• Tanım: tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi f(x)veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve biçiminde gösterilir. • eşitliğinde; işaretine,integral işareti,f(x) e
integrand(integral altındaki fonksiyon),f(x).dx e diferansiyel çarpanı,F(x) e f(x) in ilkel fonksiyonu ve C ye integral sabiti denir.
a,b R : f
f(x).dx F(x)c
f(x).dx F(x)c
1.Bir belirsiz integralin türevi,integrali alınan fonksiyona eşittir:
2.Bir belirsiz integralin diferansiyeli,integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir:
3.Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali,bu fonksiyon ile bir C sabitini toplamına eşittir:
f(x).dx
' (F(x) C)' f (x)
f
x
dx
f
x
dx
d
(
).
(
).
Örnek-1- belirsiz integralinin türevini bulunuz.
Çözüm :
Örnek-2- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm :
Örnek-3- belirsiz integralinin diferansiyelini bulunuz. Çözüm :
4
x
5.
dx
4
x
5dx
d
d
(
x
3 )
x
c
x
x
x
x
d
(
3)
3
x2 dx1. dx x dx x2 1. 2 1.
4
x .
5dx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 8.
x
c
n
dx
x
n n 11
1
(
n
1
)
e
x.
dx
e
x
c
dx
x
c
x
ln
1
a c a dx ax x ln 1 . ) 1 a , 0 a (
sin
x
.
dx
cos
x
c
cos
x
.
dx
sin
x
c
9.
10.
11.
12.
dx
x
dx
x
c
x
xdx
(
1
tan
)
tan
cos
1
sec
2 2 2
dx
x
dx
x
c
x
xdx
ec
(
1
cot
)
cot
sin
1
cos
2 2 2
x
dx
arctan
x
c
1
1
2
x
dx
arcsin
x
c
1
1
2Örnek-1- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
Örnek-2- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
Örnek-3- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
x
5dx
c
x
dx
x
I
5
6
6
1
(
e
3
e
x)
dx
c
e
x
e
dx
e
e
I
(
3
x)
3.
x
dx
x
x
x
x
5 4 52
x
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
I
1
1
2
4.
ln
2
.
4ln
2
.
4 c x x x x x x 3 3 3 2 ln 3 . 2 lnÖrnek-4- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
Örnek-5- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
Örnek-6- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx x x x 1 3 3
dx x c x I x x ln 3 ln 3 1 3
tan
2xdx
x
dx
x
dx
dx
x
x
c
I
1
tan
21
1
tan
2tan
cot
4
xdx
x x dx x x dx x x xdx 4 sin ) 4 (sin 4 1 4 sin 4 cos 4 4 1 4 sin 4 cos 4 cot 1c
x
ln
sin
4
4
1
İntegralinde u=g(x) ve
Dönüşümü yapılarak integral haline getirilir.
Örnek-1- integralini hesaplayınız
Çözüm:
f
g
(x
)
g
'
(
x
)
dx
u
'
g
'
(
x
)
dx
f
(
x
)
du
(
x
4
2
x
2
3
).(
x
3
x
).
dx
3
2
2 4
x
x
u
du
(
4
x
3
4
x
).
dx
dx
x
x
du
4
(
3
).
du (x x).dx 4 3
u
du
u
du
u
c
I
4
4
1
.
4
1
4
4 3 3c
x
x
I
(
4
2
2
3
)
4
16
1
Örnek-2- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-3- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
e
sinx.
cos
x
.
dx
e
du
e
c
I
u.
u
dx
x
x
21
21 x
u
du
x
.
dx
2
u
c
x
c
u
du
I
ln(
1
)
2
1
ln
2
1
2
2cosx.dx
du
sinx
u
2xdx
du
Örnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
ln
x
u ln
dx x du 1
u
du
u
du
u
c
I
2
3
2 3 2 1c
x
2 3)
(ln
3
2
Örnek-5- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
e
dx
x1
dx
e
e
dx
dx
e
e
dx
e
e
dx
e
e
e
dx
e
dx
I
x x x x x x x x x x1
1
1
1
1
1
1
dx
e
e
I
x x1
2u
e
du
e
dx
x x
1
.
u
c
u
du
I
2ln
c
e
x
I
ln
x
1
Örnek-6- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-7- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx
x
e
xx
u
dx
x
du
2
1
dx
x
du
1
2
e
du
e
du
e
c
I
u.
2
2
u2
uI
2
e
x
c
sin x.cos x.dxx
u sin
du
cos
x
.
dx
u
du
u
c
I
2
.
2c
x
I
2
sin
2Örnek-8- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
x
2
4
(
2
).
x
x
u
2
4
du
(
2
x
4
x
).
dx
2
(
x
2
).
dx
dx
x
du
).
2
(
2
c u c u du u du u I
7 3 2 3 3 1 2 3 2 1 . 2 1 2c
x
x
I
2
3 24
)
(
3
1
Örnek-9- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-10- integralini hesaplayınız.
dx
x
x
21
arctan
x
u arctan
dx
x
du
21
1
u
du
u
c
I
2
.
2c
x
I
2
arctan
2
dx
e
e
e
e
x x x x x xe
e
u
du
(
e
x
e
x)
dx
u c u du I lnI
ln
e
x
e
x
c
Örnek-11- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
tan
)
(cot
cot
xdx
tan
xdx
I1 I2x
u sin
x
du cos
x
t cos
dx
x
dt
sin
.
c
t
u
I
ln
ln
c
x
x
I
ln
sin
ln
cos
Örnek-12- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-13- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx x x 2 cos 3 2 sinx
u
3
cos
2du
2
cos
x
sin
x
sin
x
c u u du I
ln I
ln
3
cos
2x
c
dx x x tan ) (tan4 2
dx
x
x
I
tan
2(tan
2
1
)
x
u tan
du
(
1
tan
2x
)
dx
c
u
du
u
I
3
3 2I
x
c
3
tan
3Örnek-14- integralini hesaplayınız. Çözüm:
9
25
x
2dx
c
x
x
dx
arcsin
5
3
5
1
25
9
2
0 ,b R a
a c bx b x b a dx arcsin 1 2 2 21 cos sin2 x 2 x 1. 3. 2. 4. * * *
1
tan
sec
2x
2x
x
cos .
x
sin
2
x
2
sin
1 cos . 2 2 cos x 2 x x 2 sin 2 1
cos(
)
cos(
)
2
1
sin
.
sin
a
b
a
b
a
b
sin(
)
sin(
)
2
1
cos
.
sin
a
b
a
b
a
b
cos(
)
cos(
)
2
1
cos
.
cos
a
b
a
b
a
b
Örnek-1- integralini hesaplayınız. Çözüm:
cos
4
x
.
cos
2
x
.
dx
c
x
x
dx
x
x
I
sin
2
2
1
6
sin
6
1
2
1
).
2
cos
6
(cos
2
1
c
x
x
I
sin
2
4
1
6
sin
12
1
Örnek-2- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-3- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
sin
2x.
dx
x
dx
x
dx
dx
cos
2
x
.
dx
2
1
2
1
2
2
cos
1
.
sin
2 c x x sin 2 4 1 6 sin 12 1
cos
2xdx
xdx
x
dx
dx
cos
2
xdx
2
1
2
1
2
2
cos
1
cos
2c
x
x
I
sin
2
4
1
2
Örnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:
x
dx
x
dx
x
dx
dx
x
(
1
cos
2
)
.
4
1
2
2
cos
1
.
)
(sin
.
sin
2 2 2 2 4
sin
4x.
dx
sin
2
cos
2
)
2
1
.
2
(
4
1
)
2
cos
2
cos
2
1
(
4
1
2 2xdx
x
x
dx
x
x
2
4
cos
1
x
c
x
x
x
x
dx
x
x
x
I
sin
4
)
4
1
(
8
1
2
sin
4
1
4
2
4
cos
1
4
1
2
sin
4
1
4
c
x
x
x
I
sin
4
32
1
4
2
sin
8
3
Örnek-5- integralini hesaplayınız. Çözüm:
x
x
dx
x
x
dx
xdx
(sin
)
.
sin
.
(
1
cos
)
.
sin
.
sin
5 2 2 2 2xdx
5sin
x
u cos
du
sin
xdx
dx
x
du
sin
.
I
(
1
u
2)
2.(
du
)
u
u
du
u
u
du
I
(
1
2
2 4).(
)
(
1
2
2 4).
5
3
2
3u
5u
u
I
I
x
3x
cos
5x
c
5
1
cos
3
2
cos
YARDIM:
1)dv’nin integrali kolay olmalı.
2) v.du integrali ilk integral
3) u’yu seçerken genelde aşağıdaki sıra ile seçmek avantajlıdır.
ÖRNEK1: x.cos.dx = ? u= x ; dv=cosx.dx du=dx ; v=sinx =x.sinx- sinx.dx =xsinx+cosx+c
= (-lnx/x)-(1/x)+c = (-lnx-1/x)+c ÖRNEK2: lnx/x2 = ? = u=lnx dv=1/x2.dx = du=(1/x).dx v=-1/x = u.v- v.du = lnx(-1/x)- (1/x).(1/x).dx
.dx = =
1
x
2
2
2 3
x
x
x
1
2
2x
x
x
ÖRNEK:
x
dx
x
x
x
.
1
2
2
2 3
=x2+x kalan:2c
x
x
x
1
ln
2
2
3
2 3B=3 ; C=1 ;A=-3 Örnek:
dx
x
x
x
x
.
3
2
3 2
1
1
)
1
)(
1
(
3
2
2
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x
)
1
(
)
1
(
)
1
(
3
2
2 2
x
A
x
Bx
x
Cx
x
x
dx x x x 1 . 1 1 3 3 =-3ln|x|+3ln|x-1|+ln|x+1|+cSadece köklü ifade varsa!!!
u
b
a
x
a
x
b
u
b
a
x
x
b
a
u
b
a
x
x
b
a
sec
*
tan
*
sin
*
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Sadece köklü ifade varsa!!!
