Genelleştirilmiş Ramanujan toplamlarının özellikleri ve uygulamaları

1 T.C

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ RAMANUJAN TOPLAMLARININ ÖZELLİKLERİ VE UYGULAMALARI

Nihal AKSÜLLÜ DİNCER

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI Konya, 2008

i T.C

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ RAMANUJAN TOPLAMLARININ ÖZELLİKLERİ VE UYGULAMALARI

Nihal AKSÜLLÜ DİNCER

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez 04/08/2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir

……… …………..………… ………. Yrd.Doç.Dr.Saadet ARSLAN Prof.Dr.Hasan ŞENAY Prof.Dr.Durmuş BOZKURT

i ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

GENELLEŞTİRİLMİŞ RAMANUJAN TOPLAMLARININ ÖZELLİKLERİ VE UYGULAMALARI

Nihal AKSÜLLÜ DİNCER Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN 2008, 48 Sayfa

Jüri: Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Prof. Dr. Hasan ŞENAY

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT n , r  ve  

_{ }

r Möbius fonksiyonu olmak üzere C



n,r



=

 ,  . d n r r d d _ _  



ile tanımlanan

Ramanujan toplamının iki genellemesi Ecford Cohen tarafından Jordan’ın Totient fonksiyonuJ_k

_{ }

r ve Cohen’nin Totient fonksiyonu _k

_{ }

r kullanılarak sırasıyla,  

_

_

 ,  , . k k d n r r C n r d d    _{ }  



ve

_

_

 ,  , . k k k k k d n r r C n r d d    _{ }  



biçiminde verilir.

Tom Apostol tarafından Dirichlet çarpımının genellemesi olarak verilen _,

_

_

_{ }

( , ) , f g d n r r S n r f d g d    _{ }  



çarpımında özel durumda f r

_{ }

r g r,

_{ }



_{ }

r alınırsa C



n,r



ye dönüşür. Bütün bu genellemelerde Möbius fonksiyonu 

 

r nin aritmetik ifadesinde hiçbir değişiklik olmamıştır.

C



n,r



nin yeni bir genellemesi, klasik Ramanujan toplamında alışılmış Möbius fonksiyonu 

 

r nin yerine Souriau-Hsu Möbius fonksiyonu  yazılarak tanımlanır ve bu genelleme _ C 

_

n r,

_

=

 , . d n r r d d   _ _  



şeklinde verilir (Laohakosol ve ark. 2006).

Anahtar Kelimeler: Genelleştirilmiş Ramanujan Toplamları, Genelleştirilmiş Totient Fonksiyonları, Genelleştirilmiş Möbius Fonksiyonları

ii ABSTRACT

Ms Thesis

PROPERTIES OF GENERALIZED RAMANUJAN SUMS AND ITS APPLICATIONS

Nihal AKSÜLLÜ DİNCER Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN 2008, 48 Sayfa

Jury: Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Prof. Dr. Hasan ŞENAY

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT

The Ramanujan sum is defined by C



n,r



=

 , . d n r r d d _ _  



where n , r  and  

 

r is the Möbius function.Two generalizations of C



n,r



have been obtained by Ecford Cohen using the Jordan’s Totient function J_k

_{ }

r and the Cohen’s Totient function _k

_{ }

r . These generalizations are given by

 



,



k C n r =  , . k d n r r d d _ _  



and

_

_

 ,  , . k k k k k d n r r C n r d d    _{ }  



respectively.

Tom Apostol introduced the sum S_{f g,}



n,r =



 

( , ) d n r r f d g d      



which is generalized the Dirichlet convolution and reduced C



n,r



with f r

_{ }

r g r,

_{ }



_{ }

r . All these generalizations do not affect the Möbius function 

_{ }

r in their arithmetical representations.

A new generalization of the Ramanujan sum is defined by replacing the usual the Möbius function

 

r

 in the classical Ramanujan sum with the Souriau-Hsu Möbius function  , and this generalization _ is given by C 

_

n r,

_

=  , . d n r r d d   _ _  



( Laohakosol ve ark. 2006).

iii

ÖNSÖZ

Tez çalışmam süresince yardımlarını, bilgi ve tecrübelerini esirgemeyen ve kendisiyle çalışmanın bana çok şey kazandırdığına içtenlikle inandığım değerli danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN’a, eğitimim süresince maddi ve manevi her konuda beni destekleyen, bugünlere gelmemin ana mimarı olan sevgili aileme ve çalışmalarım sırasında desteğini esirgemeyen eşim İbrahim DİNCER’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım

iv İÇİNDEKİLER ÖZET ...i ABSTRACT ... ii ÖNSÖZ ...iii İÇİNDEKİLER...iv SEMBOLLER ... 1 1. GİRİŞ ... 2

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER... 5

3. ARİTMETİK ÇARPIMLAR ... 10

4. TOTİENT FONKSİYONLAR ... 17

4.1. Schemmel’in Totient Fonksiyonu... 17

4.2. Jordan’ın Totient Fonksiyonu ... 18

4.3. Klee’nin Totient Fonksiyonu... 20

4.4. Exford Cohen’in Totient Fonksiyonu ... 22

4.5. Sonlu Grupların Karakterleri ... 23

4.6. Karakterlerin Ortagonallik Bağıntıları ... 24

5. GENELLEŞTİRİLMİŞ RAMANUJAN TOPLAMLARI ... 27

5.1.Genelleştirilmiş Möbius Fonksiyonları ve İlgili Ramanujan Toplamları ... 43

1 SEMBOLLER



a b,



a ile b nin en büyük ortak bölei | Böler

k

 Bölen fonksiyonları

 Dirichlet çarpım

 Euler Totient fonksiyonu

k

 Eckford Cohen’nin Totient fonksiyonu

k

J Jordan’ın Totient fonksiyonu

k

 Klee’nin Totient fonksiyonu

 Möbius fonksiyon



,



C n r Ramanujan toplamı



,



C n r Ramanujan toplamının unitary benzeri

k

S Schemmel’ in Totient fonksiyonu



 Souriau-Hsu Möbius fonksiyonu

Unitary bölen

2 1. GİRİŞ

Anderson ve Apostol 1952, Möbius fonksiyonuna ve Euler’in φ fonksiyonuna bağlı olarak Ramanujan toplamının nasıl hesaplanacağını göstermiştir. Buna bağlı olarak





 ,  , ( ) d n r r S n r f d g d    _{ }  



ile tanımlanan iki değişkenli fonksiyonlar incelenmiş ve özel durumlarda C n_r

 

Ramanujan toplamı değerlendirilmiştir.



,



S n r nın çarpanlanabilirliği ile ilgili teoremler verilmiştir. Apostol 1972, _,





 

( , ) , f g d n r r S n r f d g d    _{ }  



toplamının yeni aritmetik

özellikleri verilmiştir. Bu aritmetik özellikler Ramanujan toplamlarının ve Sterneck fonksiyonlarının bilinen özelliklerini genelleştirir. Bu çalışmada kullanılan metot daha önce verilenlerden daha basit ve kolaydır. Ayrıca pek çok yazar tarafından çalışılan Smith determinant formülü bu yeni genellemelerin yardımı ile genişletilir:





, ( ) , nxn aij nxn Sf g i j    _{  } ise

   

   

det A f 1 .f 2 ..f n g. 1 n.

Haukkanen 1989, Narkiewicz’in tanımlamış olduğu regüler çarpım A-çarpım olmak üzere, çarpanlanabilir bir aritmetik fonksiyonun A-çarpanlanabilir olması için gerek ve yeter şart genelleştirilmiş Ramanujan toplamları yardımı ile verilmiştir. Ayrıca çarpanlanabilir bir aritmetik fonksiyonun tam çarpanlanabilir olması için gerek ve yeter şart yine genelleştirilmiş Ramanujan toplamları ile verilmiştir.

Haukkanen 1991, Aritmetik semi-grupların kümesinde (mod )r ye göre totally A-k-çift fonksiyonların Dirichlet serilerini kullanılarak Ramanujan özdeşliklerinin genellemelerini çalışmıştır.

Johnson 1982, S_r

 

n Ramanujan toplamının unitary benzeri

 , ( ) ( ) r d n r r S n f d g d      _{ }  



3 Johnson 1990, ( , ) ( , ) ( ) ( ) d n r r S n r f d g d



_

biçiminde Anderson ve Apostol tarafından verilen genelleştirilmiş Ramanujan toplamları için çarpanlanabilir bir fonksiyonun hangi şartlar altında genelleştirilmiş Ramanujan toplamı olacağı ile ilgili gerek ve yeter şartlar verilmiştir.

Haukanen 1996, n pozitif bir tamsayı ve d, n’nin pozitif bir böleni olmak üzere bütün n d,  sıralı ikilileri üzerinde tanımlanan kompleks değerli K(n,d) fonksiyonu için f ve g aritmetik fonksiyonlarının K- çarpımı



_K





,

  

d n n f g K n d f d g d     _{ }  



ile tanımlanır. Özel olarak K(n,d) 1 alınırsa K-çarpımı Dirichlet çarpımına dönüşür. Toth 1997, A-çarpımı Narkiewicz’in regüler çarpımı olmak üzere n nin A- bölenlerinin sayısı  (n) olsun. Bu çalışmada _A  için bir asimptotik formül _A verilmiştir.

Laohakosol ve ark. 2002,  genelleştirilmiş Möbius kavramını ilk kez 1995 te _ Hsu kullanmıştır. Tam çarpanlanabilir fonksiyonlara ait

_

_f

_

1 _f ve

f f





 biçimindeki iki özdeşlik genelleştirilmiş Möbius fonksiyonu  _ kullanılarak ortaya konulmuştur.

Laohakosol ve ark. 2006, Alışılmış Ramanujan toplamlarında klasik Möbius fonksiyonu yerine, Souriau - Hsu Möbius fonksiyonu olarak adlandırılan ve

 

 

 

  1 vp r p r p r v r     _ _   



şeklinde tanımlanan Souriau-Hsu Möbius fonksiyonu



 kullanılarak, genelleştirilmiş Ramanujan toplamları: n negatif olmayan bir tam sayı ve r pozitif tam sayı olmak üzere  





 , , d n r r C n r d d       _{ }  



biçiminde

tanımlamıştır. Bu genelleştirilmiş Ramanujan toplamlarının aritmetik özelliklerini incelemiştir.

Bu çalışmamız beş bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde konuyla ilgili yapmış olduğumuz kaynak araştırması verilmiştir. İkinci bölümde temel tanım ve teoremler, üçüncü bölümde aritmetik çarpımlar (konvülüsyonlar), dördüncü bölümde

4

Euler Totient fonksiyonunun genellemeleri, sonlu değişmeli grupların karakterleri ve karakterlerin ortagonallik bağıntıları verilmiştir. Beşinci bölümde genelleştirilmiş Ramanujan toplamları ve genelleştirilmiş Möbius fonksiyonu ile tanımlanan genelleştirilmiş Ramanujan toplamının aritmetik özellikleri incelenmiştir.

5 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde çalışmamızda kullanılacak temel tanım ve teoremler verilecektir.

Tanım 2.1. Pozitif tamsayılar kümesinden kompleks sayılar kümesinin herhangi bir alt kümesine tanımlanan fonksiyonlara aritmetik fonksiyon yada teorik sayı fonksiyonu denir.

İyi bilinen aritmetik fonksiyonlar Euler’in Totient fonksiyonu 

_{ }

n , Möbius fonksiyonu 

_{ }

n , bölen fonksiyonları _k

_{ }

n , Liouville fonksiyonu 

_{ }

n , Mangoldt fonksiyonu 

 

n dir.

Tanım 2.2. n 1 olan bir tamsayı olmak üzere, n ile aralarında asal olan ve n den küçük pozitif tamsayıların sayısını veren fonksiyona Euler’in Totient fonksiyonu denir ve 

_{ }

n ile gösterilir.

Euler’in totient fonksiyonu

 

  1 , 1 1 n k n k n    

_

biçiminde ifade edilir ve

 

1 1 kabul edilir (Apostol 1976).

Örneğin: 

_{ }

2 1, 

_{ }

3 2, 

_{ }

6 2, 

_{ }

9 6, 

_{ }

13 12, 

_{ }

27 18.

Teorem 2.1. n  olmak üzere, 

 

d n d n n d n d   _ _  





yazılır (Apostol 1976).

Teorem 2.2. Euler’in Totient fonksiyonunun aşağıdaki özellikleri vardır. a) p bir asal ve k 1 ise 

 

pk pk pk1

  , b)



m n,



d olmak üzere

_

_

_{   }

 

. . . d m n m n d      ,

6 c) m n ise 

   

m  n ,

d) n 3 için 

_{ }

n çift sayıdır. Ayrıca n nin r tane farklı tek asal çarpanı varsa

 

2r  n , e) 1 2

 

1 2 1 . . . ak 1 a a k p n n p p p n n p        _  _  



(Apostol 1976). Tanım 2.3. n 1 ve 1 2 1 . 2 . . k a a a k

n p p    p şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış bir tamsayı olmak üzere 

 

n ile gösterilen Möbius fonksiyonu,

 

 





1 2 1, 1 1 , 1 0, 1 k k i n n a a a

a herhangi bir i için

    _           

ile tanımlanır (Apostol 1976).

Örneğin; 

 

1 1, 

 

2 1, 

 

3  1, 

 

6 1, 

 

8 0, 

 

12 0 olur.

Teorem 2.3. x bir reel sayı, x değerini geçemeyen ve x ten küçük en büyük tamsayı değerini veren fonksiyon

 

x olmak üzere;

 

1 1, 1 0, 1 d n n d n n    _{  }     



dır (Apostol 1976).

Tanım 2.4. Reel veya kompleks bir k sayısı ve n 1 tamsayısı için _k

_{ }

k

d n

n d

 

_

ile tanımlanan _k

_{ }

n aritmetik fonksiyonuna bölen fonksiyonu denir ( Şenay 2007). ₀

 

n fonksiyonu n nin bütün pozitif bölenlerinin sayısını verir.₁

 

n

fonksiyonu da n nin bütün pozitif bölenlerinin toplamını verir. Bu özel durumlardaki aritmetik fonksiyonlar sırasıyla₀

_{ }

n 

_{ }

n ve ₁

_{ }

n 

_{ }

n ile gösterilir.

7 Ayrıca;

 

1 d n n  

_

,

 

d n n d  

_

yazılır (Apostol 1976).

Teorem 2.4. Standart biçimi 1 2

1 . 2 . .

r

a a a

r

n p p    p olan n 1 tamsayısı için

 

 





1 . 1 1 , 0 1 i a k r i k k i i p n k p       



,

 



 



1 1 , 0 r i i n a k   

_

  dır (Şenay 2007).

Tanım 2.5. Standart biçimi 1 2

1 . 2 . .

r

a a a

r

n p p    p olan n 1 tamsayısı için 

_{ }

n ile gösterilen Liouville fonksiyonu

   

1 2

1 a a ar

n

    

şeklinde tanımlanır ve 

 

1 1 kabul edilir (Apostol 1976).

Örneğin; n 2 için 

   

2  11  , 1 n 4 için 

   

4  1 2  , 1 n 6 için 

_{   }

6  11 1  , 1 n 20 için 

_{   }

20  12 1   1 olur.

Teorem 2.5. n 1 tamsayı olmak üzere

 

1, 0, d n n karesel ise d diğer durumlarda  _{ } 



dır (Apostol 1976). Örnek 2.1.

a) n 49 olsun. n nin pozitif bölenleri d 

_

1, 7, 49

_

olduğundan,

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }

49 1 7 49 d d    



   

1 2 1 1 1      1.

8

b) n 12 olsun. n nin pozitif bölenleri d 

_

1, 2, 3, 4, 6,12

_

olduğundan,

 

 

 

 

 

 

 

12 1 2 3 4 6 12 d d       



  1

 

11 

 

11  

 

1 2  

 

1 2  

 

1 3 0.

Tanım 2.6. n 1 tamsayısı için

 

log , , 1, 0, a p n p a p asal ise n diğer durumlarda     _{ } 

biçiminde tanımlanan fonksiyona Mangoldt fonksiyonu denir (Apostol 1976). Örneğin; n 1 için 

_{ }

1 0, n 2 için 

_{ }

2 log 2,

n 6 için 

_{ }

6 0, n 125 için 

_

125

_

log 5 olur.

Teorem 2.6. n 1 tamsayısı için

a) log

 

d n n

_

 d , b)

_{ }

_{ }

log

_{ }

log d n d n n n d d d d       _{ }   





dır (Şenay 2007).

Tanım 2.7.



m n ,



1 olan her m, n pozitif tamsayı çifti için f m n

_

.

_

 f m f n

_{   }

. ise f aritmetik fonksiyonuna çarpanlanabilir aritmetik fonksiyon denir. Bütün m, n pozitif tamsayı çiftleri için f m n



.



 f m f n

   

. ise bu takdirde f aritmetik

fonksiyonuna tam çarpanlanabilir aritmetik fonksiyon denir (Şenay 2007).

Örnek 2.1.

1.k   olmak üzere

_{ }

k

k

I n n ile tanımlanan kuvvet fonksiyonu tam çarpanlanabilir aritmetik fonksiyondur.

2. I₀

 

n e n

 

1 ile tanımlanan sabit fonksiyon tam çarpanlanabilirdir. 3. Liouville fonksiyonu 

_{ }

n tam çarpanlanabilirdir.

9

4. Euler’in Totient fonksiyonu 

_{ }

n ve Möbius fonksiyonu 

_{ }

n çarpanlanabilir aritmetik fonksiyonlardır. Ancak hem 

_{ }

n hem de 

_{ }

n tam çarpanlanabilir değildir. Gerçekten,



 

4 0 iken 

       

2 . 2  1 . 1 1 olup 

 

4 

   

2 . 2 ve



_{ }

4 2 iken 

_{   }

2 . 2 1.1 1 olup 

_{ }

4 

_{   }

2  2 olduğundan tam çarpanlanabilir olmadığı görülür.

Teorem 2.7.

a) f çarpanlanabilir bir aritmetik fonksiyon ise f

_{ }

1 1, b) f

_{ }

1 1 verilsin. Bu takdirde,

i) f aritmetik fonksiyonunun çarpanlanabilir olması için gerek ve yeter şart

1

i

a

  tamsayıları ve her p asalı için _i



1 2 3



 

1





1 , 2 , 3 , , 1 r r a a a a a a r r f p p p    p  f p    f p ,

ii) Çarpanlanabilir bir f fonksiyonunun tam çarpanlanabilir olması için gerek ve yeter şart her p asalı ve her a 1 tamsayısı için f p

 

a  f p

 

a olmasıdır,

c) f çarpanlanabilir ise

 

 

d n

F n 

_

f d ile tanımlanan F n

 

fonksiyonu da çarpanlanabilir bir aritmetik fonksiyondur (Apostol 1976).

Tanım 2.8. n 1 pozitif tamsayısı 1 2

1 . 2 . .

r

a a a

r

n p p    p şeklinde standart formda verilsin. n sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı 

_{ }

n ile gösterilir ve

 

n

 sayısına n nin çekirdeği ( core) denir (Sivaramakrishnan 1989).

Tanım 2.9.  dan kompleks sayıların bir alt kümesine tanımlanan iki  değişkenli f n r

_

,

_

aritmetik fonksiyonuna,

_

nr n r,   

_

1 olan her

_

n r,

_

ve

_

n r ,

_

tamsayı çiftleri için f n r



,

 

.f n r ,



 f nn rr



, 



eşitliği sağlanırsa çarpanlanabilir aritmetik fonksiyon denir (Sivaramakrishnan 1989).

10

3-ARİTMETİK ÇARPIMLAR ( KONVÜLÜSYONLAR )

Bütün aritmetik fonksiyonların kümesi A ile gösterilsin. A kümesi üzerinde tanımlanan ve aritmetik çarpım (konvülüsyon) olarak adlandırılan birçok ikili işlem vardır.

f ve g aritmetik fonksiyonları aritmetik fonksiyonların kümesi üzerinde herhangi iki fonksiyon olmak üzere ,   için elemanter toplam, elemanter n  çarpım işlemleri sırasıyla,



f g

 

n  f n

 

g n

 



f g

 

n  f n

 

g n

 

şeklinde tanımlanır (Sivaramakrishnan 1989).

(A,+) değişmeli bir gruptur. Sıfır fonksiyonu (A,+) grubunun birimidir. Ayrıca f aritmetik fonksiyonunun toplamsal tersi –f dir. (A,) bir monoidtir. Sabit fonksiyon

1

e  birim elemanıdır.

Tanım 3.1. r pozitif bir tamsayı olsun. Herhangi iki f ve g aritmetik fonksiyonunun



f g

 

r Dirichlet çarpımı toplam r nin bütün pozitif d bölenleri üzerinden değerler almak üzere



 

 

d r r f g r f d g d     _{ }  



ile tanımlanır (Sivaramakrishnan 1989).

Tanım 3.2.

 

0 1, 1 0, 1 n ise e n n ise      

şeklinde tanımlanan fonksiyona özdeşlik fonksiyonu denir (Sivaramakrishnan 1989).

Teorem 3.1. f, g, h A aritmetik fonksiyonlar olmak üzere, a) f g  g f ,

11 c) f e0 e0  f  f ,

d) f

 

1 0olan f aritmetik fonksiyonu için f f 1 f 1 f e0

 

    eşitliğini

gerçekleyecek şekilde bir tek 1

f

Dirichlet tersi vardır. Bu 1

f Dirichlet tersi 1 r   için

 

 

1 1 1 1 f f   ve

_{ }

 

 

1 1 1 . 1 d r d r r f r f f d f d        _{ }  



(indirgeme formülü), e)f 

_

gh

_{ }

 f g

_{ }

 f h

_

dır ( McCarthy 1985).

O halde f

_{ }

1 0olan bütün aritmetik fonksiyonların kümesi Dirichlet çarpımına göre değişmeli bir gruptur. Buradan (A, , ) nın birimli ve değişmeli bir halka olduğu görülür.

Teorem 3.2.

a) f ve g çarpanlanabilir iki aritmetik fonksiyon ise



f g



Dirichlet çarpımı da çarpanlanabilirdir. Ancak tam çarpanlanabilir aritmetik fonksiyonların Dirichlet çarpımı tam çarpanlanabilir olmak zorunda değildir,

b) f çarpanlanabilir ise f1

Dirichlet tersi de çarpanlanabilirdir,

c) f çarpanlanabilir aritmetik fonksiyonunun tam çarpanlanabilir olması için gerek ve yeter şart  r 1 tamsayısı için 1

_{  }

_{ }

f r f r

 olmasıdır,

d) f çarpanlanabilir bir aritmetik fonksiyon ise

   

=



1

 



d r p r

d f d f p

 





eşitliğini sağlar (Apostol 1976).

Teorem 3.3. h A bir tersinir aritmetik fonksiyon olsun. ,f g A için

  

 

 



1



 



1



 

f r  g h r g r  f h r  h  f r dır (Sivaramakrishnan 1989).

Bu teoremde h r

 



 

r alınırsa 1 e

 olduğundan f  g e  g  f  olur. Böylece Möbius ters çevirme formülü elde edilir.

12 Örnek 3.1. Euler’in  fonksiyonu için

 

d r

d r

 



idi.I

 

r  fonksiyonu ve r Dirichlet çarpımı tanımı göz önüne alınarak

_

e r

_{ }

I r

_{ }

yazılır. Bu eşitliğe Teorem 3.3. uygulanarak

 

_

1

_

  

 

 

d r r r I e r I r r d d             _{ }  



elde edilir.

Örnek 3.2. S.S. Pillai’nin 

 

r aritmetik fonksiyonu

_{ }

_

_

1 , r k d r r r k r d d        _{ }  





ile tanımlanır. Buradan,

  

 



1



 

r I r I I e r           

 

r _



I I



e1_

 

r

_

*e r

_{  }

 I I*

_{ }

r

_{ }

. 1 .

_{ }

d r d r d r r d d r r d r d    







olur (Sivaramakrishnan 1989). Örnek 3.3.

_

_{ }

_

_



1



_{ }

r I e I e r   _  _  _    _ _



II







e e 1



_

 

r 

_

II

_{ }

r  .r d r

_{ }

. O halde,

_{ }

_{ }

d r . r d r d r d  _ _  



olur (Sivaramakrishnan 1989).

13

Tanım 3.3. r 1 pozitif bir tamsayı olsun. r nin pozitif bir d böleni için d,r 1 d

 



 

 

ise d ye r’nin unitary böleni denir ve d r ile gösterilir.

Tanım 3.4. f ve g aritmetik fonksiyonlar olmak üzere f g ile gösterilen unitary çarpımı,



 

 

d r r f g r f d g d     _{ }  



ile tanımlanır (Sivaramakrishnan1989).

Dirichlet çarpımının birimi olan e özdeşlik fonksiyonu unitary çarpımının da ₀ birimidir. f aritmetik fonksiyonunun unitary çarpıma göre tersine f nin eşleniği denir ve conj f

_{ }

gösterilir. Dirichlet çarpımında olduğu gibi f nin ters fonksiyonu

 

conj f nin olması için gerek ve yeter şart f

_{ }

1 0 olmasıdır (Sivaramakrishnan 1989). O halde,



econj e

_{ }



_{ }

r e₀

_{ }

r olduğundan

_{  }

1, 1 0, 1 d r r conj e d r      



dır (Sivaramakrishnan1989).

Ayrıca d, r nin unitary bir böleni ise r

d de r nin unitary böleni olacağından

unitary çarpımının değişme özelliği vardır.

(A, ,  ) değişmeli bir halkadır. Ancak sıfır bölenlidir. Sabit fonksiyon e

 

r nin unitary çarpıma göre karesi

 

  

 

 

2 1 d r e r e e r d r   

_

 olur (Sivaramakrishnan1989).

 

d r görüldüğü gibi r nin unitary bölenlerinin sayısıdır. Benzer şekilde Möbiüs fonksiyonu 

 

r nin, Euler’in Totient fonksiyonu 

 

r nin ve bölen fonksiyonu

14

 

r

 nin unitary benzerleri, as

s a a p p p r 1. 2. . 2 1 

 tamsayısının farklı asal çarpanlarının sayısıw r

_{ }

ve w

_{ }

1 0 olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanır:

a) d

 

r 2w r , b)

   

r  1 w r  conj e r

  

, c)

 



1



1 1 s a i i r p   

_

 , d)

 

. ve

 

m m 1 d r r r d p p d      _{ }    



, e)

 

r



conj e

 

I



 

r



 I



 

r     ise

 

d r d r  



(Sivaramakrishnan 1989).

Örnek 3.4. d

_{ }

r , 

_{ }

r , 

_{ }

r , 

_{ }

r Unitary aritmetik fonksiyonların sağladığı eşitliklerin uygulamaları aşağıdaki sayısal örneklerle gösterilmiştir.

a) r 3.22 için w

 

12 2 olduğundan d

 

12 22 4 tür. Burada 12 nin unitary bölenleri 1,3,4 ve 12 olup dört tanedir.

r 52 için w

_{ }

25 1, d

_{ }

25 2. Burada 25 in unitary bölenleri 1ve 25 tir. b) 

   

12  1 2  ve 1 

   

25  11  . 1 c) 

  

12 1 3 . 1 2





2



20     , 

 

25



1 52



26    . d) 

_{ }

12  12 12 12 12 12 . .1 .3 .4 .12 1 3 4 12 d r d d _ _ _ _ _{ } _ _ _ _          



 

_{ }

1 .12  

_{ }

1 .31  

_{ }

1 .41  

_{ }

1 .1 1.122  6. 

 

25  25 25 25 . .1 .25 1 25 d r d d                    



 

 

1 .1 1.251  24 ve 

 

52 52  1 24 olur. e)

 

 

 

4 1 4 1 3 4 d d        



.

15

Dirichlet ve unitary çarpımının tanımında verilen aritmetik fonksiyonların kümesi A ile gösterilmişti. A kümesindeki her aritmetik fonksiyonun tanım kümesi pozitif tamsayılar idi. Şimdi, aşağıda tanımı verilen Cauchy çarpımında ise aritmetik fonksiyonlar negatif olmayan tamsayılar kümesi üzerinde tanımlanır ve bu aritmetik fonksiyonların kümesi Bile gösterilir.

Tanım 3.5. f g B aritmetik fonksiyonları için ,



f g



ile gösterilen Cauchy çarpımı,



 

  



0 r i f g r f i g r i  

_

 

ile tanımlanır (Sivaramakrishnan 1989).

 

1 1, 0 0, 0 r e r r      

biçiminde verilen e aritmetik fonksiyonu Cauchy çarpımının birimidir. (B , ,₁   ) değişmeli ve birimli bir halkadır.

Tanım 3.6. f B aritmetik fonksiyonuna; eğer f

 

0 0 ise singüler ve

 

0 0

f  ise non-singüler denir (Sivaramakrishnan 1989).

Cauchy çarpımı ile verilen bir f aritmetik fonksiyonunun tersinin olabilmesi için gerek ve yeter şart f nin non - singüler olmasıdır (Sivaramakrishnan 1989).

Tanım 3.7. r pozitif bir tamsayı ve d r olsun. Sıralı bütün r,d  çiftlerinin kümesi üzerinde tanımlı kompleks değerli bir aritmetik fonksiyon K r d

_

,

_

olmak üzere f ve g aritmetik fonksiyonlarının



f K g

 

r ile gösterilen K- çarpımı



_K

 



,

  

d r r f g r K r d f d g d     _{ }  



ile tanımlanır ( Haukkanen 1989).

16 Ayrıca:



,



1, 0, d unitary ise K r d diğer durumlarda     şeklinde tanımlanırsa f _K g  f g olur.

Tanım 3.8. r nin pozitif bölenlerinin bir alt kümesi A r

_{ }

olsun. A r

_{ }

nin elemanlarına r nin A-bölenleri denir. f ve g aritmetik fonksiyonlarının A-çarpımı



 

 

  A d A r r f g r f d g d      _{ }  



ile tanımlanır (Narkiewicz 1963).

Narkiewicz aşağıdaki şartları sağlayan herhangi bir A-çarpımı regüler çarpım olarak adlandırır:

a) Aritmetik fonksiyonların kümesi A-çarpım ve adi toplama işlemine göre birimli, değişmeli bir halkadır,

b) Çarpanlanabilir fonksiyonların A-çarpımı da çarpanlanabilirdir,

c) Sabit e 1 fonksiyonunun A-çarpımına göre  ile gösterilen ters fonksiyonu _A vardır ve r bir asalın kuvveti iken _A

_{ }

r 0 veya -1 dir.

17 4- TOTİENT FONKSİYONLARI

4.1 Schemmel’in Totient Fonksiyonu

V.Schemel tarafından S_k

 

r fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

Tanım 4.1.1. k2 bir tamsayı olmak üzere, r den küçük ve her biri r ile aralarında asal olan k tane ardışık sayıdan oluşan kümelerin sayısına Schemmel’ in Totient fonksiyonu denir ve S_k

_{ }

r ile gösterilir. S_k

_{ }

1 1 kabul edilir ve

 

. 1 k p r k S r r p    _  _  



biçiminde ifade edilir (Sivaramakrishnan 1989).

Schemmel ‘in Totient fonksiyonunun tanımından r nin herhangi bir p asal böleni için, k pa



a 1



ise S_k

 

r 0 dır. Burada k2dir. Çünkü k 1ise

 

 

1 S r  r dir. Ayrıca,

 

m m 1 k k S p p p    _  _   yazılır (Sivaramakrishnan 1989). _k

 

r fonksiyonu,

 

 

1 2 2 1, 1 - , . . 0, , 1 s k s r r k r p p p d r d     _        

ile tanımlanır (Sivaramakrishnan 1989).

Örnek 4.1.1.

1) k 2 ve r 10olsun. 10 un asal bölenleri



2, 5



tir. O halde,

 

2 10 2 10 10. 1 p S p    _  _  



10. 1 2 . 1 2 2 5      _  _{ }  _     0.

18

2) k 2 ve r 21olsun. 21 in asal bölenleri

_

3, 7

_

için,

 

2 21 2 21 21. 1 p S p    _  _  



21 1 2 1 2 3 7      _  _{ }  _     5.

olarak bulunur ki (1,2), (4,5), (10,11), (16,17), (19,20) sıralı ikililerinin her biri 21 ile aralarında asaldır ve görüldüğü gibi sayısı 5 tanedir.

Teorem 4.1.1. r  ve  I r

_{ }

r olmak üzere;

 

k

S r =



I_k

 

r yazılır (Sivaramakrishnan 1989).

Ayrıca nın tanımından,_k _k

 

r k.

 

r olduğu da çok kolay görülür.

4.2. Jordan’ın Totient Fonksiyonu

Tanım 4.2.1. k 1 olmak üzere ( mod r) ye göre tam kalan sınıfları sisteminden seçilen sıralı k tane elemandan oluşan ve bu k tane elemanın en büyük ortak böleni r ile aralarında asal olacak şekildeki kümelerin sayısına Jordan’ın Totient fonksiyonu denir. Bu fonksiyon J_k

_{ }

r ile gösterilir (Sivaramakrishnan 1989).

k 1için Jordan’ın Totient fonksiyonu Euler’in Totient fonksiyonuna dönüşür.

I_k

 

r rk olmak üzere Jordan’ın Totient fonksiyonu aşağıdaki özdeşlikleri sağlar: a) k

_{ }

k 1 1k p r J r r p    _  _  



, b) k

 

k d r r J r d d    _{ }  



, c) k

 

k d r J r r



, d)

 

 

 

 

,



,



k k k k k J r J s d J rs d r s J d   (Sivaramakrishnan 1989).

19

Örnek 4.2.1. Jordan’ın Totient fonksiyonunun aritmetik özelliklerinin uygulamaları aşağıdaki örneklerle verilmiştir.

1) ₁

 

1 ₁ 15 1 15 15 1 p J p    _  _  



15. 1 1 1 1 3 5      _  _{ }  _     8 ve

_{ }

1 1 15 15 15 . d J d d    _{ }  



15 1 15 1 15 1 15 1 .1 .3 .5 .15 1 3 5 15          _{ }  _{ }  _{ }  _{ }          

 

1 .12  

 

1 .3 

 

1 .5 1.15 8. 2) 2

 

2 2 15 1 15 15 1 p J p    _  _  



2 2 2 1 1 15 . 1 1 3 5      _  _{ }  _     192 ve ₂

 

2 15 15 15 . d J d d    _{ }  



15 2 15 2 15 2 15 2 .1 .3 .5 .15 1 3 5 15          _{ }  _{ }  _{ }  _{ }          

 

1 .12  

 

1 .9 

 

1 .5 1.225 192. 3) ₃

 

3 ₃ 15 1 15 15 1 p J p    _  _  



3 3 3 1 1 15 . 1 1 3 5      _  _{ }  _     3224 ve

_{ }

3 3 15 15 15 . d J d d    _{ }  



15 3 15 3 15 3 15 3 .1 .3 .5 .15 1 3 5 15          _{ }  _{ }  _{ }  _{ }          

 

1 .12  

 

1 .27 

 

1 .125 1.3375 3224. 4) 1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

15 1 3 5 15 d J d J J J J



 1 248 15. 5)





 

 

 

2 2 2 2 2 3 3.15 3 . 15 3 J J J J  192.

Teorem 4.2.1 r nin katlılıkları da dahil bütün asal çarpanlarının sayısı 

 

r olsun.

 

r

 fonksiyonu 

   

r  1  r olmak üzere Jordan’ın Totient fonksiyonu

   

2

 

,

0,

k

k k

d r

J r r bir tam kare ise

r d J d J d _{diğer durumlarda}            _



20 4.3. Klee’nin Totient Fonksiyonu

Tanım 4.3.1. 1 den büyük pozitif bir tamsayının k. kuvvetten bir böleni yoksa bu tam sayıya k-serbest denir (Sivaramakrishnan 1989).

.

Tanım 4.3.2. r pozitif tamsayısı k -serbest olsun. 1hr olmak üzere h ve r nin en büyük ortak böleni k. kuvvetten serbest olacak şekildeki h tamsayılarının sayısına Klee’nin Totient fonksiyonu denir ve _k

_{ }

r ile tanımlanır (Sivaramakrishnan 1989). k

 

r Klee’nin totient fonksiyonu, k 1 için Euler’in Totient fonksiyonuna

indirgenir.

Tanım 4.3.3. _k

 

r aritmetik fonksiyonu

 

1 , 0, k k

r r bir k nıncı kuvvet ise r diğer durumlarda              

ile tanımlanır (Sivaramakrishnan 1989).

Tanım 4.3.4. _k

 

r aritmetik fonksiyonu,

 

1,

0,

k

r bir k nıncı kuvvet ise r

diğer durumlarda  _{ }



biçiminde tanımlanır (Sivaramakrishnan 1989).

Tanım 4.3.2., 4.3.3., 4.3.4. göz önüne alındığı takdirde Klee’nin Totient fonksiyonu aşağıdaki özdeşlikleri sağlar:

a) _k

_{ }

_k

_{ }

d r r r d d  

_

 , b)

_{ }

1 1 k k k p r r r p   _  _  



, c)



 

 

k k k k k d r r r r I r d  _ _      



(Sivaramakrishnan 1989).

21

Örnek 4.3.1. _k

_{ }

r Totient fonksiyonunun aritmetik özelliklerinin uygulamaları aşağıdaki örneklerle verilmiştir.

1) 1

 

1

 

6 6 6 . d d d  

_

 ₁

_{ }

1 .6 ₁

_{ }

2 .6 ₁

_{ }

3 .6 ₁

_{ }

6 .6 1 2 3 6         1.6 

_{ }

1 .3 

_{ }

1 .2 1.1 2.

 

1 1 1 1 1 6 1 1 1 6 6. 1 6 1 . 1 2 2 3 p p   _  _ _   _{ }  _      



. 2) ₂

 

₂

 

9 9 9 . d d d  

_

 ₂

 

1 .9 ₂

 

3 .9 ₂

 

9 .9 1 3 9       1.9  0

 

1 .18.

 

2 2 2 2 9 1 1 9 9. 1 9. 1 8 3 p p   _  _ _  _    



. 3) ₂

 

₂

 

12 12 12 d d d  

_

 ₂

_{ }

1 .12 ₂

_{ }

2 .12 ₂

_{ }

3 .12 ₂

_{ }

4 .12 ₂

_{ }

6 .12 ₂

_{ }

12 .12 1 2 3 4 6 12             1.12 0.6 0.4   

 

1 .3 0.2 0.1 9   .

 

2 2 2 1 12 12. 1 p r p   _  _  



2 1 12. 1 2    _  _   9. 4) 2 2 2 2 2 12 12 12 12 1 4 d d  _ _ _ _ _ _      



 9 3 12.

Teorem 4.3.1 Toplam r’nin k-serbest d bölenleri üzerinden değerler almak üzere

 

k d r r r d   _ _  



olur (Sivaramakrishnan 1989).

22 4.4. Eckford Cohen’nin Totient Fonksiyonu

Tanım 4.4.1. m ve n her ikisi birden sıfır olmayan tamsayılar olsun. m ve n tamsayılarının k. kuvvetten en büyük ortak böleni

_

m n,

_

_k 1 ise m ile n ye aralarında k-asal denir.



mod rk



ya göre bir M tam kalan sınıfları sisteminin N alt kümesini göz önüne alalım. N kümesi r ile aralarında k-asal olan elemanların kümesi ise bu k kümeye



mod r



ye göre k-indirgenmiş kalan sınıfları sistemi denir ve bu sistemdeki elemanların sayısı _k

_{ }

r ile gösterilir. _k

_{ }

r fonksiyonuna Eckford Cohen’ in Totient fonksiyonu denir (Sivaramakrishnan 1989).



a b,



_k dk a_k , b_k 1

d d

 

 _{ }

  dir. Bu ifade göz önüne alınırsa k

 

r Eckford Cohen’in Totient fonksiyonu aşağıdaki özdeşlikleri sağlar:

a) _k

 



_k 1



 

. k d r r r I e r d d         _{ }  



, b) _k

 

k d r d r  



, c)









 

 

 

, ise . . . k k k k k d r s d r s r s d       (Sivaramakrishnan 1989).

Örnek 4.4.1. _k

_{ }

r Totient fonksiyonunun aritmetik özelliklerinin uygulamaları aşağıdaki örneklerle verilmiştir.

1) ₂

 

2 15 15 15 . d d d     _{ }  



15 2 15 2 15 2 15 2 .1 .3 .5 .15 1 3 5 15          _{ }  _{ }  _{ }  _{ }         1.1 

 

1 .9 

 

1 .25 1.225 192. 2) ₂

 

₂

 

₂

 

₂

 

₂

 

15 1 3 5 15 d d         



  1 8 24 192 225=152. 3)



3,15



3 olduğundan





 

 

 

2 2 2 2 2 3 3,15 3 . 15 . 3       _ _    9 8.192. 8    _{ }   1728.

23 4.5. Sonlu Grupların Karakterleri

Tanım 4.5.1. G herhangi bir grup olsun. G üzerinde tanımlı kompleks değerli f fonksiyonu;

a) Bazı cG için f c 

_{ }

0,

b) Her a b, ,G için f a b



.



 f a f b

   

. çarpanlanabilirlik özelliklerini sağlar ise bu f fonksiyonuna G grubunun karakteri denir (Apostol 1976).

Teorem 4.5.1. G birimi e olan sonlu bir grup ve f fonksiyonu da G nin bir karakteri olsun. Bu takdirde f e 

 

1 ve her f a

 

değeri birimin köküdür (Apostol 1976).

İspat. f c 

_{ }

0 olacak şekilde cG alalım:





 

. .

c e c f c e  f c  f c f e

   

 f c

 

 f e 

 

1,

an  e f a

 

n  f a

 

n  f e

 

 . 1

Her G grubunun özdeş olarak 1 olan en az bir karakteri vardır. Bu karaktere esas karakter denir. Eğer G mertebesi n olan değişmeli bir grup ise G nin birbirinden farklı n tane karakteri vardır. Bu n tane karakteri f₁, f₂ , f_n ile gösterelim. Ayrıca f esas karakteri göstersin. Böylece 1 i 1için f a i

 

1olacak

şekilde aGvardır.

Her aG için karakterlerin çarpımı



f f_i. _j



 

a  f a f_i

 

. _j

 

a ile tanımlanır. Bu çarpma işlemine göre f f₁, ₂,, f_n karakterleri bir grup oluşturur. Bu grubun birimi f esas karakteridir. Ayrıca ₁ f nin tersi _i 1

i

f dir.

f a

_{ }

değeri birimin kökü olduğu için f a  dir. Böylece

 

1

 

 

1

f a f a  kompleks eşleniğine eşittir ve f a

 

 f a

 

yazılır:

_{ }

 

 

1 1 f a f a f a    .

24 4.6. Karekterin Ortagonallik Bağıntıları

G



a a₁, _2,,a_n

_

kümesi değişmeli bir grup ve



f f₁, _2,,f_n

_

G nin karakterleri f de esas karakteri olsun. A=A(G), nxn mertebeden ₁ a_ij elemanı

 

ij i j

a  f a ile verilen matrisi göstersin.

Teorem 4.6.1. A matrisinin i.satırdaki elemanlarının toplamı,

 

1 , 1 0, n i i r r

n i ve f esas karakter ise

f a diğer durumlarda      



dır ( Apostol 1976).

İspat: A matrisinin i.satır toplamını S ile gösterelim. i 1 ise toplamdaki her bir terimin değeri 1 olacağından S n olur.

Eğer fi  f1 ise bu takdirde f b i

 

1 olacak şekilde bir b G vardır. a r

G’nin bütün elemanları üzerinde değerler alırken .b a _r G olur.





 

 

 

1 1 . n n i r i i r i r r S f ba f b f a f b S   









Buradan S



1 f bi

_{ }



0 ve f b i

 

1 olduğundan S 0 elde edilir.

Teorem 4.6.2. A matrisinin eşlenik transpozu ile gösterilsin.  I , n n tipinde birim matris olmak üzere   .  n I. ( Apostol 1976).

İspat. B=_{  olsun. B nin} . 

ij b elemanı

   





 

1 1 n n ij i r j r i j r r r b f a f a f f a   

_



_

. i k i j j f f f f f   olmak üzere

 

1 n ij k r r b f a  

_

olur. Buradan i ₁ j f f i j f    dir. Teorem 4.6.1.den , 0, ij n i j ise b i j ise      

25

Teorem 4.6.3. n elemanlı bir G grubunun i1, 2, 3,,r olmak üzere f karakterleri _i

 

 

1 , 0, n i j r i r j r i j n a a ise f a f a a a ise         



eşitliğini sağlar ( Apostol 1976).

Sonuç 4.6.1.

 

 

1

_{ }

1

r i r i r i

f a  f a   f a  f_r

 

a_i f_r

 

a_j  f_r

   

a_i1 .f_r a_j  f_r



a a_i1 _j



.

Bu son eşitlikten karakterler için Teorem 4.6.3 ile verilen ortagonallik bağıntısı



1



1 , 0, n i j r i j r i j n a a ise f a a a a ise          



biçiminde ifade edilir ve bu ifadede a_i  birim eleman için e

 

1 , 0, n j r j r n a e ise f a diğer durumlarda      



eşitliği elde edilir ( Apostol 1976).

Tanım 4.6.1. nn



modk



olsun.

_

mod k

_

ya göre indirgenmiş kalan sınıflarının grubu G ile gösterilsin.G nin her bir f karakteri ile karşılaştırılan _f aritmetik fonksiyonuna



mod k



ya göre Dirichlet karakteri denir.

 

 









, , 1 0, , 1 f n n k n n k   _       ve esas Dirichlet karakteri  ; 1

 









1 1, , 1 0, , 1 n k n n k  _{ }     biçiminde tanımlanır (Apostol 1976).

İndirgenmiş kalan sınıflarının bir grubu G olmak üzere, sonlu ve değişmeli bir grubun mertebesi adedince karakteri olacağından

_

mod k

_

ya göre tanımlanan G

grubunun birbirinden farklı 

_{ }

k tane Dirichlet karakteri vardır.