GCD-LCM matrisleri ile ilgili matrisler ve bu matrislerin uygulamaları

Tam metin

(1)T.C.. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI. GCD-LCM MATRİSLERİ İLE İLGİLİ MATRİSLER VE BU MATRİSLERİN UYGULAMALARI YÜKSEK LİSANS TEZİ Fatma Turna ERYILMAZ Danışman Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI. KONYA, 2006.

(2) T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. GCD-LCM MATRİSLERİ İLE İLGİLİ MATRİSLER VE BU MATRİSLERİN UYGULAMALARI. FATMA TURNA ERYILMAZ. YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI. Bu tez21.02..2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği/oyçokluğu ile kabul edilmiştir.. …………………………….. …………………… ………………………. Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI (Danışman). (Üye). ii. (Üye).

(3) ÖZET. Yüksek Lisans Tezi. GCD-LCM MATRİSLERİ İLE İLGİLİ MATRİSLER VE BU MATRİSLERİN UYGULAMALARI. Fatma Turna ERYILMAZ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı. Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI. 2006, 48 sayfa. Jüri:. Prof. Dr. Dursun BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE. Bu çalışmada, S  1,2,..., n kümesi üzerinde tanımlanan GCD ve GCDReciprocal LCM. matrislerinin özdeğerlerinin. sınırlarıyla. ilgili eşitsizlikler. verilmiştir. 1   2  ...   n  0 olmak üzere trA , det A , trA 2 , n, k, l kullanılarak. 1 ... k ,  n  k 1 ... n , 1   2  ...   k. ve  n  k 1  ...   n (1  k    n ) ile ilgili. sınırlar elde edilmiştir.. Anahtar kelimeler: GCD matrisi, LCM matrisi, GCD-Reciprocal LCM matrisi.. iii.

(4) ABSTRACT. Postgraduate Thesis. THE MATRICES RELATED WITH GCD-LCM MATRICES AND APPLICATION OF THESE MATRICES. Fatma Turna ERYILMAZ Selcuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics. Supervisor: Asst.Prof.Dr. Ayşe NALLI. 2006, 48 pages. Jury: Prof. Dr. Dursun BOZKURT Asst. Prof. Dr. Hasan KÖSE. In this study, the inequalities related with the bounds of eigenvalues of GCD and. GCD-Reciprocal. LCM. matrices. If 1   2  ...   n  0 , using trA , det A ,. defined. on. set S  1,2,..., n.. trA 2 , n, k, l bounds related with. 1 ... k ,  n  k 1 ... n , 1   2  ...   k and  n  k 1  ...   n (1  k    n ) are obtained.. Key Words: GCD-Reciprocal LCM matrix, GCD matrix, LCM matrix. iv.

(5) ÖNSÖZ. Bu çalışmada, Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç.Dr. Ayşe NALLI yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne yüksek lisans tezi olarak sunulmuştur. Tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten, çalışmalarım sırasında her türlü yardım ve cesaretlendirmesinden dolayı, hocam Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI’ ya sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.. Fatma Turna ERYILMAZ. v.

(6) SEMBOLLER. det(A). : A matrisinin determinantı. iz(A). : A matrisinin izi. AT. : A matrisinin transpozu. . : Euler’in  fonksiyonu. . : Möbius fonksiyonu. Jk. : Jordan’ın toplam fonksiyonu. f g. : f ve g aritmetik fonksiyonlarının Direchlet çarpımı. (i,j). : i ve j ‘nin en büyük ortak böleni (GCD). i, j . : i ve j ‘nin en küçük ortak katı (LCM). S   i, j nn. : GCD matrisi. S   i, j nn. : LCM matrisi. A   i, j   :  i, j   nn FC. GCD-Reciprocal LCM matrisi. : Faktör kapalı (çarpan kapalı). vi.

(7) İÇİNDEKİLER. Sayfa ÖZET………………………………………………………………………………. iii ABSTRACT………………………………………………………………………...iv ÖNSÖZ…………………………………………………………………………….. v SEMBOLLER……………………………………………………………………… vi 1.GİRİŞ…………………………………………………………………………….. 1 2.ÖN BİLGİLER……………………………………………………………………4 3.İZ VE DETERMİNANT KULLANILARAK ÖZDEĞERLER İÇİN SINIRLAR……………………………………………………………………….. 12 4.GCD MATRİSLERİNİN ÖZDEĞERLERİ İÇİN SINIRLAR…………….….…. 19 5.GCD-RECİPROCAL LCM MATRİSLERİNİN ÖZDEĞERLERİ İÇİN SINIRLAR………………………………..……………………………………… 32 6.SONUÇ VE ÖNERİLER………………………………………………………… 46 KAYNAKLAR…………………………………………………………………….. 47. vii.

(8) 1. 1.GİRİŞ. i, j  , i ve j pozitif tamsayılarının en büyük ortak bölenini göstermek üzere, Smith (1876), S  1,2,..., n kümesi üzerinde tanımlı ij-yinci elemanı sij  i, j  olan n  n tipindeki S  sij  matrisinin, kendi adıyla anılan determinantının değerini, n.   k  olarak hesaplamıştır. Burada  , Euler’in toplam fonksiyonudur. k 1. i, j ,. i ve j pozitif tamsayılarının en küçük ortak katını göstermek üzere,. Smith(1876),. i, j  in, j 1 determinantının. n. değerinin.   k  k . olduğunu. k 1. hesaplamıştır. Burada,  Euler’in toplam fonksiyonu ve  ;  1  1 ve p asal olmak.  . üzere  p r   p şeklinde tanımlı çarpımsal bir aritmetik fonksiyondur. Ayrıca n. Smith, i, j  i , j 1. determinantı. ile. i, j  in, j 1. determinantı. arasında. n. i, j  in, j 1  i, j  in, j 1 .  k  bağıntısını kurmuştur. k 1. S  x1 , x 2 ,...x n  birbirinden farklı, sıralı pozitif tamsayıların kümesi olmak üzere Beslin. ve. Ligh (1989),. ij-yinci elemanı. sij  xi , x j . olan. nn. tipindeki S   sij  matrisini, S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen (Greatest Common Divisor, GCD) matrisi olarak adlandırmışlar ve S kümesi çarpan kapalı (factor closed, FC) olduğunda, Smith’in sonucunun S üzerinde GCD matrisinin determinantı için geçerli olduğunu göstermişlerdir. Ayrıca, ‘’ S  x1 , x 2 ,...x n  kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantı   x1   x 2 ...  x n . ise S çarpan. kapalıdır’’ konjektürünü ortaya atmışlardır. Beslin(1991), S  x1 , x 2 ,...x n  kümesi üzerinde ij-jinci elemanı 1 xi , x j  olan reciprocal GCD matrisini tanımlayarak, bu matrisin yapısını incelemiş ve determinantını hesaplamıştır. Beslin, pozitif tamsayıların S  x1 , x 2 ,...x n  kümesi üzerinde en küçük ortak kat (Least Common Multiply, LCM) matrisini tanımlamıştır..

(9) 2. x , x . ij-jinci elemanı i ve j pozitif tamsayıların en küçük ortak katı olan. i. j. nn. matrisine S kümesi üzerinde LCM matrisi denir. Beslin reciprocal GCD matrisinden yararlanarak, LCM matrisinin determinantını bazı özel fonksiyonlar cinsinden hesaplamıştır.. . E.Altınışık(2001), S kümesi üzerinde ij-jinci elemanı xi , x j  xi , x j. . olan. matrisi Hemen Hemen Hilbert-Smith matrisi olarak adlandırmış ve bu matrisin yapısını incelemiştir. Bu matrisin determinantı ve tersleri ile ilgili çeşitli sonuçlar ortaya koymuştur. N.Tuğlu(2002) S  x1 , x 2 ,...x n  farklı pozitif tamsayıların kümesi üzerinde ij-yinci elemanı tanımlamıştır.. x , x  x ,x . Bu. i. j. i. j. olan n  n tipinde LCM-Reciprocal GCD matrisini. matrisin. yapısını. inceleyerek. . elemanlarını g aritmetik fonksiyonu ve. determinantını,. terslerinin. Möbius fonksiyonu cinsinden. hesaplamıştır. A.Nallı ve D.Taşçı(2003), GCD ve LCM. matrislerinden hareketle. S  x1 , x 2 ,...x n  birbirinden faklı sıralı pozitif tamsayıların kümesi olmak üzere ijjinci elemanı. x , x  x , x  i. j. i. j. olan n  n tipinde.  xi , x j    matrisini  x , x  i j . A  aij   . . . tanımlamışlar ve bu matrisi GCD-Reciprocal LCM matrisi olarak adlandırmışlardır. Bu matrisin yapısını inceleyerek determinantını Jordan’ın toplam fonksiyonu ve  Möbius fonksiyonu cinsinden hesaplamışlardır. Kumar(1984), trA ve det A kullanarak A  C nn matrisinin özdeğerleriyle ilgili 1 ... k ,  n  k 1 ... n , 1   2  ...   k. ve  n  k 1  ...   n , (1  k  n ). için. sınırlar vermiştir. Wolkowicz ve Styan (1980),. trA ,. det A ,. trA 2. ve n kullanarak. 1   2  ...   k ,  n  k 1  ...   n , 1 ve  n (1  k  n ) ile ilgili sınırlar bulmuşlardır..

(10) 3. J.K.Merikoski ve A.Virtanen(1997), A  C nn , A matrisinin özdeğerleri pozitif ve 1   2  ...   n  0 , 1  k  l  n olmak üzere k, l, n ve trA yardımıyla. 1 ... k ,  n  k 1 ... n , 1   2  ...   k ,  n  k 1  ...   n ile ilgili sınırlar bulmuşlardır. Bu çalışmada ilk olarak GCD ve GCD-Reciprocal LCM matrisleri ele alındı. Bu matrislerin yapısı ve özellikleriyle ilgili temel tanım ve teoremler verildi. Üçüncü bölümde J.K.Merikoski ve A.Virtanen(1997)’nin makalesi incelendi ve özdeğerlerin sınırlarıyla ilgili eşitsizlikler ele alındı. Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde ele alınan özdeğerlerin sınırlarıyla ilgili eşitsizlikler, S  1,2,..., n kümesi üzerinde tanımlanan. S . GCD matrisinin. özdeğerleri için uygulandı ve bu eşitsizlikler örneklerle açıklandı. Beşinci tanımlanan.  A. bölümde,. aynı. eşitsizlikler,. S  1,2,...,n . kümesi. üzerinde. GCD-Reciprocal LCM matrisleri için uygulandı ve örnekle. açıklandı. Sonuç olarak elde edilen sınırlar kıyaslanmıştır..

(11) 4. 2. ÖN BİLGİLER. Bu bölümde, çalışmamızda yararlanmak üzere temel kavramlar ile ilgili tanım ve teoremleri verelim.. Tanım 2.1. Pozitif tamsayılar kümesi üzerinde tanımlı, reel veya kompleks değerli her fonksiyona aritmetik fonksiyon([1,s.24]) denir.. Tanım 2.2. Verilen bir n doğal sayısını geçmeyen ve n ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı  (n) ile gösterilir. Bu şekilde tanımlanan  aritmetik fonksiyonuna Euler’ in toplam fonksiyonu ([1,s.25]) denir.. Teorem 2.1. n  1 olmak üzere,.   (d )  n. d n. dir. ([1,s.26]). Teorem 2.2. Bir A  (a ij ) n  n matrisinin pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart  a11 a det  21  ...   ai1. ([2,s.151]) olmasıdır.. a12 a 22 ... ai 2. ... a1n  ... a 2 n   0, ... ...   ... ain . i  1,2,...,n.

(12) 5. Teorem 2.3. Bir A  aij   M n IR  olması için gerek ve yeter şart A  BB T. simetrik matrisinin pozitif tanımlı olacak şekilde, köşegen üzerindeki. elemanları pozitif olan reel bir B alt üçgen matrisinin var olmasıdır.[2]. n. Tanım 2.3. A  (aij )  M n ( F ) simetrik matrisi verilsin.. a. ii. toplamına A. i:1. matrisinin izi denir ve trA sembolüyle gösterilir. ([3,s.17]). Teorem 2.4. (Aritmetiğin Temel Teoremi) n>1 tamsayısı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı şeklinde, çarpanların sıra değişikliği hariç, tek türlü ifade edilebilir. Aritmetiğin temel ve ai >0. sayılar r. olmak. teoremine göre, pi , i=1,2,…,r birbirinden farklı asal üzere,. n>1. tamsayısının. standart. a. n   pi i şeklindedir.[1] i 1. r. Tanım 2.4. n>1 tamsayısının standart biçimi n   pi. ai. olmak üzere. i 1.  1   ( n)   0  1r . , n 1 , ai  1 , n  p1 p 2 ... p r. biçiminde tanımlanan aritmetik fonksiyona Möbius fonksiyonu denir.. Teorem 2.5. n  Z  için 1,.   (d )  0,. d n. dir.[1]. . n 1 n 1. biçimi.

(13) 6. Teorem 2.6. (Möbius Birinci Ters Çevirme Formülü) f herhangi bir aritmetik fonksiyon ve. F n    f d  d n. ise. n n f n    F   (d )   F (d )    d  d  d n d n dir.[6]. Tanım 2.5. n, k  Z  için, I k (n)  n k. ve  Möbius fonksiyonu olmak. üzere. Jk  Ik   veya. J k ( n) . n. (d ). k.  (d ). d n. şeklinde tanımlanan fonksiyona Jordan’ın toplam fonksiyonu denir. Jordan’ın toplam fonksiyonu Euler’in toplam fonksiyonunun genelleştirilmiş biçimidir. k=1 durumunda, bu fonksiyon Euler’in toplam fonksiyonudur.. Teorem 2.7. n, k  Z  için. nk . J. k. (d ). d n. dir.[7]. Teorem 2.8. n, k  Z  için. J k (n)  n k  (1  p n. dir. Burada p, n’ nin asal bölenleridir.[7]. 1 ) pk.

(14) 7. i, j  , n. (i, j ) i , j 1. i ve j tamsayılarının en büyük ortak bölenini göstermek üzere determinantına. Smith. determinantı. denir.. Smith. (1876),. n. (i, j ) i , j 1   (1) (2)... (n) olduğunu göstermiştir. Burada  , Euler’in toplam fonksiyonudur. Beslin ve Ligh (1989), Smith determinantından hareketle en büyük ortak bölen GCD  matrisini tanımlamışlar ve bu matrisin yapısını inceleyerek determinantını hesaplamışlardır. Bu kısımda çalışmamızın temeli olan GCD matrisleri ile ilgili temel tanım ve teoremler verilecektir.. Tanım 2.6. S  1,2,...,n  birbirinden farklı sıralı pozitif tamsayıların kümesi olsun. n  n tipindeki S   ( s ij ) nn  ((i, j )) matrisine, S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen (Greatest Common Divisor, GCD) matrisi denir. Burada (i, j ) ,i ve j tamsayılarının en büyük ortak bölenini gösterir.([4,s.70]). Tanım 2.7. Pozitif tamsayıların bir S kümesinin,. her elemanının pozitif. tamsayı bölenleri yine S kümesinin elemanları ise, S kümesine çarpan kapalıdır (Factor Closed, FC) denir. GCD matrisinin simetrik olduğu açıktır Ayrıca S  1,2,...,n . kümesi. üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantı, Smith determinantıdır ve Smith’ in sonucu gereğince det(S )   (1) (2)... (n) dir ve S  1,2,...,n  kümesi çarpan kapalı bir kümedir.. Teorem 2.9. S  1,2,...,n  kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin izi trS . dir.[11]. n(n  1) 2.

(15) 8. i, j . , i ve j pozitif tamsayılarının en küçük ortak katını göstermek üzere. i, j  in, j 1. Smith(1876),. n. determinantının. değerinin.   (k ) (k ). olduğunu. k 1. hesaplamıştır. Burada  , Euler’in toplam fonksiyonu ve  ,  (1)  1 ve p asal olmak üzere  ( p r )   p şeklinde tanımlı aritmetik fonksiyondur. Ayrıca Smith, (i, j ) in, j 1 determinantı ile. i, j  in, j 1. determinantı arasında. i, j  in, j 1 . n. n. (i, j ) i , j 1 .  (k ) k 1. bağıntısını kurmuştur.. Bu kısımda da çalışmamızın temelini oluşturan LCM matrisleri üzerine yapılan çalışmalar özetlenerek, temel tanım ve teoremler verilecektir. Tanım 2.8. S  1,2,...,n  pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. S   ( sij )  i, j  matrisine, S kümesi üzerinde en küçük ortak kat. (Least. Common Multiple, LCM ) matrisi denir. Burada i, j  , i ve j tamsayılarının en küçük ortak katını gösterir.[5] Sonuç 2.1. S  1,2,...,n  çarpan kapalı bir küme ve  S  , S kümesi üzerinde bir LCM matrisi olsun. O takdirde n. detS     k  k  k 1. dir.[5]. Sonuç 2.2. LCM matrisleri pozitif tanımlı değildir.[5] LCM matrisi simetriktir fakat pozitif tanımlı değildir. Ayrıca S  1,2,...,n  kümesi. üzerinde. tanımlanan. LCM. matrisinin. determinantı. det(S )   (1) (2)... (n) 1 2 ... n   1 2 ... n dir ve S  1,2,...,n  çarpan kapalı bir kümedir.. kümesi.

(16) 9. A.Nallı ve D.Taşçı (2003) üzerinde ij-yinci elemanı. i, j  i, j . S  1,2,..., n farklı pozitif tamsayıların kümesi olan. nn. tipinde GCD-Reciprocal LCM. matrisini tanımlamıştır. S matrisin determinantı Jordan’ın toplam fonksiyonu ve  Möbius fonksiyonu cinsinden hesaplamıştır.. Bu kısımda da GCD –Reciprocal LCM matrislerinin üzerine yapılan çalışmalar özetlenerek, temel tanım ve teoremler verilecektir.. Tanım 2.9. S  1,2,...,n  birbirinden farklı pozitif tamsayıların sıralı kümesi olmak üzere, S kümesi üzerinde tanımlı i, j  ve i, j  , i ve j pozitif tamsayılarının sırasıyla en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını göstermek üzere. n  n tipindeki. A  aij    i, j   [i, j ] . matrisine, GCD-Reciprocal LCM matrisi. denir.[13]. Teorem 2.10. S  1,2,..., n birbirinden farklı pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. Bu takdirde n  n S  GCD-Reciprocal LCM matrisi, n  m tipinde bir C alt üçgen matrisi ile transpozunun çarpımı şeklinde yazılabilir.[13]. Teorem 2.11. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. S kümesi üzerinde tanımlanan  A  aij  n  n GCD-Reciprocal LCM matrisinin determinantı n. detA   k 1. dır.[13]. J 2 k  k2.

(17) 10. İspat: Teorem2.10 dan GCD-Reciprocal LCM matrisi,  A  CC T. şeklinde. yazılabilir. Burada C  cij . 1 1 1  J 2 2 ,..., J 2 n   köşegeni  J 2 1, 2 n 1 . olan bir alt. üçgen matris olup n. det C   k 1. J 2 (k ) k. dır. Buradan n. detA   k 1. J 2 k  k2. olarak bulunur.. Sonuç 2.4. S  1,2,...,n  pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. S kümesi üzerinde. tanımlanan. A  aij . GCD-Reciprocal. nn. LCM. matrisinin. determinantı;. detA  0 dır.[13]. İspat: Teorem 2.11 den. n. detA   k 1. J 2 k  k2. ve Teorem 2.8 gereği  1  J 2 k   k 2  1  2  p  p k . olup, k  Z  için J 2 k   0 olduğu açıktır. Böylece detA  0 elde edilir..

(18) 11. Sonuç 2.4. GCD-Reciprocal LCM matrisi pozitif tanımlıdır.[13]. İspat: Teorem 2.10 dan  A  CC T olup, burada C, köşegeni. cii . J 2 (i ). (i=1,2,…,n). i. olan bir alt üçgen matristir. Her i=1,2,…,n için cii  0 olduğundan Teorem2.3 den dolayı [A] matrisi pozitif tanımlıdır.. Sonuç 2.5. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. S kümesi üzerinde tanımlanan  A  aij  n  n GCD-Reciprocal LCM matrisi olmak üzere. izA  n dir.[13]. İspat : Teorem2.10 dan, A matrisinin ij- yinci elemanı,. Aij  CC T ij. . 1  J 2 (k ) ij k i , j . dir. Buradan. . . n. iz A  iz CC T   i 1. olarak elde edilir.. 1 i2. n.  J 2 k    k i. i 1. n 1 2 i  1 n  i2 i 1.

(19) 12. 3. İZ VE DETERMİNANT KULLANILARAK ÖZDEĞERLER İÇİN SINIRLAR. Çalışmamızın bu bölümünde [8], [9], [10] daki makaleler incelenmiş, temel tanım ve teoremler verilmiştir. A  a ij   C nn. (n  2) şeklinde verilen bir A matrisinin özdeğerleri. 1   2  ...   n  0 olmak üzere trA , det A , trA 2 , n kullanılarak özdeğerlerin sınırlarıyla ilgili eşitsizlikler verilmiştir. Kumar(1984) [8] de. trA. ve. det A. kullanarak. 1 ... k ,  n  k 1 ... n ,. 1   2  ...   k ve  n  k 1  ...   n , (1  k  n ) ile ilgili sınırlar vermiştir. Merikoski ve Virtanen(1997) [9] da 1 ... k ,  n  k 1 ... n ( 1  k  n  2 ),. 1   2  ...   k , (1  k  n ) ve 1 ,  n ile ilgili sınırlar vermişlerdir. Wolkowicz ve Styan (1980) [10] da trA , det A , trA 2 ve n kullanarak. 1   2  ...   k ,  n  k 1  ...   n , 1 ve  n (1  k  n ) ile ilgili sınırlar bulmuşlardır. Teorem 3.1.. A  a ij   C nn. ( n  2). matrisi verilsin. 1 ,  2 ,...,  n A. matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 ve 1  k  n olmak üzere  k k  1   2  ...   k  trA  n  k   det A     trA     1n. ( n  k 1 ... n )1 k  det A ( n  k 1 ... n )1 k . 1k.  1 2 ... k . . 1 n  k . 1  ...   k k.  n  k 1  ...   n trA 1  ...   k   k n k. nk  n  k 1 ... n     trA . (3.1). (3.2). (3.3). nk. det A. (3.4).

(20) 13.  n 1    trA . n 1 1n. det A   n  det A. . trA  det A   1  trA  n  1  n  trA . 1  n 1. (3.5). dir.[8]. Teorem 3.2.. A  a ij   C nn (n  2). matrisi verilsin. 1 ,  2 ,...,  n A. matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 olmak üzere k 1 n  k   1  1   trA      1 ... k      det A  n  k  k  1     .  1  1 trA 2  n 1       1       det A  n  1  2     . 1  n  k 1. 1 k  n  2. (3.6). 1 k  n  2. (3.7). 2  k  n 1. (3.8). 1 n  2 . n  k 1    n  k 1   n  k 1 ... n   k det A    trA    . k  k 1. dır.[10]. İspat:. d k  1 ... k ve.  trA  tk     k 1. k 1. şeklinde tanımlayalım.    ...   k   k 1  ...   n   d k  k 1  ...   n    1  k 1  . k 1.  tk. olduğunu biliyoruz. Bundan yararlanarak dk. buradan. n  k 1. det A  d k. nk.    ...   n   k 1 ... n  d k n  k  k 1  nk  . nk.  t   k  nk. nk.

(21) 14.  1  t k  nk  dk       det A  n  k  . elde edilir. d k  1 ... k.  trA  ve t k     k 1. 1  n  k 1. k 1. yerine yazılırsa. k 1 n  k   1  1   trA      1 ... k      det A  n  k  k  1     . 1  n  k 1. elde edilir ve ( 3 .6 ) nın ispatı tamamlanır. ( 3. 7) nin ispatı (3 .6 ) da k=1 alınırsa elde edilir. ( 3. 8 ) ` in ispatı ( 3. 6 )da det A  1 ... n  k  n  k 1 ... n  yazılırsa elde edilir.. Teorem. 3.3. A  aij   C nn. verilsin. 1 ,  2 ,...,  n. matrisi. ( n  2). A. matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 ve 1  k  n olmak üzere 1 k  1 1   2  ...   k  det A k k. k 1.  trA     n 1. n 1. n  k 1. 1 n  k  1  n  k 1  ...   n  trA  det A n  k n  k. 1 . 4  trA    det A  n  1 . (3.9).  trA     n 1. n 1. (3.10). n 1. (3.11) n. n   trA  1  n  trA    det A n  1n 1  n  1 . n 1. (3.12). dir.[10]. İspat : 0  t  1  trA     n 1. n 1. olsun.  t   ...   k   1  t 1  ...  1  t  k   k 1  ...   n   1  n 1   k. k.  t 1  ...   k 1  t  1 ... n  t 1  t  1  ...   k  det A. n 1.

(22) 15. elde edilir. Buradan. 1   2  ...   k . 1 t 1  t . k. 1  trA    det A  n  1 . n 1. dır. to  1 t o 1  t o . k. 1 k 1. için.  1  k  1k 1  min  / 0  t  1  k kk   t 1  t  . alınırsa 1 k  1 1   2  ...   k  det A k k. k 1.  trA     n 1. n 1. elde edilir ve ( 3.9 ) un ispatı tamamlanır. ( 3.9 ) da. trA  1  ...   n  k    n  k 1  ...   n . alınırsa ( 3.10) nin ispatı. tamamlanır. (3.9) da özel olarak k  1 (3.10 ) da özel olarak. Teorem. alınırsa ( 3.11) in ispatı tamamlanır.. k  1 alınırsa (3.12) nin ispatı tamamlanır.. 3.4. A  aij   C nn (n  2). verilsin. 1 ,  2 ,...,  n. matrisi. A. matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 ve 1  k  n olmak üzere  trA 1   2  ...   k  k    n . 2 1  2 trA  trA  n  1n  n. trA 1   2  ...   k  k  n  k  n.  trA  n  k 1  ...   n  k    n .     . 2 1  2 trA  trA  n  1n  n. 2 1  2 trA  trA  n  1n  n.     .    . k. n (3.13) 2. n 2. (3.14). k. n (3.15) 2. k.

(23) 16. trA  n  k 1  ...   n  k  n  k  n. 2 1  2 trA  trA  n  1n  n.    . k. n 2. (3.16). trA 1   n. 2 1  2 trA  trA  n  1n  n.    . (3.17). trA n   n. 2 1  2 trA  trA  n  1n  n.    . (3.18). (3.19) 2 trA k  1 1  2 trA   trA  n n  k  1 n  n. 2  trA n  k 1  2 trA   k    trA   n k n  n .    . (3.20) 2 trA k  1 1  2 trA  trA   n n  k  1 n  n. 2   k  ...  l trA n  l 1  2 trA   trA     l  k 1 n l n  n . dir.[9]. Sonuç 3.1. A  aij   C nn (n  2) matrisi verilsin. 1 ,  2 ,...,  n A matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 ve 1  k    n olmak üzere,  k 1    trA . k 1. det A n  k ...   trA . .  1        det A . k 1.  k 1 n.   ...     n       k  1     1  n     k  ...     1  trA  n     det A   n    trA . n  k  1  k  1   trA . dir.[8]. det A. (3.21). 1 n  k 1  1   trA   k. (3.22).    .

(24) 17. Sonuç 3.2. A  aij   C nn (n  2) matrisi verilsin. 1 ,  2 ,...,  n A matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 ve 1  k    n  2 olmak üzere, 1 n  k .     k ...      1  n  1  n   1  1 n  k   k 1 n  1      trA       k ...          n      1      det A       . (3.23).     k ...      1  k 1  n  1  n   1  1  1    trA       k ...        det A  n      1       . (3.24). k n  k 1    det A 1 k n 1  n  k  1 k           trA     . k    n  k  1 det A k     trA   .  k 1  n  k . Alt sınırlar için 1  k    n  1 dir.[10].  . nn Sonuç 3.3. A  aij  C. ( n  2). matrisi verilsin. 1 ,  2 ,...,  n A. matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 ve 1  k    n olmak üzere,  1 kk  trA  trA    k 1 n det A k  1  n  1 .  k  ...    . 1   1 det A . 1. n 1.       k 1   trA  n .   k  ...   .  trA     n  1. n 1. (3.25).

(25) 18. n 1.      k  ...           l 1 n 1 1    1   trA    k  ...       k  1      det A     n  1     k  1  1 kk trA  n  k  1  det A k  1k 1. dir.[10].  trA     n  1. (3.26).

(26) 19. 4.GCD MATRİSLERİNİN ÖZDEĞERLERİ İÇİN SINIRLAR. Bu bölümde GCD matrislerinin özdeğerleriyle ilgili sınırlar verilecektir. Bu çalışmada 0 0  1,0 x  0 olarak tanımlanmıştır.. Teorem 4.1. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. S   i, j . matrisi S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen ( GCD ). matrisi (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n S matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 ve. 1  k  n olmak üzere Teorem 3.1 den   2k  k n  nn  1    t  1  2  ...  k   n  k     nn  1  t 1  2  . ( n  k 1 ... n ). 1k.  n      t   t 1 . ( n  k 1 ... n )1 k . n 1. 1k.  1 2 ... k . nk. 1  ...   k k. (4.1). (4.2). (4.3). n.   t . (4.4). t 1. n.  n     t       t   n t 1  t 1 .  n   2  t   nn  1   n  1 t 1  2 nn  1      dir.[8]. .  n  k 1  ...   n n  1 1  ...   k   k 2 k.  2n  k     n  k 1 ... n    nn  1 .  2(n  1)     n(n  1) . 1n. 1 n  k . 1  n 1. 1n.     n 1   1  2         . (4.5).

(27) 20. Teorem 4.2. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. S   i, j . matrisi S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen  GCD . (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n S matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0. matrisi. olmak üzere Teorem 3.2 den,.    k 1 n  k    1  1  nn  1      1 ...k   n   n  k  2k  1         t    t 1     2 n 1    1  1  nn  1    1   n   n  1  4         t    t 1 . 1  n  k 1. 1 k  n  2. (4.6). 1 k  n  2. (4.7). 2  k  n 1. (4.8). 1 n  2 . n  k 1  n   2n  k  1      n  k 1 ... n  k   t   t 1    n n  1    . k  k 1. dir.[10] Teorem 4.3. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. S   i, j . matrisi S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen  GCD . matrisi (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n S matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 ve 1  k  n olmak üzere Teorem 3.3 den,. 1   2  ...   k . 1. k  1k 1  n  n1. n. kk.   t .   2. ( 4. 9). t 1. nn  1 n  k 1  ...  n   2. n.  t 1. dir.[10]. n  k  1n  k 1  n  n 1   nk  n  k 2  t . 1. ( 4.10).

(28) 21. Teorem 4.4. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. S   i, j . matrisi S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen  GCD . matrisi (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n S matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 olmak üzere Teorem3.4 den.  n 1 1   2  ...   k  k    2 . 1   2  ...   k  k. 2 1  2 nn  1  trS  n  1n  4. n 1  n  k  2.  n 1  n  k 1  ...   n  k    2 .     . 2 1  2 nn  1  trS  n  1n  4.        2 n 1 1  2 nn  1    trS   n    n  1n  2 4 . 1 . n 1  2. k. 2 1  2 nn  1  trS  n  1n  4. 2 1  2 nn  1  trS  n  1n  4. n 1  n  k 1  ...   n  k  n  k  2.     . n (4.11) 2.  n k (4.12)  2 . k. n (4.13) 2.  n  k ( 4.14)  2 . 2 1  2 nn  1  trS  n  1n  4. ( 4.15). (4.16) 2 n 1 k  1 1  2 nn  1  trS   2 n  k  1 n  4. n 1  2. dir.[9]. 2 k 1 1  n n  1  trS 2  n  k  1 n  4. 2  n 1 n  k 1  2 nn  1   k   trS    2 k n  4 .   k  ...    n  1       k  1 2 .    . n1 n n  1  trS 2    n 4. 2.    .

(29) 22. Teorem 4.5. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. S   i, j . matrisi S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen  GCD . matrisi (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n S matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 ve. 1  k    n olmak üzere Sonuç 3.1 den,.  2k  1     nn  1 . k 1.  n     t   t 1 . n.      nn  1   1    k ...    n  2    t      t 1 .  k 1 n.    nn  1    1     k  ...     n 2       1 n     2   n   k  1  nn  1     t   k  ...     1   n        nn  1  t 1  n  2    . n  k  1  2k  1   nn  1 . k 1. n.   t   t 1 . (4.17). 1  n  k 1. (4.18). dir.[9] Teorem 4.6. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. S   i, j . matrisi S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen ( GCD ). matrisi (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n S matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 ve 1  k    n  2 olmak üzere Sonuç3.2 den,.

(30) 23.   1 n  k   n  k  1 k 1 k n 1   n      2 k    n  k  1     k ...       t     t 1   nn  1            1 n    1  n  k   k 1 n        1 n       1   1  nn  1      k ...     n   n    2  1         t         t 1     .    k  k 1  n  k  n     n  k  1  t  2k     k ...    nn  1     t 1        1  k 1  n  1      1 n       1  1  nn  1       k ...    n   n    2  1          t     t 1 . (4.19). ( 4.20 ). Alt sınırlar için 1  k    n  1 dir.[10]. S  1,2,..., n. Teorem 4.7. tipindeki. pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n. matrisi S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen  GCD . S   i, j . matrisi (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n S matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 ve. 1  k    n olmak üzere Sonuç 3.3 den, n  1  2. kk. 1 n.     t  k  1. k 1. n   2. n 1. t 1.  k  ...    . 1 n.   t  t 1.   11  n  .         k  1n  1    2  .   k  ...   .   2. n 1. (4.21).

(31) 24.     n 1   k   k  1  nn  1 1 k n   n   k  ...     k 1    n  k 1 2  k  1  2    t      t 1      1 n 1 1    1  n    k  ...       k  1 n       2     t     t 1   dir.[10]. (4.22 ).

(32) 25. Örnek:. S  1,2,...8. kümesi üzerinde tanımlanan 8  8 tipindeki GCD. matrisi. 1 1  1  1 A 1  1 1  1. 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 3 1 1  2 1 4 1 2 1 4 1 1 1 5 1 1 1  2 3 2 1 6 1 2 1 1 1 1 1 7 1  2 1 4 1 2 1 8 . dir. A matrisi için. trA . 1  15.242  2  6.8284 3  5.7279  4  4.4033 5  1.7081 6  1.1716 7  0.7132 8  0.2049. nn  1 8.9   36 2 2. trA 2  336. det A  768. Şimdi bu değerlere göre  k ...l tablosunu yapalım:. k  1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 15.242 104.07 596.15 2625.0 4483.8 5253.2 3746.6. 8 768. 2 3 4. 6.8284 39.112 172.22 294.17 344.65 245.80 50.366 5.7279 25.221 43.081 50.473 35.997 7.3759 4.4033 7.5212 8.8119 6.2846 1.2877. 5 6 7 8. 1.7081 2.0012 1.4272 0.2924 1.1716 0.8355 0.1712 0.7132 0.1461 0.2049.

(33) 26. GCD matrisine  k ...l için alt değer sınırlarını hesaplayalım: (4.17) k  1 2 3 4. 1. 2. 3. 4. 2.2944 5.2642 12.078 27.712 0.1462 0.3355 0.7697 0.0372 0.0855 0.0160. 5. 6. 7. 8. 63.583 1.7661 0.1962 0.0367. 145.88 4.0552 0.4502 0.0844. 334.72 9.2977 1.0330 0.1937. 767.98 21.332 2.3703 0.4444. 5 6 7. 0.0096 0.0222 0.0510 0.1170 0.0075 0.0172 0.0396 0.0071 0.0164. 8. 0.0080. (4.19) k 1 2 3  1 1.0625 2.4378 5.5916 2 0.1816 0.4167 3 0.0510 4 5 6 7 8. 4. 5. 6. 7. 8. 12.829 29.436 67.538 154.96  0.9562 2.1939 5.0337 11.549  0.1170 0.2686 0.6163 1.4141  0.0184 0.0423 0.0972 0.2231  0.0071 0.0163 0.0374  0.0020 0.0047  1.1356  . (4.20) k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1. 2. 3. 4. 2.0839 4.3426 9.0497 18.858 1.5970 2.5505 4.0734 1.2167 1.4804 0.8746. 5. 6. 7. 8. 39.299 6.5054 1.8012 0.7650. 81.897 10.389 2.1916 0.6691. 170.66 16.592 2.6666 0.5852.    . 0.5414 0.2932 0.1587  0.2222 0.0493  0.0161  .

(34) 27. (4.15) ve (4.16) k. 1. . 2. 3. 4. 5. 6. 7 8. 1 2 3. 6.2627 17.142 30.982 27.497  6.8409   2.7372 4.9472 4.3906  1.0923   1.8074 1.6040  0.3990  . 4 5 6 7. 0.8875  0.2207    0.2487       . 8. . GCD matrisine  k ...l için üst sınırları hesaplayalım (4.17) k  1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 36. 324. 1728. 6561. 19349. 46656. 95154. 168151. 41472 18075. 73287 31941.8. 2 3. 141.21 753.13 2859.5 8433.1 20334.6 328.24 1246.3 3675.5 8862.7. 4 5 6. 543.19 1601.9 698.2. 3862.7 1683.5 733.76. 7878 13921.6 3433.6 6067.6 1496.5 2644.5. 7 8. 652.24. 1152.6 502.353. (4.19) k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1 28.981. 2. 3. 4. 5. 6. 7 8. 236.7 1500.2 8933.3 69984 103.16 653.86 3893.5 30502 284.98 1696.9 13294 739.61 5794. 2947414 1284609 559887 244023.    .    . 2525.2. 106355 46354.       .

(35) 28. (4.20) k  1 2 3. 1 28.981. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 236.7 1500 8933.3 69984 2947414   15.385 131.05 918.88 7516.2 246150   11.447 94.515 807.23 20557  . 4 5 6 7. 9.7219 86.696 9.3110. 1716.8 143.37 11.974.    . 8.     . (4.15)ve (4.16)dan k  1. 1. 2. 3. 16.838 211.77 2227.8. 2 3. 4. 5. 6. 8. 20415 165614 1191100 7458672 20414386. 12.577 132.31 1212.4 9835.7 10.520 96.401 782.04. 4 5. 7. 9.1636. 74.338 8.1124. 6 7 8. 70738 5624.4. 442966 35220. 1212399 96398. 534.64 58.344. 3347.9 365.35. 9163.3 999.9. 7.192. 45.03 6.262. 123.2 17.139 2.737. GCD matrisinde  k  ...  l değerlerinin tablosunu yapalım k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 15.242 22.074 27.7983 32.2016 33.9097 35.0813 35.7945 35.9994 6.8284 12.556 16.959 18.667 19.8393 20.5525 20.7574 5.7279 10.1312 11.8393 13.0109 13.7241 13.929 4.4033 6.1114 7.283 7.9962 8.2011 1.7081. 2.8797 1.1716. 3.5929 1.8848 0.7132. 3.7978 2.0897 0.9181 0.2049.

(36) 29. GCD matrisine  k  ...    için alt değer sınırlarını hesaplayalım: (4.18) k. 1.  1 2 3. 2. 3. 4. 5. 6. .  .   . 7 8.   . 4.251 2.3396 1.0233. . 0.2566 0.008. (4.21) k. 1. . 2. 3. 4 5. 6 7. 8. 1.        . 2 3.             . 4 5.         . 6 7 8.      . (4.22) k . 5 6 7 8. 8.    0.3552 4.855 9.355 13.855 18.355     1.838 6.338 10.838     2.4282 6.928. 4 5 6. 1 2 3 4. 7. 1. 2. 3. 4 5.          .    . 6 7. 8.    .    .    .          .

(37) 30. (4.11), (4.12) ve (4.16) dan k  1 2 3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 6.262 12.525 18.788 25.05 27.788 30.525 33.262 36 2.737 5.474 8.211 10.949 13.686 16.423 19.161 1.807 3.614 5.422 7.229 9.037 10.844. 4 5 6 7 8. 0.887. 1.775 . 2.662  . 3.550   . 4.437    . GCD matrisinde  k  ...  l değerleri için üst sınırları bulalım (4.18) k 1 2 3  1 25.161 29.071 31.748 2 24.571 27.248 3 22.748 4 5 6 7 8. 4. 5. 6. 7. 33.660 34.976 35.743 35.991. 8 36. 29.160 30.476 31.243 31.491 31.5 24.660 29.976 26.743 26.991 27 20.160 21.476 22.243 22.491 22.5 16.976 17.743 17.991 18 13.243 13.491 13.5 8.991 9 4.5. (4.21) k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1 1365.3. 2. 3. 4. 5. 6. 2304 3236.3 4166.6 5096 6025 2299.5 3231.8 4162.1 5091.5 6020.5 3227.3 4157.6 5087 6016 4153.1 5082.5 6011.5 5078. 7. 8. 6953.6 7882 6949.1 7877.5 6944.6 7873 6940.1 7868.5. 6007 6935.6 7864 6002.5 6931.1 7859.5 6926.6 7855 7850.5.

(38) 31. (4.22) k . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1 2 3. 1365.3 2304 3236.3 4166.6 5096 6025 6953.6 7882 1152 2157.5 3125 4076.8 5020.8 5960.2 6896.8 1078.7 2083.3 3057.6 4016.6 4966.8 5911.5. 4 5 6 7. 1041.6 2038.4 3012.5 3973.5 4926.3 1019.2 2008.2 2980.1 3941 1004.1 1986.7 2955.7 993.37 1970.5. 8. 985.2. (4.13), (4.14) ve (4.16) dan k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 16.838 25.155 31.562 36.654 40.562 43.155 43.838 12.577. 36. 21.041 27.491 32.449 35.962 37.576 29.737 10.520 18.327 24.337 28.770 31.313 23.474 9.163. 16.224 21.577 25.050 17.211 8.112 14.385 18.788 10.949 7.192. 12.525 6.262. 8.211 5.474 2.737. Bu örnekte n=8 için GCD matrisinin özdeğerleri için sınırlar incelenmiştir. R.Kumar (1984) ,(Merikoski ve Virtanen 1997)ve (Wolkowicz ve Styan 1980). sınırları. karşılaştırılmıştır. Altları çizilmiş olan değerler sınırlar için en yakın değerlerdir..

(39) 32. 5. GCD-RECIPROCAL LCM MATRİSLERİNİN ÖZDEĞERLERİ İÇİN SINIRLAR. Teorem 5.1. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. A   i, j    i, j  . matrisi S kümesi üzerinde GCD-reciprocal LCM matrisi. (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n A matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 ve. 1  k  n olmak üzere Teorem 3.1 den   k  k n J t   1  2  ...  k  n  n  k     2 2    n  t 1 t   . ( n  k 1 ... n ). 1k.  n J t      2 2   t 1 t .  n  k    n  k 1 ... n     n  n 1. n.  t 1. (5.1). 1n 1k.  1 2 ... k . . 1  ... k k.  n  k 1  ...   n   ...   k 1 1 k k. ( n  k 1 ... n )1 k .  n 1     n . 1 n  k . J 2 t  t2. nk. n.  k 1. J 2 t  t2.  n J t     n    2 2   t 1 t .  1 n J t   n  n  1  2 2   n t 1 t . 1  n 1. (5.2). (5.3). (5.4) 1n.   1  1        . (5.5). dir.[8]. Teorem 5.2. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n.  i, j    tipindeki A    i, j  . matrisi S kümesi üzerinde GCD-reciprocal LCM matrisi.

(40) 33. (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n A matrisinin özdeğerleri ve 1   2  ...   n  0 olmak. üzere Teorem 3.2 den,.    k 1 n  k    1  1  n    1 ...k   n  J 2 t   n  k  k  1       2   t 1 t     2 n 1    1  1  n    1   n  J 2 t   n  1  2     2    t 1 t . 1  n  k 1. 1 k  n  2. (5.6). 1 k  n  2. (5.7). 2  k  n 1. (5.8). 1 n  2 .  n J 2 t  n  k  1  n  k 1   n  k 1 ...n   k  2    t 1 t   n   . k  k 1. dir.[10]. Teorem5.3. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. A   i, j    i, j  . matrisi S kümesi üzerinde GCD-reciprocal LCM matrisi. (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n. A. matrisinin. özdeğerleri,. 1   2  ...   n  0. ve. 1  k  n olmak üzere Teorem 3.3 den. 1   2  ...   k . k  1 1 n J 2 t  kk  t2 t 1. k 1.  n     n 1. n  k 1. n  k  1 1  n  k 1  ...   n  n  n J 2 t  n  k n  k  t2 t 1 dir.[10]. n 1. ( 5.9).  n     n 1. n 1. ( 5.10).

(41) 34. Teorem 5.4. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. A   i, j    i, j  . matrisi S kümesi üzerinde GCD-reciplocal LCM matrisi. (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n A matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 olmak. üzere Teorem3.4 den.  1   2  ...   k  k 1  . 1 trA 2  n n  1n. . 1   2  ...   k  k  n  k    n  k 1  ...   n  k 1  . . . n 2. ( 5.11 ). . k. n 2. ( 5.12).  . k. . 1 trA 2  n n  1n. . k. . 1 trA 2  n n  1n. 1 trA 2  n n  1n.  n  k 1  ...   n  k  n  k .  . . k. n 2. ( 5.13). n 2. ( 5.14).  1 trA 2  n  n  1n     1 2 n  1  trA  n   n  1n. . 1  1 . . . 1. 1. dir.[9]. . k 1 1 trA 2  n   k  1  n  k 1 n. . ( 5.15). .   ...    k 1 1 trA 2  n  k 1 n  k 1 n  k 1. . .      n1 trA 2  n    n. nk 1 trA 2  n k n. . . . . (5.16).

(42) 35. Teorem 5.4. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. A   i, j    i, j  . matrisi S kümesi üzerinde GCD-reciprocal LCM matrisi. (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n A matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 ve. 1  k    n olmak üzere Sonuç3.1 den,.  k  1     n . k 1.  n J 2 t     2   t 1 t . n.     1 n     k ...    n     J t   2  2   t 1 t .  k 1 n. (5. 17).     1  n  k  ...      n  t 1 t   n      1 n       n J 2 t     k 1 1  n  n      2   n     n  t 1 t   1  n  k 1. k 1 n n  k  1  k  1   J 2 2t  . (5.18). dir.[8]. Teorem 5.5. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. A   i, j    i, j  . (n  2) olsun.. matrisi S kümesi üzerinde GCD-reciprocal LCM matrisi. 1 ,  2 ,...,  n. 1 k   n  2 olmak üzere Sonuç 3.2 den,. A. matrisinin. özdeğerleri. 1   2  ...   n  0 ,.

(43) 36.    1  n  k  k n  k 1    n J t   1 k n 1      2  n  k  1 k      ...    k    t 1 t 2     n            1  n  k   k 1 n  n  1         1 n    1  n     1      k ...     n          J t n     1        2   2   t 1 t     .    k  k 1  n  k  n      J t k  n  k  1 2      k ...   2  t  n   t 1      1  k 1 n  1       1 n      1  n    1     k ...    n   J 2 t   n      1      2    t 1 t  . ( 5. 19). ( 5.20). Alt sınırlar için 1  k    n  1 dir.[10]. Teorem 5.6. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. A   i, j    i, j  . matrisi S kümesi üzerinde GCD-reciprocal LCM matrisi. (n  2) olsun. 1 ,  2 ,...,  n A matrisinin özdeğerleri, 1   2  ...   n  0 ve. 1  k    n olmak üzere Sonuç3.3 den,.

(44) 37. 1 kk  n   n  k 1  J 2 t  k  1  n  1   t2 t 1.   1 1  k  ...     n J 2 t    t2 t 1. n 1. 1.         k  1   .   k  ...   .  n     n  1. n 1.     n 1   k  k 1  1 k  n   n n   k  ...       J 2 t  k  1k 1  n  1    n  k 1     2 t t 1      1 n 1 1    1  n    k  ...       k  1 n      J 2 t      n  1    2 t t 1  . dir.[10]. (5 .21 ). (5.22).

(45) 38. Örnek: S  1,2,...8. kümesi üzerinde tanımlanan 8 8 tipindeki GCD-Reciprocal. LCM matrisi, 1  1 2 1  1 2 1 1 3 6 1 1  A  4 2 1 1  5 10 1 1  6 3 1 1  7 14 1 1  8 4. 1 3 1 6 1 1 12 1 15 1 2 1 21 1 24. 1 4 1 2 1 12 1 1 20 1 6 1 28 1 2. 1 5 1 10 1 15 1 20 1 1 30 1 35 1 40. 1 6 1 3 1 2 1 6 1 30 1 1 42 1 12. dir. A matrisi için. 1  2.4167  2  1.3441 3  1.0883  4  0.9726 5  0.7955 6  0.6368 7  0.4369 8  0.3088. trA  n  8. trA 2  11.138. n. det A   i 1. J 2 i  288  1225 i2. 1 7 1 14 1 21 1 28 1 35 1 42 1 1 56. 1 8 1  4 1 24  1  2 1 40  1  12  1 56   1 .

(46) 39. GCD-Reciprocal LCM matrisi için  k ...l değerler tablosunu yapalım: k 1 2 3 4 5 6 7  1 2.4167 3.2482 3.535 3.438 2.725 1.735 0.758. 8. 0.314 0.234. 0.234 0.097 0.072. 4 5 6. 0.9726 0.7737 0.4926 0.215 0.7955 0.506 0.221 0.6368 0.2782. 0.066 0.068 0.085. 7 8. 0.4369. 0.134 0.3088. 2 3. 1.3441. 1.462 1.422 1.0883 1.0584. 1.131 0.842. 0.720 0.536. Önce GCD-Reciprocal LCM matrisinde  k ...l için alt sınır değerlerini inceleyelim: (5.17). k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1. 2. 3. 4. 0.834 0.696 0.581 0.484 0.087 0.072 0.060 0.036 0.030 0.025. 5. 6. 7. 8. 0.404 0.050 0.025 0.021 0.025. 0.337 0.042 0.021 0.017 0.021 0.032. 0.281 0.035 0.017 0.014 0.017 0.026 0.050. 0.234 0.029 0.014 0.012 0.014 0.022 0.041 0.092. 5. 6. 7. (5.19). k  1 2 3 4 5. 1. 2. 3. 4. 8. 0.678 0.566 0.472 0.394 0.329 0.274 0.229  0.208 0.174 0.145 0.121 0.101 0.109 0.091 0.076 0.063 0.078 0.065 0.054 0.069 0.057. 0.084 0.053 0.045 0.048.    . 6 7. 0.068 0.053  0.040 . 8. .

(47) 40. (5.20). k. 1. . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1 2. 0.813 0.661 0.537 0.437 0.355 0.289 0.235  0.684 0.468 0.320 0.219 0.150 0.102 . 3 4 5. 0.594 0.353 0.210 0.125 0.743  0.520 0.271 0.141 0.073  0.447 0.200 0.089 . 6 7 8. 0.354 0.125  0.184  . (5.15) ve (5.16)dan. k . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1 1.236 0.943 0.601 0.309 0.115 0.022   2 0.763 0.486 0.250 0.093 0.017   3 0.638 0.327 0.122 0.023   4 0.514 0.191 0.036   5 0.373 0.071   6 0.191   7   8  GCD-Reciprocal LCM matrisinde  k ...l için üst sınır değerlerini hesaplayalım: (5.17) k 1  1 8. 2 3 4 5. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 16. 18.962. 16. 10.485. 5.818. 2.546. 1. 19.174 22.724 19.174 12.565 6.733 27.232 22.977 15.058 8.068 27.535 18.045 9.669 21.625 11.587. 3.051 3.657 4.382 5.251. 1.198 1.436 1.720 2.062. 6 7. 13.886 6.293 2.471 7.542 2.961. 8. 3.551.

(48) 41. (5.19). k. 1. . 2. 3. 4. 1 2. 3.339 5.314 6.146 5.856 6.368 7.365 7.018. 3 4 5. 8.826 8.410 10.07. 5. 6. 7 8. 5.286 6.334. 6.895 8.263.    . 7.591 9.902   9.097 11.867   10.902 14.221  . 6 7 8 (5.20). k l. 17.041     . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 8. 1 2. 3.339 5.314 6.146 5.856 5.286 6.895   2.305 3.355 3.764 3.788 4.998  . 3 4 5. 1.831 2.420 2.715 3.622   1.555 1.946 2.625   1.395 1.903  . 6 7 8. 1.379     . (5.15) ve (5.16). k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.657 5.537 10.011 16.278 24.173 32.899 40.664 31.026 2.084. 3.767 1.808. 6.126 2.939 1.626. 9.097 4.365 2.414 1.485. 12.382 15.304 11.677 5.941 7.343 5.603 3.286 4.061 3.099 2.021 2.498 1.906 1.361. 1.682 1.236. 1.283 0.943 0.763.

(49) 42. GCD-Reciprocal LCM matrisi için  k  ...  l tablosunu hesaplayalım:. k. 1.  1. 2. 3. 4. 5. 6. 2.4167 3.7608 4.8491 5.8217 6.6172. 7. 7.254. 8. 7.6909 7.9997. 2 3. 1.3441 2.4324 3.405 4.2005 4.8373 5.2742 5.583 1.0883 2.0609 2.8564 3.4932 3.9301 4.2389. 4 5. 0.9726 1.7681 2.4049 2.8418 3.1506 0.7955 1.4323 1.8692 2.178. 6 7 8. 0.6368 1.0737 1.3825 0.4369 0.7457 0.3088. GCD-Reciprocal LCM matrisinde  k  ...  l için alt sınırları hesaplayalım: (5.18). k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6.  0.657 1.657 2.657 3.657 4.657   0.229 1.229 2.229    0.969   0.077   . 7. 8. 5.657 3.229 1.969 1.077 0.392  . 6.657 4.229 2.969 2.077 1.392 0.845 0.409 0.092. 7. 8. (5.21). k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6.  0.526 1.526 2.526 3.526 4.526 5.526 6.526 .  .   .    . 0.105 1.105 2.105        .   .    .

(50) 43. (5.22). k . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1. 0.815 1.631 2.447 3.263 4.079 4.894 5.710 6.526. 2 3 4. 0.300 0.601 0.902 1.203 1.504 1.804 2.105           . 5 6 7 8 (5.11), (5.12) ve (5.16) k  1 2 3 4 5 6 7 8. 1. 2. 3. 4. 1.236 2.473 3.710 4.946 0.763 1.526 2.289 0.638 1.276 0.514. .  .   .    . 5. 6. 7. 8. 5.710 3.053 1.915 1.029 0.373. 6.473 3.816 2.553 1.544 0.747 0.191. 7.236 4.579 3.192 2.059 1.121 0.382 . 8 5.342 3.830 2.574 1.494 0.574  . GCD-Reciprocal LCM matrisinde  k  ...  l için üst sınır değerlerini hesaplayalım: (5.18). k  1 2 3 4 5. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 3.770 5.0305 5.922 6.607 7.154 7.590 7.907 8 4.0305 4.922 5.607 6.154 6.590 3.922 4.607 5.154 5.590 3.607 4.154 4.590 3.154 3.590. 6.907 5.907 4.907 3.907. 7 6 5 4. 6 7. 2.590 2.907 3 1.907 2. 8. 1.

(51) 44. (5.21). k . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1. 5.894 9.946 13.971 17.987 22 26.01 30.019 34.027. 2 3 4. 8.946 12.971 16.987 21 25.01 29.019 33.027 11.971 15.987 20 24.01 28.019 32.027 14.987 19 23.01 27.019 31.027. 5 6 7 8 (5.22) k  1 2 3 4 5 6 7 8. 18 22.01 26.019 30.027 21.01 25.019 29.027 24.019 28.027 27.027. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 5.894 9.946 13.971 17.987 22 26.01 30.019 4.973 9.314 13.490 17.6 21.675 25.731 4.657 8.993 13.2 17.340 21.442 4.496 8.8 13.005 17.154 4.4 8.670 12.865 4.335 8.577 4.288. 8 34.027 29.774 25.520 21.267 17.038 12.760 8.5069 4.2534. (5.13), (5.14), ve (5.16). k  1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2.657 4.169 5.425 6.505 7.425 8.169 8.657. 8 8. 2 3 4. 2.084 3.617 4.878 5.940 6.807 7.420 6.763 1.808 3.252 4.455 5.446 6.183 5.526 1.626 2.970 4.084 4.946 4.289. 5 6 7 8. 1.485. 2.723 3.710 3.053 1.361 2.473 2.289 1.236 1.526 0.763.

(52) 45. Bu örnekte n=8 için GCD-Reciprocal LCM matrisinin özdeğerleri için sınırlar incelenmiştir. R.Kumar (1984) ,Merikoski ve Virtanen (1997)ve Wolkowicz. ve. Styan (1980) sınırları karşılaştırılmıştır. Altları çizilmiş olan değerler sınırlar için en yakın değerlerdir..

(53) 46. 6.SONUÇ VE ÖNERİLER. Bu çalışma, derleme olarak yapılmıştır. Bu çalışmada GCD matrisleri ve GCD-reciprocal LCM matrislerinin yapısı çarpan kapalı. S  1,2,..., n kümesi üzerinde incelenmiştir. Bu matrislerin. determinantları sırasıyla, Euler’in toplam fonksiyonu ve Jordan’ın toplam fonksiyonu cinsinden hesaplanmıştır. A  a ij   C nn. 1   2  ...   n  0. (n  2) şeklinde verilen bir A matrisinin özdeğerleri olmak üzere trA , det A , trA 2 , n, k, l kullanılarak. 1 ... k ,  n  k 1 ... n , 1   2  ...   k. ve  n  k 1  ...   n (1  k    n ) ile ilgili. sınırlar verilmiştir.. S  1,2,..., n pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki. A   i, j    i, j  . matrisi S kümesi üzerinde GCD-reciprocal LCM matrisi,  S  i, j . matrisi S kümesi üzerinde GCD matrisi, olmak üzere, bu sınırlarGCD ve GCDReciprocal LCM matrisine uygulanmıştır Çalışmada negatif elde edilen sınır değerleri alınmamıştır ve örneklerde “-” ile belirtilmiştir. Bu konuyla ilgili çalışmalarımız devam etmektedir. S 2 ve A 2 ( S 2 GCD matrisinin karesi ve A 2 GCD-Reciprocal LCM matrisinin karesi ) matrislerinin izlerinin formülüze edilmesi yeni çalışma sahaları oluşturabilir..

(54) 47. KAYNAKLAR. 1. Apostol T.M., An Introduction to Analytic Number Theory, 1st Ed. New York: SpringeVerlag, (1976). 2. Lütkepolhl Helmut, Handbook of Matrices, New York: John Wiley and Sons, (1996). 3. Marvin Marcus, Henryk Minc, A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities: Allyn and Bacon, (1964). 4. Beslin Scott and Ligh Steve, Greatest Common Divisor Matrices, Linear Algebra and Its Applications, 118:69-76 (1989). 5. Beslin Scott, Reciprocal GCD Matrices and LCM matrices, Fibonacci Quarterly, 29:271-274 (1991). 6. Long Calvin, Elementary Introduction to Number Theory, Boston: D.C. Heath and Company, (1967). 7. Siveramakrishnan R., Classical Theory of Arithmetic Functions, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol.126, Marcel Dekker, Inc. (1989). 8. Kumar R., Bounds for Eigenvalues .Thesis. Department of Mathematics, The University of Alberta, 1984. 9. Wolkowicz H. and Styan G.P.H., Bounds for Eigenvalues Using Traces, Linear Algebra Appl.29:471-506 (1980). 10. Merikoski Jorma Kaarlo and Virtanen Ari, Bounds for Eigenvalues Using Trace and Determinant, Linear Algebra Appl.264:101–108 (1997)..

(55) 48. 11. Merikoski Jorma Kaarlo, Bounds for Singular Values Using Traces. Linear Algebra Appl.210:227-254 (1994). 12. Taşçı D., Tuğlu N., On The LCM-Reciprocal GCD Matrices, Far East Journal of Mathematical Sciences, 6:91–95 (2002). 13. Nallı A., The Characterization of The GCD-Reciprocal LCM Matrix. Thesis Department of Mathematics, The University of Selcuk, (2003)..

(56)