FERMĠ-DĠRAC YAKLAġIMINI KULLANARAK BAZI YARIĠLETKENLERĠN DEĞERLĠK BANDINDAKĠ
HOLE KONSANTRASYONUNUN HESAPLANMASI Cengiz TEMĠZ
Yüksek Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
2011 Her Hakkı Saklıdır
T.C.
GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
FERMĠ-DĠRAC YAKLAġIMINI KULLANARAK BAZI
YARIĠLETKENLERĠN DEĞERLĠK BANDINDAKĠ HOLE
KONSANTRASYONUNUN HESAPLANMASI
Cengiz TEMĠZ
TOKAT 2011
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu, baĢkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların baĢka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya baĢka bir üniversitedeki baĢka bir tez çalıĢması olarak sunulmadığını beyan ederim.
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
FERMĠ-DĠRAC YAKLAġIMINI KULLANARAK BAZI YARIĠLETKENLERĠN DEĞERLĠK BANDINDAKĠ HOLE KONSANTRASYONUNUN
HESAPLANMASI
Cengiz TEMĠZ
GaziosmanpaĢa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
Kuantum fiziğinin bilim dünyasına getirdiği pek çok yenilik, mevcut teorilerinin geliĢmesine hatta belli oranda kökten değiĢmesine sebep olmuĢtur. Bu alanlardan birisi de istatistik fiziktir. Bilindiği üzere elektronların pek çok davranıĢı kuantum istatistiksel yaklaĢımlarla açıklanabilmektedir. Bir kuantum istatistiksel yaklaĢım olan Fermi-Dirac (FD) fonksiyonunun çözümünden elde edilen sonuçlar malzemelerdeki elektron yoğunluğu, toplam enerji veya manyetik moment gibi pek çok özelliğin teorik olarak elde edilmesine imkan sağlamaktadır. Aynı zamanda bu fonksiyon plazma teorisinde de görülmektedir. Literatürde bu fonksiyonun çözümü için farklı metotlar kullanılmıĢtır. Ancak FD fonksiyonlarının çözümü için basit analitik ifadeler elde edilememiĢtir. Bu çalıĢmadaki amacımız, yarıiletken malzemelerin değerlik bandındaki delik konsantrasyonlarının hesaplanmasında kullanılan FD fonksiyonunun çözümü için daha basit analitik ifadeler elde etmektir.
2011, 39 sayfa
Anahtar Kelimeler: Fermi-Dirac yaklaĢımı, değerlik bandı, delik konsantrasyonu i
ABSTRACT
Mr Thesis
CALCULATION OF HOLE CONCENTRATION IN VALANCE BAD OF SOME SEMICONDUCTORS USING FERMI-DIRAC APPROXIMATION
Cengiz TEMĠZ
Gaziosmanpasa University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics
Science
Supervisor: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
Novelties of the quantum physics brough about both improvements and even radical changings of the ecxisting theories in science. Statistical physics is the one example of these. It is known that many behaviours of electrons can be explained by means of quantum statistical approach. The results obtained from the solution of Fermi-Dirac (FD) function, which is one of quantum statistical approach, allow to obtain many properties of materials theoretically such as electron concentration, total energy or magnetic moment. At the same time, this function is seen in plasma theory, too. However, it could not be obtained the simple expressions for solutions of FD functions. Our purpose in this study is that the simplier expressions which are used for calculation of hole concantiration in valance band of semiconductor materials are to be obtained.
2011, 39 pages
Keywords: Fermi-Dirac approximation, valance band, hole concentration
TEġEKKÜR
Yüksek lisans çalıĢmalarım süresince bana her türlü kolaylığı sağlayan, karĢılaĢtığım zorluklarda bana yol gösteren ve bu çalıĢmamın oluĢmasında bilgi ve deneyimlerini benden esirgemeyen danıĢman hocam sayın Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU’ na en içten teĢekkürlerimi sunarım.
KarĢılaĢtığım zorluklarda her zaman bana yol gösteren ve desteğini eksik etmeyen Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU’ na içten teĢekkürlerimi sunarım.
Her zaman bilgilerinden yararlandığım değerli bölüm hocalarıma teĢekkürlerimi sunarım. Tez çalıĢmamın her aĢamasında bana yardımlarını esirgemeyen değerli arkadaĢım, Yrd.Doç. Erhan ESER’ e teĢekkür ederim.
Yüksek lisans boyunca maddi ve manevi olarak her zaman yanımda olan eĢime, oğlum Yusuf’ a ve ayrıca Hüseyin GÖVDELĠ’ ye çok teĢekkür ederim.
Cengiz TEMĠZ
Temmuz-2011
ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖZET i ABSTRACT ii TEġEKKÜR iii ĠÇĠNDEKĠLER iv ġEKĠLLER DĠZĠNĠ v ÇĠZELGELER LĠSTESĠ vi KISALTMALAR vii 1. GĠRĠġ 1 2. GENEL BĠLGĠLER 2 2.1. Yarıiletkenler 2
2.2. Yarıiletkenlerin Bant Yapısı 2
2.3. Fermi-Dirac Dağılımı 6
2.4. Fermi-Dirac Ġstatistiği 7
2.5. Holler (BoĢluklar) 12
2.6. TaĢıyıcı Konsantrasyonu 15
2.7. Elektron Konsantrasyonu 16
2.8. Hole (BoĢluk) Konsantrasyonu 18
2.9. Ġletim Bandındaki Hole Konsantrasyonu 20
2.10. Valans Bandındaki Hole Konsantrasyonu 22
2.11. Fermi-Dirac Ġntegrali ve Çözümü 24 3. MATERYAL ve METOD 27 4. BULGULAR 30 5. SONUÇ ve TARTIġMA 33 KAYNAKLAR 34 ÖZGEÇMĠġ 38 iv
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
Sayfa No
ġekil 2.1. Yarıiletkenlerin Band Yapısı 3
ġekil 2.2. Bir Yarıiletkenin Band Yapısı ve ġematik Gösterimi 4 ġekil 2.3. Fermi-Dirac Dağılım Fonksiyonun Grafiksel Gösterimi 8 ġekil 2.4. Farklı Sıcaklıklardaki f(E) ye karĢı (E-Ef)’ nin Fermi Dağılım
Fonksiyonu
9 ġekil 2.5. g(E) durumlar yoğunluğu, f(E) Fermi dağılım fonksiyonu ve (a)
gerçek yarıiletkenlerde, (b) n-tipi yarıiletkende (c) p-tipi yarıiletkende olmak üzere, elektron ve hole konsantrasyonları
11
ġekil 2.6. Elektronların ve bir boĢluğun enerji bandına yerleĢimi. BoĢluğun elektrik alanının etkisi altındaki hareketi.
12 ġekil 2.7. a ve b Hareketli bir Silisyum atomunda bir elektron boĢluğunun
oluĢması
12 ġekil 2.8. Enerji seviyelerinin dolmuĢ hali b) Mutlak sıfır sıcaklığında ve
mutlak sıfırın üstünde Fermi-Dirac dağılımının değiĢimi
16 ġekil 2.9. a) Ġletim ve değerlik bandları. b) Dağılım fonksiyonu
c) Elektronlar ve boĢluklar için durum yoğunlukları
18 ġekil 2.10. Ge için deneysel sıcaklık hole konsantrasyon grafiği 24 ġekil 4.1. Germanyumun için yapılan bazı deneysel ve teorik olarak
hesaplanan hole konsantrasyonun sıcaklıkla değiĢimi
33
ÇĠZELGELER LĠSTESĠ
Sayfa No Çizelge 2.1. Oda sıcaklığında, yarıiletkenlerin band parametreleri 5 Çizelge 4.1. Germanyum (Ge) için yapılan hesaplama tablosu 31 Çizelge 4.2. Silisyum (Si) için yapılan hesaplama tablosu 31 Çizelge 4.3. Germanyum Arsenik (GeAs) için yapılan hasaplama tablosu 32 Çizelge 4.4. 300 K de bazı yarıiletkenlerin Enerji ve hole konsantrasyon
değerleri
32
KISALTMALAR
Fermi-Dirac Planck sabiti Boltzman sabiti
Hole bulunma olasılığı Hole konsantrasyonu
Yasak enerji aralığı Ġletim Bandı Değerlik Bandı
Değerlik Band Enerjisi Ġletim Band Enerjisi
m h
BoĢluğun etkin kütlesi
Sanki Kimyasal Potansiyel f(E) Fermi-Dirac Dağılım Fonsiyonu EF Fermi Enerjisi
k1 Dalga Vektörü
Js Akım Yoğunluğu
g(E) E enerjili bir elektronun iĢgal edilme ihtimali n Birim hacimdeki elektron sayısı
Nv Valans banttaki aĢırı yoğun durum
G2D(E) Ġki boyutlu durum yoğunluğu
1. GĠRĠġ
Kuantum fiziğinin bilim dünyasına getirdiği pek çok yenilik, mevcut teorilerinin geliĢmesine hatta belli oranda kökten değiĢmesine sebep olmuĢtur. Bu alanlardan birisi de istatistik fiziktir. Bilindiği üzere elektronların pek çok davranıĢı kuantum istatistiksel yaklaĢımlarla açıklanabilmektedir. Bir kuantum istatistiksel yaklaĢım olan Fermi-Dirac (FD) fonksiyonunun çözümünden elde edilen sonuçlar malzemelerdeki elektron yoğunluğu, toplam enerji veya manyetik moment gibi pek çok özelliğin teorik olarak elde edilmesine imkan sağlamaktadır. Aynı zamanda bu fonksiyon plazma teorisinde de görülmektedir. Literatürde bu fonksiyonun çözümü için farklı metotlar kullanılmıĢtır (Abidi and Mohammad, 1984; Lukyanov, 1995; Sommerfeld,1928; Glasser, 1964; Selvakumar, 1982; Kiess, 1987; Gong, 1991; Sagar, 1991; Goano, 1993). Ancak FD fonksiyonlarının çözümü için basit analitik ifadeler elde edilememiĢtir. Bu çalıĢmadaki amacımız, yarıiletken malzemelerin değerlik bandındaki hole konsantrasyonlarının hesaplanmasında kullanılan FD fonksiyonu için yeni formüller kullanarak analitik bir ifade türetmektir. Spini ½ olan parçacıklar (elektron, proton ve nötron) fermiyonlar olarak adlandırılıp, bu parçacıkların davranıĢları Fermi-Dirac istatistiği ile incelenmektedir. FD yaklaĢımına göre değerlik (valans) bandındaki deliklerin (hole) bulunma olasılığı fh(E) = 1- f(E) Ģeklinde ifade edilir. Burada fh(E) ve f(E) sırasıyla
boĢlukların ve elektronların E enerjili seviyede bulunma ihtimalleridir. Buradan yola çıkarak boĢlukların değerlik bandındaki hole konsantrasyonu (p) ile ifade edilebilir. Hesaplamalara geçmeden önce yarıiletkenleri ve band yapılarını incelemeye çalıĢacağız. Silisyum, Germanyum ve Germanyum Arsenik gibi bazı yarıiletken maddelerin valans banttaki hole konsantrasyonu için geliĢtirmiĢ olduğumuz Fermi-Dirac denklemlerini Mathematica 7.0 programı yardımı ile hesaplayarak literatürde mevcut deneysel ve teorik verilerle karĢılaĢtırmak ve önerilen yöntemin doğrulunu kanıtlamaya çalıĢmadan önce bazı genel bilgileri hatırlamaya çalıĢalım.
2. GENEL BĠLGĠLER
2.1. Yarıiletkenler
Yarı iletken madde, elektrik iletkenliği bakımından, iletken ile yalıtkan arasında kalan maddelerdir. Tüm yarı iletkenler son yörüngelerindeki elektron sayısını sekize çıkarma çabasındadırlar. Bu nedenle saf bir germanyum elementinde komĢu atomlar son yörüngelerindeki elektronları kovalent bağ ile birleĢtirerek ortak kullanırlar. Atomlar arasındaki bu kovalent bağ germanyum elementine kristal özelliğini kazandırır. Silisyum da özellik olarak germanyum ile hemen hemen aynıdır. Yarı iletkenli elektronik devre elemanlarında daha çok silisyum kullanılır. Silisyum ve germanyum devre elemanı üretiminde saf olarak kullanılmaz. Bu maddelere katkı katılarak değerlik bandı enerji seviyesi yukarıya veya iletkenlik bandı enerji seviyesi aĢağıya çekilir. Değerlik bandının yukarı çekildiği yarı iletkenlere P tipi yarı iletken, iletkenlik bandının aĢağıya çekildiği yarı iletkenlere ise N tipi yarı iletken denir. P tipi yarı iletkende yüklü boĢluk deriĢimi, N tipi yarı iletkende ise elektron deriĢimi göreli olarak daha yüksektir. Ayrıca günümüzde GüneĢ enerjisini elektrik enerjisine çevirmede yarı iletkenlerden maksimum ölçüde faydalanılır. Zira güneĢten gelen foton tanecikleri yarı iletkenlerin atomik yapısındaki zayıf moleküler bağlar sayesinde elektronların serbest kalmalarını sağlarlar ve buda diğer bir yarı iletken yapıya elektron akıĢını mümkün kılar. Günümüzde kullanılan bazı hesap makineleri, bu yapı ile çalıĢmaktadır. Yarı iletkenler germanyum, silisyum, selenyum gibi elementler olabildiği gibi; bakır oksit, galyum arsenik, indiyum fosfor, kurĢun sülfür gibi bileĢikler de olabilir.
2.2. Yarıiletkenlerin Band Yapısı
Katıların band teorisi, yarıiletkenlerin elektriksel iletkenlik özelliklerini büyük bir baĢarı ile açıklar. Band teorisine göre katılar sınıflandırılırken; Ģekil 2.1’de gösterilen iĢgal edilmiĢ en yüksek enerji bandının değerlik bandı olması, bu bandın T = 0 0
K de tamamen dolu olması ve bu bandın üstündeki yasak enerji aralığının dar olması halinde, katının yarıiletken özelliği göstereceği ifade edilmiĢti. Yarıiletkenlerde, yukarıda da
ifade edildiği gibi, dolu bandda değerlik bandı ve iletim bandı aynı olduğu halde, yarıiletkenlerde bu iki band yasak enerji aralığı ile birbirinden ayrılır. Değerlik bandındaki bir elektrona, onu iletim bandına çıkarmaya yetecek kadar enerji verilmezse elektriksel iletkenlik sağlanamaz, yani, katı yalıtkan olarak davranır. Bu yüzden, gerekli uyarma enerjisi, yasak enerji aralığının bir ölçüsüdür. Bu enerji termal, optik veya mekanik yolla sağlanabilir. Genel olarak, yasak enerji aralığı Eg , 2 eV’ dan daha küçük
olduğunda, oda sıcaklığında uyarılan elektronların sayısı yeterli düzeye çıkmaktadır ve cisim yarıiletken olmaktadır.
ġekil 2.1. Yarıiletkenlerin band yapısı
Elektronlar, yasak enerji bölgesini geçecek Ģekilde uyarıldığında, (DB) değerlik bandının tepesi civarında boĢluklar bırakarak (ĠB) iletim bandının tabanına geçerler ve burada Bloch elektronu olarak davranırlar. BoĢluk ve elektronunun her ikisi de elektrik alandan etkilendiği için, bunlar elektriksel iletkenliğe katkıda bulunurlar. Sıcaklığın yükselmesi ile, Bloch elektronları ve boĢlukların sayısı hızla artar ve bu, yarıiletkenlerin önemli özelliklerinden biri olan iletkenliğin sıcaklıkla büyümesi özelliğini açıklar.
ġekil 2.2. a) Bir yarıiletkenin band yapısı. b) (a)’daki bandın Ģematik gösterimi
Yarıiletkenlerin elektriksel iletkenliği, metallerinki ile karĢılaĢtırıldığında küçük olmakla beraber, pratik amaçlara yetecek kadar da büyüktür. Yarıiletkenlerde uğraĢırken sadece iletim bandı ve değerlik bandı ile ilgilenilir. Çünkü sadece bu iki band akıma katkıda bulunur. Değerlik bandından daha düĢük olanlar tamamen doludurlar ve iletim bandından daha yüksek olanlar tamamen boĢturlar. Bu yüzden de iletime katkıda bulunmazlar.
Band uçları, Brillouin bölgesinin merkezinde olan bir yarıiletkenin en basit band yapısı, Ģekil 2.2’de gösterilmektedir. Ġletim elektronlarının çoğu, iletim bandının tabanı civarında olacağından, bu bandı bu bölgede küresel yapıda almak mümkündür.
ġekil 2.2’deki iletim bandının enerjisi,
2 2 2 g İ e k E k E m 2.2.1
Ģeklinde verilebilir. Burada enerjinin sıfırı, değerlik bandının tepesinde seçilmiĢtir. Değerlik bandının enerjisi ise
2 2 2 d h k E k m 2.2.2
dir. Burada mh, boĢluğun etkin kütlesidir. Değerlik bandının Ģeklinin ters dönmüĢ
parabol olması yüzünden, bu bandın tepesindeki bir elektronun etkin kütlesi negatif dir; fakat boĢluğun kütlesi pozitif iĢaretlidir. Yukarıdaki iki eĢitliklerde standart enerji eğrileri kullanılmıĢtır. Çünkü iletim bandına geçen elektronlar bu bandın tabanı civarında, boĢluklar ise değerlik bandının tepesi civarında bulunurlar. m me, h
ve
g
E
gibi band yapısıyla ilgili önemli parametreler oda sıcaklığındaki değiĢik yarıiletkenler için Çizelge 2.1’de verilmiĢtir. Bu çizelgede ml ve mt sırasıyla elipsoidal enerji
yüzeyleri için boyuna ve enine kütle oranlarını göstermektedir.
Çizelge 2.1. Oda sıcaklığında, yarıiletkenlerin band parametreleri
Grup Kristal Eg /eV
Etkin kütle, m/mo Elektron BoĢluk IV C 5.3 Si 1.1 Ml=0.97 mt = 0.19 0.5 0,16 Ge 0.7 Ml = 1.6 mt = 0.08 0.3 0.04 α - Sn 0.08 III-V GaAs 1.4 0.07 0.09 GaP 2.3 0.12 0.50 GaSb 0.7 0.20 0.39 InAs 0.4 0.03 0.02 InP 1.3 0.07 0.69 InSb 0.2 0.01 0.18 II-VI CdS 2,6 2.21 0.80 CdSe 1.7 0.13 0.45 CdTe 1.5 0,14 0.37 ZnS 3.6 0.40 5.41 ZnSe 2.7 0.10 0.60 ZnTe 2.3 0.10 0.60 IV-VI PbS 0.4 0.25 0.25 PbSe 0.3 0.33 0.34 PbTe 3.3 0.22 0.29
Yarıiletkenlerin yasak enerji aralığı sıcaklığa bağlı olarak değiĢmektedir fakat bu değiĢme büyük değildir. Bu değiĢmenin sebebi, ısıtılma sonucu örgü sabitinin değiĢmesidir. Eg, uygulanan basınçla da değiĢir. Bu yüzden, özelliklerin bazıları yüksek basınç altında incelenir.
2.3. Fermi Dirac Dağılımı
Tez konumuzun amacı olarak yapmaya çalıĢtığımız Fermi-Dirac yaklaĢımını kullanarak valans bandındaki hole konsantrasyonunu hesaplamaya çalıĢacağız. Bu hesaplamalara geçmeden önce Fermi-Dirac dağılımı ile ilgili bazı bilgileri bilmemiz gerekir. Fermi- Dirac dağılımı olarak bilmemiz gereken Colomb etkileĢmesinde taĢıma – taĢıma saçılması çok önemli bir etkidir. Bu lazer gazlarında çarpıĢma değiĢim hızı olarak bilinir fakat yarıiletkenlerdeki etkisi çok güçlüdür. Bilinen kızıl ötesine yakın yarıiletkenler yeterince yüksek enerji yoğunluğunda iyon durumuna uyarılmıĢtır.(>1018
cm-3). Fermi– Dirac dağılımlarının her birindeki elektron ve hole dağılımı tipik bir taĢıma – taĢıma saçılmasında piko saniye mertebesinde ya da daha da az bir süre içerisinde zayıf bir dıĢ kuvvet etkisi altında saçılım sağlamaktadır. Bu dağılımlar ancak onlar kendi bantlarında dengeye geleceğinden dolayı sanki denge dağılımı diye adlandırılır ancak onlar dengede değildir.
Gerçek bir Termodinamik dengede elektronlar tek bir Fermi-Dirac dağılımı ile tanımlanırlar, yani bir yarıiletken için herhangibir tipik sıcaklık boĢ iletim bandını ve dolu bir valans bandını verir. Uzun bir taĢıyıcı-taĢıyıcı saçılma süresi ile serbest bant içerisinde kısa süreli bir saçılma karĢılaĢtırılıp mukayese edildiğinde nano saniyeler mertebesinde kısa süreli bir saçılmada sanki denge durumu meydana gelir. Valans bandından iletim bandına optikal bir alan oluĢturarak veya direk elektronu enjekte ederek gönderildiğinde kararlı hal sürdürülebilir.
Fermi-Dirac dağılımları içinde hızlı taĢıyıcı dengeleme, büyük yarı iletken ortamın analizi kolaylaĢtırır. Bireysel bir k bazda taĢıyıcı yoğunlukları takip etmek yerine, bizim sadece toplam taĢıyıcı yoğunluğu olan N’ yi belirlemek zorunluluğu gerekebilir. Bireysel k bağımlı taĢıyıcı nüfus olasılıkları ise;
k-
1 1 k f k f e 2.3.1Ģeklinde verilir. Burada e h
elektron için, 1 BT k
boĢluk (hole) için ve ise seçilen N yoğunluklu taĢınan tüm alanda sanki kimyasal potansiyel olarak adlandırılır. Onların band kıyısından biz kimyasal potansiyeli ölçeriz. Denklem 2.3.1’den sıcaklığa bağlı olarak bizim görebildiğimiz k ve Fermi-Dirac dağılımı
12
f dir.
k
için meydana gelen olasılık 1 2 dür. Negatif bir kimyasal potansiyel için, 0
olduğunda ’ nın 1
2 ihtimalle herhangi bir durumda bantta yeterli olmadığını gösterir. T = 0 K de eĢit Fermi enerjili kimyasal potansiyelin taĢıyıcıları tarafından en üst düzeyde olduğu görülür.
2.4. Fermi Dirac Ġstatistiği
Hole konsantrasyonu hesabı için kullanmak istediğimiz Fermi-Dirac dağılım fonksiyonudur. Bu fonksiyonu grafiksel olarak ġekil 2.3’de görebilmekteyiz. Katılardaki elektronlar Fermi Dirac istatistiklerini izler ve bu Ģu Ģekilde ifade edilir. Bir elektronun mevcut durumda (E) enerji düzeyinde, bir sıcaklıktaki termal denklemde kapladığı, F(E) olasılığı,
1 1 exp f f E E E kT 2.4.1ile verilmektedir. Bu eĢitlikte,
k = Boltzman sabiti f
ġekil 2.3. Fermi-Dirac dağılım fonksiyonunun grafiği
Denklem 2.4.1 E iken f(E)’ nin maksimum değerinin 1 olduğunu ve E
iken minimum değerinin ise 0 olduğunu göstermektedir. E = Ef enerjisi için, herhangi
bir sıcaklıkta yer kaplama olasılığı F(E) = 0.5 dir. f(E) belli bir alan değeri olduğu için boĢluk olasılığı 1 f E( ) olduğuna dikkat çekilmektedir.
Fermi-Dirac fonksiyonunun bazı özellikleri aĢağıda sıralanmıĢtır:
(a) T = 0 K için dağılım fonksiyonu Ģekil 2.4’ de gösterildiği dikdörtgen gibi bir biçim alır. Bu Ģu anlama gelmektedir : Ef üzeri bütün durumlar boĢ, ve Ef altı
bütün durumlar elektronlarla doludurlar; yani, E > Ef , f(E) = 0 dır ve E < Ef ,
f(E) = 1 dir.
(b) ġekil 2.4’ de gösterildiği gibi T > 0 K için, Ef üzeri durumlar için doldurulacak
olasılıklar vardır, yani, f(E), E > Ef için 0 değildir. Aynı zamanda Ef' nin altı
durumları içinde karĢılık gelen ihtimaller deĢiği (hol)’ ü ifade eder çünkü E < Ef
doldurulmak üzere daha düĢük bir olasılığa sahiptir. Diğer taraftan, E < Ef için,
düĢük seviyedeki enerji durumları boĢ kalma olasılığı daha düĢüktür. Aynı zamanda, E > Ef durumunun doldurulması veya E < Ef durumunun boĢ kalma
olasılığı sıcaklıkla birlikte artar.
ġekil 2.4. Farklı Sıcaklıklardaki f(E) ye karĢı (E-Ef) nin Fermi Dağılım Fonksiyonu
(c) DoldurulmuĢ Ef üstü ∆E enerjisindeki durum olasılığı boĢ olan Ef altı ∆E
enerjisindeki durum olasılığının aynısıdır. Diğer bir değiĢle, f(E), Ef’ nin bütün
sıcaklık değerlerinde simetriktir, yani, f E( f+ E) 1 f E( f E)dir.
(d) Ġletim bandındaki dolu durum bağımsız elektronların varlığına iĢaret ederken, valans bandındaki boĢ durum ise bir deliğin (hole) varlığına iĢaret eder. Ġletim bandındaki E enerji düzeyindeki bağımsız elektron yoğunluğu g(E) durumların yoğunluğu ve f(E) ise doldurulmuĢ durum olasılığının bir ürünüdür. Diğer taraftan, valans bant’ta E enerji düzeyinde deliklerin etrafındaki yoğunluk g(E)
durumlarının yoğunluğunun ve 1 f E( ) durumların boĢluk (hole) olma ihtimalinin bir ürünüdür. Bağımsız elektron sayısı ile gerçek yarıiletken deki deliklerin sayısı aynı olduğu için, Ef ile ilgili f(E) simetrisi Ģu anlama
gelmektedir: gerçek yarıiletken için, iletim ve valans banttaki mevcut durumların yoğunluğu aynı ise, Fermi yüzeyi bant aralığının tam ortasında yer almalıdır. Bu durum Ģekil 2.5’ de gösterilmektedir.
Bir n- tipi materyalde n>p olarak bilinir yani, iletim bandındaki dolu alanlar, valans bandındaki boĢ alanlardan daha çoktur. F(E) simetrisi, bir n-tipi için Ef’ nin Ec’ ye daha
yakın olması gerektiğini göstermektedir. ġekil 2.5.b’ de gösterildiği gibi, bu durumda, g(E) altındaki bölgede, iletim bandındaki f(E) eğrisi (iletim bandındaki elektron konsantrasyonu), valans banttaki g(E) - 1 f E( ) eğrisinden (valans banttaki deliklerin konsantrasyonundan) daha çoktur. Benzer olarak, p-tipi materyaller için, Ef, Ev’ ye daha
ġekil 2.5. g(E) durumlar yoğunluğu, f(E) Fermi dağılım fonksiyonu ve (a) gerçek yarıiletkenlerde, (b) n-tipi yarıiletkende (c) p-tipi yarıiletkende olmak üzere, elektron ve hole konsantrasyonları
2.5 Holler (BoĢluklar)
Bir boĢ yörünge hariç, geriye kalanı tamamen dolu bir enerji bandında bir hol veya boĢluk bulunduğu söylenir. Bir elektron; valans bandından iletkenlik bandına atladığında, valans bandında boĢluklar kalacaktır. Bu boĢluklara delik=boĢluk veya hole denir. Böyle bir boĢluk, Ģekil: 2.6’da gösterilmektedir. Ayrıca Ģekil 2.7’de Silisyum atomunun enerji bant grafiği ve bağ diyagramı gösterilmiĢtir.
ġekil 2.6. Elektronların ve bir boĢluğun enerji bandına yerleĢimi. BoĢluğun elektrik alanının etkisi altındaki hareketi
Öncelikle Silisyum için konuĢacak olursak saf bir Silisyum kristali oda sıcaklığında bazı tepkimelere maruz kalır. Örneğin bazı valans elektronlar enerji aralıklarından geçerek, valans bandından iletkenlik bandına atlarlar. Bunlara serbest elektron veya iletkenlik elektronları denir. Bu durum Ģekil 2.7.a’ da enerji diyagramında, Ģekil 2.7.b’ de ise bağ diyagramında gösterilmiĢtir. Isı veya ıĢık enerjisi yardımıyla iletkenlik bandına çıkan her elektron, valans bandında bir delik oluĢturur. Bu durum, elektron boĢluk çifti diye adlandırılır. Ġletkenlik bandındaki elektronlar enerjilerini kaybedip, valans bandındaki boĢluğa geri düĢtüklerinde her Ģey eski haline döner.
Özetle; saf silisyumun iletkenlik bandındaki elektronların bir kısmı oda sıcaklığında hareketli hale geçer. Bu hareket, malzemenin herhangi bir yerine doğru rastgeledir. Böylece valans bandındaki boĢluk sayısına eĢit miktarda elektron, iletkenlik bandına atlar. BoĢlukların özellikleri, yarıiletkenler fiziği ve katıhal elektroniğinde büyük öneme sahiptir. Bir dıĢ elektrik alanının etkisi altında, enerji bandını dolduran çok sayıdaki elektronun hareketini incelemektense, banttaki bir boĢluğun (holun) hareketini incelemek daha kolay olmaktadır. BoĢluğun, Ģekil 2.6’daki k1 dalga vektörü konumunda
bulunduğu kabul edelim. Elektrik alan sıfır olsun. Sistemin akım yoğunluğu
s J e k e v k V
2.5.1dır. Burada v k , k’ daki elektronun hızını gösterir ve toplam, boĢluğun bulunduğu ke
1hariç, geriye kalan bütün elektronların k dalga vektörleri üzerinden alınır. Sistemin simetrisinden dolayı, dolu band üzerinden 2.5.1 eĢitliği ile verilen toplam alınırsa; Js =
0 bulunur. Ayrıca 2.5.1 eĢitliği ile verilen toplamda, k konumundaki boĢluğa ait hız 1 vektörünün karĢıtı olan elektronun hızını yok edecek hız vektörü bulunmadığı için, bir boĢluğa sahip enerji bandında eĢitlik 2.5.1 toplamı
h 1 J ev ke V 2.5.2olur. Bu, ’ de yerleĢik pozitif bir elektronu hariç, sanki band tamamen boĢmuĢ gibi alındığında elde edilen akım yoğunluğudur.
-k yönünde bir ε elektrik alanı uygulandığında, Ģekil 2.6’daki bütün elektronlar yönünde harekete zorlanırlar. Böylece, ’ deki boĢluk da, sistemin bütünü ile birlikte yönünde hareket eder. zaman aralığında boĢluk akımı yoğunluğundaki değiĢme, eĢitlik 2.7’den
1 e h k dv k e dk j t V dk dt 2.5.3ile verilir. Burada dv ke
dk’ yı ve dk dt ’ yi de alıp etkin kütle tanımını da kullanarak,
1 1 h e j F t V m k 2.5.4
2 1 1 h e j t V m k 2.5.5elde edilir. Burada m k
1 , k elektronun etkin kütlesidir. Bu eĢitlik, 1 elektrik alanının etkisi altında ortaya çıkan boĢluk akımını verir. BoĢluk genellikle erji bandının tepisine yakın konumlarda bulunduğundan, bu bölgede m k
1 negatif olur. Dolayısı ile pozitif bir boĢluk etkin kütlesi,
1 h m m k 2.5.6 tanımlanarak, 2.5.5 eĢitliğinden 2 1 h h e j t V m 2.5.7yazmak mümkündür. Bu boĢluk akımı, elektron akımının aksine, elektrik alanla aynı yöndedir. Eğer boĢluk, enerji bandının tabanı civarında ise, pozitif olur. Bu akım, elektrik alanın aksi yönündedir ve sistemden enerji yutulmasına sebep olur.
2.6. TaĢıyıcı Konsantrasyonu
Yarıiletkenlerde, elektronlar ve boĢluklar genellikle serbest elektrik yükü taĢıyıcıları veya basitçe taĢıyıcılar olarak adlandırılırlar. Bunun sebebi elektrik akımının elektronlar ve boĢluklar tarafından sağlanmasındır.
Birim hacimdeki taĢıyıcıların sayısı, yarıiletkenin önemli bir özelliğidir ve onun elektriksel iletkenliğini tayin eder. Bu yüzden, yasak enerji aralığına bağlı olarak, hakiki taĢıyıcıların konsantrasyonunu bulmak gerekmektedir. Yarıiletkenlerde, yasak enerji aralığı metallerde bulunmayan bazı karıĢıklıklara sebep olmakta ise de her denge sıcaklığında bir tek enerji dağılımı ve Fermi enerjisi bulunduğu kabul edilir.
T sıcaklığındaki bir sistemde, enerjisi E olan bir seviyenin bir elektron tarafından iĢgal edilme ihtimali olan Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu,
1 1 F B E E k T g E e 2.6.1ile verilir. Bu eĢitlikden de görülebileceği gibi, sıcaklık yükselirken Fermi enerjisi Ef’
nin altındaki iĢgal edilmeyen bölge giderek büyümekte olduğunu Ģekil 2.8’den anlayabiliriz.
ġekil 2.8. a) Enerji seviyelerinin dolmuĢ hali, b) Mutlak sıfır sıcaklığında ve mutlak sıfırın
üstünde Fermi-Dirac dağılımının değiĢimi
Bu Ģekilde yüksek enerjili durumlar elektronlar tarafından iĢgali sıcaklığa bağlı olarak artmaktadır. Sıcaklıktaki artma, sistemin enerjisini bir bütün olarak artırmaktadır.
Yinede denklem 2.6.1’den, sıcaklık ne olursa olsun; E E F
Fermi enerjisi f E
1 2 dır. Bu ise Fermi seviyesinin bir elektron tarafından iĢgal edilme ihtimalinin her zaman 1 2 olduğunu gösterir.2.7. Elektron Konsantrasyonu
Ġlgilenilen sıcaklıklarda, yarıiletkenin iletim bandındaki bir elektron için
F B
E E k T 2.7.1
olur ve 2.5.1’ i 2.4.1’de kullanarak da
EF E k T Bf E e 2.7.2
bulunur. Bu ise klasik Maxwell-Boltzmann dağılım fonksiyonudur ve bir iletim elektronu yörüngesinin iĢgal edilme ihtimalini verir. Yarıiletkenin iletim bandındaki bir elektronun E enerjisi 2.2.1 eĢitliği ile verilmektedir. O halde, iletim bandındaki elektron konsantrasyonu artık hesaplanabilmektedir. g(E) durum yoğunluğunu göstermek üzere, E ile E+dE arasında bulunan durumların sayısı g(E) dE olur. Bu durumların her biri bir f(E) iĢgal edilebilme ihtimaline sahip olduğuna göre, dE enerji aralığında gerçekten bulunan elektronların sayısı,
e e
dn f E g E dE 2.7.3
ile ve iletim bandının birim hacminde bulunan elektronların sayısı,
g e e E n f E g E dE
2.7.4Ġle verilir. Burada integralin üst sınırı, iletim bandının üst sınırı olması gerekirken; bandın dıĢında fe
E 0 olduğundan, sonsuz alınmıĢtır. Değerlik ve iletim bantlarının sınırları Ģekil 2.7.1’de gösterilmektedir. Standart band yapısına uygun olarak, elektronlar için durum yoğunluğu
3 2
1 2 2 2 2 1 2 e e g m g E E E 2.7.5ġeklinde ifade edilir. Burada enerjinin sıfırı değerlik bandının tepesinde seçilmiĢtir. Denklem 2.7.5 ile verilen ge
E ifadesi E<Eg için tanımlı değildir ve sadece E>Eg içinsonlu kalır, ġekil 2.7.1.c’ de görüldüğü gibi.
ġekil 2.9. a) Ġletim ve değerlik bantları, b) Dağılım fonksiyonu, c) Elektronlar ve boĢluklar için durum yoğunlukları
fe(E) ve ge(E) için, sırasıyla 2.7.2 ve 2.7.5 eĢitlikleri 2.7.4’de yerlerine yazılarak;
3 2 / 2 2 2 1 2 F B E k T e m n e dE 2.7.6
elde edilen bu 2.7.6 eĢitliğinde g , B E E x k T B dE dx k T ve dEk TdxB Ģeklinde tanımlayıp ve gerekli iĢlemleri yapıldıktan sonra,
3 2 1 2 2 2 0 2 1 2 F g B E E k T x e B m k T n e x e dx
2.7.7 elde edilir. 1 2 0 2 x x e dx
3 2 3 2 15 3 2 3 2 2 1 4.38 10 / 4 e B e e m k T n x m m T cm 2.7.8sonucunu elde etmiĢ oluruz. Bu ise bize oda sıcaklığı için, me m olduğunda ne’ nin
değerinin yaklaĢık olarak 19 3
2.5 10 / e
n x cm değerinde olabileceğini gösterir.
2.8. BoĢluk (Hole) Konsantrasyonu
BoĢluklar, dolu değerlik bandından elektronların sökülmesi sonucu ortaya çıktığından,
1
h e
f E f E 2.8.1
olur. Bu eĢitlikte, denklem 2.5.5 kullanılarak
1 1 F B h E E k T f E e 2.8.2bulunur. için 2.8.2 eĢitliğinden;
EF E k TB h
f E e 2.8.3
elde edilir. Elektron konsantrasyonuna benzer Ģekilde, değerlik bandının birim hacmindeki boĢlukların sayısı
0 h h P f E g E dE
2.8.4bağıntısından hesaplanır. Değerlik bandının tepesi civarındaki boĢluklar Ģekil 2.2.a’da etkin kütleli parçacıklar olarak davranacağından, boĢluklar için durum yoğunluğu fonksiyonu,
3 2
1 2 2 2 2 1 2 h h m g E E h 2.8.5ile verilir. Burada, sıfır enerji seviyesinin değerlik bandının tepesinde seçildiği hatırlanırsa, nin tanımlı olduğu görülür. ve için, sırasıyla 2.8.3
ve 2.8.5 eĢitlikleri alınıp 2.8.4’de yerine yazılırsa, boĢluk konsantrasyonu;
3 2 0 1 2 / / 2 2 2 1 2 f B B E k T E k T h m P e E e dE h
2.8.6olur. ve ise dy seçilerek ve elektron konsantrasyonu hesaplanırken kullanılan integral formülü yardımıyla
/ f B E k T h PP e 2.8.7 bulunur. Burada
3 2 3 2 15 3/ 2 3 2 2 1 4.32 10 / 4 h B h h m k T P x m m T cm h 2.8.8 dür.2.9 Ġletim Bandındaki Hole Konsantrasyonu
Önceki bilgilere dayanarak, iletim bandındaki elektron konsantrasyonu’ nu Ģu Ģekilde,
kap C E E n
f E g E dE 2.9.1
3 2
1 2 2 2 4 e c m g E dE E E dE h EEc için 2.9.2denklemini hatırlayarak ifade edersek ve Ekap= iletim bandının tepesindeki enerji ifade
etmekte olup, denklem 2.9.2 ve 2.4.1 denklemlerini denklem 2.9.1’de yerine yazıp gerekli ara iĢlemleri yaptığımızda denklem,
2
3 2
1 2 4 2 / 1 exp kap C E e C F E m h E E n dE E E kT
2.9.3elde edilir. Bununla birlikte bu denklemi analitik bir Ģekilde çözmek çok zor olduğu için, Ģu yaklaĢımları geliĢtirilmiĢtir.
1) Farz edelim ki (E = E )C f 3kT olsun. Burada kT oda sıcaklığında 0.026 eV olduğu için, bu normal katkı seviyesi için genellikle iyi bir yaklaĢımdır. Bunu kullanarak, iletim bandındaki her E enerji düzeyinde (E- E )f 3kTiçin, denklem 2.4.1 gösterilen f(E) ye f E( )exp
EEf /kT
karĢılık gelmektedir. Diğer bir değiĢle, Fermi-Dirac dağılımına Boltzman dağılımı ile yaklaĢılabilir. Yinede, yarıiletken aĢırı zarar görmüĢse (dejenere olmuĢsa), Ef, Ec’ ye çok yakındır ve buyaklaĢım geçerli olmadığı unutulmamalıdır.
2) Genellikle, iletim bandının geniĢliği birkaç elektron volt dur. Buna karĢın iletim
bandındaki çoğu elektron, Ec sınırında kalmıĢtır. Çünkü Ec üstündeki enerjiler için,
elektronlar çok çabuk bir Ģekilde 0’ a yaklaĢmaktadır. Denklem 2.7.3’teki entegrasyon üst sınırı herhangi bir doğruluk kaybı olmadan ∞ ile değiĢtirilebilir. Bu yüzden, denklem 2.7.3 Ģu Ģekilde değiĢebilir.
3 2 1 2 2 2 4 exp C e F C E m E E n E E dE h kT
43 (2 )3 2exp
1 2exp C C F C e C E E E E E m E E dE h kT kT
2.7.4Denklem 2.7.4’ün çözümü ise aĢağıdaki gibidir.
exp F C E E n N kT 2.7.5
Burada N =2 2c
kTme/h2
3 2 ve iletim bandındaki aĢırı yoğun durum olarak adlandırılmaktadır. Nckavramı Ģu Ģekilde de açıklanabilir. Denklem 2.7.5’den n’ ninifadesi nNcf E( c)Ģeklinde olduğu görülür. Böylece, eğer iletim bandındaki bütün durumlar belirli bir enerji düzeyinde E = EC tutulursa, N , Ec C de var olması için
gereken durumların sayısını simgeler. Sonuç olarak Nc’ yi elektron doluluğu ihtimali ile
çarparsak, iletim bandındaki elektron sayısını buluruz. Yinede E=EC deki durumların
gerçek yoğunluğunun sıfır ve aĢırı yoğunluk kavramının sadece bize Fermi düzeyi ve iletim bant kenarı arasındaki ayrım noktasında elektron konsantrasyonu için basit bir ifade sağlanmasına yardımcı olduğu unutulmamalıdır. Burada Nc’ nin m’ye bağlı
olduğu için, değeri materyalden materyale değiĢiklik göstermektedir.
2.10. Valans Bandındaki Hole Konsantrasyonu
Valans banttaki hole konsantrasyonunu hesaplamak için (fh) valans bandında yer
kaplayan hole ün olasılığı aslında bulunmama olasılığıdır, yada fh
E 1 f E
dir. Böylece, denklem 2.4.1’de yerine yazılırsa;exp 1 ( ) 1 ( ) 1 exp 1 exp F h F F E E kT f E f E E E E E kT kT 2.10.1
Ģekline döner ve valans banttaki hole konsantrasyonu Ģu Ģekilde yazılabilir,
V bot E h E p
f E g E dE 2.10.2Burada; Ehx valans bandın hemen altındaki enerji seviyesine karĢılık gelen enerjidir.
Daha önce bildiklerimizden
EfEv
3kT , buradan da valans bant için Ģunu elde ederiz fh
E exp
EF E
/kT ve buradan da Ebot ile -∞’ u yer değiĢtirdiğimizdeĢunu elde ederiz.
3 2 1 2 2 2 4 exp v E h F V m E E P E E dE h kT
3 2 1 2 3 2 2 4 exp exp v E h F F V m E E E E E E dE h h kT kT
2.10.3Denklem 2.10.3’den, termal denklemde valans bandındaki hole konsantrasyonunu Ģöyle elde ederiz. exp F V E E P N kT 2.10.4
Burada NV 2 2
kTmh/h2
3 2 olup, valans bandında aĢırı yoğun durumu ifade etmektedir. Denklem 2.10.4’den P’ nin PN fv x
Ev olduğunu görebiliriz; böylece Nv,Ev’ de olması gereken durumların sayısını ifade eder. Bu yüzden de E = Ev’ deki boĢluk
olasılığıyla çarptığımızda, valans banttaki hole sayısını elde ederiz. Nc ve Nv’ nin
ifadesinden her ikisinin de sıcaklıkla arttığı görülebilir. Ayrıca, me ve mk aynı değere sahip değildir (Aynı seviyede sahip olmalarına rağmen). Özel bir yarıiletken için verilen bir sıcaklıkta, Nc ve Nv sabittir. Örneğin oda sıcaklığında, (300 K)’ da silikon için bu değer Nc için 2.8 x 1019
cm3 ve Nv için 1.02 x 1019 cm3 dür. Ayrıca Germanyum için hole konsantrasyonun sıcaklığa bağlı grafikle gösterimi aĢağıdaki gibidir.
ġekil 2.10. Germanyum (Ge) için deneysel sıcaklık hole konsantrasyon grafiği (http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/semicond/Ge/bandstr.html)
2.11. Fermi-Dirac Ġntegrali ve Çözümü
Yarıiletken problemlerin çözümünde genellikle Fermi-Dirac integralleri kullanılır. Bu yüzden bu integrallerin temelini anlamak gerekmektedir. Bu amaçla Fermi-Dirac integralleri ve özellikleri hakkında bazı temel bilgiler elde etmeye çalıĢalım. Buradan göreceğiz ki bir bilgisayarda birim hacimdeki denge elektron konsantrasyonu için denklemlerin nasıl çalıĢtığını görmek için ve üç boyutlu yarıiletken için bir parabolik iletim bandı ifadesi,
0
/ 1 E EF kT Ec Ec g E dE n g E f E dE e
2.11.1ile verilip burada g(E) durum yoğunluğu, f0(E) fermi fonksiyonu ve Ec ise iletim
3 2 3 2 3 2 2 D m g E E Ec 2.11.2Bu denklem 2.11.1’de yerine yazılarak,
3 2 2 3 / 2 2 1 E EF kT Ec m E Ecd n e
2.11.3 Buradan da;
E Ec
/kT 2.11.4DeğiĢimi yapılarak denklem 2.11.3,
3 2 1 2 2 3 0 2 2 1 F B m k T d n e
2.11.5Ģekline döner. Burada yeni bir tanım yaparsak;
/ F EF Ec k TB 2.11.6
Bu parametreleri birleĢtirirsek elektron konsantrasyonunu Ģu Ģekilde ifade edebiliriz.
0 3 1 2 2 D F n N F 2.11.7 Burada, 3 2 3 2 2 2 B D m k T N h 2.11.8etkili durum yoğunluğu diye adlandırılır ve
1 2 1 2 01 exp F F d F
2.11.9Ģeklinde ifade edilir. Bunun haricinde bir diğer integral olan Fermi-Dirac 1 2 integralidir. Bu integral sadece sayısal olarak yapılabilir. Burada iletim bandı sınırında bir Fermi seviyesi olup F’ ye bağlı bir değer olduğunu unutmayalım. Bunu daha iyi tanımlayan integral ise,
12
1 2 0 2 1 exp F F F d
2.11.10olup burada denklem 2.11.7’yi kullanırsak;
3D 1 2 F
nN F 2.11.11
olur. Burada Fermi-Dirac integralinin yalancı Fermi- Dirac integrali yada orijinal Fermi- Dirac integrali olup olmadığı önemlidir. Fermi-Dirac integrallerinin pek çok türü vardır. Örneğin iki boyutlu durum yoğunluğu için,
2D 2 m g E 2.11.12olarak ifade ederiz ve biz buradan üç boyutlu için kullandığımız süreci takip ederek tek boyutlu bir alanda elektron yoğunluğuna uygularsak,
2 0 s D F n N F 2.11.13 burada, 2 2 B D m k T N 2.11.1ve
0
0 0 ln 1 1 F F F d F e e
2.11.15olur. Böylece Fermi-Dirac integralleri 0 için analitik integraller olabilir. Sonuçta tek boyutlu durum yoğunluğu için,
1 2 1 D m g E E Ec 2.11.16ve birim uzunluktaki denge elektron yoğunluğu ise,
1 1 2 L D F n N F 2.11.17 burada, 1 2 1 B D m k T N 2.11.18 ve
1 2 1 2 0 1 1 F F d F e
2.11.193. MATERYAL ve METOT
Bilindiği üzere elektronların pek çok davranıĢı kuantum istatistiksel yaklaĢımlarla açıklanabilmektedir. Spini 1 2 olan parçacıklar (elektron, proton ve nötron) fermiyonlar olarak adlandırılıp, bu parçacıkların davranıĢları Fermi-Dirac istatistiği ile incelenmektedir. Bir kuantum istatiksel yaklaĢım olan Fermi-Dirac (FD) fonksiyonunun çözümünden elde edilen sonuçlar malzemelerdeki elektron yoğunluğu, toplam enerji veya manyetik moment gibi pek çok özelliğin teorik olarak elde edilmesine imkan sağlamaktadır. Literatürde bu fonksiyonun çözümü için farklı metotlar kullanılmıĢtır (Abidi and Mohammad, 1984; Lukyanov, 1995; Sommerfeld,1928; Glasser, 1964; Selvakumar, 1982; Kiess, 1987; Gong, 1991; Sagar, 1991; Goano, 1993). Ancak FD fonksiyonlarının çözümü için basit analitik ifadeler elde edilememiĢtir. Yaptığımız bu çalıĢmada, yarıiletken malzemelerin değerlik bandındaki hole konsantrasyonlarının hesaplanmasında kullanılan FD fonksiyonu için daha farklı formüller kullanarak analitik bir ifade türetmektir. FD yaklaĢımına göre değerlik (valans) bandındaki deliklerin (hole) bulunma olasılığı fh(E) = 1- f(E) Ģeklinde ifade edilir. Burada fh(E) ve f(E) sırasıyla
boĢlukların ve elektronların E enerjili seviyede bulunma ihtimalleridir. Buradan yola çıkarak boĢlukların değerlik bandındaki hole konsantrasyonu (p) aĢağıdaki eĢitlikle ifade edilebilir.
v bot E h E p
f E g E dE 3.1Yukarıda (3.1) denklemi ile ifade edilen integralin çözümü çoğu zaman oldukça zordur. Bu nedenle integralin çözümü için daha basit analitik ifadeler elde etmek gerekmektedir (Dasgupta ve Dasgupta, 2004). Ayrıca son zamanlarda yapılan çalıĢmalarda binomial açılım teoremi kullanılarak Fermi-Dirac (FD) fonksiyonları bilinen hipergeometrik fonksiyonlar ve Bernoilli sayıları kullanılarak ifade edilmiĢtir (Garoni ve ark., 2001; Lether, 2001; Rzadkowski and Lepkowski, 2008; Gradshteyn and Ryzhik, 1980; Askerov ve ark., 2005; 2008. Fermi-Dirac fonksiyonunun tüm parametrelerin de geçerli
olan ve Maxwell integrallerinden yararlanarak daha yeni ve basit bir analitik formül oluĢturmaktır.
Kullanımı çok fazla olan FD fonksiyonları için yeni formüllerin elde edilmesi, katıhal fiziği, nükleer fizik ve astrofizik gibi çeĢitli branĢlarda pek çok problemin çözülebilmesine imkan sağlayacağından dolayı önemlidir.
Bu tez çalıĢmamızda bazı yarıiletkenlerin değerlik bandındaki hole konsantrasyonunun hesaplanmasında kullanılacak FD fonksiyonunun çözülebilmesi için bu çalıĢmada kullandığımız analitik ifadeler aĢağıda belirtilmiĢtir.
1 2 / 0 y kT I y e dy
3.2EĢitlik 3.2’de Ev x y ve dx dy dönüĢümü yapılırsa;
1 2
, , exp / v E v v v I E k T E x E x kT dx
3.3olur ve burada da,
v a E b kT dönüĢümü yapılırsa;
1 2 / 3 2 0 1 , , 2 y kT v I E k T y e b
3.4sonucu elde edilir. Buradan da hole konsantrasyonu
3 2 , 2 2 4 h , v m P I E k T 3.5Ģeklinde elde etmiĢ oluruz. Bu bulduğumuz 3.4 denklemindeki 3 2 2 2 4 mh ifadesi
integrasyondan gelen sabittir. Ayrıca oluĢturduğumuz 3.5 denkleminin Mathematica 7.0 programında hesaplama için yazılmıĢ ifadesi ise,
3 3 3 2 2 2 1 3 , 2 , , 1 1 1 2 a b v a Erf a Gamma b b I E k T abe b b b 3.6 Ģeklindedir.Sonuç olarak bulduğumuz 3.6 analitik denklemini Mathematica 7.0 programını kullanarak Germanyum (Ge), Silisyum (Si) ve (GeAs) Germanyum Arsenik gibi yarıiletkenlerin valans bandındaki Hole konsantrasyonunu (0-300 K için) hesabı yapılmıĢtır. Hesaplanan sonuçlar literatürdeki deneysel ve teorik sonuçlarla karĢılaĢtırılmıĢ, birbirine yakın ve uyum içinde olduğu görülmüĢtür. Bu hesaplamalarda bulunan sonuçlar ile literatür taramalarında bulunan (300 K değeri için) sonuçlar 4. Bölümde grafikler ve çizelgeler halinde sunulmuĢtur.
4. BULGULAR
Bu bölümde, Bölüm 2’ den yararlanarak elde ettiğimiz Bölüm 3’ deki integrasyonları Mathematica 7.0 programında kullanarak saf ve bileĢik yarıiletkenler için hole konsantrasyonları hesaplanmıĢ olup çizelge 4.1, çizelge 4.2 ve çizelge 4.3’de literatürden bulunan sonuçlar bir arada gösterilmiĢtir. Ayrıca çizelge 4.4’de literatürden bulunan diğer bazı yarıiletkenler için (Ġndiyum Arsenik, silikon ve Ġndiyum Fosfor) hole konsantrasyon ve enerji değerleri bilgi sahibi olmak amacıyla tablo halinde sunulmuĢtur.
Çizelge 4.1. Germanyum (Ge) için yapılan hesaplama tablosu
Ge T (K) Ev (J) P=n (cm-3) Mh=0.37me (kg)
http//inst.eecs.berkeley.edu 300 1.152x10-19 2.5x1013 3.370x10-31
Bu çalıĢma 300 1.152x10-19 2.242x1013 3.370x10-31
Çizelge 4.2. Silisyum (Si) için yapılan hesaplama tablosu
Si T (K) Ev (J) P=n (cm-3) Mh=0.56me (kg)
http//inst.eecs.berkeley.edu 300 1.70x10-19 1.6x1010 5.101x10-31
Çizelge 4.3 Germanyum Arsenik (GeAs) için yapılan hesaplama tablosu
Çizelge 4.4. 300 K de bazı yarıiletkenlerin Enerji ve hole konsantrasyon değerleri (Semiconductor Devices Moddelling and Techhonology Nandita Dasgupta)
Yarıiletken Ev (j) P=n (cm-3) Ġndiyum Arsenik 0.56x10-19 1.3 x1015 Silikon 1.792x10-19 1.5 x1010 Ġndiyum Fosfor 2.144x10-19 1.2 x108 GeAs T (K) Ev (J) P=n (cm-3) Mh=0.45me (kg) Semiconductor Devices Moddelling and Techhonology Nandita Dasgupta 300 2.272x10-19 1.80x106 4.099x10-31 Bu çalıĢma 300 2.272x10-19 1.93x106 4.099x10-31
ġekil 4.1. Germanyumun için yapılan bazı deneysel ve teorik olarak hesaplanan hole konsantrasyonun sıcaklıkla değiĢimi
Yaptığımız bu teorik çalıĢmada Germanyum Hole konsantrasyonu için 10 K den 300 K’ ya kadar sıcaklık değiĢimini grafiksel sonucu Ģekil 4.1’ de gösterildiği gibi elde edilmiĢtir.
5. SONUÇ ve TARTIġMA
Bu çalıĢmada yapmaya çalıĢtığımız tez konumuzun gereği Fermi-Dirac yaklaĢımını anlamak ve FD integrallerin’ den yola çıkarak daha basit bir integrasyon elde ederek Hole konsantrasyonu için daha basit ve kullanıĢlı bir formül elde edebilmekti. Böyle bir integrasyon, 3. Bölümde ayrıntıları verilmiĢ olup Denklem 3.8 ile Hole konsantrasyonu hesaplanmıĢtır. Elde edilen sonuçlar çizelge 4.1, çizelge 4.2 ve çizelge 4.3’de verilmiĢtir. Bu sonuçların doğruluğunun kontrol edilmesi 4. Bölümde ayrıntılı olarak sunulmuĢtur. Literatürde bu tür hesaplamalardan elde edilen sonuçların az olması ġekil 4.1’de görüldüğü gibi yapacağımız karĢılaĢtırmaları kısıtlamaktadır. ġekil 4’te elde ettiğimiz sonuçlar deneysel veri ve aynı Ģekil içerisinde verilen diğer bir teorik veri ile karĢılaĢtırılmıĢtır. ġekil 4’den de anlaĢılacağı gibi yaptığımız hesaplamanın diğer hesaplamamalarla oldukça iyi uyum içersinde olduğu görülmüĢtür.
Sonuç olarak yaptığımız çalıĢmada daha basit integrasyonla yaklaĢık sonuçları elde edebileceğimizi görebilmekteyiz.
KAYNAKLAR
Abidi, S.T. ve Noor Mohammad, S., 1984. J. Appl. Phys., 56, 3341.
Ameresekera, A. ve Duvvury, C., ESD in Silicon Integrated Circuits, Second Edition, New York, John WĠLEY and Sons, 2002. ISBN 0-471-49871-8.
Anderson, E. E. (çeviren: Dr. Selma Karaali), Katıhal Fiziğine GiriĢ, Ege Üniv. Fen Fak. Yayınları No:59, 1981, Bornova.
Aparicio, J. M., 1998 Astrophys. J. Suppl. Ser. 117-627.
Ashcroft, N.W. ve Mermin, N.D.,1976. Solid State Physics. Philadelphia, Saunders College.
Askerov, B.M., Figarova SR, Makhmudov MM, et al.,2008. Proceedıngs of The Royal Society A-Mathematical Physical And Engineering Sciences, 464(2100), 3213. Askerov, B.M.,Termodinamika and Statistik Fizika, 2005.
Banuelos, A., Depine, R. A. ve Mancini, R. C., 1981. J. Math Phys., 22, 452. Barrett, C. S. ve Massalski, T. B., Structure of Metals, McGraw-Hill, Inc., 1966.
Bednarczyk, D. ve Bednarczyk, J. 1978. The approximation of the Fermi-Dirac integral F1/2. Physics Letters A. 64, p 409-410
Beer, A.C., Chase, M.N. ve Choquard, P.F. 1955. Extension of McDougall-Stoner tables of the Fermi-Dirac functions, Helvetica Physica Acta, 28, p 529-42. Beni, G., ve JShay, L., 1978. Appl. Phys. Lett., 33, (2) 208-210.
Bhagat, V., Bhattacharya, R. ve Roy, D., 1003. Comput. Phys. Commun. 155, 7. Blakemore, J. S., 1962. Semiconductor Statistics (New York: Pergamon) p 234 Blakemore, J. S., 1982. Solid-State Electron. 25, 1067
Bohr, A. ve Mottelson, B. 1969. Nuclear Structure Phys., New York, Benjamin 17, 1093.
Cham, K.M., Oh, S.-Y., Chin, D. ve Moll, J.L., Computer-Aided Design and VLSI Device Development, Kluwer Academic Publishers (KAP), 1986. ISBN 0-89838-204-1.
Chandrasekhar., S., 1939. An Introduction to the Study of Stellar Structure (New York: Dover) p 178.
Chang, T. Y. ve Izabelle, A., 1989. J. Appl. Phys., 65, 2162.
Christman, J. R. Fundamentals of Slolid State Physics, John Wiley and Sons, 1988. USA.
Clayton, D. D., 1968. Principles of Steller Evolution and Nucleosyn-thesis (New York: McGraw-Hill) p247.
Cong, H. V. ve Doan-Khanh, B., 1992. Solid-State Electron., 35, 949.
Cottrell, P. E. ve Buturla, E. M., 1979. Two-dimensional static and transient simulation of mobile carrier transport in a semiconductor, Proceedings NASECODE I (Numerical Analysis of Semiconductor Devices), Boole Press, 31-64.
Dabral, S. ve Maloney, T.J., Basic ESD and I/O design, New York, John Wiley and sons, 1998. ISBN 0-471-25359-6.
Dasgupta, N. ve Dasgupta, A., 2004. Semiconductor Devices: Modelling and Technology, (Prentice Hall of India Private Limited, New Delhi)
DeMan, H.J. ve Mertens, R.,SITCAP-A Simulator for bipolar transistors for comyuter-aided circuit analysis programs, Intermatiınal Solid-State Circuits Conference (ISSCC), Technical Digest, p. 104-5, February, 1973.
Dennard, R.H. Gaensslen, F.H., Yu, H.N. V.L. Rodeout, Bassous E. ve LeBlanc, A.R., Design of ion-implanted MOSFETs with very small physical dimensions, IEEE Jour. Solid-State Circuits, vol. SC-9, p.256-268, October, 1974.
Devvury, C. ve Ameresekera, A., 1993. ESD: a pervasive reliability concern for IC Technologies, Proc. IEEE, vo. 81, pp. 690-702.
Didonato, A. R. ve Morris, Jr A. H., 1987. ACM Trans. Math. Software 13 318. Dikici, M., 1993. Katıhal Fiziğine GiriĢ, Ondokuz Mayıs Üniv. Eğitim Fak., Samsun. Dingle, R. B., 1956. The Bose-Einstein integrals J. Appl. Res. B. 6, 225.
Durlu, T. N. Katıhal Fiziğine GiriĢ, Ġkinci Baskı, Set Ofset Ltd., 1992. Ankara.
Dutton, R.W. Modeling ve simulation for VLSI, International Electron Devices Meeting (IEDM), Technical Digest, p. 2-7, December, 1986.
Dutton, R.W. ve Hansen, S.E., 1981. Process modeling of integrated circuit device technology, Proceedings of the IEEE, 69, (10), 1305-1320.
Dutton, R.W. ve Strojwas, A.J., 2000. Perspectives on technology and technology-driven CAD, IEEE Trans. CAD-ICAS, 19, (12), 1544–1560.
Duvvury, C. ve Amerasekea, A., 1993. ESD: a pervasive reliability concern for IC Technologies, Proc. IEEE, vo. 81, p. 690-702.
Ell, C., Blank, R., Benner, S. ve Haung, H., 1989. J. Opt. Soc. Am. B., 6, 2006. Elton, L. R. B., 1961. Nuclear Sizes (New Yark: Oxford University Press) p 65.
Fernandez, Velica F. J., 1984. Phys. Rev. A. 30 1194. Fujiwara, T. A. Osborn, ve S. F. T. Wilk, Phys. Rev. A. 25, 14 1982. F. J. Fernandez Velica, Phys. Rev. A 30, . L. B. Cooper, Philos. 1194.1984. 111.
Fullerton, L. W., ve Rinker, G. A. 1986. Comput. Phys. Commun., 39, 181. Garoni, T. M., Frankel, N. E. ve Glasser, M. L. 2001. J. Math. Phys., 42, 1860. Gasiorowicz, S., Quantum Physics, John Wiley ve Sons, Inc., 1974.
Gautschi, W., 1979. ACM Trans. Math. Sofware 5 482.
Goano, M., 1993. Solid-State Electron. 36 217. Cong H V ve Doan-Khanh B 1992. Solid-State Electron. 35 949. 44, Goano M. 1993 Solid-State Electron. 36 217. 45 Smith A. W. ve Rohatgi A. 1993. J. Appl.
Gong, Z., Dappen W. ve Zejda L., 2001. Astrophys. J. 546 1178.
Gong, Z., Zejda L., Dappen W. ve Aparicio J. M., 2001. arXiv:astro-ph/0102329. Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M., 1980. Tables of Integrals, Sums, Series and Products,
4th edn. (Academic Press, New York).
Grypeos, M. E., Lalazissis S. A., Mossen S. E. ve Panos C. P. 1991 J. Phys. G.:Nuc. Part. Phys. 17 1093.
Grypeos, M., Koutroulos C., Lukyanov V. ve Shebeko A., 1998. J. Phys. G: Nuc. Part. Phys. 24 1913.
Guseinov, I. I. ve Mamedov, B. A., 2004. J. Math. Chem. 36. 341. I.I. Guseinov ve B.A. Mamedov, J. Math. Chem., 36, 341.
Guseinov, I. I. ve Mamedov, B. A., 2005. J. Math. Chem., 38, 311. Guseinov, I. I. ve Mamedov, B. A., 2006. JQSRT 102 251.
Guseinov, I. I. ve Mamedov, B. A., 2010. Chin. Phys. B 19 (5), 050501. Hite, D., Boykin, T. B., Singh, N. ve Shen, D. 2005. Am. J. Phys., 73, 856.
Hook, J. R. ve Hall H. E., Solid State Physics, Second Edition, John Wiley ve Sons, 1991. England.
Hook, J.R., ve Hall, H.E., Solid State Physics, Second Edition, Wiley, J. ve Sons, 1991. http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/semicond/Ge/bandstr.html.
Hubbard, W. B., ve Lampe, M., 1969. Astrophys. J. Suppl. Ser., 18, 297. Johnson, V. A. ve Shipley, F. M., 1953. Phys. Rev., 90, 523.
Joyce, W. B. 1973. Appl. Phys. Lett, 32, (10) 680-681.
Joyce, W. B. ve Dixon, R. W., 1977. Appl. Phys. Lett., 31, 354.
Kittel, C., Introduction to Solid State Physics, Fifth Edition, John Wiley ve Sons, Inc., New York, 1976.
Lampe, M., 1968. Phys. Rev. 170, 306. California Lawrence Radiation Laboratory Report No. UCRL-71148, 1968. (unpublished)
Li, G. Q., Shi J. Q. ve Gao Q. 1990. Nucl. Phys. A 515 273.
Lipson, H. ve Cochran, W., The Determination of Crystal Structures, G. Bell ve Sons Ltd.
Loss, D. ve Schoeller H., 1989. J. Stat. Phys., 54, 765.
Lukyanov, V. K., 1995. J. Phys. G: Nuc. Part. Phys., 21, 145.
Mamedov B. A., 2005. JQSRT 94 507., Evaluation of generalized exponential integral function using binomial expansion theorems, 507–514.
Mamedov, B. A., 2008. Accurate evaluation of integrals arising from the bulk electron densities in quantum wells of high electron mobility transistors. Comput. Phys. Commun. 178, 673-675.
Marshak, A. H., Shibib M. A., Fossum J. G. ve Lindholm F. A., 1981. IEEE. Trans. Electron Devices ED-28 293.
McDougall, J. ve Stoner E. C., 1938. Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A. 237 67. Michele, G., 1995. Computation of the complete and incomplete Fermi-Dirac integral,
ACM Tras. Math. Softw., p 221,232.
Mohankumar, N. ve Natarajan A., 1996. Astrophys. J., 458, 233.
Mohankumar, N., Kannan T. ve Kanmani S., 2005. Comput. Phys. Commun. 168, 71. Ohsugi, I. J., Kojima T. ve Nishida I. 1988. J. Appl. Phys. 63, 5179.
Omar, M. A., Elementary Solid State Physics, Addison – Wesley Publishing Company, 1975, London.
Pinto, M.R. ve Dutton, R.W., 1985. Accurate trigger condition analysis for CMOS latchup, IEEE Electron Device Letters, EDL-6, (2).
Rafferty, C.S., Pinto, M.R. ve Dutton, R.W., 1985. Iterative methods in semiconductor device simulation, IEEE Trans. Elec. Dev., 32, p.2018-2027.
Reser , B. I., 1996. J. Phys., 1996. Condens. Matter 8, 3151. J. Phys.: Condens. Matter 8 3151–3160. Printed in the UK. Numerical method for calculation of the Fermi integrals.
Rhodes, P., 1950. Prog. R. Soc. London Ser. A. 204 396. Wu, Z. Q, Li, S. C. ve Han, G. X. 1996. JQSRT 56 623. Wilson, B. G. ve Chen, M. H., 1999. JQSRT 61. 813. Rzadkowski, G. ve Lepkowski S., 2008. J. Sci. Comput. 35, 63.
Selberherr, S.W. Fichtner, ve Potzl, H.W. 1979. Minimos--a program package to facilitate MOS device design and analysis, Proceedings NASECODE I (Numerical Analysis of Semiconductor Devices), p. 275-79, Boole Press.
Selvakumar, C. R., 1982. Proc. IEEE (70), 516. Approximations to Fermi-Dirac Integrals and Their Use in Device Analysis. Proceedings of the IEEE, p 516-518. Smallman, R. E., 1970. Modern Physical Metallurgy, Butterworth ve Co. Ltd.
Smith, A. W. ve Rohatgi A., 1993. J. Appl. Phys. 73, 7030. Uehling, E. A. ve Uhlenbeck G., 1933. Phys. Rev. Lett. 43, 552.
Wilson, B G ve Chen, M. H. 1999. JQSRT 61 813. Lampe M., 1968. Phys. Rev. 170 306. Lampe, M. 1968. Phys .
ÖZGEÇMĠġ
KiĢisel Bilgiler:
Adı Soyadı : Cengiz TEMĠZ Doğum Tarihi ve Yeri : 10.08.1980 / Erbaa Medeni Hali : Evli
Yabancı Dili : Ġngilizce Telefon : 0505 492 90 97 e-mail : [email protected] Eğitim: ĠĢ Deneyimi
Derece Eğitim Birimi Mezuniyet
Tarihi
Yüksek Lisans GaziosmanpaĢa Üniversitesi
-Lisans Karadeniz Teknik Üniversitesi 2004
Lise Erbaa Coskun Önder Lisesi 1998
Yıl Yer Görev
2005-2007 Ankara Dershanesi-Tokat Fizik Öğretmeni
2007-2008 Ankara Dershanesi-Tokat Müdür Yrd.
