buradan da 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 T Q A A − ⎛_⎜ ⎞⎟ ⎛ ⎞_{⎟ ⎜ ⎟⎟} ⎜ _{⎟ =}⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜_{⎜⎝ ⎟⎟⎠} olduğu açıktır.

Birinci dereceden şartları veren lineer denklem sisteminin çözümünden,

* 1₍ T ₎ X ₌Q− C₋A λ ve

(

)

1 * _{AQ A}1 T _{AQ C B}1 λ ₌ − − ⎡ − ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

elde edilir (Luenberger 1989).

Lemma 4.1.1 0 T _{X C} Q A B A λ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎟ ⎟ ⎟} ⎜ _⎟⎜ _{⎟ =}⎜ _⎟ ⎜ _⎟⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sistemi ile verilen Tanım 4.1.1 deki kısıtlamalı ikinci dereceden fonksiyonun minimizasyonu problemi, tek bir _{( ,λ}* _X*_{) çözümüne sahiptir (Gallier 2001).}

4.2 İteratif Yöntem (Conjugate Gradient Metodu ile Çözüm)

Bu kısımda, kısıtlamalı ikinci dereceden fonksiyonların minimizasyonu