Test 53 Kombinasyon

– 343 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 53 Çözümler

KOMBİNASYON

1.

Bilgi:

n tane eleman içerisinde r tane seçilmesine n

r

f p

kom-binasyonu adı verilir.

( )! ! ! n r n r r n $ = -f p ile hesaplanır. Örneğin; ( )! ! ! 7 2 7 2 2 7 $ = -f p

ile hesaplanabilirken daha pratik olarak şöyle hesap-lanabilir:

7 2

f p kombinasyonu kısaca 7 ifadesi aşağıdaki sayı

kadar (yani 2 kez) açılır paya yazılır. 2 ifadesi de 1 e kadar açılarak paydaya yazılır.

. dir 7 2 7 6 2 1 21 kez 2 $ $ = = f p C Örneğin; . › d r 2 1 7 6 3 8 3 8 ₅₆ kez 3 $ $ $ $ = = f p H • n . r n n r dir = -f p f p Örneğin; . dir 12 10 12 12 10 12 2 = - = f p f p f p

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; • Kırtasiyedeki 10 kalemden 2 si seçileceğinden

10 2

f p ile

• Kırtasiyedeki 4 silgiden 1 i seçileceğinden 4

1

f p ile

bulunur.

O hâlde 2 kalem ve 1 silgi,

. bulunur 10 1 4 1 2 10 9 1 4 45 4 180 5 $ $ $ $ $ = = = 2 f p pf Cevap: B

2.

• 6 papatyadan 4 ü kullanılacağından 6 4 6 2 = f p f p ile • 5 karanfilden 2 si kullanılacağından 5 2 f p ile hesaplanır. Buna göre, 4 papatya ve 2 karanfilden oluşan bir demet,

. bulunur 6 2 1 5 1 5 2 2 6 2 5 4 15 10 150 3 2 $ $ $ $ $ $ $ = = = f fp p Cevap: A

3.

12 kişi arasından oluşturulacak 5 kişilik takıma

gire-cek 2 kişi belli ise, geriye kalan 12 – 2 = 10 kişi ara-sından 5 – 2 = 3 kişinin seçilmesi gerekir. Buna göre, bu seçim,

› ç fl .

farkl bi imde olu turulur 10 2 1 3 10 9 8 120 3 4 $ $ $ $ = = 3 f p Cevap: D

4.

• Merve grupta olacağından seçilecek 4 – 1 = 3

kişi kalacaktır.

• 10 kişilik grupta Merve grupta olacağından ve Nuran da olmayacağından seçim yapılacak 10 – 2 = 8 kişi kalacaktır.

Bu durumda, Merve’nin bulunup Nuran’ın bulunma-dığı grup,

ç › .

farkl se im yap labilir 3 2 1 8 3 8 7 6 56 › $ $ $ $ = = f p Cevap: B

5.

• 8 öğrenciden 3 kişilik ekip 8

3

f p ile

• Seçilen 3 kişiden 1 başkan 3

1

f p ile

hesaplanır. Buna göre, 8 öğrenci arasından 3 kişilik bir ekip ve bu ekipten 1 başkan,

fl ç .

farkl ekilde se ilir

8 3 3 2 1 8 7 6 168 3 1 1 3 56 3 › $ $ $ $ $ $ $ = = = f fp p Cevap: A

– 344 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 53 Çözümler

KOMBİNASYON

6.

• 12 kişiden 3’ü 4 kişilik asansöre birlikte binmiş

olsun. Bu durumda 4 kişilik asansörde 1 kişilik boş yer, 8 kişilik asansör tamamen boş olur. O hâlde,

Kalan 12 – 3 = 9 kişiden 1 kişi 4 kişilik asansöre 9

1

f p

ile seçilir.

Kalan 9 – 1 = 8 kişiden 8 kişi 8 kişilik asansöre 8

8

f p ile

seçilir.

Buna göre, 12 kişiden 3’ü 4 kişilik asansörle, 9

1 8

8 9

$ =

f fp p farklı şekilde yukarı çıkar.

• 12 kişiden 3’ü 8 kişilik asansöre birlikte binmiş olsun. Bu durumda 8 kişilik asansörde 5 kişilik boş yer, 4 kişilik asansör tamamen boş olur. O hâlde,

Kalan 12 – 3 = 9 kişiden 5 kişi 8 kişilik asansöre 9

5

f p

ile seçilir.

Kalan 9 – 5 = 4 kişiden 4 kişi 4 kişilik asansöre 4

4

f p ile

seçilir.

Buna göre, 12 kişiden 3’ü 8 kişilik asansörle, 9

5 4

4 126

$ =

f fp p farklı şekilde yukarı çıkar.

O hâlde, istenen durum

9 + 126 = 135 farklı şekilde gerçekleşir.

Cevap: B

7.

• 8 kişi arasından 3 kişi 8

3

f p farklı şekilde

seçilebilir.

• Seçilen 3 kişi yuvarlak masa etrafında (3 – 1)! = 2! farklı şekilde oturabilir.

Buna göre, 8 kişi arasından seçilen 3 kişi yuvarlak masa etrafında,

. ( !)

farkl ekilde oturabilir

8 3 3 2 1 8 7 6 56 2 112 2 2 › fl $ $ $ $ $ $ $ = = = f p Cevap: A

8.

6 kişilik gruptakilerin 2 si ehliyetli ise 6 – 2 = 4 ü

ehli-yetsizdir.

Seçilecek kişilerden en az 1 tanesinin ehliyetli olması demek ya 1 kişi ya da 2 kişi ehliyetli olabilir demektir. • Seçilecek 3 kişiden 1 i ehliyetli olacaksa;

" Ehliyetli 2 kişiden 1 i 2

1

f p ile

" Ehliyetsiz 4 kişiden kalan 2 kişi 4

2 f p ile hesaplanır. O hâlde, . dir 2 1 2 1 12 4 2 2 4 32 $ $ $ $ = = f fp p

• Seçilecek 3 kişiden 2 si ehliyetli olacaksa;

" Ehliyetli 2 kişiden 2 si 2

2

f p ile

" Ehliyetsiz 4 kişiden kalan 1 kişi 4

1 f p ile hesaplanır. O hâlde, . ü t r 2 4 2 1 1 4 4 $ = $ = f fp p

Buna göre, seçilecek 3 kişi

12 + 4 = 16 farklı şekilde seçilir.

– 345 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 53 Çözümler

KOMBİNASYON

9.

Öğrenciden ilk 6 sorudan en az 4 tanesini

cevapla-ması isteniyor. Dolayısıyla öğrenci ilk 6 sorudan ya 4 tanesini, ya 5 tanesini ya da 6 tanesini cevaplamalı-dır.

• İlk 6 sorudan 4 tanesini cevaplarsa kalan 10 – 6 = 4 sorudan, 6 – 4 = 2 tanesini cevaplama-sı gerekir. O hâlde, › . d r 6 4 4 2 6 2 4 2 15 6 90 $ $ $ = = = f fp p f fp p

• İlk 6 sorudan 5 tanesini cevaplarsa kalan 10 – 6 = 4 sorudan, 6 – 5 = 1 tanesini cevaplama-sı gerekir. O hâlde, . ü t r 6 4 6 4 5 1 1 1 6 4 24 $ $ $ = = = f fp p f fp p

• İlk 6 sorudan 6 tanesini cevaplarsa kalan 10 – 6 = 4 sorudan, 6 – 6 = 0 tanesini cevaplama-sı gerekir. O hâlde, . dir 6 4 6 0 1 1 1 $ = $ = f fp p

Buna göre, öğrenci cevaplaması gereken 6 soruyu 90 + 24 + 1 = 115 farklı yolla cevaplayabilir.

Cevap: E

10.

4 erkek 5 kişilik grupta olacağından 5 kişilik grupta 1

kişi, 4 kişilik grupta 4 kişi, 3 kişilik grupta 3 kişi eksik-tir. O hâlde,

Kalan 12 – 4 = 8 kişiden 1 kişi 5 kişilik gruba 8

1 =8

f p

şekilde seçilir.

Kalan 8 – 1 = 7 kişiden 4 kişi, 4 kişilik gruba 7

4 =35

f p

şekilde seçilebilir.

Kalan 7 – 4 = 3 kişiden 3 kişi, 3 kişilik gruba 3

3 =1

f p

şekilde seçilebilir. Buna göre, istenen durum

flekilde se ilebilirç . 8 1 7 4 3 3 8 35 1 280 $ $ = $ $ = f f fp p p Cevap: E

11.

• Birinci bölümdeki 4 sorudan 3 ü 4

3 4 1 =

f p f p ile • İkinci bölümdeki 5 sorudan 3 ü

3 5 5 2 = f p f p ile • Üçüncü bölümdeki 6 sorudan 3 ü 6 3 f p ile hesaplanır. Buna göre, her bölümden 3 er soru seçi-lerek 9 soru 4 1 5 2 6 3 4 10 20

800 farkl› test oluflturulur.

$ $ = $ $

=

f f fp p p

– 346 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 53 Çözümler

KOMBİNASYON

12.

Öğrenci 3 dersi seçeceğinden ve aynı saatte iki ders

olduğundan bu dersleri şu şekilde seçebilir:

• Aynı saatte olan derslerden birini seçerse, kalan 2 dersi farklı saatlerde olan 4 dersten seçer.

. dir 2 1 4 2 2 6 12 $ = $ = f fp p

• Aynı saatte olan derslerden hiçbirini seçmezse, 3 filmi farklı saatlerde olan 4 dersten seçer.

. ü t r 2 4 0 3 1 4 4 $ = $ = f fp p

Buna göre, bu öğrenci 3 dersi 12 + 4 = 16 farklı yolla seçebilir.

Cevap: B

13.

Bilgi:

Bir üçgen çizilebilmesi için doğrusal olmayan üç nokta birleştirilmelidir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

I. durum:

Çizilecek üçgen için d1 doğrusunda bulunan 3

nok-tadan seçilen 1 nokta ile, d2 doğrusunda bulunan 5

noktadan seçilen 2 nokta birleştirilmelidir.

. dur 3 1 5 2 3 10 30 $ = $ = f fp p II. durum:

Çizilecek üçgen için d1 doğrusunda bulunan 3

nok-tadan seçilen 2 nokta ile, d2 doğrusunda bulunan 5

noktadan seçilen 1 nokta birleştirilmelidir.

. r ti 3 5 3 2 1 5 15 $ = $ = f fp p

Buna göre, çizilebilecek üçgen sayısı, 30 + 15 = 45 bulunur.

Cevap: B

14.

Var olan 12 noktadan 3 ü seçilerek

üçgen izilirç . 12 3 3 2 1 12 11 10 220 $ $ $ $ = = f p

Ancak noktaların doğrusal olmaması gerekmektedir. Doğrusal olan noktalardan oluşan üçgenler bulunan 220 sayısından çıkartılarak kaç üçgen çizilir.

• A kenarında bulunan 3 noktadan

3 üçgen olur.

3 =1

f p

• B kenarında bulunan 4 noktadan

gen olur. 3 4 4 üç = f p

• C kenarında bulunan 5 noktadan

gen olur. 3 1 5 0 üç = f p

Dolayısıyla çizilebilecek üçgen sayısı, 220 – 1 – 4 – 10 = 205 bulunur.