Test 57 Üçgende Uzunluk - Özel Üçgenler

www

.krakademi.com

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

A B C c b a ( ) ( ) ( ) , . m A m B m C ise a b c dir > > > > . . . W V W

• ADC üçgeninde 90° den büyük başka açı olmaya-cağından en uzun kenarı 90° nin karşısında |AC| = c dir.

• ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180° olduğun-dan,

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) .

m BAC m ABC m ACB m BAC m BAC m BAC olur 180 65 30 180 180 95 75 c c c c c c c + + = + + = = -= % % % % % %

• ABC üçgeninde büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

› Kar s nda b c a 75 65 30 fl› > > > > . . . c c c

Buna göre, en uzun kenar |AC| = b dir.

Cevap: B

B 12 C

5 2x – 1

Bilgi:

Üçgen olma kuralı, Üçgenin herhangi bir kenar uzun-luğu diğer iki kenar uzunlukları farkının mutlak değe-rinden büyük, toplamından ise küçüktür.

A B a C c b |b – c| < a < b + c |a – c| < b < a + c |a – b| < c < a + b

• ABC üçgeninin, üçgen olma şartından

. , , , x x x x x x 12 5 2 1 12 5 7 2 1 17 7 1 2 17 1 8 2 18 2 8 2 2 2 18 4 9 5 6 7 8 < < < < < < < < < < < <

4 tane x de€eri vard›r.

- - +

-+ +

>

www

.krakademi.com

3.

• ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180° olduğun-dan,

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) .

m BAC m ABC m BCA m BAC m BAC m BAC olur 180 47 41 180 180 88 92 c c c c c c c + + = + + = = -= % % % % % % • [AN] açıortay olduğundan

( ) ( ) ( ) .

m BAN m CAN m BAC dir

2 2

92c _46c

= = = =

% % %

• Üçgende büyük açı karşısından büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar olacağından,

. ABN geninde x y olur ABN geninde z x olur 47 46 46 41 üç üç > > > > & . . & . . c c c c

• Eşitsizlikler birleştirilirse, z > x > y dir.

Cevap: A

4.

Geniş açı • ADC üçgende, . x x olur 8 6 8 6 2 14 < < < < - + Bilgi:

Dar, dik ve geniş açılı üçgenlerde açı – kenar bağın-tıları α a c A B C b Å < 90° ¡ a2 _{< b}2 _{+ c}2 _dir. (Dar açı) Å = 90° ¡ a2 _{= b}2 _{+ c}2 _dir.

(Dik açı) (Pisagor Bağıntısı) Å > 90° ¡ a2 _{> b}2 _{+ c}2 _dir.

(Geniş açı)

• Herhangi bir ikizkenar üçgenin eşit olan açıları 90° den küçüktür. Buna göre,

m(ADB) < 90° ise m(ADC) > 90° olur.

• ADC üçgeninde, (m ADC%) > 90° (Geniş açı) oldu-ğundan, . AC AD DC x x x x veya x olur 8 6 64 36 100 10 10 > > > > > < 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + • Buna göre, 2 < x < 14 ve 10 < x ise 10 < x < 14 olur. Cevap: E

www

.krakademi.com

Bir iç açısının ölçüsü 90° ye eşit alan üçgene dik üçgen denir. 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diği kenarlara ise dik kenarlar denir.

Pisagor bağıntısı, bir dik üçgende dik kenarların kare-leri toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

x (Hipotenüs) y (Dik kenar) B A C z (Dik kenar) x2 _{= y}2 _{+ z}2 _dir.

Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler:

5k 4k 3k ç ç k i in k i in 1 3 4 5 2 6 8 10 9 12 15 12 16 20 15 20 25 h h h = -= -- -- -- -13k 5k 12k ç ç k i in k i in 1 5 12 13 2 10 24 26 h h h = - -= - -17k 8k 15k 25k 7k 24k 29k 20k 21k (8 15 17_h - _h - _h ) (_h7 24 25- _h - _h ) (20 20 29_h - _h - _h) • ABD dik üçgeni, 6 – 8 – 10 özel dik üçgeni

oldu-ğundan x = 8 dir.

• ADC dik üçgeni; 8 – 15 – 17 özel dik üçgeni oldu-ğundan y = 17 dir. x 12 – x æ57 D B C 9 12 • . BD DC BC x DC DC x cm olur 12 12 + = + = =

-• ADB üçgeninde pisagor bağıntısından, . AB BD AD AB BD AD olur 2 2 2 2 2 2 = + - =

• ADC üçgeninde pisagor bağıntısından, . AC AD DC AC DC AD olur 2 2 2 2 2 2 = + - =

Buna göre, denklemler aynı eşitlikte gösterilirse, . ( ) ( ) . AD AB BD AC DC olur x x x x x x x x cm bulunur 57 9 12 57 81 144 24 144 57 81 24 120 24 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = - = -- = - -- = - + -+ - = = = Cevap: C

www

.krakademi.com

7.

Öklit bağıntıları, bir dik üçgende hipotenüse ait yük-seklik çizildiğinde kullanılan bağıntılardır.

m n c D A B C b h a • h2 _{= m·n} • b2 _{= n·a} • c2 _{= m·a} • a·h = m·n dir.

• ABC dik üçgeninde, öklit bağıntısından,

. BE EC AE BE BE BE cm olur 3 6 18 18 3 2 2 2 2 2 $ $ = = = = =

• ABD dik üçgenden, öklit bağıntısından, ( ) ( ) . AE BE ED x x cm bulunur 6 3 2 3 2 36 2 2 12 2 12 2 _{6 2} 2 2 $ $ = = = = = = Cevap: B

8.

• [BC] uzatılıp A noktasından dik çizilirse, AHC üçgeni 45° – 45° – 90° özel ikizkenar dik üçgeni olur. Bu özel üçgende 90° nin gördüğü kenar uzunluğu 45° nin gördüğü kenar uzunluğunun 2 katına eşittir. Buna göre, . AC br ise AH HC br olur 90 6 3 45 2 6 3 fl› › fl› › kar s kar s c c = = =

• AHB üçgeni 30° – 60° – 90° açılarına göre özel dik üçgendir. Bu özel üçgende 90° nin gördüğü kenar uzunluğu 30° nin gördüğü kenar uzunluğu-nun 2 katına, 60° nin gördüğü kenar uzunluğu ise 30° nin gördüğü kenar uzunluğunun 3 katına eşittir. . . AB x br ise HB AB x br olur AH x br olur 90 30 2 2 60 2 3 fl› › fl› › fl› › kar s kar s kar s $ c c c = = = = Buna göre, ( ) . AH x x x x br bulunur 2 3 ₂ 6 3 2 2 6 2 2 12 2 6 2 $ $ $ = = = = = Cevap: E

www

.krakademi.com

• [BC] ve [AB] uzatılarak bir ECB üçgeni oluşturu-lur. Bu üçgeni iki iç açısı,

( ) ( )

m ECB% =m CBE% = 60° ise üçüncü açısı olan, ( )

m CEB% =60c olur. Buna göre, ECD üçgeni eşkenar üçgendir. + 5 . . EC CD DE br olur EB BC CD EB EB br olur 17 17 12 = = = + = = =

• EBA üçgeni ise 30° – 60° – 90° özel üçgendir. . . EB br AE EB br olur AB AE br olur 90 12 30 2 2 12 ₆ 60 3 3 6 6 3 fl› › fl› › fl› › kar s kar s kar s $ $ c c c = = = = = = =

• |ED| = |AE| + |AD| olduğundan,

. AD AD AD br bulunur 17 6 17 6 11 = + = -= Cevap: D B H C x 60° 30° 45° 45° 6§2

• A noktasından [BC] ye dik indirilirse, ABH üçgeni 30° – 60° – 90° ve AHC üçgeni ise 45° – 45° – 90° özel üçgeni olur.

• ABH 30° – 60° – 90° özel üçgeninde,

. . AB br ise BH AB br olur AH BH br olur 90 6 2 30 2 2 6 2 3 2 60 3 3 2 3 3 6 kar s kar s kar s fl› › fl› › fl› › $ $ c c c = = = = = = = • AHC 45° – 45° – 90° üçgeninde, | | | | | | . A x x H HC C x AH x br ise A br bulunur 0 45 3 6 9 2 3 6 3 12 6 3 2 kar s kar s fl› › fl› › $ $ c c = = = = = = = Cevap: C

www

.krakademi.com

11.

• ABC ikizkenar üçgeninde ( )m BV =m C( )W ise eşit açıların gördüğü kenar uzunlukları birbirine eşit olur. Buna göre,

x + 4 . AB AC AD BD AC y y x 4 br olur = + = = - =

• ADC üçgeninde pisagor bağıntısından, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . › › › › AC AD DC y x

y x iki kare fark a l m y x y x y x y x br bulunur 4 5 80 80 4 80 20 ç 2 2 2 2 2 2 2 2 $ $ = + = + - = - + = + = + = 0 > Cevap: A

12.

• ABC ikizkenar üçgeninde A noktasından çizilen [AD] açıortay olduğundan bu doğru uzatılırsa [AE] ikizkenar üçgenin hem kenarortayı hem de yüksekliği olur. • AE kenarortay olduğundan, . BE EC BC br olur 2 2 14 ₇ = = = =

• DEC üçgenin pisagor bağıntısından, ( ) . DE EC DC DE DE DE DE br olur 7 74 49 74 25 5 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = =

• AEC üçgeni, kenarlarına göre, 7 – 24 – 25 özel üçgenidir. . olur z z z EC AE AC 7 - 24 -25 Buna göre, x + 5 . AD DE AE ise x br bulunur 24 19 + = = = Cevap: D