Türev
Tanım:f:[a,b] R bir fonksiyon ve x
0Є(a,b) olsun.
Lim limitine (varsa) f
fonksiyonunun x
0noktasına türevi denir ve f’(x
0) ile
gösterilir.Bu limitin olması için:
Lim
x x
-0x
x
+0Olması gerekir.bu eşitliğin solundaki limite f
0 0) ( ) ( x x x f x f 0 0 0 0): lim ( ) ( ): ( ) (x f x x x f x f x x x f
Türev en basit şekliyle bir eğrinin eğimi olarak anlatılabilir.
Polinom - yani tamsayılardan oluşan denklemlerin türevlerinin bulunması çok kolaydır. Peki neden derslerde tahtalar dolusu işlemler yapılıyor, bunu açıklayalım.
Türev çok basit bir işlem olmasına rağmen, derslerde tam da türevin karmaşık olduğu noktalar işlenir -
fonksiyonun tanımsız olduğu noktada türevinin incelenmesi gibi.
Tahtalar dolusu yapılan işlemler ise değişik türlerdeki fonksiyonların türevlerinin bulunmasıdır. Fonksiyon çeşitleri o kadar fazladır ki bunların türevlerini bulmak da çok zor olacaktır.
Not:f`(x
+0)ile f`(x
-0)varsa ve
f`(x
+0)=f`(x
-0) ise f`(x
0) vardır ve
f`(x
0)=f`(x
+0)=f`(x
-0)dir.
Örnek:f(x)=x
2+x fonksiyonunu x=2 noktasındaki
türevini bulunuz?
Çözüm:
F`(2)=lim f(x)-f(2):x-2=lim x
2+x-6:x-2
Örnek: f(x)=(x-3).Ix-3I ise f fonksiyonunun
x=3 noktasındaki türevini bulunuz?
Çözüm:
Türevin Geometrik Anlamı:
f'(x) = lim(x-->x0) [f(x)-f(x0)]/[x-x0]
bu bize y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevini verir. bu ne demektir, bizim fonksiyonumuzun gösterdiği eğrinin o noktada (eğer bir limit varsa) eğimi f'(x)'dir.
f'(x) = lim(x-->x0) [f(x)-f(x0)]/[x-x0]
bu bize y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevini verir. bu ne demektir, bizim fonksiyonumuzun gösterdiği eğrinin o noktada (eğer bir limit varsa) eğimi f'(x)'dir
Teğet değme noktasında dik olan doğruyanormal
denir.m
teğet.m
normal=-1 dir.
Örnek:f(x)=x2 eğrisinin x=1 noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. Çözüm: mt= f‘(1)=lim f(x)-f(1):x-1 =lim x2-1:x-1=lim (x-1).(x+1):x-1 =lim (x+1)=2 olur.
Örnek:f:R R f(x)=Ix-2I fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulunuz.
Çözüm: f‘(2+)=lim f(x)-f(2):x-2=lim (x-2)-0:x-2=1
f‘(2-)=lim f(x)-f(2):x-2=lim (x-2)-0:x-2=1
İşaret fonksiyonun türevi:
y=sgnf(x)fonksiyonun türevi varsa sıfırdır.
Örnek:f(x)=sgn(x-5) fonksiyonunun x=5,x=-8 için
türevini bulunuz.
Çözüm:
x=5 için f fonksiyonu süreksiz olduğundan f‘(5)
yoktur.
5>x ise x-5<0 ve f(x =sgn(x-5)=-1 dir
Buradan f‘(x)=0ve f‘(-8)=0 olur.
Türev alma kuralları:Fonksiyonların türevlerini türev
tanımına göre bulmanın uzun işlemler olduğun
gördük.türevleri daha kolay bulmak için :
1.Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır.cЄR ise (c)`=0 dır.
2.n Є R için (ax
n)`=nax
n-13.toplamın türevi:
[f(x)+g(x)-h(x)]` = f‘(x)+ g‘(x)- h`(x)
bir toplamın türevi,terimlerin türevleri toplamına
eşittir.
5. [f
n(x)]`=n.f
n-1(x).f`(x)
6.Bölümün türevi:
[f(x):g(x)]`=f`(x).g(x)-g`(x).f(x):g
2(x)
7. ( ) `=1:2
8. ` =u`(x):2
x
x ) (x u u(x)Örnek: f(x)=x.g(x),g(2)=4 ve g’(2)=3 olduğuna
göre f’(2)=?
Çözüm:
F(x)=x.g(x) ise f’(x)=1.g(x)+g’(x).x ve
f’(2)=g(2)+g’(2).2=4+6=10 dur.
Uyarı: f fonksiyonu x=-1 de süreksiz olduğundan
türevi yoktur.Bu nedenle f’ fonksiyonu x=-1 de
tanımsızdır.
Mutlak değer fonksiyonunun türevi:y=|g(x)|
fonksiyonunu parçalı biçimde yazdıktan sonra
her dalın ayrı ayrı türevi alınır.g(x)=O için türev
ayrıca araştırılır.
y=|g(x)|={g(x),g(x)0 –g(x),g(x)0
Örnek: f:R R , f(x)=|5-x|+2 olduğuna göre
f(2)+f’(7)’nin değeri nedir?
Çözüm: x>5 için 5-x<0 ise |5-x|=-5+x ve
f(x)=-5+x+2=x-3 dir.Buradan f’(x)=1 ve f’(7)=1
bulunur.
Diğer taraftan f(2)=|5-2|+2=5 ve f(2)+f’(7)=
5+1=6 olur.
Uyarı:x=a için türevsiz olan bir fonksiyonu başka
bir fonksiyonla çarpımı türevli olabilir.
Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuramı):)
y=f( u)
u=g(x) ise y=f[g(x)]=(fog)(x) dir.
dy:dx=dy:du.du:dx=f’(u).g’(u)
Yani (fog)’(x)=f’[g(x)].g’(x)’dir.
Eğer,
y=f(u),u=g(t),t=h(x) olsaydı;
Örnek:f( x)=g(x
3+2),g’(10)=6 ise f’(2) değerini
bulunuz.
Çözüm: f’(x)=g’(x
3+2).(x
3+2)’
f’(x)=g’(x
3+2).3x
2olur.Burada x=2 yazalım.
Ters fonksiyonun türevi:AR,BR ve f:A
B fonksiyonu birebir örten olsun.f
fonksiyonu x
0A noktasında türevli ve
f’(x
0)0 ise
f
-1:B A fonksiyonu da x
0ın f altında olan
y
0noktasında türevlidir ve
(f
-1)’(y
0)=1/f’(x
0)dır.
Örnek:f:[2,+) [3,+),f(x)=x
2-4x+7
olduğuna göre f
-1fonksiyonunun y
1
=4
noktasındaki türevini bulunuz.
Çözüm: f,bire bir ve örten olduğundan tersi bir
fonksiyondur.Bu ters fonksiyonu bulmadan da
türevini bulabiliriz.Görüntüsü 4 olan elemanı
bulmak için,
y= f (u)
U = u(x) olmak üzere
1. F(x) = sin u f ’ (x) = cos u 2. F(x) = cos u f ’ (x) = -sin u
3. F(x) = tan u f ’ (x) =(1+tan2u).u ‘ =u ‘ / cos2u = u’
sec2u
4. F(x)=cotan u f ’(x) = - (1+cotan2u).u=-u’ / sin2u =
u’ cosec2u
ÖRNEK: y=sinx y’ = cosx.1
y=sin(x2+x) y’ = cos(x2+x).(2x+1)
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
1. F(x)=y=arcsinx fonksiyonu
f:[-1,1] [-/2 , /2], ve arcsinx dir. (f(x) ark sinx diye okunur ve sinüsü x olan yayın ölçüsü y’dir denir. f(x) =arcsinx x=siny dir.
f(x) =arcsinx f ‘ (x)=1/ 1-x2 dir.
2. F(x) =arccosx fonksiyonu f(x)=arccosx x =cosy
f(x) =arc tanx f ‘ (x)=1/ 1+x2 dir.
4. 3.f(x)=arccotanx fonksiyonu
f(x) =arccotanx x=cotany dir.
f(x) =arc cotanx f ‘ (x)=-1/ 1+x2 dir.
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ
1. (ln x)’ = 1/x, (ln f(x))’ = f ’(x) / f(x)
2. 2. (logax)’ = (1/In a).(1/x), (log a f(x))’ = (1/In a) .
[f’(x)/f(x)]
ÖRNEK: y = ln (x2+5) olduğuna göre, dy/dx türevini
hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
f(x) = log10(x2+1) olduğuna göre f ’(x) türevini
hesaplayınız. ÇÖZÜM:
f ’(x) = (log10(x2+1))’ = (1 /In 10) [(x2+1)’ /(x2+1)]
= log10 e 2x / x2+1
ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ
1. (ex)’ = ex, (e f(x) )’ = e f(x) .(f(x))’
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (e tan x )’ = (tan x)’ . e tan x = (1+tan2x) . e tan x
olduğundan
f ’() = (1+tan2) . e tan = (1+02) . e0 = 1.1 = 1’dir
ÖRNEK:
a)(3 x)’, (32x+1 )’ türevlerini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
a) (3x)’ = 3x . ln3
YÜKSEK SIRADAN TÜREVLER (ARDIŞIK TÜREVLER) f : A R , xy = f(x) fonksiyonunun 1. türevi, y’ = f ’(x) 2. türevi, y” = (f ’(x))’ = f ”(x) 3. türevi, y’” = (f ”(x))’ = f ’”(x) 4. türevi, y(4) = (f ’”(x))’ = f (4) (x) ... n. türevi, y(n) = (f ( n-1) (x))’ = f ( n) (x)
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (2x3 – x2 + 5x – 8)’ = 6x2 – 2x + 5
f ”(x) = (6x2 – 2x + 5)’ = 12x –2
KAPALI OLARAK TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
f(x,y) = 0 kapalı ifadesinden y = g(x) denklemi ile bir fonksiyon tanımlanabiliyorsa, bu şekilde tanımlanan fonksiyona, kapalı olarak tanımlı fonksiyon denir. f(x,y) = 0 eşitliğinden dy/dx türevi hesaplanırken x değişken, y de x’in görüntüsü olarak düşünülür. Her
terimin x değişkenine göre türevi hesaplanarak yx’= dy/dx
ÖRNEK:
x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesi veriliyor. y’=
dy/dx türevini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesinin her teriminin
x’e göre türevi hesaplanarak,
(3x2y2 + x3 .2y.y’) – (y3 + x.3y2y’) – 5 + y’ +0 = 0
y’ = (-3x2y2 + y3 + 5) / (2x3 y – 3xy2 +1) bulunur.
Bu türev ifadesi y’x = y’t / x’t biçiminde de yazılır.
TÜREVİN LİMİT HESABINA UYGULANMASI (L’HOSPİTAL KURALI)
limx X0 f(x)/g(x) limitinde 0/0 ya da /
belirsizliği varsa, genellikle limx X0 f ’(x)/g(x) dir.
(L’Hospital Kuralı)
ÖRNEK:
limx2 (x2 + x – 6) / (x5 – 32) limitini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
0/0 belirsizliği var. limx2 (x2 + x – 6)’ / (x5 – 32)’ =
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
x0 noktasındaki türevi f fonksiyonunun A=(x0,f(x0))
noktasındaki teğetinin eğimi
m= tan = f ’(x0) dır.
A=(x0,f(x0)) noktasındaki teğetin denklemi:
y-f(x0)=f ’(x0).(x-x0) olur.
ÖRNEK:
f(x) = -x2+x+6 ile tanımlı f fonksiyonunun apsisi x
0=2 olan
teğetinin ve normalinin denklemini yazınız.
ÇÖZÜM:
f fonksiyonunun grafiğine ait ve apsisi x0=2 olan noktanın ordinatı,
y0 = f(x0) = f(2) = -(2)2+2+6 = 4’tür.
Öyleyse teğetin değme noktası (2,4)= noktasıdır.
f ’(x) =-2x + 1 olduğundan teğetin eğimi; m = f ’(x0) = f
’(2) = -2.2+1 = -3’tür.
Bir noktası ve eğimi bilinen teğetin denklemi,
y- f(x0) = f ’(x0).(x-x0) y – 4 = -3(x – 2) y = -3x + 10
olur.
Normalin eğimi –1/f ’(x0) = 1/-3 = 1/3 olduğundan,
normalin denklemi; y – 4 = 1/3 (x – 2) 1/3 x + 10 /3 olur.
ARTAN YADA AZALAN FONKSİYONLAR TANIM:
A B olmak üzere f : AR fonksiyonunda
1) x1, x2 [a,b] için x1 < x2 f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu [a,b] aralığında artan fonksiyondur.
2) x1, x2 [b,c] için x1 < x2 f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu [b,c] aralığında azalan fonksiyondur.
3) x [c,d] için f(x) = k (sabit) ise f fonksiyonu [c,d] aralığında sabit fonksiyondur.
1. x (a,b) için f ’(x) > 0 f , (a,b) aralığında artan 2. x (b,c) için f ’(x) < 0 f , (b,c) aralığında azalan 3. x (c,d) için f ’(x) = 0 f , (c,d) aralığında sabit
ÖRNEK:
f(x) = -x3 + 12x ile tanımlı f : R R fonksiyonunun artan
yada azalan olduğu aralıkları belirtiniz.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = -3x2 + 12 olduğundan f ’(x) = 0 -3x2 + 12 = 0
x = -2 V x = 2
x - -2 2 + f ’ - + -
f ’ türev fonksiyonunun işaret durumu yukarıdaki tabloda gösterilmiştir.
(- , -2) aralığında f ’ < 0 olduğundan, f fonksiyonu azalandır.
(-2 , 2) aralığında f ’ > 0 olduğundan f fonksiyonu artandır.
(2 , +) aralığında f ’ < 0 olduğundan f fonksiyonu azalandır.
TÜREV VE YEREL EKSTREMUM NOKTALARI TANIM:
f fonksiyonunun bir yerel minimum değeridir.
2) x2 (a,b) ; f(x2) > f(x) olacak biçimde en az bir
pozitif gerçel sayısı varsa, (x2, f(x2)) noktası f
fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasıdır. f(x2)
değeri, f fonksiyonunun bir yerel maksimum değeridir. Bir fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum
noktalarına, yerel ekstremum noktaları denir.
TEOREM:
f fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve x0 (a,b) olmak
üzere x0 noktasında bir yerel ekstremum değeri varsa f ’(x0)
BİRİNCİ TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELİRTİLMESİ
1. aA ve f ’(a) = 0 olmak üzere:
x (a-,a) için f ’(x) > 0 ise f fonksiyonu (a-,a) aralığında artandır.
x (a,a+) için f ’(x) < 0 ise f fonksiyonu (a,a+) aralığında azalandır.
a noktasında fonksiyonun yerel maksimumu vardır. 2. bA ve f ’(b) = 0 olmak üzere:
b noktasında fonksiyonun yerel minimumu vardır.
ÖRNEK:
f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile tanımlı f: RR fonksiyonunun yerel
ekstremum değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM:
f ’(x) = (x3 + 3x2 –1)’ = 3x2 + 6x
f ’(x) = 0 3x2 + 6x = 0
x = -2 V x = 0 buna göre f ’(-2) = 0 ve f ’(0) = 0 dır.
f ’(x) = 3x2 + 6x birinci türev ifadesinin işareti
x - -2 0 +
f ’(x)=3x2 + 6 + - +
artan azalan artan f ’(-2)=3 f(0)= -1
f fonksiyonu (- , -2) aralığında artan, (-2 , 0) aralığında azalan, (0,+) aralığında artandır.
x = -2 için fonksiyon yerel maksimum değerini alır.
Yerel maksimum değeri f(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 – 1 =
3’tür. x = 0 için fonksiyon yerel minimum değerini alır.
Yerel minimum değeri f(0) = 03+3.02 – 1 = -1’dir.
1. f ’(a) = 0 ve f ”(a) < 0 ise a noktasında f fonksiyonunun
yerel maksimumu vardır.
2. f ’(b) = 0 ve f ”(b) > 0 ise b noktasında f fonksiyonunun
yerel minimumu vardır.
Örneğin, yukarıdaki örnekteki f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile
tanımlı f fonksiyonunda:
f ’(x) = 3x2 + 6x
f ”(x) = 6x + 6
f ’(x) = 3x2 + 6x = 0 x = -2 V x = 0’dır.
f ’(-2) = 0 ve f ”(-2) = 6.(-2) + 6 < 0 olduğundan, x = -2 noktasında fonksiyonun yerel maksimumu;
f ’(0) = 0 ve f ”(0) = 6.0 + 6 = 6 < 0 olduğundan x = 0
noktasında fonksiyonun yerel minimumu olduğuna dikkat ediniz.
ÖRNEK:
f(x) = (x2 – mx – 3) / (x+2) ile tanımlı f fonksiyonunun x = 1
için yerel minimumu olduğuna göre, m’nin değeri nedir?
ÇÖZÜM:
x = -1 için f fonksiyonunun yerel minimumu olduğuna göre f ’(-1) = 0 olmalıdır.
f ’(x) = [(2x-m)(x+2)-1 . (x2-mx-3)] / (x+2)2 olduğundan
f ’(1) = [(2.1-m)(1+2) - (1-m.1-3)] / (1+2)2 = 0
FONKSİYONLARIN DEĞİŞİMLERİNİN
İNCELENMESİ VE GRAFİKLERİN ÇİZİMİ
GRAFİK ÇİZİMİNDE YAPILACAK İŞLEMLER:
1. Eğer fonksiyonun tanım kümesi belirtilmemişse, fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş küme belirtilir. 2. Fonksiyonun türevi hesaplanır. Türevin işaretine göre,
fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklar ve ekstremum noktaları belirtilir.
3. x - ve x + için fonksiyonun limiti bulunur. 4. Grafiğin X ve Y eksenlerini kestiği noktalar bulunur. 5. Asimptotlar (varsa) bulunur.
7. Değişim tablosunda özetlenen bilgiler, koordinat
sisteminde değerlendirilerek fonksiyonun grafiği çizilir.
ÖRNEK:
y = f(x) = [3x – 1] / [x + 2 ] ile tanımlı f: AR
fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM:
Tanım kümesi ve düşey asimptot:
x + 2 = 0 x = -2 olduğundan, fonksiyon x = -2 için tanımsızdır. Tanım kümesi A=R – {-2} dir.
ÖRNEKLER
x, x<2 ise
f(x) = 2, x=2 ise x0=2
4-x, x>2 ise
varsa x0 noktasındaki türevini bulunuz. Bu noktada f(x)
sürekli midir?
olur. olur. olduğundan türevlenemez.
Şimdi ise sürekliliğini araştıralım x=2 noktasındaki limitine bakalım
olduğundan fonksiyon x0=2 noktasında süreklidir. 2 ) 2 ( ) ( lim 2 x f x f x 2 1 2 lim 2 x x x 2 ) 2 ( ) ( lim 2 x f x f x 2 1 2 4 lim 2 x x x ) 2 ( 2 ) 4 ( lim ) ( lim ) 2 ( 2 lim ) ( lim 2 2 2 2 f x x f f x x f x x x x
SORU 2:
f(x)= |x| varsa x0 noktalarındaki türevlerini bulunuz. Bu
noktalarda f(x) sürekli midir. x0=2 ,
x0=2 noktasındaki türevine bakalım.
şimdi bu limitin varlığını araştıralım
0 ve -1
olduğundan x0=2 noktasında türevlenemez.
Şimdi ise x0= noktasındaki türevine bakalım.
olur 2 3 0 x 2 ) 2 ( ) ( lim 2 x f x f x 2 2 |] [| lim 2 x x x 2 2 |] [| lim 2 x x x 2 2 |] [| lim 2 x x x 2 3 ) 2 3 ( ) ( lim 2 3 x f x f x ) 2 3 ( ' 0 2 3 1 |] [| lim 2 3 f x x x
Sürekliliği
= ve
f(3/2)=[|3/2|] = 1 olduğundan x0=3/2 noktasında süreklidir.
SORU 3:
x= y+ arccoty y türevini bulunuz? ÇÖZÜM: 1-y=y’/1+y2 1-y+y2-y2y=-y y’ = -(1+y2) / y2 y=1+y-2 SORU 4:
exy-x2+y3=0 eşitliğinden y türevinin x=0 değerini bulunuz?
ÇÖZÜM : exy-x2+y3=0 eşitliğinden
y3=x2+exy
f(x)=y diyelim
y=f(x) olur. x=0 y=-1
) ( lim 2 3 f x x 1 |] [| lim 2 3 x x lim ( ) lim[| |] 1 2 3 2 3 x x f x x
f(0)=-1
3y2.y=2x-(exy) (exy) = y.exy
3y2.y=2x-y.exy
y= (2x-yxy) / 3y2 x=0 y=-1 için
y= 0 + 1.e0(-1)
y= 1 / 3 SORU 5: