Uniqueness Theorems for Sturm-Liouville Operators With
Discontinuity Conditions
Rauf AM˙IROV∗and Elif ERYILMAZ
Department of Mathematics, Faculty of Science, Cumhuriyet University, SIVAS 58140, TURKEY
Received 20.07.2011; Accepted 05.08.2011
Abstract. Bu ¸calı¸smada aralı˘gın i¸c noktasında s¨ureksizlik ko¸sullarına sahip Sturm-Liouville operat¨or¨u i¸cin teklik teoremleri ispatlanmı¸s ve V. A. Ambartsumyan teoreminin s¨ureksizlik ko¸sulları altında genelle¸stirilmesi verilmi¸stir.
AMS subject classifications: Primary 34A55, Secondary 34B24, 34L05 Key words: Inverse Problems, Spectrum, Normalized Numbers.
S¨ureksizlik Ko¸sullarına Sahip Sturm-Liouville Operat¨orleri i¸cin Teklik Teoremleri
¨
Ozet. In this study, uniquiness theorems for Sturm-Liouville Operators with discontinuity conditions inside an interval have proved and generalization of V. A. Ambartsumyan theorem has been given under the discontinuity conditions.
Anahtar Kelimeler. Ters Problem, Spektrum, Normalle¸stirici Sayılar.
1. Giri¸s
Ters problemler teorisi, lineer diferansiyel operat¨orlerin spektral analizinde ¨onemli bir yere sahiptir ve de fonksiyonel analizin bir sıra problemleri ile sıkı ba˘glantılıdır. Diferansiyel denklemler i¸cin ters problemler teorisinin ba¸slangıcı sayılan ilk ¸calı¸sma V.A. Ambartsumyan’ a [1] aittir. 1929 yılında V.A. Ambartsumyan Sturm-Liouville operat¨orleri i¸cin ters problemlerle ilgili a¸sa˘gıdaki teoremi ispatlamı¸stır:
Teorem 1.1: q(x), [0, π] aralı˘gında ger¸cel de˘gerli s¨urekli fonksiyon olmak ¨uzere
λ0, λ1, · · · , λn, · · · ’ler
y00+ {λ − q(x)} y = 0, (0 < x < π), (1.1)
y0(0) = y0(π) = 0, (1.2)
probleminin ¨ozde˘gerleri olsun. E˘ger λn= n2(n = 0, 1, ...) ise q(x) ≡ 0 dır.
V.A. Ambartsumyan’ ın bu ¸calı¸smasından sonra ters problemler teorisinde ¸ce¸sitli problemler ortaya ¸cıkmı¸s ve bu tip problemlerin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin farklı y¨ontemler ver-ilmi¸stir. Bu problemlerle ilgili en ¨onemli sonu¸clardan birisi G.Borg’ a aittir[2].
∗Corresponding author. Email addresses: emirov@cumhuriyet.edu.tr
Teorem 1.2: λ0, λ1, · · · , λn, · · · ler (1.1) diferansiyel denklemi ve
y0(0) − hy(0) = 0, (1.3)
y0(π) + Hy(π) = 0, (1.4)
sınır ko¸sulları ile verilen problemin, µ0, µ1, · · · , µn, · · · ler ise (1.1) denklemi ve
y0(0) − h1y(0) = 0, (h 6= h1) (1.5) (1.4) sınır ko¸sullarıyla verilen problemin ¨ozde˘gerleri olsun. O halde {λn}n≥0 ve
{µn}n≥0dizileri q(x) fonksiyonunu ve h, h1ve H sayılarını tek olarak belirtir. (h, h1 ve H sonlu ger¸cel sayılardır.)
G. Borg’ un bu ¸calı¸smasında, {λn}n≥0 ve {µn}n≥0 dizileri verilen operat¨or¨un farklı spektrumları oldu˘gu farz edilir ve operat¨or¨u bu dizilerin yardımıyla belirtmek-tedir. Yani, bu tip operat¨or¨un varlı˘gı ¨onceden belli oldu˘gu kabul edilir. G. Borg, aynı ¸calı¸smada, bu tip diferansiyel operat¨or¨un tek olarak belirtilmesi i¸cin bir tek {λn}n≥0 spektrumunun yeterli olmadı˘gını g¨ostermi¸stir. O y¨uzden de, V.A. Ambartsumyan’ın sonucu istisna bir durum olarak d¨u¸s¨un¨ulmektedir.
Bu ¸calı¸smadan sonra potansiyelin q(π − x) = q(x) simetriklik ko¸sulunu sa˘glaması durumunda bir spektrumun Sturm-Liouville operat¨or¨un¨u tanımladı˘gını N. Levin-son [3], [4] ispatlamı¸stır. Ayrıca, N. LevinLevin-son negatif ¨ozde˘gerlerin mevcut olmadı˘gı durumda, sa¸cılma fazının, potansiyeli birebir olarak tanımladı˘gını g¨ostermi¸stir.
II. mertebeden lineer diferansiyel operat¨orler i¸cin ters problemler teorisinde bir sonraki en ¨onemli a¸samalardan birisi V.A. Marchenko [12] tarafından kaydedilmi¸stir. 1950 yılında V.A. Marchenko[12] ters problemlerin ¸c¨oz¨um¨unde Sturm-Liouville operat¨or¨un¨un spektral fonksiyonundan yararlanmı¸stır.
ϕ(x, λ) fonksiyonu (1.1) diferansiyel denkleminin
ϕ(0, λ) = 1, ϕ0(0, λ) = h, (1.6) ba¸slangı¸c ko¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨u, ϕ(x, λn) = ϕn(x) fonksiyonları ise bu o-perat¨or¨un ¨ozfonksiyonları olsun. Bu durumda verilen operat¨or¨un
αn= π Z 0 ϕ2(x, λ n)dx (1.7)
normalle¸stirici sayılarından faydalanarak olu¸sturulan
ρ(λ) = X
λn<λ
1
αn (1.8)
fonksiyonu ise bu operat¨or¨un spektral fonksiyonu olmak ¨uzere V.A. Marchenko, yukarıda bahsedilen ¸calı¸smada G. Borg’un ispatladı˘gı teoremin benzerini ρ(λ) spek-tral fonksiyonu yardımıyla vermi¸stir. Ayrıca, bu ¸calı¸smada, ρ(λ) fonksi-yonun Sturm-Liouville tipinde bir diferansiyel operat¨or¨un spektral fonksiyonu olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul verilmi¸stir. V. A. Marchenko’ nun ¸calı¸smaları ile hemen hemen aynı
zamanda M.G. Krein [10], [11] ¸calı¸smalarında Sturm-Liouville tipindeki diferan-siyel operat¨or¨u {λn}n≥0 ve {µn}n≥0 dizilerine g¨ore belirtmek i¸cin etkili y¨ontem vermi¸stir. Fakat, bu ¸calı¸smalarda verilen gerekli ve yeterli ko¸sul, {λn}n≥0ve {µn}n≥0 dizileri yardımıyla de˘gil, bu dizilerden faydalanılarak kurulan yardımcı fonksiyon kullanılarak verilmi¸stir.
1949 yılında V.A. Marchenko’ nun ¸calı¸sması yayınlanmadan ¨once A.N. Tikhonov [7] tarafından V. A. Marchenko’ nun ispatladı˘gı teklik teoremine denk olan bir teo-rem ispatlanmı¸stır. A.N. Tikhonov’ un ¸calı¸smasında ispatlanan teoteo-remin ifadesi a¸sa˘gıdaki ¸sekildedir:
Teorem 1.3: λ < 0 oldu˘gunda
U00+ λρ2(x)U = 0, x > 0, U (∞) = 0
probleminin ¸c¨oz¨um¨u U (x, λ) olsun. Burada ρ(x) par¸calı analitik fonksiyon ve ρ(x) ≥
ρ0> 0 dır. R(λ) =U
0(0, λ)
U (0, λ) olsun. Bu durumda λ < 0 oldu˘gunda R(λ) fonksiyonuna
g¨ore ρ(x) fonksiyonu tek olarak belirtilir.
1951 yılında I.M. Gelfand ve B. M. Levitan [8], ρ(λ) monoton fonksiyonun Sturm-Liouville operat¨or¨un¨un spektral fonksiyonu olması i¸cin gerekli ve yeterli ¸sartları vermi¸slerdir. Ayrıca, bu ¸calı¸smada Sturm-Liouville operat¨or¨un¨un belirtilmesi i¸cin etkili bir y¨ontem verilmi¸stir.
Di˘ger taraftan bu ¸calı¸smada verilen y¨ontem klasik Sturm-Liouville operat¨or¨u-n¨un
{λn}n≥0ve {αn}n≥0(αn> 0) dizilerine g¨ore belirlenmesi i¸cin yani, verilen dizilerin sırasıyla klasik Sturm-Liouville probleminin spektrumu ve normalle¸stirici sayıları olması i¸cin, gerekli ve yeterli ko¸sul a¸sa˘gıda verilen klasik asimptotik e¸sitliklerin sa˘glanmasıdır: p λn = n +a0 n + · · · + akm 2k n2km 2k+1 + γn n2km 2k+1 , αn = π 2 + b0 n2 + · · · + bkm 2k n2km2k+1 + τn n2km+12 k burada a0 = 1 π · h + H + 1 2 π R 0 q(t)dt ¸
dir. E˘ger m ¸cift sayı ise Pγ2
n < ∞ ve P ³ τn
n
´2
< ∞, e˘ger m tek iseP ³ γn n
´2
< ∞ vePτ2
n< ∞ dir.
Fakat, bu ¸calı¸smalarda ters problemin iki spektruma g¨ore tam ¸c¨oz¨um¨u ver-ilmemi¸stir. Reg¨uler Sturm-Liouville operat¨orleri i¸cin bu problemin yani, iki spek-truma g¨ore reg¨uler Sturm-Liouville operat¨or¨un¨un belirlenmesi problemi B.M. Levi-tan ve M.G. Gasimov’ un [9] ¸calı¸smasında verilmi¸stir. Bu ¸calı¸smada, veri-len prob-lemin {αn}n≥0 normalle¸stirici sayılarının iki spektruma ba˘glı oldu˘gunu g¨osteren en ¨onemli form¨ul,
αn= h1− h µn− λn ∞ Y k=0 0λk− λn µk− λn (1.9)
¸seklinde elde edilmi¸stir. Burada Q0 sembol¨u, sonsuz ¸carpımda k = n. ¸carpanın bulunmadı˘gını g¨osterir. (1.9) form¨ul¨u iki spektruma g¨ore ters problemin ¸c¨oz¨um¨ u-n¨u vermektedir. Ger¸cekten de, e˘ger {λn}n≥0 ve {µn}n≥0 dizileri verilmi¸s ise (1.9)
form¨ul¨unden yararlanarak {αn}n≥0 sayılarının asimptotik ifadesi bulunur ve [9] ¸calı¸smasının sonu¸clarından yararlanarak {λn}n≥0 ve {αn}n≥0 dizilerine g¨ore ters problemin ¸c¨oz¨um¨u verilir. Bu ise iki spektruma g¨ore ters problemin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulları verecektir ve o ko¸sullar a¸sa˘gıdaki ¸sekilde sıralanabilir:
1) {λn}n≥0 ve {µn}n≥0 dizileri sıralı, yani
λ0< µ0< λ1< µ1< λ2< µ2< · · · 2) λn ve µn’ler p λn = n +a0 n + a1 n3 + O µ 1 n4 ¶ √ µn = n +a 0 0 n + a0 1 n3 + O µ 1 n4 ¶
asimptotik form¨ullerine sahiptir. 3) a06= a00
C¸ evirme operat¨orlerine dayanan reg¨uler Sturm- Liouville operat¨or¨un¨un spekt-ral verisinden, q potansiyelini yeniden elde etmenin algoritması, Marchenko ve Gelfand (1950) tarafından geli¸stirilen Gelfand- Levitan- Marchenko denklemi olarak adlandırılır. ˙Iki spektrum ile q potansiyelinin kurulumu i¸cin bir alternatif metot Krein (1951) tarafından geli¸stirilmi¸stir. Daha sonra H Hilbert uzayından potansiyellere sahip Sturm- Liouville operat¨orler sınıfı i¸cin Trubowitz ve P¨oschel (1987) tarafından farklı bir yakla¸sım ¨onerilmi¸stir. Yazarlar spektral veriyi ve H deki potansiyeller arasındaki d¨on¨u¸s¨um¨u ayrıntılı olarak ¸calı¸smı¸slar ve ters spektral problemin ¸c¨oz¨ulebilirli˘gini is-patlamı¸slardır. ¨Ozellikle spektral veriyi tam olarak karakterize etmi¸slerdir.
Aralı˘gın i¸c noktasında sing¨ulariteye ve s¨ureksizlik ko¸sullarına sahip diferansiyel operat¨orler, Amirov ve Yurko (2001) tarafından ¸calı¸sılmı¸stır. Bu ¸calı¸smada x = 0 noktasında sing¨ulariteye sahip self adjoint olmayan Bessel potansiyelli Sturm-Liouville operat¨or¨u i¸cin sonlu aralı˘gın i¸c noktasında ¸c¨oz¨um¨un s¨ureksizli˘ge sahip oldu˘gu durum incelenmi¸stir ve verilen operat¨or¨un spektral ¨ozellikleri ile bu spek-tral ¨ozelliklere g¨ore ters problemin konumu ve ¸c¨oz¨um¨u i¸cin teklik teoremleri ispat-lanmı¸stır.
Benzer ¸sekilde R.Kh Amirov (2002) ¸calı¸smasında self- adjoint olmayan Bessel potansiyelli Sturm- Lioville operat¨or¨un¨un sonlu aralıkta sonlu sayıda s¨ureksizlik noktalarına sahip oldu˘gu durumu incelemi¸stir. Burada verilen diferansiyel operat¨or¨u ¨
ureten diferansiyel denklemin ¸c¨oz¨umlerinin davranı¸sları, operat¨or¨un spektral ¨ozellikleri, spektrumu basit oldu˘gu durumda yani yalnızca ¨ozde˘gerlerden olu¸stu˘gu durumda, ¨ozde˘gerlere kar¸sılık gelen ¨ozfonksiyon ve ko¸sulmu¸s fonksiyonlara g¨ore operat¨or¨un ayrı¸sımı, spektral parametrelere g¨ore ters problemin konumu ve bu ters problem-lerin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin teklik teoremleri ispatlanmı¸stır.
R.Kh. Amirov un (2006) ¸calı¸smasında, sonlu aralı˘gın i¸c noktasında s¨urek-sizli˘ge sahip Sturm- Liouville diferansiyel operat¨orler sınıfı i¸cin ¸cevirme ope-rat¨or¨u, ¸cekirdek fonksiyonunun bazı ¨ozellikleri, spektral karakteristiklerinin bazı ¨ozellikleri ve ters problem i¸cin teklik teoremleri verilmi¸stir.
2. S Sınıfı ˙I¸cin Ters Problemler
L operat¨or¨u a¸sa˘gıdaki gibi verilmi¸s olsun.
l (y) := −y00+ q(x)y = λy , x ∈ (0, d) ∪ (d, π), λ = k2 (2.1)
U (y) = y0(0) − hy(0) = 0, V (y) = y0(π) + Hy(π) = 0 (2.2)
y(π 2 + 0) = αy( π 2 − 0), y 0(π 2 + 0) = α −1y0(π 2 − 0) (2.3)
S ile q(x) ∈ L2(0, π) olmak ¨uzere q(x) = q(π − x) ve H = h ko¸sullarını sa˘glayan (2.1), (2.2), (2.3) Sturm-Liouville operat¨orleri sınıfını belirtelim. ϕ(x, λ) fonksi-yonu (2.1) denkleminin ϕ(0, λ) = 1, ϕ0(0, λ) = h ba¸slangı¸c ko¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨u olsun. A¸sa˘gıdaki lemma do˘grudur.
Lemma 2.1: Sturm-Liouville operat¨or¨un¨un S sınıfından olması i¸cin gerek ve yeterli ko¸sul ;
ϕ(π, λn) = α+(−1)n+ α− olmasıdır.
˙Ispat: Gereklilik: Diyelim ki, q(π − x) = q(x), H = h olsun. Bu durumda Ψn(x, λn) = ϕ(π − x, λn) fonksiyonu da L operat¨or¨un¨un λn ¨ozde˘gerine kar¸sılık ge-len ¨ozfonksiyonudur. Bundan dolayı;
ϕ(x, λn) = βnϕ(π − x, λn), βn 6= 0 (2.4) dır. x → π 2 + i¸cin ; ϕ(π 2 + , λn) = βnϕ(π 2 − , λn) ϕ(π 2 − , λn) 6= 0 olursa βn= α dır. ϕ(π 2 + , λn) = 0 ve ϕ 0 (π 2 + , λn) 6= 0 olsun. (2.4) e¸sitli˘ginin x’e g¨ore t¨urevi alınıp tekrar x → π
2 −
iken limite ge¸cilirse
−ϕ0(π − x, λn) = βnϕ 0 (x, λn) oldu˘gundan −ϕ0(π 2 − , λn) = βnϕ 0 (π 2 + , λn) ise βn= −α−1
olarak bulunur. Buradan da ∀n ∈ N i¸cin βn = (−1)nα++ α− oldu˘gu ¸cıkar.(2.4) e¸sitli˘ginde x = 0 yazılırsa
ϕ(π, λn) = βnϕ(0, λn) ise ϕ(π, λn) = βn= (−1)nα++ α−
elde edilir. ¨Ozde˘gerlerin sırasını de˘gi¸stirmekle ∀n ∈ N i¸cin βn = (−1)nα+ + α− e¸sitli˘ginin elde edilebilece˘gi a¸cıktır.
Yeterlilik: q (x) ve q(π − x) potansiyelli (2.1)-(2.3) problemlerin ¨uretti˘gi o-perat¨orler sırasıyla L ve ˜L, onların normalle¸stirici sayıları ise αn, ˜αn (n = 0, 1, 2...) olsun. ϕ(π, λn) = (−1)nα++ α− oldu˘gunu kabul edelim ve
Ψn(x) = [(−1)nα++ α−] ϕ(π − x, λn)
olsun. O halde Ψn(x) fonksiyonu L operat¨or¨un¨un λn ¨ozde˘gerine kar¸sılık gelen ¨ozfonksiyonudur. Di˘ger yandan
αn= π 2 −0R 0 Ψ2 n(x)dx + π R π 2 +0 Ψ2 n(x)dx = π 2 −0R 0 [((−1)nα++ α−) ϕ(π − x)]2dx + Rπ π 2 +0 [((−1)nα++ α−) ϕ(π − x)]2dx = 2 · α2+ 1 α2 + (−1) n µ α2− 1 α2 ¶¸ αn1
oldu˘gundan dolayı αn ve ˜αnlar, dolayısıyla L ve ˜L operat¨orlerinin spektral fonksiy-onları bir sabit ¸carpanı ile farklıdırlar.
Bundan dolayı V. A. Marchenko’nun teklik teoremine [5] g¨ore q(π − x) = q(x) ve H = h oldu˘gu ¸cıkar.
S¸imdi de g¨osterelim ki;
αn = π 2 − R 0 ϕ2(x, λ n)dx + π R π 2 + ϕ2(x, λ n)dx = ˙ϕ(π, λn)ϕ 0 (π, λn) − ˙ϕ 0 (π, λn)ϕ(π, λn) e¸sitli˘gi do˘grudur. ϕ(x, λ) ve ϕ(x, λn) fonksiyonları verilen diferansiyel denklemin uygun ba¸slangı¸c ko¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨umleri oldu˘gundan
−ϕ00(x, λn) + q(x)ϕ(x, λn) = λnϕ(x, λn) (2.5)
−ϕ00(x, λ) + q(x)ϕ(x, λ) = λϕ(x, λ) (2.6) (2.5) e¸sitli˘gi ϕ(x, λ), (2.6) e¸sitli˘gi ϕ(x, λn) ile ¸carpılıp taraf tarafa ¸cıkarılırsa,
(λ − λn)ϕ(x, λ)ϕ(x, λn) = −ϕ
00
(x, λ)ϕ(x, λn) + ϕ(x, λ)ϕ
00
(x, λn)
e¸sitli˘gi elde edilir. Bu e¸sitlik [0, π] aralı˘gında x e g¨ore integrallenir ve gerekli i¸slemler yapılırsa; (λ − λn) π 2 −0R 0 ϕ(x, λ)ϕ(x, λn)dx + (λ − λn) π R π 2 +0 ϕ(x, λ)ϕ(x, λn)dx =hϕ0(π, λn) − ϕ 0 (π, λ)iϕ(π, λ) − [ϕ(π, λn) − ϕ(π, λ)] ϕ 0 (π, λ) alınır. Son e¸sitli˘gin her iki tarafı λ − λn’e b¨ol¨un¨urse;
π 2 −0R 0 ϕ(x, λ)ϕ(x, λn)dx + π R π 2 +0 ϕ(x, λ)ϕ(x, λn)dx = ϕ 0 (π, λn) − ϕ 0 (π, λ) λ − λn ϕ(π, λ) −ϕ(π, λn) − ϕ(π, λ) λ − λn ϕ0(π, λ)
bulunur. Son e¸sitlikte λ → λn ko¸sulu altında limite ge¸cilirse; αn = π 2 −0R 0 ϕ2(x, λ n)dx + π R π 2 +0 ϕ2(x, λ n)dx = ˙ϕ0(π, λn)ϕ(π, λn) − ˙ϕ(π, λn)ϕ 0 (π, λn)
elde edilir. Burada ˙ϕ(π, λ) ile fonksiyonun λ’ya g¨ore t¨urevi belirtilmektedir. Di˘ger taraftan ϕ(x, λ) fonksiyonu λ’ya g¨ore tam fonksiyon ve {λn}’ler verilen problemin ¨ozde˘gerleri oldu˘gundan tam fonksiyonlar teorisinden bilindi˘gi gibi
ϕ0(π, λ) + Hϕ(π, λ) = π (λ0− λ) ∞ Q k=1 λk− λ k2 = φ (λ) (2.7)
g¨osterimi do˘grudur.(2.7) e¸sitli˘ginin λ’ya g¨ore t¨urevi alınırsa, ˙
ϕ0(π, λ) + H ˙ϕ(π, λ) = ˙φ (λ) (2.8) olur. Di˘ger taraftan
ϕ0(π, λn) + Hϕ(π, λn) = 0 veya ϕ
0
(π, λn) = −Hϕ(π, λn) oldu˘gundan αn’nin ifadesi i¸cin
αn = −ϕ(π, λn) ˙φ (λn) (2.9)
elde edilir.
E˘ger L ∈ S ise yukarıda ispatı yapılan lemmaya g¨ore
αn = ((−1)nα++ α−) ˙φ (λn) (2.10) bulunur. L operat¨or¨un¨un {λn} spektrumu verilmi¸s ise o zaman (2.7) ve (2.10) form¨ullerinden αn normalle¸stirilmi¸s sayıları ve {λn} L’nin ρ (λ) spektral fonksi-yonunu belirler. Spektral fonksiyonu belli ise V. A. Marchenko’ nun teklik teoremine g¨ore L operat¨or¨u in¸sa edilebilir.
G¨osterelim ki bu ¸sekilde in¸sa edilen operat¨or L ∈ S dir. Bunun i¸cin lemmaya g¨ore
ϕ (π, λn) = (−1)nα++ α−
oldu˘gunu g¨ostermek yeterli olacaktır. (2.9) ve (2.10) e¸sitliklerinden
ϕ(π, λn) = (−1)nα++ α− oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
B¨oylece belli asimptoti˘ge sahip, {λn}∞n=0 spektrumuna ve εn = (−1)nα++ α− sayılar dizisine g¨ore S sınıfından olan Sturm-Liouville operat¨or¨u in¸sa edilebilir.
3. Sing¨uler Sturm-Liouville Denklemi ˙I¸cin V. A. Ambartsumyan Teoreminin Genelle¸stirilmesi
Teorem 3.1: λ spektral parametre, q(x) ∈ C [0, π] ve α > 0, α 6= 1 olmak ¨uzere
λn = n2, n = 0, 1, 2, ... sayıları
−y00+ q(x)y = λy, x ∈³0,π 2 ´ ∪³ π 2, π ´ , λ = k2 (3.1) y0(0) = 0, y0(π) = 0 (3.2) y(x0+ 0) = αy(x0− 0), x0∈ ¡ 0,π 2 ¢ ∪¡π 2, π ¢ y0(x0+ 0) = αy 0 (x0− 0) (3.3)
sınır de˘ger probleminin ¨ozde˘gerleri ise q(x) ≡ 0 dır.
˙Ispat: ˙Ilk ¨once problemimizin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulalım. Bunun i¸cin; (3.1) e¸sitli˘ginin y (0, λ) = 1, y0(0, λ) = 0 (3.2) ba¸slangı¸c ve (3.3) s¨ureksizlik ko¸sullarını sa˘glayan y (x, λ) ¸c¨oz¨um¨un¨u ¨onerelim. Sabitlerin de˘gi¸simi y¨ontemi uygulanırsa;
y1(x, k) = cos kx +1 k x R 0 sin k (x − t) q(t)y1(t, k)dt, x < x0 (3.4) y2(x, k) = α cos kx + α k x0−0R 0 sin k (x − t) q(t)y1(t, k)dt +1 k x R x0+0 sin k(x − t)q(t)y2(t, k)dt, x > x0 (3.5) elde edilir. µ (k) := max 0≤x≤x0 ¡ |y1(x, k)| e−|Imk|x ¢ e µ(k) := max x0≤x≤π ¡ |y2(x, k)| e−|Imk|x ¢ tanımlayalım.
|sin kx| ≤ e|Imk|xve |cos kx| ≤ e|Imk|x
oldu˘gundan (3.4)-(3.5) denkleminden |k| ≥ 1 ve x ∈ [0, x0) i¸cin;
y1(x, k) = cos kx + O( 1 |k|e |Imk|x) y2(x, k) = α cos kx + O µ 1 |k|e |Imk|x ¶ bulunur.
(3.1)-(3.4) probleminin ¨ozde˘gerleri i¸cin
kn = √ λn= n + w πn+ kn n, {kn} ∈ L2
asimptotik form¨uller ge¸cerlidir. Burada w =1 2 π R 0 q(t)dt dir. Ger¸cekten de,
y2(x, k) = α cos kx + α k x0R−0 0 sin k (x − t) q(t)y1(t, k)dt +1 k x R x0+0 sin k(x − t)q(t)y2(t, k)dt y0 2(x, k) = −kα sin kx + α x0R−0 0 cos k (x − t) q(t)y1(t, k)dt + Rx x0+0 cos k(x − t)q(t)y2(t, k)dt oldu˘gu a¸cıktır. y2(x, k) = α cos kx + O
µ 1 |k|e |Imk|x ¶ ve y1(x, k) = cos kx + O( 1 |k|e |Imk|x) e¸sitlikleri y02(x, k) ifadesinde yerlerine yazılırsa
y0 2(x, k) = −kα sin kx + α x0R−0 0 cos k (x − t) q(t)y1(t, k)dt + Rx x0+0 cos k(x − t)q(t)y2(t, k)dt + O µ 1 |k|e|Imk|x ¶ = sin kx −w k cos kx + O µ 1 |k|e |Imk|x ¶
oldu˘gu elde edilir. Burada w = 1 2 x R 0 q(t)dt dir. Bulunan y0 2(x, k) ifadesi ∆ (k) = y0(π, k) = 0 da yerine yazılırsa; ∆ (k) = y0(π, k) = −αk · sin kπ +w k cos kπ + O µ 1 |k|e|Imk|x ¶¸
elde edilir. Verilen problemin ¨ozde˘gerleri ile ∆ (k)’nın sıfırları ¸cakı¸smaktadır. Γn = ½ k : |k| = µ n +1 2 ¶¾ b¨olgesini alalım. f (k) = sin kπ, g(k) = −w k cos kπ + O µ 1 |k|e |Imk|x ¶ olsun. ∆ (k) = f (k) + g(k), ∀k ∈ Γn |sin kπ| = ¯ ¯ ¯ ¯e ikπ− e−ikπ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ≥ ¯
¯eikπ¯¯ −¯¯e−ikπ¯¯ 2 =e Imkπ− eImkπ 2 ≥ 1 2e|Imk|π |f (k)| = |sin kπ| ≥ c1e|Imk|π (3.6) dır. Ayrıca |cos kπ| ≤ e|Imk|π, |sin kπ| ≤ e|Imk|π oldu˘gundan;
|g(k)| ≤|w| |k|e
|Imk|π (3.7)
(3.6) ve (3.7)’ den k’ nın yeterince b¨uy¨uk de˘gerlerinde
sa˘glanır. Yani Rouche Teoremi’nin ko¸sulları sa˘glanmı¸s olur. O halde f (k) ve ∆ (k)’nın sıfırlarının sayısı aynıdır. Buradan da kn = n + εn, εn = o(1), n → ∞ elde edilir. εn in ifadesini ∆ (kn) = 0 e¸sitli˘ginden bulalım.
∆ (kn) = f (k) + g(k) = sin kπ − w k cos kπ + O µ 1 kn ¶ = 0 veya sin knπ − w kncos knπ + O µ 1 kn ¶ = 0 oldu˘gundan sin (n + εn) π − w (n + εn)cos (n + εn) π + δn n = 0,
elde edilir. Gerekli i¸slemler yapılırsa;
εn = w
nπ + δn
n, δn∈ `2
elde edilir. Buradan kn = n + εn ifadesinde εn yerine yazılırsa;
kn = n + w nπ + δn n, δn ∈ `2 λn = kn2 = n2+ w π + δn, δn ∈ `2 bulunur.
λ0, λ1, λ2, ..., λn, ... sınır de˘ger probleminin ¨ozde˘gerleri ve ϕ(x, λn) = ϕn(x) fonksiy-onları da λn ¨ozde˘gerlerine kar¸sılık gelen ¨ozfonksiyonlar olsun.
O halde Sturm Teorisi’nden alırız ki; ϕn(x) fonksiyonu [0, π] aralı˘gında tam n tane xn
1, xn2, ..., xnn sıfırlara sahiptir. Yani ϕn(xnk) = 0, (k = 1, n) dır.
n = 0 i¸cin λ0¨ozde˘ger ve ϕ(x, λ0) = ϕ0(x), λ0¨ozde˘gerine kar¸sılık gelen ¨ozfonksiyon olsun. O halde Sturm Teorisi’nden ϕ0(x) ’in hi¸cbir sıfırı yoktur.
(3.1) e¸sitli˘ginde ϕ0(x) yazılırsa;
−ϕ000(x) + q(x)ϕ0(x) = λ0ϕ0(x)
λ0= 0 oldu˘gu i¸cin ;
−ϕ000(x) + q(x)ϕ0(x) = 0 elde edilir. Buradan
q(x) = ϕ
00
0(x)
ϕ0(x)
, x ∈ [0, x0) ∪ (x0, π]
bulunur. Di˘ger taraftan ϕ0(x) in hi¸cbir sıfırı olmadı˘gından ϕ0(x) 6= 0 dır. Yani bu oran tanımlıdır. q(x) = ϕ 00 0(x) ϕ0(x) = Ã ϕ00(x) ϕ0(x) !0 + Ã ϕ00(x) ϕ0(x) !2 (3.8) ¸seklinde yazalım.
(3.1)-(3.3) sınır de˘ger probleminin ¨ozde˘gerleri;
λn = n2+ a0+ ψ (n) davranı¸sına sahiptir. Burada a0= 1
π π R 0 q(x)dx dır. B¨oylece q(x) = ϕ 00 0(x) ϕ0(x) = Ã ϕ00(x) ϕ0(x) !0 + Ã ϕ00(x) ϕ0(x) !2 x ∈ [0, x0) ∪ (x0, π] bulunur. x0R−0 0 Ã ϕ00(x) ϕ0(x) !0 dx + Rπ x0+0 Ã ϕ00(x) ϕ0(x) !0 dx = ϕ 0 0(x0− 0) ϕ0(x0− 0) − ϕ00(0) ϕ0(0)+ ϕ00(π) ϕ0(π)− ϕ00(x0+ 0) ϕ0(x0+ 0) = 0 oldu˘gundan; 0 = x0R−0 0 Ã ϕ00(x) ϕ0(x) !2 dx +π x0+0 Ã ϕ00(x) ϕ0(x) !2 dx
elde edilir. Buradan
à ϕ00(x) ϕ0(x) !2 ≡ 0 ve ∀x ∈ (x0+ 0, π] i¸cin à ϕ00(x) ϕ0(x) !2 ≥ 0 ve Rπ x0+0 à ϕ00(x) ϕ0(x) !2 dx = 0 dır. Yani ∀x ∈ [x0+ 0, π) i¸cin à ϕ00(x) ϕ0(x) !2 ≡ 0 dır. ∀x ∈ [0, x0− 0) ∪ (x0+ 0, π] i¸cin ϕ 0 0(x) ϕ0(x) ≡ 0 dolayısıyla ∀x ∈ [0, x0) ∪ (x0, π] i¸cin q(x) ≡ 0 elde edilir.
KAYNAKLAR
[1]. V.A. Ambartsumyan, ¨Uber eine Frage der Eigenwerttheorie, Z. Physik 53 (1929), 690-695.
[2]. G.Borg, Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe. Bes-timnung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte, Acta Math. 78 (1945), 1-96. [3]. N. Levinson, 1949, The Inverse Sturm-Liouville Problem, Mat. Tidsskr. B., pp. 25-30.
[4]. N. Levinson, 1949, Criteria for the Limit-Point Case for Second-Order Linear Differential Operators, Casopis. Pest. Mat. Fya. 74, 17-20.
[5]. V.A. Marchenko, Some Problems in the Theory of Second-order Differential Operators, Dokl. Akad., Nauk SSSR. 72 (1950), 457-560.
[6]. M.G. Krein, Solution of the Inverse Sturm-Liouville Problem, Dokl. Akad., Nauk SSSR, 76 (1951), 21-24.
[7] A.N. Tikhonov, Uniqueness Theorems for Jeophysics Problems, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, Vol 69, No 4, 1949, 797-800.
[8]. I.M. Gelfand and B. M. Levitan, On the Determination of a Differential Equation by its Spectral Function, Izv. Akad. Nauk. SSSR, Ser. Math. 15 (1951), 309-360.
[9]. M.G. Gasimov and B. M. Levitan, About Sturm-Liouville Differential. Op-erators., Math. Sborn., 63 (105), No. 3, (1964).
[10]. E. Abdukadyrov, 1967, Computation of the Regularized Trace for a Dirac System, Vestnik Moskov Univ. Ser. Mat. Mekh., 22, (4), 17-24.
[11]. A. B. Khasanov, 1994, On Eigenvalues of the Dirac Operator Located on the Continuous Spectrum, Theory and Math. Phys. v. 99, No:1, 20-26.
[12]. M. G. Gasymov, 1967, The Inverse Scattering Problem for a System of Dirac Equations of Order 2n, Soviet Physics Dokl. 11, 676-678.
[13]. J. P¨oschel and E. Trubowitz, 1987 Inverse Spectral Theory(Pure Appl. Math. Vol 130)(Orlando, FL:Academic).
[14]. R. Kh. Amirov and V. A. Yurko, On Differential Operators with Singularity and Discontinuity Conditions Inside the Interval. Ukr. Math. Jour., 2001, v. 53, No11, p. 1443-1458.
[15]. R. Kh Amirov, Direct and Inverse Problems for Differential Operators with Singularity and Discontinuity Conditions Inside the Interval Transactions of NAS Azerbaijan. 2002, v. 22, No1, p. 21-38.
[16]. R. Kh Amirov, On Sturm-Liouville Operators with Discontinuity Condi-tions Inside an Interval J. Math. Anal. Appl. 317 (2006) 163-176.
