T.C.
KASTAMONU ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
PELL VE PELL-LUCAS HİPER KOMPLEKS SAYILARI
Öznur BAYRAKCI KILDIR
Danışman Doç. Dr. Göksal BİLGİCİ
Jüri Üyesi Prof. Dr. İbrahim BÜYÜKYAZICI Jüri Üyesi Dr. Öğr. Üyesi Zafer ÜNAL
YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI
iv ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
PELL VE PELL – LUCAS HİPER KOMPLEKS SAYILARI Öznur BAYRAKCI KILDIR
Kastamonu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Göksal BİLGİCİ
Hiper kompleks sayıları inşa etmek için en bilinen yöntem Cayley-Dickson sürecidir. Literatür incelendiğinde Pell ve Pell – Lucas hiper kompleks sayılarına yönelik bir çok çalışma göze çarpmaktadır. Bu çalışmaların tamamında hiper kompleks sayıların sıralı tabanlarına Pell ve Pell-Lucas sayılarının da sıralı bir şekilde yerleştirildiği görülmektedir.
Bu çalışmada, Pell ve Pell-Lucas sayıları hiper kompleks sayıların sıralı tabanlarına rasgele olarak yerleştirildiğinde ne gibi değişiklikler olacağı incelenecektir. Kısıtlamasız 2𝑁 Pell ve Pell-Lucas sayıları olarak
isimlendirilecek olan bu hiper kompleks sayılar için Üreteç fonksiyonları, Binet formülleri verildikten sonra yine bu sayılar için Vajda, Catalan, Cassini ve d’Ocagne özdeşlikleri yanı sıra bir çok yeni özdeşlik verilecektir.
Anahtar Kelimeler: Pell ve Pell-Lucas kuaterniyonları, Pell ve Pell-Lucas oktonyonları, Pell ve Pell-Lucas sedenyonları, Pell ve Pell-Lucas hiper kompleks sayıları
2019, 47 sayfa Bilim Kodu: 204
v ABSTRACT
MSc Thesis
PELL AND PELL – LUCAS HYPER COMPLEX NUMBERS Öznur BAYRAKCI KILDIR
Kastamonu University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Doç. Dr. Göksal BİLGİCİ
The well-known method for constructing hyper complex numbers is Cayley – Dickson process. There are many studies about Pell and Pell – Lucas hyper complex numbers but it can be seen that successive Pell and Pell – Lucas numbers were chosen as coefficients for the elements of ordered basis of hyper complex numbers in all these studies.
In this thesis, random Pell and Pell – Lucas numbers are put in the elements of ordered basis of hyper complex numbers. These numbers are called unrestricted Pell and Pell – Lucas 2𝑁s. After the generating functions and the Binet formulas are given, many identities including Vajda, Catalan, Cassini and d’Ocagne are obtained.
Key Words: Pell and Pell-Lucas quaternions, Pell and Pell-Lucas octonions, Pell and Pell-Lucas sedenions, Pell and Pell-Lucas hyper complex numbers 2019, 47 pages
vi TEŞEKKÜR
Bu tezin hazırlanması ve tamamlanmasında büyük katkıları olan değerli hocam Sayın Doç. Dr. Göksal BİLGİCİ (Kastamonu Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü) ’ye teşekkürlerimi borç bilirim.
Her zaman yanımda olan Eşim Ahmet KILDIR’a gösterdiği özveri ve desteğinden dolayı sonsuz teşekkür ederim.
Öznur BAYRAKCI KILDIR Kastamonu, Nisan, 2019
vii İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ ONAYI ... ii TAAHHÜTNAME ... iii ÖZET ... iv ABSTRACT ... v TEŞEKKÜR ... vi İÇİNDEKİLER ... vii SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ... ix TABLOLAR DİZİNİ ... x 1.GİRİŞ ... 1 1.1.Fibonacci Sayıları ... 1
1.2.Pell ve Pell-Lucas Sayıları ... 2
1.3.Cayley–Dickson İnşası ... 3
1.4. Kuaterniyonlar ... 5
1.5. Oktonyonlar ... 6
1.6. Sedenyonlar ... 7
1.7. Fibonacci ve Lucas Hiper Kompleks Sayıları ... 10
1.8. Pell ve Pell-Lucas Hiper Kompleks Sayıları ... 11
2. KISITLAMASIZ PELL VE PELL LUCAS LERİ ... 13
2.1 Kısıtlamasız Pell ve Pell – Lucas 2𝑁-leri İçin Üreteç Fonksiyonları ve Binet Formülleri ... 14
2.2. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 𝟐𝑵-leri için Vajda, Catalan, Cassini ve d’Ocagne Özdeşlikleri ... 21
3. KISITLAMASIZ PELL VE PELL-LUCAS 2𝑁-LERİ İÇİN BAZI ÖZDEŞLİKLER ... 27
viii
KAYNAKLAR ... 43 ÖZGEÇMİŞ ... 47
ix SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ 𝐹𝑛 n. Fibonacci sayısı 𝐿𝑛 n. Lucas sayısı 𝑃𝑛 n. Pell sayısı 𝑄𝑛 n. Pell-Lucas sayısı
𝐻 Reel kuaterniyonların kümesi 𝑂 Reel oktonyonların kümesi S Reel sedenyonların kümesi
𝑇𝑛 Lucas oktonyonları
𝐹̂𝑛 Fibonaci sedenyonları 𝐿̂𝑛 Lucas sedenyonları 𝑄𝑃𝑛 Pell kuaterniyonları 𝑄𝑃𝐿𝑛 Pell-Lucas kuaterniyonları
𝐹𝑁,𝑟𝑐⃗ r-yinci kısıtlamasız Fibonacci 2𝑁sayıları
𝐿𝑐⃗𝑁,𝑟 r-yinci kısıtlamasız Lucas 2𝑁 sayıları 𝑃𝑁,𝑟𝑐⃗ r-yinci kısıtlamasız Pell 2𝑁 sayıları
x
TABLOLAR DİZİNİ
Sayfa
Tablo 1.1. Hiper kompleks sayıların kaybolan özellikleri ...5
Tablo 1.2. Kuaterniyon taban elemanlarının çarpım tablosu ...5
Tablo 1.3. Oktonyon taban elemanlarının çarpım tablosu ...6
1 1.GİRİŞ
1.1. Fibonacci Sayıları
Tam sayı dizileri arasında belki de en meşhur sayı dizisi olan Fibonacci dizisi aşağıdaki rekörsif bağıntıyı sağlayan tamsayılarla tanımlanır.
𝐹0 = 0, 𝐹1 = 1
𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1+ 𝐹𝑛−2 (𝑛 ≥ 2).
Fibonacci sayılarına ilk kez 13.yy da Leonardo Fibonacci’nin “Liber Abaci” kitabının sonundaki tavşan problemi ile rastlanır. 19.yy da bu sayılara Lucas tarafından Fibonacci sayıları adı verilmiştir [21].
Bir başka meşhur sayı dizisi de Lucas sayılarının oluşturduğu dizidir. Lucas sayıları, Fibonacci sayıları ile aynı rekörsif eşitliği sağlarken sadece başlangıç koşulları değişmektedir. Yani Lucas sayıları;
𝐿0 = 2, 𝐿1 = 1
𝐿𝑛 = 𝐿𝑛−1+ 𝐿𝑛−2 (𝑛 ≥ 2) bağıntısı ile tanımlanır.
{𝐹𝑛}𝑛=0∞ ve {𝐿
𝑛}𝑛=0∞ dizilerinin üreteç fonksiyonları sırasıyla;
∑ 𝐹𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑥 1 − 𝑥 − 𝑥2 ∑ 𝐿𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 = 2 − 𝑥 1 − 𝑥 − 𝑥2
2 şeklindedir.
Bu sayılar için Binet Formülleri ise sırasıyla
𝐹𝑛 =𝛼𝑛−𝛽𝑛 𝛼−𝛽 , 𝐿𝑛 = 𝛼 𝑛+ 𝛽𝑛 gibidir. Burada 𝛼 =1+√5 2 ve 𝛽 = 1−√5 2 sayıları 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0 karakteristik
denkleminin kökleridir. Buarad pozitif kök α, altın oran olarak isimlendirilir ve çok önemli rollere sahiptir.
1.2. Pell ve Pell-Lucas Sayıları
Pell sayıları adını İngiliz Matematikçi John Pell (1611-1685)’den alır. John Pell, d pozitif tam kare olmayan bir tam sayı olmak üzere, 𝑥2− 𝑑𝑦2 = (−1)𝑛) eşitliği
üzerindeki çalışmalarından dolayı Pell sayıları ismini almıştır [22].
Diğer taraftan Pell sayıları 𝑃𝑛, Pell-Lucas sayıları 𝑄𝑛 ile gösterilirler ve sırasıyla aşağıdaki rekörsif bağıntılarla tanımlanırlar
𝑃0 = 0, 𝑃1 = 1 ,
𝑃𝑛 = 2𝑃𝑛−1+ 𝑃𝑛−2 (n≥ 2)
ve
𝑄0 = 1, 𝑄1 = 1,
𝑄𝑛 = 2𝑄𝑛−1+ 𝑄𝑛−2(n≥ 2).
{𝑃𝑛}𝑛=0∞ ve {𝑄𝑛}𝑛=0∞ dizilerinin üreteç fonksiyonları sırasıyla
∑ 𝑃𝑛𝑥𝑛 =
𝑥 1 − 2𝑥 − 𝑥2 ∞
3 ve ∑ 𝑄𝑛𝑥𝑛 = 2 − 𝑥 1 − 2𝑥 − 𝑥2 ∞ 𝑛=0
şeklindedir. Pell ve Pell-Lucas sayıları için Binet Formülleri ise sırasıyla:
𝑃𝑛 =𝛾 𝑛− 𝛿𝑛 𝛾 − 𝛿 ve 𝑄𝑛 =𝛾 𝑛+ 𝛿𝑛 2
ile verilir. Burada 𝛾 = 1 + √2 , 𝛿 = 1 − √2 sayıları 𝑥2− 2𝑥 − 1 = 0 karakteristik denkleminin kökleridir.
Pozitif kök 𝛾, gümüş oran olarak adlandırılır ve Fibonacci sayılarındaki altın oran benzeri bir rol oynar. Literatürde Pell ve Pell-Lucas sayıları ve bu sayıların genelleştirilmeleri ile ilgili birçok çalışma bulunmaktadır [1, 6, 18, 19, 20 30, 32].
1.3. Cayley–Dickson İnşası
Hiper kompleks sayıları inşa etmek için en fazla kullanılan yöntem Cayley-Dickson inşasıdır. Bu bölümde bu inşa süreci izah edilecektir. 𝑎 + 𝑖𝑏 kompleks sayısı (𝑎, 𝑏) olarak gösterilirse toplama ve çarpma işlemleri sırasıyla
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
ve
4
olarak yazılabilir. Bir kompleks sayısının eşleniği ise
(𝑎, 𝑏)∗= (𝑎∗, −𝑏) = (𝑎, −𝑏)
şeklinde olur. Kuaterniyonlarda tamamen benzer şekilde inşa edilir. Bir kuaterniyon kompleks sayıların bir çifti olarak düşünülebilir. Buna göre 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 olmak üzere toplama ve çarpma işlemleri sırasıyla
(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
ve
(𝑎, 𝑏). (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑑∗𝑏)(𝑑𝑎 + 𝑏𝑐∗) olarak tanımlanır. Bir kuaterniyonun eşleniği ise
(𝑎, 𝑏)∗ = (𝑎∗, −𝑏)
olur. Bir kuaterniyon ile eşleniğinin çarpımı negatif olmayan bir reel sayıdır:
(𝑎, 𝑏)∗(𝑎, 𝑏) = (𝑎∗, −𝑏)(𝑎, 𝑏) = (𝑎∗𝑎 + 𝑏∗𝑏, 𝑏𝑎∗− 𝑏𝑎∗) = (|𝑎|2+ |𝑏|2, 𝑜)
Bu şekilde devam edilerek sırasıyla oktonyon ve sedenyonlar da inşa edilir. Fakat her aşamada bazı cebirsel özellikler kaybolmaktadır. Bu durum aşağıdaki tabloda görülebilir.
5
Tablo 1.1. Hiper kompleks sayıların kaybolan özellikleri
CEBİR Boyut Sıralama Değişme Birleşme Alternatiflik
Üs-Birleşimlilik Sıfır Bölen Reel 1 + + + + + - Kompleks Sayılar 2 - + + + + - Kuaterniyonlar 4 - - + + + - Oktonyonlar 8 - - - + + - Sedenyonlar 16≥ - - - - + + 1.4. Kuaterniyonlar
Kuaterniyonlar 1843 yılında Sir W.R. Hamilton tarafından kompleks sayıları genişletmek amacıyla tanımlanmıştır. Reel kuaterniyonların kümesi;
𝐻 = {𝑎. 𝑒0 + 𝑏. 𝑒1+ 𝑐. 𝑒2+ 𝑑. 𝑒3: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ}
ile gösterilir ve bu küme tabanı {𝑒0 = 1, 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} olan bir bölüm cebiridir. H’nın taban elemanlarının çarpım tablosu aşağıdadır.
Tablo 1.2. Kuaterniyon taban elemanlarının çarpım tablosu
1 𝑒1 𝑒2 𝑒3
1 -1 𝑒1 𝑒2 𝑒3
𝑒1 𝑒1 -1 𝑒3 -𝑒2
𝑒2 𝑒2 -𝑒3 -1 𝑒1
𝑒3 𝑒3 𝑒2 -𝑒1 -1
6
𝑞̅ = 𝑎0𝑒0− ∑ 𝑎𝑖𝑒𝑖
3
𝑖=1
şeklindedir. q kuaterniyonunun normu ise
‖𝑞‖ = 𝑞. 𝑞̅=𝑎02 + 𝑎
12+ 𝑎22+ 𝑎32
ile verilir.
1.5. Oktonyonlar
Oktonyonlar, kuaterniyonlar gibi Cayley-Dickson süreci kullanılarak inşa edilirler. İlk olarak 1843 yılında Graves’in Hamilton’a yazmış olduğu bir mektupta karşılaşılmıştır. Daha sonra Arthur Cayley, tekrar keşfetmiş ve bunları yayınlamıştır [26]. Tüm reel oktonyonların kümesi
𝑂 = {𝑎0𝑒0+ 𝑎1𝑒1+ ⋯ + 𝑎7𝑒7 ∶ 𝑎0, … , 𝑎7 ∈ ℝ}
şeklinde gösterilir ve reel sayılar üzerinde normlu bir bölüm cebiri oluştururlar. Taban elemanlarının çarpım tablosu aşağıdaki gibidir.
Tablo 1.3. Oktonyon taban elemanlarının çarpım tablosu
1 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5 𝑒6 𝑒7 1 -1 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5 𝑒6 𝑒7 𝑒1 𝑒1 -1 𝑒3 -𝑒2 𝑒5 -𝑒4 -𝑒7 𝑒6 𝑒2 𝑒2 -𝑒3 -1 𝑒1 𝑒6 𝑒7 -𝑒4 -𝑒5 𝑒3 𝑒3 𝑒2 -𝑒1 -1 𝑒7 -𝑒6 𝑒5 -𝑒4 𝑒4 𝑒4 -𝑒5 -𝑒6 -𝑒7 -1 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒5 𝑒5 𝑒4 -𝑒7 𝑒6 -𝑒1 -1 -𝑒3 𝑒2 𝑒6 𝑒6 𝑒7 𝑒4 -𝑒5 -𝑒2 -𝑒3 -1 -𝑒1 𝑒7 𝑒7 -𝑒6 𝑒5 𝑒4 -𝑒3 -𝑒2 𝑒1 -1
7 Bir reel oktonyon
o = ∑ 𝑎𝑖𝑒𝑖
7
𝑖=0
olmak üzere eşleniği
o̅ = 𝑎0− ∑ 𝑎𝑖𝑒𝑖 7 𝑖=1 , normu ise ‖𝑜‖ = 𝑜. 𝑜̅ = 𝑎02+ 𝑎 12+ ⋯ + 𝑎72
şeklindedir. Oktonyonlar birleşme özelliğini sağlamazlar.
1.6. Sedenyonlar
Yine Cayley-Dickson süreci kullanılarak inşa edilen bir başka hiper kompleks sayılar olan sedenyonlar, reel sayılar üzerinde 16 boyutlu, değişmeli ve birleşmeli olmayan bir cebirdir. Sedenyonlar, oktonyonlardan farklı olarak alternatif cebir değildir [25]. Tüm sedenyonların kümesi
𝑆 = {𝑎0𝑒0+ 𝑎1𝑒1+ ⋯ + 𝑎15𝑒15; 𝑎0, 𝑎1… , 𝑎15 ∈ ℝ}
8 Tablo 1.4. Sedenyon taban elemanlarının çarpım tablosu[11].
1 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5 𝑒6 𝑒7 𝑒8 𝑒9 𝑒10 𝑒11 𝑒12 𝑒13 𝑒14 𝑒15 1 -1 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5 𝑒6 𝑒7 𝑒8 𝑒9 𝑒10 𝑒11 𝑒12 𝑒13 𝑒14 𝑒15 𝑒1 𝑒1 -1 𝑒3 -𝑒2 𝑒5 -𝑒4 -𝑒7 𝑒6 𝑒9 -𝑒8 -𝑒11 𝑒10 -𝑒13 𝑒12 𝑒15 -𝑒14 𝑒2 𝑒2 -𝑒3 -1 𝑒1 𝑒6 𝑒7 -𝑒4 -𝑒5 𝑒10 𝑒11 -𝑒8 -𝑒9 -𝑒14 -𝑒15 𝑒12 𝑒13 𝑒3 𝑒3 𝑒2 -𝑒1 -1 𝑒7 -𝑒6 𝑒5 -𝑒4 𝑒11 -𝑒10 𝑒9 -𝑒8 -𝑒15 𝑒14 -𝑒13 𝑒12 𝑒4 𝑒4 -𝑒5 -𝑒6 -𝑒7 -1 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒12 𝑒13 𝑒14 𝑒15 -𝑒8 -𝑒9 -𝑒10 -𝑒11 𝑒5 𝑒5 𝑒4 -𝑒7 𝑒6 -𝑒1 -1 -𝑒3 𝑒2 𝑒13 -𝑒12 𝑒15 -𝑒14 𝑒9 -𝑒8 𝑒11 -𝑒10 𝑒6 𝑒6 𝑒7 𝑒4 -𝑒5 -𝑒2 -𝑒3 -1 -𝑒1 𝑒14 -𝑒15 -𝑒12 𝑒13 𝑒10 -𝑒11 -𝑒8 𝑒9 𝑒7 𝑒7 -𝑒6 𝑒5 𝑒4 -𝑒3 -𝑒2 𝑒1 -1 𝑒15 𝑒14 -𝑒13 -𝑒12 𝑒11 𝑒10 -𝑒9 -𝑒8 𝑒8 𝑒8 -𝑒9 -𝑒10 -𝑒11 -𝑒12 -𝑒13 -𝑒14 -𝑒15 -1 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5 𝑒6 𝑒7 𝑒9 𝑒9 𝑒8 -𝑒11 𝑒10 -𝑒13 𝑒12 𝑒15 -𝑒14 -𝑒1 -1 -𝑒3 𝑒2 -𝑒5 𝑒4 𝑒7 -𝑒6 𝑒10 𝑒10 𝑒11 𝑒8 -𝑒9 -𝑒14 -𝑒15 𝑒12 𝑒13 -𝑒2 𝑒3 -1 -𝑒1 -𝑒6 -𝑒7 𝑒4 𝑒5 𝑒11 𝑒11 -𝑒10 𝑒9 𝑒8 -𝑒15 𝑒14 -𝑒13 𝑒12 -𝑒3 -𝑒2 𝑒1 -1 -𝑒7 𝑒6 -𝑒5 𝑒4 𝑒12 𝑒12 𝑒13 𝑒14 𝑒15 𝑒8 -𝑒9 -𝑒10 -𝑒11 -𝑒4 𝑒5 𝑒6 𝑒7 -1 -𝑒1 -𝑒2 -𝑒3 𝑒13 𝑒13 -𝑒12 𝑒15 -𝑒14 𝑒9 𝑒8 𝑒11 -𝑒10 -𝑒5 -𝑒4 𝑒7 -𝑒6 𝑒1 -1 𝑒3 -𝑒2 𝑒14 𝑒14 -𝑒15 -𝑒12 𝑒13 𝑒10 -𝑒11 𝑒8 𝑒9 -𝑒6 -𝑒7 -𝑒4 𝑒5 𝑒2 -𝑒3 -1 𝑒1 𝑒15 𝑒15 𝑒14 -𝑒13 -𝑒12 𝑒11 𝑒10 -𝑒9 𝑒8 -𝑒7 𝑒6 -𝑒5 -𝑒4 𝑒3 𝑒2 -𝑒1 -1
9 Bir sedenyon
𝑠 = ∑ 𝑎𝑖𝑒𝑖
15
𝑖=0
olmak üzere, eşleniği
𝑠̅ = 𝑎0− ∑ 𝑎𝑖𝑒𝑖 15 İ=1 ve normu ‖𝑠‖ = 𝑠. 𝑠̅ = 𝑎02+ 𝑎 12+ ⋯ + 𝑎152 ile verilir.
Yukarıda anlatılanlar göz önüne alındığında kısaca
1-ons: Reel Sayılar
2-ons: Kompleks sayılar
4-ons: Kuaterniyonlar
8-ons: Oktonyonlar
16-ons: Sedenyonlar olarak özetlenebilir.
10
1.7. Fibonacci ve Lucas Hiper Kompleks Sayıları
Horadam [15], Fibonacci kuaterniyonlarını aşağıdaki gibi tanımlamıştır.
𝑄𝑛 = 𝐹𝑛+ 𝑒1𝐹𝑛+1+ 𝑒2𝐹𝑛+2+ 𝑒3𝐹𝑛+3.
Burada 𝐹𝑛, n. Fibonacci sayısıdır. Daha sonra Iyer [16] benzer şekilde Lucas
kuaterniyonlarını 𝑇𝑛 = 𝐿𝑛+ 𝑒1𝐿𝑛+1+ 𝑒2𝐿𝑛+2+ 𝑒3𝐿𝑛+3 şeklinde tanımlamıştır. Halıcı [14], Fibonacci ve Lucas kuaterniyonları için aşağıdaki Binet formüllerini vermiştir. 𝑄𝑛 = 𝛼𝛼 𝑛− 𝛽𝛽𝑛 𝛼 − 𝛽 𝑇𝑛 = 𝛼𝛼𝑛− 𝛽𝛽𝑛 𝛼 + 𝛽 burada 𝛼 = 1 + 𝑒1𝛼 + 𝑒2𝛼2+ 𝑒 3𝛼3 𝛽 = 1 + 𝑒1𝛽 + 𝑒2𝛽2+ 𝑒3𝛽3 şeklindedir.
Literatürde Fibonacci ve Lucas kuaterniyonları veya bunların genelleştirilmeleri ile ilgili çok sayıda çalışma bulunmaktadır [2, 3, 13, 23, 24, 27, 29].
Daha sonra Keçilioğlu ve Akkuş [17], Fibonacci ve Lucas oktonyonlarını aşağıdaki gibi tanımlayarak, birçok özelliğini vermişlerdir:
𝑄𝑛 = ∑ 𝐹𝑛+𝑖 7 𝑖=0 𝑒𝑖 𝑇𝑛 = ∑ 𝐿𝑛+𝑖 7 𝑖=0 𝑒𝑖.
11
Son olarak Bilgici vd [5], Fibonacci ve Lucas sedenyonlarını
𝐹̂𝑛 = ∑ 𝐹𝑛+𝑠 15 𝑠=0 𝑒𝑠 𝐿̂𝑛 = ∑ 𝐿𝑛+𝑠 15 𝑠=0 𝑒𝑠
olarak tanımlayarak incelemişlerdir.
1.8. Pell ve Pell-Lucas Hiper Kompleks Sayıları
Çimen ve İpek [12], 𝑃𝑛, n-yinci Pell, 𝑃𝐿𝑛 ise n-yinci Pell-Lucas sayısı olmak üzere
Pell ve Pell-Lucas kuaterniyonlarını sırasıyla;
𝑄𝑃𝑛 = 𝑃𝑛 + 𝑒1𝑃𝑛+1+ 𝑒2𝑃𝑛+2+ 𝑒3𝑃𝑛+3
ve
𝑄𝑃𝐿𝑛 = 𝑃𝐿𝑛+ 𝑒1𝑃𝐿𝑛+1+ 𝑒2𝑃𝐿𝑛+2+ 𝑒3𝑃𝐿𝑛+3
şeklinde tanımlanmışlardır. Daha sonra bu sayılar için Binet formüllerini
𝑄𝑃𝑛 =𝛾𝑛𝐴−𝛿𝑛𝐵
𝛾−𝛿 ve 𝑄𝑃𝐿𝑛 =
𝛾𝑛𝐴+𝛿𝑛𝐵
2
olarak hesaplamışlardır. Burada 𝐴 = ∑3𝑠=0𝛾𝑠𝑒𝑠 ve 𝐵 = ∑3𝑠=0𝛿𝑠𝑒𝑠 şeklindedir.
Bu tanımlamalardan sonra Çimen ve İpek ile daha sonra Szynal–Liana ve Wloch [28] bu sayılarla ilgili birçok özdeşlik vermişlerdir.
12 𝑇𝑛 = ∑ 𝑃𝑛+𝑠𝑒𝑠 7 𝑠=1 𝑄𝑛 = ∑ 𝑄𝑛+𝑠𝑒𝑠 7 𝑠=1 olarak tanımlamışlardır.
Yine literatürde Pell ve Pell-Lucas hiper kompleks sayıları ile ilgili bazı çalışmalar göze çarpmaktadır [4, 7, 8, 9, 10, 31].
Fibonacci, Lucas, Pell ve Pell-Lucas hiper kompleks sayıları ile alakalı çalışmalarda 𝑒𝑖 taban elemanlarının katsayısı olarak ilgili tamsayısı dizisinin terimlerinin ardışık
olarak yerleştirilerek bir tanım verildiği görülmektedir.
Bilgici ve Daşdemir çalışmalarında bu duruma farklı bir yaklaşım getirmek için rasgele Fibonacci ve Lucas sayılarını katsayılara yerleştirmişler ve aşağıdaki gibi tanımlamışlardır.
N=0,…,4 ve 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐2𝑁−1 tam sayılar ve 𝑐⃗ = (𝑐0 = 0, 𝑐1, … , 𝑐2𝑁−1) vektörü
olmak üzere r-yinci Fibonacci ve Lucas 2𝑁 leri sırasıyla
𝐹𝑁,𝑟𝑐⃗ = ∑ 𝐹𝑟+𝑐𝑖𝑒𝑖 2𝑁−1 𝑖=0 ve 𝐿𝑐⃗𝑁,𝑟 = ∑ 𝐿𝑟+𝑐𝑖𝑒𝑖 2𝑁−1 𝑖=0 olarak tanımlanır.
13
2. KISITLAMASIZ PELL VE PELL LUCAS 𝟐𝑵 LERİ
Bu çalışmada, N=0,…,4 ve 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐2𝑁−1 tam sayılar ve 𝑐⃗ = (𝑐0 = 0, 𝑐1, … , 𝑐2𝑁−1) vektörü olmak üzere, kısıtlamasız Fibonacci ve Lucas 2𝑁 lerine benzer şekilde
r-yinci kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁 sayıları aşağıdaki gibi tanımlanacaktır:
𝑃𝑁,𝑟𝑐⃗ = ∑ 𝑃𝑟+𝑐𝑖 2𝑁−1 𝑖=0 𝑒𝑖 ve 𝑄𝑁,𝑟𝑐⃗ = ∑ 𝑄𝑟+𝑐𝑖 2𝑁−1 𝑖=0 𝑒𝑖.
Pell ve Pell-Lucas sayılarının tanımından aşağıdaki rekörsif bağıntıları kolayca elde edebiliriz.
𝑃𝑁,𝑟𝑐⃗ = 2𝑃
𝑁,𝑟−1𝑐⃗ + 𝑃𝑁,𝑟−2𝑐⃗
ve
𝑄𝑁,𝑟𝑐⃗ = 2𝑄𝑁,𝑟−1𝑐⃗ + 𝑄𝑁,𝑟−2𝑐⃗ .
N’nin ve 𝑐⃗ nin seçimi bazı özel durumları verir:
N=0 ve 𝑐⃗ = (0), klasik Pell ve Pell-Lucas sayılarını,
N=1 ve 𝑐⃗ = (0,1), Pell ve Pell-Lucas kompleks sayılarını,
N=2 ve 𝑐⃗ = (0,1,2,3), Pell ve Pell-Lucas kuaterniyonlarını,
14
N=4 ve 𝑐⃗ = (0,1, … ,15), Pell ve Pell-Lucas sedenyonlarını Bir örnek vermek gerekirse
𝑃8 + 𝑃12𝑒1+ 𝑃−16𝑒3+ 𝑃21𝑒7 oktonyonu 𝑃3,8
(0,4,−8,−24,−8,−8,−8,13)
𝑃−𝑛= (−1)𝑛+1𝑃
𝑛 ve 𝑄−𝑛= (−1)𝑛𝑄𝑛 özdeşlikleri kullanılarak negatif indisli
kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁 leri için aşağıdaki eşitlikleri verilebilir.
𝑃𝑁,−𝑟𝑐⃗ = (−1)𝑟+1[ ∑ (−1)𝑐𝑖 2𝑁−1 𝑖=0 𝑃𝑟−𝑐𝑖𝑒𝑖] ve 𝑄𝑁,−𝑟𝑐⃗ = (−1)𝑟[ ∑ (−1)𝑐𝑖 2𝑁−1 𝑖=0 𝑄𝑟−𝑐𝑖𝑒𝑖].
2.1 Kısıtlamasız Pell ve Pell – Lucas 𝟐𝑵 leri İçin Üreteç Fonksiyonları ve Binet
Formülleri
Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet Formülü aşağıdaki gibidir.
Teorem 2.1. Her r tam sayısı için r –yinci kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas sayıları sırasıyla 𝑃𝑁,𝑟𝑐⃗ = 𝛾̆𝛾 𝑟− 𝛿̆𝛿𝑟 𝛾 − 𝛿 ve 𝑄𝑁,𝑟𝑐⃗ = 𝛾̆𝛾 𝑟+ 𝛿̆𝛿𝑟 2 şeklindedir. Burada
15 𝛾̆ = ∑ 𝛾𝑐𝑖 2𝑁−1 𝑖=0 𝑒𝑖 ve 𝛿̆ = ∑ 𝛿𝑐𝑖 2𝑁−1 𝑖=0 𝑒𝑖 dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell 2𝑁 lerinin tanımı ve Pell sayıları için Binet Formülünden
𝑃𝑁,𝑟𝑐⃗ = 𝑃𝑟+ 𝑃𝑛+𝑐1𝑒1+ ⋯ + 𝑃𝑛+𝑐2𝑁−1𝑒2𝑁−1 = 1 𝛾 − 𝛿(𝛾 𝑟− 𝛿𝑟+ (𝛾𝑟+𝑐1 − 𝛿𝑟+𝑐1)𝑒 1+ (𝛾𝑟+𝑐2 − 𝛿𝑟+𝑐2)𝑒2 + … + (𝛾𝑟+𝑐2𝑁−1 − 𝛿𝑟+𝑐2𝑁−1)𝑒 2𝑁−1 = 1 𝛾 − 𝛿[𝛾 𝑟(𝛾𝑐1+ 𝛾𝑐2 + ⋯ + 𝛾𝑐(2𝑁−1)) + 𝛿𝑟(𝛿𝑐1+ 𝛿𝑐2+ ⋯ + 𝛿𝑐(2𝑁−1))] = 𝛾̆𝛾 𝑟+ 𝛿̆𝛿𝑟 2 . ∎
Benzer şekilde kısıtlamasız Pell-Lucas 2𝑁 leri için binet formülü elde edilir.
Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁 dizileri için üreteç fonksiyonları veren teorem
aşağıda verilmiştir.
Teorem 2.2. {𝑃𝑁,𝑟𝑐⃗ }𝑟=0∞ ve {𝑄𝑁,𝑟𝑐⃗ }𝑟=0∞ dizileri için üreteç fonksiyonları sırasıyla;
∑ 𝑃𝑁,𝑖 ∞ 𝑖=0 𝑥𝑖 =𝑃𝑁,0 𝑐⃗ + 𝑥(𝑃 𝑁,1𝑐⃗ − 2𝑃𝑁,0𝑐⃗ ) 1 − 2𝑥 − 𝑥2
16 ve ∑ 𝑄𝑁,𝑖 ∞ 𝑖=0 𝑥𝑖 = 𝑄𝑁,0 𝑐⃗ + 𝑥(𝑄 𝑁,1𝑐⃗ − 2𝑄𝑁,0𝑐⃗ ) 1 − 2𝑥 − 𝑥2 şeklindedir. İspat. 𝑃(𝑥) = ∑∞𝑖=0𝑃𝑁,𝑖𝑐⃗ 𝑥𝑖 diyelim. Buradan 𝑃(𝑥) = 𝑃𝑁,0𝑐⃗ + 𝑃𝑁,1𝑐⃗ 𝑥 + ∑∞𝑖=2𝑃𝑁,𝑖𝑐⃗ 𝑥𝑖 (2.1)
elde edilir. Sırasıyla -2x ve −𝑥2 ile çarpılırsa
−2xP(x) = −2x𝑃𝑁,0𝑐⃗ − ∑∞𝑖=22𝑃𝑁,𝑖−1𝑐⃗ 𝑥𝑖 (2.2) ve −𝑥2𝑃(𝑥) = − ∑ 𝑃 𝑁,𝑖−2𝑐⃗ ∞ 𝑖=2 𝑥𝑖 (2.3) bulunur. (2.1), (2.2) ve (2.3) eşitlikleri toplanırsa (1 − 2𝑥 − 𝑥2)𝑃(𝑥) = 𝑃 𝑁,0𝑐⃗ + 𝑥(𝑃𝑁,1𝑐⃗ − 2𝑃𝑁,0𝑐⃗ ) + ∑(𝑃𝑁,𝑖𝑐⃗ ∞ 𝑖=2 − 2𝑃𝑁,𝑖−1𝑐⃗ − 𝑃𝑁,𝑖−2𝑐⃗ )𝑥𝑖 = 𝑃𝑁,0𝑐⃗ + 𝑥(𝑃𝑁,1𝑐⃗ − 2𝑃𝑁,0𝑐⃗ ) Buradan ise 𝑃(𝑥) =𝑃𝑁,0 𝑐⃗ + 𝑥(𝑃 𝑁,1𝑐⃗ − 2𝑃𝑁,0𝑐⃗ ) 1 − 2𝑥 − 𝑥2
17 elde edilir.
Şimdi ise 𝑄(𝑥) = ∑∞𝑖=0𝑄𝑁,𝑖𝑐⃗ 𝑥𝑖 diyelim. Buradan
𝑄(𝑥) = 𝑄𝑁,0𝑐⃗ + 𝑄𝑁,1𝑐⃗ 𝑥 + ∑∞𝑖=2𝑄𝑁,𝑖𝑐⃗ 𝑥𝑖 (2.4)
elde edilir. Sırasıyla -2x ve −𝑥2 ile çarpılırsa
−2xQ(x) = −2x𝑄𝑁,0𝑐⃗ − ∑∞𝑖=22𝑄𝑁,𝑖−1𝑐⃗ 𝑥𝑖 (2.5) ve −𝑥2𝑄(𝑥) = − ∑ 𝑄 𝑁,𝑖−2𝑐⃗ ∞ 𝑖=2 𝑥𝑖 (2.6) bulunur. (2.4), (2.5) ve (2.6) eşitlikleri toplanırsa (1 − 2𝑥 − 𝑥2)𝑄(𝑥) = 𝑄 𝑁,0𝑐⃗ + 𝑥(𝑄𝑁,1𝑐⃗ − 2𝑄𝑁,0𝑐⃗ ) + ∑(𝑄𝑁,𝑖𝑐⃗ ∞ 𝑖=2 − 2𝑄𝑁,𝑖−1𝑐⃗ − 𝑄𝑁,𝑖−2𝑐⃗ )𝑥𝑖 = 𝑄𝑁,0𝑐⃗ + 𝑥(𝑄𝑁,1𝑐⃗ − 2𝑄𝑁,0𝑐⃗ ) Buradan ise 𝑄(𝑥) = 𝑄𝑁,0 𝑐⃗ + 𝑥(𝑄 𝑁,1𝑐⃗ − 2𝑄𝑁,0𝑐⃗ ) 1 − 2𝑥 − 𝑥2 ∎
Sonraki ispatlarda kullanmak üzere aşağıdaki kümenin tanımına ihtiyaç duyulmaktadır.
Her 𝑖 ∈ {1,2, … , 2𝑁−1− 1} için
18
kümesi tanımlansın. Buna göre aşağıdaki sonuçlar verilebilir.
Lemma 2.3. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere
𝛾̆𝛿̆ = 𝑌𝑁𝑐⃗+ 2√2𝑍𝑁𝑐⃗ (2.8)
ve
𝛿̆𝛾̆ = 𝑌𝑁𝑐⃗− 2√2𝑍𝑁𝑐⃗ (2.9)
dir. Burada 𝑌𝑁𝑐⃗ ve 𝑍𝑁𝑐⃗ sırasıyla aşağıdaki gibidir
𝑌𝑁𝑐⃗= 2𝑄𝑁,0𝑐⃗ − ∑2𝑁−1(−1)𝑐𝑖 𝑖=0 (2.10) ve 𝑍𝑁𝑐⃗ = ∑2 𝑒𝑖 𝑁−1 𝑖=1 ∑(𝑗,𝑘)∈𝑆𝑖(−1)𝑐𝑘𝑃𝑐𝑗−𝑐𝑘. (2.11) İspat. N=3 için 𝛾̆𝛿̆ = (1 + 𝛾𝑐1𝑒 1+ 𝛾𝑐2𝑒2+ 𝛾𝑐3𝑒3) + (1 + 𝛿𝑐1𝑒1+ 𝛿𝑐2𝑒2+ 𝛿𝑐3𝑒3) = 1 − (𝛾𝛿)𝑐1− (𝛾𝛿)𝑐2− (𝛾𝛿)𝑐3+ (𝛾𝑐1+ 𝛿𝑐1+ 𝛾𝑐2𝛿𝑐3− 𝛾𝑐3𝛿𝑐2)𝑒 1+ (𝛾𝑐2 + 𝛿𝑐2+ 𝛾𝑐3𝛿𝑐1− 𝛾𝑐1𝛿𝑐3)𝑒 2+ (𝛾𝑐3+ 𝛿𝑐3 + 𝛾𝑐1𝛿𝑐2 − 𝛾𝑐2𝛿𝑐1)𝑒3 = 1 + (−1)𝑐1+1+ (−1)𝑐2+1+(−1)𝑐3+1+ (𝑄 𝑐1 + (−1) 𝑐22√2𝑃 𝑐2−𝑐3)𝑒1 + (𝑄𝑐2+ (−1)𝑐32√2𝑃 𝑐3−𝑐1)𝑒2+ (𝑄𝑐3+ (−1) 𝑐12√2𝑃 𝑐1−𝑐2)𝑒3 𝑌3𝑐⃗= 𝑄3,0𝑐⃗ + (−1)𝑐1+1+ (−1)𝑐2+1+ ⋯ + (−1)𝑐7+1− 1 ve
19 𝑍3𝑐⃗= [(−1)𝑐3𝑃 𝑐2−𝑐3+ (−1) 𝑐5𝑃 𝑐4−𝑐5+ (−1) 𝑐6𝑃 𝑐7−𝑐6]𝑒1 = [(−1)𝑐1𝑃 𝑐3−𝑐1+ (−1) 𝑐6𝑃 𝑐4−𝑐6+ (−1) 𝑐7𝑃 𝑐5−𝑐7]𝑒2 = [(−1)𝑐2𝑃 𝑐1−𝑐2+ (−1) 𝑐5𝑃 𝑐6−𝑐5+ (−1) 𝑐7𝑃 𝑐4−𝑐7]𝑒3 = [(−1)𝑐1𝑃 𝑐5−𝑐1+ (−1) 𝑐2𝑃 𝑐6−𝑐2+ (−1) 𝑐3𝑃 𝑐7−𝑐3]𝑒4 = [(−1)𝑐2𝑃 𝑐7−𝑐2+ (−1) 𝑐4𝑃 𝑐1−𝑐4+ (−1) 𝑐6𝑃 𝑐3−𝑐6]𝑒5 = [(−1)𝑐3𝑃 𝑐5−𝑐3+ (−1) 𝑐4𝑃 𝑐2−𝑐4+ (−1) 𝑐7𝑃 𝑐1−𝑐7]𝑒6 = [(−1)𝑐1𝑃 𝑐6−𝑐1+ (−1) 𝑐4𝑃 𝑐3−𝑐4+ (−1) 𝑐5𝑃 𝑐2−𝑐5]𝑒7 N=4 için 𝑌4𝑐⃗= 𝑄4,0𝑐⃗ + (−1)𝑐1+1+ (−1)𝑐2+1+ ⋯ + (−1)𝑐15+1− 1 olarak hesaplanır. 𝑍 4𝑐⃗ de
her bir 𝑒𝑖 (i = 1,…,15) taban elemanı 7 terim içermektedir. Bu katsayıların her biri için (2.7) eşitliğindeki 𝑆𝑖 kümelerini hesaplamamız gereklidir. Buna göre
𝑆1 = {(2,3), (4,5), (7,6), (8,9), (11,10), (13,12), (14,15)}, 𝑆2 = {(3,1), (4,6), (5,7), (8,10), (9,11), (14,12), (15,13)}, 𝑆3 = {(1,2), (6,5), (4,7), (10,9), (8,11), (15,12), (13,14)}, 𝑆4 = {(5,1), (6,2), (7,3), (8,12), (9,13), (10,14), (11,15)}, 𝑆5 = {(7,2), (1,4), (3,6), (12,9), (14,11), (8,13), (10,15)}, 𝑆6 = {(5,3), (2,4), (1,7), (15,9), (12,10), (11,13), (8,14)} 𝑆7 = {(6,1), (3,4), (2,5), (13,10), (12,11), (9,14), (8,15)},
20 𝑆8 = {(9,1), (10,2), (11,3), (12,4), (13,5), (14,6), (15,7)}, 𝑆9 = {(11,2), (13,4), (14,7), (1,8), (3,10), (5,12), (6,15)}, 𝑆10 = {(9,3), (14,4), (15,5), (2,8), (1,11), (6,12), (7,13)}, 𝑆11 = {(10,1), (15,4), (13,6), (3,8), (2,9), (7,12), (5,14)}, 𝑆12 = {(9,5), (10,6), (11,7), (4,8), (1,13), (2,14), (3,15)}, 𝑆13 = {(12,1), (14,3), (10,7), (5,8), (4,9), (6,11), (2,15)}, 𝑆14 = {(15,1), (12,2), (11,5), (6,8), (7,9), (4,10), (3,13)}, 𝑆15 = {(13,2), (12,3), (9,6), (7,8), (5,10), (4,11), (1,14)},
elde edilir. Dolayısıyla
𝑍4𝑐⃗ = [(−1)𝑐3𝑃 𝑐2−𝑐3+ (−1) 𝑐5𝑃 𝑐4−𝑐5+ (−1) 𝑐6𝑃 𝑐7−𝑐6 + (−1) 𝑐9𝑃 𝑐8−𝑐9 + (−1)𝑐10𝑃 𝑐11−𝑐10+ (−1) 𝑐12𝑃 𝑐13−𝑐12+ (−1) 𝑐15𝑃 𝑐14−𝑐15]𝑒1 𝑍4𝑐⃗ = [(−1)𝑐1𝑃 𝑐3−𝑐1+ (−1) 𝑐6𝑃 𝑐4−𝑐6 + (−1) 𝑐7𝑃 𝑐5−𝑐7 + (−1) 𝑐10𝑃 𝑐8−𝑐10 + (−1)𝑐11𝑃 𝑐9−𝑐11+ (−1) 𝑐12𝑃 𝑐14−𝑐12+ (−1) 𝑐13𝑃 𝑐15−𝑐13]𝑒2 𝑍4𝑐⃗ = [(−1)𝑐2𝑃 𝑐1−𝑐2+ (−1) 𝑐5𝑃 𝑐6−𝑐5 + (−1) 𝑐7𝑃 𝑐4−𝑐7 + (−1) 𝑐9𝑃 𝑐10−𝑐9 + (−1)𝑐11𝑃 𝑐8−𝑐11+ (−1) 𝑐12𝑃 𝑐15−𝑐12+ (−1) 𝑐14𝑃 𝑐13−𝑐14]𝑒3 𝑍4𝑐⃗ = [(−1)𝑐1𝑃 𝑐5−𝑐1+ (−1) 𝑐2𝑃 𝑐6−𝑐2 + (−1) 𝑐3𝑃 𝑐7−𝑐3 + (−1) 𝑐12𝑃 𝑐8−𝑐12 + (−1)𝑐13𝑃 𝑐9−𝑐13+ (−1) 𝑐14𝑃 𝑐10−𝑐14+ (−1) 𝑐15𝑃 𝑐11−𝑐15]𝑒4
21 𝑍4𝑐⃗ = [(−1)𝑐2𝑃 𝑐7−𝑐2+ (−1) 𝑐4𝑃 𝑐1−𝑐4 + (−1) 𝑐6𝑃 𝑐3−𝑐6 + (−1) 𝑐9𝑃 𝑐12−𝑐9 + (−1)𝑐13𝑃 𝑐14−𝑐11+ (−1) 𝑐13𝑃 𝑐8−𝑐13+ (−1) 𝑐15𝑃 𝑐10−𝑐15]𝑒5 𝑍4𝑐⃗ = [(−1)𝑐3𝑃 𝑐5−𝑐3+ (−1) 𝑐4𝑃 𝑐2−𝑐4 + (−1) 𝑐7𝑃 𝑐1−𝑐7 + (−1) 𝑐9𝑃 𝑐15−𝑐9 + (−1)𝑐10𝑃 𝑐12−𝑐10+ (−1) 𝑐13𝑃 𝑐11−𝑐13+ (−1) 𝑐14𝑃 𝑐8−𝑐14]𝑒6 𝑍4𝑐⃗ = [(−1)𝑐1𝑃 𝑐6−𝑐1+ (−1) 𝑐4𝑃 𝑐3−𝑐4+ (−1) 𝑐5𝑃 𝑐2−𝑐5+ (−1) 𝑐10𝑃 𝑐13−𝑐10 + (−1)𝑐11𝑃 𝑐12−𝑐11+ (−1) 𝑐14𝑃 𝑐9−𝑐14+ (−1) 𝑐15𝑃 𝑐8−𝑐15]𝑒7 ∎ 2.2. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 𝟐𝑵-leri için Vajda, Catalan, Cassini ve
d’Ocagne Özdeşlikleri
Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Vajda özdeşliği bir sonraki teoremde
verilmiştir.
Sonraki bölümlerde kolaylık için 𝑃𝑁,𝑟𝑐⃗ ve 𝑄
𝑁,𝑟𝑐⃗ gösterimleri yerine kısaca 𝑃𝑟𝑐⃗ ve 𝑄𝑟𝑐⃗
gösterimleri kullanılacaktır.
Teorem 2.4. (Vajda özdeşliği)
Her 𝑛, 𝑟, 𝑠, 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐2𝑁−1 tam sayıları için
𝑃𝑛+𝑟𝑐⃗ 𝑃
𝑛+𝑠𝑐⃗ − 𝑃𝑛𝑐⃗𝑃𝑛+𝑟+𝑠𝑐⃗ = (−1)𝑛𝑃𝑟(𝑃𝑠𝑌𝑁𝑐⃗− 2𝑄𝑠𝑍𝑁𝑐⃗) (2.12)
ve
𝑄𝑛+𝑟𝑐⃗ 𝑄𝑛+𝑠𝑐⃗ − 𝑄𝑛𝑐⃗𝑄𝑛+𝑟+𝑠𝑐⃗ = 2(−1)𝑛+1𝑃𝑟(𝑃𝑠𝑌𝑁𝑐⃗− 2𝑄𝑠𝑍𝑁𝑐⃗) (2.13)
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell 2𝑁-leri için Binet formülünü kullanarak
22 = 1 (𝛾 − 𝛿)2[(𝛾̆𝛾 𝑛+𝑟− 𝛿̆𝛿𝑛+𝑟)(𝛾̆𝛾𝑛+𝑠− 𝛿̆𝛿𝑛+𝑠) − (𝛾̆𝛾𝑛− 𝛿̆𝛿𝑛)(𝛾̆𝛾𝑛+𝑟+𝑠− 𝛿̆𝛿𝑛+𝑟+𝑠)] = 1 (𝛾 − 𝛿)2[(𝛾̆)2𝛾2𝑛+𝑟+𝑠+ (𝛿̆)2𝛿2𝑛+𝑟+𝑠− (𝛾̆ 𝛿)̆𝛾𝑛+𝑟𝛿𝑛+𝑠− (𝛿̆𝛾)̆𝛾𝑛+𝑠𝛿𝑛+𝑟 − (𝛾̆)2𝛾2𝑛+𝑟+𝑠− (𝛾)̆2𝛿2𝑛+𝑟+𝑠+ (𝛾̆ 𝛿)̆𝛾𝑛𝛿𝑛+𝑟+𝑠+ (𝛿̆𝛾)̆𝛾𝑛+𝑟+𝑠𝛿𝑛] = (𝛾𝛿) 𝑛 (𝛾 − 𝛿)2[−(𝛾̆ 𝛿)̆𝛾𝑟𝛿𝑠− (𝛿̆𝛾)̆𝛾𝑠𝛿𝑟+ (𝛾̆ 𝛿)̆𝛿𝑟+𝑠+ (𝛿̆𝛾)̆𝛾𝑟+𝑠] = (−1) 𝑛 (𝛾 − 𝛿)2[(𝛾𝑟− 𝛿𝑟)(−(𝛾̆ 𝛿)̆𝛿𝑠+ (𝛿̆𝛾)̆𝛾𝑠)] =(−1) 𝑛𝑃 𝑟 (𝛾 − 𝛿) [(𝛿̆𝛾)̆𝛾 𝑠− (𝛾̆ 𝛿)̆𝛿𝑠] =(−1) 𝑛𝑃 𝑟 2√2 [(𝑌𝑁 𝑐⃗− 2√2𝑍 𝑁𝑐⃗)𝛾𝑠− (𝑌𝑁𝑐⃗− 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)𝛿𝑠] = (−1)𝑛𝑃 𝑟(𝑃𝑠𝑌𝑁𝑐⃗− 2𝑄𝑠𝑍𝑁𝑐⃗) elde edilir. 𝑄𝑛+𝑟𝑐⃗ 𝑄𝑛+𝑠𝑐⃗ − 𝑄𝑛𝑐⃗𝑄𝑛+𝑟+𝑠𝑐⃗ = 2(−1)𝑛+1𝑃𝑟(𝑃𝑠𝑌𝑁𝑐⃗− 2𝑄𝑠𝑍𝑁𝑐⃗) 𝑄𝑛+𝑟𝑐⃗ 𝑄𝑛+𝑠𝑐⃗ − 𝑄𝑛𝑐⃗𝑄𝑛+𝑟+𝑠𝑐⃗ = = [(𝛾̆𝛾 𝑛+𝑟− 𝛿̆𝛿𝑛+𝑟) 2 (𝛾̆𝛾𝑛+𝑠− 𝛿̆𝛿𝑛+𝑠) 2 − (𝛾̆𝛾𝑛− 𝛿̆𝛿𝑛) 2 (𝛾̆𝛾𝑛+𝑟+𝑠− 𝛿̆𝛿𝑛+𝑟+𝑠) 2 ] =1 4[(𝛾̆) 2𝛾2𝑛+𝑟+𝑠+ (𝛿̆)2𝛿2𝑛+𝑟+𝑠+ (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑛+𝑟𝛿𝑛+𝑠+ (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛+𝑠𝛿𝑛+𝑟 − (𝛾̆)2𝛾2𝑛+𝑟+𝑠− (𝛿̆)2𝛿2𝑛+𝑟+𝑠− (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑛𝛿𝑛+𝑟+𝑠− (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛+𝑟+𝑠𝛿𝑛]
23 =(𝛾𝛿) 𝑛 4 [(𝛾̆𝛿̆)𝛾 𝑟𝛿𝑠+ (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑠𝛿𝑟− (𝛾̆𝛿̆)𝛿𝑟+𝑠− (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑟+𝑠] =(−1) 𝑛 4 [𝛾̆𝛿̆𝛿 𝑠(𝛾𝑟− 𝛿𝑟) − 𝛿̆𝛾̆𝛾𝑠(𝛾𝑟− 𝛿𝑟)] =(−1) 𝑛 4 (𝛾 𝑟− 𝛿𝑟)[𝛾̆𝛿̆𝛿𝑠− 𝛿̆𝛾̆𝛾𝑠] = 2√2(−1) 𝑛 4 𝑃𝑟[𝛾̆𝛿̆𝛿 𝑠 − 𝛿̆𝛾̆𝛾𝑠] = 2√2(−1) 𝑛+1 4 𝑃𝑟[𝛿̆𝛾̆𝛾 𝑠− 𝛾̆𝛿̆𝛿𝑠] = 2√2(−1) 𝑛+1 4 𝑃𝑟[(𝑌𝑁 𝑐⃗− 2√2𝑍 𝑁𝑐⃗)𝛾𝑠− (𝑌𝑁𝑐⃗+ 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)𝛿𝑠] =√2 2 (−1) 𝑛+1𝑃 𝑟[𝑌𝑁𝑐⃗(𝛾𝑠− 𝛿𝑠) − 2√2𝑍𝑁𝑐⃗(𝛾𝑠− 𝛿𝑠)] = 2(−1)𝑛+1𝑃𝑟[𝑌𝑁𝑐⃗𝑃𝑠 − 2𝑄𝑆𝑍𝑁𝑐⃗] elde edilir. ∎
Vajda özdeşliğinde (2.12) eşitliğinde s=-r alınıp 𝑃𝑟𝑃−𝑟 = −(−1)𝑟𝑃𝑟2 ve 2𝑃𝑟𝑄−𝑟 =
(−1)𝑟𝑃2𝑟 özdeşlikleri kullanılırsa kısıtlamasız Pell ve Pell Lucas 2𝑁 leri için Catalan
özdeşliği aşağıdaki gibi kolaylıkla elde edilir.
Sonuç 2.5. (Catalan Özdeşliği)
𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑛, 𝑟, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑛+𝑟𝑐⃗ 𝑃 𝑛−𝑟𝑐⃗ − [𝑃𝑛𝑐⃗] 2 = (−1)𝑛+𝑟+1(𝑌 𝑁𝑐⃗𝑃𝑟2+ 𝑍𝑁𝑐⃗𝑃2𝑟) (2.14) ve
24 𝑄𝑛+𝑟𝑐⃗ 𝑄 𝑛−𝑟𝑐⃗ − [𝑄𝑛𝑐⃗] 2 = 2(−1)𝑛+𝑟(𝑌 𝑁𝑐⃗𝑃𝑟2+ 𝑍𝑁𝑐⃗𝑃2𝑟) (2.15) dir.
(2.14) ve (2.15) Catalan özdeşliklerinde 𝑟 = 1 alınırsa aşağıdaki Cassini özdeşlikleri elde edilir.
Sonuç 2.6. (Cassini özdeşliği)
𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑛, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑛+1c 𝑃𝑛−1c − [𝑃𝑛c]2 = (−1)𝑛(𝑌𝑁𝑐⃗+ 2𝑍𝑁𝑐⃗)
ve
𝑄𝑛+1𝑐 𝑄𝑛−1c − [𝑄𝑛c]2 = −2(−1)𝑛(𝑌
𝑁𝑐⃗+ 2𝑍𝑁𝑐⃗)
dir.
Teorem 2.7. (d’Ocagne Özdeşliği)
𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑚, 𝑛, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑚𝑐𝑃
𝑛+1c − 𝑃𝑚+1c 𝑃𝑛c = (−1)𝑛(𝑌𝑁𝑐⃗𝑝𝑚−𝑛+ 2𝑍𝑁𝑐⃗𝑞𝑚−𝑛)
ve
𝑄𝑚c𝑄𝑛+1c − 𝑄𝑚+1c 𝑄𝑛c = −2(−1)𝑛(𝑌𝑁𝑐⃗𝑝𝑚−𝑛+ 2𝑍𝑁𝑐⃗𝑞𝑚−𝑛).
dir.
25 𝑃𝑚𝑐𝑃𝑛+1c − 𝑃𝑚+1c 𝑃𝑛c =1 8[(𝛾̆𝛾 𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚)(𝛾̆𝛾𝑛+1− 𝛿̆𝛿𝑛+1) − (𝛾̆𝛾𝑚+1− 𝛿̆𝛿𝑚+1)(𝛾̆𝛾𝑛 − 𝛿̆𝛿𝑛)] =1 8(−𝛾̆𝛿̆𝛾 𝑚𝛿𝑛+1− 𝛿̆𝛾̆𝛾𝑛+1𝛿𝑚+ 𝛾̆𝛿̆𝛾𝑚+1𝛿𝑛+ 𝛿̆𝛾̆𝛾𝑛𝛿𝑚+1) =(−1) 𝑛 8 [𝛾̆𝛿̆(𝛾 − 𝛿)𝛾 𝑚−𝑛− 𝛿̆𝛾̆(𝛾 − 𝛿)𝛿𝑚−𝑛] =(−1) 𝑛 2√2 [𝛾̆𝛿̆𝛾 𝑚−𝑛− 𝛿̆𝛾̆𝛿𝑚−𝑛] =(−1) 𝑛 2√2 [(𝑌𝑁 𝑐⃗+ 2√2𝑍 𝑁𝑐⃗)𝛾𝑚−𝑛− (𝑌𝑁𝑐⃗− 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)𝛿𝑚−𝑛] =(−1) 𝑛 2√2 [𝑌𝑁 𝑐⃗(𝛾𝑚−𝑛− 𝛿𝑚−𝑛) + 2√2𝑍 𝑁𝑐⃗(𝛾𝑚−𝑛− 𝛿𝑚−𝑛)]. elde edilir.
Yine kısıtlamasız Pell 2𝑁 leri için Binet formülü kullanılarak
𝑄𝑚c 𝑄𝑛+1c − 𝑄𝑚+1c 𝑄𝑛c = =1 4[(𝛾̆𝛾 𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚)(𝛾̆𝛾𝑛+1+ 𝛿̆𝛿𝑛+1) − (𝛾̆𝛾𝑚+1+ 𝛿̆𝛿𝑚+1)(𝛾̆𝛾𝑛+ 𝛿̆𝛿𝑛)] =1 4[((𝛾̆) 2𝛾𝑚+𝑛+1+ (𝛿̆)2𝛿𝑚+𝑛+1+ (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑚𝛿𝑛+1+ (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛+1𝛿𝑚) − ((𝛾̆)2𝛾𝑚+𝑛+1+ (𝛿̆)2𝛿𝑚+𝑛+1+ (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑚+1𝛿𝑛+ (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛𝛿𝑚+1)] =1 4[(𝛾̆𝛿̆)𝛾 𝑚𝛿𝑛+1+ (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛+1𝛿𝑚− (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑚+1𝛿𝑛− (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛𝛿𝑚+1] =1 4(𝛾𝛿) 𝑛[(𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑚−𝑛𝛿 + (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝛿𝑚−𝑛− (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑚+1−𝑛− (𝛿̆𝛾̆)𝛿𝑚+1−𝑛] =1 4(−1) 𝑛[𝛾̆𝛿̆𝛾𝑚−𝑛(𝛾 − 𝛿) − 𝛿̆𝛾̆𝛿𝑚−𝑛(𝛾 − 𝛿)]
26 =−2√2 4 (−1) 𝑛[𝛾̆𝛿̆𝛾𝑚−𝑛− 𝛿̆𝛾̆𝛿𝑚−𝑛] =−√2 2 (−1) 𝑛[(𝑌 𝑁𝑐⃗+ 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)𝛾𝑚−𝑛− (𝑌𝑁𝑐⃗+ 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)𝛿𝑚−𝑛] =−√2 2 (−1) 𝑛[(𝑌 𝑁𝑐⃗𝛾𝑚−𝑛−𝛿𝑚−𝑛) + 2√2𝑍𝑁𝑐⃗(𝛾𝑚−𝑛+𝛿𝑚−𝑛)] = −2(−1)𝑛[𝑌𝑁𝑐⃗(𝛾 𝑚−𝑛−𝛿𝑚−𝑛 2√2 ) + 2√2𝑍𝑁 𝑐⃗ (𝛾 𝑚−𝑛+𝛿𝑚−𝑛 2√2 )] = −2(−1)𝑛(𝑌 𝑁𝑐⃗𝑝𝑚−𝑛+ 2𝑍𝑁𝑐⃗𝑞𝑚−𝑛)∎
27
3. KISITLAMASIZ PELL VE PELL-LUCAS 𝟐𝑵-LERİ İÇİN BAZI
ÖZDEŞLİKLER
Bu bölümde genellikle Binet formülleri kullanılarak Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için bazı özdeşlikler verilecektir.
Teorem 3.1. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑚, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑚𝑐⃗ + 𝑃
𝑚−1𝑐⃗ = 𝑄𝑚𝑐⃗
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülünü kullanarak
1 2√2[(𝛾̆𝛾 𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚) + (𝛾̆𝛾𝑚−1− 𝛿̆𝛿𝑚−1)] = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚+ 𝛾̆𝛾𝑚−1− 𝛿̆𝛿𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚−1] = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚(1 +1 𝛾) + 𝛿̆𝛿 𝑚(−1 −1 𝛿)] = 1 2√2[√2𝛾̆𝛾 𝑚+ √2𝛿̆𝛿𝑚] =1 2[𝛾̆𝛾 𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚] =𝛾̆𝛾 𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚 2 = 𝑄𝑚 𝑐⃗ elde edilir. ∎
28 𝑄𝑚𝑐⃗ + 𝑄
𝑚−1𝑐⃗ = 2𝑃𝑚𝑐⃗
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü vasıtasıyla
1 2[(𝛾̆𝛾 𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚) + (𝛾̆𝛾𝑚−1+ 𝛿̆𝛿𝑚−1)] =1 2[𝛾̆𝛾 𝑚+ 𝛾̆𝛾𝑚−1+ 𝛿̆𝛿𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚−1] =1 2[𝛾̆𝛾 𝑚(1 +1 𝛾) + 𝛿̆𝛿 𝑚(1 +1 𝛿)] =√2 2 [𝛾̆𝛾 𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚] = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚] = 2𝑃𝑚𝑐⃗ elde edilir. ∎
Teorem 3.3. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑚, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑚𝑐⃗ + 𝑄𝑚𝑐⃗ = 𝑃𝑚+1𝑐⃗
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü kullanılarak
𝑃𝑚𝑐⃗ + 𝑄𝑚𝑐⃗ = 𝛾̆𝛾 𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚 2√2 + 𝛾̆𝛾𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚 2 = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚+ √2𝛾̆𝛾𝑚+ √2𝛿̆𝛿𝑚]
29 = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚(1+√2) − 𝛿̆𝛿𝑚(1 − √2)] = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚+1− 𝛿̆𝛿𝑚+1] = 𝑃𝑚+1𝑐⃗ bulunur.∎
Teorem 3.4. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑚, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑚+1𝑐⃗ + 𝑃𝑚−1𝑐⃗ = 2𝑄𝑚𝑐⃗
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü ile
𝑃𝑚+1𝑐⃗ + 𝑃𝑚−1𝑐⃗ = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚+1− 𝛿̆𝛿𝑚+1+ 𝛾̆𝛾𝑚−1− 𝛿̆𝛿𝑚−1] = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚(𝛾 +1 𝛾) + 𝛿̆𝛿 𝑚(−𝛿 −1 𝛿)] = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚2√2 + 𝛿̆𝛿𝑚2√2] = 𝛾̆𝛾𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚 = 2𝑄𝑚𝑐⃗ olur.∎
30
𝑄𝑚+1𝑐⃗ + 𝑄𝑚−1𝑐⃗ = 4𝑃𝑚𝑐⃗
dir.
İspat. Yine Binet formülleri kullanılarak
𝑄𝑚+1𝑐⃗ + 𝑄𝑚−1𝑐⃗ =1 2[𝛾̆𝛾 𝑚+1+ 𝛿̆𝛿𝑚+1+ 𝛾̆𝛾𝑚−1+ 𝛿̆𝛿𝑚+1] =1 2[𝛾̆𝛾 𝑚(𝛾 +1 𝛾) + 𝛿̆𝛿 𝑚+1(𝛿+1 𝛿 )] =1 2[2√2𝛾̆𝛾 𝑚− 2√2𝛿̆𝛿𝑚] =2√2 2 [𝛾̆𝛾 𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚] = √2(2√2) [𝛾̆𝛾 𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚 2√2 ] = 4𝑃𝑚𝑐⃗ bulunur.∎
Teorem 3.6. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑚, 𝑛, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑄𝑚+𝑛𝑐⃗ + (−1)𝑛𝑄
𝑚−𝑛 = 2𝑞𝑛𝑄𝑚𝑐⃗
dir.
31 𝑄𝑚+𝑛𝑐⃗ + (−1)𝑛𝑄 𝑚−𝑛 = 𝛾̆𝛾𝑚+𝑛+ 𝛿̆𝛿𝑚+𝑛 2 + (−1) 𝑛(𝛾̆𝛾 𝑚−𝑛+ 𝛿̆𝛿𝑚−𝑛 2 ) =1 2[𝛾̆𝛾 𝑚+𝑛+ 𝛿̆𝛿𝑚+𝑛+ (−1)𝑛𝛾̆𝛾𝑚−𝑛(−1)𝑛𝛿̆𝛿𝑚−𝑛] =1 2[𝛾̆𝛾 𝑚(𝛾𝑛(−1) 𝑛 𝛾𝑛 ) + 𝛿̆𝛿𝑚(𝛿𝑛+ (−1)𝑛 𝛿𝑛 ] =1 2[𝛾̆𝛾 𝑚(𝛾𝑛+ 𝛿𝑛) + 𝛿̆𝛿𝑚(𝛿𝑛+ 𝛾𝑛)] =1 2[(𝛾 𝑛+ 𝛿𝑛)(𝛾̆𝛾𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚)] = (𝛾 𝑛+ 𝛿𝑛 2 )( 𝛾̆𝛾𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚 2 ) = 2𝑞𝑛𝑄𝑚𝑐⃗ elde edilir. ∎
Teorem 3.7. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑚, 𝑛, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑚+𝑛𝑐⃗ + (−1)𝑛𝑃𝑚−𝑛𝑐⃗ = 2𝑞𝑛𝑃𝑚𝑐⃗
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülleri ile
𝑃𝑚+𝑛𝑐⃗ + (−1)𝑛𝑃𝑚−𝑛𝑐⃗ = (𝛾̆𝛾 𝑚+𝑛− 𝛿̆𝛿𝑚+𝑛 2√2 ) + ( (−1)𝑛𝛾̆𝛾𝑚−𝑛−(−1)𝑛𝛿̆𝛿𝑚−𝑛 2√2 ) = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚+𝑛+ (−1)𝑛𝛾̆𝛾𝑚−𝑛− 𝛿̆𝛿𝑚+𝑛− (−1)𝑛𝛿̆𝛿𝑚−𝑛]
32 = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚(𝛾𝑛+ (−1 𝛾 ) 𝑛 ) − 𝛿̆𝛿𝑚(𝛿𝑛+ (−1 𝛿 ) 𝑛 ] = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑚(𝛾𝑛+ 𝛿𝑛) − 𝛿̆𝛿𝑚(𝛿𝑛+ 𝛾𝑛)] = 1 2√2[(𝛾 𝑛 + 𝛿𝑛)(𝛾̆𝛾𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚)] 𝛾𝑛+ 𝛿𝑛 2√2 𝛾̆𝛾𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚 2√2 = 𝑞𝑛 √2𝑃𝑚 𝑐⃗ = 2𝑞𝑛𝑃𝑚𝑐⃗ bulunur. ∎
Teorem 3.8. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑚, 𝑛, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑚−𝑛𝑐⃗ = (−1)𝑛(𝑃𝑛−1𝑃𝑚𝑐⃗ − 𝑃𝑛𝑃𝑚−1𝑐⃗ )
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü kullanılarak
𝑃𝑚−𝑛𝑐⃗ = [(𝛾 𝑛−1− 𝛿𝑛−1 𝛾 − 𝛿 ) ( 𝛾̆𝛾𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚 𝛾 − 𝛿 ) − ( 𝛾𝑛− 𝛿𝑛 𝛾 − 𝛿 ) ( 𝛾̆𝛾𝑚−1− 𝛿̆𝛿𝑚−1 𝛾 − 𝛿 )] = (−1)𝑛 1 (𝛾 − 𝛿)2[𝛾̆𝛾 𝑚+𝑛−1− 𝛿̆𝛿𝑚𝛾𝑛−1− 𝛾̆𝛾𝑚𝛿𝑛−1+ 𝛿̆𝛿𝑚+𝑛−1− 𝛾̆𝛾𝑚+𝑛−1 + 𝛿̆𝛿𝑚−1𝛾𝑛+ 𝛾̆𝛾𝑚−1𝛿𝑛− 𝛿̆𝛿𝑚+𝑛−1] = (−1)𝑛 1 (𝛾 − 𝛿)2[−𝛿̆𝛿𝑚𝛾𝑛−1− 𝛾̆𝛾𝑚𝛿𝑛−1+ 𝛿̆𝛿𝑚−1𝛾𝑛+ 𝛾̆𝛾𝑚−1𝛿𝑛]
33 = (−1) 𝑛 (𝛾 − 𝛿)2(𝛾𝛿) 2[−𝛿̆𝛿𝑚−𝑛 𝛾 − 𝛾̆𝛾𝑚−𝑛 𝛿 + 𝛿̆𝛿𝑚−𝑛 𝛿 + 𝛾̆𝛾𝑚−𝑛 𝛾 ] = 1 (𝛾 − 𝛿)2[𝛾̆𝛾𝑚−𝑛( 1 𝛾− 1 𝛿) − 𝛿̆𝛿 𝑚−𝑛(1 𝛾− 1 𝛿)] = 1 (𝛾 − 𝛿)2[( 1 𝛾− 1 𝛿) (𝛾̆𝛾 𝑚−𝑛− 𝛿̆𝛿𝑚−𝑛)] = 1 (𝛾 − 𝛿)(𝛾̆𝛾 𝑚−𝑛− 𝛿̆𝛿𝑚−𝑛) = 𝑃 𝑚−𝑛𝑐⃗ elde edilir.
Teorem 3.9. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her 𝑚, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
[𝑄𝑚𝑐⃗] 2 − 2[𝑃𝑚𝑐⃗] 2 = (−1)𝑚𝑌𝑁𝑐⃗ dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü vasıtasıyla
[𝑄𝑚𝐸⃗⃗] 2 − 2[𝑃𝑚𝑐⃗] 2 =(𝛾̆𝛾 𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚)2 4 − 2 (𝛾̆𝛾𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚)2 8 =1 4[(𝛾̆𝛾 𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚)(𝛾̆𝛾𝑚+ 𝛿̆𝛿𝑚) − (𝛾̆𝛾𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚)(𝛾̆𝛾𝑚− 𝛿̆𝛿𝑚)] =1 4[(𝛾̆) 2𝛾2𝑚+ (𝛿̆)2𝛿2𝑚+ (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑚𝛿𝑚+ (𝛿̆𝛾̆)𝛿𝑚𝛾𝑚− (𝛾̆)2𝛾2𝑚− (𝛿̆)2𝛿2𝑚 + (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑚𝛿𝑚+ (𝛿̆𝛾̆)𝛿𝑚𝛾𝑚] =1 4[(𝛾̆𝛿̆)𝛾 𝑚𝛿𝑚+ (𝛿̆𝛾̆)𝛿𝑚𝛾𝑚+ (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑚𝛿𝑚+ (𝛿̆𝛾̆)𝛿𝑚𝛾𝑚]
34 =1 4(−1) 𝑚[𝛾̆𝛿̆ + 𝛿̆𝛾̆] = (−1)𝑚𝑌 𝑁𝑐⃗ elde edilir.
Koshy [22], Pell ve Pell – Lucas sayıları için aşağıdaki temel özdeşlikleri vermiştir:
1. 𝑃𝑛+ 𝑃𝑛−1 = 𝑄𝑛 2. 𝑄𝑛+ 𝑄𝑛−1 = 2𝑃𝑛 3. 𝑃𝑛+ 𝑄𝑛 = 𝑃𝑛+1 4. 2𝑃𝑛+ 𝑄𝑛 = 𝑄𝑛+1 5. 2𝑄𝑛+ 3𝑃𝑛 = 𝑃𝑛+2 6. 3𝑄𝑛+ 4𝑃𝑛 = 𝑄𝑛+2 7. 𝑄𝑛+1− 𝑄𝑛 = 2𝑃𝑛 8. 𝑃𝑛+1+ 𝑃𝑛−1 = 2𝑄𝑛 9. 𝑄𝑛+1+ 𝑄𝑛−1 = 4𝑃𝑛 10. 𝑃𝑛+ 𝑃𝑛+1+ 𝑃𝑛+3 = 2𝑃𝑛+2 11. 𝑄𝑛+ 𝑄𝑛+1+ 𝑄𝑛+3 = 3𝑄𝑛+2 12. 𝑃𝑛+1− 𝑃𝑛−1 = 2𝑃𝑛 13. 𝑄𝑛+1− 𝑄𝑛−1 = 2𝑄𝑛 14. 𝑃𝑛+2+ 𝑃𝑛−2 = 6𝑃𝑛 15. 𝑄𝑛+2+ 𝑄𝑛−2 = 6𝑄𝑛 16. 𝑃𝑛+2− 𝑃𝑛−2 = 4𝑄𝑛 17. 𝑄𝑛+2− 𝑄𝑛−2 = 8𝑃𝑛
Bu eşitlikler ile kısıtlamasız Pell ve Pell – Lucas 2𝑁-lerinin tanımlarını kullanarak
aşağıdaki eşitlikler kolayca hesaplanabilir.
Teorem 3.10. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
1. 𝑃𝑛𝑐⃗+ 𝑃
𝑛−1𝑐⃗ = 𝑄𝑛𝑐⃗
2. 𝑄𝑛𝑐⃗+ 𝑄𝑛−1𝑐⃗ = 2𝑃𝑛𝑐⃗
35 4. 2𝑃𝑛𝑐⃗+ 𝑄 𝑛𝑐⃗ = 𝑄𝑛+1𝑐⃗ 5. 2𝑄𝑛𝑐⃗+ 3𝑃𝑛𝑐⃗ = 𝑃𝑛+2𝑐⃗ 6. 3𝑄𝑛𝑐⃗+ 4𝑃 𝑛𝑐⃗ = 𝑄𝑛+2𝑐⃗ 7. 𝑄𝑛+1𝑐⃗ − 𝑄𝑛𝑐⃗ = 2𝑃𝑛𝑐⃗ 8. 𝑃𝑛+1𝑐⃗ + 𝑃𝑛−1𝑐⃗ = 2𝑄𝑛𝑐⃗ 9. 𝑄𝑛+1𝑐⃗ + 𝑄𝑛−1𝑐⃗ = 4𝑃𝑛𝑐⃗ 10. 𝑃𝑛𝑐⃗+ 𝑃𝑛+1𝑐⃗ + 𝑃𝑛+3𝑐⃗ = 2𝑃𝑛+2𝑐⃗ 11. 𝑄𝑛𝑐⃗+ 𝑄 𝑛+1𝑐⃗ + 𝑄𝑛+3𝑐⃗ = 3𝑄𝑛+2𝑐⃗ 12. 𝑃𝑛+1𝑐⃗ − 𝑃𝑛−1𝑐⃗ = 2𝑃𝑛𝑐⃗ 13. 𝑄𝑛+1𝑐⃗ − 𝑄𝑛−1𝑐⃗ = 2𝑄𝑛𝑐⃗ 14. 𝑃𝑛+2𝑐⃗ + 𝑃𝑛−2𝑐⃗ = 6𝑃𝑛𝑐⃗ 15. 𝑄𝑛+2𝑐⃗ + 𝑄𝑛−2𝑐⃗ = 6𝑄𝑛𝑐⃗ 16. 𝑃𝑛+2𝑐⃗ − 𝑃𝑛−2𝑐⃗ = 4𝑄𝑛𝑐⃗ 17. 𝑄𝑛+2𝑐⃗ − 𝑄𝑛−2𝑐⃗ = 8𝑃𝑛𝑐⃗ eşitlikleri sağlanır.
Bu eşitliklere ek olarak aşağıdaki sonuçlar verilebilir.
Teorem 3.11. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
2𝑃𝑛𝑐⃗+ 𝑄𝑛𝑐⃗ = 𝑄𝑛+1𝑐⃗
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü ile
2𝑃𝑛𝑐⃗+ 𝑄𝑛𝑐⃗ = 2 [𝛾̆𝛾 𝑛− 𝛿̆𝛿𝑛 𝛾 − 𝛿 ] + [ 𝛾̆𝛾𝑛 + 𝛿̆𝛿𝑛 2 ] =1 2[√2𝛾̆𝛾 𝑛− √2𝛿̆𝛿𝑛+ 𝛾̆𝛾𝑛 + 𝛿̆𝛿𝑛] =1 2[𝛾̆𝛾 𝑛(√2 + 1) + 𝛿̆𝛿𝑛(1 − √2)]
36 =1 2[𝛾̆𝛾 𝑛+1+ 𝛿̆𝛿𝑛+1] = 𝑄 𝑛+1𝑐⃗ elde edilir. ∎
Teorem 3.12. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
2𝑃𝑛𝑐⃗+ 𝑄𝑛+2𝑐⃗ = 3𝑄𝑛+1𝑐⃗
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü kullanılarak
2𝑃𝑛𝑐⃗+ 𝑄𝑛+2𝑐⃗ = 2 [𝛾̆𝛾 𝑛− 𝛿̆𝛿𝑛 𝛾 − 𝛿 ] + [ 𝛾̆𝛾𝑛+2+ 𝛿̆𝛿𝑛+2 2 ] = 1 2[√2𝛾̆𝛾 𝑛− √2𝛿̆𝛿𝑛+ 𝛾̆𝛾𝑛+2+ 𝛿̆𝛿𝑛+2] = 1 2[𝛾̆𝛾 𝑛(√2 + 𝛾2) + 𝛿̆𝛿𝑛(−√2 + 𝛿2)] = 1 2[𝛾̆𝛾 𝑛(1 + √2)3 + 𝛿̆𝛿𝑛(1 − √2)3] = 3 [𝛾̆𝛾 𝑛+1+ 𝛿̆𝛿𝑛+1 2 ] = 3𝑄𝑛+1𝑐⃗ elde edilir.∎
Teorem 3.13. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑛+1𝑐⃗ + 𝑄𝑛−1𝑐⃗ = 3𝑃𝑛𝑐⃗
dir.
37 𝑃𝑛+1𝑐⃗ + 𝑄𝑛−1𝑐⃗ = 𝛾̆𝛾 𝑛+1− 𝛿̆𝛿𝑛+1 2√2 + 𝛾̆𝛾𝑛−1+ 𝛿̆𝛿𝑛−1 2 = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑛+1− 𝛿̆𝛿𝑛+1+ √2𝛾̆𝛾𝑛−1+ √2𝛿̆𝛿𝑛−1] = 1 2√2[𝛾̆𝛾 𝑛(𝛾 +√2 𝛾 ) − 𝛿̆𝛿 𝑛(𝛿 +√2 𝛿 )] = 1 2√2(3𝛾̆𝛾 𝑛− 3𝛿̆𝛿𝑛) = 3 (𝛾̆𝛾 𝑛− 𝛿̆𝛿𝑛 𝛾 − 𝛿 ) = 3𝑃𝑛𝑐⃗ bulunur. ∎
Teorem 3.14. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑄𝑛𝑐⃗𝑄𝑛+1𝑐⃗ − 2𝑃𝑛𝑐⃗𝑃𝑛+1𝑐⃗ = (−1)𝑛[𝑌𝑁𝑐⃗− 4𝑍𝑁𝑐⃗]
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülleri
𝑄𝑛𝑐⃗𝑄𝑛+1𝑐⃗ − 2𝑃𝑛𝑐⃗𝑃𝑛+1𝑐⃗ = (𝛾̆𝛾 𝑛+ 𝛿̆𝛿𝑛 2 ) ( 𝛾̆𝛾𝑛+1+ 𝛿̆𝛿𝑛+1 2 ) − 2 ( 𝛾̆𝛾𝑛− 𝛿̆𝛿𝑛 2√2 ) ( 𝛾̆𝛾𝑛+1− 𝛿̆𝛿𝑛+1 2√2 )
38 =1 4[(𝛾̆) 2𝛾2𝑛+1+ (𝛿̆)2𝛿2𝑛+1+ (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑛𝛿𝑛+1+ (𝛿̆𝛾̆)𝛿𝑛𝛾𝑛+1− (𝛾̆)2𝛾2𝑛+1 − (𝛿̆)2𝛿2𝑛+1+ (𝛾̆𝛿̆)𝛾𝑛𝛿𝑛+1+ (𝛿̆𝛾̆)𝛿𝑛𝛾𝑛+1] =1 2[(𝛾̆𝛿̆)𝛾 𝑛𝛿𝑛+1+ (𝛿̆𝛾̆)𝛿𝑛𝛾𝑛+1] =1 2(−1) 𝑛[𝛾̆𝛿̆𝛿 + 𝛿̆𝛾̆𝛾] =1 2(−1) 𝑛[(𝑌 𝑁𝑐⃗+ 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)𝛿 + (𝑌𝑁𝑐⃗+ 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)𝛾] =1 2(−1) 𝑛[𝑌 𝑁𝑐⃗(𝛾 + 𝛿) − 2√2𝑍𝑁𝑐⃗(𝛾 − 𝛿)] = (−1)𝑛[𝑌𝑁𝑐⃗− 4𝑍𝑁𝑐⃗] verir. ∎
Teorem 3.15. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑛𝑐⃗𝑃𝑛+3𝑐⃗ − 𝑃𝑛+1𝑐⃗ 𝑃𝑛+2𝑐⃗ = (−1)𝑛+1[2𝑌𝑁𝑐⃗− 6𝑍𝑁𝑐⃗]
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü kullanılarak
𝑃𝑛𝑐⃗𝑃𝑛+3𝑐⃗ − 𝑃𝑛+1𝑐⃗ 𝑃𝑛+2𝑐⃗ = (𝛾̆𝛾 𝑛 − 𝛿̆𝛿𝑛 2√2 ) ( 𝛾̆𝛾𝑛+3− 𝛿̆𝛿𝑛+3 2√2 ) − (𝛾̆𝛾 𝑛+1− 𝛿̆𝛿𝑛+1 2√2 ) ( 𝛾̆𝛾𝑛+2− 𝛿̆𝛿𝑛+2 2√2 ) =1 8[−𝛾̆𝛿̆𝛾 𝑛𝛿𝑛+3− 𝛿̆𝛾̆𝛾𝑛+3𝛿𝑛+ 𝛾̆𝛿̆𝛾𝑛+1𝛿𝑛+2+ 𝛿̆𝛾̆𝛾𝑛+2𝛿𝑛+1]
39 =1 8[(𝛾𝛿) 𝑛+1(−𝛿 2 𝛾 + 𝛿) 𝛾̆𝛿̆ + 𝛿̆𝛾̆(𝛿𝛾) 𝑛+1(−𝛾 2 𝛿 + 𝛾)] =(−1) 𝑛+1 8 [𝛾̆𝛿̆ ( −𝛿2 𝛾 + 𝛿) + 𝛿̆𝛾̆ ( −𝛾2 𝛿 + 𝛾)] =(−1) 𝑛+1 8 [(𝑌𝑁 𝑐⃗+ 2√2𝑍 𝑁𝑐⃗)(8 − 6√2) + (𝑌𝑁𝑐⃗− 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)(8 + 6√2)] =(−1) 𝑛+1 8 [16𝑌𝑁 𝑐⃗− 48𝑍 𝑁𝑐⃗] = (−1)𝑛+1[2𝑌 𝑁𝑐⃗− 6𝑍𝑁𝑐⃗] elde edilir. ∎
Teorem 3.16. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑄𝑛𝑐⃗𝑄𝑛+3𝑐⃗ − 𝑄𝑛+1𝑐⃗ 𝑄𝑛+2𝑐⃗ = (−1)𝑛[4𝑌𝑁𝑐⃗− 12𝑍𝑁𝑐⃗]
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülü ile
𝑄𝑛𝑐⃗𝑄𝑛+3𝑐⃗ − 𝑄𝑛+1𝑐⃗ 𝑄𝑛+2𝑐⃗ = (𝛾̆𝛾 𝑛 + 𝛿̆𝛿𝑛 2 ) ( 𝛾̆𝛾𝑛+3+ 𝛿̆𝛿𝑛+3 2 ) − (𝛾̆𝛾 𝑛+1− 𝛿̆𝛿𝑛+1 2 ) ( 𝛾̆𝛾𝑛+2+ 𝛿̆𝛿𝑛+2 2 ) =1 4[(𝛾̆𝛿̆)𝛾 𝑛𝛿𝑛+3− (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛+1𝛿𝑛+2+ (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛+3𝛿𝑛− (𝛿̆𝛾̆)𝛾𝑛+2𝛿𝑛+1] =1 4(−1) 𝑛+1[𝛾̆𝛿̆(6√2 − 8) + 𝛿̆𝛾̆(−6√2 − 8)]
40 =1 4(−1) 𝑛+1[(𝑌 𝑁𝑐⃗+ 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)(6√2 − 8) + (𝑌𝑁𝑐⃗− 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)(−6√2 − 8)] =1 4(−1) 𝑛+1[−16𝑌 𝑁𝑐⃗+ 48𝑍𝑁𝑐⃗] = (−1)𝑛[4𝑌 𝑁𝑐⃗− 12𝑍𝑁𝑐⃗] bulunur. ∎
Teorem 3.17. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
𝑃𝑛𝑐⃗𝑄𝑛−1𝑐⃗ − 𝑄𝑛𝑐⃗𝑃𝑛−1𝑐⃗ = (−1)𝑛−1[𝑌𝑁𝑐⃗+ 2𝑍𝑁𝑐⃗]
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülleri kullanılarak
𝑃𝑛𝑐⃗𝑄𝑛−1𝑐⃗ − 𝑄𝑛𝑐⃗𝑃𝑛−1𝑐⃗ = (𝛾̆𝛾 𝑛 − 𝛿̆𝛿𝑛 2√2 ) ( 𝛾̆𝛾𝑛−1+ 𝛿̆𝛿𝑛−1 2 ) − (𝛾̆𝛾 𝑛+ 𝛿̆𝛿𝑛 2 ) ( 𝛾̆𝛾𝑛−1− 𝛿̆𝛿𝑛−1 2√2 ) = 1 4√2[(𝛾̆𝛿̆)(𝛾 𝑛𝛿𝑛−1) + (𝛾̆𝛿̆)(𝛾𝑛𝛿𝑛−1) − (𝛿̆𝛾̆)(𝛾𝑛−1𝛿𝑛) − (𝛿̆𝛾̆)(𝛾𝑛−1𝛿𝑛)] = 1 2√2[𝛾̆𝛿̆𝛾 𝑛𝛿𝑛−1− 𝛿̆𝛾̆𝛾𝑛−1𝛿𝑛] =(−1) 𝑛−1 2√2 [𝛾̆𝛿̆𝛾 − 𝛿̆𝛾̆𝛿] =(−1) 𝑛−1 2√2 [(𝑌𝑁 𝑐⃗+ 2√2𝑍 𝑁𝑐⃗)(1 + √2) − (𝑌𝑁𝑐⃗− 2√2𝑍𝑁𝑐⃗)(1 − √2)]
41 = (−1)𝑛−1[𝑌
𝑁𝑐⃗+ 2𝑍𝑁𝑐⃗]
bulunur. ∎
Sonraki ispatta kullanılmak üzere aşağıdaki lemmaya ihtiyacımız vardır. İspat kolay olduğu için verilmemiştir.
Lemma 3.18. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
(𝛾̆)2 = 1 − 𝛾2𝑐1 − 𝛾2𝑐2 − 𝛾2𝑐3… − 𝛾2𝑐2𝑁−1 + 2(𝛾𝑐1𝑒 1+ 𝛾𝑐2𝑒2+ 𝛾𝑐3𝑒3+ ⋯ + 𝛾𝑐2𝑁−1𝑒2𝑁−1) (𝛿̆)2 = 1 − 𝛿2𝑐1 − 𝛿2𝑐2− 𝛿2𝑐3… − 𝛿2𝑐2𝑁−1 + 2(𝛿𝑐1𝑒 1+ 𝛿𝑐2𝑒2+ 𝛿𝑐3𝑒3+ ⋯ + 𝛿𝑐2𝑁−1𝑒2𝑁−1) dir.
Bu lemma kullanılarak aşağıdaki sonuç verilebilir.
Teorem 3.19. 𝑁 ∈ {0,1,2,3,4} olmak üzere, her n, 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐2𝑁−1 tamsayıları için
(𝑄𝑛𝑐⃗)2+ 2(𝑃𝑛𝑐⃗)2 = −𝑄2𝑛− 𝑄2𝑛+2𝑐1− ⋯ − 𝑄2𝑛+2𝑐
2𝑁−1 + 2𝑄𝑁,2𝑛
𝑐⃗
dir.
İspat. Kısıtlamasız Pell ve Pell-Lucas 2𝑁-leri için Binet formülleri kullanılarak
(𝑄𝑛𝑐⃗)2+ 2(𝑃𝑛𝑐⃗)2 = (𝛾̆𝛾 𝑛+ 𝛿̆𝛿𝑛) 2 (𝛾̆𝛾𝑛+ 𝛿̆𝛿𝑛) 2 + 2 (𝛾̆𝛾𝑛− 𝛿̆𝛿𝑛)(𝛾̆𝛾𝑛− 𝛿̆𝛿𝑛) 8 =1 4[(𝛾̆) 2𝛾2𝑛+ (𝛿̆)2𝛿2𝑛+ (𝛾̆𝛿̆)(𝛾𝛿)𝑛+ (𝛿̆𝛾̆)(𝛾𝛿)𝑛+ (𝛾̆)2𝛾2𝑛+ (𝛿̆)2𝛿2𝑛 − (𝛾̆𝛿̆)(𝛾𝛿)𝑛− (𝛿̆𝛾̆)(𝛾𝛿)𝑛]
42 =1 2[(𝛾̆) 2𝛾2𝑛+ (𝛿̆)2𝛿2𝑛] = [𝛾2𝑛− 𝛾2𝑛+2𝑐1− 𝛾2𝑛+2𝑐2… − 𝛾2𝑛+2𝑐2𝑁−1 + 𝛿2𝑛− 𝛿2𝑛+2𝑐1− 𝛿2𝑛+2𝑐2… − 𝛿2𝑛+2𝑐2𝑀−1] + 𝑒1(𝛾2𝑛+𝑐1+ 𝛿2𝑛+𝑐1) + 𝑒 2(𝛾2𝑛+𝑐2 + 𝛿2𝑛+𝑐2) … + 𝑒2𝑁−1(𝛾2𝑛+𝑐2𝑁−1 + 𝛿2𝑛+𝑐2𝑁−1) = 𝑄2𝑛− 𝑄2𝑛+2𝑐1− ⋯ − 𝑄2𝑛+2𝑐 2𝑁−1 + 2 (𝑄2𝑛+𝑐1𝑒1+ 𝑄2𝑛+𝑐2𝑒2+ ⋯ + 𝑄2𝑛+𝑐 2𝑁−1𝑒2𝑁−1) = −𝑄2𝑛− 𝑄2𝑛+2𝑐1− ⋯ − 𝑄2𝑛+2𝑐 2𝑁−1 + 2𝑄𝑁,2𝑛 𝑐⃗ elde edilir.∎ . . .
43 KAYNAKLAR
[1] Abd-Elhameed, W. M., & Zeyada, N. A. (2017). A generalization of generalized Fibonacci and generalized Pell numbers. International Journal of
Mathematical Education in Science and Technology, 48(1), 102-107.
[2] Akyiğit, M., Kösal, H. H., & Tosun, M. (2013). Split Fibonacci Quaternions.
Advances in Applied Clifford Algebras, 23(3), 535-545.
[3] Akyiğit, M., Kösal, H. H., & Tosun, M. (2014). Fibonacci generalized quaternions. Advances in Applied Clifford Algebras, 24(3), 631-641.
[4] Aydın, F. T., Köklü, K., & Yüce, S. (2017). Generalized dual Pell quaternions. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 23(4), 66-84.
[5] Bilgici, G., Tokeser, Ü., & Ünal, Z. (2017). Fibonacci and Lucas sedenions.
Journal of Integer Sequences, 20(2), 3.
[6] Catarino, P. (2013). On some identities and generating functions for k-Pell numbers. International Journal of Mathematical Analysis, 7(38), 1877-1884. [7] Catarino, P. (2016). The modified Pell and the modified k-Pell quaternions
and octonions. Advances in Applied Clifford Algebras, 26(2), 577-590.
[8] Catarino, P. (2018). Bicomplex k-Pell quaternions. Computational Methods
and Function Theory, 1-12.
[9] Catarino, P. (2018). k-Pell, k-Pell–Lucas and modified k-Pell sedenions.
Asian-European Journal of Mathematics, 1950018.
[10] Catarino, P., & Vasco, P. (2017). On Dual $$\varvec {} $$-Pell Quaternions and Octonions. Mediterranean Journal of Mathematics, 14(2), 75.
