Kuantum hall çubuğunda sıkıştırılamaz bölgelerdeki elektronun hızı

GIRIS

1879’ da Edwin H. Hall, akim tasiyan bir iletken, manyetik alan içine yerlestirildiginde, hem akima hem de manyetik alana dik yönde bir elektrik gerilim farki ürettigini kesfetti. Hall olayi olarak bilinen bu gözlemde olusan bu gerilime Hall voltaji

(

∆VH

)

olarak tanimlanir.

Hall olayi, yüz yili askin bir süre önce kesfedilmis olmasina ragmen, metallerin ve yari iletkenlerin elektronik özelliklerini anlamada bize yardimci olan çok önemli tekniklerden biri olmaya devam etmektedir. 1980 yilinda Klaus Von Klitzing, bir yari iletkendeki iki boyutlu elektron gaz sisteminin 1-10 K arasi sicakliklarda ve çok yüksek manyetik alanlarda σ ν

h e

H

2

= ile verilen bir iletkenlik gösterdigini buldu. Burada ν=1,2,3,... tam sayi, e elektron yükü ve h planck sabiti. Bu iki boyutlu iletkenligin kuantize oldugunun bir kanitiydi. Bu önemli kesfinden ötürü Klaus Von Klitzing 1985 yilinda fizik dalinda Nobel ödülü aldi. Daha sonra 1 K ‘dan daha düsük sicakliklarda kesirli sayilar kuantum Hall olayi gözlendi. Yeni elektronik devre elemanlarinin tasarimina öncülük eden bu alanda deneysel ve teorik çalismalar devam etmektedir.

Bu çalismada iki boyutlu elektron sistemine (2DES) düsük sicakliklarda, dik ve kuvvetli bir manyetik alan etkisi altinda olusan Kuantum Hall Olayi (QHE) ve bu etkiler esnasinda malzeme üzerinde olusan sikistirilamaz bölgelerdeki (IS) elektron hizi incelenmistir. Sikistirilamaz bölgelerdeki elektronun hizina, manyetik alan, sicaklik, malzeme boyutlari, kenar profili, örnek özellikleri ve potansiyeldeki düzensizliklerin elektron hizindaki etkileri arastirildi. Sistemde birden fazla elektron bulundugundan elektronlar arasi etkilesmeleri Hartree tipi yaklasimla (HA) belirleyip, elektron dagilimini Thomas-Fermi-Poisson yaklasimiyla (TFPA) iç uyumlu (self-consistent) çözümle yöntemiyle belirlendi.

1. HALL OLAYI

Edwin H. Hall tarafindan 1879’da , yariiletken malzemelerin yük yogunlugunu, elektriksel özdirenci ve tasiyicilarin mobilitelerini dogru bir sekilde belirleme gereksinimine cevap vermek için bu deneyi yapti. Edwin H. Hall tarafindan yapildigi içinde Hall olayi olarak isimlendirildi.

Sekil (1.1) : Hall olayi deney düzenegi.

Hall olayi sekil (1.1)’ de de görüldügü üzere kolay bir düzenege sahiptir. Ince bir plakaya iki ucundan bir gerilim uygulanir ve böylece plaka uçlari arasina elektrik alan uygulanmis olur. Plaka içindeki elektronlar Fe eE

r r

−

=

(

_{E =}

( )

V_d

)

kuvveti ile elektrik alana ters yönde harekete baslarlar. Daha sonra plakaya dik olacak sekilde sabit bir Br manyetik alan uygulanir ve böylece elektronlar üzerine etkiyen toplam kuvvet F_L e(E Br)

r r r × + −

= ϑ Lorentz kuvveti olur. Manyetik kuvvetin etkisiyle elektronlar plakanin ön yüzeyine dogru hareket eder, ön ve arka yüzeyler arasinda bir gerilim farki olusur. Olusan bu gerilime Hall voltaji

( )

∆

V

H adi verilir ve

Ohm yasasina göre,

I

V_H =ρ_H (1.1) dir. n ’ yi elektron sayi yogunlugu olarak tanimlarsak Hall katsayisi, _e

e n R e H 1 = (1.2) olmak üzere, B RH H= ρ (1.3) Hall direncini elde edilir. Bu verilerden faydalanarak öz iletkenlik,

H H H B R ρ σ = 1 = 1 (1.4) olur.ϑ elektron hizi olmak üzere elektron mobilitesi,

H HR

E σ ϑ

µ= = (1.5) baslica nitelendirici fiziksel parametreler olarak tanimlanir.

2. KUANTUM HALL OLAYI

Sekil (2.1) : Kuantum Hall olayinin deney düzenegi.

1980 yilinda Klaus Von Klitzing, Hall olayinin yük tasiyicilarini kuantum özelliklerini sergileyecegi bir deney düzenegi tasarladi [1]. 1985 yilinda Nobel ödülünü kazanan çalismada iki boyutlu bir sistem (2DES) olarak görülebilecek çok ince bir plakada fonon etkilerinin kayboldugu düsük sicakliklarda ve yüksek manyetik alan siddeti altinda ρH Hall direncinin kesikli degerlere sahip oldugu gösterildi.

Sekil (2.2) : VH Hall voltaji ve Vpp akim yönündeki voltaj olmak üzere

sayfa düzleminin içine dogru B 18= T degerinde sabit bir manyetik alan uygulaniyor. K

T=1.5 sicakliginda malzeme üzerinden I₀=1µA lik sabit bir akim geçisi zorlaniyor.

g

V geçis voltajina bagli V_pp ve V_H voltajlarinin grafigi.

Elde edilen bu grafige göre, V geçis voltajinin bazi degerlerinde öz _g iletkenlik sonsuzmus gibi (Hall direnci yok), akim yönündeki potansiyel (V_pp) düsüsü sifir olur. Ayni noktalarda Hall voltajinin (VH) grafiginde düzlükler olusur ve bu

düzlükler

I V_H

H=

2.1 HALL OLAYININ KUANTUM FIZIGI ILE INCELENMESI

Klasik olarak iyi tanimlanmis her fiziksel gözlenebilire (konum, momentum, enerji), kuantum fiziginde bir çizgisel Hermite islemcisi karsilik gelir [2]. Klasik fizikteki enerji öz degerine kuantum fiziginde,

(

)

2 * 2 1 A e P m H= r+ r (2.1.1) Hamilton islemcisi karsilik gelir ve enerji öz degerini,

( )

r E

( )

r

HˆΨ r = Ψ r (2.1.2)

Schrödinger denkleminden yararlanilarak elde edilir. Ar vektör potansiyeli olmak üzere,

A

Br =∇r × r (2.1.3) manyetik alani belirlenir. Manyetik alan sisteme dik oldugu için B sabit ve manyetik ₀ alanin büyüklügü olmak üzere,

k B

Br= ₀ r (2.1.4) yönünde uygulanirsa, vektör potansiyelini denklem (2.1.3) sartini saglayan,

(

,0,0

)

0 y

B

Ar= − (2.1.5) Landau ayari olarak seçilir. Elektron hareketi iki boyutta ve yalnizca y yönünde sinirli oldugundan dalga fonksiyonunu ;

( )

x y =eikxxΦ

( )

y

Ψ , (2.1.6) seklinde yazabiliriz. Böylece Schrödinger denklemi

(

P+eA

)(

_.P+eA

)

[

eikxxΦ

( )

y

]

=

[

P2+eP_.A+eA_.P+e2A2

]

[

eikxxΦ

( )

y

]

r r r r r r r r r r (2.1.7) ⇒

[

( )

]

( )

j

(

yB i

)

[

e

( )

y

]

y i x i y e A P ikxx − ikxxΦ     ∂ ∂ + ∂ ∂ − = Φ h r r r r r 0 . (2.1.8)

( )(

i yB

)( )

ik

[

eik x

( )

y

]

x x Φ − − = h ₀ yB k

[

eik x

( )

y

]

x x Φ − = h 0 ⇒

[

( )

]

(

)

( )

j

[

e

( )

y

]

y i x i i yB y e P A ikxx ikxxΦ     ∂ ∂ + ∂ ∂ − − = Φ r h r r r r . . 0 (2.1.9) =

(

− yB

)( )( )

−ih ik_x

[

eikxxΦ

( )

y

]

0 =− yB k_x

[

eikxxΦ

( )

y

]

0 h

olarak elde edilir. Bu sonuca göre,

( )

[

e y

]

AP

[

e

( )

y

]

A P ikxxΦ = ikxxΦ r r r r . . (2.1.10) olur. Bu esitlige göre Schrödinger denklemi denklem (2.1.10)’ u kullanarak yazilirsa,

(

P + eAP+e A

)

[

eikxxΦ

( )

y

]

==

(

P_x +P_y − eB k_xy+e B y2

)

[

eikxxΦ

( )

y

]

0 2 0 2 2 2 2 2 2 . 2 r r r r (2.1.1) ⇒

[

( )

]

[

e

( )

y

]

x y e Px ik x ik x x x Φ ∂ ∂ − = Φ 2 2 2 2 _h (2.1.12)

( )( )

ik ik

[

eik x

( )

y

]

x x x Φ − = _h2 k

[

eik x

( )

y

]

x x Φ =_h2 2

bulunur. Bu sonuca göre Schrödinger denklemi,

( )

(

P k eB k y e B y

)

( )

x y m y x H y x 2 x , 2 1 , 0 2 2 0 2 2 2 * + − + Ψ = Ψ h h (2.1.13) olur. 0 2 eB h l = , Magnetik uzunluk (2.1.14) x k eB y 0 0 h = bu durumda 0 0 y eB k_x h = ve 2 0 2 2 0 2 2 y B e k_x h = olur. (2.1.15) Yukarida tanimlanan parametreler Schrödinger denkleminde kullanilirsa,

( )

y E

( )

y y B e y y eB eB y B e P m y _Φ = Φ     +       − + 2 0 2 0 0 0 2 0 2 2 0 2 2 2 * 2 2 1 h h h h

(

y y

)

( )

y E

( )

y m B e m y m _Φ = Φ     − + ∂ ∂ − 2 0 2 * 2 0 2 * 2 2 * 2 2 1 2 h

olarak bulunur. Burada, * 0 m B e c= ω (2.1.16)

siklotron frekansi olmak üzere

(

y y

)

( )

y E

( )

y m y m c _Φ = Φ     − + ∂ ∂ − 2 0 2 * 2 2 * 2 2 1 2 ω h (2.1.17) sonucunu elde edilir. Bu denklem harmonik salinici çözümüne benzer [2].

( )               − − = Φ 2 0 4 1 2 1 exp 1 l l y y y π (2.1.18)

Dalga fonksiyonu olmak üzere,

(

0,1,2,...

)

, 2 1 =       + = n n En hωc (2.1.19)

Landau enerji seviyeleri elde edilir. Artik elektronlar n ’ sayisina göre kuantalanmis enerji seviyelerinde bulunmaktadir.

B=0

B=0

B=0

B=0

2.2 IKI BOYUTTA DURUM YOGUNLUGU

Birim enerji araligindaki elektron sayisi olarak tanimlanan durum yogunlugu N toplam elektron sayisi olmak üzere _e

( )

dE dN E

D = e ile verilir[3]. Ilk önce birim alandaki elektron sayisina bulunur. Bunun için ters örgü kavramindan yararlanilir. Ters örgü kavrami periyodik yapilarin analitik olarak incelenmesinde önemli bir rol oynar. Ters örgü denilme nedeni bu örgüye ait temel örgü vektörlerinin biriminin gerçek uzaydaki vektörlerin biriminin tersi olmasidir (1/uzunluk). Dalga vektörü

L

kr =2π ile temsil edilir.

k_y

2π / L_x

2π / L_y

k_x

Sekil (2.2.1): Iki boyutlu ters örgü uzayinda elektron dizilimi.

( )

y xL L 2 2π alanda 1 elektron 2 F k π alanda N elektron _e ---

Burada anlatilmak istenen k_F ters örgü uzayinda Fermi yüzeyinin yari çapi olmak üzere,

( )

y xL L 2 2π

alanda bir elektron varsa, π alanda k_F2 N tane elektron olmali. _e Bu islemi yapacak olursak,

( )

s y x F e g L L k N = ₂ × 2 2π π

olur ve her enerji seviyesinde spin dejenerelikten dolayi ayni seviyede iki elektron bulunacagindan g_s=2 ile çarpilmasi gerekir. Iki boyutta elektron sayi yogunlugu belirlenecek olursa, π 2 2 2 F y x e D e k L L N n = = veya k_F= n_e2 D2π (2.2.1) olur ve buradan, 2 * 2 2 F F k m E = h (2.2.2)

Fermi enerjisi bulunur. Elektron sayi yogunlugu Fermi enerjisi cinsinden tanimlanirsa, π 2 2 2 * 2 D e F n m E = h veya F D e E m n π 2 * 2 h = (2.2.3) olarak bulunur. Elektronlar sürekli enerji seviyelerinde degil de n’ e göre kuantalanan enerji seviyelerinde bulunacagindan D

e

n2 ’i, durum yogunlugunda 

     ₌ dE dn E D( ) e yerine yazilip ve n ’e göre degisimini alinirsa,

( )

= = _ n_ e E m dn d dn dn E D π 2 * h           + = 2 1 2 * n m dn d c ω π h h

∑

(

)

∞ = − = 0 * 0 2 * n n E E m eB m δ π h h

( )

_∑

∞

(

)

= − = 0 2 2 n n s E E g E D δ π l (2.2.4)

denklemi elde edilir. Bu denklem birden fazla enerji seviyesi oldugunu ve elektronlarin bu enerji seviyeleri etrafinda dagilmasi gerektigini anlatir.

c c=hω Ω c ω h 2 5 c ω h 2 3 c ω h 2 1 D(E) E

Sekil (2.2.2) : Ω_c siklotron enerjisi olmak üzere, manyetik alanin etkisiyle kuantalanan enerji seviyeleri etrafinda elektronlarin dagilimi.

Durum yogunlugunu bilindigine göre elektron sayi yogunlugunu da belirlenebilir.

( )

=

_∫

dEf

( ) ( )

E D E n_e µ (2.2.5)

∫

( )

∑

(

)

∞ = − = 0 2 2 n n s E E g E f dE δ πl g f

( ) (

E E E

)

dE n n s

∫ ∑

∞₌ − = 0 2 2π l δ

( )

_∑

∞

( )

= = 0 2 2 , n n s e f E g T n l π µ (2.2.6)

Burada Fermi-Dirac dagilimi

( )

(

)

₁ exp 1 +     − = T k E E f B µ olarak tanimlanir.

Ek bilgi: Dirac-Delta fonksiyonu 2

( ) (

₀

)

( )

₀ 1 x f dx x x x f x x − =

∫

δ , x₁ ≤x₀ ≤x₂ olarak tanimlanir.

Elektron sayi yogunlugu sicakligin bir fonksiyonu olarak elde edildigine göre artik durum yogunlugu da sicakligin bir fonksiyonu olarak tanimlanabilir.

( )

µ _µ d dn T D D = e , 2 (2.2.7)

Durum yogunlugunu bu sekilde tanimlanip denklem (2.2.6)’ da bulunan elektron sayi yogunlugu denklemde yerine yazilirsa.

( )

_      =

∑

n n s E f g d d 2 2 lπ µ =

∑

(

( )

)

n n s E f d d g µ π 2 2 l

∑

_{( )}         + = ₋ n k T E s B n e d d g 1 1 2π l2 µ µ ( ) ( )

∑

            + = − − − T k E T k E B s B n B n e e T k g µ µ π 2 2 1 1 2 l ( ) x e kT E B n ₁ 1= + −µ olsun. Yani x=f

( )

E_n ve ( ) 1 1 − = − x e k T E B n µ olur.

( )

=

_∑

_ _ _ − _ − n B s D x x T k g T D 1 1 1 1 2 , 2 2 2 l π µ =

∑

(

−

)

n B s x x T k g 1 1 2πl2

( )

=

_∑

(

−

)

n n n B s D f f T k g T D 1 1 2 , ₂ 2 l π µ , f_n=f

( )

E_n (2.2.8)

Sekil (2.2.3) : Sabit manyetik alan altinda

(

B≠0

)

, durum yogunlugunun sicakliga göre degisim grafigi.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0 1 2 3 4 5 6 k_BT / Ω_c =0.2 k BT / Ωc =0.05 k BT / Ωc =0.005

D

T

(

µ

;T

) / D

0

µ

/

Ω

_c h π * 0 m D =

2.3 DOLDURMA (FILLING) FAKTÖRÜ

L_y

L_x

Sekil (2.3.1) : Kuantum Hall deneyinde iki boyutlu elektron gazin (2DES) boyutlandirilmasi. Hamiltonyen,

(

)

* 2 2 0 * 2 2 1 m P y B e P m H= x− + y (2.3.1)

olarak denklem (2.1.17)’ de bulunmustu. Denklem (2.1.15)’ e göre elektronlar, y ekseni boyunca k ’in degerine göre yerlesirler [1]. _x

∆y

₀

y

(4)₀

y

(3)₀

y

(2)₀

y

(1)₀

V(y)

y

Sekil (2.3.2) : Elektronlarin y ekseni boyunca dizilimi ve olusturduklari potansiyeller. x k eB y 0 0 h

= olarak denklem (2.1.15)’ de tanimlamistik. Bu tanimi,

0 0 eB P y = x (2.3.2)

seklinde momentuma bagli olarak tanimlandirilir ve buradan elektronlarin momentum uzayindaki yerlesimine bakilirsa,

P

(1)_x

P

(2)_x

P

(3)_x

∆P

_x

P

(4)_x

P

x

Sekil (2.3.3) : Momentum uzayindaki elektronlarin dizilimi.

x

P

∆ yani ∆y₀ aralikla sisteme ne kadar elektron koyulacagini belirlemek için her enerji seviyesine kaç tane elektron yerlestirilebilecegi incelenmelidir.

Φ

N

Φ

N

hωc 2 5 c ω h 2 3 c ω h 2 1 Φ

N

Landau seviyeleri Φ

N : B manyetik alaninda her enerji seviyesine alabilecegi toplam elektron sayisi olsun. Bu bize, L genisligindeki sisteme _y ∆y_o araliklarla ne kadar elektron koyabilecegimizi anlatir[5]. Dolayisiyla,

0 y L N y ∆ = Φ (2.3.3) e h L L B L L B e B e k L N y x x y x y 0 0 0 2 = = ∆ = Φ _π h h

Φ=B₀L_yL_x (2.3.4) Manyetik aki ve e h = Φ0 (2.3.5)

kuantum manyetik aki olmak üzere her enerji seviyesinin alabilecegi elektron sayisi

0 Φ Φ = Φ N (2.3.6)

olur. Doldurma faktörü

( )

ν , toplam elektron sayisinin, her enerji seviyesinin alabilecegi elektron sayisina oranidir

(

ν=1,2,3,...

)

.

Φ

=

N N_e

ν (2.3.7) Manyetik alan arttiginda N_Φ artacagindan tüm elektronlar taban durumundaki enerji seviyesine yerlesmeye baslayacaklardir. ν=1 oldugu durumda tüm elektronlar taban durumuna yerlestigi anlamina gelmektedir. Spini de hesaba katilacak olursa

2 1 1+ =

=

ν olacaktir. En genel haliyle doldurma faktörü ν=2,4,6,... degerlerini alir.

∑

= n n s e f g n ₂

2 lπ denklem (2.2.6)’da bulunmustu. 0 2

B e

h

l = magnetik uzunluk bu denklemde yerine yazilirsa,

∑

= n n s e g f B e n h π 2 0 (2.3.8)

olur ve denklemin her iki tarafini L_x L_y ile çarpilirsa,

(

)

_∑

      = n n s y x y x e B L L g f h e L L n 0 (2.3.9)

yukarda buldugumu parantez içindeki ifadeleri yerlerine yazip biraz islem yaptiktan sonra,

∑

= n n s f g ν , ν=2,4,6,... (2.3.10) seklinde en genel halde doldurma faktörü bulunur.

Sekil (2.3.4) : Manyetik alan sabit tutularak

(

B≠0

)

, sicaklikla doldurma faktörü ve durum yogunlugunun degisim grafigi.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 k BT / Ωc =0.2 k_BT / Ω_c =0.05 k_BT / Ω_c =0.005

ν

( µ ;T ) µ /Ω c 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0 1 2 3 4 5 6 k_BT / Ω_c =0.2 k BT / Ωc =0.05 k_BT / Ω_c =0.005 DT ( µ ;T ) / D 0 µ /Ω c

2.4 HALL DIRENCI

Her enerji seviyesinin alabilecegi toplam elektron sayisini denklem (2.3.6)’ da N_Φ=Φ Φ₀ olarak tanimlandi. Elektron sayi yogunlugunu,

ν ν h e B L L N L L N n y x y x e e= = = 0 Φ _(2.4.1)

ve Hall direncini (ρ_H =B₀ n_ee), ohm yasasinda (∆VH =ρH I) yerine yazip asagidaki islemler yapilacak olursa,

I e n B I V e H H 0 = = ∆ ρ I e h e B B VH       = ∆ ν 0 0 I e h VH     = ∆ ν 2 ν ρ ₂ e h H= (2.4.2) Hall direnci ve ν ρ σ h e H H 2 1 ₌ = (ν =2,4,6,...) (2.4.3)

Sekil (2.4.1) : Hall direncinin

( )

ρH ve akim yönündeki direncin

( )

ρ

manyetik alanla degisimi.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 100 200 300 400 500 600 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 2 11

10

58

.

3

×

−

=

cm

n

_e e

n

e

B

₁

=

h

π

02

.

0

0

=

F B

E

T

k

ρ

(

Ω

)

B / B

₁ Ω 25813 H Direnci Hall Klasik ρ

ρ

H ( h/e 2 )

Sekil (2.4.2) : Doldurma faktörü ve durum yogunlugunun manyetik alanla degisimi. 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

02

.

0

0

=

F B

E

T

k

D

T

: Durum Yogunlugu

ν

T

: Doldurma Faktörü

(

2

D

T

)

/ D

0

,

ν

T

B / B1

3. ELEKTROSTATIK IÇ UYUM

Iki boyutta (z=0 düzleminde), y dogrultusunda ve –d<x<d araliginda düzgün dagilmis ne(x) elektron denizini ele alalim. Düzgün dagilmis donorlarin

olusturdugu potansiyel Vbg(x) olsun. Elektronlar arasi tekrarli Coulomb etkilesmeleri,

Hartree yaklasimi ile belirlenir. Bu potansiyel VH(x) ile gösterelim.

( )

_∫

( ) ( )

− ′ ′ ′ = d d e H dx K x x n x e x V 2 , 2 κ (3.1)

ile gösterilir. VH(x), elektron yogunlugu tarafindan Poisson esitligi ile bulunur.

Degis-tokus ve korelasyon etkileri ihmal edilip ve spin dejenerasyonu hesaba katilmamistir. Böylece elektronlara etkiyen toplam potansiyel,

( )

x V x V

( )

x

V = _bg( )+ _H (3.2)

olur.κ , malzemenin ortalama sabit dielektrik sabiti ve e elektron yükü olmak üzere,

( )

x x

K , ′ sinir kosullari altinda çözülen,

( )

(

)(

₍

₎

)

d x x x x d x d x d x x K ′ − ′ − + ′ − − = ′ ln 2 2 2 2 2 , (3.3)

kernel (çekirdek) fonksiyonudur [5,6,7]. Düzgün dagilmis donorlarin olusturdugu potansiyel asagidaki gibidir.

( )

x d E πe n d κ E x V_bg 2 ₀ 0 2 0 1 , 2 ) ( =− − = (3.4) 0 n

e , Hall çubugunda pozitif yüklerin ( donorlarin ) homojen yogunlugudur. Iç uyumlu çözüm ise Thomas Fermi Poisson yaklasimina (TFPA) ve Thomas Fermi Yaklasimina (TFA) dayanir.

3.1 THOMAS-FERMI YAKLASIMI

( )

x

V , manyetik uzunluk biriminde

(

l= h mw_c

)

yavas degisiyorsa, Landau seviyeleri pertürbe olmus gibi davranir[5,6,7]. Bu durumda;

( )

_,

( )

1₂ )

(X =E +V X E = w n+

E_{n n n} h _c (3.1.1)

seklinde elde edildikten sonra Durum yogunlugu ( DOS ) belirlenir ve buradan elektron dagilimini elde edilir.

( )

_∑

∞

(

)

= − = 0 2 1 n n E E l E D δ π (3.1.2)

( )

x =

_∫

dED

( )

E f

(

E+V

( )

x −µ

)

n_e (3.1.3)

Burada f

( )

E′ =1

(

exp

(

E′ kBT

)

+1

)

Fermi fonksiyonu, µ kimyasal potansiyel, kB

Boltzman sabiti ve T sicakliktir.

Sistem iki boyutlu ( 2D ) ve pozitif yüklerin ( donorlarin ) sayi yogunlugu n ’ ₀ dir. Bu yüklerin olusturdugu potansiyel V_bg(x) ( Background potansiyel )’ dir. Perdeleme parametresi α_sc=πa₀ d, perdeleme uzunlugu 2

(

2

)

0 2 em

a =κh olup, elektronlarin bulundugu bölgeyi 2b genisliginde seçip, T=0 ve B=0 daki durumu inceleyecegiz. Bu durum için sisteme etkiyen toplam potansiyel enerji;

( )

( )

_∫

( )

[

( )

]

− ′ − ′ ′ − = d d sc bg K x x V x d x d x V x V , 0 1 µ α (3.1.4)

seklinde olur. Elektron dagilimi da *

( )

2 0 m πh

D = olmak üzere

(

x B T

)

D

[

V

( )

x

]

n_e ; =0, =0 = ₀ µ₀− ′ olur. Ortalama elektron sayi yogunlugu

(

)

∫

= =

= dxn xB T d

n_{e e} ; 0, 0 2 ’ dir ve sistemin Fermi enerjisi de _E0 _{n D0}

e

F= olur.

Iki boyutlu elektron gazini tek boyuta indirgeyerek –b ile +b arasinda simetrik olarak elektronlarin dagildigini kabul edilir. V_bg

( )

x potansiyeli ilk degermis gibi hesapta kullanilir. (3.1), (3.1.2) ve (3.1.3) denklemlerinden manyetik alanda yüksek sicaklikta elektron yogunlugunu hesaplanabilir. Daha sonra sicakligi adim adim düsürerek Newton-Rapson yöntemi yaklasimi ile çözülür.

3.2 THOMAS-FERMI-POISSON YAKLASIMI

Iki boyutlu elektron gazi, z=0 düzleminde ve x<-d ile x>d’ de bulunan düzlemsel kapilarla kenarlardan sinirlandirilir. Bu kapilar sirasi ile VL ve VR

potansiyelleri ile beslenir. d −b genisligine sahip bosaltilis bölgeler her iki tarafta da simetrik oldugundan sadece V(±)=VL=VR=0 ile V(x)=V(-x) simetrik potansiyel özelligi

gösterir. Bu da elektron yogunlugunu simetrik birakir ve n_e

( ) ( )

x =n_e −x seklinde olur. Pozitif yüklerin (donorlarin) yogunlugu n olmak üzere, homojen yüzey yük ₀ yogunlugunu ρ

( )

x =e

[

n₀−n_e

( )

x

]

olarak tanimlanirsa sistemdeki potansiyel;

( )

_∫

( ) ( )

( )

(

)(

₍

₎

)

− − ′ ′ − + ′ − − = ′ ′ ′ ′ − = d d x x d x x d x d x d x x K x x x K x d e x V 2 2 2 2 2 ln , , , 2 _ρ κ (3.2.1)

seklinde olur [6,7]. Bu durumda Poisson esitligi bir elektronun potansiyel enerjisi için sonuç verir.

3.3 IÇ UYUMLU (SELF-CONSISTENT) ÇÖZÜM

Sekil(3.3.1): Thomas-Fermi-Poisson yaklasimi ile iç uyumlu (self-consistent) çözümün sematik anlatimi.

Kenarlardaki kapilari (gates) tanimlayip sisteme donorlari yerlestirdikten sonra kuantum kuyularindan da bildigimiz tuzaklama yöntemi ile elektronlari kuantum kuyusu içerisine hapsettikten sonra (Sekil (3.3.2)) donorlarin olusturdugu ilk potansiyel V_bg

( )

x ’in etkisi ile elektronlarin malzeme üzerindeki dagilimlari belirlenir. Daha sonra bu dagilimi Poisson denklemi ile çözüp sistemin olusturdugu potansiyeli hesapladiktan sora tekrar elektron dagilimini hesaplanir ve bu olay sistem dengeye yani elektron dagilimi dengeye gelene kadar bir çember seklinde devam ettirilir[6,7].

•

Donorlar

•

Elektronlar

•

Kapilar

Poisson denk.

Electron yog.

V(x)

)

(

|

)

(

|

)

V(

)

(

0 2 0 0

X

x

x

X

X

_n n

−

≈

Ψ

+

≈

δ

ε

ε

α

Iç uyumlu (self-consistent) çözüm

( )

x

=

_∫

dE

D

( )

E

f

(

E

+

V

( )

x

−

µ

)

n

_el

Sekil(3.3.2): (a) Üst üste preslenmis farkli yari iletkenlerle, (b) kuantum kuyusu içerisinde olusturulan elektron denizi ve (c) bu elektronlarin kuantum kuyusu içerisinde Fermi enerjisi altinda bulunmalari.

4. SIKISTIRILAMAZ BÖLGELER

Sekil(4.1): (a,d) Iki boyutlu elektron gazi. (b,e) bu gaza dik ve düzgün uygulanan manyetik alanin etkisiyle olusan Landau seviyeleri. (c,f) elektron dagiliminin gösterimi.

(3) (2) (1) ν(x) 2 x (3) (2) (1) LL2 (3) (2) x ν(x) (1) LL1 2

Sekil (4.1)’ i incelenirse, (a) da malzeme üzerine uygulanan dik ve düzgün bir manyetik alan uygulaniyor. Bu durumda (b)’ de manyetik alanin etkisiyle Landau enerji seviyeleri olusur. Fermi enerji seviyesine kadar malzemeye sol taraftan bakilirsa birinci Landau enerji sevisine (LL1) kadar olan bölgede hiç elektron olmayacak, LL1’ e gelindiginde elektronlar ilk enerji seviyesine yerlesecek ve (c)’ de LL2’ ye gelene kadar sabit kalacak . Ilerlemeye devam ettigimizde ise elektronlar malzeme üzerinde bu özellige göre yerlesecekleri görülür. Fakat D.B. Chklovskii, B.I. Shklovskii ve L.I. Glazman makalelerinde sistemin bu sekilde olmadigini göstermislerdir [8]. Düsük sicaklikta manyetik alanin etkisiyle malzeme uzerinde sikistirilamaz bölgeler (ISs) olusacaktir. Eger malzeme üzerinden akim geçirilirse bu akim IS’ lerden geçecektir. Bu olay kisaca (d,e,f) de açiklanmistir.

Sekil(4.2): Sikistirilamaz bölgelerin nasil olustugunu anlatan sematik gösterim.

Sekil (4.1) de B=0 durumunda elektron dagiliminin kirmizi ile gösterildigi gibi olmasi gerekir. Sisteme elektron gazina dik manyetik alan uyguladiginda

olusacak olan Landau enerji seviyelerine (LL) Sekil (4.2) de görüldügü gibi elektronlar yerlesmeye baslayacaklardir. (1) durumunda LL1 dolmamis, (2) durumunda tam dolu ve (3) durumunda ise LL1 dolmus LL2’ a elektronlar yerlesmeye baslayacaktir. Bu durumda LL2’ deki elektronlar yüksek enerji seviyesinde bulunduklarindan burada durmak istemeyecekler ve daha düsük enerji seviyelerine dogru hareket edip enerjilerini minimum duruma getirmek isteyeceklerdir. Dolayisiyla (3) durumunda LL2 deki elektronlar, (1) durumundaki dolmamis LL1’ e yerleseceklerdir.

Bu durumda da (1) ile (3) arasinda tam dolu yörüngeler olusur. Üst seviyedeki elektronlar enerjilerini azaltmak için alt seviyelerdeki henüz dolmamis seviyelere yerlesmesi gerekiyor ise (3) durumunun sagindaki elektronlarin (1) durumun solundaki dolmamis seviyelere dogru gitmemesi önemli bir soruyu gündeme getirir. (1) durumundaki seviyelere yerlesmeleri halinde hem daha genis bir sikistirilamaz bölgemiz olusmasi hem de sistem kendini daha düsük enerji seviyesine getirmis olmasi fiziksel olarak tercih edilen bir çözümdür. Ancak burada bu çözüm tercih edilmemektedir. Bu sorunun açiklamasi söyle yapilabilir: Bir otobanda yogun bir trafigin oldugunu düsünelim. Araçlar hiz sinirinin izin verdigi ölçüde hizli hareket etsinler. Bu durumda bir yayanin karsidan karsiya geçmesi imkansiz olacaktir. Belki ilk gelen araci görüp ondan kurtulabilecektir ama sonrasinda hizli gelen araçlardan kurtulamayip kaçinilmaz bir kazaya sebep olacaktir. Sikistirilamaz bölgelerde olan olayda bu örnekte oldugu gibidir. Sikistirilamaz bölgelerin oldugu yerde siki bir elektron dizilimi oldugu için tam perdeleme yapar ve sol tarafi ile sag tarafinin bilgi alis verisini keser. Elektronlarin düsük seviyelere geçisi tamamlandiktan sonra sistem dengeye gelir.

Sekil(4.3): 2µm genisliginde, T=1K sicaklikta, B=3T büyüklügünde bir manyetik alan etkisi altinda 11 2

10

3× −

= cm

n_e elektron sayi yogunlugundaki malzeme üzerindeki elektron dagilimi. Bu elektron dagiliminin olusturdugu potansiyel enerji ve sistemin Fermi enerjisi (EF).

-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 -0,168 -0,166 -0,164 -0,162 -0,160 -0,158 -0,156 -0,154 -0,152 -0,150 0 1 2 3 4 5 T = 1 K B = 3 Tesla d = 1µm

V(x) / E

0

x/d

ν

(x)

E F : Fermi enerjisi

Sekil(4.4): 2µm genisliginde, T=1K sicakliginda, n_e=3×1011cm−2 elektron sayi yogunluguna sahip malzeme üzerine uygulanan farkli manyetik alan degerleri için elektron dagilimi.

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 0 2 4 6 8 10 12 14 T = 1K d = 1µm B = 1 Tesla B = 3 " B = 5 " B = 7 "

ν

(x)

x/d

Sekil(4.5): 2µm genisliginde, n_e=3×1011cm−2 elektron yogunluguna sahip malzemeye, B=3T büyüklügünde manyetik alan etkisi altinda olusan sikistirilamaz bölgelere sicakligin etkisi.

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 0 1 2 3 4 5 -0,80 -0,78 -0,76 -0,74 -0,72 -0,70 3,90 3,95 4,00 4,05 4,10 ν (x) x/d -0,89 -0,88 -0,87 -0,86 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 ν (x) x/d T = 1K T = 3K T = 5K T = 7K

ν

(x)

x/d

B = 3 Tesla d = 1µm

Sekil(4.6): 2µm genisliginde, n_e=3×1011cm−2 elektron sayi yogunluguna sahip malzemeye kapilardan (gate) uygulanan farkli V0 potansiyel enerjileri ile

manyetik alana bagli olarak sikistirilamaz bölgelerden akan elektronlarin hizlarindaki degisim. 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4

V

0

=300 meV

d=1

µ

m

V

₀

=200

V

₀

=100

V

₀

=0

T = 1K T = 5K

V

el

(

10

6

cm/s

)

B (Tesla)

Sekil(4.7): 4µm genisliginde, n_e=3×1011cm−2 elektron sayi yogunluguna sahip malzemeye kapilardan (gate) uygulanan farkli V0 potansiyel enerjileri ile

manyetik alana bagli olarak sikistirilamaz bölgelerden akan elektronlarin hizlarindaki degisim. 5 6 7 8 9 10 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

V

₀

=0

V

₀

=100

_V

0

=200

d=2

µ

m

T = 1K T = 5K

V

₀

=300 meV

V

el

(

10

6

cm/s

)

B (Tesla)

Sekil(4.8): 10µm genisliginde, _n =₃×₁₀11_cm−2

e elektron sayi yogunluguna

sahip malzemeye kapilardan (gate) uygulanan farkli V0 potansiyel enerjileri ile

manyetik alana bagli olarak sikistirilamaz bölgelerden akan elektronlarin hizlarindaki degisim. 5 6 7 8 9 10 0,0 0,5 1,0 1,5

V

₀

=0

V

0

=100

V

0

=200

V

₀

=300 meV

d=5

µ

m

T = 1K T = 5K

V

el

(

10

6

cm/s

)

B (Tesla)

Sekil(4.9): 2µm genisliginde, (a) T=5K, (b) T=1K sicakliginda elektron dagilimin manyetik alanla degisimi ve sikistirilamaz bölgeler. (c) Farkli sicakliklarda sikistirilamaz bölgelerin kalinliklarinin manyetik alanla degisimi.

5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 W 2 (µ m ) / d B (Tesla) d = 1µm T = 1K T = 3K T = 5K c ) b ) -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 5 6 7 B (Tesla) d = 1µm , T = 1K x/d a ) -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 5 6 7 d = 1µm , T = 5K

ν

(x)

ν

(x)

ν

(x) x/d B (Tesla) 0 1,000 2,000 3,000

Sekil(4.10): 6µm genisliginde, (a) T=5K, (b) T=1K sicakliginda elektron dagilimin manyetik alanla degisimi ve sikistirilamaz bölgeler. (c) Farkli sicakliklarda sikistirilamaz bölgelerin kalinliklarinin manyetik alanla degisimi.

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 5 6 7

ν

(x) d = 3µm , T = 1K x/d B (Tesla) 0 1,000 2,000 3,000 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 5 6 7 d = 3µm , T = 5K x/d B (Tesla) 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 W 2 (µ m ) / d B (Tesla) d = 3µm T = 1K T = 3K T = 5K a ) b ) c )

5. KENAR ETKILERI VE DONOR DAGILIMI

Simdiye kadar sistemdeki donor dagilimini düzgün alindi. Ama gerçekte kenar etkilerinden dolayi donorlar sabit bir dagilim göstermeyip orta bölgelere dogru yogunlasma egilimi gösterilmektedir[7]. Dogal olarak bu durum sistem üzerinde bazi degisiklikler meydana getirecektir.

Donorlarin orta bölgelerde yogunlasmasi sonucu elektron gazi ile çekici etkilesmelerinden dolayi elektronlarin orta bölgelerde yogunlasmasini saglayacaktir. Bu dagilimi anlatan iki farkli donor dagilimi için sistemi inceledik[7]. Sekil (5.1)’ de kesikli ve parabolik donor dagilimi için elektron gazina etkiyen potansiyeller görülüyor. Burada u=x d ile tanimlanmis ve donor yogunlugu n₀

( )

u ’ dur. Bu dagilima sahip donorlarin elektron gazina etkiyen ilk (background) potansiyeli de V_bg

( )

u ’ dur. c parametresi de donorlarin hangi aralikta sabit dagilim gösterdigi anlatir. Dolayisiyla c parametresini seçerek donor dagilimini belirlenmis olur. Kesikli donor dagiliminda donorlar d−c bölgeleri arasinda lineer artan bir sekilde dagilim gösterirken ara bölgede ise c noktasindan itibaren keskin bir sekilde degiserek sabit bir dagilim gösterir. Parabolik dagilimda ise d−c bölgeleri arasinda parabolik bir egri seklinde dagilim gösterirken ara bölgede ise c noktasindan itibaren parabolik egri sayesinde daha yumusak bir geçis yaparak ayni kesikli dagilimda oldugu gibi sabit bir dagilim sergiler.

Sekil (5.1)’ de görüldügü gibi kesikli ve parabolik dagilimlari altinda elektron dagilimi, bu dagilimin olusturdugu potansiyel, sikistirilamaz bölgeler ve bu bölgelerdeki elektronlarin hizi incelenmistir.

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

) (

)

[

]

(

)

(

) (

)

[

]

(

)

         ≤ < − − + − − ≤ ≤ − − < ≤ − − − + + − =         ≤ < − − ≤ ≤ − − < ≤ − − + = 1 , 1 1 , 1 , 1 1 1 , 1 1 , 1 , 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 u c c n c c u c u c n c n c n c c u u u c c n u c u c n c n c n u u c c c c c c ρ ρ

Sekil(5.1): c’ nin degerlerine göre farkli ρ2(u) (kesikli dagilim) ve ρ1(u)

(parabolik dagilim) donor dagilimlarinin olusturduklari ilk potansiyeller ve u=0 da farkli donor dagilimlarinin olusturdugu potansiyellerinin degisimi.

Sekil(5.2): B=0 ve T=0 degerlerinde, c’ nin farkli degerlerine göre sirasiyla

ρ1(u) ve ρ2(u) donor dagilimlarinin perdelenmis potansiyelleri ve fermi enerjisinin

0 1 2 3 4 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00

d=3

µ

m

T=1K

B=5Tesla

ν

Parabolik Dagilim

(

ρ

₁

(u)

)

c=0.6

c=0.8

c=1.0

Fermi Enerjisi

V(u) / E

0

u

Sekil(5.3): 6µm genisliginde ,T=1K sicaklikta, parabolik donor dagilimda c=0.6 , 0.8 ,1 degerleri için ve B=5T manyetik alanda elektron dagilimlari ve bu elektron dagiliminin olusturdugu potansiyeller.

0 1 2 3 4 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 -0,03 -0,02 -0,01 0,00

d=3

µ

m

T=1K

B=5Tesla

ν

c=0.6

c=0.8

c=1.0

Fermi Enerjisi

Kesikli Dagilim

(

ρ

₂

(u)

)

V(u) / E

0

u

Sekil(5.4): 6µm genisliginde ,T=1K sicaklikta, kesikli donor dagilimda c=0.6 , 0.8 ,1 degerleri için ve B=5T manyetik alanda elektron dagilimlari ve bu elektron dagiliminin olusturdugu potansiyeller.

Sekil(5.5): T=1K (kalin çizgi) ve T=5K (ince çizgi) , d=1µm (üs) , 3 µm (orta) , 5µm (alt) genisliginde, doldurma faktörünün ν=2 oldugu durumdaki ρ1(u)

(a,c,e) ve ρ2(u) (b,d,f) donor dagilimlarinda olusan sikistirilamaz bölgelerin

6. SONUÇ VE TARTISMA

Klasik Hall olayindaki enerjinin sürekliligi, iki boyutlu olarak incelenen bu kuantum Hall olayinda artik gözlenmemektedir. Bu ilk olarak Landau enerji seviyelerinde görülüyor. Buna göre elektronlar izin verilen herhangi enerji seviyelerine rastgele degil, manyetik alana bagli olarak kuantumlanan Landau enerji seviyelerinde bulunacaklardir. Burada sicakligin büyük bir önemi oldugu görülmektedir. Sicakligin artmasi sistemi gittikçe klasik Hall olayina yaklastirir.

Kuantum Hall olayinin önemli sonuçlarindan biri de, iki boyutlu iletkenligin

ohm h

e

25813 2

= üzerinden kuantize olmasidir. Bu durum en azindan 5

10 de bir dogrulukla öziletkenligin ölçülebilme olanagini saglar.

Bu çalismada görüldügü gibi akim, düsük sicaklikta ve yüksek manyetik alan degerlerinde olusan sikistirilamaz bölgelerden akmaktadir. Sikistirilamaz bölgelerdeki elektronlar sikistirilabilir bölgelere göre birbirlerine daha yakindirlar. Eger malzeme üzerinden akim akitilirsa elektronlar bu siki bölgelerden (sikistirilamaz bölgelerden) iletimi daha kolay yapacaklarindan dolayi akim manyetik alanin etkisiyle olusan sikistirilamaz bölgelerden akacaktir. Sicakligi sabit tutup (T 10< K ) manyetik alan arttirilirsa (B>7.4T) elektronlar Landau enerji seviyelerinin altina ineceklerinden sikistirilamaz bölgeler ortadan kalkacaktir ve bu durumda ise akim tüm yüzeyden akacaktir. Ayni sekilde manyetik alani sabit tutup (4.5K<B<7.4K) sicaklik arttirilirsa (T 10> K ) Landau enerji seviyeleri ortadan kalkip sürekli bir enerji seviyeleri olusacaktir ve dolayisiyla sikistirilamaz bölgelerde kaybolacaklardir. Bu durumda da akim tüm yüzeyden akacaktir.

Ilk olarak sikistirilamaz bölgelerin olusumu hesaba katilmadan sadece Landau kuantizasyonu göz önüne alinarak elektron hizinin fonksiyonel formu ve manyetik alanin elektrik alana bagimliligi elde edildi. SPV (surface photovoltage) deneylerinin [9] yorumlari, elde ettigimiz sonuçlarla ve diger deneylerle [10] siddetli bir sekilde ters düstügü gösterildi. Örnegin kenarlarinda elektrik alanin _F∝ _B12 seklinde davrandigi iç uyumlu potansiyelin egiminin _B−12 _{ile degistigi görüldü.} Mach-Zehnder interferometre [11,12] tipi deneylerin sonuçlarinin analiz edilmesiyle, elektron hizinin sabit oldugu farz etmenin bazi farkli sonuçlara yol açacagi gösterildi.

Ikinci olarak, iç uyumlu potansiyelin ele alinmasi ile sikistirilamaz bölgeler içinde ve Fermi enerjisi civarinda elektron hizi elde edildi. Tek parçacikli durumda elektronun hizi _B−12_{’ ye bagimli oldugu gösterildi. Tam perdelenmis potansiyelin} sikistirilamaz bölgelerdeki egimi hesaplandiginda manyetik alanin iki farkli rejim ortaya koydugunu belirlendi. Bu iki rejim lineer ve non-lineer olarak elektron hizinin manyetik alana bagimli oldugunu ortaya çikardi.

Öyle görünüyor ki Mach-Zehnder interferometresi [11,12] deneylerinin sonuçlari iç uyumlu (self-consistent) bir yaklasimla tekrar gözden geçirmek, modelde yatan fizigin anlasilmasinda yardimci olacaktir.

KAYNAKLAR

[1] K. Von Klitzing, G. Dorda and M. Pepper, Phys. Rev. Letter, 45, 494 (1980) [2] Kuantum Mekanigine Giris Bekir Karaoglu (2006)

[3] Katihal Fizigine Giris Charles Kittel (1996)

[4] K. Von Klitzing’ in 09.01.1985 yilinda verdigi Nobel dersi. Max-Planck-Institut für Festkörperforschung, D-7000 Stuttgart 80

[5] Afif Siddiki and Rolf Gerhardts, Phys. Rev. B 70, 195335 (2004) [6] A.Siddiki and R.R.Gerhardts,Phys.Rev.B 68,125315(2003).

[7] D. Eksi, E.Cicek, A. I. Mese, S. Aktas, A. Siddiki, T.Hakioglu, Phys.Rev. B 76, 075334 (2007)

[8] D.B. Chklovskii, B.I. Shklovskii, L.I. Glazman, Phys.Rev. B 46, 4026 (1992) [9] B. Karmakar and B. M. Arora, Pramana, J. Phys. 67, 191 (2006).

[10] M. Huber, M. Grayson, M. Rother, W. Biberacher, W. Wegscheider, and G. Abstre iter, Phys. Rev. Lett. 94, 016805 (2005)

[11] Y. Ji, Y. Chung, D. Sprinzak, M. Heiblum, D. Mahalu, and H. Shtrikman, Nature (London) 422, 415 (2003).

[12] I. Neder, M. Heiblum, Y. Levinson, D. Mahalu, and V. Umansky, Phys. Rev. Lett. 96, 016804 (2006)