SÜREKLİ YAPIDA BİR MODELİN
İHTİMAL YOĞUNLUK FONKSİYONU
OLARAK İNCELENMESİ
Matematik modeller her bilim dalının üzerinde durduğu önemli bir konudur. Kitle ge lişim modelleri klasik olarak Sharpe ve Lotka (1911) tarafından tanımlanmıştır. Leslie (1945) kitle yapısının bir projeksiyon matrisi ile tanımlanabildiğim göstermiştir. L- Leslie matrisi kitle yapısını modelleştirmede daha sonraki yıllarda son derdce sık kulla nılmıştır. L-Leslie matrisi kitle yapısını modelleştirmede daha sonraki yıllarda son derece sık kullanılmıştır. L-Leslie matrisinden yararlanarak tanımlanan sürekli yapıda bir f(x) fonksiyonunun ihtimal yoğunluk fonksiyonu tanımlarını sağladığını gösterelim.
T anım : X>0 sürekli bir tesadüfi değişken ve a>0, b>0 olmak üzere
= 0 Başka yerlerde
ihtimal yoğunluk fonksiyonudur f(x) fonksiyonunun bazı a ve b parametrelerine göre grafikleri Şekil 1.1 ve Şekil 1.2de gösterilmiştir.
Dr. Bahadtin RÜZGAR Marmara Üniversitesi îkt. ve td.Bil.Fak. İşletme Bölümü g i r i ş p ı Şekil 1.1 Şekil 1.2
Teorem 1: f(x) ihümal yoğunluk fonksiyonunun beklenen değeri,
e(x)= * L !^ L L P İ a + |J
varyansı ve
M(t) =g + p _ i a P [ l - t p ct + P-apt moment doğurucu fonksiyonudur.
İspat: İhtimal yoğunluk fonksiyonunun beklenen değeri
E(X)= x f(x)dx
gerekli işlemler yapılırsa beklenen değeri E(X) - P (2 a + P)
a+P
bulunur. f(x) ihtimal yoğımluk fonksiyonunun varyansı Var (X) = E (X2) - [ E (X) ]2
ile verilir. Varyansı bulmak için E(X2) yi hesaplamamız yeterli olacaktır. İşlemin sonucu
e(x2)= ( X2^ İ ^ [ l - e t j e f d x J o
P
2bulunur. Varyans tanımında E(X) ve E(X2) eşitliklerinden yararlanarak
e(x2) = (2otP + 2 P2 ) ( a + P f ~2ot3P
bulunur. f(x) ihtimal yoğunluk fonksiyonunun moment doğurucu fonksiyonu ile verilir. O halde
( a + p f
a + P gerekli işlemler yapılırsa
M ( t ) = | et t f(x)dx
M(t) = I ett -ep] ep dx
bulunur. M(t) moment doğurucu fonksiyonundan yararlanarak beklenen
a + p
1
a
P
l-tp
a + p-apt
değeri ve varyansı tekrar bulursak veM ( t ) = ^ ı A
p
a2p
(l-tp)2 (a + p - apt
f _olur. O halde beklenen değer ve varyans
M(t) = 2p(a+p)
a J
dır.(l-tp)3 (a + p-apt)3.
E(t) = M,(0) = f e a + P)a + p
Vax(X)M (0) - [M'(0)]2= ¿ İP ,+ 2a2 + 2ccP) ( a + p fT eorem 2: f(x) ihtimal yoğunluk fonksiyonunun karakteristik fonksiyonu
a
dir.
e ( t ) = “ ± i - J _______________
P [l-iP1 a + p-iapt
İspat: f(x) ihtimal yoğunluk fonksiyonunun karakteristik fonksiyonu
2 ( t) = | e ltx i |x ) d x
i
olarak tanımlanır. O halde karakteristik fonksiyon
F
»’>■ f ı ■■■* . r*i" ' y ., gerekli işlemler yapılırsa1 a
2 (0
P 1-itp a + P - i a p t
olur. Moment doğurucu fonksiyon ile karakteristik fonksiyon arasında
¿ M |t= o=iM(tl t= o
dt
d M t ) |t = 0= iV (tjt= 0 dt
dt
formülleri geçerli olduğundan beklenen değer ve varyans
e
(X) - P (2<
x+ P)
a +P
V a ı|X )-p2 (p2 + 2a2 + 2 a P) ’
( a + p f şeklinde bulunur.
Teorem 3: f(x) ihtimal yoğunluk fonksiyonunun a parametresi O(sıfır) limitsel du rumunda üstel dağılıma gider. '
İspat: Üstel dağılımın ihtimal yoğunluk fonksiyonu g(x) model ihtimal yoğunluk fonksiyonu f(x) olmak üzere,
g(x) = lima->of(x) = lima-»(>“ -+- - [ l - e J e p
lim a-»0 £a g(x) = —e p
p
üstel ihtimal yoğunluk fonksiyonu olur. Eu(X), Var(j(X) ve M(jk(t) üstel dağılımın, E (X), Var(X) ve M(t) model dağılımının beklenen değeri, varyansı ve moment doğurucu fonksiyonlarını göstermek üzere,
E«(x) = lima-»oE(x)
P=
Var^x) = lima->oVar(x)
i
-Eü(x) = lim a-» oE(x)
_ 1
1-tp
SO NU Ç: L-Leslie matrisinden tanımlanan sürekli bir f(x) fonksiyonu ihtimal yo ğunluk fonksiyonu teoremlerini sağlamıştır.
K A Y N A K L A R
* HOCKING, R. R. and LESLIE, P.H., Selection of Best Subsect in Regression An alysis, Technometrics, november 1968, ss.531-540.
* DRAPER, N.R. and SMITH, H., Applied Regression Analysis, John W iley and Sons, The United States of America, 1966.
* LESLIE, P.H., Same Use of Matrices in Certain population Mathematics, Biometri- ka Vol.33,1945, ss.183-212.
* LESLIE, P.H., Same Further Notes on the Use of Matrices in Population Mathema tics, Biometrika, Vol. 1948,-ss.213-245.
* POLLARD, J.H., Continuous-Time and D iscrete-Tim e models of Population Growth, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 1969, ss. 80-88
* SHARPE, F.R. and LOTKA, A.J., A Problem in Age Distribution, Philosophical Magazine, 21,1911.
* SÖNDGERTH, D. and RICHTER, O., An Extension of The Leslie matris model for Describing Population Dynamise o f Shpecies with Several Development Stages, Biometrics 46, September 1990, ss.585-607.
