• Sonuç bulunamadı

 TÜREV 06

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share " TÜREV 06"

Copied!
43
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Türev

Tanım:f:[a,b] R bir fonksiyon ve x

0

Є(a,b) olsun.

Lim limitine (varsa) f

fonksiyonunun x

0

noktasına türevi denir ve f’(x

0

) ile

gösterilir.Bu limitin olması için:

Lim

x x

-0

x

x

+0

Olması gerekir.bu eşitliğin solundaki limite f

0 0) ( ) ( x x x f x f   0 0 0 0): lim ( ) ( ): ( ) (x f x x x f x f x x x f     

(2)

Türev en basit şekliyle bir eğrinin eğimi olarak anlatılabilir.

Polinom - yani tamsayılardan oluşan denklemlerin türevlerinin bulunması çok kolaydır. Peki neden derslerde tahtalar dolusu işlemler yapılıyor, bunu açıklayalım.

Türev çok basit bir işlem olmasına rağmen, derslerde tam da türevin karmaşık olduğu noktalar işlenir -

fonksiyonun tanımsız olduğu noktada türevinin incelenmesi gibi.

Tahtalar dolusu yapılan işlemler ise değişik türlerdeki fonksiyonların türevlerinin bulunmasıdır. Fonksiyon çeşitleri o kadar fazladır ki bunların türevlerini bulmak da çok zor olacaktır.

(3)

Not:f`(x

+0

)ile f`(x

-0

)varsa ve

f`(x

+0

)=f`(x

-0

) ise f`(x

0

) vardır ve

f`(x

0

)=f`(x

+0

)=f`(x

-0

)dir.

Örnek:f(x)=x

2

+x fonksiyonunu x=2 noktasındaki

türevini bulunuz?

Çözüm:

F`(2)=lim f(x)-f(2):x-2=lim x

2

+x-6:x-2

(4)

Örnek: f(x)=(x-3).Ix-3I ise f fonksiyonunun

x=3 noktasındaki türevini bulunuz?

Çözüm:

(5)

Türevin Geometrik Anlamı:

f'(x) = lim(x-->x0) [f(x)-f(x0)]/[x-x0]

bu bize y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevini verir. bu ne demektir, bizim fonksiyonumuzun gösterdiği eğrinin o noktada (eğer bir limit varsa) eğimi f'(x)'dir.

f'(x) = lim(x-->x0) [f(x)-f(x0)]/[x-x0]

bu bize y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevini verir. bu ne demektir, bizim fonksiyonumuzun gösterdiği eğrinin o noktada (eğer bir limit varsa) eğimi f'(x)'dir

(6)

Teğet değme noktasında dik olan doğruyanormal

denir.m

teğet

.m

normal

=-1 dir.

(7)

Örnek:f(x)=x2 eğrisinin x=1 noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. Çözüm: mt= f‘(1)=lim f(x)-f(1):x-1 =lim x2-1:x-1=lim (x-1).(x+1):x-1 =lim (x+1)=2 olur.

Örnek:f:R R f(x)=Ix-2I fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulunuz.

Çözüm: f‘(2+)=lim f(x)-f(2):x-2=lim (x-2)-0:x-2=1

f‘(2-)=lim f(x)-f(2):x-2=lim (x-2)-0:x-2=1

(8)

İşaret fonksiyonun türevi:

y=sgnf(x)fonksiyonun türevi varsa sıfırdır.

Örnek:f(x)=sgn(x-5) fonksiyonunun x=5,x=-8 için

türevini bulunuz.

Çözüm:

x=5 için f fonksiyonu süreksiz olduğundan f‘(5)

yoktur.

5>x ise x-5<0 ve f(x =sgn(x-5)=-1 dir

Buradan f‘(x)=0ve f‘(-8)=0 olur.

(9)

Türev alma kuralları:Fonksiyonların türevlerini türev

tanımına göre bulmanın uzun işlemler olduğun

gördük.türevleri daha kolay bulmak için :

1.Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır.cЄR ise (c)`=0 dır.

2.n Є R için (ax

n

)`=nax

n-1

3.toplamın türevi:

[f(x)+g(x)-h(x)]` = f‘(x)+ g‘(x)- h`(x)

bir toplamın türevi,terimlerin türevleri toplamına

eşittir.

(10)

5. [f

n

(x)]`=n.f

n-1

(x).f`(x)

6.Bölümün türevi:

[f(x):g(x)]`=f`(x).g(x)-g`(x).f(x):g

2

(x)

7. ( ) `=1:2

8. ` =u`(x):2

x

x ) (x u u(x)

(11)

Örnek: f(x)=x.g(x),g(2)=4 ve g’(2)=3 olduğuna

göre f’(2)=?

Çözüm:

F(x)=x.g(x) ise f’(x)=1.g(x)+g’(x).x ve

f’(2)=g(2)+g’(2).2=4+6=10 dur.

Uyarı: f fonksiyonu x=-1 de süreksiz olduğundan

türevi yoktur.Bu nedenle f’ fonksiyonu x=-1 de

tanımsızdır.

(12)

Mutlak değer fonksiyonunun türevi:y=|g(x)|

fonksiyonunu parçalı biçimde yazdıktan sonra

her dalın ayrı ayrı türevi alınır.g(x)=O için türev

ayrıca araştırılır.

y=|g(x)|={g(x),g(x)0 –g(x),g(x)0

(13)

Örnek: f:R R , f(x)=|5-x|+2 olduğuna göre

f(2)+f’(7)’nin değeri nedir?

Çözüm: x>5 için 5-x<0 ise |5-x|=-5+x ve

f(x)=-5+x+2=x-3 dir.Buradan f’(x)=1 ve f’(7)=1

bulunur.

Diğer taraftan f(2)=|5-2|+2=5 ve f(2)+f’(7)=

5+1=6 olur.

Uyarı:x=a için türevsiz olan bir fonksiyonu başka

bir fonksiyonla çarpımı türevli olabilir.

(14)

Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuramı):)

y=f( u)

u=g(x) ise y=f[g(x)]=(fog)(x) dir.

dy:dx=dy:du.du:dx=f’(u).g’(u)

Yani (fog)’(x)=f’[g(x)].g’(x)’dir.

Eğer,

y=f(u),u=g(t),t=h(x) olsaydı;

(15)

Örnek:f( x)=g(x

3

+2),g’(10)=6 ise f’(2) değerini

bulunuz.

Çözüm: f’(x)=g’(x

3

+2).(x

3

+2)’

f’(x)=g’(x

3

+2).3x

2

olur.Burada x=2 yazalım.

(16)

Ters fonksiyonun türevi:AR,BR ve f:A

B fonksiyonu birebir örten olsun.f

fonksiyonu x

0

A noktasında türevli ve

f’(x

0

)0 ise

f

-1

:B A fonksiyonu da x

0

ın f altında olan

y

0

noktasında türevlidir ve

(f

-1

)’(y

0

)=1/f’(x

0

)dır.

(17)

Örnek:f:[2,+) [3,+),f(x)=x

2

-4x+7

olduğuna göre f

-1

fonksiyonunun y

1

=4

noktasındaki türevini bulunuz.

Çözüm: f,bire bir ve örten olduğundan tersi bir

fonksiyondur.Bu ters fonksiyonu bulmadan da

türevini bulabiliriz.Görüntüsü 4 olan elemanı

bulmak için,

(18)

y= f (u)

U = u(x) olmak üzere

1. F(x) = sin u  f ’ (x) = cos u 2. F(x) = cos u  f ’ (x) = -sin u

3. F(x) = tan u  f ’ (x) =(1+tan2u).u ‘ =u ‘ / cos2u = u’

sec2u

4. F(x)=cotan u  f ’(x) = - (1+cotan2u).u=-u’ / sin2u =

u’ cosec2u

ÖRNEK: y=sinx  y’ = cosx.1

y=sin(x2+x)  y’ = cos(x2+x).(2x+1)

(19)

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ

1. F(x)=y=arcsinx fonksiyonu

f:[-1,1]  [-/2 , /2], ve arcsinx dir. (f(x) ark sinx diye okunur ve sinüsü x olan yayın ölçüsü y’dir denir. f(x) =arcsinx  x=siny dir.

f(x) =arcsinx  f ‘ (x)=1/ 1-x2 dir.

2. F(x) =arccosx fonksiyonu f(x)=arccosx  x =cosy

(20)

f(x) =arc tanx  f ‘ (x)=1/ 1+x2 dir.

4. 3.f(x)=arccotanx fonksiyonu

f(x) =arccotanx  x=cotany dir.

f(x) =arc cotanx  f ‘ (x)=-1/ 1+x2 dir.

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ

1. (ln x)’ = 1/x, (ln f(x))’ = f ’(x) / f(x)

2. 2. (logax)’ = (1/In a).(1/x), (log a f(x))’ = (1/In a) .

[f’(x)/f(x)]

ÖRNEK: y = ln (x2+5) olduğuna göre, dy/dx türevini

hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

(21)

ÖRNEK:

f(x) = log10(x2+1) olduğuna göre f ’(x) türevini

hesaplayınız. ÇÖZÜM:

f ’(x) = (log10(x2+1))’ = (1 /In 10) [(x2+1)’ /(x2+1)]

= log10 e 2x / x2+1

ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ

1. (ex)’ = ex, (e f(x) )’ = e f(x) .(f(x))’

(22)

ÇÖZÜM:

f ’(x) = (e tan x )’ = (tan x)’ . e tan x = (1+tan2x) . e tan x

olduğundan

f ’() = (1+tan2) . e tan  = (1+02) . e0 = 1.1 = 1’dir

ÖRNEK:

a)(3 x)’, (32x+1 )’ türevlerini hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

a) (3x)’ = 3x . ln3

(23)

YÜKSEK SIRADAN TÜREVLER (ARDIŞIK TÜREVLER) f : A  R , xy = f(x) fonksiyonunun 1. türevi, y’ = f ’(x) 2. türevi, y” = (f ’(x))’ = f ”(x) 3. türevi, y’” = (f ”(x))’ = f ’”(x) 4. türevi, y(4) = (f ’”(x))’ = f (4) (x) ... n. türevi, y(n) = (f ( n-1) (x))’ = f ( n) (x)

(24)

ÇÖZÜM:

f ’(x) = (2x3 – x2 + 5x – 8)’ = 6x2 – 2x + 5

f ”(x) = (6x2 – 2x + 5)’ = 12x –2

KAPALI OLARAK TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

f(x,y) = 0 kapalı ifadesinden y = g(x) denklemi ile bir fonksiyon tanımlanabiliyorsa, bu şekilde tanımlanan fonksiyona, kapalı olarak tanımlı fonksiyon denir. f(x,y) = 0 eşitliğinden dy/dx türevi hesaplanırken x değişken, y de x’in görüntüsü olarak düşünülür. Her

terimin x değişkenine göre türevi hesaplanarak yx’= dy/dx

(25)

ÖRNEK:

x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesi veriliyor. y’=

dy/dx türevini hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesinin her teriminin

x’e göre türevi hesaplanarak,

(3x2y2 + x3 .2y.y’) – (y3 + x.3y2y’) – 5 + y’ +0 = 0

y’ = (-3x2y2 + y3 + 5) / (2x3 y – 3xy2 +1) bulunur.

(26)

Bu türev ifadesi y’x = y’t / x’t biçiminde de yazılır.

TÜREVİN LİMİT HESABINA UYGULANMASI (L’HOSPİTAL KURALI)

limx X0 f(x)/g(x) limitinde 0/0 ya da / 

belirsizliği varsa, genellikle limx X0 f ’(x)/g(x) dir.

(L’Hospital Kuralı)

ÖRNEK:

limx2 (x2 + x – 6) / (x5 – 32) limitini hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

0/0 belirsizliği var.  limx2 (x2 + x – 6)’ / (x5 – 32)’ =

(27)

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

x0 noktasındaki türevi f fonksiyonunun A=(x0,f(x0))

noktasındaki teğetinin eğimi

m= tan  = f ’(x0) dır.

A=(x0,f(x0)) noktasındaki teğetin denklemi:

y-f(x0)=f ’(x0).(x-x0) olur.

(28)

ÖRNEK:

f(x) = -x2+x+6 ile tanımlı f fonksiyonunun apsisi x

0=2 olan

teğetinin ve normalinin denklemini yazınız.

ÇÖZÜM:

f fonksiyonunun grafiğine ait ve apsisi x0=2 olan noktanın ordinatı,

y0 = f(x0) = f(2) = -(2)2+2+6 = 4’tür.

Öyleyse teğetin değme noktası (2,4)= noktasıdır.

f ’(x) =-2x + 1 olduğundan teğetin eğimi; m = f ’(x0) = f

’(2) = -2.2+1 = -3’tür.

Bir noktası ve eğimi bilinen teğetin denklemi,

y- f(x0) = f ’(x0).(x-x0)  y – 4 = -3(x – 2)  y = -3x + 10

olur.

Normalin eğimi –1/f ’(x0) = 1/-3 = 1/3 olduğundan,

normalin denklemi; y – 4 = 1/3 (x – 2)  1/3 x + 10 /3 olur.

(29)

ARTAN YADA AZALAN FONKSİYONLAR TANIM:

A  B olmak üzere f : AR fonksiyonunda

1)  x1, x2  [a,b] için x1 < x2  f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu [a,b] aralığında artan fonksiyondur.

2)  x1, x2  [b,c] için x1 < x2  f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu [b,c] aralığında azalan fonksiyondur.

3)  x  [c,d] için f(x) = k (sabit) ise f fonksiyonu [c,d] aralığında sabit fonksiyondur.

(30)

1.  x  (a,b) için f ’(x) > 0  f , (a,b) aralığında artan 2.  x  (b,c) için f ’(x) < 0  f , (b,c) aralığında azalan 3.  x  (c,d) için f ’(x) = 0  f , (c,d) aralığında sabit

ÖRNEK:

f(x) = -x3 + 12x ile tanımlı f : R  R fonksiyonunun artan

yada azalan olduğu aralıkları belirtiniz.

ÇÖZÜM:

f ’(x) = -3x2 + 12 olduğundan f ’(x) = 0  -3x2 + 12 = 0

x = -2 V x = 2

x -  -2 2 + f ’ - + -

(31)

f ’ türev fonksiyonunun işaret durumu yukarıdaki tabloda gösterilmiştir.

(- , -2) aralığında f ’ < 0 olduğundan, f fonksiyonu azalandır.

(-2 , 2) aralığında f ’ > 0 olduğundan f fonksiyonu artandır.

(2 , +) aralığında f ’ < 0 olduğundan f fonksiyonu azalandır.

TÜREV VE YEREL EKSTREMUM NOKTALARI TANIM:

(32)

f fonksiyonunun bir yerel minimum değeridir.

2) x2  (a,b) ; f(x2) > f(x) olacak biçimde en az bir 

pozitif gerçel sayısı varsa, (x2, f(x2)) noktası f

fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasıdır. f(x2)

değeri, f fonksiyonunun bir yerel maksimum değeridir. Bir fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum

noktalarına, yerel ekstremum noktaları denir.

TEOREM:

f fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve x0  (a,b) olmak

üzere x0 noktasında bir yerel ekstremum değeri varsa f ’(x0)

(33)

BİRİNCİ TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELİRTİLMESİ

1. aA ve f ’(a) = 0 olmak üzere:

 x  (a-,a) için f ’(x) > 0 ise f fonksiyonu (a-,a) aralığında artandır.

 x  (a,a+) için f ’(x) < 0 ise f fonksiyonu (a,a+) aralığında azalandır.

a noktasında fonksiyonun yerel maksimumu vardır. 2. bA ve f ’(b) = 0 olmak üzere:

(34)

b noktasında fonksiyonun yerel minimumu vardır.

ÖRNEK:

f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile tanımlı f: RR fonksiyonunun yerel

ekstremum değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM:

f ’(x) = (x3 + 3x2 –1)’ = 3x2 + 6x

f ’(x) = 0  3x2 + 6x = 0

 x = -2 V x = 0 buna göre f ’(-2) = 0 ve f ’(0) = 0 dır.

f ’(x) = 3x2 + 6x birinci türev ifadesinin işareti

(35)

x - -2 0 +

f ’(x)=3x2 + 6 + - +

artan azalan artan f ’(-2)=3 f(0)= -1

f fonksiyonu (- , -2) aralığında artan, (-2 , 0) aralığında azalan, (0,+) aralığında artandır.

x = -2 için fonksiyon yerel maksimum değerini alır.

Yerel maksimum değeri f(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 – 1 =

3’tür. x = 0 için fonksiyon yerel minimum değerini alır.

Yerel minimum değeri f(0) = 03+3.02 – 1 = -1’dir.

(36)

1. f ’(a) = 0 ve f ”(a) < 0 ise a noktasında f fonksiyonunun

yerel maksimumu vardır.

2. f ’(b) = 0 ve f ”(b) > 0 ise b noktasında f fonksiyonunun

yerel minimumu vardır.

Örneğin, yukarıdaki örnekteki f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile

tanımlı f fonksiyonunda:

f ’(x) = 3x2 + 6x

f ”(x) = 6x + 6

f ’(x) = 3x2 + 6x = 0  x = -2 V x = 0’dır.

f ’(-2) = 0 ve f ”(-2) = 6.(-2) + 6 < 0 olduğundan, x = -2 noktasında fonksiyonun yerel maksimumu;

f ’(0) = 0 ve f ”(0) = 6.0 + 6 = 6 < 0 olduğundan x = 0

noktasında fonksiyonun yerel minimumu olduğuna dikkat ediniz.

(37)

ÖRNEK:

f(x) = (x2 – mx – 3) / (x+2) ile tanımlı f fonksiyonunun x = 1

için yerel minimumu olduğuna göre, m’nin değeri nedir?

ÇÖZÜM:

x = -1 için f fonksiyonunun yerel minimumu olduğuna göre f ’(-1) = 0 olmalıdır.

f ’(x) = [(2x-m)(x+2)-1 . (x2-mx-3)] / (x+2)2 olduğundan

f ’(1) = [(2.1-m)(1+2) - (1-m.1-3)] / (1+2)2 = 0

(38)

FONKSİYONLARIN DEĞİŞİMLERİNİN

İNCELENMESİ VE GRAFİKLERİN ÇİZİMİ

GRAFİK ÇİZİMİNDE YAPILACAK İŞLEMLER:

1. Eğer fonksiyonun tanım kümesi belirtilmemişse, fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş küme belirtilir. 2. Fonksiyonun türevi hesaplanır. Türevin işaretine göre,

fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklar ve ekstremum noktaları belirtilir.

3. x - ve x + için fonksiyonun limiti bulunur. 4. Grafiğin X ve Y eksenlerini kestiği noktalar bulunur. 5. Asimptotlar (varsa) bulunur.

(39)

7. Değişim tablosunda özetlenen bilgiler, koordinat

sisteminde değerlendirilerek fonksiyonun grafiği çizilir.

ÖRNEK:

y = f(x) = [3x – 1] / [x + 2 ] ile tanımlı f: AR

fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM:

Tanım kümesi ve düşey asimptot:

x + 2 = 0  x = -2 olduğundan, fonksiyon x = -2 için tanımsızdır. Tanım kümesi A=R – {-2} dir.

(40)

ÖRNEKLER

x, x<2 ise

f(x) = 2, x=2 ise x0=2

4-x, x>2 ise

varsa x0 noktasındaki türevini bulunuz. Bu noktada f(x)

sürekli midir?

olur. olur. olduğundan türevlenemez.

Şimdi ise sürekliliğini araştıralım x=2 noktasındaki limitine bakalım

olduğundan fonksiyon x0=2 noktasında süreklidir.      2 ) 2 ( ) ( lim 2 x f x f x 2 1 2 lim 2      x x x      2 ) 2 ( ) ( lim 2 x f x f x 2 1 2 4 lim 2       x x x                    ) 2 ( 2 ) 4 ( lim ) ( lim ) 2 ( 2 lim ) ( lim 2 2 2 2 f x x f f x x f x x x x

(41)

SORU 2:

f(x)= |x| varsa x0 noktalarındaki türevlerini bulunuz. Bu

noktalarda f(x) sürekli midir. x0=2 ,

x0=2 noktasındaki türevine bakalım.

şimdi bu limitin varlığını araştıralım

0 ve -1

olduğundan x0=2 noktasında türevlenemez.

Şimdi ise x0= noktasındaki türevine bakalım.

olur 2 3 0  x     2 ) 2 ( ) ( lim 2 x f x f x     2 2 |] [| lim 2 x x x     2 2 |] [| lim 2 x x x      2 2 |] [| lim 2 x x x     2 3 ) 2 3 ( ) ( lim 2 3 x f x f x ) 2 3 ( ' 0 2 3 1 |] [| lim 2 3 f x x x     

(42)

Sürekliliği

= ve

f(3/2)=[|3/2|] = 1 olduğundan x0=3/2 noktasında süreklidir.

SORU 3:

x= y+ arccoty y türevini bulunuz? ÇÖZÜM: 1-y=y’/1+y2 1-y+y2-y2y=-y y’ = -(1+y2) / y2 y=1+y-2 SORU 4:

exy-x2+y3=0 eşitliğinden y türevinin x=0 değerini bulunuz?

ÇÖZÜM : exy-x2+y3=0 eşitliğinden

y3=x2+exy

f(x)=y diyelim

y=f(x) olur. x=0 y=-1

) ( lim 2 3 f x x   1 |] [| lim 2 3   x x lim ( ) lim[| |] 1 2 3 2 3     x x f x x

(43)

f(0)=-1

3y2.y=2x-(exy) (exy) = y.exy

3y2.y=2x-y.exy

y= (2x-yxy) / 3y2 x=0 y=-1 için

y= 0 + 1.e0(-1)

y= 1 / 3 SORU 5:

Referanslar

Benzer Belgeler

Bu araştırmada ölçülmesi amaçlanan konuşma becerisi performans testleri kategorisinde daha çok doğaçlama yeteneklerini içeren ‘sözlü anlatım, hazırlıklı

With respect to the grain palmitic acid content (%), while inbred line number 1 have more dominant genes, number 6 243... have more recessive

Soğanlı ve çok yıllık otsu bitkiler olan ağlayan gelinlerin yurtdışına kaçırılma nedeni içerdikleri kimyasal bileşikler ve süs bitkisi olarak ticari değerlerinin

Ancak A kolonu tekerle¤in h›zl› dö- nüflünden ötürü bir sonraki karede B’ye yaklafl›r, B ko- lonunun bir sonraki pozisyonu olarak alg›lan›rsa, te- kerlek ters

Aralarındaki açının esas alındığı ve koordinat sisteminde her vektörün 0 noktasından başlayarak tanımlandığı benzerlik ölçümü yerine, vektörler arasındaki bağıl

Bir Sufi olan Safiye Erol’a göre de, bir devrimci olan Alain Badiou’ya göre de sanat ve mimarlık işte böylesi bir benlik yitimi ile ilişkilidir.. Benliğini yitiren

İçinde birden fazla orantının(ters orantı da olabilir, doğru orantı da olabilir) kullanıldığı orantılara “bileşik orantı” denir.. 3) 56 sayısı; birinci

Aşağıdaki parabolik başlangıç sınır değer probleminde ters Sturm-Liouville özdeğer probleminin bir uygulaması üzerinde duracağız.. İlk olarak, direkt problemi