Üç serbestlik dereceli paralel bir robotun kinematiği, dinamiği ve denetimi / Kinematics, dynamics and control of a 3 degree of freedom parallel robot

ÜÇ SERBESTLİK DERECELİ PARALEL BİR ROBOTUN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ

VE DENETİMİ Muhammet AYDIN

Yüksek Lisans Tezi

Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Hasan ALLİ

T.C

FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÜÇ SERBESTLİK DERECELİ PARALEL BİR ROBOTUN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ

VE DENETİMİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ Muhammet AYDIN

(08220104)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih :

Tezin Savunulduğu Tarih : 04.01.2012

OCAK-2012

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Hasan ALLİ (F.Ü)

Diğer Jüri Üyeleri : Prof . Dr. Z. Hakan AKPOLAT (F.Ü)

II ÖNSÖZ

Son yıllarda robot destekli ameliyatlar giderek artmaktadır. Robot yardımcılar ameliyatlarda cerrahların işini ciddi oranda kolaylaştırmaktadır. Aynı zamanda hata oranı da azaltılmaktadır. Özellikle paralel robotlar tıbbi uygulamalar için uygun robotlar olarak görülebilir. Paralel robotların hantal olmayan küçük yapıları ameliyathanelerde bu robotların kullanımını kolaylaştırmaktadır. Bu çalışmada ele alınan 3 serbestlik dereceli paralel robot triglide, tıbbi alanda uygulama alanı bulabilecek bir robot olabilir. Özellikle triglide paralel robot’un z yönündeki çalışma alanının oldukça geniş olması tıbbi uygulamalar için tercih edilebilmesi ihtimalini arttırmaktadır.

Kendisinden ders aldığım, deneyimlerinden faydalandığım, sorunların üstesinden gelmemde yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen çok değerli hocam Sayın Prof. Dr. Hasan ALLİ’ ye çok teşekkür ederim.

Özellikle yüksek lisans tez konumun seçilmesinde desteklerini üzerimde hissettiğim Sayın Yrd. Doç. Dr. Volkan PATOĞLU’na teşekkürü borç bilirim.

Ayrıca karşılaştığım problemlerin çözümünde desteğini benden esirgemeyen Sayın Yrd. Doç. Dr. Oğuz YAKUT’ a da teşekkür ederim.

Çalışmalarımı yürüttüğüm zaman içerisinde, desteklerini esirgemeyen sevgili eşim ve aileme de sonsuz sevgi ve saygılarımı sunar, teşekkür ederim.

Muhammet AYDIN Elazığ-2012

III İÇİNDEKİLER Sayfa No ÖNSÖZ………..………...II İÇİNDEKİLER………..III ÖZET………..IV SUMMARY………..V ŞEKİLLER LİSTESİ………VI TABLOLAR LİTESİ………..VIII SEMBOLLER LİSTESİ………IX 1. GİRİŞ………...1 1.1. Paralel Robotlar...………...………1

1.2. Tıbbi Uygulamalarda Paralel Robotlar.………...2

1.3. 3 Serbestlik Dereceli Paralel Robotlar………...4

2. TRİGLİDE PARALEL ROBOTUN TERS VE DÜZ KİNEMATİK ÇÖZÜMLERİ………. 8

2.1. Ters Kinematik Çözümler………..………...9

2.2. Düz Kinematik Çözümler….………....12

2.3. Ters ve Düz Kinematik Çözümlerin Doğruluğunun Test Edilmesi ve Triglide Paralel Robotun Çalışma Hacminin Çıkarılması……...………..………..15

2.3.1.Ters ve Düz Kinematik Çözümlerin Doğruluğunun Test Edilmesi..……...…….15

2.3.2.Triglide Paralel Robotun Çalışma Hacmi…...………...………….19

3. TRİGLİDE PARALEL ROBOTUN JAKOBYEN MATRİSİ..…...……….21

4. TRİGLİDE PARALEL ROBOTUN DİNAMİĞİ…...…..….………24

5. TRİGLİDE PARALEL ROBOTUN DENETİMİ... …...………...………62

6. SONUÇ VE ÖNERİLER……...………...72

KAYNAKLAR……...………74

EKLER………...75

IV ÖZET

Bu çalışmada 3 serbestlik dereceli paralel bir robot üzerine araştırmalar yapılmıştır. İlk olarak triglide (lineer delta) paralel robotun ters ve düz kinematik çözümleri analitik olarak elde edilmiştir. Yazarın bilgisi dahilinde, triglide paralel robotun düz kinematik çözümünün yapılan literatür araştırmasında, daha önce elde edilmediği görülmüştür. Triglide paralel robotun Solidworks programında katı modellemesi yapılmıştır. Bulunan ters ve düz kinematik çözümler bu katı modelleme üzerinden test edilmiş ve triglide paralel robotun çalışma hacmi oluşturulmuştur. Lagrange yöntemi kullanılarak robotun hareket denklemleri elde edilmiştir. Bu hareket denklemleri kullanılarak sistemin Simulink modeli oluşturulmuştur. PID kontrol yöntemi kullanılarak 3 serbestlik dereceli triglide paralel robotun x, y ve z koordinatları kontrol edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Paralel Robotlar, Triglide, Kinematik, Dinamik, PID Kontrol.

V SUMMARY

Kinematics, Dynamics and Control of a 3 Degree of Freedom Parallel Robot

In this study, the researches are studied on a 3 degree of freedom parallel robot. First, inverse and forward kinematics solutions of triglide (linear delta) parallel robot have been analytically obtained. Solid modelling of triglide parallel robot has been done in Solidworks programme. The obtained inverse and forward kinematics solutions have been tested by using this solid modelling and workspace of triglide parallel robot has been created. Equations of motion of the robot have been obtained by using Lagrange method. Simulink model of system has been built up by using these equations of motion. x, y and z coordinates of 3 degree of freedom triglide parallel robot have been controlled by using PID control method.

VI

ŞEKİLLER LİSTESİ

Sayfa No

Şekil 1.1. Mars (Spine) paralel robot…..…………...………..……….2

Şekil 1.2. MBARS paralel robot……...………..…………...………...3

Şekil 1.3. CPR paralel robot…………...………...…….……….…….3

Şekil 1.4. Delta paralel robot…………...………...…….……….4

Şekil 1.5. Star paralel robot……….… 5

Şekil 1.6. Orthoglide paralel robot……….………..5

Şekil 1.7. Tricept paralel robot……….…………....6

Şekil 1.8. Lineer star paralel robot…………..………...…. 6

Şekil 1.9. Triglide (lineer delta) paralel robot………...…. 7

Şekil 2.1. Sabit platform………..… 9

Şekil 2.2. Hareketli platform……….…..… 9

Şekil 2.3. Triglide paralel robotun birinci kolu için vektörel kapalı çevrim……….. 10

Şekil 2.4. Triglide paralel robotun ikinci kolu için vektörel kapalı çevrim .………..11

Şekil 2.5. Triglide paralel robotun üçüncü kolu için vektörel kapalı çevrim .…………....12

Şekil 2.6. Triglide paralel robotun Solidworks’de katı modellemesinin yandan görünüşü17 Şekil 2.7. Triglide paralel robotun Solidworks’de katı modellemesinin üstten görünüşü..18

Şekil 2.8. Lineer delta (triglide) robotun çalışma hacmi……….19

Şekil 5.1. Triglide paralel robotun Simulink benzetimi………...………...…62

Şekil 5.2. Triglide paralel robotun yörüngesi………..…63

Şekil 5.3. x_p’nin y_p’ye göre grafiği………...…64

Şekil 5.4. x_p’nin z_p’ye göre grafiği……….………..65

Şekil 5.5. y_p’nin z_p’ye göre grafiği………...…………....65

Şekil 5.6. x_p’nin zamana göre değişimi………..66

Şekil 5.7. y_p’nin zamana göre değişimi.……….…...67

Şekil 5.8. z_p’nin zamana göre değişimi……….……….67

Şekil 5.9. x_p’nin hızının zamana göre değişimi……….…68

VII

Şekil 5.11. z_p’nin hızının zamana göre değişimi ………...…………....69

Şekil 5.12. 1. motor kontrol sinyalinin zamana göre değişimi..………..70

Şekil 5.13. 2. motor kontrol sinyalinin zamana göre değişimi………..…..71

VIII

TABLOLAR LİSTESİ

Sayfa No Tablo 4.1. Triglide paralel robot elemanlarının ağırlık merkezi koordinatları………24

IX SEMBOLLER LİSTESİ

q1 : Birinci motorun yer değiştirme miktarı

q2 : İkinci motorun yer değiştirme miktarı

q3 : Üçüncü motorun yer değiştirme miktarı

L : Paralelogramın uzunluğu

R : Sabit platformun yarıçapı

r : Hareketli platformun yarıçapı

xp : Hareketli platformun ağırlık merkezinin x bileşeni

yp : Hareketli platformun ağırlık merkezinin y bileşeni

zp : Hareketli platformun ağırlık merkezinin z bileşeni

J : Jakobiyen

T : Kinetik enerji

V : Potansiyel enerji

mmotor : Motorların kütlesi

mp : Paralelogramın kütlesi

mtabla : Hareketli platformun kütlesi

g : Yer çekimi ivmesi

L : Lagrange fonksiyonu

F1 : Birinci motorun uyguladığı kuvvet

F2 : İkinci motorun uyguladığı kuvvet

F3 : Üçüncü motorun uyguladığı kuvvet

∂ : Kısmi türev işareti

F(t) : Kontrol işareti

e(t) : Hata

KP : Oransal kazanç katsayısı

KI : İntegral kazanç katsayısı

1. GİRİŞ

Robotik, fiziksel aktivite ve karar verme gibi uygulamalarla bir görevi yürüterek insanların yerini alabilecek makinelerle ilgili çalışmaları içerir. Robotik, geleneksel mühendislik sınırlarını kesiştiren yeni bir modern teknoloji alanıdır. Robot, bir dizi verilen görev çerçevesinde çeşitli programlanmış hareketler ile materyalleri, parçaları, aletleri veya özel donanımları hareket ettirmek için tasarlanmış programlanabilir çok işlevli manipülatördür [1].

1.1. Paralel Robotlar

Üç temel robot yapısı mevcuttur. Bunlar seri, paralel ve hibrid yapılardır. Seri robotlar açık kinematik zincir yapısına, geniş çalışma hacmine ve üstün beceri kabiliyetine sahiptir. Bunların yanı sıra seri robotların düşük duyarlılık, zayıf kuvvet sarf etme yeteneği, ters kinematik çözümün zorluğu, hareketli bölümlerin yüksek ataleti ve motorların tabanda yerleştirilmemesi gibi dezavantajları mevcuttur.

Robot manipulatorleri için insan biçiminde olmayan paralel mimari, yüzyıllardır bilinmesine rağmen, yaklaşık olarak son 20 yıldır geliştirilmeye başlanmıştır. Bu mimari birkaç kinematik zincirle bir sabit platforma bağlı bir hareketli platformdan oluşur. Hareketli platformun hareketi kinematik zincirlerin uzantılarının eş zamanlı tahrikiyle başarılır. Benzer bir şekilde, hareketli platform ile taşınan yük çeşitli kinematik zincirler tarafından desteklenir. Bu nedenle bu mimari paralel mimari olarak ifade edilir. Açık kinematik zincire sahip seri manipulatorlerin tersine, paralel manipulatorler kapalı kinematik zincirden meydana gelir. Paralel manipulatorler birkaç avantaj ve dezavantaj sergilerler. Paralel robotların dezavantajları sınırlı çalışma hacmi, düşük beceri kabiliyeti, karmaşık direk kinematik çözüm ve tekillikler gibi dezavantajlara sahiptir. Ancak paralel robotlar yüksek rijitlik, ters kinematik çözümün kolaylığı, hafiflik, yüksek doğruluk, hareketli bölümlerin düşük ataleti ve yüksek çeviklik gibi avantajlara sahiptir. Ters kinematik çözümün kolay olması kontrol edebilme kolaylığı sağlamaktadır. Hibrid robotlar hem paralel hem de seri robot yapılarını bir arada ihtiva etmektedir [2].

2 1.2. Tıbbi Uygulamalarda Paralel Robotlar

Robotlar yavaş yavaş Da Vinci veya Zeus gibi sistemlerle tıbbi alana giriyorlar [3-5]. Paralel yapılar da bu gelişimde rol almaya başladılar. Örneğin Brandt’ın Crigos sisteminde, ortopedik ameliyatlar için bir paralel robot kullanılmıştır. Başka bir örnek hastanın hareketlerini takip eden cerrahi bir robotun zorluğunu ele alır. Bu durum Mars (Spine) robotun geliştirilmesini motive etmiştir. Şekil 1.1’de gösterilen Spine, yardımcı robot olarak Mazor tarafından üretilmiştir [6].

Şekil 1.1. Mars (Spine) paralel robot

Diz için geliştirilen başka bir robot Şekil 1.2’ deki MBARS’dır. Pahalı ve geniş skalalı olan robotlarla kıyaslandığında, Spine ve MBARS, küçük, uyarlanabilir ve nispeten düşük fiyatlı cerrahi robotların başka bir yaklaşımına doğru eğilimi arttırmıştır.

3

Şekil 1.2. MBARS paralel robot

Seri yapılarla karşılaştırıldıkları zaman paralel yapıların başka bir avantajını kullanmak mümkündür. Paralel yapılar ölçeklendirme etkisine çok daha az hassasdır, bu nedenle mikro robotlar için uygundurlar. Tıbbi uygulamalar için özellikle endoskopi için bu durum uygundur [6].

Diğer bir tıbbi paralel robot CPR’dir. Şekil 1.3’de verilen CPR Yangmin Li tarafından geliştirilmiştir [7].

4

Robot destekli ameliyat tıpta yeni bir eğilimdir. Bu tür ameliyatlarda, cerrah robotların yüksek doğruluk ve ulaşılabilirlik avantajlarını kullanarak kendi işini kolaylaştırmaktadır. Ayrıca ameliyatlarda robot yardımcı kullanma, cerraha ameliyathanedeki insan yardımcıların sayısında azalma ve rutin görevlerde azalma gibi avantajlar sağlar. Bunlara ek olarak robotun yeteneklerini kullanarak cerrah, robotun tekrarlanabilirliği, hareket değişmezliği ve doğruluğu ile onun kendi becerilerini tamamlayabilir.

Seri ve paralel robot yapılarından gerçek ihtiyaçlarla en uyumlusu paralel robot yapısıdır. Hantal seri robot yapılarının tersine küçük ve hafif paralel yapılar, ameliyathanede robotun yer değiştirmesini kolaylaştırır, gerekli boşluğun korunmasını sağlar ve kapalı perdeyle robot örtülerek kolay sterilizasyona izin verir. Eğer doğru tasarlanırsa paralel robotların kısmen küçük çalışma hacmi önemli bir güvenlik vasfı ortaya çıkarabilir. Paralel robotlar güvenli bir şekilde yakın tekillikle hareket eder. Robot tekil bir konuma doğru bir yol izlediği zaman, motorlardan ihtiyaç duyulan kuvvetler yüksek değerlere ulaşır. Seri robotlarda tekil konumlar mafsal hızlarının çok yüksek değerleriyle birlikte anılır. Bu durum tehlikeli bir unsuru ortaya çıkarır. Paralel robotlar aynı duyarlılığa sahip seri robotlarla karşılaştırıldığı zaman daha düşük fiyatlarla duyarlılığı sağlar. Bazı duyarlılık bölümleri seri robotlarla başarılamayabilir [8-12].

1.3. Üç Serbestlik Dereceli Paralel Robotlar

Aktarmada üç serbestlik dereceli manipulatorler toplama ve yerleştirme, makine işlemleri gibi durumlarda çoğunlukla kullanılırlar.

Şekil 1.4. Delta paralel robot

Üç serbestlik dereceli en popüler robot Şelik 1.4’de gösterilen deltadır. İlk olarak bu robot Clavel tarafından Ecole Polytechnique Lausanne de geliştirilmiştir.

5

Şekil 1.5. Star paralel robot

Herve tarafından geliştirilen bu ailenin başka bir üyesi, platformun iki dönel serbestlik derecesiyle her bir kolun kısıtlandığı Şekil 1.5’ deki star robottur.

Şekil 1.6. Orthoglide paralel robot

Aynı ailenin başka bir ilginç üyesi makine-araç uygulamaları için geliştirilen Şekil 1.6’ da gösterilen orthoglide robottur. Bu robotun ana özelliği faydalı çalışma alanında, homejen kinematik performans sunmasıdır. Wenger tarafından geliştirilmiştir.

6

Şekil 1.7. Tricept paralel robot

3 serbestlik dereceli başka bir robot Neumann tarafından geliştirilmiş olan Şekil 1.7’deki tricept’tir [13].

Bu ailenin diğer bir üyesi Şekil 1.8’deki lineer star robottur [14].

Şekil 1.8. Lineer star paralel robot

Lineer delta ve delta gibi robotlar tıbbi alanda en çok kullanılan paralel robotlardır. Delta robot son yıllarda dünyada yoğun uygulama alanı bulmuş olan paralel manipülatörler türlerinden biridir. Delta robot sisteminde, sabit bir uzuv üzerine monte edilmiş 3 aktüatör vasıtasıyla bir plakanın (uç işlevci) çalışma uzayı içerisindeki herhangi bir konuma (x, y, z)

7

hareketi sağlanabilmektedir. Her aktüatöre bağlanan kol tahrik edilmektedir ve kollar uç işlevci plakasına paralelogram mekanizmaları ile bağlıdır. Dolayısı ile sabit düzlem ile hareketli plaka her zaman paralel olmak durumundadır. Aktüatörlerin küçük bir hareketi ile sistem yüksek ivmelere çıkabilir ve çok hızlı konumlanabilir. Sistemin rijitliği seçilen kolların rijitliğine ve mafsallardaki boşluklara bağlıdır. İmalat kalitesindeki en küçük sapmalar sistemin tekrarlama hassasiyetini yüksek miktarda etkiler. Lineer delta robot (triglide), delta robotun biraz daha basitleştirilmiş hali olup 3 serbestlik dereceli paralel bir robottur. Lineer delta robotta 3 kol mevcut olup, bu kollar lineer motorlarla hareket ettirilebilmektedir. Şekil 1.9’da lineer delta robot görülmektedir. Lineer delta robotun en büyük avantajı z yönünde sonsuz bir hareket alanına imkan vermesidir. x ve y yönünde sınırlı bir alanda hareket edebilmesine rağmen, lineer delta robot kullanım amacına göre uygun bir robot tercihi olabilir. Özellikle tıbbi alanlarda kanserli bir hücrenin kesilip alınması gibi operasyonlarda kullanılabilir [12,15].

Şekil 1.9. Triglide (lineer delta) paralel robot

Bu çalışmada, uygulamada en çok kullanılan paralel robotlardan biri olan üç serbestlik dereceli triglide paralel robotun ters ve düz kinematik çözümleri, dinamiği elde edilecek ve son olarak PID kontrol yöntemi ile denetimi gerçekleştirilecektir.

Bölüm 2, triglide paralel robotun düz ve ters kinematik çözümlerinin elde edilmesini, düz ve ters kinematik çözümlerin doğruluğunun test edilmesini ve triglide paralel robotun

8

çalışma hacminin elde edilmesini, Bölüm 3, triglide paralel robotun jakobyen matrisinin elde edilmesini, Bölüm 4, Lagrange yöntemiyle triglide paralel robotun dinamik analizinin yapılarak hareket denklemlerinin elde edilmesini, Bölüm 5, PID kontrol yöntemi kullanılarak triglide paralel robotun kontrol edilmesini ve Bölüm 6, sonuç ve önerileri kapsamaktadır.

2. TRİGLİDE PARALEL ROBOTUN TERS VE DÜZ KİNEMATİK ÇÖZÜMLERİ

Şekil 2.1’de gösterilen sabit platform, lineer motorların hareket ettiği sabit direklerin en alt noktası olarak seçilmiştir. Sabit eksen takımı ise sabit platformun orta noktasına Şekil 2.1’de gösterildiği gibi yerleştirilmiştir. z yönü yerçekimi doğrultusunda seçilmiştir.

Şekil 2.1. Sabit platform

Sabit ve hareketli platform üzerindeki 1,2 ve 3 indisleri Şekil 1.9’da gösterilen q , ₁ q ₂

ve q değişkenlerinin bulunduğu sabit direklere paralel olarak seçilmiştir. Sabit direkler ₃

aralarında 120° lik açı olacak şekilde konumlandırılmıştır.

Şekil 2.2. Hareketli platform

Şekil 2.1 ve 2.2’de gösterildiği gibi sabit ve hareketli platformlar dairesel olup, yarıçapları R ve r’dir. Sabit platformun sabit direklere değdiği noktalar A , ₁ A ve ₂ A ’dür. ₃

10                               0 0 0 2 3 2 3 0 2 2 3 2 1 R R R R R A A A (2.1)

Hareketli platformun paralelogramlara bağlandığı noktalar B , ₁ B ve ₂ B noktalarıdır. ₃

Denklem (2.2)’de bu noktaların x, y ve z koordinatları verilmiştir.

                              0 0 0 2 3 2 3 0 2 2 3 2 1 r r r r r B B B (2.2)

2.1. Ters Kinematik Çözümler

Triglide paralel robotun ters kinematik çözümünü elde etmek için her bir kola vektörel kapalı çevrim yöntemi uygulandı. Şekil 2.3’de triglide paralel robotun birinci kolu için vektörel kapalı çevrim gösterilmiştir.

Şekil 2.3. Triglide paralel robotun birinci kolu için vektörel kapalı çevrim

Şekil 2.3’den bileşke vektör yazılacak olursa denklem (2.3) elde edilir.

1 A (R,0,q₁) O(0, 0, 0) L P(x_p,y_p,z_p) 1 B (x_p+r,y_p, z_p)

11         OP PB AB L O A_{1 1 1 1} (2.3) Denklem (2.3)’de her bir vektörün bileşenleri yerine yazılırsa, denklem (2.4) bulunur.

(R)iˆ(q₁)kˆx_piˆy_pˆjz_pkˆriˆL (2.4) Denklem (2.4) düzenlenirse L vektörü denklem (2.5)’deki gibi elde edilir.

(rRx_p)iˆy_pˆj(z_p q₁)kˆ L (2.5) Buradan L vektörünün uzunluğu aşağıdaki gibi bulunur.

L2 (rRx_p)2 y_p2 (q₁z_p)2 (2.6) Bu ifadeden q ifadesi yalnız bırakılıp çekilirse denklem (2.7) elde edilir. ₁

q₁ z_p  L2 (rRx_p)2 y_p2 (2.7) Şekil 2.4’de triglide paralel robotun ikinci kolu için vektörel kapalı çevrim gösterilmiştir.

Şekil 2.4. Triglide paralel robotun ikinci kolu için vektörel kapalı çevrim

Şekil 2.4’den bileşke vektör yazılacak olursa denklem (2.8) elde edilir.         OP PB A B L O A_{2 2 2 2} (2.8) Bu denklemde her bir vektörün bileşenleri yerine yazılırsa aşağıdaki ifade bulunur.

O(0, 0, 0) P(x_p,y_p,z_p) L 2 A ( 2 R  , 2 3 R , q₂) 2 B (x_p 2 r  , y_p+ 2 3 r , z_p)

12 L j r i r k z j y i x k q j R i R p p p                                         _ˆ 2 3 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ 2 3 ˆ 2 2 (2.9)

Bu denklemde gerekli düzenlemeler yapılırsa L vektörünü denklem (2.10)’daki gibi elde ederiz. R r x_p i r R y_p j z_p q k L                    _ˆ ) ( ˆ 2 3 ) ( ˆ 2 ) ( 2 (2.10)

Buradan L vektörünün uzunluğu aşağıdaki gibi bulunur.

2 2 2 2 2 _{( )} 2 3 ) ( 2 ) ( p p p y q z R r x r R L                       (2.11)

Bu ifadeden q ifadesi yalnız bırakılıp çekilirse denklem (2.12) elde edilir. ₂

2 2 2 2 2 3 ). ( 2 ) (                      z_p L R r x_p r R y_p q (2.12)

Şekil 2.5’de triglide paralel robotun üçüncü kolu için vektörel kapalı çevrim gösterilmiştir.

Şekil 2.5. Triglide paralel robotun üçüncü kolu için vektörel kapalı çevrim

Şekil 2.5’den bileşke vektör yazılacak olursa denklem (2.13) elde edilir.         OP PB A B L O A_{3 3 3 3} (2.13) P(x_p,y_p,z_p) O(0, 0, 0) 3 A ( 2 R  , 2 3 R  ,q₃) 3 B (x_p 2 r  ,y_p 2 3 r  , z_p) L

13

Bu denklemde her bir vektörün bileşenleri yerine yazılırsa, denklem (2.14) bulunur.

R i R j q k x_pi y_pj z_pk r i r j L                                       _ˆ 2 3 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ 2 3 ˆ 2 3 (2.14)

Denklem (2.14)’de gerekli düzenlemeler yapılırsa, L vektörünü (2.15) nolu denklemdeki gibi elde ederiz.

R r x_p i R r y_p j z_p q k L                    _ˆ ) ( ˆ 2 3 ) ( ˆ 2 ) ( 3 (2.15)

Buradan L vektörünün uzunluğu aşağıdaki gibi bulunur.

₃ 2 2 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 ) ( p p p y q z r R x r R L                       (2.16)

Bu ifadeden q ifadesi yalnız bırakılıp çekilirse denklem (2.17) elde edilir. ₃

2 2 2 3 2 3 ). ( 2 ) (                       z_p L R r x_p R r y_p q (2.17)

Triglide paralel robot için elde edilen ters kinematik çözümler aşağıda verilmiştir.

q₁ z_p  L2 (rRx_p)2 y_p2 (2.18) 2 2 2 2 2 3 ). ( 2 ) (                       z_p L R r x_p r R y_p q (2.19) 2 2 2 3 2 3 ). ( 2 ) (                       z_p L R r x_p R r y_p q (2.20) 2.2. Düz Kinematik Çözümler

(2.18) nolu denklem açılır ve _{(r R)}2 _{yerine (R r)}2 _{yazılırsa denklem (2.21) elde}

edilir.

14

Aynı şekilde (2.19) nolu denklem açılır ve (r R)2 yerine (R r)2 yazılırsa denklem (2.22) elde edilir.

x_p2  y_p2 z_p2 (Rr)2 L2 (Rr)x_p  3(rR)y_p q₂2 2q₂z_p 0 (2.22) Son olarak (2.20) nolu denklem açılır ve (r R)2 yerine (R r)2 yazılırsa denklem

(2.23) elde edilir.

x_p2  y_p2 z_p2 (Rr)2 L2 (Rr)x_p  3(Rr)y_p q₃2 2q₃z_p 0 (2.23) (2.21) nolu denklem (2.22) nolu denkleme eşitlenirse, denklem (2.24) elde edilir.

3(Rr)x_p  3(Rr)y_p 2(q₂ q₁)z_p q₂2 q₁2 (2.24) Benzer şekilde, (2.21) nolu denklem (2.23) nolu denkleme eşitlenirse, denklem (2.25)

elde edilir.

3(Rr)x_p  3(Rr)y_p 2(q₃ q₁)z_p q₃2 q₁2 (2.25) Son olarak, (2.22) nolu denklem (2.23) nolu denkleme eşitlenirse, denklem (2.26) elde

edilir.

2 3(Rr)y_p 2(q₃ q₂)z_p q₃2 q₂2 (2.26) (2.24), (2.25) ve (2.26) nolu denklemlerin katsayılar matrisi oluşturulursa, denklem

(2.27) elde edilir.





























































































2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3 1 2

)

(

2

)

(

3

2

0

)

(

2

)

(

3

)

(

3

)

(

2

)

(

3

)

(

3

q

q

q

q

q

q

z

y

x

q

q

r

R

q

q

r

R

r

R

q

q

r

R

r

R

p p p (2.27)





























































































 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 3 1 3 1 2

)

(

2

)

(

3

2

0

)

(

2

)

(

3

)

(

3

)

(

2

)

(

3

)

(

3

q

q

q

q

q

q

q

q

r

R

q

q

r

R

r

R

q

q

r

R

r

R

z

y

x

p p p (2.28)

15















































)

(

2

)

(

3

2

0

)

(

2

)

(

3

)

(

3

)

(

2

)

(

3

)

(

3

2 3 1 3 1 2

q

q

r

R

q

q

r

R

r

R

q

q

r

R

r

R

C

_(2.29)

C matrisinin determinantı bulunduğu zaman, determinantın sıfıra eşit olduğu görülür. Bu durum C matrisinin tersinin olmadığını gösterir. Bu yoldan çözüme ulaşılamaz. Başka bir yoldan çözüm elde edilmeye çalışılmıştır.

(2.26) nolu denklemde y_p, z_p cinsinden ifade edilirse, denklem (2.30) elde edilir.

) ( 3 2 ) ) ( 2 ( ) ( 3 2 ) ) ( 2 ( ₃2 ₂2 _{3 2 2}2 ₃2 _{3 2} r R z q q q q r R z q q q q y_p p p            (2.30)

Bulunan y_p ifadesi (2.24) nolu denklemde yerine koyulup x_p, z_p cinsinden elde edilirse, denklem (2.31) aşağıdaki gibi bulunur.

) ( 6 ). 2 2 4 ( 2 ₁2 ₂2 ₃2 _{1 2 3} r R z q q q q q q x_p p        (2.31)

Bulunan x_p ve y_p ifadelerini (2.7) nolu denklemde yerine koyup z_p ifadesi yalnız bırakılırsa, denklem (2.32) aşağıdaki şekilde ifade edilir.

                     2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 ) ( 12 ) ( ) ( 36 ) 2 ( 3 ) 2 ( ) ( r R q q r R q q q q q q r R L q                        2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 1 ) ( 3 ) )( ( ) ( 18 ) 2 )( 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 2 r R q q q q r R q q q q q q q q q q z_p 0 ) ( 3 ) ( ) ( 36 ) 2 2 4 ( 1 2 2 2 3 2 2 3 2 1 2                  r R q q r R q q q z_p (2.32)

Denklem (2.32)’de kısaltma yapılırsa, denklem (2.33)’deki gibi ifade edilir.

16

Denklem (2.33)’deki a, b ve c ifadeleri sırasıyla denklem (2.34), (2.35) ve (2.36)’da verilmiştir. 2 2 2 3 2 2 3 2 1 ) ( 3 ) ( ) ( 36 ) 2 2 4 ( 1 r R q q r R q q q a         (2.34) 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 1 ) ( 18 ) 2 )( 2 ( 3 ) 2 ( 2 2 r R q q q q q q q q q q b            2 2 3 2 3 2 2 ) ( 3 ) )( ( r R q q q q     (2.35) 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 ) ( 36 ) 2 ( 3 ) 2 ( ) ( r R q q q q q q r R L q c            2 2 2 3 2 2 ) ( 12 ) ( r R q q    (2.36)

Denklem (2.33), ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözüm yöntemi kullanılarak çözüldüğü zaman, z_p için denklem (2.37)’de görüldüğü gibi iki farklı çözüm bulunur.

2a 4 2 2 , 1 ac b b z_p    (2.37) Solidworks programındaki katı modellemeden eksili olan kökün gerçek kök olduğu görülmüştür. Denklem (2.38) z_piçin düz kinematik çözümü vermektedir.

2a 4 2 ac b b z_p    (2.38) Bulunan z_p ifadesi denklem (2.31) ve (2.32)’de yerine koyulduğu zaman, x_p ve y_p için düz kinematik çözümler denklem (2.39) ve (2.40)’daki gibi bulunur.

) ( 6 2a ) 4 ( ) 2 2 4 ( 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1 r R ac b b q q q q q q x_p          _{  }       (2.39)

17 ) ( 3 2 2a ) 4 ( ) 2 2 2 3 2 3 2 2 r R ac b b q q q q y_p          _{  }     (2.40)

Düz kinematik çözümler, yazarın bilgisi dahilinde literatürde ilk defa elde edilmiştir. 2.3. Ters ve Düz Kinematik Çözümlerin Doğruluğunun Test Edilmesi ve Triglide Paralel Robotun Çalışma Hacminin Çıkarılması

2.3.1. Ters ve Düz Kinematik Çözümlerin Doğruluğunun Test Edilmesi

Triglide paralel robotun Solidworks programında katı modellemesi yapılmıştır. Şekil 2.6 ve Şekil 2.7’de bu katı modellemeye ait üstten ve yandan görünüşler görülmektedir.

18

Şekil 2.7. Triglide paralel robotun Solidworks’de katı modellemesinin üstten görünüşü

Solidworks programında yapılan katı modellemeden faydalanılarak ters ve düz kinematik çözümlerin doğruluğu test edilmiştir. Bunun için ilk etapta triglide paralel robotun sabit değerleri ölçülmüştür. Bunlar R, r ve L değerleridir. Daha sonra x_p, y_p ve

p

z değerleri farklı iki konum için ölçülmüştür. Bundan sonra ölçülen bu değerler ters kinematik çözümde yerlerine koyulup q , ₁ q ve ₂ q değerleri Matlab programı yardımı ile ₃

hesaplanmıştır.

Ek A’da Matlab programında yapılan bu işlemler adım adım gösterilmiştir. Hesaplanan

1

q , q ve ₂ q değerlerinin ₃ x_p, y_p ve z_p konumlarına karşılık gelen q , ₁ q ve ₂ q ₃

değerlerine yakın değerler çıktığı görülmüştür. Bu sonuç bulunan ters kinematik çözüm denklemlerinin doğru olduğunu ispatlamaktadır.

İşlemi tersten gerçekleştirerek bu kez triglide paralel robotun bulunan düz kinematik çözüm denklemlerinin doğruluğu ispatlanmıştır. Bu kez ölçülen q , ₁ q ve ₂ q değerleri ₃

düz kinematik çözüm denklemlerinde yerlerine koyularak, bunlara karşılık gelen x_p, y_p ve z_pkonum değerleri Matlab programı yardımıyla hesaplanmıştır.

19

Ek B’de Matlab programında yapılan bu işlemler adım adım gösterilmiştir. Hesaplanan p

x , y_p ve z_p konum değerlerinin q , ₁ q ve ₂ q değerlerine karşılık gelen ₃ x_p, y_p ve z_p konum değerlerine yakın değerler çıktığı görülmüştür.

2.3.2. Triglide Paralel Robotun Çalışma Hacmi

Şekil 2.8’de görüldüğü gibi triglide paralel (lineer delta) robot’un çalışma uzayı yarım küre şeklindedir. Bu çalışma hacminin geniş olduğunu göstermektedir. Özellikle z_p yönündeki çalışma uzayı, robotun imalat boyutlarına bağlı olarak arttırılabilmektedir.

Şekil 2.8. Lineer delta (triglide) robot çalışma hacmi

Triglide paralel robotun çalışma hacmini çıkarmak için Matlab programından faydalanılmıştır. Bunun için yazılan program Ek C’de verilmiştir.

3. TRİGLİDE PARALEL ROBOTUN JAKOBYEN MATRİSİ

Jakobyen matris tekil noktaların bulunmasında önemlidir. Jakobyen matris sıfıra eşitlendiği zaman bulunan noktalar, robotun çalışma uzayı dışına çıktığı noktalar veya kilitlendiği noktalardır. Denklem (3.1)’de triglide paralel robotun jakobyen matrisi ifade edilmiştir.                                      3 3 3 2 2 2 1 1 1 q z q y q x q z q y q x q z q y q x J p p p p p p p p p (3.1) 1 q z_p  

ifadesi, denklem (3.2)’de verilmiştir.

ac b a q b b q c a c q a a q b a ac b b q a q z_p 4 2 2 2 2 ) 4 ( 2 1 1 1 2 1 2 1 1                     (3.2) Denklem (3.2)’deki 1 q a   , 1 q b   ve 1 q c  

ifadeleri sırasıyla aşağıdaki gibi bulunmuştur.

2 3 2 1 1 9( ) ) 2 2 4 ( 2 r R q q q q a       (3.3) ₂ 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 1 1 9( ) ) 2 ( 2 ) ( 9 ) 2 2 4 ( 2 3 2 r R q q q r R q q q q q b             (3.4) 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 9( ) ) 2 ( 2 3 2 r R q q q q q q c        (3.5) 1 q y_p  

21 ) ( 3 ) ( 1 2 3 1 R r q z q q q y p p        (3.6) 1 q x_p  

ifadesi, denklem (3.7)’de ifade edilmektedir.

) ( 6 ) 2 2 4 ( 4 4 1 3 2 1 1 1 R r q z q q q z q q x p p p           (3.7) Denklem (3.6) ve (3.7)’deki 1 q z_p  

ifadesi daha önce denklem (3.2)’de elde edilmiştir.

2 q z_p  

ifadesi, denklem (3.8)’deki gibi bulunur.

ac b a q b b q c a c q a a q b a ac b b q a q z_p 4 2 2 2 2 ) 4 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2                     (3.8) Denklem (3.8)’deki 2 q a   , 2 q b   ve 2 q c  

, sırasıyla denklem (3.9), (3.10) ve (3.11)’de verilmiştir. 2 2 3 2 3 2 1 2 3( ) ) ( 2 ) ( 9 ) 2 2 4 ( r R q q r R q q q q a           (3.9) 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 3( ) ) ( ) ( 2 ) ( 9 ) 2 )( 2 ( 2 3 2 r R q q q q q r R q q q q q q q q b                (3.10) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3( ) ) ( ) ( 9 ) 2 ( 3 2 r R q q q r R q q q q q q c           (3.11) 2 q y_p  

ifadesi, denklem (3.12)’daki gibi elde edilmiştir.

) ( 3 ) ( 2 2 3 2 2 R r q z q q z q q y p p p          (3.12)

22 2 q x_p  

ifadesi, denklem (3.13)’de ifade edilmektedir.

) ( 6 ) 2 2 4 ( 2 2 2 3 2 1 2 2 R r q z q q q z q q x p p p            (3.13) Denklem (3.12) ve (3.13)’deki 2 q z_p  

ifadesi daha önce denklem (3.8)’de elde edilmiştir.

3 q z_p  

ifadesi, denklem (3.14)’de verilmiştir.

ac b a q b b q c a c q a a q b a ac b b q a q z_p 4 2 2 2 2 ) 4 ( 2 3 3 3 2 3 2 3 3                     (3.14) Denklem (3.14)’deki 3 q a   , 3 q b   ve 3 q c  

ifadeleri sırasıyla denklem (3.15), (3.16) ve (3.17)’de ifade edilmiştir.

1 2 ₂ 3 3 2₂ 3 3( ) ) ( 2 ) ( 9 ) 2 2 4 ( r R q q r R q q q q a           (3.15) 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 3 3 3( ) ) ( 2 ) ( ) ( 9 ) 2 )( 2 ( 2 3 2 r R q q q q q r R q q q q q q q q b                (3.16) ₂ 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1 3 2 3 3( ) ) ( ) ( 9 ) 2 ( 3 2 r R q q q r R q q q q q q c           (3.17) 3 q y_p  

ifadesi, denklem (3.18)’deki gibi elde edilmiştir.

) ( 3 ) ( 3 2 3 3 3 R r q z q q z q q y p p p           (3.18) Son olarak 3 q x_p  

23 ) ( 6 ) 2 2 4 ( 2 2 3 3 2 1 3 3 R r q z q q q z q q x p p p            (3.19) Denklem (3.18) ve (3.19)’daki 3 q z_p  

24

4. TRİGLİDE PARALEL ROBOTUN DİNAMİĞİ

Tablo 4.1’de triglide paralel robot elemanlarının ağırlık merkezi koordinatları verilmiştir. Elemanların ağırlık merkezi koordinatları kullanılarak, Lagrange yöntemiyle sistemin dinamiği elde edilmiştir. Sürtünmeler ve dönmeler ihmal edilerek hareket denklemi çıkarılmıştır. Bu bölümde motorlar, paralelogramlar ve hareketli platformdan oluşan sistemin hareket denklemleri çıkarılmıştır.

Motorlar, paralelogramlar ve hareketli platform dikkate alınarak sistemin toplam kinetik enerjisi yazılacak olursa, sistemin toplam kinetik enerjisi denklem (4.1)’deki gibi ifade edilir.

Tablo 4.1. Triglide paralel robot elemanlarının ağırlık merkezi koordinatları

1. Motor Ağırlık Merkezi (R,0,q₁)

2. Motor Ağırlık Merkezi _

       , ₂ 2 3 , 2 q R R

3. Motor Ağırlık Merkezi _

        , ₃ 2 3 , 2 q R R

1. Paralelogram Ağırlık Merkezi _

         2 ) ( , 2 , 2 ) (x_p r R y_p z_p q₁

2. Paralelogram Ağırlık Merkezi

             2 ) ( , 4 ) 3 3 2 ( , 4 ) 2 ( x_p R r y_p R r z_p q₂

3. Paralelogram Ağırlık Merkezi

        _{    } 2 ) ( , 4 ) 3 3 2 ( , 4 ) 2 ( x_p R r y_p R r z_p q₃

Hareketli Platform Ağırlık Merkezi (x_p,y_p,z_p)

( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 q q q m T  _motor                          4 ) ( 4 4 4 ) ( 4 4 4 ) ( 4 4 2 1 x 2 y2 z2 q₁ 2 x 2 y2 z2 q₂ 2 x 2 y2 z2 q₃ 2 m P P P P P P P P P p            

25 ( ) 2 1 2 _{2 2} P P P tabla x y z m       (4.1)

Denklem (4.1)’deki benzer terimler bir araya getirilirse denklem (4.2) elde edilir.

₁2 ₂2 ₂2



3 2 3 2 3 2 2 ( _{1 2 3}) ₁2 ₂2 ₃2



8 1 ) ( 2 1 q q q q q q z z y x m q q q m T  _motor       _p _P  _P  _P  _p            ( ) 2 1 2 _{2 2} P P P tabla x y z m       (4.2)

Daha sonra motorlar, paralelogramlar ve hareketli platform dikkate alınarak sistemin toplam potansiyel enerjisi yazılacak olursa, sistemin toplam potansiyel enerjisi denklem (4.3)’deki gibi bulunur.

V m_motorg q q q m_pg zP q zP q zP q m_tablagz_P               2 2 2 ) ( _{1 2 3} 1 2 3 (4.3)

Sistemin toplam potansiyel enerjisinin düzenlenmiş hali denklem (4.4)’de verilmiştir.

V m_motorg q q q m_pg q q q zP m_tablagz_P             2 3 2 ) ( 1 2 3 3 2 1 (4.4)

Sonuç olarak, Lagrange fonksiyonu denklem (4.5)’de ifade edilmiştir.

LT V (4.5) Sistemin toplam kinetik ve potansiyel enerji ifadeleri denklem (4.5)’de yerine koyulursa sistemin Lagrange fonksiyonu denklem (4.6)’daki gibi elde edilir.

₁2 ₂2 ₂2



3 2 3 2 3 2 2 ( _{1 2 3}) ₁2 ₂2 ₃2



8 1 ) ( 2 1 q q q q q q z z y x m q q q m L _motor       _p _P  _P  _P  _p            ( ) ( ) 2 1 3 2 1 2 2 2 q q q g m z y x m_{tabla P}  _P  _P  _motor       P _{tabla P} p m gz z q q q g m           2 3 2 3 2 1 _(4.6)

26

Buradan q için hareket denklemi denklem (4.7)’deki gibi yazılır.₁

₁ 1 1 F q L q L dt d                (4.7) Denklem (4.7)’deki 1 q L   

ifadesi denklem (4.8) olarak aşağıda verilmiştir.

                           1 3 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ) ( 2 3 3 3 8 1 2 2 1 q z q q q q z q z q y q x m q m q L p p p p p p motor                                 1 2 1 2 1 2 2 1 q z q y q x m_tabla p p p       (4.8)

Ayrıca, denklem (4.8) düzenlenirse

1 q L   

denklem (4.9)’daki gibi bulunur.

                                   1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 3 4 1 q z q q q q z q z z q y y q x x m q m q L p p p p p p p p p motor                   _                1 1 1 q z z q y y q x x m_{tabla p} p _p p _p p          (4.9)

Yukarıdaki denklemde verilen

1 q L   

ifadesinin zamana göre türevi alınırsa, denklem (4.10) elde edilir. ₁ 1 q m q L dt d motor  _                                                          1 1 1 1 1 1 4 3 q z dt d z q z z q y dt d y q y y q x dt d x q x x m_{p p} p _p p _p p _p p _p p _p p                                                  _{1 2 3 1} 1 3 2 1 1 ) ( ) ( 4 1 q z q q q q z q q q q z dt d m_p p p    _p                                                           1 1 1 1 1 1 q z dt d z q z z q y dt d y q y y q x dt d x q x x m_{tabla p} p _p p _p p _p p _p p _p p                      (4.10)

27 Benzer şekilde, denklem (4.7)’deki

1

q L

 

ifadesi denklem (4.11)’de ifade edilmiştir.

                                         1 2 1 2 1 2 3 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 3 3 3 8 1 q z q y q x m q q q q z q z q y q x m q L p p p tabla p p p p p           1 1 2 3 2 1 q z g m q z g m g m_{motor p} p _tabla p                 (4.11)

Ayrıca yukarıdaki denklem yeniden düzenlenirse,

1

q L

 

ifadesi denklem (4.12) olarak elde edilir.                                 ) ( 3 4 1 3 2 1 1 1 1 1 1 q q q q z q z z q y y q x x m q L p p p p p p p p           _                             1 1 1 1 2 3 2 1 q z g m g m q z z q y y q x x m_tabla _p p _p p _p p _{motor p} p 1 q z g m_tabla p    (4.12)

Daha sonra, denklem (4.10)’daki _        1 q L dt d  ve denklem (4.12)’deki q₁ L   ifadeleri denklem (4.25)’de yerine koyulursa, q için hareket denklemi aşağıdaki gbi bulunur. ₁

                                                  1 1 1 1 1 1 1 4 3 q z dt d z q z z q y dt d y q y y q x dt d x q x x m q m_{motor p p} p _p p _p p _p p _p p _p p                                                    _{1 2 3 1} 1 3 2 1 1 ) ( ) ( 4 1 q z q q q q z q q q q z dt d m_p p p    _p                                                           1 1 1 1 1 1 q z dt d z q z z q y dt d y q y y q x dt d x q x x m_{tabla p} p _p p _p p _p p _p p _p p                                                    3 ( ) 4 1 3 2 1 1 1 1 1 q q q q z q z z q y y q x x m p p p p p p p p          

28 _                             1 1 1 1 2 3 2 1 q z g m g m q z z q y y q x x m_tabla _p p _p p _p p _{motor p} p ₁ 1 F q z g m_tabla p     (4.13)

Denklem (4.13)’de yer alan m_motor, m_pve m_tabla ifadeleri sabit değerler olup sırasıyla motor, paralelogram ve hareketli platformun kütleleridir. F ise birinci motorun ₁

uyguladığı kuvvettir. Denklem (4.13)’de yer alan diğer ifadelerin karşılıkları aşağıda verilmiştir.

z_p ifadesi denklem (4.14) olarak ifade edilmektedir.

ac b a b b c a c a a b a ac b a b a z_p 4 2 2 2 2 ) 4 2 2 2                (4.14)

Burada a, b ve c ifadeleri aşağıdaki gibi bulunmuştur.

2 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 ) ( 3 ) )( ( 2 ) ( 9 ) 2 2 4 )( 2 ( r R q q q q r R q q q q q q a                 (4.15) 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 2 1 1 ) ( 3 ) )( ( ) )( 2 2 ( 3 2 2 4 2 r R q q q q q q q q q q q q q q b                      ₂ 1 2 3 2 3 2 2 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 ) ( 18 ) 2 2 4 )( 2 ( ) 2 2 4 )( 2 2 4 ( r R q q q q q q q q q q q q q q q                  (4.16) 2 3 3 2 2 1 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 ) ( 9 ) 2 )( 2 ( 3 ) 2 2 4 ( 2 r R q q q q q q q q q q q q q q q q q c                   2 3 3 2 2 2 3 2 2 ) ( 3 ) )( ( r R q q q q q q       (4.17)

a, b ve c ifadeleri de sırasıyla aşağıdaki gibi verilmektedir.

2 2 2 3 2 2 3 2 1 ) ( 3 ) ( ) .( 36 ) . 2 . 2 . 4 ( 1 r R q q r R q q q a         (4.18) 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 1 ) .( 18 ) . 2 . 2 . 4 )( . 2 ( 3 ) . 2 . 2 . 4 ( . 2 r R q q q q q q q q q q b           

29 2 2 3 2 3 2 2 ) ( 3 ) )( ( r R q q q q     (4.19) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 ) .( 12 ) ( ) .( 36 ) . 2 ( 3 ) . 2 ( . ) ( r R q q r R q q q q q q r R L q c               (4.20)

Denklem (4.13)’deki x_p ifadesi denklem (4.21)’deki gibi ifade edilmektedir.

) ( 6 ) 2 2 4 ( ) 2 2 4 ( 2 2 4 _{1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3} r R z q q q z q q q q q q q q q x_p p p                   (4.21)

Denklem (4.21)’deki z_p ifadesi daha önce denklem (4.14)’de ifade edilmiştir. z_p değeri ise aşağıdaki gibi bulunmuştur.

2a 4 2 _ac b b z_p     (4.22) Denklem (4.22)’deki a,b ve c ifadeleri daha önce denklem (4.18), (4.19) ve (4.20)’de verilmiştir.

Denklem (4.13)’deki y_p ifadesi denklem (4.23)’deki gibi ifade edilmektedir.

) ( 3 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 _{2 2 3 3 3 2 3 2} r R z q q z q q q q q q y_p p p              (4.23)

Denklem (4.23)’deki z_p ve z_p ifadeleri daha önce denklem (4.14) ve (4.22)’de verilmiştir. Denklem (4.13)’deki 1 q z_p    

ifadesi denklem (4.24) olarak verilmektedir.

ac b a q b b q c a c q a a q b a ac b b q a q z_p 4 2 2 2 2 ) 4 ( 2 1 1 1 2 1 2 1 1                                 (4.24)

Benzer şekilde, denklem (4.24)’deki a,b ve c ifadeleri daha önce denklem (4.18), (4.19) ve (4.20)’de elde edilmiştir.

Denklem (4.24)’deki 1 q a     , 1 q b     ve 1 q c    

ifadeleri sırasıyla denklem (4.25), (4.26) ve (4.27) olarak bulunmuştur.