1. Giriþ
K
arakteristik boyutlarý 1 mm den 1 mm'e kadar deðiþen mikro-cihazlar günümüzde teknolojik bir gerçekliktir ve kalp pilinden mürekkep püskürtmeli yazýcýlara kadar pek çok alanda baþarý ile kullanýlmaktadýr. Bunlar arasýnda mikro pompalar veya mikro ýsý eþanjörleri gibi mikro-akýþkanlý cihazlar (MFD’ler) çok önemli bir grup oluþturmaktadýr. MFD’lerin ana kullanýcýlarý otomotiv ve uçak firmalarýný içerenGian Luca MORINI, Marco LORENZINI
Dipartimento di Ingegneria Energetica, Nucleare e del Controllo Ambientale (DIENCA) Università degli Studi di Bologna
ÖZET ABSTRACT
Son yýllarda mikrokanallardaki tek-fazlý akýþýn akýþ-dinamikleri In the last years a large amount of experimental analyses have been addressed to the study of the fluid-dynamical and ve ýsý geçiþi karakteristikleri üzerine çok sayýda deneysel analiz
heat transfer characteristics of single-phase flows in yapýlmýþtýr. Mikrokanallardaki deneysel sonuçlar üzerine son
microchannels. Reviews of experimental results for yýllarda literatürde çeþitli çalýþmalar yapýlmýþtýr. Bu çalýþmalar, microchannels have appeared in the last years in the open bazen klasik baðýntýlarla uyuþmasý bazen de onlarla ters literature. These reviews show clearly how the results are far düþmesi, nedeniyle sonuçlarýn tek anlamlýlýktan ne kadar uzak from univocal, sometimes agreeing with the classical
correlations, at other times contradicting them. In this paper olduðunu açýkça göstermektedir. Bu makalede esas olarak
the main aspects which can be responsible for these bu sapmalarýn nedeni analiz edilecek ve tartýþýlacaktýr. Bu
deviations will be analysed and discussed. From a d e n e y s e l ç a l ý þ m a l a r ý n k r o n o l o j i k a n a l i z i n d e n , chronological analysis of these experimental works it is mikrokanallardan elde edilen deneysel veri ile geleneksel possible to note that the discrepancy between the teorinin öngörüleri arasýndaki farklýlýðýn azaldýðýný görmek experimental data obtained for microchannels and the
predictions of the conventional theory is decreasing. This fact mümkündür. Bu gerçek, mikrokanalýn pürüzlülüðü ve
can be partially explained by considering the dramatic geometrisinin daha iyi kontrolünün sonucu olan mikro üretim
improvements in microfabrication techniques with the tekniklerindeki büyük geliþme ve yapýlan deneysel testlerin
consequent more appropriate control of the roughness and doðruluðundaki artýþla kýsmen açýklanabilir. Bu nedenle, geometry of the microchannel and with the increase in the daha önce yapýlan çalýþmalarýn sonuçlarý bazen hatalarla accuracy of the experimental tests made. For this reason the results of the older studies are sometimes fraught with errors dolu ve yanýltýcý olabilmektedir.
and can be misleading. Bu çalýþmada, mikrokanallardaki tek-fazlý akýþlarýn ýsý taþýnýmý
In this work the role played by the main scaling effects and ve basýnç düþüþü üzerindeki ana ölçek ve mikro-etkilerinin micro-effects on the pressure drop and on the convective rolünün, klasik teoriyle kanýtlanabilen, literatürde yayýnlanan heat transfer for single-phase flows in microchannels will be pek çok deneysel sonuçla açýklanmasý hedeflenmektedir. analysed with the aim to explain that many experimental results published in the open literature can be justified by using Yazarlar, klasik akýþkanlar dinamiði ve ýsý geçiþi kanunlarý
the conventional theory. It is opinion of the writers that a good hakkýnda iyi bilgiye sahip olmanýn genelde pek çok þaþýrtýcý ve
knowledge of the classical laws of fluid-dynamics and heat beklenmeyen sonucun anlaþýlmasý için yeterli olacaðýný
transfer are in general sufficient to understand a large düþünmektedir. amount of apparently baffling and unexpected results.
Microchannels, Single-phase, Convection, Mikrokanallar, Tek Faz, Isý Taþýnýmý, Ölçek Keywords: Anahtar
Kelimeler:
Etkisi, Mikro Etkiler Scaling Effects, Micro Effects
MÝKROKANALLARDA TEK-FAZLI AKIÞKAN AKIÞI VE ISI GEÇÝÞÝ
SINGLE-PHASE FLUID FLOW AND HEAT TRANSFER IN
*
MICROCHANNELS
1. Introductýon
M
i c r o - d e v i c e s , i . e . t h o s e h a v i n g characteristic dimensions ranging from 1 m m t o 1 m m, a r e n o w a d a y s a technological reality and are successfully employed in a variety of fields, which span from cardiac pacemakers to inkjet printers. Among these, the micro-fluidic devices (MFDs), such as micro-pumps or micro heat exchangers, represent a very important group. The main users of MFDs are industries in the field ofmikroelektronik, kimya, ecza, gýda ve týbbi teknolojiler gibi sanayilerdir.
Bu türlü cihazlarýn hemen hepsinin özü, karakteristik ölçüleri mikron mertebesinde olan ve çeþitli kesit alanlarýna (en yaygýnlarý dairesel, yamuk, dikdörtgen) sahip bir veya daha fazla mikrokanala dayanmaktadýr. MFD'lerin baþarýsý göreceli olarak küçük yüzey ve hacimlerde yüksek ýsý akýsý geçiþi kapasiteleriyle ilgilidir; ýsý taþýma artýmý, ýsý iletim katsayýsý ve kanalýn hidrolik çapýndaki azalma sonucu ýsý deðiþim yüzeyindeki (sabit bir hacim için) artýþ sonucu elde edilir. MFD’lerde kullanýlan mikrokanallarýn hidrolik çaplarý tipik olarak 1 mm ile 2 mm arasýnda deðiþir.
Bu çok önemli bir konuyu gündeme getirir, þöyle ki makroskobik boyutlarda olan kanallardaki nakil olayýný yöneten yasalar hala mikro ölçekte tutulur mu, ve tutulmazsa ne tür yeni etkiler ortaya çýkar? Bu temel soruya yanýt vermek için pek çok deneysel ve teorik çalýþma yapýlmýþtýr.
Pek çok makale, hidrolik çapý 100 mm'den daha küçük olan mikrokanallardaki tek fazlý akýþkan akýþý ve ýsý geçiþini analiz eden ilk çalýþma olarak Wu ve Little [1] t a r a f ý n d a n 1 9 8 3 y ý l ý n d a y a z ý l a n, m a ka l e y i göstermektedir. Bu yanlýþtýr. Gerçekte, ilk deneysel çalýþma 1840 yýlýnda Poiseuille [2] tarafýndan cam mikro tüplerin test edilmesiyle yapýlmýþtýr! O, su kullanarak kýlcal borulardaki kütlesel akýþ hýzý kanunlarýný analiz etmek için iç çapý 15 mm'e kadar olan mikrotüpleri test etmiþtir. Bouasse [3] tarafýndan belirtildiði gibi, Onun tarihsel deney sonuçlarý Þekil 1'de gösterilen çok basit deney düzeneði ile elde edilmiþtir.
Farklý uzunluktaki iki kýlcal tüp (Þekil 1'de L ve L ) üç 1 2
rezervuara baðlanmýþtýr (Þekil 1'de V , V , V ); giriþteki 1 2 3
kütlesel akýþ hýzý için Poiseuille rezervuarlar arasýndaki basýnç farkýný ölçebiliyordu. 1840 yýlýnda Poiseuille tarafýndan saðlanan deneysel veri dairesel tüplerdeki laminer akýþlar için ünlü “Poiseuille kanununu” açýklamak için kullanýlmýþtýr ki, buna göre sürtünme faktörünün Reynolds sayýsý ile çarpýmý sabit bir sayýyý (dairesel tüpler için 16'ya eþit) vermektedir.
microelectronics, chemical, pharmaceutical, food and medical technology, including automotive and aerospace companies. At the core of almost every such apparatus stand one or more microchannels, whose characteristic dimensions fall in the micron range and which possess a variety of cross-sections (circular, trapezoidal, rectangular to name those occurring most frequently). The MFDs' success is related to their capabilities to transfer high heat fluxes in relatively small surfaces and volumes; the heat removal enhancement is obtained through the increase of the convective heat transfer coefficient and of the heat exchange surface (for a fixed volume) with the decrease in the hydraulic diameter of the channel. Typical values for the hydraulic diameters of the microchannels used in MFDs range from 1 mm up to 2 mm.
This rises a crucial issue, namely whether the laws governing transport phenomena within channels of macroscopic dimensions still hold at the micro-scale, and, if not, which new effects are evidenced. Many experimental and theoretical works have been addressed to give an answer to this fundamental question.
Many papers quote as the first work devoted to analyse the single-phase fluid flow and heat transfer in microchannels having a hydraulic diameter less than 100 mm the paper by Wu and Little [1] from 1983. This is wrong. In fact, the first experimental work in which glass microtubes were tested was due to Poiseuille [2], in 1840! He tested microtubes having an internal diameter up to 15 mm in order to analyse the law of the mass flow rate in capillary tubes using water. His historical experimental results were obtained with the very simple experimental facility shown in Figure 1 as reported by Bouasse [3].
Two capillary tubes of different length (L and L in 1 2
Fig. 1) are connected with three reservoirs (V , V , V ) in 1 2 3
Fig. 1); for any mass flow rate supplied at the inlet Poiseuille was able to compare the differences of pressure among the reservoirs. The experimental data obtained by Poiseuille in 1840 were used to state the famous “Poiseuille law” for laminar flows through circular tubes, according to which the product of the
Konuyla ilgili yapýlan ilk çalýþmalardan 160 yýl sonra, Poiseuille kanununu bulan bilim insanlarýnýn kullandýðýndan daha hassas araçlarda, onlarýn elde ettiðinden daha fazlasýnýn bulunamamasý yazarlara göre þaþýrtýcýdýr. Poiseuille'ün orijinal deneyimi son dönemlerde literatürde konu hakkýnda yayýnlanan pek çok makalenin yazarýný derinden etkilemiþtir. Yazarlar 90'larda ortaya çýkan mikrokanallardaki sürtünme faktörünün ölçümüyle ilgili makalelerin büyük bir çoðunluðunun doðru ve/veya hassas olmayan sonuçlar içerdiðini düþünmektedir. Bu, mikrokanallarda bile basýnç düþümünü öngören geleneksel baðýntýlarýn baþarýsýný onaylamakta, sürtünme faktörüyle ilgili son yýllarda yapýlan deneysel sonuç sayýsýndaki artýþla doðrulanýr görünmektedir.
Hala, bileþenlerin minyatürleþtirilmesi bir miktar
“ölçek etkisi” ve gerçek “mikro-etkiler” ortaya
koyabilmektedir. Bu iki kavramý ayýrt etmek önemlidir; Herwig ve Haussner [4]'in tanýmýna göre “ölçek etkisi“ referans geometrik ölçeðinde ihmal edilebilen, ama ölçek deðiþtiðinde önemli olan etkidir. Örneðin, bir kanalýn hidrolik çapýndaki azalma, hacminde söz konusu alanýndakinden daha büyük bir azalma meydana getirmektedir, yani mikroakýþkanlý sistemlerde alan-hacim oraný çok yüksek olma
friction factor times the Reynolds number is a constant (equal to 16 for circular tubes).
It is the opinion of the writers that it is very surprising that after 160 years, with more accurate instruments than those used in this pioneering work scientists could find that the Poiseuille law doesn't hold for microchannels larger than those used to obtain it. The original experience of Poiseuille has heavily influenced the outlook of the writers concerning many papers published in the open literature in the last decades. It is opinion of the writers that a large amount of papers dealing with the measurement of the friction factor in microchannels, which appeared in the scientific literature during the nineties, presented incorrect and/or inaccurate results. This seems to be confirmed by the increasing number of experimental results on the friction factor of the last years, which confirm the succes of conventional correlations in predicting pressure drop even in microchannels.
Yet, miniaturisation of the components can introduce some “scaling effects” and true
“micro-effects”. It is important to distinguish these two
concepts; following the definition given by Herwig and Hausner [4], “scaling effects” can be defined as those effects which may be neglected at the reference geometrical scale, but which become important when the scale changes. As an example, the reduction of the hydraulic diameter of a channel implies a larger
Þekil 1. Figure 1.
Bouasse [3] tarafýndan düzenlenen poiseuille [2] test donanýmý The test rig of poiseuille [2] quoted by bouasse [3].
M1 Lf M2 vf v2 L2 v3 M3 P1 P2
eðilimindedir. Bu, korunum eþitliklerindeki adveksiyon terimlerini hacim kuvvetlerinden üstün duruma getiren yüzey kuvvetlerinin gövde kuvvetleri üstüne hakimiyetini gündeme getirir. Bu sayede, mikroakýþlarýn davranýþý, normal boyutlu borulardaki akýþlardan tamamen farklý olabilir. Diðer örnek mikrotüplerdeki kaynayan veya yoðuþan akýþkan için akýþ rejimlerinin evrimidir: Arayüz (kýlcal) kuvvetlerinin gövde kuvvetleri üstündeki hakimiyeti akýþ rejiminin sýrasýný büyük ölçüde deðiþtirir ve yatay kanallardaki akýþ katmanlaþmasýný iptal eder.
Öte yandan, “mikro-etkiler ” sistemin ölçeði küçüldüðünde korunum eþitliklerinin ve/veya bunlarla ilgili sýnýr koþullarýnýn yeniden formüle edilmesini belirleyen etkiler olarak tanýmlanabilir. Örneðin, bir mikrokanal içinde akan bir gazýn moleküler ortalama serbest yol kanalýn hidrolik çapýyla ayný deðerde olduðunda akýþkan sürekli bir ortam olarak gösterilemez ve Navier-Stokes eþitlikleri artýk akýþý modellemek için kullanýlamaz.
Bu makalede, mikrokanallardaki tek fazlý akýþlar için baþýnç düþümü ve ýsý taþýnýmý üzerindeki ana ölçek etkileri ve mikro etkilerin oynadýðý rol, her bir etkinin önemli sýnýrlarýný göstermek için sistematik bir yolla analiz edilecektir.
Büyük kanallardaki akýþkan akýþý çoðunlukla sürekli bir ortam olarak modellenir. Uygulanabildiðinde, mikroskobik miktarlarý küçük bir örneklem hacminde ortalayarak süreksizlikleri dikkate almadýðý için sürekli varsayýmý çok elveriþlidir. Klasik akýþkanlar mekaniðinde ilgilenilen tüm makroskobik miktarlarýn (yoðunluk, hýz, basýnç, sýcaklýk vb.) akýþ içerisinde noktadan noktaya sürekli deðiþtiði varsayýlýr. Süreklilik varsayýmýna uymak için, mikroskobik deðiþimler ortalama miktarlardan belirgin dalgalanmalar üretmemelidir. Bu yüzden, tipik bir örneklem hacminin büyüklüðü yeterince büyük olmalý ama kontrol hacmindeki hýz ve basýnç
2. Mikro-Etkiler
2.1 Seyrelme Etkilerireduction in its volume than in the corresponding surface, so that the area-to-volume ratio tends to be very high in microfluidic systems. This implies a prevalence of surface forces over body forces, which renders the advective terms in the conservation equations prevailing over those related to volume forces. Owing to this, the behaviour of microflows can be completely remarkably from that of flows in ducts of ordinary dimensions. Another example is the evolution of the flow regimes for boiling or condensing fluid within microtubes: the prevalence of interface (capillary) forces over body forces changes dramatically the sequence of flow regimes and cancels flow stratification in horizontal channels.
On the other hand, “micro-effects” can be defined as those effects which determine a reformulation of the conservation equations and/or their associated boundary conditions as the characteristic scale of the system is reduced. For example, when the molecular mean free path of a gas flowing inside a microchannel becomes of the same order of magnitude as the hydraulic diameter of the channel the fluid cannot be schematised as a continuum medium and the Navier-Stokes equations can be no longer used to model the flow.
In this paper the role played by the main scaling effects and micro-effects on the pressure drop and on the convective heat transfer for single-phase flows in microchannels will be analysed in a systematic way in order to evidence the limit of significance of each effect.
The fluid flowing in large sized channels are commonly modeled as a continuum medium. When applicable, the continuum assumption is very convenient since it disregards the molecular discontinuities, by averaging the microscopic quantities on a small sampling volume. All macroscopic quantities of interest in classic fluid mechanics (density, velocity, pressure, temperature, etc.) are assumed to vary continuously from point to point within the flow. In order to respect the continuum assumption, the microscopic
2. Mýcro-Effects
2.1 Rarefaction Effectsgradyenleri gibi makroskobik deðiþimleri gizlemeyecek kadar da küçük olmalýdýr.
Ayrýca, süreklilik yaklaþýmý termodinamik dengede örneklem hacmi gerektirir. Termodinamik dengenin kabul edilmesi için, örneklem hacmi içerisindeki molekülller arasý çarpýþma frekansý yeterince yüksek olmalýdýr. Bu, ortalama serbest yol l nýn örneklem hacminin karakteristik uzunluðu L ile karþýlaþtýrýldýðýnda sv
küçük olmasýný, bu da sýrasýyla kontrol hacminin karakteristik uzunluðu L ile karþýlaþtýrýldýðýnda küçük olmasýný beraberinde getirir. Sonuç olarak, termodinamik denge için oranýnýn birden küçük olmasý gereklidir. Bu oran Knudsen sayýsý olarak adlandýrýlýr ve mikroakýþlarda çok önemli bir rol oynar. Bununla birlikte, akýþ rejimlerini Kn'in bir fonksiyonu olarak ayýrmak uygundur ve genelde aþaðýdaki sýnýflandýrma kabul edilir:
-3
• Kn<10 için, akýþ sürekli akýþ olarak adlandýrýlýr ve klasik kayma sýnýr koþullarý olmayan Navier-stokes eþitlikleriyle modellenebilir.
-3 -1
• 10 < Kn <10 için, akýþ kayma-akýþý olarak adlandýrýlýr ve Navier-Stokes eþitlikleri, duvarlarda kayma hýzý ve sýcaklýk atlamasý dikkate alýnarak uygulanabilir. Bu yeni sýnýr koþullarý, seyreltme etkisinin ilk olarak duvarlarda hissedileceðini gösterir.
-1
• 10 < Kn <10 için, akýþ geçiþ akýþý olarak adlandýrýlýr ve Navier-Stokes eþitliklerinin sürekli yaklaþýmý artýk geçerli deðildir. Bununla birlikte, moleküller arasý çarpýþma henüz ihmal edilebilir deðildir ve dikkate alýnmasý gerekir.
• Kn>10 için, akýþ serbest moleküler akýþ olarak adlandýrýlýr ve moleküller arasý çarpýþma, gaz molekülleri ve duvarlar arasýndaki çarpýþmayla karþýlaþtýrýldýðýnda ihmal edilebilir.
Hidrolik çapý 1mm'den büyük olan mikrokanallardaki akýþkanlar için Knudsen sayýsý genellikle 0.001'den küçüktür; bunun anlamý genelde seyrelme etkisinin
variations should not generate significant fluctuations of the averaged quantities. Consequently, the size of a representative sampling volume must be large enough, but it must also be small enough so as not to mask the macroscopic variations, such as velocity or pressure gradients of interest in the control volume.
Moreover, the continuum approach requires that the sampling volume be in thermodynamic equilibrium. For the thermodynamic equilibrium to be respected, the frequency of the intermolecular collisions inside the sampling volume must be high enough. This implies that the mean free path l must be small compared to the characteristic length L of the sampling volume, this in sv
turn being small compared with the characteristic length L of the control volume. As a consequence, the
thermodynamic equilibrium requires that the ratio be less than the unity. This ratio is called the
Knudsen number and plays a very important role in microflows. It is however convenient to differentiate the flow regimes as a function of Kn, and the following classification is usually accepted:
-3
• For Kn<10 , the flow is called continuum flow and it can be modeled by the compressible Navier-Stokes equations with classical no-slip boundary conditions.
-3 -1
• For 10 < Kn <10 , the flow is called slip flow and the Navier-Stokes equations remain applicable, provided a velocity slip and a temperature jump are taken into account at the walls. These new boundary conditions point out that rarefaction effects become felt at the wall first.
-1
• For 10 < Kn <10, the flow is called transition flow and the continuum approach of the Navier-Stokes equations is no longer valid. However, the intermolecular collisions are not yet negligible and should be taken into account.
• For Kn>10, the flow is called free molecular flow and the occurrence of intermolecular collisions is negligible compared to that of collisions between the gas molecules and the walls.
For liquids through microchannels having hydraulic diameters greater than 1 mm the Knudsen number is in
L Knλ
L Knλ
özellikle düþük basýnçlardaki gaz akýþlarý için seyrelme etkileri önemli hale gelmektedir. Seyrelme etkisinin mikrokanallardaki sürtünme faktörleri ve ýsý taþýnýmý katsayýlarý üzerine etkilerini analiz etmek için pek çok makale yazýlmýþtýr. Bu konuyla ilgili son derece doðru ve yeni bir gözden geçirme çalýþmasý Colin [5] tarafýndan yapýlmýþtýr. Bu çalýþmada, son yýllarda üzerinde çok çalýþýlan kayma-akýþ rejimi teorik ve deneysel bir bakýþ açýsýyla ele alýnmýþtýr. Bu alanda elde edilen ana sonuçlar aþaðýdaki þekilde özetlenebilir:
i) Seyreltme, büyük Knudsen sayýlarýnda akýþkan ve duvarlar arasýndaki etkileþimleri azalttýðý için, s ü r t ü n m e f a k t ö r ü n ü n d e ð e r i n i a z a l t m a eðilimindedir. Sabit bir kesit için, sürtünme faktöründeki azalma; Kn=0 için (örneðin sürekli akýþ) Poiseulle sayýsýnýn aldýðý deðerle atanan bir Knudsen sayýsý için, tam geliþmiþ akýþ (f) sürtünme faktörü ve Reynolds (Re) sayýsýnýn ürünü olarak tanýmlanan Poiseulle sayýsýnýn karþýlaþtýrýlmasýyla hesaplanmýþtýr. Sürtünme faktöründeki azalma kesitin geometrisine ve Knudsen sayýsýna baðlýdýr. Poiseulle sayýsý ile Knudsen sayýsý arasýndaki baðýntý aþaðýdaki gibi gösterilebilir:
(1)
b katsayýsý (uygunluk faktörü) gaz ve mikrokanal v
duvarlarý arasýndaki etkileþimin çeþidine baðlýdýr; Cercignani ve Daneri [6] gaz moleküllerinin yayýlma yansýmalarý için (tamamen pürüzlü bir yüzeyde) teorik olarak Boltzman eþitliðini kullanarak b =1.1466 olduðunu göstermiþtir. Son yapýlan v
deneysel analizler [7-12] bu katsayýnýn akýþkan olarak kullanýlan gazýn doðasýndan etkilenebildiðini kanýtlamýþtýr. Bununla birlikte, bunun deðerlerini belirlemek için daha fazla deneysel araþtýrmalar yapýlmasý gereklidir.
a katsayýsý mikrokanalýn kesitine baðlýdýr. Analitik
general less than 0.001; this means that the rarefaction effects are, in general, negligible. On the contrary, for gas flows in microchannels, especially at low pressure, the effects of the rarefaction can become predominant. Many papers have been devoted to analyse the effect of rarefaction on the friction factors and on the convective heat transfer coefficients in microchannels. A very accurate and recent review of the main results on this topic is due to Colin in [5]. In this review it is demonstrated that the slip-flow regime has been studied deeply in the last years from a theoretical and experimental point of view. The main results obtained in this field can be summarized as follows:
i) The rarefaction tends to decrease the value of the friction factor because at large Knudsen numbers the interactions between the fluid and the walls decrease. For a fixed cross-section, the friction factor reduction has been calculated by comparing the Poiseuille number, defined as the product of the Fanning friction factor for fully developed flow (f) and the Reynolds number (Re), for an assigned value of the Knudsen number with the value that the Poiseuille number assumes for Kn=0 (i.e., continuum flow). The friction factor reduction depends on the geometry of the cross-section and on the Knudsen number. It has been demonstrated that the correlation between the Poiseuille number and the Knudsen number can be expressed as follows:
(1)
The coefficient b (accommodation factor) v
depends on the kind of interactions between the gas and the microchannel walls; Cercignani and Daneri [6] demonstrated theoretically by using the Boltzmann equation that b is equal to 1.1466 for v
diffusive reflections of the gas molecules (in the case of a extremely rough surface). Recent experimental analyses [7-12] have evidenced that this coefficient can be influenced by the nature of
(
)
Kn 1 Re f Re f v 0 Kn αβ + = =(
)
Kn 1 Re f Re f v 0 Kn αβ + = =olarak a dairesel borular için 8 ve paralel plakalar için 12'ye eþittir. Dikdörtgen, yamuk ve altýgen mikrokanallar için a deðerleri sayýsal olarak hesaplanmýþtýr[13-14].
ii) Seyreltilmiþ gazlarýn kütlesel akýþ hýzýnýn ölçülmesiyle elde edilen deney sonuçlarý [7-12] birinci dereceden kayma akýþ modellerinin sürtünme faktörleri ve kütle akýþ hýzýnýn sadece Kn<0.1 için ihmal edebileceðini kanýtlamýþtýr. Bununla birlikte, Schamberg [15], Cercignani ve Daneri [6], Deissler [16], Hsia ve Domoto [17] ve Lockerby ve diðerleri [18] tarafýndan önerildiði gibi daha yüksek kayma sýnýr koþullarýný uyarlayarak Navier-Stokes eþitliklerini Kn>0.1 olsa bile kullanmak mümkündür. Bu modellerin kritik bir karþýlaþtýrmasý Barber ve Emerson [19] tarafýndan yapýlmýþtýr. Onlar, Karniadakis ve Beskok [20] tarafýndan önerildiði gibi bazý ikinci dereceden modellerin saðlam temellerinin olmadýðý ve Knudsen sayýsýnýn büyük deðerleri için seyreltilmiþ gazlarýn davranýþý hakkýnda yanlýþ yorumlara yol açabileceðini kanýtlamýþlardýr.
iii) Gaz seyrelmesi ýsý taþýným deðerini düþürmektedir. Bu konu üzerine Barron ve diðerleri [21], Larrodè ve d i ð e r l e r i [ 2 2 ] , Yu v e A m e e l [ 2 3 , 2 4 ] , Hadjicostantinou ve Simek [25], Tunc ve Bayazitoglu [26] ve Ghodoossi ve Cetegen [27] tarafýndan analitik ve sayýsal çalýþmalar yapýlmýþtýr. Bu çalýþmalarda mikrokanallardaki seyreltilmiþ gazlarýn ýsý taþýnýmýnýn gaz ve duvarlar arasýndaki etkileþimlerin türüne baðlý olduðu gösterilmektedir; gerçekte bu etkileþimler duvarlar ve gaz arasýndaki sýcaklýk sýçramasýnýn sonlu deðerini belirlemektedir. Duvarlardaki “sýcaklýk sýçramasýný” göstermek için bir ýsýl b belirlenmiþtir [21-27]. Bununla birlikte, Colin t
[5] tarafýndan da belirtildiði gibi, literatürde mikrokanallardaki gaz akýþlarýnýn taþýnýmla ýsý geçiþi karakteristikleriyle ilgili çok az deneysel çalýþma
the gas used as working fluid. However, further experimental investigations are required in order to determine its values.
The coefficient a depends on the cross-section of the microchannel. It has been shown analytically that a is equal to 8 for circular pipes and 12 for parallel plates. The values of a for rectangular, trapezoidal and double-trapezoidal microchannels have been numerically calculated in [13-14]. ii) The experimental results obtained by measuring
the mass flow rate for rarefied gases [7-12] have evidenced that the first-order slip flow models are able to predict the friction factors and the mass flow rate only for Kn<0.1. However, it is possible to extend the use of the Navier-Stokes equations even for Kn>0.1 by adopting higher-order slip boundary conditions like those proposed by Schamberg [15], Cercignani and Daneri [6], Deissler [16], Hsia and Domoto [17] and Lockerby et al. [18]. A critical comparison of these models is due to Barber and Emerson [19]. They evidenced that some second-order models, like that proposed by Karniadakis and Beskok [20], have no sound physical foundation and could lead to erroneous conclusions about the behaviour of rarefied gases for large values of the Knudsen number.
iii) The gas rarefaction decreases the value of the convective heat transfer. Analytical and numerical works on this topic are due to Barron et al. [21], Larrodè et al. [22], Yu and Ameel [23,24], Hadjicostantinou and Simek [25], Tunc and Bayazitoglu [26] and Ghodoossi and Cetegen [27]. In these works it is evidenced how the convective heat transfer for rarefied gases in microchannels depends on the kind of interactions between the gas and the walls; in fact, these interactions determine the value of the finite “temperature jump” between walls and gas. A thermal accommodation coefficient b is introduced in t
2.2 EDL Etkileri
Silikona inþa edilmiþ MFD'lerdeki akýþkan akýþýnýn (su gibi) olduðu pek çok uygulama bulunmaktadýr. Bu durumlarda, bir elektrolitten katý yüzey üzerine yüzey tabakalarýnýn kendiliðinden þarjý meydana gelebilir ve sývýnýn hýz profilini deðiþtirebilir. Aslýnda, katý bir yüzey bir elektrolitle (polar sývý) temas ettiðinde elektrik þarjý elde edildiði bilinen bir gerçektir. Cam ve silis durumunda, üretilen yüzey þarj yoðunluðundan deprotonize edilmiþ yüzey silanol gruplarý (S OH) sorumludur. Buna karþýlýk i
olarak, elektrolitteki karþýt þarjýn komþu iyonlarý sývý-katý arayüzüne çekilir. Böylece duvarlara karþýt kutupsallýktaki mobil iyon aðýndaki bir yüzeyin yakýnlarýnda bir bölge yaratýlýr. Bu bölge elektriksel tabaka çifti (EDL) olarak adlandýrýlýr. EDL iki alt bölgeye bölünebilir; yüksek elektrik potansiyel deðerleriyle karakterize edilen, duvara daha yakýn olan kompakt tabaka ve iyonik yoðunluk gradyeni dereceli olarak azalan yayýným tabakasý. Ýki tabakayý ayýran düzlem Stern veya kesme düzlemi olarak adlandýrýlýr. Böyle bir kanal içerisinde basýnç tahrikli bir akýþ yönlendirilirse, EDL'nin mobil kýsmýndaki iyonlar bir uca doðru taþýnýr. Bu, sývýnýn akýþ yönünde bir elektrik akýmýna (akan akýma) yol açar. Akýþ aþaðý iyon birikimi, ters yönde akan bir iletim akýmý üreten bir denge potansiyeline neden olur. Denge koþullarý altýnda, iletim akýmý denge akýmýna eþit olur ve dengeli duruma ulaþýlýr. Elektro-ozmotik akýþlarý açýklayan birleþik sistem eþitliklerinin bir formülasyonu, sistemdeki þarjlý türlerin her biri için iletici yayýlým eþitliklerini, EDL'nin potansiyeli için Poisson eþitliðini ve akýþkan hareketi eþitliklerini kapsar. Basýnç tahrikli akýþlarda, akýþkan ve duvarlar arasýndaki elektro-osmotik birleþim etkisi Mala [28,29], Yang ve Li [30] Yang ve diðerleri [31] ve Li [32] tarafýndan analitik olarak incelenmiþtir. Bu çalýþmalarda, mikrokanal duvarlarý yakýnýndaki elektrik alanýyla iliþkili hacim kuvvetini dikkate almak için Navier-Stokes eþitliði deðiþtirilmiþtir. Deðiþtirilmiþ Navier-Stokes eþitliklerinin çözülmesiyle elde edilen hýz profilinin EDL'nin karakteristik kalýnlýðýna baðlý olduðu ve duvarlardaki hýz
dealing with the convective heat transfer characteristics of gaseous flows in microchannels have appeared in the literature, as underlined by Colin in [5].
There exist many applications in which liquid flows (i.e. water) run through MFDs built in silicon. In these cases spontaneous charging of surface layers from an electrolyte onto solid surfaces can occur and modify the velocity profile of the liquid. In fact, it is well known that a solid surface acquires an electric charge when it is brought into contact with an electrolyte (polar liquid). In the case of glass and silica, the deprotonation of surface silanol groups (SOH) is responsible for the generated i
surface charge density. In response, nearby ions of opposite charge in the electrolyte are attracted to the liquid-solid interface. A region near the surface in which a net excess of mobile ions with a polarity opposite to that of the walls is thus created: This region is called electric double layer (EDL). The EDL can be divided into two sub-regions; the compact layer, closer to the wall, which is characterised by high values of the electrical potential and the diffuse layer, where the gradient in ionic concentration gradually decreases. The plan separating the two layers is called Stern plane or shear plane. If a pressure-driven flow is circulated through such a microchannel, the ions in the mobile part of the EDL are carried towards one end. This causes an electrical current (streaming current) to flow in the direction of the liquid flow. The accumulation of ions downstream sets up the streaming potential that generates a conduction current which flows in the opposite direction. Under equilibrium conditions, the conduction current equals the streaming current and a steady state is reached. A full formulation of the coupled system of equations describing electro-osmotic flows includes the convective diffusion equations for each of the charged species in the system, the Poisson equation for the potential of the EDL and the equations of fluid motion. The effect of electro-osmotic coupling between fluid and walls in pressure-driven flows
2.2 EDL Effects
basamaklarýnýn EDL etkisi olmayanlardan daha büyük olma eðiliminde olduðu gösterilmiþtir. EDL'nin karakteristik kalýnlýðý aþaðýda gösterildiði gibi Debye uzunluðu aracýlýðýyla hesaplanabilir:
(2)
burada T akýþkanýn mutlak sýcaklýðý, z iyonun valans sayýsý, k Boltzman sabiti, e sývýnýn elektrik geçirgenliði, n sývý b 0
içindeki iyonlarýn moleküler yoðunluðu ve e Faraday f
sabitidir. Mikrokanallardaki elektrokinetik akýþlarýn analizinde, yerinde akýþ rejimini sýnýflandýrmak ve mikrokanallarda hangi koþullarda EDL etkilerinin dikkate alýnabileceðini anlamak için Debye uzunluðu mikrokanalýn karakteristik uzunluðuyla karþýlaþtýrýlmalýdýr. Düþük iyonik yoðunluklu sývýlar için EDL kalýnlýðý birkaç yüz nanometreye eriþebilir (örneðin deiyonize ve ultra filtre edilmiþ DIUF su için yaklaþýk 1m m) ve böylece MFD’lerde kullanýlan mikrokanallarýn tipik ölçüleriyle karþýlaþtýrýlabilir büyüklükte olabilir.
Sayýsal ve deneysel çalýþmalarda kanýtlanan bir konu da akýþkan ile kanal duvarlarý arasýndaki etkileþimin sürtünme faktörü ve Nusselt sayýsý üzerindeki etkisidir. Özel olarak þunlar gözlenmiþtir:
i) Sürtünme faktörü sývý içindeki iyonik yoðunlukla artabilir ve bu etki hidrolik çapý 20 mm'den küçük mikrokanallarda deneysel olarak gözlenebilir(Ren ve diðerleri [33]). Ayrýca EDL etkileri ihmal edilemediðinde deneysel olarak Phfaler ve diðerleri [34] tarafýndan deneysel olarak k a n ý t l a n a n , s ü r t ü n m e f a k t ö r ü n ü n d u v a r malzemesine baðlýlýðý teorik olarak doðrulanabilir. ii) Nusselt sayýsý büyür çünkü duvardaki elektrik çifti
tabakasý hýz gradyenini büyütür [28, 31]. Elektrik çifti tabakasýnýn olmasý ýsý taþýným katsayýsý tarafýndan varsayýlan deðer Debye karakteristik uzunluðuna (l ) ve kanalýn hidrolik çapý (D )arasýndaki orana D h
has been investigated analytically by Mala et al. [28,29], Yang and Li [30], Yang and al. [31] and Li [32]. In this works the Navier-Stokes was modified in order to take into account the volume force related to the electric field near the microchannel walls. It is shown that the velocity profile obtained by solving the modified Navier-Stokes equations depends on the characteristic thickness of the EDL and tends to exhibit a velocity gradient at the walls larger than that without EDL effects. The characteristic thickness of the EDL can be calculated through the Debye length, defined as follows:
(2)
in which T is the absolute fluid temperature, z is the valence number of the ion, k is the Boltzmann's b
constant, e the liquid electric permittivity, n the molar 0
concentration of the ions in the liquid and e is the f
Faraday's constant. In analyzing electrokinetic flows in microchannels the Debye length should be compared to the characteristic dimension of the microchannel to classify the pertinent flow regime and to understand in which conditions the EDL effects can be considered important in microchannels. For liquids with low ionic concentration, the thickness of the EDL can reach several hundreds of nanometres (e.g. about 1mm for deionised, ultra-filtered water, DIUF), and thus become comparable in size with the typical dimensions of the microchannels employed in MFDs.
One aspect which has been evidenced in numerical and experimental works is the influence of electrostatic interaction between fluid and channel walls on the friction factor and on the Nusselt number. In particular, it has been observed that:
i) The friction factor could increase with the ionic concentration in the liquid and this effect can be experimentally observed in microchannels having hydraulic diameters less than 20 mm (Ren et al. [33]). In addition, when the EDL effects are not negligible a
1/2 2 f 2 0 b D
e
z
2n
T
åê
ë
=
1/2 2 f 2 0 b De
z
2n
T
åê
ë
=
iii) Akýþkan ve duvarlar arasýndaki elektro-osmotik etkileþimler, hidrolik çapý 20 mm'den küçük kanallarda, laminer rejimde bile Nusselt sayýsýnýn Reynolds sayýsýna baðlýlýðýný açýklayabilir [28, 31, 33, 35].
iv) Akýþkan ve duvarlar arasýndaki elektro-ozmotik etkileþimler, akýþkaný mikrokanalda hareket ettirmek için kullanýlabilir. Mikrokanal boyunca EDL'ye teðetsel bir elektrik alaný uygulandýðýnda -örneðin iki elektrot aracýlýðýyla- EDL'nin yayýlým tabakasý negatif elektrota doðru çekilir ve bu ayný yönde bir iletim akýþýna yol açar; elektro-ozmotik akýþ (EOF). Mikrokanallardaki kütlesel akýþ hýzýný ve elektro-ozmotik akýþlarýn ýsý geçiþ karakteristiklerini incelemek için bu konuyla ilgili deneysel ve sayýsal araþtýrmalar yapýlmýþtýr [36-41].
Makro ve mikro bütün sistemler, süreklilik teorisi araçlarý ile açýklanabildiði sürece ayný eþitlik setlerini kullanýr. Bununla birlikte, makro ölçekte ihmal edilebilen bazý etkiler mikro ölçeklerde önemli hale gelir (ölçek
etkisi). Þüphesiz, mikro sistemlerin davranýþýný
açýklamak için hazýrlanan modeller bu etkileri dikkate almalýdýr. Bu nedenle, bazen makro sistemler için elde edilen sonuçlar mikro sistemlerde geçersiz olabilir. Mikrokanallardaki tek fazlý akýþlarýn akýþkan dinamiði ve ýsý geçiþi karakteristikleri çalýþmasýnda göz önüne alýnmasý gereken ana “ölçek etkisi” ve bunlarýn sürtünme faktörü ve ýsý taþýným katsayýsý üzerine etkileri incelenecektir.
Mikro akýþlarýn analizinde, özellikle düþük Reynolds sayýlarýnda, yoðunluk, özgül ýsý gibi büyüklüklerin sýcaklýktan baðýmsýz olarak ele alýnabileceði yerlerde akýþkan viskozitesinin sýcaklýða baðýmlýlýðýnýn ihmal edilemeyeceði sayýsal olarak gösterilmiþtir [42-45]. Bu
3. Ölçek Etkileri
3.1 Viskoz Yayýlým Etkileri
materials, as evidenced experimentally by Phfaler et al. [34] can be theoretically justified.
ii) The Nusselt number increases because the velocity gradient at the walls is increased by the presence of the electric double layer [28,31]. The value assumed by the convective heat transfer coefficient depends on the ratio between the Debye characteristic length (l ) and the hydraulic diameter of the D
channel (D ). h
iii) The electro-osmotic interactions between the fluid and the walls could explain for microchannels with a hydraulic diameter less than 20 mm the dependence of the Nusselt number on the Reynolds number, even in the laminar regime [28,31,33,35]. iv) The electro-osmotic interactions between the fluid and
the walls can be used in order to move the fluid through a microchannel. When an electric field is applied along the microchannel - e.g. by means of two electrodes-tangentially to the EDL, the diffuse layer of the EDL is drawn towards the negative electrode and this results in a convective flow in the same direction: the electro-osmotic flow (EOF). Experimental and numerical investigations have been made on this topic in order to study the mass flow rates through microchannels and the heat transfer characteristics of electro-osmotic flows [36-41].
All systems macro-and micro - as long as they can be described by means of the continuum theory shoud be treated with the same set of equations. However, some effects that can be neglected at the macro scales are nevertheless important at the micro scales
(scaling effects). It is evident that models devised
specifically for micro systems have to take into account these effects in order to explain the behaviour of these systems. For this reason, sometimes the results obtained for macro systems could be in disagreement with those for micro systems. The main “scaling effects” that have to be considered in the study of the fluid dynamical and heat transfer characteristics of single-phase flows
3. Scalýng Effects
gerçek, kýsmen mikro ölçekte kuvvetlerin farklý rolleriyle iliþkilidir. Deðiþik kuvvetler sistemin karakteristik uzunluðu ile deðiþik yollarla derecelendirilir. Kaldýrma kuvvetleri karakteristik uzunluðun dördüncü kuvvetiyle derecelendirilir: bu nedenle, bu tür kuvvetler mikro ölçekte ihmal edilebilir hale gelir. Aksine, viskoz kuvvetler sistemin karakteristik uzunluðu ile orantýlýdýr ve bu yüzden mikro-ölçekte önemli hale gelir. Bu gerçeðin önemli bir sonucu mikrokanallarda karýþýk iletimin önemsiz hale gelmesidir, çünkü mikrokanallarda Grashof sayýsýnca varsayýlan deðerler genel olarak çok küçüktür (Gr karakteristik uzunluðun üçüncü kuvvetiyle orantýlýdýr!). Bu, klasik “Boussinesq yaklaþýmýnýn” mikrokanallarda iç ýsý taþýnýmý çalýþmasý için faydalý olamayacaðý anlamýna gelir. Ancak mikro ölçekte viskoz kuvvetler önemli olduðundan, iç mikroakýþlar için yeni bir yaklaþým önerilebilir: korunum eþitliklerinde akýþkan viskozitesinin sýcaklýk deðiþimi (akýþkanlar için) ve akýþkan viskozitesinin sýcaklýkla deðiþimi ve akýþkan yoðunluðunun basýnçla deðiþimi (gazlar için sýkýþtýrýlabilme etkisi çok önemlidir, bir sonraki bölüme bakýnýz) dýþýnda tüm akýþkan özelliklerini sabit olarak almak.
Çok küçük geçiþler için viskoz daðýlýmýn önemini göstermek için, bir adyabatik kanalda viskoz ýsýtmadan kaynaklanan sýcaklýk yükselmesini aþaðýdaki þekilde hesaplamak mümkündür [46]:
(3)
(3) eþitliðinden viskoz ýsýtmanýn bir “ölçek etkisi”olarak ele alýnabileceði açýktýr çünkü viskoz yayýlmanýn neden olduðu sýcaklýk artýþý hidrolik çapýn üçüncü kuvvetiyle ters orantýlýdýr. Ek olarak, viskoz ýsýtmanýn yol açtýðý sýcaklýk gradyeni, daha yüksek kinematik viskoziteye ve düþük bir spesifik ýsýya sahip akýþkanlar için daha büyüktür. Bir mikrokanal boyunca viskoz ýsýtma ve akýþkan viskozitesinin sýcaklýkla deðiþimi, mikrokanallarda özellikle akýþkan olarak iso-propanol veya methanol
through microchannels are highlighted in this section underlining their influence on the friction factor and on the convective heat transfer coefficient.
It has been demonstrated numerically that the dependence of the fluid viscosity on temperature cannot be neglected in the analysis of micro-flows [42-45], especially at low Reynolds numbers, whereas quantities such as density, specific heat etc. can be considered as independent of temperature. This fact is, in part, related to the different role of forces in micro-scales. Different forces scale with the characteristic length of the system in different ways. Buoyancy forces scale with the fourth power of the characteristic length: for this reason, this kind of forces tend to become negligible at the micro-scales. On the contrary, viscous forces scales with the inverse of the characteristic length of the system and hence they become predominant at the micro-scales. An important direct consequence of this fact is that mixed convection is unimportant in microchannels because the values assumed by the Grashof number in microchannels are in general very small (Gr is dependent on the third power of the characteristic length!). That means that the classical
“Boussinesq approximation” cannot be useful to study
the internal convective heat transfer in microchannels. On the contrary, since the viscous forces are important at the micro-scale, a new approximation can be proposed for internal microflows: to consider all the fluid properties as constant in the conservation equations with the exception of the temperature variation of the fluid viscosity (for liquids) and of the temperature variation of fluid viscosity and of the pressure variation of fluid density (for gases, in which compressibility effects can be very important, see the next section).
In order to demonstrate the importance of the viscous dissipation for very small passages, it is possible to calculate the temperature rise due to the viscous heating in an adiabatic channel as follows [46]:
3.1 Viscous Dissipation Effects
3 h p 2 v
D
1
L
e
fR
c
e
R
2
ν
=
θ
∆
21
L
e
fR
e
R
2
ν
=
θ
∆
bazý deneysel sonuçlarý açýklayabilir. Judy ve diðerleri [47] deneysel Poiseuille sayýlarýnýn mikrokanal boyunca sýcaklýkla viskozite deðiþiminden büyük ölçüde etkilendiðini göstermiþtir. Hidrolik çapý 74,1 mm olan 11 cm uzunluðunda kare bir mikrokanalda iso-propanol kullanýldýðýnda giriþteki Reynolds sayýsýnýn 300'e eþit sabit deðeri için 6 K'lik bir sýcaklýk yükselmesi gözlenmiþtir. Bu sýcaklýk yükselmesi (3) eþitliðinden bulunabilir. Viskoz ýsýtma ve akýþkan viskozitesinin sýcaklýkla deðiþimi, mikrokanalýn giriþ ve çýkýþý arasýndaki Reynolds sayýsýný deðiþtirir. Bazý koþullarda, çýkýþtaki Reynolds sayýsý giriþteki deðerinin iki katý olabilir. Judy ve diðerleri [47] viskoziteyi iki farklý yolla bularak Poiseuille sayýsýný (fRe) hesaplamýþtýr: (i) giriþteki akýþkan sýcaklýðý (fRe ) ve (ii) giriþ ve çýkýþ in
arasýndaki ortalama akýþkan sýcaklýðý (fRe ) baz alýnmýþtýr. m
Onlar ilk bahsedilen durumda, viskoz ýsýtma etkisi daha yüksek hýzlarda daha fazla telaffuz edilir hale geldiði için, deneysel sürtünme faktörlerinin, artan Reynolds sayýlarýyla azaldýðýný göstermiþlerdir. Aksine, ikinci yöntem kullanýldýðýnda sürtünme faktörü üzerine deneysel veri ile geleneksel teori arasýndaki uyuþma çok iyidir.
(3) eþitliðinin bir mikrokanal boyunca sürtünme faktörü tarafýndan varsayýlan deðerini deneysel olarak belirlemek için kullanýlabilir. Bu yöntemle sürtünme faktörünün mikrokanal boyunca basýnç düþüþünü ölçmeden ama sadece sýcaklýk ve akýþ hýzý ölçümleri gibi araçlarla belirlenebildiðini görmek ilginçtir. (3) eþitliði makro-akýþlarý da karþýlar ama kullanýþsýzdýr çünkü viskoz ýsýtmayla iliþkili sýcaklýk artýþý makro-tüplerde önemsizdir ki, bu prosedür makro ölçekte uygun deðildir. Ölçek
etkilerinin mikro ölçekte yeni ölçme prosedürleri
önerebildiðini gösteren (3) eþitliði, Celata ve diðerleri [48] tarafýndan hidrolik çapý 50 mm olan düzgün yüzeyli silika mikrokanallardaki sürtünme faktörünü hesaplamak için baþarýyla kullanýlmýþtýr.
Þimdi, mikrokanallarda viskoz yayýlma etkileri yok sayýlamadýðýndan bir kriter önermek mümkündür. Su ve
By observing Eq.(3) it is evident that viscous heating can be considered as a “scaling effect” because the temperature rise due to the viscous dissipation is inversely proportional to the third power of the hydraulic diameter. In addition, the temperature gradient due to viscous heating is larger for fluids having a large value of the kinematic viscosity and a low value of the specific heat. The viscous heating and the related variation of the fluid viscosity with temperature along a microchannel can explain some experimental results obtained on the friction factors in microchannels especially when iso-propanol or methanol were used as working fluids. Judy et al. [47] have shown that the experimental Poiseuille numbers are strongly influenced by the viscosity variation with temperature along the microchannel. In a 11 cm-long square microchannel having a hydraulic diameter equal to 74.1 mm, for a fixed value of the Reynolds number at the inlet equal to 300 a temperature rise equal to 6 K was experienced when iso-propanol was employed. This temperature rise can be well predicted by Eq.(3). The viscous heating and the variation of the fluid viscosity with temperature modify the value of the Reynolds number between the inlet and the exit of a microchannel. In some conditions, the Reynolds number at the outlet can be twice its value at the inlet.
Judy et al. [47] calculated the Poiseuille number (fRe) by estimating viscosity in two different ways: (i) based on the inlet fluid temperature (fRe ) and (ii) based in
on the average fluid temperature between the inlet and the outlet (fRe ). They demonstrated that in the former m
case the experimental friction factors decreased with increasing Reynolds numbers because the effect of viscous heating became more pronounced at higher velocities. On the contrary, the agreement between the experimental data on the friction factor and the conventional theory was very good when the latter method was employed.
It must be noted that Eq. (3) can be used to determine experimentally the value assumed by the friction factor along a microchannel. It is interesting to observe that in this way the friction factor can be determined without measuring the pressure drop
iso-propanol için akýþkan sýcaklýðýnda 10 K'lik bir artýþ için dinamik viskozite yaklaþýk %20-25 azalýr; bu, viskozite deðiþimleri ihmal edilebilir olduðunda su ve iso-propanol için sýcaklýk artýþýnýn sýnýr deðerinin 1 K'e eþit alýnabileceðini ileri sürer.
(3) eþitliði bir mikrokanalda viskoz yayýlýmýn üst sýnýrýnýn tahmininde bir kriter olarak uyarlanabilir. Bu eþitlik sabit bir mikrokanal geometrisi ve hidrolik çapý için, giriþ ve çýkýþ arasýndaki sýcaklýk artýþý 1 K'e eþit veya büyük olduðunda Reynolds sayýsýný hesaplamaya olanak verir. Þekil (2) hem su hem de iso-propanol akýþlar için Reynolds sayýsýný, 5 cm uzunluðunda bir mikro tüp içinde sýcaklýk artýþýnýn 1 K'e eþit olduðunu mikrokanalýn hidrolik çapýnýn bir fonksiyonu olarak göstermektedir.
Þekil (2)'de, adyabatik bir mikrokanalda viskoz yayýlma etkilerinin, akýþkan olarak su kullanýlýyorsa, hidrolik çapý 100 mm'den büyük mikrotüpler için ihmal edilebilir olduðu görülmektedir. Aksine, iso-propanol için ayný
along the microchannel but by means of temperature and flow rate measurements alone. Eq.(3) holds even for macro-flows but is useless because the temperature rise related to the viscous heating is insignificant in macro-tubes, which makes this procedure unsuitable at the macro-scale. Eq. (3) shows that scaling effects can suggest new measurement procedures at the micro-scales, and has been successfully used by Celata al. [48] in order to calculate the friction factor in smooth fused silica microchannels with a hydraulic diameter equal to 50 mm.
It is now possible to suggest a criterion to establish when viscous dissipation effects cannot be ignored in microchannels. For water and iso-propanol the dynamic viscosity decreases about 20-25% for an increase of 10 K in the fluid bulk temperature; this suggests that the limit value of the temperature rise for which variations in viscosity are negligible can be taken equal to 1 K for water and iso-propanol.
Þekil 2. Figure 2.
Bir mikrotüpte viskoz ýsýtma nedeniyle sýcaklýk yükselmesinin 1 K'e eþit olduðu durum için reynolds sayýlarý
Reynolds numbers for which the temperature rise due to the viscous heating becomes equal to 1 K
su
iso-propanol
viskoz ýsýtmaya sabit bir hidrolik çap için daha düþük Reynolds sayýsýyla ulaþýlýr.
Viskoz yayýlýmýn etkileri ihmal edilirse, laminer rejimde bile bir mikrotüpte Nusselt sayýsýnýn ortalama deðeri Reynolds sayýsýnýn bir fonksiyonudur ve onunla artma eðilimindedir. Gerçekte, Nusselt sayýsý Reynolds sayýsýyla artar çünkü akýþ hýzý daha yüksek olduðunda giriþ bölgesi daha uzun olur. Büyük Reynolds sayýlarýnda viskoz yayýlma önemli olsa bile, viskoz yayýlmanýn Nusselt sayýsýnýn ortalama deðerini azaltma eðiliminde olduðunu göstermek mümkündür [49]. Sonuç olarak, giriþ bölgesiyle ilgili etkiler ve viskoz yayýlma ile ilgili etkilerin büyük Reynolds sayýlarýnda rekabete girdikleri açýktýr; düþük hidrolik çaplý mikrokanallar için viskoz ýsýtma Reynolds sayýsý arttýðýnda ortalama Nusselt sayýsýnýn artýþýný azaltýr.
Bu, bazý yazarlar tarafýndan elde edilen deneysel sonuçlarý açýklayabilir; özellikle viskoz yayýlmanýn ortalama Nusselt sayýsý üstündeki etkisinin, laminer rejimde Nusselt sayýsýnýn Reynolds sayýsýyla yavaþ artýþýný açýklayabildiðinin bazý araþtýrmacýlar [50-53] tarafýndan bulunduðu unutulmamalýdýr. Ayrýca, hidrolik çapýn çok küçük deðerleri için viskoz yayýlma o kadar þiddetli olabilir ki Reynolds sayýsý arttýðýnda Nusselt sayýsý azalabilir. Bu gerçek, mikro araçlardaki ýsý geçiþi artýrýmýnýn mikrokanalýn ölçülerinin belirsiz þekilde küçültülmesiyle gerçekleþtirilemeyeceðini gösterir, çünkü hidrolik çapýn çok küçük deðerleri için, viskoz yayýlma etkileri kanal boyutlarýnýn küçültülmesiyle ilgili yüksek ýsý geçiþi katsayýsý kazanýmlarýný dengeler [54,55].
Ek olarak, viskoz ýsýtmanýn ortalama Nusselt sayýsý üstündeki etkisinin, kanal boyunca büyük basýnç düþüþlerine (30-50 bar mertebesinde) karþýlýk olan büyük Reynolds sayýlarýnda baskýn olduðunu hatýrlamak önemlidir. Bu, bu koþullar altýnda basýncýn ýsýl fiziksel özellikler üstüne etkisinin ihmal edilemeyeceðini yorumlamaya öncülük eder. Viskozite basýnçla artma eðiliminde olduðundan, bir mikrokanaldaki büyük basýnç düþüþünün (30-50 bar) etkisi sýcaklýðýn
Eq. (3) can be adopted as a criterion to predict the upper limit of significance of viscous dissipation in a microchannel. This equation allows, for a fixed microchannel geometry and hydraulic diameter, to calculate the Reynolds number for which the temperature rise between inlet and outlet becomes equal to or greater than 1 K. Figure 2 plots the Reynolds number in correspondence of which the temperature rise in a microtube 5 cm long becomes equal to 1 K as a function of the hydraulic diameter of the microchannel, for both water and iso-propanol flows.
By observing Fig. 2 it is evident that viscous dissipation effects in an adiabatic microchannel can be considered negligible for microtubes having a hydraulic diameter greater than 100 mm if water is considered as working fluid. On the contrary, for iso-propanol the same viscous heating is reached for lower Reynolds number for a fixed hydraulic diameter.
If one neglects the effects of the viscous dissipation, the mean value of the Nusselt number in a microtube even in the laminar regime is a function of the Reynolds number and tends to increase with it. In fact, the Nusselt number increases with the Reynolds number because the entrance region becomes longer when the fluid velocity is higher. At large Reynolds numbers even viscous dissipation could be important; it is possible to demonstrate [49] that viscous dissipation tends to reduce the mean value of the Nusselt number. As consequence, it is evident that the effects related to the entrance region and the effects related to the viscous dissipation enter in direct competition at large Reynolds numbers; for microchannels with a low hydraulic diameter the viscous heating dampens the increase of the average Nusselt number when the Reynolds number increases.
This can explain some experimental results obtained by several authors; in particular, bearing in mind the effect of the viscous dissipation on the mean Nusselt number one can explain the slow increase of the Nusselt
yükselmesine benzer; viskozite mikrokanal boyunca düþer. Bu nedenle, basýncýn akýþkan viskozitesi üstündeki etkileri genel olarak büyük Reynolds sayýlarýnda yayýlmanýn etkileriyle birleþtirilir.
Reynolds sayýsýnýn düþük olduðu bölgede birleþik ýsý geçiþinin ortalama Nusselt sayýsý üzerine etkileri hissedilir çünkü, Maranzana ve diðerleri [56], Hetsroni ve diðerleri [57] ve Gamrat ve diðerleri [58] tarafýndan da belirtildiði gibi mikrokanal duvarlarý boyunca iletim, iç taþýnýmla iliþkili olarak özellikle silikon plaka mikrokanallarda rakip bir mekanizma haline gelebilir. Mikrokanalýn duvarlarý boyunca iletimle ýsý geçiþi çok boyutlu bir eþsýcaklýk daðýlýmý gösterir [43-45]. Bir mikrokanalýn duvarlarýyla akýþkan arasýndaki ýsý taþýným katsayýsýnýn deneysel deðerlendirmesi duvarlar için bir iletim modelinin kullanýlmasýný gerektirir çünkü arayüzde sýcaklýðýn ve duvardaki ýsý akýsýnýn yerinde doðrudan ölçülmesi çok zordur. Tipik olarak, Nusselt sayýsýnýn deneysel deðerleri, duvar ýsý akýsý yoðunluðunun üniform olduðunun düþünüldüðü modeller kullanýlarak hesaplanýr. Herwig ve Hausner [4] ve Maranzana ve diðerleri [56], tarafýndan belirtildiði gibi, birleþik ýsý transferi etkileri hakim olduðunda mikrokanaldaki sýcaklýk daðýlýmý her yerde doðrusal deðildir ve mikrokanal boyunca ýsý akýsý üniform olmaz. Bu nedenle, Þekil (3)'de mikrokanal boyunca akýþkan sýcaklýðýnýn eksenel daðýlýmý birleþik etkili ve birleþik etkisiz durumlarý gösteren Þekil (3)’de belirtildiði gibi. akýþkan sýcaklýðýnýn mikrokanalýn giriþ ve çýkýþýndaki ortalama deðerinin alýnmasýyla hesaplanan Nusselt sayýsý gerçek deðerin altýnda olabilir. Bu, ortalama Nusselt sayýsýnýn deneysel deðerlerinin teorik olanla, özellikle düþük Reynolds sayýlarýnda, tam akýþ için neden uyuþmadýðýnýn bir açýklamasýdýr.
Bu uyuþmazlýk, Reynolds sayýsý arttýðýnda azalma eðilimindedir çünkü birleþik ýsý geçiþ etkileri sýnýrlýdýr. 3.2 Duvar-Akýþkan Birleþik Isý Geçiþi
number with the Reynolds number in laminar regime found by some researchers [50-53]. In addition, for very low values of the hydraulic diameter viscous dissipation can become so intense that the Nusselt number decreases when the Reynolds number increases. This fact points out that heat transfer enhancement in microdevices cannot be achieved by indefinitely reducing the microchannel dimensions because, for very low values of the hydraulic diameter, the viscous dissipation effects offset the gains of high heat transfer coefficients associated with a reduction in channel size [54,55].
In addition, it is important to underline that the effects of the viscous heating on the mean Nusselt number are dominant at large Reynolds numbers, to which correspond large pressure drops along the channel (of the order of 30-50 bar). This leads to the conclusion that the effect of the pressure on the thermophysical properties cannot be neglected under these conditions. Since the viscosity tends to increase with pressure, the effect of a large pressure drop along a microchannel is similar to the temperature rise: the viscosity decreases along the microchannel. Thus, the effects of pressure on the fluid viscosity are in general coupled with those of viscous dissipation at large Reynolds numbers.
In the region of low Reynolds numbers the effects of the conjugated heat transfer on the mean value of the Nusselt number are felt because conduction along the microchannel walls can become a competitive mechanism of heat transfer with respect t o t h e i n t e r n a l c o n v e c t i o n, e s p e c i a l l y f o r microchannels in silicon wafers, as indicated by Maranzana et al. [56], Hetsroni et al. [57] and Gamrat et al. [58]. Heat transfer by conduction along the walls o f m i c r o c h a n n e l s c a n i n d u c e a q u i t e multidimensional pattern of temperature distribution 3.2 Wall-fluid Conjugate Heat Transfer
sayýsýnýn düþük deðerleri için böyle açýklanýr. Baþka bir deyiþle, Maranzana ve diðerleri [56] tarafýndan da belirtildiði gibi ortalama Nusselt sayýsý, mikrokanalýn katý duvarlarýndaki eksenel iletim nedeniyle laminer rejimde bile Reynolds sayýsýna bir baðlýlýk sergileyebilir.
Birleþik duvar-akýþkan etkileri düþük Reynolds sayýlarý için önemli olduðundan, bunlar viskoz ýsýtmayla ilgili etkilerle doðrudan rekabette deðildir.
Silikonda eksenel ýsý iletiminin önem sýnýrý, ýsý taþýnýmýyla karþýlaþtýrýldýðýnda aþaðýdaki eþitsizlik kullanýlabilir:
convective heat transfer coefficient between the fluid and the walls of a microchannel requires the use of a conduction model for the walls because local direct measurements of temperature and wall heat flux at the interface are ver y difficult. Typically, the experimental values of the Nusselt number are calculated by using models for which the wall heat flux density is considered to be uniform. As evidenced by Herwig and Hausner [4] and Maranzana et al. [56], when the effects of conjugate heat transfer are predominant, the temperature distribution along the microchannel is not linear at all and the wall heat flux becomes not uniform along the microchannel. For this reason, the Nusselt number calculated by using the mean value of the fluid bulk temperature at the inlet and outlet of the microchannel could be underestimated, as evidenced in Fig.3 in which a comparison of the axial distribution of the fluid temperature along the microchannel with and without conjugate effects is shown. This is an explanation as to why the experimental values of the mean Nusselt number disagree with the theoretical one for fully developed flow, especially at low Reynolds numbers. This disagreement tends to decrease when the Reynolds number increases because the effects of the conjugate heat transfer are then limited. The dependence of the Nusselt number with the Reynolds number for low values of the latter is thus explained. In other words, the mean Nusselt number can exhibit a dependence on the Reynolds number even in the laminar regime due to the axial conduction along the solid walls of the microchannel as evidenced by Maranzana et al. [56].
Since the conjugate wall-fluid effects are predominant for low Reynolds, they are not in direct competition with the effects related to the viscous heating.
The limit of significance of the axial heat conduction in silicon as compared to convective heat transfer can be drawn by using the following inequality:
(a)
(b)
Þekil 3.
Figure 3.
Bir mikrokanal boyunca eksenel akýþ sýcaklýðý Deðiþimi- duvar-akýþkan birleþik ýsý geçiþli (a) ve duvar-akýþkan birleþik ýsý geçiþli olmayan.
Axial fluid temperature variation along a microchannel without (a) and with (b) conjugate wall-fluid heat transfer.
(4)
(4) eþitsizliðinde L mikrokanalýn boyu, D hidrolik çap, h
l ve l sýrasýyla duvarlarýn ve akýþkanýn ýsýl iletkenliði, A ve s f s
A duvarlarýn ve akýþkanýn (eksenel iletimle ýsý akýsýna dik) f
alanlarýdýr.
Ek olarak, mikrokanal duvarlarýndaki ýsý deðiþimi sabitse, Reynolds sayýsýnýn çok küçük deðerlerinde mikrokanal boyunca sýcaklýk yükselmesi çok büyük olabildiði için, termo fiziksel sabit kabul edilemezler; diðer bir deyiþle, özelliklerin sýcaklýkla deðiþimiyle ilgili etkiler mikrokanallarda genelde birleþik etkilere baðlanýr.
Sürtünme faktörü ve ýsý geçiþ katsayýsýnýn bir kanalýn duvarlarýnýn göreceli pürüzlülüðünden etkilendiði iyi bilinen bir gerçektir. Mikrokanallar için, yüzey pürüzlülüklerinin ortalama yüksekliði ve kanalýn hidrolik çapý arasýndaki oran olarak tanýmlanan göreceli pürüzlülük yüksek deðerlere ulaþabilir. Özellikle ticari paslanmaz çelikten yapýlmýþ mikrotüpler için göreceli pürüzlülük %2-8 deðerlerine eriþebilir. Þekil (4)'de paslanmaz çelikten ticari bir mikro tüpün (upchurch inc.) kesitinin 2 SEM resmi gösterilmektedir. Bu tür mikrotüpte pürüzlülüðün ortaya çýkacabileceði açýktýr: ortalama 1-5
mm'lik pürüzlülük normal kabul edilebilir.
Kanallarýn minyatürleþtirilmesi için pek çok teknik vardýr ama dört iþlem teknolojisi onlarý sistem minyatürleþtirme konusunda standart hale getirir [59]: • Mikromekanik iþleme (elmas iþleme, lazer iþlemleri,
odaklanmýþ iyon dikiþi, mikro delme);
• X-ýþýnýyla mikroiþleme (LIGA) (LItographie-Galvanoformung-Abformung);
• Fotolitografik-tabanlý iþlemler (Si ile kimyasal aþýndýrma);
• Y ü z e y v e y ü z e y e - y a k ý n - m i k r o i þ l e m (epimicromachining) iþleme teknikleri.
Fotolitografik iþlem özellikle silikon plakalar içindir; elektronik alanda doðan bu teknik oldukça olgunlaþmýþtýr. 3.4 Yüzey Pürüzlülüðü
(4)
In Eq.(4) L is the length of the microchannel, D the h
hydraulic diameter l and l the thermal conductivity of s f
the walls and of the fluid respectively, A and A Af the s f
area (normal to the axial conductive heat flux) of the walls and of the fluid.
In addition, since the temperature rise along the microchannel can be very large at very low values of the Reynolds number if the heat flux at the microchannel walls is fixed, the thermophysical properties cannot be considered as constant; in other words, the effects related to the variation of the thermophysical properties with temperature are in general strongly coupled with conjugate effects in microchannels.
It is well known that the friction factor and the convective heat transfer coefficient can be influenced by the relative roughness of the walls of a channel. For microchannels the relative roughness, defined as the ratio between the mean height of the surface asperities and the hydraulic diameter of the channel, can assume large values. Especially for stainless steel commercial microtubes the relative roughness can reach values equal to 2-8%. In Fig.4 two SEM images of the cross section of a commercial microtube (Upchurch inc.) in stainless steel are shown. It is evident that in this kind of microtube the roughness can be pronounced: an average height of the asperities of the order of 1-5 mm can be considered as usual.
There are many techniques to realize miniaturized channels but four process technologies are estabilishing themselves as the standard in system miniaturization [59]:
• Micromechanical machining (such as diamond machining, laser processes, focused ion beam, 3.4 Surface Roughness
01
.
0
r
eP
R
1
A
A
L
D
f s h f s>
λ
λ
01
.
0
r
eP
R
1
A
A
L
D
f s h f s>
λ
λ
þekilleri sýnýrlýdýr. Gerçekte silikon plakalara doðrudan kimyasal aþýndýrma ile üretilen mikrokanallar, kullanýlan silikonun kristalografik doðasý gibi çeþitli faktörlere baðlýdýr. Fotolitografik bazlý bir proses kullanýldýðýnda, silikon kristal düzlemlerin yer deðiþtirmesiyle sabitlenen bir kesite sahip mikrokanallar elde edilebilir; örneðin, KOH solüsyonu kullanýlarak <100> veya <110> silikona aþýndýrýlan mikrokanallar sýrasýyla yamuk (<100> silikonun kristalografik morfolojisiyle belirlenen 54.74°‘lik tepe açýsýyla) veya dikdörtgen kesite sahip olur. Bu teknik çok yaygýn olduðu için yamuk, dikdörtgen ve çift - yamuk (altýgen) bir kesite sahip mikrokanallar için elde edilen deneysel sonuçlar literatürde oldukça fazladýr. Tersine, diðer tekniklerle teorik olarak her türlü kesite sahip kanallarýn minyatürizasyonunu gerçekleþtirmek mümkündür.
• X-ray micromachining (such as LIGA LItographie-Galvanoformung-Abformung);
• Photolithographic-based processes (such as Si chemical etching);
• Surface and surface-proximity-micromachining (epimicromachining) processing techniques.
The photolithographic processes are particularly indicated for silicon wafers; this technology, born in the electronic field, is fairly mature. The cross-sectional shapes that can be obtained for microchannels realized with this technique are limited. In fact, the microchannels produced by chemical etching directly on the silicon wafers have a cross-sectional shape that depends on a variety of factors such as the crystallographic nature of the silicon used. When a photo-lithographic based process is employed, one can obtain microchannels having a cross-section fixed by the orientation of the silicon crystal planes; for example, the microchannels etched in <100> or in <110> silicon by using a KOH solution have a trapezoidal cross-section (with an apex angle of 54.74° imposed by the crystallographic morphology of the <100> silicon) or a rectangular cross-section respectively. Since this technique is very diffuse, the experimental results obtained for microchannels having a trapezoidal, rectangular and double-trapezoidal (hexagonal) cross-section abound in literature. On the contrary, with the other techniques it is possible to realize miniaturized channels having, theoretically, any cross-section.
With these techniques it is possible to obtain microchannels in glass, fused silica, silicon, peek and so on, with very low values of the roughness (tens, hundreds of nm) and with a perfectly regular cross-section (see Fig. 5a). In Figure 5b rectangular microchannels made on a <110> silicon wafer are shown.
The microchannels obtained through chemical etching can have a roughness not uniformly distributed on the perimeter of the channel, as it is evidenced by Fig. 5b. This fact sometimes is invoked to explain why the
Þekil 4. Figure 4.
Gaz kromotografi sütunlarý için paslanmaz çelik bir mikrotüpün SEM resimleri
SEM images of a commercial stainless steel microtube for gas-chromatography columns.
