ÖABT
CEBİR
Lineer Cebir
ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
Yasin ŞAHİN
ÖRNEKT
İR
ÖABT
CEBİR / Lineer Cebir
ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
© Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,
elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir
kayıt sistemi ile çoğaltılamaz,
yayınlanamaz, depolanamaz.
Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir.
Eser Sahibi
Yasin ŞAHİN
ISBN: 978-605-06154-0-1
İNCİ KAĞITÇILIK – OFSET MATBAA
Fevzi Çakmak Mah. Hacı Bayram Cad. No: 3
Karatay / KONYA
Sertifika No: 14997
Dizgi & Grafik
Mehmet Bilban
KONYA – Nisan – 2020
ÖRNEKT
ÇİNDEKİLER
Matris Cebiri Test 1 ... 1 Çözümler ... 3 Test 2 ... 5 Çözümler ... 7 Test 3 ... 9 Çözümler ... 11 Test 4 ... 13 Çözümler ... 15 Determinantlar Test 1 ... 19 Çözümler ... 21 Test 2 ... 23 Çözümler ... 25 Test 3 ... 27 Çözümler ... 29 Test 4 ... 31 Çözümler ... 33 Elementer İşlemler Test 1 ... 37 Çözümler ... 39 Test 2 ... 41 Çözümler ... 43Lineer Denklem Sistemleri Test 1 ... 47 Çözümler ... 49 Test 2 ... 51 Çözümler ... 53 Test 3 ... 55 Çözümler ... 57
İ
ÖRNEKT
İR
Vektör Uzayları Test 1 ... 61 Çözümler ... 63 Test 2 ... 65 Çözümler ... 67 Test 3 ... 69 Çözümler ... 71 Test 4 ... 73 Çözümler ... 75 Lineer Dönüşümler Test 1 ... 79 Çözümler ... 81 Test 2 ... 83 Çözümler ... 85 Test 3 ... 87 Çözümler ... 89 Özdeğerler ve Özvektörler Test 1 ... 93 Çözümler ... 95 Test 2 ... 97 Çözümler ... 99 Test 3 ... 101 Çözümler ... 103
ÖRNEKT
İR
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Arkadaşlarım,
Ülkemizde 2013 yılından bu yana uygulanmakta olan Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi
(ÖABT) süreç içerisinde belli bir formata oturmuş, soru karakterleri belirginleşmiştir.
Bu sınav, üniversitelerde okutulan akademik müfredatın yanı sıra 2015 yılı öncesi lise
matematik konularını da içermektedir.
Bu sistemde amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerini
pekiştirmeniz sınava uygun tarzda çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık tekrar
yapmanız gerekmektedir.
Kaynaklarımız soru sayısı arttırılmış ÖABT sınavı baz alınarak yeniden düzenlenmiş,
her bir soru sınıf ortamında çözülerek hatalı yönleri giderilerek hizmetinize sunulmuştur.
Lineer Cebir
Çözümlü Soru Bankası, yukarıdaki belirlemelere uygun olarak sizleri
ÖABT sınavına en iyi biçimde hazırlamak amacıyla düşünülmüştür.
Çıktığınız bu zorlu yolculukta yayınlarımızın yükünüzü bir nebze olsun hafifletmesi en
büyük dileğimizdir.
Faydalanacak olan
öğretmen arkadaşlara başarılar diler ve bu kitabın hazırlanmasında
desteklerini esirgemeyen başta sevgili eşim olmak üzere, Hatice ARICI, Ahmet ÖZER, Sefa
ARDAHAN, Fatih MARAŞLI, Kürşat KOÇ, Beyza CAN, Abdullah KOCA, Fatma ERTÜRK
hocalarıma teşekkürü bir borç bilirim.
Yasin ŞAHİN
Nisan – 2020
ÖRNEKT
ÖRNEKT
ÖRNEKT
ÖRNEKT
Lineer Cebir Lineer Dönüşümler Test 3
87
1. T : 3→ 2
, T(x, y, z) = (2x − y, −2y + z) lineer dönüşümünün çekirdeğinin üzerindeki boyutu kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2. T : 3 → , T(x, y, z) = x − 2y + z lineer dönüşümünün sıfırlığı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. T : 3 → 2
lineer dönüşümünün çekirdek uzayının boyutu x, görüntü uzayının boyutu y, sıfırlığı z ve rankı k dır.
Buna göre, x + y + z + k toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
4. T : M2( ) → M2( ) dönüşümü, ∀ A ∈ M2( ) , T(A) = AT - A biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, I. T dönüşümü lineerdir.
II. Çekirdek uzayının boyutu 3 tür. III. Görüntü uzayının boyutu 1 dir. Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 5. A 1 1 3 2 1 1 − = −
matrisine karşılık gelen lineer dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir? A) T(x, y) = (x + 2y, − x + y, 3x − y) B) T(x, y) = (x − y, − 2x + y, 3x − y) C) T(x, y) = (x + y, − x + 2y, 3x − y) D) T(x, y, z) = (x − y + 3z, 2x + y − z) E) T(x, y, z) = (−x + y − 3z, 2x + y + z) 6. T : 2 → 2, T(x, y) = (0, x + y) lineer dönüşümü veriliyor. Buna göre, I. T2 = T II. T−1 = T
III. T dönüşümünün tersi yoktur. İfadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III
ÖRNEKT
Lineer Cebir Lineer Dönüşümler Test 3
88
7. Aşağıdakilerden hangisi
T : 2 → , T(x, y) = 2x − 3y
lineer dönüşümünün çekirdek uzayının bir elemanı değildir?
A) (3,2) B) (6,4) C) (2,3) D) (−3, −2) E) (−9, −6)
8. Aşağıdakilerden hangisi
T : 2 → 3, T(x, y) = (x, − y, x + y)
lineer dönüşümünün görüntü uzayının bir elemanıdır?
A) (1, 1, 0) B) (2, 1, 3) C) (−1, 2, 1) D) (0, 1, 1) E) (1, 1, 1)
9. {e1, e2, e3} kümesi 3ün standart bir tabanı olmak üzere, T : 3 → 3 lineer dönüşümü için
( )
1(
1 2)
(
1 2 3)
1 3 1 T e 1 , T e e 1 ,T e e e 0 1 2 2 − = + = − − + = olduğuna göre, T dönüşümüne karşılık gelen matrisin determinantı kaçtır?
A) −12 B) −11 C) −6 D) −3 E) 0
10. a bir reel sayı olmak üzere,
T:3 →3, T(x, y, z) = (x + y, ax + z, y + z)
doğrusal (lineer) dönüşümü veriliyor. W = {(x, y, z) : T(x, y, z) = (0, 0, 0)} alt uzayının boyutu 1 olduğuna göre, a kaçtır?
A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2
11. T : 2 → 2, T(x, y) = (3x + 4y, 2x + 3y)
lineer dönüşümüne karşılık gelen matrisin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 4 2 3 B) 3 2 4 3 C) 3 2 4 3 − − D) 3 4 2 3 − − E) 3 2 4 3 − − 12. V = {a x + b : a, b ∈ } vektör uzayı üzerinde
T : V → V
lineer dönüşümü, türev yardımıyla T(p(x)) = p'(x) + 2p(x) biçiminde tanımlanıyor.
T dönüşümünün B = {x − 1, x} tabanına göre matris gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 1 1 3 − B) 1 1 2 3 C) 1 1 2 3 − D) 1 1 2 3 − E) 1 1 3 2 −
ÖRNEKT
İR
Lineer Cebir Çözümler Test 3 89 1. T x, y, z
(
) (
= 2x−y,−2y+z)
(
)
(
)
{
}
T x, y, z 0 x t 2x y 0 y 2t 2y z 0 z 4t ÇekT t,2t, 4t : t = = − = = − + = = = ∈ olduğundan boyÇekT 1= dir.
Cevap B
2. T x, y, z
(
)
= −x 2y+ z lineer dönüşümünün sıfırlığı, çekirdek uzayının boyutunu vereceğinden(
)
{
}
(
) (
)
{
}
x 2y z 0 ÇekT 2t k, t,k : t,k t 2,1,0 k 1,0,1 : t,k boyÇekT 2 dir. − + = = − ∈ = + − ∈ = Cevap C 3. T :3→ lineer dönüşümünde 2 3 3boyÇekT boyGörT boy
3 sıfırlıkT rankT boy 3 olduğundan x y z k 6 dır. + = = + = = + + + = Cevap C 4. A,B∈M2
( )
(
) (
) (
)
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
T T T T T T i) T A B A B A B A A B B T A T B ii) kT k.A k.A k.A
k A A T lineer dönüşümdür. 0 0 II) T A 0 0 a b A c d A A a c a b a x b d c d x d
b c x bilinmeyen sayısı 3 olduğu için çekirdek uzayın boyutu 3 tür.
III) Bo + = + − + = − + − + ∈ = − = − = = = = = = =
( )
2 2 yM boyÇekT boyGörT 2 3 ? boyGörT 1 = + = + = Cevap E 5. A 1 1 3 2 1 1 − = − matrisine karşılık gelen lineer dönüşüm
(
)
1. satır 2. satır T x, y, z x y 3z, 2x y z = − + + − biçimindedir. Cevap A 6. T x, y( ) (
= 0, x+y)
( ) (
)( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
2 I. T x, y T T x, y T T x, y T 0, x y 0, x y T x, y = = = + = + = II. T dönüşümünün matris temsili A ise 0 0 A 1 1 =
A = 0 olduğundan A matrisinin dolayısıyla T dönüşümünün tersi yoktur.
Cevap D
ÖRNEKT
Lineer Cebir Çözümler Test 3 90 7. T x, y
( )
=2x−3y( )
T x, y 0 2x 3y 0 = − =denklemini C seçeneği sağlamaz.
Cevap C 8. T x, y
( ) (
= x, y, x− +y)
lineer dönüşümünün görüntü uzayının bir elemanı
(
1,1,0 olabilir.)
Cevap A 9.( )
1 1 T e 1 1 = (
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3 T e e 1 2 3 2 T e T e 1 T e 2 2 1 1 T e e e 0 2 1 0 T e T e T e 0 T e 3 2 2olduğundan T dönüşümüne karşılık gelen matris 1 2 0 A 1 2 3 A 11 1 1 2 + = − + = − ⇒ = − − − + = − − + = ⇒ = − = − − ⇒ = − dir. Cevap B 10. T x, y, z
(
) (
= x+y, ax+z, y+z)
(
)
T x, y, z 0 x y 0 ax z 0 y z 0 1 1 0 A a 0 1 0 1 1 = + = + = + = = matrisinin rankı 2 ve bilinmeyen sayısı 3 olmalıdır ki 3 2 1− = parametreye bağlı sonsuz çözüm olsun. 1 1 0 a 0 1 0 a 1 0 1 1 = ⇒ = − Cevap B 11. T x, y
( ) (
= 3x+4y, 2x+3y)
1 3 4 1 A A EkA 2 3 A 3 4 1 . 2 3 1 3 4 2 3 − = → = − = − − = − Cevap D 12. U ve V, F cismi üzerinde tanımlı sonlu boyutluiki vektör uzayı,
{
u1,u2,...,un}
,N{
v1,v2,...,vm}
M= =
kümeleri sırasıyla U ve V nin bazları ve T : U → V bir lineer dönüşüm olsun.
m 1 m 2 21 1 11 1) a V a V ... a V u ( T = + + + m 2 m 2 22 1 12 2) a V a V ... a V u ( T = + + + ………. m mn 2 n 2 1 n 1 n) a V a V ... a V u ( T = + + + olmak üzere, = mn 2 m 1 m n 2 22 21 n 1 12 11 a .... a a .... .... .... .... a .... a a a .... a a A matrisine T : U → V lineer dönüşümünün sırasıyla M ve N bazına göre matris gösterimi denir.
( )
(
)
( )
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
( )
11 21 11 21 12 22 12 22 T : V V, T p x p x 2p x B x 1, x a x 1 a x T x 1 1 2x 2 a 1, a 1 a x 1 a x T x 1 2x a 1, a 3olduğundan verilen dönüşümün matris gösterimi 1 1 1 3 biçimin dedir. ′ → = + = − − + = − = + − = = − + = = + = − = − Cevap A
