Sorumlu yazar: Emine Gaye Çontay e-posta: gayeermec@gmail.com, germec@pau.edu.tr
*Bu çalışma 3. Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Sempozyumu’nda sunulan bildirinin genişletilmiş halidir. Bu çalışma ilk yazarın doktora tez çalışmasının bir parçasıdır ve anılan doktora çalışması PAÜBAP 2016EĞBE001 no’lu proje kapsamında desteklenmiştir.
Kaynak Gösterme: Çontay, E. G. ve Duatepe-Paksu, A. (2019). Ortaokul matematik öğretmeni adaylarının ispat şemaları ve bu şemaları ortaya koyan ifadelerinin incelenmesi. Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi, 10(1), 59-100.
Araştırma Makalesi
Ortaokul Matematik Öğretmeni Adaylarının İspat Şemaları ve Bu
Şemaları Ortaya Koyan İfadelerinin İncelenmesi
*Emine Gaye Çontaya ve Asuman Duatepe Paksub
aPamukkale Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Denizli/Türkiye (ORCID: 0000-0002-6446-9217); bPamukkale Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Denizli/Türkiye (ORCID: 0000-0003-2504-6294)
Makale Geçmişi: Geliş tarihi: 20 Şubat 2018; Yayına kabul tarihi: 17 Ekim 2018; Çevrimiçi yayın tarihi: 23 Ekim 2018 Öz: Mevcut çalışma ile ortaokul matematik öğretmeni adaylarının ispat şemalarının neler olduğunu ve bu şemaları nasıl ortaya koyduklarını araştırmak amaçlanmıştır. Öğretmen adaylarının ispat şemalarının belirlenebilmesi için klinik yöntem kullanılmıştır. Bu amaçla öğretmen adaylarıyla sayılar alanında görev temelli görüşmeler ve ispatın doğasına ilişkin klinik görüşmeler yapılmıştır. 3 kız öğretmen adayına tek bir oturumda Görev Temelli Görüşme Formu ve İspatın Doğasına İlişkin Görüşme Formu yöneltilmiştir. İçerik analizi yöntemi kullanılarak öğretmen adaylarının en çok dışsal, daha sonra analitik ve en az deneysel ispat şemalarını ortaya koyan tepkiler verdikleri belirlenmiştir. Çalışmada daha yüksek başarı düzeyindeki öğretmen adaylarının daha düşük başarı düzeyindeki öğretmen adayına göre analitik ispat şemasını ortaya koyan tepkileri daha sık gösterdikleri belirlenmiştir. Öğretmen adaylarının dışsal kaynaklı fikirlerinin, çoğunlukla onların dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemalarını ortaya çıkaran özellikleri ile ilişkili olduğu belirlenmiştir. Öğretmen adaylarının ispatın doğasına ilişkin önceden edinilmiş ezbere ve yüzeysel fikirleri ile onların ispatı yapılandırırken dönüşüm yapmalarına engel olan fikirlerinin ilişkili olabileceği belirlenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Ortaokul matematik öğretmeni adayları, sayılar, görev temelli görüşmeler, ispat şeması, ispatın doğası
DOI: 10.16949/turkbilmat.397109
Abstract: The aim of this study is to investigate preservice middle school teachers’ proof schemes and how they presented their proof schemes. Clinical method was used to identify the proof schemes of preservice teachers. For this purpose, clinical interviews about the nature of proof and task based interviews were conducted with the participants in the field of numbers. The Task Based Interview Questions Form and Interview Questions Form about the Nature of Proof were conducted with three female preservice teachers in a single session. Using the content analysis report, it was found that preservice teachers used external proof schemes more frequently than analytic proof schemes, and they used empirical proof schemes less often. It was determined that showing responses on analytical proof schemes was higher in those preservice teachers when compared to the ones with lower level achievements. It was found that the external based opinions of the preservice teachers were found to be related with their characteristics which revealed external based proof scheme. It was also noticed that there could be a relationship between already acquired opinions which were memorized and superficial and the ones which block transforming ideas while making proofs.
Keywords: Preservice middle school mathematics teachers, numbers, task based interviews, proof scheme, nature of proof
60 1. Giriş
Harel ve Sowder (1998) ispatı informel açıdan ele alarak hem öğrencilerin bilişsel süreçlerini ele alan hem de toplumsal kuramlarla şekil alan bir süreç olarak nitelendirmişlerdir. Bu bakış açısı öğrencilerin ispat yaparken ne yazdıklarına değil ne düşündüklerine odaklanmalarını ve ispat şeması terimini ortaya atarak kavramsallaştırmalarını sağlamıştır. Harel ve Sowder (1998) ve Sowder ve Harel (1998) çalışmalarında ispat şemalarını gruplandırarak yeni bir teorik çatı ortaya atmışlardır. Bu teorik çatı daha sonra Harel (2007) tarafından revize edilmiştir. Harel ve Sowder (1998)
ispatlama’yı “aslını anlama” (ascertaining) ve “ikna etme” (persuading) olarak
tanımlanabilecek iki sürece ayırmıştır. “Aslını anlama” bir iddianın doğruluğu hakkında bireyin kendi şüphelerini ortadan kaldırmak olarak tanımlanırken “ikna etme” süreci bir iddianın doğruluğu hakkında diğerlerinin şüphelerini ortadan kaldırmak olarak tanımlanmaktadır. Bu iki süreç beraber ele alındığında, Harel ve Sowder (1998) tarafından ispat şeması “Bir bireyin ispat şeması o birey için aslını anlama ve ikna etmeyi oluşturan
şeyleri içerir” (s. 241) olarak kavramsallaştırılmıştır. Sowder ve Harel (1998) ispat
şemalarını dışsal, deneysel ve analitik olmak üzere üç ana grupta sınıflandırmışlardır:
*İ.Ş. : İspat Şeması
Şekil 1. Sowder ve Harel’in (1998) ispat şeması sınıflandırması 1.1. Dışsal ispat şemaları (Externally based proof schemes)
Bu ispat şemalarını sergileyen öğrencilerin aslını anlama ve diğerlerini ikna etme durumları dışsal kaynaklıdır. Bu kaynaklar öğretmen ya da bir kitaba dayanan bir otorite (otoriter ispat şeması), bir argümanın biçimi ya da görünümü (alışkanlık edinilmiş ispat şeması) veya sembollerin anlamsız manipülasyonu (sembolik ispat şeması) olarak ortaya çıkabilir (Harel, 2014; Sowder &Harel, 1998).
Otoriter ispat şemasına ilişkin tepkiler gösteren öğrenciler bir sonucu gerekçelendirirlerken sadece kitaba, öğretmenlerinin ifadelerine veya sınıf arkadaşlarının ifadelerine başvururlar. Bu durumlar “hatırlamıyorum”, “kitaba bakmak gerekir” gibi ifadelerle ortaya çıkabilir (Sowder & Harel, 1998).
Öğrenciler argümanın doğruluğunu araştırırken argümanın doğruluğu yerine görüntüsünden, ispatın alışılagelen formatlarından etkilenerek karar verdiklerinde (Martin & Harel, 1989) alışkanlık edinilmiş ispat şemasının özelliklerini sergiledikleri söylenebilir.
Dışsal İspat Şeması
Deneysel İspat
Şeması Analitik İspat Şeması
Alışkanlık Ediniliş İ.Ş. Otoriter İ.Ş. Sembolik İ.Ş. Temel Örnekler İ.Ş. Algısal İ.Ş. Aksiyomatik İ.Ş. Dönüşümsel İ.Ş.
Öğrenciler sembolleri anlamlardan uzak ve durum içerisindeki nicelikleriyle ilişkilendirmeden ele aldıklarında sembolik ispat şemasını ortaya koyan özellikler göstermiş olurlar (Sowder & Harel, 1998).
1.2. Deneysel ispat şemaları (Empirical Proof Schemes)
Bu ispat şemalarına ilişkin özellikler sergileyen öğrenciler varsayımların doğruluğunu ya da yanlışlığını fiziksel kanıtlara veya duyusal deneyimlere dayanarak gösterirler (Harel & Sowder, 1998).
Algısal ispat şemasına ilişkin özellikler sergileyen öğrenciler bir durumun doğru ya da yanlış olduğunu hisleriyle sezinlerler fakat buna ilişkin güçlü bir kanıt bulamazlar, başkalarını ikna ederken çizimlere başvururlar (Mejia-Ramos & Tall, 2005; Sowder & Harel, 1998).
Örnek temelli ispat şemasına ilişkin özelllikler sergileyen öğrenciler belirli kavramları oluşturlarken matematiksel durumları anlamada veya bu durumların doğruluğunu kontrol etmede önceden öğrendikleri örnekleri ispat olarak kullanırlar (Aydoğdu İskenderoğlu, 2016; Sowder & Harel, 1998)
1.3. Analitik ispat şemaları (Analytical Proof Schemes)
Bu ispat şemalarına ilişkin özellikler sergileyen öğrenciler, matematiksel durumların doğruluğunu gösterirken veya geçerliğini sağlarken mantıksal tümdengelim kullanırlar. Bir durumun doğruluğunu gösterme sürecinde ortaya konan nedenler aksiyom ve teoremlerden oluşmakla beraber akıl yürütme de içerir (Aydoğdu İskenderoğlu, 2016).
Dönüşümsel ispat şeması özellikleri sergileyen öğrencilerin gerekçelendirmeleri durumların genel yönleriyle ilişkilidir ve akıl yürütmeleri varsayımlarının genel bir analitik çatıya yerleşmesine yöneliktir (Sowder & Harel, 1998). Bu ispat şemalarındaki genel yapı sayma stratejileri ile örüntü bulmadan ziyade akıl yürütmeyi içerir. Dönüşümsel ispat şemasının sınırlayıcı bir analitik ispat şeması, aksiyomatik ispat şemaları için gerekli bir alt yapı olarak gibi görülebilir (Aydoğdu İskenderoğlu, 2016; Sowder & Harel, 1998).
Aksiyomatik ispat şemasına ilişkin özellikler sergileyen öğrenciler bir matematiksel gerekçelendirmenin başlama noktasının tanımsız terim ve aksiyomlar olduğunun farkındadırlar ve böyle bir sistemde rahat biçimde çalışabilme yetisine sahiptirler (Harel & Sowder, 1998; Sowder & Harel, 1998).
Harel ve Sowder (1998) ve Sowder ve Harel (1998) çalışmalarında, “ispat şeması” gruplandırması öğrencilerin matematiksel gelişimlerindeki bir bilişsel düzeyi ve zihinsel beceriyi temsil etmektedir. Dolayısıyla bu gruplandırma bir ispat içeriği ya da bir ispat yöntemi olmamakla beraber bireyin sosyal bağlamdaki şüphelerinden, doğrularından ve görüşlerinden oluşur (Harel & Sowder, 1998; Sowder & Harel, 1998). Harel ve Sowder’ın (1998) ispat şeması gruplandırmasındaki üç ana kategori ayrışık değildir ve bireyler aynı anda birden fazla ispat şemasına ilişkin özellikler sergileyebilirler ve kısa bir zaman aralığında çeşitli ispat şeması özellikleri gösterebilirler (Harel & Sowder, 1998).
62
Alanyazın incelendiğinde birçok çalışmada (Aydoğdu İskenderoğlu, 2003; Flores, 2006; Güner, 2012; Haverhals, 2011; Harel, 2001; Housman & Porter, 2003; İskenderoğlu, 2010; İskenderoğlu, Baki & İskenderoğlu, 2010; Ören, 2007; Plaxco, 2011; Sarı, Altun ve Aşkar, 2007; Stylinou, Chae & Blanton, 2006; Şen ve Güler, 2015; Şengül ve Güner, 2013) öğretmen adaylarının dışsal, deneysel ve analitik olmak üzere üç temel kategorideki ispat şemalarını ortaya çıkaran tepkiler verdikleri belirlenmiştir.
Alanyazındaki bazı çalışmalar ortaokul (Aydoğdu İskenderoğlu, 2003, Liu & Manouchehri, 2013; Ören, 2007; Şen ve Güler, 2015) ve lise (Aydoğdu İskenderoğlu, 2003) öğrencilerinin büyük bölümünün dışsal ispat şemalarının belirleyicisi olan tepkiler ortaya koyduklarını belirlemiştir. Oflaz, Bulut ve Akcakin (2016) ise sınıf öğretmeni adaylarının ispat şemalarını belirlemeyi amaçladığı ve nitel yöntemlerle yürüttüğü çalışmasında, çalışmaya katılan düşük, orta ve yüksek başarı düzeylerindeki öğretmen adaylarından en başarılı olan öğretmen adayının deneysel ispat şeması yaklaşımına sahip olduğunu, orta düzeyde başarıya sahip olan öğretmen adayının dışsal sembolik ispat şemasına, en düşük başarıya sahip öğretmen adayının ise dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şeması yaklaşımına ilişkin tepkiler ortaya koyduğunu belirlemiştir.
İlköğretim ve/veya ortaöğretim matematik öğretmeni adaylarının ispat şemalarını (Güner, 2012; İskenderoğlu, 2010; Şengül ve Güner, 2013), ispata ilişkin tutum ve inançlarını (İmamoğlu, 2010), veya ortaokul öğrencilerinin ispat anlayışlarını (Knuth, Chopin & Bieda, 2009) nitel ve nicel veri analizi yöntemleriyle ortaya çıkarmayı amaçlayan bir grup çalışma ise sınıf düzeyi arttıkça ispat şemalarının dışsal düzeyden analitik düzeye değiştiğini ya da gerekçelendirme biçimlerinin dışsal ve deneysel argümanlar yerine analitik argümanlara doğru değiştiğini belirlemiştir.
Alanyazındaki bazı çalışmalar ise (CadwalladerOlsker, 2007; İskenderoğlu ve diğerleri, 2010; Koichu, 2009; Plaxco, 2011) öğrenci ve öğretmen adaylarının analitik aksiyomatik ispat şemasını ortaya koyan tepkiler gösterdiklerini belirlemişlerdir. İskenderoğlu ve diğerleri (2010) öğretmen adaylarının matematik problemlerinde çözümlerini nasıl gerekçelendirdiklerini araştırmayı amaçladıkları ve 40 ilköğretim matematik öğretmeni adayıyla gerçekleştirdikleri, nicel ve nitel analiz yöntemlerini kullandıkları çalışmalarında öğretmen adaylarının üç temel kategorideki ispat şemalarını ortaya çıkaran tepkiler verdiklerini belirlemişlerdir. Öğretmen adayları bu üç temel kategori altında analitik ispat şemasına ait verdikleri yanıtların çoğunda aksiyomatik ispat şemasına ilişkin tepkiler vermişlerdir. Benzer olarak Plaxco (2011) çalışmasına katılan matematik öğretmeni adaylarının tüm temel kategorideki ispat şemalarına ve analitik kategorisi altında analitik aksiyomatik ispat şemasına ilişkin tepkiler ortaya koyduklarını belirtmiştir. CadwalladerOlsker’ın (2007) çalışmasında yüksekokul öğrencilerinin ispat şemaları dönem başı ve sonunda karşılaştırılmıştır ve bir dönem boyunca ispat şemalarının nasıl geliştiği incelenmiştir. 77 öğrenciyle yürütülen ve nitel yöntemlerle analiz edilen çalışmada öğrencilerin büyük çoğunluğunun analitik dönüşümsel ve aksiyomatik argümanları ikna edici buldukları söylenmiştir.
Sarı ve diğerleri (2007) ise yüksek, orta ve düşük düzeyden üç matematik öğretmen adayı ile yürüttükleri çalışmalarında öğretmen adaylarının ispatlama sürecindeki
başarılarının analiz dersinde gösterdikleri başarıya paralel olduğu sonucuna ulaşmışlardır. Çalışmada yüksek başarılı öğretmen adayının analitik dönüşümsel ispat şemasını ortaya koyan tepkiler verdiği, orta başarı düzeyindeki öğretmen adayının ise yönlendirmeler sonucunda analitik dönüşümsel ispat şeması olarak nitelendirilebilecek tepkiler ortaya koymaya başladığı belirtilmiştir. En düşük başarı düzeyindeki öğretmen adayının dışsal ve deneysel ispat şemasını ortaya koyan tepkiler gösterdiği söylenmiştir.
1.4. Araştırmanın Amacı ve Önemi
Bu çalışmanın amacı ortaokul matematik öğretmeni adaylarının ispat şemalarının neler olduğunu ve bu şemaları nasıl ortaya koyduklarını inceleyerek ispat şemalarının ne gibi farklılıklar gösterdiğini belirlemek ve bu konuda öneriler geliştirmektir. Bu amaçla araştırmanın problemi “Ortaokul matematik öğretmeni adaylarının ortaya koydukları ispat şemaları nelerdir ve bu şemaları nasıl ortaya koymaktadırlar?” olarak belirlenmiştir. Bu probleme yanıt ararken daha özel olarak öğretmen adaylarının sayılar alanında ispat yaparken ve ispatları incelerken; ispatın doğasına ilişkin görüşlerini açıklarken ortaya koydukları ispat şemalarının neler olduğu ve bu ispat şemalarını nasıl ortaya koymakta oldukları sorularına yanıt aranmıştır. Bunun yanında öğretmen adaylarının ispat yaparken ve ispatları incelerken ve ispatın doğasına ilişkin görüşlerini açıklarken ortaya koydukları ispat şemaları arasında nasıl bir ilişki olduğu sorusuna da yanıt aranmıştır.
Öğretmenlerin çoğunun matematiksel ispat hakkındaki bilgileri sınırlıdır (Knuth, 2002a) ve eğitim reformlarının tavsiye ettiği yolla matematiksel ispatları öğretmek için yetiştirilmemişlerdir (Yoo, 2008). Öğretmenler ispata ilişkin uygun olmayan pedagojik görüşe ve matematiksel argümanları geçerli kılacak sınırlı beceriye sahiptirler (Yoo, 2008). Dolayısıyla öğretmenler, öğrencilerin sınıf içindeki matematiksel etkinliklere seyrek olarak katılabildikleri geleneksel yaklaşımlarla derslerini yürütmekte ve yeniliklere uyum sağlayamamaktadırlar (Knuth, 2002a; Yoo, 2008). Çalışmalar öğretmen ve öğrencilerin ispatı anlamalarında yetersizlikleri ve kavram yanılgıları olduğunu göstermektedir (Güner, 2012; Knuth, 2002a; Moralı, Uğurel, Türnüklü ve Yeşildere, 2006; Norby, 2013; Riley, 2003). Öğretmen adayları, Ortak Temel Standartlar (2010) (Common Core Standards, 2010) ve NCTM (2000) standartları ve ülkemizde Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı (MEB, 2017) tarafından önerilen alanlarda ispat ve akıl yürütmeyi anlayabilmeli ve öğretebilmelidir. Norby’e (2013) göre öğretmen adayları ispatın, akıl yürütmenin ve argümantasyonun önemini anlamalıdırlar. Öğretmen adayları bu sayede hem bu konuları öğretmek üzere hazırlanmış olarak kendi bilgilerini geliştirmiş olurlar hem de öğrencilerin ispat, akıl yürütme ve argümantasyon becerilerini değerlendirmek ve öğrenci argümanlarını geliştirmek için fırsat yakalarlar (Norby, 2013).
Öğretmenlere verilen hizmet içi eğitimler yoğun olsa da kısa ve yetersizdir. Geleneksel öğretim yöntemlerine sahip, sınırlı hizmet içi eğitim almış ve ağır öğretim yüküne sahip öğretmenlerden matematik eğitimindeki yenilik çabalarına yönelmelerini beklemek yerine ispatı öne ve merkeze alan matematik öğretimi yaklaşımına daha tanıdık olan geleceğin öğretmenlerine odaklanmanın daha verimli olacağı söylenebilir. Üniversite öğretmen yetiştirme programları matematiksel yenilikleri uygulamada uygun bir yere sahiptir (Varghese, 2007). Bu yüzden bu araştırmada geleceğin öğretmenleri olan ortaokul
64
matematik öğretmen adaylarıyla çalışılması önemli görülmektedir. Matematik öğretmeni adaylarının ispat şemalarının belirlenmesi, ileride öğretmen olacak bu adayların öğrencilere vereceği ispat eğitimi hakkında bilgiler verebilir, öğretmen adaylarının ispat hakkındaki bilgi eksikliklerinin tespit edilmesi için ve konuyla ilgili öneriler sunulması için ortam sağlayabilir.
İlgili alanyazında aynı teorik çatıyı kullanan çalışmalar mevcut bulunmakta iken, bu çalışmaya olan ihtiyacın sebepleri aşağıda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır:
İlgili alanyazın incelendiğinde, üniversite öğrencilerinin ispat şemalarının gelişimini inceleyen boylamsal araştırmalara (CadwalladerOlsker, 2007; Haverhals, 2011; Martin, Soucy McCrone, Wallece Bower, & Dindyal, 2005; Recio & Godino, 2001; Soucy Mccrone & Martin, 2004; Sowder & Harel, 2003); ispat şemalarını farklı değişkenlerle ilişkileriyle beraber inceleyen araştırmalara (Housman & Porter, 2003; Ören, 2007; Plaxco, 2011; Stylinou ve diğerleri, 2006; Uygan, Tanışlı ve Köse, 2014); bulgularında ispat şemalarını ve özelliklerini barındıran deneysel araştırmalara (Grigoriadou, 2012; Ellis, 2007; Harel & Rabin, 2010; Harel, 2001; Soto, 2010) rastlanmıştır. Fakat bu çalışmaların hiçbiri ispat şemalarını kendi özellikleriyle doğrudan betimsel olarak ortaya koymamıştır. Bu çalışmada, matematik öğretmeni adaylarının ispat şemaları ve bu şemaları nasıl ortaya koydukları, hem ispat yapma süreçleri hem de ispatın doğası hakkındaki görüşleri incelenerek ve alıntılarla örneklendirerek ortaya konmuştur. İspat şemalarını ayrıntılı biçimde ele alınabilme durumu ise görev temelli görüşmeleri kullanarak gerçekleşmiştir. Bu anlamda bu çalışmanın öğretmen adaylarının ispat şemalarını kendi özellikleriyle doğrudan ilişkilendirerek ortaya koyma bakımından özgün olduğu düşünülmektedir. Öğretmen adaylarının ispat yapma süreçlerinde verdikleri yanıtlar ve bu yanıtlardaki tepkileri ayrıntılı analiz edilmiş, hangi ispat şemasına ilişkin tepkiler verdikleri ve bu tepkileri nasıl verdikleri örneklerle ayrıntılı biçimde açıklanmıştır. Dolayısıyla okuyucu bu çalışmada her alt şemaya ilişkin öğretmen adaylarının tepkilerini süreç bağlamında ayrıntılı inceleme olanağı bulmaktadır. Bunun yanında bu çalışmada öğretmen adaylarının hem ispat yaparken hem de ispatın doğasına ilişkin görüşlerini açıklarken ortaya koydukları şemaların birbirleriyle ilişkileri ayrıntılı olarak incelenmiş ve o ispat şemasına ilişkin belirli göstergelerle detaylandırılmıştır. Bu anlamda bu çalışmanın alanyazında önemli ve özgün bir yere sahip olduğu düşünülmektedir.
İspat şemalarını kendi özellikleri açısından inceleyen çalışmalara (Aydoğdu İskenderoğlu, 2003; Güner, 2012; Flores, 2006; Gholamazad, Liljedahl, & Zazkis, 2004; Heinze & Reiss, 2003; İskenderoğlu, 2010; İskenderoğlu ve diğerleri, 2010; Koichu, 2009, Liu & Manouchehri, 2013; Oflaz ve diğerleri, 2016; Sarı ve diğerleri, 2007; Şen ve Güler, 2015; Şengül ve Güner, 2013; Weber, 2010) bakıldığında ise bu çalışmaların çok azının ispat şemalarını deneysel olmayan bir yaklaşımla başka değişkenler olmadan matematik öğretmeni adayları üzerinde incelediği görülmüştür. İspat şemalarını deneysel olmayan bir yaklaşımla başka değişkenler olmadan matematik öğretmeni adayları üzerinde inceleyen bu çalışmalardan (İskenderoğlu, 2010; İskenderoğlu ve diğerleri, 2010; Sarı ve diğerleri, 2007) ikisi (İskenderoğlu, 2010; İskenderoğlu ve diğerleri, 2010) klinik görüşmeler kullandıklarını belirtirken, diğeri (Sarı ve diğerleri, 2007) sadece görüşmeler
kullandıklarını belirtmişlerdir. Ancak bu çalışmalardan hiçbiri matematik öğretmeni adaylarının ispat şemalarını görev temelli görüşmeler yardımıyla belirleme yoluna gitmemiştir. Görev temelli görüşmeler, öğretmen adaylarının ispat şemalarını ayrıntılı inceleme olanağı sunmaktadır. Böylece öğretmen adaylarının hangi şemaya ilişkin hangi tepkiler sergiledikleri ortaya konulabilmiştir. Yurtdışında ise ortaokul matematik öğretmeni adaylarının ispat şemalarını bu bağlamda inceleyen çalışmaya rastlanmamıştır. Bu yüzden bu çalışmanın hem ortaokul matematik öğretmeni adaylarının ispat şemalarını başka değişkenlerle ilişkilendirmeden deneysel olmayan bir yaklaşımla belirlemede; hem de bu belirleme durumunu görev temelli görüşmeler yardımıyla yapmada özgün bir çalışma niteliği taşıdığı ve dolayısıyla ilgili alanyazına katkı sağlayacağı düşünülmektedir.
2. Yöntem
Çalışmada nitel araştırma yöntemlerinden durum çalışması yöntemi kullanılmıştır. Bu çalışmanın analiz birimi matematik öğretmeni adaylarının ispat şemalarıdır. İspat şemaları Sowder ve Harel (1998) tarafından geliştirilen kuramsal çatıya göre üç temel ve bunların altındaki toplam yedi kategoride değerlendirilmiştir. Yin’e (2003) göre durum çalışması birden fazla analiz birimini içerdiğinde; bir durum içerisinde alt birim ya da alt birimlere yoğunlaşılmaktadır. Bu ise iç içe geçmiş durum çalışmalarında ortaya çıkmaktadır. Bu çalışmada ispat şemaları birden fazladır, bu yüzden bu çalışma iç içe geçmiş durum çalışması olarak tanımlanmıştır. Bu çalışmadaki durumlar ise farklı başarı düzeylerindeki ortaokul matematik öğretmeni adaylarıdır. Çalışmadaki yüksek, orta ve en alt düzeyde başarılı olan ortaokul matematik öğretmeni adayları çoklu durumları oluşturmuştur. Dolayısıyla bu çalışmanın deseni iç içe geçmiş çoklu durum deseni olarak tanımlanmaktadır (Yin, 2003).
Durum çalışması olarak yürütülen bu araştırmada öğretmen adaylarının ispat şemalarının belirlenebilmesi için klinik yöntem kullanılmıştır. Klinik yöntem tıp alanında kullanılan klinik görüşme yöntemine benzer olarak çocukların düşünmeleri üzerinde uygulanan tanılayıcı bir yöntemdir ve çocukların bilgi yapılarını ve akıl yürütme süreçlerinin biçimlerini araştırmak için Piaget tarafından ortaya atılmıştır (Clement, 2000; Opper, 1977). Piaget klinik yöntemi klinik görüşmeler aracılığıyla yürütmüştür. Bu görüşmeler ile öğrencilerin belirli bilişsel yapılarının varlığını ya da yokluğunu ortaya çıkarılarak bu yapılarının gelişiminin anlayışını geliştirmek amaçlanmıştır (Opper, 1977; Schoenfeld, 2002). Çalışmada klinik yöntemi yürütmek için öğretmen adaylarıyla görev temelli görüşmeler (task based interviews) ve ispatın doğasına ilişkin klinik görüşmeler yapılmıştır. Bu çalışmadaki görev temelli görüşme formları, yarı yapılandırılmış biçimde hazırlanmıştır. Görev temelli görüşmeler, kökleri Piaget’nin klinik görüşmelerine dayanan görüşmeler olup, matematik eğitimindeki nitel araştırmalarda araştırmacılar tarafından bireylerin akıl yürütmeleri, problem çözme davranışları, matematik bilgileri ve anlayışları hakkında bilgi edinmek için kullanılmaktadır (Koichu, 2009; Maher & Sigley, 2014). Görev temelli görüşmelerin klinik görüşmelerin bir biçimi olduğu söylenebilir. Matematik eğitiminde birçok araştırmacı tarafından kullanılan görev temelli görüşmeler (Koichu & Harel, 2007) matematiksel bilgi ve problem çözme davranışlarını ölçmek için hazırlanır (Maher & Sigley, 2014) ve katılımcı ve görüşmeci/görüşmeciler ile yapılır (Goldin, 2000; Houssart & Evens, 2011; Koichu & Harel, 2007). Bu çalışmada bir katılımcı ve bir
66
görüşmeciyle yapılan görev temelli görüşmeler gerçekleştirilmiştir. Görev temelli görüşmelerde görüşmeci tarafından katılımcıya bir ya da birden fazla görev (task) yöneltilir (Goldin, 2000; Maher & Sigley, 2014). Bu görüşmeler katılımcının problemi çözerken veya hemen sonrasında görüşme boyunca konuşarak bu görevlerle etkileşim içerisinde bulunduğu görüşmelerdir. Görevler katılımcıların daha önce gördükleri ya da görüşmede ilk kez rastladıkları sorular, problemler ya da etkinliklerden oluşabilir (Goldin, 2000; Houssart & Evens, 2011; Koichu & Harel, 2007; Maher & Sigley, 2014). Koichu ve Harel’a (2007) göre “Görev temelli görüşmeler, görüşmecinin ve katılımcının açık ya da
örtük normlar tarafından düzenlenen bir görev üzerinde etkileşim içerisinde bulunduğu bir durum olarak görülebilir” (s. 349).
2.1. Çalışma grubu
Çalışmada amaçlı örnekleme çeşitlerinden ölçüt örnekleme yöntemi ile örneklem seçilme yoluna gidilmiştir. Öğretmen adaylarının ispat şemalarının ortaya çıkarılması için içeriğinde sayılar alanında ispat uygulamaları bulunan “Elemanter Sayı Kuramı” dersini almış olma ölçütüne ve bu derse ilişkin yüksek, orta ve düşük başarı düzeylerinde olma ölçütlerine göre örneklem seçimine gidilmiştir. Görüşmeler 2015-2016 eğitim öğretim yılı bahar döneminde bir devlet üniversitesinin Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı’nda dördüncü sınıfta öğrenim gören üç kız öğretmen adayıyla gerçekleştirilmiştir. Öğretmen adaylarının hepsiyle klinik görüşme yöntemiyle yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır. Çalışma raporlaştırılırken katılan öğretmen adaylarının gerçek isimleri kullanılmamıştır. Bu öğretmen adaylarının isimleri çalışmada Semiha, Derya ve Hamra olarak belirlenmiştir. Öğretmen adayları, Elemanter Sayı Kuramı dersi dönem sonu not ortalamaları yukarıdan aşağıya doğru sıralandığında en yüksek, en düşük ve tam ortada kalan notları alan üç öğretmen adayının seçilmesi yoluyla belirlenmiştir. Çalışmaya katılan öğretmen adaylarının mezun oldukları lise türü, lise ve lisans öğrenimleri boyunca akademik not ortalamaları, mezun olup olmama durumları gibi açılardan veri çeşitliliği sağladıkları düşünülmüştür. Bunun yanında tüm öğretmen adayları çalışmaya gönüllü olarak katılmışlardır. Çalışmaya katılan öğretmen adaylarının cinsiyetlerinin aynı olmasının veri çeşitliliğini ve çalışmanın verimini ve özgünlüğünü sağlamada sorun teşkil etmeyeceği düşünülmüştür. Bunun yanında pilot uygulama sonrasında çalışma grubu sayısının öğretmen adaylarının ispat şemaları hakkında ayrıntılı bilgiye sahip olma konusunda (görev temelli görüşmeler kullanılmasına karar verildiği için) yeterli olacağı kanısına varılmıştır. Uygulamanın klinik görüşmeler yerine görev temelli görüşmeler ile yürütülme sebepleri pilot uygulama veri toplama sürecinde (2.3.1) açıklanmıştır. Görev temelli görüşmelerle daha az sayıda öğretmen adayından daha ayrıntılı ve zengin veri toplanacağı düşünülmüştür.
Elemanter Sayı Kuramı dersinde en yüksek not ortalamasına sahip olan Semiha bu dersi 2014-2015 güz döneminde almıştır ve bu dersten 100 puan ile geçmiştir. Bu öğrencinin 2016 yılı güz dönemi Mart ayında belirlenen genel not ortalaması ise 3.77’dir. Semiha Denizli’de bulunan özel bir Anadolu lisesinden 90.92 not ortalamasıyla, Pamukkale Üniversitesi matematik eğitimi programından 2015-2016 yılında 3.78 genel akademik not ortalamasıyla mezun olmuştur. Öğretmen adayı üniversite öğrenciliği
boyunca Denizli’de ailesiyle birlikte yaşamıştır. Semiha çok konuşkan bir öğretmen adayı olmamakla beraber çalışmaya katılmaya gönüllü olmuştur ve soruları yanıtlamıştır.
Elemanter Sayı Kuramı dersinde en düşük not ortalamasına sahip olan Hamra bu dersi 2015-2016 güz döneminde almıştır ve bu dersten 61 puan ile geçmiştir. Bu öğrencinin 2016 yılı güz dönemi Mart ayında belirlenen genel not ortalaması ise 2.63’tür. Hamra Burdur’da bulunan Anadolu öğretmen lisesinden 83.19 not ortalamasıyla mezun olmuştur. Hamra Pamukkale Üniversitesi matematik eğitimi programından 2016-2017 bahar döneminde öğrenciliği devam etmektedir ve 2017 Mart ayı itibariyle genel akademik not ortalaması 2.55’tir. Hamra konuşkan ve kendini iyi ifade edebilen ve çalışmaya katılmaya istekli bir öğretmen adayıdır.
Elemanter Sayı Kuramı dersinde tam ortadaki not ortalaması Derya’ya aittir ve bu dersi 2015-2016 güz döneminde alarak 80 puan ile geçmiştir. Bu öğrencinin 2016 yılı güz dönemi Mart ayında belirlenen genel not ortalaması ise 2.99’dur. Derya Muğla’da bulunan bir devlet Anadolu lisesinden 73.91 not ortalamasıyla, Pamukkale Üniversitesi matematik eğitimi programından 2015-2016 yılında 3.05 genel akademik not ortalamasıyla mezun olmuştur. Derya konuşkan bir öğretmen adayıdır ve çalışmaya karşı istekli olmuştur.
2.2. Veri toplama araçları
Çalışmada tek bir oturumda farklı veri toplama araçları kullanılarak veri toplanmıştır. Veri toplama araçları iki ana bölümden oluşmuştur. Tablo 1’de görüldüğü üzere, ilk bölüm Görev Temelli Görüşmeler’den; ikinci bölüm ise İspatın Doğasına İlişkin Görüşme Formu’ndan (İDGF) oluşmuştur. Görev Temelli Görüşmeler, öğretmen adaylarının ispat şemalarını ortaya çıkarmak amacıyla öğretmen adaylarının daha önce gördükleri ya da görüşmede ilk kez rastladıkları ispat problemlerini içeren bir formdan (İspat Soruları Formu (İSF)) ve bu formun yanında öğretmen adaylarının düşünmelerini ayrıntılı olarak anlamaya hizmet etmesi düşünülen ilave formlardan (İspat Süreçlerine İlişkin Görüşme Formu (İSGF), Gözlemlenen İspat Şemasına İlişkin Görüşme Formu (GİGF)) oluşmuştur. Görev temelli görüşmelerin hemen akabinde öğretmen adaylarına ikinci bölümde yer alan İspatın Doğasına İlişkin Görüşme Formu (İDGF) uygulanmıştır.
Tablo 1. Veri toplama araçları
A) Görev Temelli Görüşmeler A1) İspat Soruları Formu (İSF)
A2) İspat Süreçlerine İlişkin Görüşme Formu (İSGF) A3) Gözlemlenen İspat Şemasına İlişkin Görüşme Formu (GİGF)
B) İspatın Doğasına İlişkin Görüşme Formu (İDGF)
İSF’deki soruların büyük bölümü öğretmen adaylarının Elemanter Sayı Kuramı dersinde iki bölüm halinde işledikleri sayılar alanındaki “Bölünebilme” ve “Asal Sayılar” konularını kapsayacak şekilde hazırlanmıştır. İSF, ilgili alanyazından (Boyle, 2012; Haverhals, 2011; Healy & Hoyles, 2000; Plaxco, 2011; Schabel, 2001; Selden & Selden, 2003; Yoo, 2008) yararlanılarak ve daha önceden uzman görüşü alınmış, geçerliği ve güvenirliği test edilmiş sorulardan oluşacak biçimde dokuz soru halinde düzenlenmiştir.
68
İSF’nin geçerliği ve güvenirliği uzman görüşü alınarak pilot uygulama öncesi test edilmiştir. Lisans ve lisanüstü öğrenimini matematik alanında yapmış bir matematik eğitimi doçentinden, lisans ve lisanüstü öğrenimlerini matematik eğitimi alanında yapmış iki matematik eğitimi doçentinden, lisans ve yüksek lisans eğitimini matematik bölümünde yapmış ve matematik eğitimi ABD’de görev yapan bir öğretim görevlisinden, resmi okullarda görev yapan iki ortaokul matematik öğretmeninden uzman görüş formu aracılığı ile uzman görüşü alınmıştır. İSF’ye ilişkin soruların olası doğru ve yanlış yanıtlarının bulunduğu ve uzmanlardan bu yanıtların hangi ispat şemasına karşılık geleceği ile ilgili yorumlar isteyen uzman görüş formunda uzmanlardan her soruyu araştırmanın amacı için yeterli olup olmadığına, zorluğu ya da kolaylığına ve açıklık, netlik ve anlaşılırlığına göre (5 üzerinden) puanlamaları istenmiştir. Uzman görüşlerine göre İSF’nin tüm sorulara ilişkin amaca uygunluk düzeyi 4,93; soruların kolaylık/zorluk düzeyi 3,4; soruların açıklık, netlik ve anlaşılabilirlik düzeyi ise 4,69 olarak belirlenmiştir.
Bunun yanında uzmanların görüşme soruların uygunluğu hakkında yorum ve önerileri alınmıştır. Uzman görüşü sonrasında uzmanların birbirlerine uyumlu yorumlar ve önerilerde bulundukları tespit edilmiştir. Uzman Görüş formu “Herhangi üç tane ardışık sayı içerisinde her zaman 3 ile bölünebilen bir sayı olduğunu gösteriniz” olarak belirlenmiş olan birinci soru, çözümünün içeriğinin “Herhangi üç pozitif ardışık tam sayının çarpımının her zaman 6’nın katı olduğunu gösteriniz” olan üçüncü soruda da olması ve. İSF’nin geçerliğini düşüreceğinin düşünülmesi nedeniyle çıkarılmıştır. Sekizinci sorunun ölçeğe alınma sebebi öğretmen adaylarının ispatlarını yapılandırırken örüntü ve modellerden yararlanma durumlarını gözlemektir. Ancak pilot uygulama sonrasında öğretmen adaylarının cevapları incelendiğinde bu sorunun amacına hizmet etmediği belirlenmiştir. ve İSF’den çıkarılmıştır. Pilot uygulama sonrasında öğretmen adaylarının tepkileri analiz edildiğinde, analitik ispat şemalarından dönüşümsel ispat şemasına ilişkin örneklere rastlansa da öğretmen adaylarının analitik aksiyomatik ispat şemasına ilişkin göstergelerine rastlanamamıştır. Öğretmen adaylarının tepkilerinde analitik aksiyomatik ispat şemasının göstergelerinin ortaya çıkmama sebebinin, soruların içeriğinde analitik aksiyomatik düşünceyi ortaya koymayı gerektiren bir durum olmamasından mı yoksa gerçekten hiçbir öğretmen adayının analitik aksiyomatik ispat düşüncesi barındırmamasından mı kaynaklandığının net biçimde ortaya konabilmesi istenmiştir. Bu amaçla analitik aksiyomatik ispat şemasına ilişkin tepkileri ortaya çıkarma potansiyelinde olan bir soru (yedinci soru) eklenerek ek uzman görüşleri alınmış ve araştırma yapılan üniversitenin Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı’nda görev yapan iki araştırma görevlisiyle bu soruya ilişkin ikinci bir pilot uygulama gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmada İSF öğretmen adaylarının tüm ispat şemalarını ortaya koyacak özellikte olmalarına dikkat edilerek ispat şemalarının belirlenmesinde farklı amaçlara sahip olarak hazırlanmıştır. Pilot uygulama sonrasında aşağıdaki şekilde sekiz soruluk son halini almıştır (Tablo 2).
Tablo 2. İspat Soruları Formu (İSF)
1) Herhangi 3 pozitif ardışık tam sayının çarpımının her zaman 6’nın katı olduğunu
gösteriniz.
2) Herhangi 2 tek sayının toplamının her zaman çift olacağını gösteriniz.
3) Herhangi bir pozitif tamsayı n için eğer 𝑛2 3’ün katıysa n’in de 3’ün katı olduğunu gösteriniz.
4) b tek doğal sayı ise 8’in 𝑏2− 1’i böldüğünü gösteriniz.
5) Aşağıdaki iddiayı ve buna yönelik verilen 3 ispatı inceleyiniz ve her bir ispatın
matematiksel doğruluğu hakkında yorum yapınız.
İddia: “Bir tamsayının rakamları toplamı 3 ile bölünürse, bu rakam 3 ile
bölünebilir.”
İspat 1) Rastlantısal olarak 721234182 sayısını seçtik ve
7+2+1+2+3+4+1+8+2=30’un 3 ile bölünebildiğini ve 721234182 sayısının 3 ile bölünebildiğini bulduk. Bu sayı rastgele seçilmişti ve iddiayı doğruladı. Yani iddia doğrudur.
İspat 2)d= 𝑎0𝑎1𝑎2…….𝑎𝑛 ; n+1 basamaklı bir sayı olsun. Çözümleyelim
𝑎0+𝑎1. 10+𝑎2.102+…….+𝑎𝑛.10𝑛 Burada 10≡1 (mod 3) olduğundan
∀𝑖 ∈ 𝑁 için 10𝑖≡ 1 (mod 3) olur. Buna göre,
d= 𝑎0+𝑎1. 10+𝑎2.102+…….+𝑎𝑛.10𝑛≡ 𝑎0+𝑎1+𝑎2 +…….+𝑎𝑛 (mod 3) elde edilir. Yani bir sayı ile o sayının rakamları toplamı (mod3)’te denktir. Bu yüzden rakamları toplamı 3’e bölünürse sayı da bölünür.
İspat 3)
Temel adım;
12; 1’den fazla basamaklı olan 3’e bölünebilen en küçük tamsayıdır. 1+2=3 Tümevarım adımı:
İddianın n’den küçük veya eşit olan 3’ün tüm katları için doğru olduğunu varsayalım;
3’ün bir sonraki çarpanı n+3’ü ele alalım.
n’in rakamları toplamı 3 ile bölündüğüne göre, bu toplam artı 3 de 3 ile bölünebilir. Bu yüzden, iddia doğrudur.
6) Yandaki şekil kenarları 3 br ve 4 br olan bir pencere
çerçevesini göstermektedir. Pencere, cam levhaları ayıran tahta şeritlerden yapılmıştır. Her cam levha 1 br uzunluğunda ve 1 br genişliğinde kareyi oluşturmaktadır. Sayarsanız, 3 br’e 4 br bir pencere çerçevesi için 31 birim tahta şeride ihtiyaç olduğunu göreceksiniz.
Herhangi bir uzunluktaki pencere için tahta şeridin uzunluğunu bulmayı sağlayan genel bir ifade yazınız. Genellemenizin her boyuttaki pencere için doğru olduğunu ispatlayınız.
70
Tablo 2’nin devamı
7) Aşağıda √−1 ile 0 arasındaki ilişkinin çelişki yöntemi ile incelendiği iki ispat verilmiştir. Bu ispatlarda çelişki yönteminin işe yaramama sebebi nedir? İspat içindeki yapılmış olan hata nedir, açıklayınız.
√−1 ≤0 olduğunu ispatlayınız
İspat:
Varsayım: √−1 >0, o zaman √−1 × √−1 >0. Buradan -1> 0 olur. Bu bir çelişkidir. Bu yüzden √−1 ≤0 olur.
√−1 >0 olduğunu ispatlayınız
İspat:
Varsayım: √−1 ≤0, o zaman −√−1 ≥0. Buradan (−√−1)2≥0, yani −1 ≥ 0. Buradan yine çelişki olur, bu yüzden √−1 >0.
8) Asal sayıların sonsuz olduğunu gösteriniz.
İSGF; öğretmen adayları İSF’yi yanıtlarken ispat süreçlerine ilişkin yöneltilen ve öğretmen adaylarının ispat şemalarına ilişkin becerilerini ortaya çıkarmayı hedefleyen genel sorulardan oluşmuştur. İSGF’de öğretmen adaylarına yaptıkları ispatın doğruluğuna araştırmacıyı ya da öğrencileri nasıl ikna edecekleri, yaptıkları ispatın her durum için doğru olup olmayacağı, ispatlarının geçerli olmadığı bir durum için örnek sağlayıp sağlayamayacakları, ispatlarının neden doğru olduğunu düşündükleri, ispatı farklı bir yolla yapıp yapamayacakları, ispatlarında kullandıkları yöntemin ne olduğu ve neden bu yöntemi kullandıkları, ilk akıllarına gelen yöntemin kullandıkları yöntem olup olmadığı, kullandıkları yöntemi nereden hatırladıkları, ispatlarını nasıl buldukları ve her zaman böyle bulup bulamayacakları hakkında sorular sorulmuştur. Bunun yanında öğretmen adaylarından kullandıkları yöntemi kullanma süreçlerini anlatmaları istenmiştir.
Gözlemlenen İspat Şemasına İlişkin Görüşme Formu (GİGF) her bir ispat şemasını ortaya çıkarmak amacıyla hazırlanmış sorulardan oluşmuştur. Öğretmen adaylarının görev temelli görüşmeler sırasında İSF’ye verdikleri yanıtlarda gözlemlenen ispat şemalarına göre ilgili soruların yöneltilmesi hedeflenmiştir. GİGF, Tablo 3’te verilmektedir.
Tablo 3. Gözlemlenen İspat Şemasına İlişkin Görüşme Formu (GİGF)
Gözlemlenen ispat şeması Sorulacak soru
Dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şeması Sence bu çözümünü özgün yapan şey nedir?
Dışsal otoriter ispat şeması Nasıl yaptığını/neye dayanarak yaptığını anlatabilir misin?
Dışsal sembolik ispat şeması Bu algoritmayı neden kullandın? Bu algoritmanın anlamı ne?
Deneysel temel örnekler ispat şeması Sence bu bir/bir kaç durum ispat için yeterli mi?
Bu ispatı başka bir şekilde yapılandırabilir misin?
Deneysel algısal ispat şeması Bu çizimini anlatır mısın?
Yaptıklarını ayrıntılarıyla
gerekçelendirebilir misin?
Analitik dönüştürülebilen ispat şeması Sence bu ispatında ana (anahtar) mesele ne?
Analitik aksiyomatik ispat şeması Yaptığın ispat sürecini detaylandırabilir misin?
Görev temelli görüşmelerin hemen akabinde öğretmen adaylarının ispatın doğasına ilişkin görüşlerini açıklarken sergiledikleri ispat şemalarının ortaya çıkarılması amacıyla İspatın Doğasına İlişkin Görüşme Formu (İDGF) yöneltilmiştir. İDGF’de öğretmen adaylarına ispatın ne olduğu, bir ispatı ispat yapan şeyin ne olduğu ve ne yapılırsa matematiksel olarak doğru bir ifade yazılmış olunacağı, başarılı bir ispat için nelerin gerekli olduğu ve ispatın nelerden oluştuğu, ispat için çok gerekli olmayan ama ispata yardım eden şeylerin ne olduğu sorulmuştur.
2.3. Veri toplama süreci
Bu çalışmanın veri toplama süreci pilot uygulama ve uygulama olmak üzere iki bölümden oluşmaktadır. Aşağıda bu süreçlere ilişkin ayrıntılı bilgi yer almaktadır.
2.3.1. Pilot uygulama veri toplama süreci
Bu çalışmanın pilot uygulaması 2014-2015 eğitim öğretim yılının mayıs ayında iki kısım halinde gerçekleştirilmiştir. Öncelikle dördüncü sınıfta okuyan 45 öğretmen adayına öğrenim gördükleri üniversiteye ait iki derslikte İSF uygulanmıştır. Öğretmen adaylarının İSF’ye verdikleri yazılı yanıtlar toplanmış, içerik analizi yöntemiyle analiz edilmiş, analiz sonucunda ispat şemalarına göre sınıflandırılan öğretmen adaylarından belirli ölçütlerle ispat notasyonları düşük/yüksek gibi ölçütlere göre çeşitlilik sağlanan öğrenci grubunun içerisinden kendini iyi ifade edebileceği düşünülen sekiz (dört kız, dört erkek) öğretmen adayıyla klinik görüşmeler yapılmıştır. Bu görüşmeler sırasında öğretmen adaylarına İSF’deki sorular tekrar yöneltilmiş, önceden yaptıkları ispat çözümlerini tekrar incelemeleri sağlanmıştır. Öğretmen adaylarının açıklamaları sırasında kendilerine İSGF’deki ve GİGF’deki sorular yöneltilerek ispat şemaları hakkında ayrıntılı bilgi
72
edinilmesi sağlanmıştır. Daha sonra ise görüşme yapılan öğretmen adaylarına İDGF’deki sorular yöneltilmiştir.
Pilot uygulamanın iki kısım halinde yürütülmesi öğretmen adaylarının yazılı sınavlarda ve görüşmelerde aynı soruya ilişkin farklı ispat şemalarının göstergeleri olan tepkiler sergilemelerine yol açmıştır. Öğretmen adayları yazılı halde dile getirmedikleri bazı düşünceleri görüşmelerde dile getirerek daha zengin ve farklı veri sağlamışlardır. Öğretmen adaylarının yazılı sınavdaki ispat sorularına verdikleri yanıtlarla görüşmede ortaya çıkan yanıtların ve buna ait ispat şemaları sınıflandırmasının neden farklı olduğunun belirlenme işine harcanan sürenin çalışmanın asıl amacı olan öğretmen adaylarının ispat şemalarının belirlenmesine harcanan süreden daha fazla olduğu görülmüştür. Bu durumun çalışmanın amacına hizmet etmediği düşünülmüştür. Pilot uygulama verilerinin analizi sonrasında, öğretmen adaylarına İSF’nin önceden verilerek yanıtları yazılı olarak alındıktan sonra ayrıca görüşmeler yapılandırmak yerine, tüm uygulamanın tek bir görev temelli görüşme ile yapılmasına karar verilmiştir.
2.3.2. Uygulama veri toplama süreci
Bu çalışmanın verileri 2015-2016 eğitim öğretim yılının bahar döneminde görev temelli görüşmeler ve hemen akabinde ispatın doğasına ilişkin görüşmeler aracılığıyla tek bir oturumda toplanmıştır. Görüşmeler 1 saat 48 dakika ile 2 saat 29 dakika arasında sürmüştür.
2.4. Verilerin analizi
Öğretmen adaylarının ispat şemalarının ortaya çıkarılması için Görev Temelli Görüşmelere ve İDGF’ye verdikleri yanıtlar içerik analizi yöntemiyle analiz edilmiştir. Öncelikle birinci araştırmacı tüm görüşmelere ilişkin deşifreleri yapmıştır. Birinci araştırmacı dâhil olmak üzere üç kişiyle yürütülen içerik analizinde görev temelli görüşmelerin ve ispatın doğasına ilişkin görüşmelerin analizleri birbirlerinden bağımsız olarak yapılmıştır. Tüm görüşmeler için verilerin analizine soru bazında başlanmıştır. Öncelikle deşifrelerden her öğretmen adayı için birinci sorulara verilen tepkiler okunmuş, daha sonra birinci soru için her öğretmen adayı ayrı ayrı değerlendirilmiştir. Daha sonra aynı işlem ikinci soru, … ve diğer sorular için tekrarlanmıştır. Parçalanmış veriler ortak olan noktalar dikkate alınarak incelenmiş, karşılaştırılmış, kavramsallaştırılarak sınıflandırılmıştır. Böylelikle öğretmen adaylarının tepkileri belirli ispat şemalarının göstergeleri olarak belirli bir kod listesi ile sınıflandırılmıştır. Bu işlem tüm kodlayıcılar tarafından ayrı ayrı farklı oturumlarda gerçekleştirilmiştir. Son haline gelen kodlar birbirlerinden ayrı olarak Sowder ve Harel’ın (1998) ispat şeması sınıflamasına göre sınıflandırılmıştır. Bunun için kodlayıcılara ispat şemaları sınıflandırması ile ilgili doldurabilecekleri tablolar verilmiştir. Böylelikle belirli kodların belirli ispat şemaları altında sınıflandırıldığı tek bir sınıflandırma tablosu ortaya konmuştur. Bu nihai sınıflama ile temel ispat şemaları ve alt sınıflamaları araştırmada kullanılan temalar ve alt temalar olarak; kodlar ise ilgili ispat şemalarının göstergeleri olarak ortaya çıkmıştır (Tablo 4).
Tablo 4. İspat şemalarının uygulamaya ilişkin göstergeleri
Görev Temelli Görüşmeler İDGF
İspat Şeması (Temalar) İspat Şemasının Alt Sınıflandırma Şemaları (Alt Temalar)
İspat Şemasının Göstergesi (Kodlar) Öğretmen Adayı (Soru No) İspat Şemasının Göstergesi (Kodlar) Öğretmen Adayı (Soru No) Dışsal İspat Şeması Dışsal Otoriter İspat Şeması
İzlediği yol hakkında
derslerden öğrendiklerine
atıf yaparak açıklama
yapma Semiha (8) Hamra(1) Dışsal Sembolik İspat Şeması İspatı yapılandırırken sembolleri anlamsızca
manipüle etme Derya (3)
Dışsal Alışkanlık Edinilmiş İspat Şeması İşlemlerini önceki öğrenmelerine benzer formatta dönüşüm
yapmadan yarım bırakma
Semiha (1) Derya (1) Sınırlı bağlantılarla önceki
öğrenmelerine benzer ispat süreçleri arama
Semiha(5) Derya(1,3,5)
Hamra (4)
İspatı daha önceden edinilmiş ezbere ve yüzeysel bilgilerle açıklama Semiha (3) Derya(1,2,3) Hamra (1) İspatı yapılandırırken sık kullanılan sembolik gösterimleri anlamlandırmadan kullanma Semiha(2,3) Derya(2) Kullandığı yöntem
hakkında yanlış bilgiyle
ispatı yapılandırma Semiha (3)
İspatın doğruluğunu
ispatın görüntüsünden
etkilenerek yargılama Hamra (5)
İspatın doğruluğunu ispatın görüntüsünden etkilenerek
göstermeye çalışma
Hamra (2,3)
Genel ifadelerle yüzeysel
deliller sunma Hamra (8)
Deneysel İspat Şeması Deneysel Algısal İspat Şeması İspatın doğruluğunu hislerine dayanarak göstermeye çalışma Semiha (1) Sadece özel bir durum için
inceleme yaparak nedensel ilişkileri belirleyememe
Hamra (6) Deneysel Örnek
Temelli İspat Şeması
İspatın doğruluğunu belirli sayı değerleri üzerinden
göstermeye çalışma Hamra (3,5ǂ)
İspatın doğruluğunu belirli değerler üzerinden göstermeye çalışma Hamra (2) Analitik İspat Şeması Analitik Dönüşümsel İspat Şeması
İspatı doğru akıl yürütme
ile dönüşüm yaparak yapılandırma Semiha(4,6) Derya(1ǂ,4,6) Hamra (4ǂ) Diğerlerini mantıksal akıl yürütme ile ikna
edecek ifadelerde
bulunma
Semiha (1) Derya (4)
Ana meseleyi belirleyerek
tutarlı basamaklar yapılandırma Semiha (3ǂ) Hamra (2) İspatın doğruluğunu mantıksal çıkarımlarla destekleyerek açıklama Semiha (5) Derya (5)
ǂBu ispat şemasına girmemekle beraber o ispat şeması ile ilişkilendirilebilecek bazı düşüncelere sahip olabileceğine dair deliller ve ipuçları bulundurması (sıklık hesaplamalarına dahil edilmemiştir)
74
3. Bulgular
Öğretmen adaylarının çalışmadaki görüşmelerde dışsal, deneysel ve analitik olmak üzere üç ana kategorideki ispat şemalarını ortaya koyan tepkiler sergiledikleri belirlenmiştir. Öğretmen adayları görev temelli görüşmelerde ana kategorideki ispat şemalarının yanında analitik aksiyomatik ispat şeması haricindeki tüm alt sınıflarındaki ispat şemalarına ilişkin tepkiler gösterirken; ispatın doğasına ilişkin görüşmelerde dışsal alışkanlık edinilmiş, deneysel örnek temelli ve analitik dönüşümsel ispat şemalarını ortaya koyan tepkiler vermişlerdir. Tablo 5 öğretmen adaylarının görev temelli görüşmelerde İSF’ye verdikleri yanıtlardaki, Tablo 6 ise ispatın doğasına ilişkin görüşmelerde İDGF’ye verdikleri yanıtlardaki ispat şemaları dağılımlarını göstermektedir.
Tablo 5. Öğretmen adaylarının görev temelli görüşmelerdeki ispat şemaları dağılımları İspat Şeması
Dışsal İspat Şeması Deneysel İspat Şeması
Analitik İspat Şeması
S o ru N o Öğ re tm en A da yı A lı şk an lı k E di ni lm iş Ot o ri te r S embo li k Örnek Tem el li A lg ısa l D ön üşü mse l A k si y o m a ti k 1 Semiha +* + Derya +* ǂ Hamra + 2 Semiha + Derya + Hamra + 3 Semiha +* ǂ Derya + +* Hamra + 4 Semiha + Derya + Hamra +* ǂ 5 Semiha +* + Derya +* + Hamra +* ǂ 6 Semiha + Derya + Hamra + 7 Semiha ǂ** Derya +** Hamra +** 8 Semiha + Derya Hamra + Toplam 11 2 1 1 2 7 0 Toplam 16 3 7
ǂ Bu ispat şemasına girmemekle beraber o ispat şeması ile ilişkilendirilebilecek bazı düşüncelere sahip olabileceğine dair deliller ve ipuçları bulundurması (sıklık hesaplamalarına dahil edilmemiştir); * Öğretmen adayının birden fazla ispat şemasını ortaya koyan tepkiler gösterirken bu ispat şeması olarak nitelendirilebilecek tepkileri ağırlıklı olarak ortaya koyması; **Öğretmen adayının alt sınıflamaya dâhil edilemeyecek nitelikte sadece temel ispat şeması sınıflandırmasına ilişkin tepkiler ortaya koyması
Tablo 5’te görüldüğü üzere, öğretmen adaylarının görev temelli görüşmelerde bazı durumlarda bir ispat şemasını ortaya koyan tepkiler sergilerken bazı durumlarda aynı anda birden fazla ispat şemasını ortaya koyan tepkiler gösterdikleri belirlenmiştir. Bu durumun farklı iki yolla ortaya çıktığı görülmüştür. Bu yollardan ilki öğretmen adaylarının farklı sorularda farklı ispat şemasını ortaya koyan tepkiler göstermeleri olarak belirlenmiştir. Örneğin Hamra birinci soruda dışsal otoriter ispat şemasını gösteren ifadelerde bulunurken ikinci soruda analitik dönüşümsel ispat şeması olarak nitelendirilebilecek tepkiler göstermiştir. Bu durumun tüm öğretmen adayları için geçerli olduğu belirlenmiştir. İkinci olarak öğretmen adayları aynı soruya ilişkin yanıtlarında birden fazla ispat şemasını ortaya koyan tepkiler göstermişlerdir. Örneğin Semiha birinci soruda ağırlıklı olarak dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasını ortaya koyan tepkiler verirken aynı zamanda deneysel algısal ispat şemasını ortaya koyan tepkiler de göstermiştir. Bir ispat şemasının göstergesi olan tepkileri ağırlıklı olarak gösterme durumu Tablo 5’te * işareti ile gösterilmiştir. Bazı durumlarda ise öğretmen adayları bir ispat şemasını ortaya koyan tepkileri tamamen sergilemeseler de o ispat şeması ile ilişkilendirilebilecek bir takım özellikleri ya da düşünceleri bulundurduklarına ilişkin deliller ortaya koymuşlardır. Bu durumlar ǂ ile işaretlenmiştir ve sıklık hesaplamalarına direk dâhil edilmemiş, ayrıca ele alınarak değerlendirilmiştir. Öğretmen adaylarının bazı durumlarda ise ispat şemalarının alt sınıflarına ilişkin değil temel sınıflandırma olarak belirli ispat şemasını ortaya koyan tepkileri gösterdikleri belirlenmiştir. Örneğin Derya ve Hamra İSF’nin yedinci sorusuna ilişkin tepkilerinde temel sınıflandırma olarak analitik ispat şemasını ortaya koyan tepkiler göstermişlerdir. (Bu durumlara örnek teşkil edecek tepkiler aşağıda örnekle açıklanmıştır).
Görev temelli görüşmelerde (Tablo 5), öğretmen adaylarından en yüksek ve orta başarı düzeylerindeki Semiha ve Derya benzer olarak aynı dört soruda (birinci, ikinci, üçüncü ve beşinci sorularda) ve ispat şemasının göstergesi olan beş tepkide en sık olarak dışsal alışkanlık ispat şemasının göstergelerini ortaya koymuşlardır. En düşük başarı düzeyindeki Hamra ise görev temelli görüşmelerde diğer öğretmen adaylarından farklı olarak sadece beşinci ve sekizinci sorularda dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasına ilişkin göstergeler sergilemiştir. Yüksek ve orta başarı düzeylerindeki Semiha ve Derya dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasından sonra en sıklıkla birbirlerine yine benzer olarak İSF’nin dördüncü, beşinci ve altıncı sorularında analitik dönüşümsel ispat şemasını ortaya koyan tepkiler vermişlerdir. En düşük başarı düzeyindeki Hamra ise sadece bir durumda farklı bir soruda (İSF’nin ikinci sorusunda) analitik dönüşümsel ispat şemasına ilişkin göstergelere sahip olmuştur. Dolayısıyla, bu çalışmada daha yüksek başarı düzeyindeki öğretmen adaylarının kendi aralarında ispat şemalarını ortaya koyan tepkilerinin benzer olduğu ve daha yüksek başarı düzeyindeki öğretmen adaylarının analitik ispat şemasını ortaya koyan tepkiler gösterme ihtimallerinin daha düşük başarı düzeyindeki öğretmen adaylarına göre daha yüksek olduğu sonucuna varılabilir.
Bu çalışmada Tablo 4’te de görülebileceği üzere öğretmen adayları görev temelli görüşmeler boyunca izledikleri yol hakkında derslerden öğrendiklerine atıf yaparak açıklama yaparak dışsal otoriter ispat şemasına; ispatı yapılandırırken sembolleri anlamsızca manipüle ederek dışsal sembolik ispat şemasına ilişkin tepkiler ortaya
76
koymuşlardır. Öğretmen adayları işlemlerini önceki öğrenmelerine benzer formatta dönüşüm yapmadan yarım bıraktıkları, sınırlı bağlantılarla önceki öğrenmelerine benzer ispat süreçleri aradıkları, ispatı yapılandırırken sık kullanılan sembolik gösterimleri anlamlandırmadan kullandıkları, kullandıkları yöntem hakkında yanlış bilgiyle ispatı yapılandırdıkları, ispatın doğruluğunu ispatın görüntüsünden etkilenerek yargıladıkları ve genel ifadelerle yüzeysel deliller sundukları durumlarda ise dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasına ilişkin tepkiler ortaya koymuşlardır. Bunun yanında ispatın doğruluğunu hislerine dayanarak göstermeye çalıştıkları ve sadece özel bir durum için inceleme ile nedensel ilişkileri belirleyemedikleri durumlarda deneysel algısal ispat şemasına; ispatın doğruluğunu belirli sayı değerleri üzerinden göstermeye çalıştıkları durumlarda deneysel temel örnekler ispat şemasına; ispatı doğru akıl yürütme ile dönüşüm yaparak yapılandırdıkları, ana meseleyi belirleyerek tutarlı basamaklar yapılandırdıkları ve ispatın doğruluğunu mantıksal çıkarımlarla destekleyerek açıklayarak ise analitik dönüşümsel ispat şemasına ilişkin göstergelerle tepkiler ortaya koymuşlardır. İspatın doğasına ilişkin görüşmelere bakıldığında ise öğretmen adayları ispatın doğruluğunu ispatın görüntüsünden etkilenerek göstermeye çalışarak ve ispatı daha önceden edinilmiş ezbere ve yüzeysel bilgilerle açıklayarak dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasına; ispatın doğruluğunu belirli değerler üzerinden göstermeye çalışarak deneysel temel örnekler ispat şemasına; diğerlerini mantıksal akıl yürütme ile ikna edecek ifadelerde bulunarak ise analitik dönüşümsel ispat şemasına ilişkin tepkiler sergilemişlerdir.
Bu çalışmada, görev temelli görüşmelerde dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasının en belirleyici göstergesi “sınırlı bağlantılarla önceki öğrenmelerine benzer
ispat süreçleri arama” olarak, ispatın doğasına ilişkin görüşmelerde ise “ispatı daha önceden edinilmiş ezbere ve yüzeysel bilgilerle açıklama” olarak belirlenmiştir.
Öğretmen adaylarının “sınırlı bağlantılarla önceki öğrenmelerine benzer ispat
süreçleri arama” göstergesine ve bunun yanında alt sınıflamaya dâhil edilemeyecek
nitelikte sadece temel ispat şeması sınıflandırmasına ilişkin tepkiler ortaya koymaları durumuna ilişkin örnek aşağıda yer almaktadır:
Derya birinci soruyu yanıtlarken soruyu Elemanter Sayı Kuramı dersine ilişkin hatırlamalarına yoğunlaşmıştır. Derya öncelikle n, n+1 ve n+2 gibi üç ardışık sayı ifadesi ile başlamış, bu sayıları 6’nın katına eşitleyerek bir eşitlik oluşturmuştur. Fakat bunları yaparken kendisini doğru ispata götürecek çıkarımları yapamadığını belirten ifadeler kullanmıştır. Aşağıda Derya’nın açıklamaları yer almaktadır:
D: Bunu bize daha önce sormuşlardı sanırım. A: Öyle mi, hangi sınavda?
D: Elemanter gibi bir sınavda olabilir. A: Öyle mi?
D: Yani ben 6’nın katı çıktığını hatırlıyorum ama…. A: Neyin 6’nın katı olacağını düşünüyorsun?
D: Cevabın 6’nın katı çıktığını hatırlıyorum… üç ardışık sayı vermiş bize, üç tane, bunları çarpınca cevabın her zaman 6’nın katı … olacağını göstermemizi istiyor. [durur]
Yukarıdaki alıntılardaki “Bunu bize daha önce sormuşlardı sanırım”, “Elemanter gibi
görülebileceği gibi, Derya’nın bu soruda akıl yürütmeden verilenleri yerine koyup derslerde öğrendikleri gibi bir takım işlemlerle yola koyulduğu belirlenmiştir
Derya birinci soruya ilişkin tepkilerinde ağırlıklı olarak dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasını ortaya koyan tepkiler sergilemiş; bunun yanında tam olarak analitik dönüşümsel ispat şeması olarak nitelendirilebilecek tepkiler olmasa da, bu şemayla ilişkilendirilebilecek bazı düşüncelere ilişkin tepkiler sergilemiştir (Tablo 4, ǂ). Derya’ya daha önceki benzer süreçlere takılmadan kendi akıl yürütmesiyle neler yapabileceğini gözlemlemek için bu soruda dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasını ortaya koyan tepkileri gösterdiği durumları hiç bilmeseydi farklı bir yolu deneyip deneyemeyeceği sorulmuştur. Bu soru üzerine Derya öncelikle 6 sayısını 1, 2 ve 3 sayılarının çarpımı olarak yazmıştır. Daha sonra bu ardışık sayıların birer fazlası olan 2, 3, 4; 3, 4, 5 ve 4, 5, 6 sayılarını çarpım durumunda yazan Derya’nın bunların hepsinin içerisinde 2 ve 3 çarpanı olduğunu keşfettiği görülmüştür. Bu yanıtına ilişkin yaptıkları Şekil 2’de görülebilir:
Şekil 2. Derya’nın İSF’nin birinci sorusuna ilişkin yanıtı
Şekil 2’de görüldüğü üzere Derya’nın farklı sayıların içerisinde 6 çarpanını bulmak için denemeler yaptığı, açıklamalarının doğru akıl yürütmeye dayandığı fakat kendisine yaptıklarının ispat olup olmadığı sorulduğunda, yaptığının ispat olmadığını düşündüğünü belirttiği görülmüştür. Derya’nın açıklamaları aşağıdaki gibidir:
D: Burada aslında ben …ııı…işlemleri yaptığımda 6’nın çarpanını elde etmeye çalıştım hmmm…sonuçta üç ardışık sayı dediği için ben onları yazdım ve onları çarptığımda 6’nın
bir katı gelmesini bekledim ıııı…. Burada hani aslında sayı verip deneyince doğruluğu
gözüküyor ama bu şekilde ispatladığı da söyleyemem ……..[düşünür]
A: Bu yolları hiç bilmeseydin başka bir yol deneyebilir miydin? Başka bir yöntem deneyebilir miydin? Aklında bir şey var mı? (İSGF)
D: Şey olarak düşünüyorum ama…6….bir çarpı iki çarpı üç ııı…diye düşündüm …
burada sonuçta bu ardışık sayılar bu çarpımları işte bunu genelleştirmeye giderken
……..[düşünür].
A: Şimdi 6 eşittir 1, 2, 3 dedin onunla yapmaya çalıştın.
D: İşte bunu genelleştirmeye çalıştım… ama işte orada tam bir şey bulamadım. A: Yani üç ardışık sayı aldın sanırım .
F: Evet 6’yı 1, 2, 3 şeklinde yazabiliriz hani bunlar da zaten ardışık üç sayı işte bundan
bunun doğruluğundan yola çıkaraktan bir şeyler yapabiliriz ama şu an aklıma bir şey gelmiyor….[düşünür]….. hani aslında her sayıda 1 çarpanı vardır …ııı… 2, 3 çarpanı…..ııı… ama ardışık olması gerekir …..[yazar] …ıııı…. Deneme yanılma gibi bir şey
78
zaten muhakkak gelir….. mesela 6, 2 ve 3 …3’ün çarpımı diye düşünürsem iki her zaman muhakkak geliyor 3 de zaten üç tane sayı her üçlüde 3’ün katı geliyor zaten … buradan
yola çıkaraktan altının gelebileceğini düşündüm…birkaç deneme yaptım işte 2, 3, 4; 3, 4,5 gibi…ıııı… her üçlüde zaten 3’ün katı muhakkak geliyor ..hani üçlü olduğu için üç
fazlası ya da 3’ün katları şeklinde düşünürsek …. Muhakkak bu üçlüde bir tane 3’ün katı geliyor…ııı… 2 de aynı şekilde 2’nin de en az bir katı geliyor o yüzden hani elde ettiğimiz sayının da muhakkak 6 çarpanı oluyor …bunu düşündüm.
A: Sence bu yaptığın ispat mı?(İSGF)
D: Buna ispat diyemeyiz. yani bu ben hani…burada birkaç şeyi deneme yanılma yoluyla
buldum …hhmmm… tam anlamıyla ispat diyemem.
Yukarıdaki açıklamalarından da anlaşılabileceği üzere Derya’nın 6’nın katı olmayı 2 ve 3 sayılarının katı olmaya dayandırdığı ve bunun yanında doğru akıl yürütmesine ilişkin doğru açıklamalar yaptığı, fakat bu yaptıklarının bir ispatı oluşturmayacağını düşündüğüne ilişkin açıklamalarda bulunduğu belirlenmiştir. Buradan, Derya’nın analitik dönüşümsel ispat şemasını gösteren bazı belirtilerden biri olan dönüşümsel bir fikre sahip olmasına rağmen ,”ispatı doğru akıl yürütme ile dönüşüm yaparak yapılandırma” göstergesini tam olarak taşıyamadığı; bu fikirleri örüntüsünü genellemede kullanamadığı belirlenmiştir. Dolayısıyla Derya’nın akıl yürütmesini genel bir çıkarıma ulaşmak için kullanamadığından tam olarak analitik ispat şemasını ortaya koyan tepkiler vermediği fakat dönüşümsel fikre sahip olduğu bunun yanında ağırlıklı olarak dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasını ortaya koyan tepkiler sergilediği saptanmıştır.
Görev temelli görüşmelerde analitik dönüşümsel ispat şemasının en belirleyici göstergesi “ispatı doğru akıl yürütme ile dönüşüm yaparak yapılandırma” olarak belirlenirken, ispatın doğasına ilişkin öğretmen adaylarının bu sınıftaki ispat şemasına ilişkin tek göstergesi “diğerlerini mantıksal akıl yürütme ile ikna edecek ifadelerde
bulunma” olarak belirlenmiştir. Görev temelli görüşmelerde analitik dönüşümsel ispat
şemasının “ispatı doğru akıl yürütme ile dönüşüm yaparak yapılandırma” göstergesinin sergilenme durumlarına ilişkin bir örnek aşağıda yer almaktadır:
Semiha İSF’nin dördüncü sorusu olan “b tek doğal sayı ise 8’in 𝑏2− 1’i böldüğünü gösteriniz” sorusunu yanıtlarken öncelikle b’ye bir tek sayı ifadesi (b=2n-1) vermiş, daha sonra bu ifadenin karesini alarak içerisinde 8’in katını arama yoluna gitmiştir. Semiha’nın 8’in katı için 4 ve 2 çarpanlarını aradığı, 4 çarpanını denklem içerisinde elde ettikten sonra
n.(n+1) ifadelerinin bir tek ve bir çift sayının çarpımı olacağı çıkarımını yaptığı
görülmüştür. Semiha’nın ilgili yanıtı Şekil 3’te yer almaktadır:
Semiha’ya ispatını doğru yapılandırmasına temel teşkil eden fikri sorulduğunda ikna edici yanıtlar vermiştir. Semiha’nın ilgili açıklamaları aşağıda yer almaktadır:
A: Buradaki anahtar mesele ne? Ana mesele, temel konu, senin ispatında budur bundan dolayıdır dediğin şey ne?(İSGF, GİGF)
S: Immm yani bulduğum şeyde 4 çarpanının gelmesi ve iki tane ardışık sayının gelmesi ben
𝒃𝟐-1’de 4 çarpanını bulduğum için 8’in 4 çarpanını götürebildim ve iki ardışık sayının
çarpımının 2’nin katı olduğunun konusu olduğu için yani direk yazabildim.
Yukarıdaki açıklamalarından ve Şekil 3’ten de görüleceği üzere, Semiha’nın doğru akıl yürütme yaparak ve ikna edici tutarlı basamaklar yapılandırarak ispatını tamamladığı söylenebilir. Semiha’nın konuyu ele alış ve sergileyiş biçimi düşünüldüğünde bu soruya ilişkin yanıtlarında analitik dönüşümsel ispat şemasının göstergesi olan tepkiler ortaya koyduğu saptanmıştır.
Öğretmen adaylarının ispatın doğasına ilişkin görüşmelerdeki ispat şemalarına ilişkin dağılımlar Tablo 6’da yer almaktadır.
Tablo 6. Öğretmen Adaylarının İspatın Doğasına İlişkin Görüşmelerdeki İspat Şemaları
Dağılımları
İspat Şeması
Dışsal İspat Şeması Deneysel İspat Şeması Analitik İspat Şeması Soru
No
Öğretmen
Adayı Alışkanlık Edinilmiş Otoriter Sembolik Temelli Örnek Algısal Dönüşümsel Aksiyomatik
1 Semiha + Derya + Hamra + 2 Semiha +** Derya + Hamra + +* 3 Semiha + Derya + Hamra + 4 Semiha Derya + Hamra Toplam 7 1 2 Toplam 7 1 3
* Öğretmen adayının birden fazla ispat şemasını ortaya koyan tepkiler gösterirken bu ispat şeması olarak nitelendirilebilecek tepkileri ağırlıklı olarak ortaya koyması
**Öğretmen adayının alt sınıflamaya dâhil edilemeyecek nitelikte sadece temel ispat şeması sınıflandırmasına ilişkin tepkiler ortaya koyması
Tablo 5 ve Tablo 6’dan da görülebileceği üzere tüm görüşmeler boyunca, öğretmen adaylarının en çok dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasını ortaya koyan tepkiler verdiği, bunun dışındaki dışsal ispat şemalarının alt sınıflarına ilişkin tepkilerinin az olduğu ve dışsal alışkanlık edinilmiş ispat şemasından sonra en sıklıkla analitik dönüşümsel ispat şemalarını ortaya koyan tepkiler verdikleri saptanmıştır. Öğretmen adayları en az sıklıkla deneysel ispat şemasına ilişkin tepkiler sergilemişlerdir. Bunun yanında öğretmen adaylarının analitik dönüşümsel ispat şemasıyla başka bir ispat şemasını ortaya koyan
