ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Burak ULAġ
Anabilim Dalı : Makina Mühendisliği Programı : Sistem Dinamiği ve Kontrol
HAZĠRAN 2009
HAZĠRAN 2009
ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Burak ULAġ
(503061602)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 04 Mayıs 2009 Tezin Savunulduğu Tarih : 08 Haziran 2009
Tez DanıĢmanı : Yrd.Doç.Dr. Zeki Yağız BAYRAKTAROĞLU Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Ata MUĞAN (ĠTÜ)
Prof. Dr. Ġbrahim ÖZKOL (ĠTÜ)
iii ÖNSÖZ
Öncelikle bu tez çalışması ile ilk defa adım attığım robotik konusunda yol gösteren danışmanım Yrd.Doç.Dr. Zeki Yağız Bayraktaroğlu‟na sabrı ve hoşgörüsü için teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca tez çalışmam konusunda bana fikir veren Yük.Müh. Murat Karadeniz‟e ve kullanmış olduğum eyleyicinin teminini sağlayan Bias Mühendislik A.Ş.‟ye teşekkürü bir borç bilirim.
v ĠÇĠNDEKĠLER
Sayfa
ÇĠZELGE LĠSTESĠ ... vii
ġEKĠL LĠSTESĠ ... ix SEMBOL LĠSTESĠ ... xi 1. GĠRĠġ ... 1 1.1 Temel Kavramlar ... 1 1.2 Seri Manipülatörler ... 1 1.3 Paralel Manipülatörler ... 2
1.4 Paralel ve Seri Manipülatörlerin Özellikleri... 5
2. KĠNEMATĠK ... 6
2.1 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematiği ... 6
2.1.1 Stewart Platform Mekanizmasının Ters Kinematiği ... 6
2.1.2 Stewart Platform Mekanizmasının İleri Kinematiği ... 9
2.1.2.1 Analitik Yöntem...9
2.1.2.2 Tekrarlamalı Sayısal Yöntem ...10
2.2 Stewart Platform Mekanizmasına ait Euler ve Kinematik Jakobiyenin Hesaplanması... 11
2.3 Plücker Vektörlerinin Jakobiyen ile Bağıntısı ... 16
2.4 Tekillik ... 18
2.4.1 Tekillik Endeksi ... 19
2.5 Statik Analizde Temel Bağıntılar ... 20
2.6 Statik Analizin Kullanım Alanları ... 20
3. DĠNAMĠK ... 22
3.1 Dinamik Modeller... 22
3.2 İleri ve Ters Dinamik Denklemlerin Elde Edilmesi... 22
3.3 Tasarım Hedefleri ... 27
4. ÇALIġMA UZAYI ... 29
4.1 Parametre Uzayı Yaklaşımı ... 29
4.2 SPM‟ye Uyarlanması ... 30
4.3 Parametre Aralıklarının Tanımlanması ... 31
4.4 Çalışma Uzayı Sınır Noktalarının Belirlenmesi ... 33
4.5 Hesaplama Sonuçları ... 34
4.6 Eyleyicinin Belirlenmesi ... 35
4.7 Ayrıklaştırma Yöntemi ile Çalışma Uzayının Doğrulanması... 36
5. BENZETĠMLER ... 38
5.1 Mekanik Sistemin Modellenmesi ... 38
5.2 Kontrol Sisteminin Modellenmesi ... 40
5.2.1 Ters Kinematik ... 40
5.2.2 Kontrolör ... 40
5.2.3 İleri Kinematik ... 41
vi
5.2.5 İleri Dinamik ...42
5.3 Çalışma Uzayı ve Dinamik Davranış Benzetimleri ...42
5.3.1 Koordinat Sistemi ...43
5.3.2 X-Ekseninde Doğrusal Hareket (Surge) ...43
5.3.3 Y-Ekseninde Doğrusal Hareket (Heave) ...47
5.3.4 Z-Ekseninde Doğrusal Hareket (Sway) ...51
5.3.5 X-Ekseninde Açısal Hareket (Roll)...54
5.3.6 Y-Ekseninde Açısal Hareket (Yaw) ...57
5.3.7 Z-Ekseninde Açısal Hareket (Pitch) ...61
5.3.8 Yörünge Takibi Hareketi ...65
5.4 Sistemin Sınırlarının Belirlenmesi ...69
5.4.1 Yük Sınırının Belirlenmesi ...69
5.4.2 Hareket Frekans Sınırının Belirlenmesi ...69
6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER...71
KAYNAKLAR ...73
EK A.1 ...75
EK A.2 ...85
vii ÇĠZELGE LĠSTESĠ
Sayfa
Çizelge 3.1 : Moog Series 6DOF2000E Modeline ilişkin performans çizelgesi .. 28
Çizelge 4.1 : Parametre Uzayı yaklaşımı ile sistemin sağlaması gereken konumlar... 34
Çizelge 4.2 : Parametre Uzayı Analizi sonuçları ... 35
Çizelge 4.3 : Eksenler üzerindeki çalışma uzayı uç noktaları ... 37
Çizelge 5.1 : Yörüngeyi oluşturan farklı eksenlerdeki salınımlar ... 65
ix ġEKĠL LĠSTESĠ
Sayfa
ġekil 1.1 : KUKA endüstriyel seri manipülatör ... 1
ġekil 1.2 : D. Stewart‟ın uçuş simülatörü olarak önerdiği sistem... 3
ġekil 1.3 : Eric Gough‟nun lastik test makinası (solda) ve aynı sistemin modern versiyonu ... 3
ġekil 1.4 : Stewart platformu mekanizması ... 4
ġekil 1.5 : Farklı eyleyiciler içeren paralel mekanizmalar ... 5
ġekil 2.1 : Stewart Platformunun ters kinematik analizinde kullanılan vektörler ... 7
ġekil 2.2 : Döndürülen noktaya ait koordinatların hesaplanması ... 8
ġekil 3.1 : Dinamik denklemlerde kullanılan kuvvet ve momentler ... 23
ġekil 3.2 : Moog Series 6DOF2000E modeli... 27
ġekil 4.1 : Parametre prizmasında b değişkeni için bölme (bisection) işleminin uygulanması ... 30
ġekil 4.2 : SPM geometrisi için karakteristik parametreler ... 31
ġekil 4.3 : Hareketli platform yarıçapının belirlenmesi ... 32
ġekil 4.4 : Eyleyici boylarının hesaplanmasında strok boyunun kullanılması ... 32
ġekil 4.5 : Çalışma uzayından seçilen altı sınır noktası ... 33
ġekil 4.6 : İstenen çalışma uzayını sağlayan parametre kümeleri ... 35
ġekil 4.7 : Moog firmasına ait hareket platformlarında kullanılan eyleyiciler ... 36
ġekil 4.8 : Nokta bulutu olarak gösterilen çalışma uzayı ... 37
ġekil 5.1 : ADAMS‟da kurulan mekanik sistem modeli ... 39
ġekil 5.2 : Dinamik benzetimlerde yapılan işlemler ... 40
ġekil 5.3 : Matlab/Simulink‟de kurulan kontrol sistemi modeli ... 41
ġekil 5.4 : ADAMS‟da ve benzetimlerde kullanılan koordinat sistemi ... 43
ġekil 5.5 : Surge hareketi ... 44
ġekil 5.6 : X ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ... 44
ġekil 5.7 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ... 45
ġekil 5.8 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ... 45
ġekil 5.9 : X ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi ... 46
ġekil 5.10 : X ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ... 46
ġekil 5.11 : X ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi... 47
ġekil 5.12 : Heave hareketi ... 47
ġekil 5.13 : Y ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ... 48
ġekil 5.14 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ... 48
ġekil 5.15 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ... 49
ġekil 5.16 : Y ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi ... 49
ġekil 5.17 : Y ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ... 50
ġekil 5.18 : Y ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi... 50
x
ġekil 5.20 : Z ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ... 51
ġekil 5.21 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ... 52
ġekil 5.22 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ... 52
ġekil 5.23 : Z ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi ... 53
ġekil 5.24 : Z ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi... 53
ġekil 5.25 : Z ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi ... 54
ġekil 5.26 : Roll hareketi ... 54
ġekil 5.27 : X ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları... 55
ġekil 5.28 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar... 55
ġekil 5.29 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ... 56
ġekil 5.30 : X ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi... 56
ġekil 5.31 : X ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ... 57
ġekil 5.32 : X ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ... 57
ġekil 5.33 : Yaw hareketi ... 58
ġekil 5.34 : Y ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları... 58
ġekil 5.35 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar ... 59
ġekil 5.36 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ... 59
ġekil 5.37 : Y ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi... 60
ġekil 5.38 : Y ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ... 60
ġekil 5.39 : Y ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ... 61
ġekil 5.40 : Pitch hareketi... 61
ġekil 5.41 : Z ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları ... 62
ġekil 5.42 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar ... 62
ġekil 5.43 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ... 63
ġekil 5.44 : Z ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi ... 63
ġekil 5.45 : Z ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ... 64
ġekil 5.46 : Z ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ... 64
ġekil 5.47 : Yörünge takip hareketi ... 65
ġekil 5.48 : Yörünge takibi hareketi için uç eleman konumları... 66
ġekil 5.49 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş hızlar ... 66
ġekil 5.50 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş ivmeler ... 67
ġekil 5.51 : Yörünge takibi hareketi için bacak uzunlukları değişimi... 67
ġekil 5.52 : Yörünge takibi hareketi için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ... 68
ġekil 5.53 : Yörünge takibi hareketi için tekillik endeksinin değişimi ... 68
ġekil 5.54 : 2000 kg yük için Roll hareketinde eyleyici kuvvetleri... 69
ġekil A.1 : Ultramotion firmasına ait doğrusal eyleyici ... 85
xi SEMBOL LĠSTESĠ
li : i. bacağın uzunluğu R : Global dönüşüm matrisi
pti : Hareketli platform referans noktasından i. bacağın üst bağlantı
noktasına uzanan vektör
pbi : Sabit platform merkezinden i. bacağın alt bağlantı noktasına uzanan
vektör
x : Uç elemanının uzaydaki konumunu ifade eden vektör x, y, z : Uç elemanının uzaydaki doğrusal koordinatları
α, β, θ : Uç elemanının Euler açı teoremine göre uzaydaki açısal koordinatları (X-Y-Z dönme sırasına göre)
lm : SPM‟nin algılayıcılar ile ölçülen bacak uzunluğu vektörü
e : Sayısal yöntem ile ileri kinematik denklemin çözümünde bacak boyları için iterasyon hata vektörü
ε : Sayısal yöntem ile ileri kinematik analizde iterasyonlar için hata toleransı
Je : Bacak uzunluklarındaki değişim vektörünü Euler açıları ile ifade edilen konum vektörünün değişimlerine bağlayan Euler açıları Jakobiyen matrisi
J, Jk : Bacak uzunluklarındaki değişim vektörünü genelleştirilmiş hız vektörüne bağlayan kinematik Jakobiyen matrisi, J ile de ifade edilmektedir.
P : Plücker vektörü
Pn : Normalize edilmiş Plücker vektörü
W : Genelleştirilmiş koordinatlarda hız vektörü ni : i. bacağın birim vektörü
V : Genelleştirilmiş koordinatlarda doğrusal hız vektörü Ω : Genelleştirilmiş koordinatlarda açısal hız vektörü τ : Eyleyici kuvvetleri vektörü
f : Genelleştirilmiş kuvvet/moment vektörü γ : Doğrusal ivme vektörü
g : Yerçekimi ivmesi vektörü
m : Hareketli platform kütlesi vektörü
I : Hareketli platformun ağırlık merkezine göre eylemsizlik matrisi I3 : 3x3‟lük birim matris
Rt : Üst platformdaki bacak bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı Rb : Alt tabladaki bacak bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı S : Eyleyici strok uzunluğu
xiii STEWART PLATFORMU TASARIMI
ÖZET
Sanayide ve çeşitli sektörlerde seri manipülatörlere göre daha az kullanım alanı bulan paralel manipülatörler yer aldıkları uygulamalarda kesin bir üstünlüğe sahiptirler. Bu üstünlük paralel mekanizmaların seri manipülatörlere göre daha yüksek rijitliğe, yük/ağırlık oranına ve konumlandırma hassasiyetine bağlı olarak ortaya çıkmaktadır.
Yüksek rijitliği ve dolayısı ile yüksek doğal frekansı sebebi ile titreşim simülatörü olarak tercih edilmektedirler. Yük/ağırlık oranının seri manipülatörlere göre yüksek olmasından dolayı büyük kütlelerin yüksek ivmeler ile hareket ettirilmesine olanak sağlamaktadırlar. Bu yüzden taşıt veya uçak simülatörlerinde hareket platformu görevini üstlenirler. Kapalı birer kinematik zincir olmalarından dolayı birbirinden bağımsız olan uzuvların hataları uç elemanına doğru kümülatif olmayan bir şekilde aktarılır. Seri manipülatörlerde ise uzuvların hataları uç elemanına doğru toplanarak etki etmektedir. Bu özelliği paralel robotların hassas malzeme işleme veya montaj işlerinde yer almasını sağlamaktadır.
Bu çalışmada paralel manipülatörlerin belirlenen tasarım kriterlerini karşılayacak şekilde tasarlanması amacıyla kullanılabilecek yöntemler araştırılmıştır. Bu yöntemlerin çalışma uzayı, geometrik boyutlar ve uç elemanının taşıyabileceği yüke bağlı eyleyici kuvvetlerinin belirlenmesi amacıyla kullanılabilmesi için takip edilebilecek bir prosedür geliştirilmiştir. Çoklu gövde dinamik benzetimlerine alternatif olacak bir matematiksel model oluşturularak, iki sistemin davranışları çıkışlar üzerinden karşılaştırılmıştır. Çıkışların birbiri ile uyumlu olduğu gözlenmiş ve son olarak sistemin yük ve ivme sınırları tespit edilmiştir.
xv DESIGN OF THE STEWART PLATFORM
SUMMARY
Parallel manipulators which are less commonly used than serial counterparts in several industries, show definitely better performance in their application areas. This advantage rises from the rigidity, load/weight ratio and sensitivity of positioning of the parallel manipulators.
They are utilized in vibration simulators due to their high natural frequency which is caused by the rigidity. Because of their higher load/weight ratio, they are also used in vibrating huge masses with increased accelerations. Thus they are suitable as a motion platform for vehicle and aeroplane simulator applications. Since the parallel manipulators consist of a closed loop kinematic chain, the independent errors of each link affect the end effector in a non-cumulative way. However, these errors are accumulated in serial manipulators. This feature makes parallel robots ideal for low tolerance machining and assembly processes.
In this thesis, the methods which can be applied to the design of parallel manipulators according to the design criteria are investigated. A design procedure is developed in order to use these proper design methods such that defininig the workspace, geometric dimensions, and actuator forces which depends on the load supported by the end effector.
Multi body dynamics simulation outputs are compared to the outputs which are obtained from a mathematical model proposed in this thesis. Comparison results show satisfactory correlation. In addition, the acceleration and weight limits of the system are also determined.
1 1. GĠRĠġ
1.1 Temel Kavramlar
Robotikte manipülasyon terimi nesnelerin bir amaç doğrultusunda yerinden alınması, taşınması, montajı, yerleştirilmesi ve çeşitli takımlar ile işlenmesini ifade etmektedir. Bu işlemleri gerçekleştirebilen mekanizmalar ise manipülatör olarak adlandırılır [1]. Bir manipülatörün her bir uzvuna, bir mafsal ile bağlı olan rijit gövde sayısı bağlantı derecesi‟ni ifade etmektedir. Bu durumda, herbir uzvu 2 veya daha az bağlantı derecesine sahip olan sistemler, basit kinematik zincir olarak adlandırılırlar. Eğer uzuvlardan en az biri, taban olmamak koşuluyla 3 veya daha yüksek bir bağlantı derecesine sahip ise bu sistem bir kapalı-çevrim kinematik zincir adını alır (C. Gosselin, 1988).
1.2 Seri Manipülatörler
Manipülatörler iki ana sınıfa ayrılmaktadır ve bunlardan ilki olan seri manipülatörler birer basit kinematik zincirdir çünkü sadece taban ve uç uzuvlarında 1 olmak üzere, diğer uzuvlarında 2 bağlantı derecesine sahiptirler. Bu tip zincirler aynı zamanda açık-çevrim kinematik zincir olarak da anılmaktadır. Şekil 1.1‟de endüstride kullanılan bir seri robot gösterilmektedir.
2 1.3 Paralel Manipülatörler
Manipülatörlerin ayrıldığı ikinci sınıf ise paralel manipülatörlerdir. Bu sistemler birer kapalı-çevrim kinematik zincirdir.
Paralel manipülatörlerin genel tanımı daha geniştir ve uç elemanının kontrol edilen serbestlik derecesinden daha fazla sayıda eyleyici içeren mekanizmaları da kapsar. Ele alacağımız mekanizmalar aşağıda anlatılan karakteristik özelliklere sahiptir.
1) En az iki kinematik zincir uç elemanına bağlanır. Bu zincirlerden en az biri bir eyleyici içerir.
2) Eyleyici sayısı uç elemanının serbestlik derecesine eşittir. Bu tip mekanizmalar aşağıdaki özelliklere sahiptirler.
1. En az iki zincir mevcut olması, zincirdeki yüklerin dağıtılmasına olanak sağlar.
2. Eyleyici sayısı ihtiyacı minimumdur.
3. Mekanizmanın kapalı çevrim kontrolü için gerekli sensör adedi minimumdur. Bu tanımlara göre bir paralel robot n serbestlik derecesine ve bir sabit tabana sahip, en az iki bağımsız kinematik zincir ile birbirine bağlıdır. İçerdiği eyleyici adedi n‟dir. Zincir sayısı tam olarak end-effector‟ın serbestlik derecesine eşit olan paralel robotlar; “tam paralel manipülatör” (fully parallel manipulator) olarak adlandırılır [2].
Paralel manipülatörlerin en bilinen tipi Stewart Platformudur. 1965 yılında D. Stewart tarafından bir uçuş simülatörü olarak (Şekil 1.2) önerilen sistem altı doğrusal eyleyiciden oluşmaktaydı [3].
3
ġekil 1.2 : D. Stewart‟ın uçuş simülatörü olarak önerdiği sistem Daha öncesinde Eric Gough, Stewart‟ın modeline benzer bir modeli bir lastik test makinesi olarak önermiştir. Onun sisteminde, tam paralel hareketlendirilmiş mekanizma oluşturacak şekilde altı adet eyleyici kullanılmıştı [4]. Lastik üreticisi Dunlop firması tarafından kullanılan bu test sistemi ve güncel versiyonu Şekil 1.3‟de gösterilmiştir.
ġekil 1.3 : Eric Gough‟nun lastik test makinası (solda) ve aynı sistemin modern versiyonu
Günümüzde Stewart Platformu olarak anılan paralel mekanizma, bir taban ve bir hareketli tabla ve bunları birbirine bağlayan 6 hareketli uzuvdan oluşmaktadır. En genel halinde bu uzuvların her biri tabana universal mafsal ile, hareketli tablaya ise küresel mafsallar ile bağlanmaktadır. Aynı zamanda eyleyici görevi gören uzuvlar ise
4
kendi içerisinde birer prizmatik mafsala sahip olup, bu mafsalın tahriki ile doğrusal hareketleri gerçekleştirmektedirler. Uzuvların bağlantı şekilleri değişebilmektedir. Örneğin tüm bacakların (uzuvların) tabanda ve tablada birbirinden farklı noktalara bağlandığı sistemler 6-6‟lık Stewart Platformu olarak anılır (Şekil 1.4). Eğer bacaklar tabanda ayrı noktalara, üst tablada ise ikişerli olarak 3 ayrı noktaya bağlanıyorsa bu sistem 6-3‟lük Stewart Platformudur. Eğer bacaklar alt tabanda da ikişerli olarak 3 ayrı noktadan bağlı ise 3-3‟lük Stewart Platformu ortaya çıkar.
ġekil 1.4 : Stewart platformu mekanizması
Görüldüğü gibi ifade edilen Stewart Platformu mekanizması Şekil 1.2‟de D. Stewart‟ın önerdiği sistemden çok Şekil 1.3‟de E. Gough tarafından tasarlanan sisteme benzemektedir. Buna karşın bu tip mekanizmalar, günümüzde sıkça Stewart Platformu veya Stewart-Gough Platformu olarak anılmaktadır.
Paralel manipülatörlerde prizmatik (doğrusal) eyleyiciler dışında pek çok farklı eyleyici tipi kullanılabilmektedir. Şekil 1.5‟deki ABB firmasının dönel eyleyicilere sahip FlexPicker robotu ve Rotobot isimli tabana bağlı eyleyicilerin taban çevresi üzerinde ötelenmesi ile hareket eden sistemler bunlara örnek gösterilebilir.
5
ġekil 1.5 : Farklı eyleyiciler içeren paralel mekanizmalar
1.4 Paralel ve Seri Manipülatörlerin Özellikleri
Paralel ve seri manipülatörlerin kullanım alanları sundukları fiziksel özelliklerine bağlı olarak ayrılmaktadır. Paralel manipülatörler, taşıdıkları yükü birden fazla eyleyiciye dağıttıkları için daha yüksek yararlı-yük/ağırlık oranı ve rijitliğe sahiptirler. Aynı zamanda seri manipülatörlere göre daha küçük çalışma hacmine sahip olduklarından, robot boyutlarının sınırlı olması gereken durumlarda, büyük yüklerin, dar bir hacimde hareket ettirileceği işlerde tercih edilirler. Bunlara en iyi örnek taşıt simülatörleri veya sarsıcı sistemleridir.
Paralel robotlar, seri robotlardan farklı olan kinematik zincir yapısından dolayı, kümülatif olmayan eklem hatalarına sahiptir [5]. Bu durum çalışma hassasiyetinin artmasını sağlamaktadır. Eyleyicileri tahrik eden motorların tabana yakın konumlandırılması, sistemin hareket eden parçalarının ataletini düşük tutmakta ve performansı arttırmaktadır. Bu sebeple yüksek hızda, düşük toleranslı işlemlerde seri robotlara göre üstündürler.
Seri robotlarda hesaplanması kolay olan sistemin ileri kinematiği, paralel robotlarda analitik olarak basit değildir. İteratif yöntemler kullanılarak gerçek-zamanlı çözülebilen ileri kinematik denklemlerinin çözümünde genetik algoritmaların da kullanılması yönünde çalışmalar mevcuttur. Buna karşılık sistemin konumlandırılmasında öncelikli olarak kullanılan ters kinematik denklemlerin çözümü son derece kolay olup, gerçek-zamanlı kontrol için analitik çözüm kullanılabilmektedir.
6 2. KĠNEMATĠK
2.1 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematiği
Bu çalışmada bir Stewart Platform Mekanizması (SPM) üzerinde çalışılacağı için bu sistemlerin ters ve ileri kinematiği üzerinde durulacaktır.
Genel amaçlı manipülatör olarak tasarlanan SPM‟lerde yapılan başlıca hesap, üst platform merkezinin istenen doğrusal ve açısal konuma gelmesi için bacakların ulaşması gereken uzunluklardır. Bu veriler, platformun ters kinematik denklemleri çözülerek elde edilir. Uç elemanının doğrusal konumu x, y, ve z koordinatları ile açısal konumu ise Euler açılarına veya global koordinatlardaki açılara dayanan α, β ve θ olmak üzere ve bacak boyları birinciden altıncıya kadar bir dizi ile ifade edilirse;
SPM‟nin uç elemanının bir yüzeye dokunması gerektiği durumlarda, yüzeye çarpma anında temas noktasının koordinatlarının hesaplanması veya platformun başlı başına bir joystick vazifesi gördüğü durumlarda; bacak boyu ölçümlerinden uç noktanın konumunu verecek bir algoritma gerekmektedir [2]. Bu algoritma ise platformun ileri kinematiği‟nin çözümüdür.
2.1.1 Stewart Platform Mekanizmasının Ters Kinematiği
Ters kinematik problemin çözümünde verilen uç elemanı koordinatları kullanılarak bu konumu sağlayacak bacak boylarının hesaplanması gerekmektedir. Giriş koordinatları mekanizmanın 6 serbestlik derecesi sebebiyle 6 parametre içerir. İlk üçü doğrusal ve son üçü ise açısal konumlar olmalıdır.
7
ġekil 2.1 : Stewart Platformunun ters kinematik analizinde kullanılan vektörler
Şekil 2.1‟da gösterilen mekanizma konumu için, uzaydaki konumu bilinen uç elemanı üzerindeki C noktasını sağlayacak, her bir bacağın alması gereken uzunluk, (BP vektörünün büyüklüğü), aşağıdaki denklemden (2.1) hesaplanabilir. Düz kinematikten farklı olarak Stewart Platformu‟nda her bir uç elemanı koordinatına karşılık tek bir bacak boyu vektörü elde edilebilir. Bu durum analitik çözümü güvenilir ve hızlı yapmaktadır.
(i=1, 2, 3, ..., 6) (2.1)
Denklem 1.1‟de verilen p vektörü, uzaydaki yeri sabit olan herhangi bir noktadaki global koordinat eksen takımına göre hareketli platformdaki referans noktasının konum vektörüdür. Bu vektörün, zamana göre değerinin değişiminin bilindiği kabul edilecektir. i. bacağa ait pt vektörü ise global koordinat eksenleri yerine başlangıçta global eksenler ile yönelmeleri aynı olan ve daima C noktasında yer alan bir yerel koordinat eksen takımına göre, C noktasından bacağın hareketli plakaya bağlandığı Pi noktasına uzanan vektördür. Global koordinatlarda orijin O noktasından i. bacağın tabana bağlandığı Bi noktasına uzanan pbi vektörü ise mekanizma tasarımında belirlenen ve değişmeyen bir parametredir. Bu durumda herhangi bir bacağa ait uzunluk değerinin hesaplanması için gerekli tek işlem pti vektörünün hareketli
8
platform koordinat sisteminden, global koordinat sistemine dönüştürülmesidir. Denklem 2.1‟de bu işlemi R matrisi (global dönüşüm matrisi) gerçekleştirmektedir. Global dönüşüm matrisi, hareketli platformun açısal konumuna bağlı olarak hesaplanır. Hareketli platformun uzaydaki yönelmesi Euler açıları kullanılarak ifade edilebilir. Euler açıları hareketli platformun yönelmesini, sırası ile C noktasındaki koordinat eksen takımına ait Z, X ve tekrar Z eksenleri etrafında yapılan dönmeler ile ifade etmektedir. Eksenler ve bunların sırası istenildiği gibi değiştirilebilir.
ġekil 2.2 : Döndürülen noktaya ait koordinatların hesaplanması Şekil 2.2‟de gösterildiği gibi Euler açı teoreminde üç boyutlu bir XYZ koordinat sisteminde {x,b,c} koordinatlarında yer alan bir noktanın, X ekseni etrafında yaptığı belirli bir açıdaki dönme sonucu, başlangıç koordinat sistemine göre alacağı yeni konum {x,q,r}; 3x3‟lük bir dönüşüm matrisi ve döndürülmüş koordinat sistemine göre noktanın koordinatlarının {x,b,c} çarpımına eşittir.
Herbir eksendeki dönme için o eksendeki açının fonksiyonu olan ayrı bir 3x3‟lük dönüşüm matrisi yazılabilir. Örneğin Şekil 2.2‟de verilen eksen takımında X ekseni etrafında α açısı kadar yapılan bir dönme sonucu noktanın alacağı yeni konum, (2.2) matrisi ile elde edilir.
9
En az iki farklı toplam üç eksende yapılan dönme işlemlerine ait dönüşüm matrisleri çarpılarak üç boyutlu uzayda mümkün olan tüm yönelmelerin elde edilebileceği bir global dönüşüm matrisi oluşturulur. Global dönüşüm matrisi oluşturulurken diğer dönüşüm matrislerinin çarpım sırası önemlidir ve dönüşüm tipini belirler.
Örnek olarak XYZ eksenlerinde sırasıyla yapılacak dönme işleminin global dönüşüm matrisini ele alalım. Bunlara ait Rx, Ry ve Rz dönüşüm matrislerinin önçarpımı ile (Rz*Ry*Rx) global dönüşüm matrisi elde edilirse, bu matris “mutlak dönüşüm” yapar yani tüm dönmeler uzayda yeri ve doğrultusu sabit bir koordinat sisteminin eksenlerine göre yapılır. Bu durumda referans alınan koordinat sisteminin doğrultusu yapılan dönmelerden etkilenmez. Eğer dönüşüm matrisleri sırası ile art arda çarpılırsa (Rx*Ry*Rz) bu durumda, global dönüşüm matrisi “bağıl dönüşüm” yapar ve buna göre herbir eksen etrafındaki dönme sonrası koordinat sistemi de yeni bir yönelmeye ulaşır. Bir sonraki döndürme işlemi bu yeni yönelmeye sahip koordinat sisteminin ilgili ekseni etrafında gerçekleştirilir [1].
2.1.2 Stewart Platform Mekanizmasının Ġleri Kinematiği
Stewart Platformları ve genel olarak tüm paralel manipülatörlerin ileri kinematiğinin hesaplanmasında iki tip çözüm metodu mevcuttur: analitik çözüm ve sayısal (tekrarlamalı) çözüm [6].
2.1.2.1 Analitik Yöntem
Genel olarak analitik yöntemler fazla tercih edilmez çünkü analitik çözüm, “Polinom metodu” adı verilen uzun ve karmaşık bir algoritma ile gerçekleştirilmekte ve gerçek-zamanlı kontrol için çok ağır kalmaktadır. Bunun yanısıra analitik çözüm, ters kinematik analizdeki gibi tek sonuç vermemektedir. Herhangi bir tasarımda, aynı bacak boyları ile sağlanabilecek 8 olası hareketli platform konumu mevcuttur. Dolayısıyla ileri kinematiğin bir yörüngenin takibi için çözülmesi durumunda, elde edilen olası konumların doğru konuma ulaşmak için elenmesi gerekmektedir. Bu ise işlemi daha da karmaşık hale getirmektedir.
10 2.1.2.2 Tekrarlamalı Sayısal Yöntem
Tekrarlamalı yöntem, temelde ters kinematik denklemlerinin çözümünden yola çıkmaktadır. Denklem 2.3‟de verilen x vektörü, hareketli platformun hesaplanmak istenen doğrusal ve açısal pozisyonlarını temsil etsin.
(2.3) Bu durumda Denklem 2.4‟de x‟in fonksiyonu olarak verilen l vektörü, ters kinematik çözüme ait ve herbiri ayrı bir bacağın uzunluğunu veren 6 denklemi temsil etmektedir. lm vektörü ise 6 bileşenli ve algılayıcılar vasıtasıyla fiziksel sistemden ölçülen bacak uzunluklarını içeren bir vektördür. Böylece l denklemleri, doğru konum vektörüne (x) göre çözüldüğünde Denklem 2.4 sıfıra eşitlenecektir. Bu sebeple, bu eşitliğin sol tarafı, ileri kinematiğin çözümü için bir hedef fonksiyonu olarak belirlenebilir.
(2.4)
Hedef fonksiyonunu iterasyondaki mevcut bacak boyu hatasını temsil eden bir e vektörü ile gösterirsek, e(x) vektörünün x‟e göre alınan gradyen matrisinin tersi, “Euler açıları Jakobiyen matrisi, Je”dir ve bacak boyu hatalarını platform konumu değişimlerine bağlar. Bu durumda ölçülen bacak boyu vektörü lm ve herhangi bir tutarlı başlangıç konumu x için denklem 2.5, sürekli olarak doğru x konumuna yakınsayacaktır.
(2.5)
İterasyonlar, bağıl hata denetlenerek durdurulabilir. e vektörünün bileşenlerinin ölçülen boya (lm) göre oranlarının bulunması ve bu oranların en yüksek olanının belirlenen bir hata değerinin altında kalması durumunda (Denklem 2.6) son bulunan iterasyon sonucu doğru olarak kabul edilir ve bir sonraki zaman adımına geçilir.
(2.6)
Kontrol amacı ile sayısal yöntemlerin kullanılması oldukça yaygındır çünkü çok basit ve hızlı bir algoritma ile birkaç iterasyonda doğru sonuca
11
yakınsayabilmektedirler. Tek koşul, algoritmaya verilen hareketli platforma ait başlangıç konumunun gerçek konuma yeteri kadar yakın olmasıdır. Aksi halde çözümler, başlangıç konumundan daha yakın olan başka bir olası platform konumuna yakınsayabilmektedir. Platform sisteminin her zaman kullanıcı tarafından bilinen bir konumdan başlatılması ve her iteasyonda ulaşılan doğru pozisyonun bir sonrakinde başlangıç değeri olarak kullanılması durumunda, algoritmanın sorunsuz çalıştığı görülmüştür.
Literatürde bu yöntemin tek dezavantajı olarak Jakobiyen matrisinin her iterasyon adımında tekrar hesaplanması ve bunun sonucunda çözümün yavaşlaması gösterilmiştir. Buna çözüm olarak kullanılan Jakobiyen matrisinin bir veya birkaç iterasyon adımında daha kullanılması tavsiye edilmiş ve bu yönteme “değiştirilmiş Newton-Raphson yöntemi” adı verilmiştir [6].
Paralel manipülatörlerin kinematik hesaplarında kullanılan Jakobiyen matrisleri, sistemdeki eyleyici konumlarındaki küçük değişimleri uç elemanının konum parametrelerinin değişimine bağlamaktadır. İleri kinematik denklemlerinin sayısal çözümünde önemli rol oynamalarının yanısıra paralel robotların konum kontrolünde dikkat edilmesi gereken tekil konfigürasyonların analizinde de bu yöntem kullanılmaktadır. Statik ve dinamik analizlerde eyleyici kuvvetlerini, platformun eksenlerde uygulayabildiği kuvvet ve momentlere bağlayan denklemler de bu matrisleri içermektedir.
Bu sebeple bu bölümde Jakobiyen matrislerinin hesaplanması ve bunların tekil konfigürasyonlar ile ilişkisine değinilecektir.
2.2 Stewart Platform Mekanizmasına ait Euler ve Kinematik Jakobiyenin Hesaplanması
i. bacak vektörü‟nün (li) genel formülü; pt, hareketli platform eksen takımına göre hareketli platformun merkezinin bacakların bu platformdaki bağlantı noktalarına olan uzaklığı; pb, referans koordinat eksen takımına göre bacakların taban bağlantı noktalarının koordinatları ve p, hareketli platform merkezinin referans koordinat takımına göre konum vektörü olmak üzere aşağıdaki şekilde verilebilir;
12
(2.7)
Global Dönüşüm Matrisi‟nin (R) hesaplaması Euler XYZ koordinat eksenleri için aşağıdaki gibidir.
(2.8) Denklem 2.7‟de verilen ifade aşağıdaki şekilde açılabilir;
(2.9) Uç eleman konum koordinatlarının değişimi ile bacak uzunluklarının değişimleri arasındaki bağıntı Euler Jakobiyen (Je) matrisinin tersi ile belirlenir (Merlet, 1993);
(2.10)
Ters kinematik Jakobiyen matrisi, bacak vektörlerinin (li), uç eleman konum vektörü (x=[x, y, z, α, β, θ]‟) bileşenlerine göre kısmi türevlerinin alınması ile hesaplanır;
(2.11)
Oluşturulan matrisin tersi ise bacak uzunluğu değişimlerini, konum değişimlerine ilişkilendiren bağıntıyı yani Euler Jakobiyen matrisini (Je) ortaya çıkarmaktadır.
(2.12) Denklem 2.13‟de bu matrisin elemanlarının hesaplanması için kullanılan denklemler verilmiştir;
14
(2.13) Denklem 2.13‟deki bazı çarpanlar aşağıdaki gibi değiştirilebilir;
(2.14) Denklem 2.14‟de lij, i‟nci bacağa ait vektörün j‟nci bileşenini temsil etmektedir. Buradan Denklem 2.13‟ye ait ilk üç eşitlik aşağıdaki gibi değiştirilebilir:
(2.15)
Kalan üç eşitlikte ise bir takım düzenlemelere gidilir ise skaler nokta çarpım operatörünü (.) kullanarak daha basit gösterimler elde edilebilir.
15
(2.16) Tüm matris elemanlarının ifadelerinde birim bacak vektörleri bulunmaktadır. Her bir bacağın alt bağlantı noktalasından üst bağlantı noktasına yaptığı yönelmeyi belirten bu birim vektörler
(2.17)
ile temsil edilirse ters kinematik Euler Jakobiyen matrisinin her biri bir bacağa ait olan satırlarını aşağıdaki bileşenler oluşturur:
(2.18) Euler ters Jakobiyeni bacak uzunlukları değişimini genelleştirilmiş koordinatların değişimi ile ilişkilendirir.
Denklem 2.18‟deki ifade bacak boylarının değişimini, hareketli platformun yönelmesinde kullanılan koordinat sisteminin parametre değişimlerine bağlı olarak vermektedir. Buna karşın uç elemanının yönelme değişimi referans koordinat eksen takımının herbir ekseni etrafında yaptığı 3 açısal hız değişkeni cinsinden ifade edilebilir. Bunun için Denklem 2.7‟teki ifadenin zamana göre türevi alınırsa;
(2.19)
p vektörünün referans koordinat merkezinden hareketli platform merkezine uzanan vektör olduğu göz önünde bulundurularak, bu vektörün zamana göre türevinin uç elemanının öteleme hız vektörü (V=[νx, νy, νz]‟) olduğu kabul edilebilir. Buna göre ifadede bir takım düzeltmeler yapılırsa;
16
Açısal hız vektörü Ω=[ωx, ωy, ωz]‟ olarak tanımlanırsa hareketli platform merkezinden i. üst bağlantı noktasına uzanan vektörün zamanla değişimi;
(2.21) Tüm bu eşitlikler Denklem 2.20‟de yerine konur ve Denklem 2.17‟den yararlanılarak vektörel formda gösterilirse
(2.22)
şeklini alır. Eşitliğin sağ tarafındaki ikinci terimde skaler çarpımın özelliklerinden yararlanılarak açısal hız vektörü nokta çarpanı ile ifade edilir.
(2.23) Denklemdeki doğrusal V ve açısal Ω hız vektörleri birlikte W=[V, Ω]‟ vektörünü oluştururlar. Bu vektör uç elemanının referans koordinatlardaki hızlarını ifade eder ve bu sebeple uç elemanının genelleştirilmiş koordinatlardaki hız vektörü olarak adlandırılır.
(2.24)
Görüldüğü gibi son bulunan eşitlik uç elemanı doğrusal ve açısal hızlarını bacak boyu değişimlerinin bir fonksiyonu olarak vermektedir. Dolayısıyla eşitliğin sağ tarafındaki diğer çarpan bir başka Jakobiyen ifadesidir. Literatürde bu matris kinematik Jakobiyen (J)‟in tersi olarak adlandırılır ve bu jakobiyen daha çok tekillik analizlerinde kullanılmaktadır.
(2.25)
2.3 Plücker Vektörlerinin Jakobiyen ile Bağıntısı
Uzaydaki bir doğruyu tanımlamakta kullanılan Plücker vektörleri 6 bileşenden oluşurlar. Doğrunun genel analitik tanım denklemine göre fazladan 2 parametre daha içeren bu P vektörü Şekil 2.3‟de gösterilen O merkezli koordinat sisteminde M1 ve
17
M2 noktalarından geçen bir doğru için Denklem 2.26‟da gösterildiği şekilde hesaplanabilir.
ġekil 2.3 : Plücker vektörü ile ifade edilen bir doğru
(2.26)
Herhangi sıfırdan farklı bir skaler değer ile çarpılmış p vektörü, her zaman bir doğruyu temsil edecektir. 6 boyutlu bir Plücker vektörü sadece q sıfırdan farklı bir vektör olmak üzere p.q=0 koşulu sağlandığında bir doğru tanımlar [7]. Plücker vektörleri M1M2 uzunluğuna göre normalize edilirse denklem 2.27‟e dönüşür.
(2.27)
Bir paralel robot için M1 ve M2 noktaları bacaklardan birinin üst ve alt platforma bağlantı noktalarını temsil etsin. Bu durumda, normalize edilmiş Plücker vektörünün pn kısmı, birim bacak boyu vektörü ni„ye eşit olacaktır.
Burada Plücker vektörlerinin bir diğer önemli özelliği de ele alınmalıdır. u ve v, sıfırdan farklı iki keyfi vektör olarak tanımlansın. Bu durumda [p1, u × p1] olarak tanımlanan bir Plücker vektörü ile [p1, v × p1] olarak tanımlanan bir başka Plücker vektörü aynı doğruyu temsil ederler.
Plücker vektörlerinin açıklanan özelliklerinden yola çıkarak denklem 2.24 ile ifade edilen ters kinematik Jakobiyen matrisinin satırlarının bacakların bağlantı noktaları
18
arasında uzanan doğruları temsil eden Plücker vektörlerinden meydana geldiği görülecektir. Bu durum tekillik analizlerinde önemli bir rol oynamaktadır.
SPM için ortaya konulan bu tanımlama paralel manipülatörler için genel bir teorem olarak ifade edilebilir. Buna göre; uzuvları uç elemanına bir küresel mafsal ile bağlı olan bir paralel manipülatöre ait ters Jakobiyen matrisi uzuvlarını uç elemanına bağlayan doğruya ait Plücker vektörlerinden oluşmaktadır [2].
2.4 Tekillik
Kinematik tekillik; uç elemanı konumunu ve mafsal parametreleri arasındaki ilişkiyi ifade eden denklemlerden bir veya daha fazlasının lineer bağımlı hâle gelmesi ile ortaya çıkan durumdur. Bu durum tekil konfigürasyon adı verilen konumlarda görülmektedir.
Matematiksel olarak tekil konfigürasyonlarda ters jakobiyen matrisinin rankı düşmekte ve tekil bir matrise dönüşmektedir. Mekanizmanın rijitliğini kaybetmesine yol açan bu konumlar, sistemin kontrol edilemez duruma gelmesine ve eyleyici kuvvetlerinin yetersiz kalmasına sebep olmaktadır. Bu kuvvetler kapalı zincir mekanizmadaki bileşenlere zarar verebilecek seviyelere ulaşabilmektedir. Buradan tekillik analizinin tasarım aşamasında neden büyük önem taşıdığı anlaşılabilir.
Θa aktif mafsal değişkenlerini (açısal veya doğrusal konum), X uç elemanının konumunu ve W ise uç elemanının açısal ve doğrusal hızlarını ifade eden vektörler olsun. Θa‟nın zamanla değişimi ile W arasındaki bağıntı A ve B gibi iki katsayı matrisi ile birlikte ifade edilirse;
(2.28) Eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten tekillik durumu için üç farklı sınıflandırma yapılabilir.
1-Tipi tekillik (seri tekillik); A‟nın tekil olması durumunda platformun hareket etmediği durumlar için (W=0) sıfırdan farklı bir mafsal hız vektörü (dθa) elde edilir.
Bu tip tekil konfigürasyonlara yaklaştıkça mekanizma nispeten büyük mafsal hızları için küçük uç elemanı hızları yaratmaktadır. Böyle bir durum; hareket kontrolünü kötü etkilemesine rağmen bir avantaj da getirir. Sistem bu konumlara yaklaştıkça
19
hareket hassassiyetini arttırır. Dolayısı ile özel bir tasarım yapılarak bu tip durumların sağladığı yüksek hassasiyetten yararlanılabilir.
2-Tipi tekillik (paralel tekillik); B‟nin tersinin alınamadığı durumlardır. Mafsal hızlarının sıfır olması halinde bile platformun hareket serbestisine sahip olmasına yol açan konfigürasyonlardır. Bu tip konumların getirdiği iki risk vardır. Birincisi sistem artık kontrol edilemez duruma gelir. İkincisi ise ortaya çıkan büyük kuvvetler arızalara sebep olabilir.
3-Tipi tekillik; hem A hem de B‟nin tekil olduğu durumdur. Aktif mafsalların kilitlendiği durumlarda bile uç eleman hareket edebilir veya uç eleman sabit olsa bile mafsalların hareket etmesi mümkün olabilir.
Paralel tekillik; mekanizmaya hasar verme kapasitesine sahip ve çalışma uzayında, bu duruma ait tekil konfigürasyonların büyük yer kaplaması sebebiyle diğer tip tekilliklerden daha fazla önem taşımaktadır [2].
2.4.1 Tekillik Endeksi
Manipülatörlerde güvenilir bir sistem ortaya çıkarmak amacıyla tekil konfigürasyonların da göz önünde bulundurulması gerekmektedir. Tekil konfigürasyonlardan kaçınmak için iki tasarım yöntemi mevcuttur. Birincisi tekil konumların manipülatörün çalışma uzayı dışında tutulması ikincisi ise tekil konumlara olan yakınlığın hareket esnasında denetlenmesi ve sistemin yörüngesinin böyle bir konumun yakınından geçmesi durumunda kontrol sisteminin bu yörüngeyi değiştirmesi veya sistemi tamamen durdurmasıdır.
Uç eleman yörüngesinin değiştirilmesinin her uygulamada mümkün olmaması ve özellikle gerçek zamanlı kontrol edilen sistemlerde yeni bir yörünge tanımlaması konusunda kullanışlı yöntemler geliştirilememesi sebebiyle günümüzde en çok tercih edilen tasarım yöntemi bu konfigürasyonların çalışma uzayından çıkarılmasıdır. Mekanizmanın tekil bir konfigürasyona olan yakınlığı sistem Jakobiyen matrisin özdeğerleri incelenerek hesaplanabilir. Özdeğerlerinin herhangi birinin sıfıra yakınsaması durumunda sistemin tekil bir konfigürasyona yaklaştığı anlaşılır. Literatürde tekillik endeksi olarak adlandırılan bir değer bu tip kritik konumları belirlemede kullanılmaktadır. Tekillik endeksi Jakobiyen matrisinin determinantıdır ve böylece özdeğerlerin sıfıra yaklaşması durumunda sıfıra doğru yakınsar.
20
Jakobiyen determinantının yanı sıra kinetik enerji ve farklı tip normlar kullanarak tekillik için daha güvenilir ve anlamlı bir endeks türetilmesi konusunda çalışmalar yapılmaktadır [8].
Yapılan benzetimlerde elde edilen ölçümler ve gözlemler sonucunda tekil konfigürasyonların tipine göre daha geniş bir bölgede etkili oldukları belirlenmiştir. Örneğin bir SPM‟nin bilinen tekil konfigürasyonlarından birinin uç elemanının düşey ekseni etrafında ±90° açılarla yaptığı dönmelerde ortaya çıktığı bilinmektedir ancak sistem tekilliğe 90 derecelik dönüş tamamlanmadan girmekte ve yaklaşık 60 derecelik bir dönüş sonrasında sistemin geri dönmek için ihtiyaç duyduğu eyleyici kuvveti aşırı seviyede yükselmektedir. Bu konumdan itibaren platform serbestlik derecesi kazanarak harekete devam etmekte ve sonucunda tekil konfigürasyona ulaşıldığında benzetim sayısal çözüme ulaşılamaması sebebi ile durdurulmaktadır.
2.5 Statik Analizde Temel Bağıntılar
Eyleyici kuvvetleri (τ) ve genelleştirilmiş kuvvet vektörü (f) (Jakobiyen ile elde edilen uç elemanına uygulanan kuvvet ve moment vektörü) arasındaki temel bağıntı, seri ve paralel manipülatörler için aynı olup Jakobiyen matrisinin (J) transpozesine bağlı olarak denklem 2.29‟da gösterilmiştir.
(2.29)
Genelleştirilmiş kuvvet vektörünü ifade eden eşitlik denklem 2.30‟da gösterildiği gibi kinematik Jakobiyenin tersinin transpozesini içermektedir.
(2.30)
Jakobiyen matrisinin hesaplanmasında kullanılan platformun konum vektörüne (x) ait bileşenler kuvvet ve momentlerin belirli bir çalışma noktası etrafında geçerli olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla farklı bir konum için yapılan statik analizde Jakobiyen matrisi tekrar hesaplanmak zorundadır.
2.6 Statik Analizin Kullanım Alanları
Statik analiz bir paralel manipülatörde belirli bir uç eleman konumu için eyleyici kuvvet ölçülmesi ile genelleştirilmiş kuvvetlerin hesaplanmasında veya
21
genelleştirilmiş kuvvetlerden dengeleyici eyleyici kuvvetlerinin hesaplanmasında kullanılabilirler.
Paralel manipülatör tasarımında, statik analiz ile uç elemana etki eden genelleştirilmiş kuvvetlerin yaklaşık sınır değerleri bilindiğinde kullanılacak eyleyicilerin sahip olması gereken en yüksek kuvvet değerleri belirlenebilir. Aynı şekilde eyleyicilerin sınırları biliniyorsa uç elemana uygulanabilecek yüklemeler hesaplanabilir [2].
Literatürde, bir manipülatörün herhangi bir konumu için değişim aralığı belirlenmiş genelleştirilmiş kuvvetlerden en yüksek eyleyici kuvvetlerini hesaplamayı amaçlayan çalışmalar mevcuttur. Aynı şekilde sınırlandırılmış eyleyici kuvvetlerinden genelleştirilmiş kuvvet sınırlarını belirleme çalışmaları da yapılmaktadır. Ayrıca çalışma uzayı içerisinde bu iki vektörün en yüksek değerlerini arayan algoritmalar da geliştirilmektedir.
Statik dengedeki eyleyici kuvvetleri ve uç eleman kuvvet/momentleri arasındaki bağıntılar sayesinde yapılan araştırmalar paralel manipülatörlerin kuvvet sensörü olarak kullanılabileceğini de ortaya koymaktadır. Böylece bacaklarına birer adet kuvvet algılayıcısı yerleştirilmiş 6-UPS manipülatör uç elemanına etkiyen kuvvetlerin algılanması amacıyla kullanılabilmektedir.
22 3. DĠNAMĠK
Bu bölümde 6-6 UPS Stewart Platform Mekanizmaları için ileri ve ters dinamik denklemleri türetilerek uç organa ait genelleştirilmiş ivme, hız ve koordinatlar ile eyleyici kuvvetleri arasındaki ilişki kurulmuştur.
3.1 Dinamik Modeller
Paralel robotların kontrolünde aşağıda sınıflandırılan uygulamalar için sistem dinamiği önemli bir rol oynamaktadır [2]:
1) Hızlı ve/veya ağır yük taşıyan robotlar: uçuş simülatörleri veya birtakım manipülatörler nispeten daha geniş bir çalışma uzayına ihtiyaç duyarlar ve bu uzayda uç organın hareketlerinde dinamik etkiler önemli rol oynar.
2) Yüksek bant genişliğine sahip robotlar: daha çok titreşim simülatörü olarak kullanılan bu tip robotlar dar bir çalışma uzayında yüksek frekansta hareket ederler.
3) Yapısal olarak hassas robotlar: düşük hızdaki dinamik etkilerin sistem davranışını değiştirebildiği robotlardır. Kablo uzuvlara sahip veya esnek uzuvlu robotlar bu sınıftadırlar. Özellikle yüksek hızlı parça işleme durumlarında dinamik hatalar statik hatalardan daha ciddi etkilere sahiptir. İki farklı tip dinamik model mevcuttur:
Ters dinamik: uç organa ait verilen yörünge, hız ve ivme bilgileri için gerekli eyleyici kuvvetlerinin hesaplanmasıdır.
İleri dinamik: eyleyici kuvvetlerinin bilindiği durumlar için uç organdaki anlık konum, hız ve ivme değerlerinin elde edilmesidir.
3.2 Ġleri ve Ters Dinamik Denklemlerin Elde Edilmesi
Herhangi bir bacağın (i. bacak) üst tablaya bir küresel mafsal ile bağlandığı nokta Bi olsun. Bu noktadan tablaya etkiyen kuvvet fi iki bileşene ayrılabilir. Birincisi birim
23
bacak vektörü ni doğrultusunda etkiyen ilgili eyleyici kuvvet büyüklüğü τi, diğeri ise ni‟ye dik olan ve eylemsizlikten kaynaklanan fNi kuvvetidir. (Şekil 3.1) Bu durumda
fi kuvveti denklem 4.1 ile ifade edilir;
(3.1)
FN, tüm bağlantı noktalarından etkiyen fNi kuvvetlerinin toplamı ve MN bu
kuvvetlerin C noktası etrafında meydana getirdiği toplam moment ise F ve M, uç organ üzerindeki C noktasına etkiyen toplam kuvvet ve moment olmak üzere denge denklemleri 3.2 ve 3.3‟de verildiği gibi olacaktır.
(3.2)
(3.3)
ġekil 3.1 : Dinamik denklemlerde kullanılan kuvvet ve momentler σ ve σN, 6 bileşenden oluşan iki vektör olsun;
(3.4)
(3.5)
Denklem 3.2 ve 3.3 tek bir eşitlik ile 3.6‟daki gibi ifade edilebilir.
24
G noktası hareketli platformun ağırlık merkezini temsil etsin. Simülatör veya bir başka amaç için kullanılan fiziksel hareket platformunun ağırlık merkezi, genellikle üst tablanın merkezi olarak kabul edilen uç organ referans noktası C ile çakışık olmayacaktır ve dolayısı ile büyüklüğü sıfırdan farklı olan bir GC uzaklık vektörü mevcut olacaktır. Ağırlık merkezine göre elde edilen fiziksel parametreler, bu vektörden de yararlanarak referans C noktasındaki konum, hız ve ivme değerlerinin hesaplanmasında kullanılacaktır. G noktasına etkiyen moment;
(3.7)
Newton-Euler denklemleri kullanılarak kuvvet ve moment denklemleri elde edilir. (3.8)
(3.9)
Burada g, yerçekimi ivmesi; γG, G noktasındaki doğrusal ivme vektörü; m, hareketli
platform kütlesi; I, hareketli platformun ağırlık merkezi etrafındaki 3x3‟lük eylemsizlik matrisi ve Ω, uç organın açısal hız vektörüdür.
C noktasındaki doğrusal ivme γC; G noktasındaki doğrusal ivmeye bağlı olarak γG
hesaplanabilir.
(3.10)
Denklem, 3.8‟de yerine konulursa 3.11 eşitliği elde edilir. Burada üzeri çizili GC vektörü bu vektörün skew-simetrik matris halini temsil etmektedir. Bu matris sadece bir başka vektör ile çarpım yapılacağı zaman oluşturulmaktadır.
(3.11) Bu eşitlikten faydalanarak ve denklem 3.7, 3.9 ve 3.10 kullanılarak;
(3.12)
Hareketli platformun açısal hızı olan ω;
25
3.11 ve 3.12‟de verilen eşitlikler matris şeklinde ifade edilirse;
(3.14)
Burada dW/dt vektörü, uç organın genelleştirilmiş koordinatlardaki hızının zamana göre türevini ifade etmektedir. Buradaki 6x6‟lık T1 matrisi ve 6 bileşenli T2 vektörü
aşağıda tanımlanmıştır. I3 ifadesi 3x3‟lük birim matrisi göstermektedir.
(3.15)
(3.16)
Burada 3.6 ve 3.14 eşitlikleri kullanılarak;
(3.17) Elde edilir. Eğer γi, Bi noktasındaki doğrusal ivmeyi temsil ederse;
(3.18) Bu denklem matris şekline dönüştürülür ise;
(3.19)
Elde edilir ve burada U1i matrisi 3x6‟lıktır, U2i ise 3 bileşenli bir vektördür.
(3.20)
(3.21) γi vektörünün ni vektörüne dik bir düzleme alınan izdüşüm vektörü γNi olsun. Bu vektör;
(3.22) Olarak tanımlanır. Matris şekline dönüştürüldüğünde bu denklemler;
26
Hareket platformunun bacakları doğrultusunda z-ekseninin yerleştirildiği ve orijini, sabit tablaya bağlantı noktaları Ai‟de olan koordinat eksen takımları ele alınırsa, her bir bacağın kendi koordinat eksen takımında x ve y-eksenleri etrafında yaptığı atalet momentleri birbirine eşit ve Ji değerinde kabul edilebilir. Z-ekseni etrafındaki eylemsizlik gözardı edilebilecek kadar küçük kabul edilirse fNi vektörü;
(3.24)
σN vektörünün bileşenleri olan FN ve MN değerleri;
(3.25)
(3.26)
3.23 ve 3.24 eşitlikleri kullanılarak;
(3.27)
(3.28)
Son iki eşitlik σN‟i bulmak üzere birleştirilirse;
(3.29)
Burada V1 6x6‟lık bir matris, V2 ise 6 bileşenli bir vektördür;
(3.30)
(3.31)
Denklem 3.17 ve 3.29 kullanılarak;
(3.32) Dolayısıyla 6-UPS tipi paralel mekanizma için ileri dinamik denklemi 3.33 ile gösterilmiştir.
27
(3.33)
Temel matris işlemleri ile kontrol amaçlı kullanılan ters dinamik denklemi de 3.34 ile verilmektedir.
(3.34)
3.3 Tasarım Hedefleri
Bir simülatör sistemini hareketlendirme görevini üstlenecek Stewart Platform mekanizmasının tasarım çalışmaları için referans alınması gereken performans kriterlerine ihtiyaç duyulacaktır. Bu performans kriterleri sistemin simülatör amaçlı kullanılması sebebiyle, konumlandırma hassasiyeti gibi kriterlerden çok doğrudan tek eksen üzerinde veya kombine konumlandırma (yer değiştirme), hız ve ivme sınırları ile ilgilidir. Ayrıca robotun kaplayacağı hacim ve boyut sınırlamaları da önceden hesaba katılmalıdır. Bu amaçla tasarım hedeflerine örnek teşkil etmesi amacıyla Moog Inc. firmasına ait Series 6DOF2000E model paralel konumlandırıcı mekanizmanın (Şekil 3.2) sahip olduğu özellikler ele alınacaktır.
ġekil 3.2: Moog Series 6DOF2000E modeli
Bu özelliklerden dinamik performans ile ilgili olanları Çizelge 3.1‟de verilmiştir. Bunların yanısıra sistemin yere sabit taban kısmının yerde kaplayacağı en geniş alanın 1.84(m)×1.84(m) olacağı belirtilmiş ve üst hareketli platformun bacak bağlantı
28
noktalarından geçen bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğunun 1.5 m olduğu bilinmektedir. Platformun başlangıç pozisyonundaki yüksekliği 0.71 m‟dir.
Çizelge 3.1 : Moog Series 6DOF2000E Modeline ilişkin performans çizelgesi Serbestlik Derecesi Birleşik Yer Değiştirme Tek Eksende
Yer Değiştirme Hız İvme Tx - Surge ± 270 mm ± 250 mm ± 500 mm/s ± 0.6 g Ty - Heave ± 180 mm ± 180 mm ± 300 mm/s ± 0.5 g Tz - Sway ± 260 mm ± 250 mm ± 500 mm/s ± 0.6 g Rx - Roll ± 22° ± 21° ± 30°/s ± 500°/s² Ry - Yaw ± 23° ± 22° ± 40°/s ± 400°/s² Rz - Pitch + 25° / - 23° ± 22° ± 30°/s ± 500°/s²
Seçilen hareket platformu 1000 kg yük taşıyacak şekilde tasarlanmıştır. Dolayısı ile tüm performans ölçümleri bu yük altında gerçekleştirilecektir.
Üretici firma kataloglarında 305 mm ile 1575 mm arasında değişen strok boylarına sahip doğrusal eyleyiciler sunabildiğini belirtmektedir. Bu bilgi de tasarım kriterleri arasında kullanılacaktır.
29 4. ÇALIġMA UZAYI
4.1 Parametre Uzayı YaklaĢımı
Günümüzde paralel robotların geometrisine bağlı olarak çalışma uzayını ortaya çıkarmak üzere kullanılabilecek üç tür yöntem mevcuttur. Bunlar; ayrıklaştırma metodu, geometrik yaklaşımlar ve sayısal yöntemlerdir. Bu yöntemler yerine göre oldukça kullanışlı olmalarına karşın tasarımı belirleme amacıyla değil ancak tasarımı doğrulama amacıyla kullanılabilmektedir [2], [9].
Bu bölümde önerilecek yöntem ise bunlardan farklı olarak istenen sayıda ve çalışma uzayının sınırına yakın seçilmiş noktalarda konumlandırma gerçekleştirebilecek geometrik tasarım parametreleri için kullanılabilir aralıkları sunmaktadır. Temeli Parametre-Uzayı Yaklaşımı‟na dayanan bu algoritma içerisinde Aralık Analizi yöntemi (Interval Analysis) de kullanılarak hesap süresi olabildiğince kısaltılmaktadır. Parametre-uzayı yaklaşımında incelenebilecek farklı parametre sayısında bir sınır olmayıp, parametrelerin çoğalması hesap süresini doğrusal olmayan bir şekilde arttırmaktadır. Aralık analizi yöntemi ise her farklı geometri için deneme-yanılma işlemini sadece noktaları her köşesi için sağlayabilen prizmaları parametre uzayı içerisinde aramak amacıyla kullanılmaktadır.
Algoritmanın çalışması şu şekildedir: Öncelikle uzay içerisinde belirlenmiş olan minimum ve maksimum sınır noktalarının köşelerini oluşturduğu bir prizmanın uygunluğu her köşesi için bir sağlama yapılarak kontrol edilir. Eğer her köşe için noktaların tümü sağlanıyorsa prizma kabul edilir ve işlem sona erdirilir. Bu belirlenen parametre sınırları içerisinde seçilen her parametre kümesinin bu çalışma uzayını sağlayabileceği anlamına gelir. Eğer bir nokta bile sağlanamıyorsa, bu sağlamayı engelleyen parametre köşe sıralarına bakılarak bulunur ve bu prizma o parametrenin maksimum ve minimum değerine ait kenarından ikiye bölünür (Bisection) (Şekil 4.1). Büyük prizma kabul edilmez ve algoritma aynı şekilde küçültülen prizmalar üzerinden devam ettirilir. Bölme işlemi prizmanın en büyük kenar uzunluğunun belirli bir sınırın altına inmesi ile sona erdirilir ve artık o prizma daha fazla incelenmez. Bu en küçük kenar uzunluğu sınırı, ilgili parametrenin
30
inceleme aralığının belirli bir sayıya bölünmesi ile incelenir. Ardından bir sonraki prizma ile incelemeye devam edilir. Kabul edilmeyen tüm prizmaların kenar uzunluklarının sınırın altında kalması veya tüm prizmaların kabul edilmesi ile algoritma sona erer.
ġekil 4.1 : Parametre prizmasında b değişkeni için bölme (bisection) işleminin uygulanması
4.2 SPM’ye Uyarlanması
Parametre-Uzayı yaklaşımının kullanışlı bir biçimde SPM‟ye adapte edilmesi için öncelikle mekanizmanın sahip olduğu geometrik parametre sayısının olabildiğince azaltılması gerekmektedir. Literatürde sıkça kullanılan geometrik gösterimler genellikle toplam 6 tasarım parametresi içerir. Bunlar; tabana ait dairesel platform yarıçapı (Rb), hareketli dairesel platform yarıçapı (Rt), tabandaki ve üst platformdaki ardışık iki mafsalın taban merkezine göre yaptığı açılar (2*α ve 2*β), strok uzunluğu belirli olan bacakların sahip olduğu minimum veya maksimum toplam uzunluk (Lm) ve üst ve taban platformların yatay düzleme paralel iken birbirlerine göre olan montaj açılarıdır (γ). Bu değişkenler Şekil 4.2‟de gösterilmektedir.
31
ġekil 4.2 : SPM geometrisi için karakteristik parametreler
İki platformun bağıl montaj açılarının (γ) tasarımda sıfır kabul edilmesinden dolayı bu parametre hesaba dahil edilmeyecektir. Kalan 5 parametre arasında en fazla önem taşıyanlar platform yarıçapları ve bacak uzunluklarının sınırlarıdır. Bacak uzunlukları, en fazla eyleyicinin strok boyu kadar değişebileceğinden, maksimum ve minimum uzunluklar aslında aynı parametreye diğer bir deyişle eyleyicinin en kısa durumundaki (Retracted) boyuna bağlıdırlar.
5 parametrenin tamamının tasarımda önemli bir rol üstlenmesine karşın, parametre uzayında yapılan taramanın ardından elde edilen kullanılabilir parametre aralıklarına ilişkin verilerin grafiksel olarak tasarımcıya aktarılması mümkün olamamaktadır. Bu sonuçların ancak 3 eksenli bir grafik ile tasarımcıya aktarılabileceği düşünülerek 5 parametrenin en az önem arzeden 2 tanesi yani α ve β açıları sabit kabul edilecek ve kalan üç parametre olan Rt, Rb ve Lm aralıkları belirlenecektir.
4.3 Parametre Aralıklarının Tanımlanması
Sabit tutulacak olan α ve β açılarının değerleri 5° olarak öngörülmüştür. Hareketli platform yarıçapının, tasarım parametrelerinde verilen eşkenar üçgen kenar uzunluğu (a = 1.5 m) kullanılarak (Şekil) 800 mm değerinin altında bir değer alması
32
öngörülmüştür. Aynı şekilde tabandaki sabit platform yarıçapı için de, sistemin yer yüzeyinde kapladığı dörtgen alana (1.84m×1.84m) sığabilecek en büyük dairenin yarıçap değeri (Rb ≈ 900 mm) referans alınmıştır. Bu verilere göre incelenecek yarıçap aralıkları yapılan denemeler ışığında üst tabla için [500 mm, 800 mm] ve alt tabla için [800 mm, 1100 mm] olarak belirlenmiştir.
ġekil 4.3 : Hareketli platform yarıçapının belirlenmesi
Üretici tarafından sunulabilen minimum ve maksimum doğrusal eyleyici strok uzunlukları 305 mm ve 1575 mm olarak belirtilmiştir. Strok uzunlukları, Şekil 4.4‟de gösterildiği gibi eyleyici boylarının en uzun ve en kısa boylarının belirlenmesinde kullanılacaktır.
Burada eyleyici boylarının belirlenmesinde hareketli platform konumları için bacakların alacağı yaklaşık boylar için bir hesaplama yapılmıştır.
33
Bu hesaba göre parametre uzayı yaklaşımından daha önce alınan sonuçlardan faydalanarak Rt=600 mm ve Rb=900 mm parametreleri için seçilecek eyleyicinin kapalı boyu 830 mm‟den düşük, tam açık boyu ise 1170 mm‟den yüksek olmalıdır. Buna göre strok boyu en az 340 mm olmalıdır.
4.4 ÇalıĢma Uzayı Sınır Noktalarının Belirlenmesi
ġekil 4.5 : Çalışma uzayından seçilen altı sınır noktası
Bu koşullar ile incelenecek mekanizmaya ait hareketli tabla merkezinin konumunun referans alınan tasarım hedeflerinde belirtildiği gibi taban merkezinden 710 mm yükseklikte bir noktada olması planlanmıştır. Dolayısı ile uzaydan seçilecek noktaların bu başlangıç konumuna bağlı olarak konumlandırılması gerekmektedir. Şekil 4.5‟de mekanizmanın sahip olması istenen öteleme çalışma uzayı elipsoidinden seçilen 6 nokta kırmızı renk ile işaretlenmiştir. Algoritmadan beklenen hareketli üst tabla merkezi olan C noktasının bu 6 noktaya da ulaşmasını sağlayabilecek geometrik parametreleri elde etmesidir. Bu elipsoidin üzerindeki noktalar tasarım hedeflerinde belirtilen öteleme koordinatlarından ibarettir ve bu konumlarda platformun yönelmesi değişmemektedir.
34
Tasarım sırasında sistemin ulaşması gereken uzaysal koordinatlar tek eksendeki yer değiştirmeler olarak Çizelge 4.1‟de verilmiştir. Bu koordinatlar toplam 12 adet olmak üzere mekanizmanın sağlaması gereken konumlar kümesini oluşturmaktadır. Algoritmanın amaç pozisyonları Çizelge 4.1‟deki gibi girilmiştir.
Çizelge 4.1 : Parametre Uzayı yaklaşımı ile sistemin sağlaması gereken konumlar Nokta No. X Konum [mm] Y Konum [mm] Z Konum [mm] X Açısı [°] Y Açısı [°] Z Açısı [°] 1 250 0 0 0 0 0 2 -250 0 0 0 0 0 3 0 180 0 0 0 0 4 0 -180 0 0 0 0 5 0 0 250 0 0 0 6 0 0 -250 0 0 0 7 0 0 0 21 0 0 8 0 0 0 -21 0 0 9 0 0 0 0 22 0 10 0 0 0 0 -22 0 11 0 0 0 0 0 22 12 0 0 0 0 0 -22 4.5 Hesaplama Sonuçları
Yapılan hesaplama sonucunda Şekil 4.6‟da gösterilen parametre kümeleri elde edilmiştir. Bu kümeleri temsil eden ayrık dörtgenler; köşeleri ve iç hacimlerinin temsil ettiği parametre değerleri seçildiğinde sistemin belirlenen çalışma uzayı pozisyonlarını sağlayacağını göstermektedir.
Kullanılan yöntem ile sistemin üst hareketli platformu için yarıçap Rt = 600 mm ve sabit alt tabla için yarıçap Rb = 900 mm seçilirse, bu sistemde kullanılması gereken minimum ve maksimum eyleyici strok uzunlukları Çizelge 4.2‟de gösterilmiştir.
35
Aynı çizelgede yarıçaplar aralık olarak verildiğinden, bu strok uzunluklarını sağlayan eyleyicilerle sistemin sahip olabileceği yarıçap boyut aralıkları da ortaya çıkarılmıştır.
ġekil 4.6 : İstenen çalışma uzayını sağlayan parametre kümeleri
Çizelge 4.2 : Parametre Uzayı Analizi sonuçları
Üst Hareketli Tabla Çapı
(Rt): Alt Sabit Tabla Çapı (Rb): Eyleyici Strok Sınırları (S):
500 mm ≤ Rt < 800 mm 800 mm ≤ Rb < 950 mm 385.16 mm ≤ Ls < 414.33
mm
500 mm ≤ Rt < 800 mm 875 mm ≤ Rb < 912.5 mm 381.00 mm ≤ Ls < 384.57
mm
Değerlerin elde edildiği en küçük prizma kenarlarının boyutları, uzayda her parametrenin bölüneceği en küçük parça uzunluğuna bağlıdır ve hesaplamada bu değer parametrenin en büyük ve en küçük değerini arasındaki farkın 500‟de biri olarak girilmiştir. Toplam 334 adet prizma hesaplanmıştır.
4.6 Eyleyicinin Belirlenmesi
Kullanılan yöntem ile 600 mm‟lik üst tabla yarıçapı ve 900 mm‟lik alt tabla yarıçapı değerleri için 380 mm ile 414 mm arasında değişen strok uzunluğuna sahip bir eyleyicinin seçilebileceği ortaya çıkarılmıştır. Bu eyleyicinin sabit boyu önceden
800 850 900 950 1000 1050 1100 500 550 600 650 700 750 800 320 340 360 380 400 420 440 Alt Yaricap [mm] Tanimlanmis Calisma Uzayi icin Uygun Parametreler
Ust Yaricap [mm] E y le y ic i S tr o k U z u n lu g u [ m m ]
36
yapılan denemelerde hesaplanan tam kapalı eyleyici boyunun 830 mm‟den düşük olması ve tam açık boyunun 1170 mm‟den yüksek olması koşulunu sağlamak üzere burada yapılan parametre uzayı analizi sonuçlarına dayanarak sabit boy [342 mm, 449 mm] aralığında değer alabilir.
ġekil 4.7 : Moog firmasına ait hareket platformlarında kullanılan eyleyiciler Üretici kataloğundan seçilen ve belirlenen kriterleri karşılayan ürün, Moog firmasına ait CA22369 model doğrusal eyleyici sistemidir ve bu sistem 645 mm tam kapalı boy ve 406.4 mm strok boyuna sahiptir. Burada tam kapalı boy 830 mm minimum boyu karşılamadığından bu sistemin uzunluğuna en fazla 185 mm‟lik bir eklenti yapılmalıdır. Eyleyicinin strok boyu belirlenen uygun aralığın içerisindedir ve sahip olduğu maksimum tahrik kuvveti 19127 N‟dur.
4.7 AyrıklaĢtırma Yöntemi ile ÇalıĢma Uzayının Doğrulanması
Boyutları belirlenmiş bir SPM‟nin çalışma uzayı sınırlarının doğrulanması için ayrıklaştırma yöntemi kullanılabilir. Ayrıklaştırma yöntemi mekanizmanın yönelmesiz öteleme veya ötelemesiz yönelme konumları için uzayın küçük koordinat artımları ile ve belirlenen koordinat sınırları arasında taranması esasına dayanır. Bu tarama sırasında gelinen konumlar için bacak uzunluk sınırları kontrol edilerek gerçeklenebilecek konumlar toplanır gerçeklenemeyen konumlar elenir. Elde edilen geçerli konumlar nokta bulutu olarak bir üç boyutlu grafik ile görselleştirilir.
Çalışma uzayı sınırlarının bu nokta bulutunun içerisinde kalması durumunda tasarım doğrulanmış olur. Kullanılan yöntemde koordinat tarama aralıkları 15 mm olarak
