GENEL MATEMATİK 2

(1)

I. BÖLÜM

BELİRSİZ İNTEGRAL

1.0 İntegralin Tarihçesi

Dilimize İngilizceden ve Fransızcadan geçmiş olan integral sözcüğü “bütüne ait olan” anlamına gelir.

İntegral ya da Tümlev, en genel anlamıyla bir fonksiyon eğrisinin altında kalan alanı anlatır ya da başka deyişle fonksiyon türevinin tersi olan bir fonksiyon elde edilmesini sağlar.

İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi S’nin biraz evrim geçirmiş hali olan



işareti ile gösterilir. Bu gösterim Leibnitz tarafından tanımlanmıştır.

 

F x 



f x dx c

c bir sabit gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen f x fonksiyonunun altında kalan a x b

 

  aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanır. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n’nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

 

0 1 lim b n i i x i a S f x x f x dx F b F a   _ 



 

_

 

Bu şekilde integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için belirli integral olarak adlandırılır. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f x fonksiyonunun integrali

 

F x bulunamaz. Bu durumda belirli integral

 

sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann’dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesque integrali geliştirilmiştir.

(2)

Tanım: f x( ) ve F x( ) fonksiyonları bir  R açık aralığında tanımlanmış olsun. Eğer F x( )

fonksiyonunun  aralığında türevi mevcut ve bu türev her x için

( ) ( )

F x  f x ise

( )

F x fonksiyonuna f x( ) fonksiyonunun bu aralıkta bir antitürevi veya belirsiz integrali denir. Bu integral



f x dx F x( ).  ( ) şeklinde gösterilir.

Burada f x( ) ifadesi integrant, x ise integralin değişkeni adını alır.

 aralığında tanımlanmış bir f(x) fonksiyonu için F(x) antitürev ise bu aralıkta c keyfi bir sabit olmak üzere F(x)+c ’ nin de antitürev olduğu görülür. O halde;

( ). ( )

f x dx F x



+ c

yazılır. Böylece f x( ) en genel antitürevi F(x)+c’ dir. Örnek: f(x)= 3

x fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun antitürevi

4 3_. 4 x x dx c



’ dır. Yani 4 ( ) 4 x F x  olur.

1.1 Temel İntegral Formülleri 1.



dx x c  2.



a f x d x a f x dx

 





 

3.

_



f x

 

_g x dx

 





_

f x dx

 

_

_

g x dx

 

4.





1 1 1 n n x x dx c n n      



5. dx lnx c x  



6. _{e dx e}x. _ x__c



7. , 0, 1 ln x x a a dx c a a a    



8.



cosx dxsinx c 9.

_

sinx dx cosx c

(3)

10. 2 2 1 sec tan cos x dx dx x c x   



11. 2 2 1 cosec cot sin x dx dx x c x    



12.



sec tanx x dxsecx c

13.

_

cosec cotx x dx cosecx c

14. _cosh2 tanh dx x c x  



15. 2 cot h sinh dx x c x   



16. ₂dx ₂ 1arctanx c x a  a a



17. ₂dx ₂ arcsinx c a a x  



18.



tanx dx lncosx c 19.



cotx dxlnsinx c

20.

_

secx dxln sec



xtanx



c

21.



cosecx dx ln cosec



xcotx



c

22. 2 2 1 ln 2 dx x a c x a a x a     



23. 2 2 1 ln 2 dx x a c a x a x a     



24. ₂dx ₂ ln



x x2 a2



c x a    



25. ₂dx ₂ ln



x x2 a2



c x a    



26. cosh .



x dxsinhx c 27. sinh .

_

x dxcoshx c 28. ( ). ln ( ) ( ) f x dx f x c f x   



(4)

29.





2 ( ) ( ). ( ). 2 f x f x f x dx  c



30.





1 ( ) ( ) . ( ). , 1 1 n n f x f x f x dx c n n       



31. ( ) ( )_{. ( ).} _, _0, ₁ ln u x u x a a u x dx c a a a     



32.



f x dx F x( ).  ( )+ c  f ax b dx( ). 1F ax b( ) c a    



1.2 İntegral Alma Yöntemleri 1.2.1 Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegrali alınan fonksiyon f x dx

 

gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır. Bu durumu örneklerle inceleyelim.

Örnek:

_

3x5.dx integralini hesaplayınız. Çözüm:₃_x_{ }₅ _u2_dersek_{2 .} ₃ 2 3 u du dxdx udu olur.

_

3x5.dx= 2_.2 _. 3 u u du



=2 2. 3



u du = 3 2 . 3 3 u c  =2. 3 9 u  c 2 ₃ ₅ ₃ ₅ u  x  u x olduğundan =2_{. 3}



₅



32 9 x  bulunur.c Örnek:



x x. 1dx integralini hesaplayınız. Çözüm:_x_{ }₁ _u2_{ }_{x u}2_₁ dersek dx2 .u du bulunur.



x x. 1dx=



_u2__{1 .}



_u2_{.2 .}_{u du}



=





u21 .2 .



u du2 =





2u42u du2



=2

_

u du4 2

_

u du2

(5)

=2. 5 5 u - 2. 3 3 u +c 5 2 5 ₍ ₁₎ u  x ve 3 2 3 ₍ ₁₎ u  x olduğundan =2( 1)52 2( 1)32 5 x 3 x  bulunur.c Örnek:





8 2 arctan7 1 49 x dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: uarctan7x dersek 7 ₂ 1 49 du dx x   olur.





8 2 arctan7 1 49 x dx x 



= 8. .1 7 u du



=₇1



u du8. = 9 1 . 7 9 u c  = 9 63 u c  u yerine yazılırsa =





9 arctan 7 63 x c  elde edilir. Örnek:

_

₂ 3 ₉

_

dx x x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: u=1 x dersek 2 du dx u   olur.

_

3

_

2 9 dx x x 



= 2 3 1 1 2. 9 du u u u   _     



= 2 3 3 1 2 9 du u u u u        



= 2 3 2 9 u du u  



= 2 3 1 27 . 27 2 9 u du u  



burada 3 2 9 t  u diyelim. _dt_₂₇_{u du}2 ‘dır. = 1 27 dt t 



= 1 ln 27 t c

  t’yi yerine yazalım. = 1 ln(2 9 ) u3  u’yu yerine yazalım.c

(6)

= 3 1 1 .ln(2 9 ) 27 x c     _{ }    = 3 3 1 2 9 ln 27 x c x     _ _   elde edilir. Örnek: 4 5 ₁ x dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: _{u x}_ 5_₁_dersek_du_₅_{x dx}4 _bulunur. 4 5 ₁ x dx x 



= 4 5 1 5 5 1 x dx x 



= 1 5 du u



=1ln 5 u c =1ln



5 1



5 x   elde edilir.c 1.2.2 Özel Durumlarda İntegral Alma Yöntemleri

a. _a2__{b x}2 2 _{ifadesini içeren fonksiyonların integrallerini bulmak için;}_x a_sint b  değişken değiştirilmesi yapılır. Örnek: 25 4x₂ 2dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: 5sin 2 x t dersek 5cos . 2 dx t dt olur. 25 4x₂ 2dx x 



= 2 2 25 25 4. sin 5 4 . cos 25 ₂ sin 4 t tdt t 



=





2 2 25 1 sin ₅ . cos 25 ₂ sin 4 t tdt t 



= 2 2 cos 2 sin t dt t



= 2 2 1 sin 2 sin t dt t 



(7)

= 2 1 2 2 sin tdt dt



=2cott 2t c 5 sin 2

x t dönüşümü dik üçgende düşünürsek cot 25 4 2 2

x t

x



 olur. Ayrıca arcsin2 5 x t olduğundan 25 4x₂ 2dx x 



= 2. 25 4 2 2.arcsin2 2 5 x x c x     elde edilir.

b. _a2__{b x}2 2 _{ifadesini içeren fonksiyonların integralini bulmak için;}x atant b  değişken dönüşümü yapılır. Örnek: ₂ ₂ 25 dx x x



integralini hesaplayınız. Çözüm:x5 tant dersek 5 1₂ cos dx dt t  olur. ₂ ₂ 25 dx x x



= ₂ ₂ 2 1 5 . cos 25 tan t 25 25 tan t tdt



= ₂ ₂ 2 1 5 . cos 25 tan t 25.(1 tan ) t tdt



, 2 2 1 1 tan cos t t   olduğundan = 1 cos₂ 25 sin t dt t



usint dersek ducos .t dt

= 1 2_. 25 u du 



= 1 1. 25 u c

  u’yu yerine yazarsak = 1 . 1

25 sint c

 

5.tan

x t dönüşümünü dik üçgende düşünürsek sin ₂ 25 x t x   bulunur. O halde ₂ ₂ 25 dx x x



= 1 . 2 25 25 x c x    elde edilir.

(8)

c. _{b x}2 2__a2 _{ifadesinden başka köklü ifade kapsamayan fonksiyonların integralini bulmak} için; cos a x b t

 değişken değiştirmesi yapılır. Örnek: ₂ 9 dx x x 



integralini hesaplayınız Çözüm: 3 cos x t  dersek 3sin₂ cos t dx dt t  ’dır. ₂ 9 dx x x 



= 2 2 1 3sin . cos 3 9 9 cos cos t dt t t t 



2 9 3sin 9 cos cos t t   t olduğundan = 2 1 3sin . 3 3sin cos cos cos t dt t _t t t



=1 3



dt =1. 3t c 3 3 arccos cos x t t x

   olmak üzere çözümde t’yi yerine yazarsak ₂ 9 dx x x 



= 1 3 .arccos 3 x elde edilir.c

d. ni _{ax b} biçimindeki köklü ifadeleri kapsayan fonksiyonları hesaplamak için

i

n ’lerin en küçük ortak katı k olmak üzere _{ax b t}_{ } k_{değişken değiştirmesi yapılır.}

Örnek: 3 5 1 8 1 x dx x   



integralini hesaplayınız Çözüm:_x_{ }₁ _t15_dersek_dx_₁₅_{t dt}14 _’dır. 3 5 1 8 1 x dx x   



= 3 15 14 5 15 8 15 t t dt t 



= 5 14 3 8 15 t t dt t 



=15





t168t dt11



(9)

17 12 17 12 1 1 15 8. 17 12 15 10 17 t t c t t c    _  _      1

x t olmak üzere çözümde t’yi yerine yazarsak









3 17 12 5 1 8 15 1 10 1 17 1 x dx x x c x   _ _ _ _ _ 



elde edilir.

e. R



sin ,cosx x



, sin xvecos x fonksiyonlarının rasyonel fonksiyonu olmak üzere ;



sin ,cos



R x x dx



integralinin hesabına tan 2

x t

 değişken değiştirmesi yapılırsa integral rasyonel bir fonksiyonunun integraline dönüşür.

 sin 2sin cos

2 2

x x

x olduğundan dik üçgende tan 2 x t  dönüşümünü düşünürsek 2 2 2 1 2 sin 2 . sin 1 1 1 t t x x t t t      

 

1.1 olur.  2 2

cos 2x2cos x  1 1 2sin x olduğundan cos 2cos2 1

2 x x  ’dır. Yine dik üçgende tan 2 x t  dönüşümünü düşünürsek 2 2 2 1 1 cos 2 1 1 1 t x t t        1.2 olur.  2 1 1 tan arctan 2 2 2 1 x x t t dx dt t       2 2 1 dx dt t   

 

1.3 bulunur. Örnek: 1 sinxdx



integralini hesaplayınız Çözüm: tan 2 x t

(10)

2 2 1 1 2 . 2 sin 1 1 1 ln ln tan 2 dx dt t x t t dt t c t x c        



elde edilir. Örnek: 1 cosxdx



 dönüşümünü yapalım.

 

1.2 ve

 

1.3 ifadelerini kullanırsak

2 2 2 2 1 1 2 1 . 2 1 cos 1 1 1 1 1 1 2 ln ln 2 1 1 tan 1 2 ln tan 1 2 dx dt dt t x t t t t t c c t t x c x            _ _          



elde edilir. Örnek: 1 cosxsinxdx



 dönüşümünü yapalım.

 

1.1 , 1.2 ve

 

1.3 ifadelerini kullanırsak





 

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 . 2 1 2 cos sin 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ln 2 2 1 2 1 2 1 1 2 ln 2 1 2 tan 1 2 1 ₂ ln 2 _tan ₁ ₂ 2 dx dt dt t t x x t t t t t t c t t t c t x c x      _       _{ }      _ _                    



elde edilir

(11)

.

1.2.3 Konu İle İlgili Çözümlü Sorular 1. 1 ln dx x x



integralini hesaplayınız. Çözüm: ulnx dönüşümünü yapalım. Bu dönüşümden du dx x  olur. 1 ln du dx x x  u



lnu c ln ln



x



c elde edilir. 2. 2 3 3 1 2sin_x x 4x _dx x x  _  _   _   



integralini hesaplayınız.

Çözüm: _u__x3__x_{dönüşümünü yapalım. O halde}_du



₃_x2₁



_dx_olur.

2 2 3 3 3 1 3 1 2sin x 4x 2 sin x 4x x dx xdx dx dx x x x x  _  _  _ _  _  _  _  



2



cos



4 ln 4 x du x c u   

_

  2cos ln 4 ln 4 x x u c      _2cos _ln



3



4 ln 4 x x x x      +c bulunur. 3. 1 x dx x



Çözüm: u x1 dönüşümünü yapalım. _u2 _{   }_x ₁ _{x u}2_₁_olduğundan_dx_₂_udu

olur.



2



_

_

2 2 3 1 2 2 2 1 2 2 3 u udu x dx u du x u u u c        



2



1



3 2 1 3 x x c      elde edilir. 4. 4 cos sin x dx x



(12)

_

_

3 4 3 4 cos 1 sin 3 3 sin x t dx t dt c c x x         



’dır. 5. 2 arctan 1 x dx x 



Çözüm: tarctanx dönüşümünü yapalım. O halde 2

1 1 dt dx x   olur. Buradan





2 2 2 arctan 1 1 arctan 1 2 2 x dx tdt t c x c x      



bulunur. 6. 2 4 sin cos x dx x



Çözüm: ttanx dönüşümünü yapalım. O halde 1₂ cos dt dx x  olur. Böylece 2 2 2 4 2 2 2 sin sin tan

cos cos cos cos

x x dx dx dx x x  x x  x







3 3 2 1 tan 3 3 t t dt c x c 

_

    elde edilir. 7. 2 2 4 3 x dx x x   



integralini hesaplayınız. Çözüm: 2 4 3 u x  x dönüşümünü yapalım.



2 4





2



2 du du x dx  x dx olur. 2 2 2 1 1 1 ln ln 4 3 4 3 2 2 2 x du dx u c x x c x x u  _ _ _{ } _ _{ }  



bulunur. 8. 4 2cos₂ 1 sin x x e dx x        



integralini hesaplayınız. Çözüm: 4 2cos ₂ 4 2cos 1 4 2 cos 4 1 sin x x x x x e dx e dx dx e dx x x             



1 4 2 4 x e x c    çözümü elde edilir. 9.



sin xdx5 integralini hesaplayınız.

Çözüm:_sin2_x_{ }_{1 cos}2_x_olduğundan _sin5 _xdx_



_{1 cos}_ 2_x



2_sin_{x dx}



şeklinde yazılabilir.

cos

(13)



_{1 cos}_ 2_x



2_sin_{x dx}_



₁__u2



2



__du



_{ }



_{1 2}_ _u2__{u du}4





2 3 1 5 3 5 u u u c    _   _  

cos 2cos3 1cos5

3 5

x x x c

 

 _   _

  bulunur.

1.2.4. Kısmi İntegrasyon Yöntemi

u_vev_{fonksiyonları x değişkeninin bir diferansiyellenebilir fonksiyonu olsunlar. Böylece;}

 

. . . . . . . . . d u v du v u dv u dv d u v vdu u dv d u v vdu u dv u v vdu           



elde edilir.

Örnek:



xcosxdx integralini kısmi integrasyon yöntemi ile çözelim.

, cos

x u xdx dv dersek du dx , vsinx olur. Bunları



u dv u v.  . 



vdu ifadesinde yerine yazarsak

_

xcosxdx x sinx

_

sinxdx

xsinxcosx c bulunur. Örnek:



arctan x dx integralini çözelim.

arctanx u , dx dv dersek 2 1 , 1 du dx v x x    olur. 2 1 arctan arctan . . 1 x dx x x x dx x   



burada değişken değiştime yöntemi kullanarak

2

1

t  x dersek dt2xdx olur. Bunları yerine yazarsak

2 2

1

arctan arctan . . arctan . 1 dt x dx x x x dx x x x t     



.arctan 1ln 2 x x t c    _t _{ }₁ _x2_olduğundan _.arctan 1_{ln 1} 2 2 x x x c     olur.

(14)

Örnek:n2, n N olmak üzere _sinn_xdx 1_sinn 1_x_.cos_x n 1 _sinn 2_xdx_{... 1.4}

 

n n      



olduğunu gösteriniz.

Çözüm: sinn _xdx_ sinn1_xsin_xdx



şeklinde yazalım. Kısmi integrasyon yöntemini kullanırsak _u__sinn1_x_{, sin}_{xdx dv}_ _dersek





2

1 sinn .cos , cos

du n  x xdx v  x elde

edilir.





1 1 2 2

sinn sinn sin sinn .cos 1 cos sinn

xdx  x xdx   x x n x  xdx



_{ }sinn1_x.cos_x_



_n_1





1 sin_ 2 _x



sinn2_xdx



_{ }sinn1_x.cos_x_



_n_1





sinn2 _x_sinn _{x dx}





sinn 1 .cos



1 sin



n 2



1 sin



n

x x n xdx n xdx

 

   



 



son

bulunan satırdaki 3. terim ile integralini aldığımız ifade aynıdır. Aynı terimleri bir tarafa toplarsak şu elde edilir:

_n



sinn_xdx_{ }sinn1_x.cos_x_



_n_1 sin





n2 _xdx

_sinn _xdx 1_sinn 1_x_.cos_x n 1 _sinn 2 _xdx

n n

  





  



bulunur. Bu da istenendir.

Ödev: n2, n N olmak üzere _cosn _xdx 1_cosn 1_x_.sin_x n 1 _cosn 2 _xdx_{... 1.5}

 

n n

  

 



olduğunu gösteriniz.

Yukarıda görülen  1.4 ve

 

1.5 formüllerine indirgeme formülleri denir.

Örnek:



sin xdx2 ve



cos xdx2 integrallerini indirgeme formülleri yardımı ile hesaplayınız. Çözüm:

 

1.4 formülünde n2 alırsak

1 2

1 1

sinn sinn .cos n sinn

xdx x x xdx n n      



2 1 1

sin sin .cos

2 2

xdx x x dx



_

  

_

olur. Bunu çözersek sin2 1sin .cos 1 1sin .cos 1

2 2 2 2

xdx  x x dx  x x x c



bulunmuş

olur.

Benzer şekilde  1.5 formülünde n2 alırsak

1 2

1 1

cosn cosn .sin n cosn

xdx  x x   xdx

(15)

2 1 1

cos cos .sin

2 2

xdx x x dx





 



2 1 1

cos cos .sin

2 2 xdx x x x c 

_

   elde edilir. Hatırlatma:  _cos2 1 cos 2 2 x x   _sin2 1 cos 2 2 x x 

Örnek:



sin xdx4 integralini hesaplayınız.

Çözüm:

 

1.4 formülünü kullanırsak _sin4 1_{sin .cos}3 3 _sin2

4 4

xdx  x x xdx



olur. Bir

önceki örnekte



sin xdx2 1sin .cos 1

2 x x 2x c

    bulunmuştu. Bunu yukarıda yerine

yazarsak sin4 1sin .cos3 3 sin2

4 4 xdx  x x xdx



4 3 3 1 3 1 1

sin sin .cos sin .cos

4 4 2 2

1 3 3

sin .cos sin .cos

4 8 8 xdx x x x x x c x x x x x c       _  _       



bulunur.

1.2.5. Rasyonel Fonksiyonların İntegrali

   

,

p x q x iki polinomu olmak üzere p x

_{ }

 

q x



q x

 

0



ifadesinin

 Payının derecesi paydasının derecesinden büyük veya eşit ise polinomlarda bölme işlemi yapılarak basit kesirlere ayrılır.

 Paydanın derecesi payının derecesinden büyük ise payda çarpanlarına ayrılabiliyorsa basit kesirlere ayrılabilir.

Örnek: 2 ₃ 1 x dx x  



integralini basit kesirlere ayırarak çözelim. Payının derecesi paydasının derecesinden büyük olduğundan _x2_₃_ifadesini_x_₁_{’e bölersek}_x2 ₃



_x₁

 

_x ₁



₄

olur. O halde 2 ₃ ₄ 1 1 1 x x x x       elde edilir.

(16)





2 ₃ ₄ ₄ 1 1 1 1 1 x dx x dx x dx dx x x x  _  _{ }  _ _ _             



2 ₂ 4ln 1 2 x x x c      bulunur. Örnek: 3 2 2 2 1 3 2 x x x dx x x     



integralini basit kesirlere ayırarak çözelim. Payının derecesi paydasının derecesine eşittir. Polinomlarda bölme yapılarak

3 2 2 2 2 1 12 9 4 3 2 3 2 x x x x x x x x x            şeklinde yazılabilir.





3 2 2 2 2 1 12 9 4 3 2 3 2 x x x x dx x dx dx x x x x    _ _ _     



olur. İlk önce 2 12 9 3 2 x dx x x   



integralini irdeleyelim. 2 12 9 3 2 x x x 

  ifadesini basit kesirlerine ayıralım. 2

12 9 3 2 1 2 x A B x x x x        olmak üzere A 3, B15 ; 2 12 9 3 15 3 2 1 2 x x x x x  _  _     bulunur.









2 2 2 2 2 1 12 9 3 15 4 4 3 2 3 2 1 2 x x x x dx x dx dx x dx dx dx x x x x x x                  



2 4 3ln 1 15ln 2 2 x x x x c        çözümü bulunur. Örnek: 2 5 1dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: 1.yol: 2 2 5 1 5 1 5 ln 1 1 2 1 x dx dx c x x x       



( Bkz: Temel integral formülleri, 22 ) 2.yol: 2 5 1 x  ifadesini 2 5 1 1 1 A B x   x x şeklinde yazıp 5 5 , 2 2 A B  buluruz. Buradan 2 5 5 1 5 1 1dx 2 1dx 2 1dx x   x  x



5ln 1 5ln 1 2 x 2 x c      5 ln 1 2 1 x c x     _ _    elde edilir. 1.2.6. Konu İle İlgili Çözümlü Sorular

(17)

1.

_

_

2 3 1 x dx x x  



integralini hesaplayınız. Çözüm:

_

_

2

_

_{ }

_

2 3 1 1 1 x A B C x x x x x  _{ } _    şeklinde olup









2 ₂ 3 1 x A x B x x Cx

olduğundan gerekli işlemler yapılarak A3,B 3,C 2 elde edilir. Buradan





2





2 3 3 3 2 1 1 1 x dx dx dx dx x x x x x  _ _ _   



3ln 3ln 1 2 1 x x c x       3ln 2 1 1 x c x x      bulunur. 2.

_

₂

_

2 3 1 dx x x 



integralini hesaplayınız. Çözüm:

_

₂

_

2



2

 

₂

_

2 3 1 1 1 A Bx C Dx E x x x x x         şeklinde olup



₂



2







₃



₂ 3A x 1  Bx C x x Dx Ex bulunur. Buradan 3, 3, 0, 3, 0

A B  C D  E elde edilir. Şimdi bu değerleri yerine yazarsak integral şu hali alır:



₂



2 2



₂



2 3 3 3 3 1 1 1 dx x x dx dx dx x x x x      x 



2 2 3 3 1 3ln ln 1 2 2 1 x x c x       olur. 3.



e dxx integralini hesaplayınız.

Çözüm:_{x t}_ 2_dersek_dx₂_tdt_{olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak}

2 2

x t t

e dx e tdt  e tdt



olur. Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım._{t u e dt dv}_ , t _

olsun. O halde , t

du dt e v olur. Bunları integrale uygularsak

2 2 2

x t t t t t

e dx e tdt _te  e dt_ _te e _c



bulunur. 2

x t olduğundan t  x olur ve bu dönüşümü yerine yazarsak



e dxx 2_ xe xe x_c elde edilir.

(18)

4.

_

ln x2 dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: . Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım.ln



x2



u dx dv,  olsun. O halde , 2 dx du x v x  

 olur. Bunları integrale uygularsak









_

_

ln 2 ln 2 2 x x dx x x dx x     



ln



2



1 2 2 x x dx x      _  _   



ln



x2



x _ 2ln



x2



x_c olur. 5.



x8lnxdx integralini hesaplayınız.

Çözüm: . Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım._ln_{x u x dx dv}_ _, 8 _

olsun. O halde 9 1 , 9 x dx du v x   bulunur. 9 9 9 8 8_ln _ln _ln 9 9 9 9 x x dx x x x xdx x x dx x    



9 9 8 9 1 1 ln ln 9 9 9 81 x x x x dx x x c  



   olur. 6. 2 cos sin sin 6 y dy y y



Çözüm:sin y t dersek cos ydy dt olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak

2 2 cos 1 sin sin 6 6 y dy dt y y  t  t



olur. 2 1 6

t  t ifadesini basit kesirlerine ayırırsak

2 1 6 2 3 A B t  t t t olup 1 1 , 5 5 A B  bulunur. 2 2 cos 1 1 1 1 1 sin sin 6 6 5 2 5 3 y dy dt dt dt y y  t  t  t  t



1ln 2 1ln 3 5 t 5 t c      1ln 2 5 3 t c t     olur. sin y t olduğundan 2 cos 1 2 1 sin 2 ln ln

sin sin 6 5 3 5 sin 3

y t y dy c c y y t y          



bulunur.

(19)

7. 2 cos sin x x dx x



Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemiyle çözelim. 2

cos , sin x x u dx dv x   olsun. O halde dx du

ve sin x t dönüşümünü yaparsak cos₂ cos₂ 1₂ 1 1

sin sin sin

x x dv dx v dx dt x x t t x     

_



_

  bulunur. 2 cos 1 1

sin sin sin

x x dx x dx x x x       _ _ _ _    



olur. İntegralde tan

2 x w  dönüşümünü yapalım. 2 2 1 dw dx w 

 olur. Dik üçgenden yararlanarak 2

2 sin 1 w x w   bulunur. 2 2 2 1 ₁ ln ln tan 2 sin 2 1 dw dw x w dx w c c w x w w   _ _ _ _ _{ } _     



çözümü elde edilir. Şimdi bu integrali

yerine yazarsak 2

cos 1 1 1

ln tan

sin sin sin sin 2

x x x dx x dx x c x x x x          _ _ _ _  _ _       



bulunur. 8.

_

_

2 1 x xe dx x



Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. ,

_

_

2

1 x dx u xe dv x    olsun. O halde



1



, 1 1 x du x e dx v x      bulunur.





2





1 1 1 1 1 1 x x x xe dx xe x e dx x x x    _ _      



1 1 x x xe e dx x    _ _   



1 x x xe e c x      1 x e c x    olur. 9.



x e dx2 x integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. 2

, x x u e dx dv  olsun. O halde 2 , x du_ xdx _e _v 2 2 2 x x x x e dx  x e  e xdx



(20)

_{ }_{x e}2 x_2 _{e xdx}x



olur. e xdxx



integraline kısmi integrasyon uygulayalım._{x u e dx dv}_ , x _ _{olsun. Buradan}_{dx du}_ _,__ex __v_olur.

x x x x x

e xdx _{ }xe _ e dx _{ }xe _e



bulunur. Şimdi bunu integralde yerine yazarsak

2 x 2 x ₂ x 2 x ₂ x x

x e dx  x e  e xdx  x e  _xe e _c



elde edilir.

10.



arctan xdxintegralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrayon yöntemini uygulayalım. arctanx u dv dx ,  olsun. O halde

2 1 , 1 du dx v x x    bulunur. 2 1 arctan arctan 1 xdx x x x dx x   



arctan 1 2 ₂ 2 1 x x x dx x   



arctan 1ln 1 2 2 x x x c     elde edilir. 11.



x5lnxdxintegralini hesaplayınız.

lnx u x dx dv ,  olsun. O halde 6 1 , 6 x dx du v x   bulunur. 6 6 5_ln _ln 1 6 6 x x x xdx x dx x  



6 6 6 6 1 ln ln 6 36 6 6 x x x x c x x  c     _  _   olur. 12. ₂ 2 4 x x e dx e  



integralini hesaplayınız. Çözüm: ₂ 2 4 x x e e   ifadesi 2



 



2 2 1 4 2 2 2 x x x x x x e e e e e e         olur. İntegral 1 2 x dx e 



halini alır. Burada _ex_{ }2 _u_dersek 2 x du e dx du dx u   

 bulunur. Bulduklarımızı integralde yerine yazarsak x1 ₂

_

₂

_

du dx

e   u u



olur. İntegraldeki ifadeyi basit kesirlerine ayırırsak



1 2



21 2



1 2



u u  u  u olur. Şimdi integrali çözelim:

x1 ₂

_

₂

_

1 1₂ 1₂ 1₂

du

dx du du

e   u u  u  u

(21)

1 1 ln ln 2 2 u 2 u c     , _ex_{ }2 _u_olduğundan 1ln 2 1ln 2 2 x x e e c     1 2 ln 2 x x e e   bulunmuş olur. 13. 2 3 2 3 8 4 4 x dx x x x   



integralini hesaplayınız. Çözüm: 2 3 2 3 8 4 4 x x x x    ifadesi





2 2 3 2 3 8 2 1 10 4 4 2 2 x x x x x x x         olur. İntegral





2 2 1 10 2 2 dx dx dx x  x  x



halini alır. 2 3 2 3 8 4 4 x dx x x x   



=

_

_

2 2 1 10 2 2 dx dx dx x  x  x



=2ln ln



2



10 2 x x c x      elde edilir. 14. 1 cosxdx



integralini hesaplayınız. Çözüm: 2 1 cos cos cos x x  x şeklinde yazılabilir. 2 2

cos x 1 sin x olduğundan integral

2 2

1 cos cos

cos cos 1 sin

x x

dx dx dx

x  x   x



halini alır. sin x t dönüşümünü yaparsak

cos xdx dt olur ve cos ₂ 1 ₂

1 sin 1

x

dx dt

x  t

 



elde edilir. İntegralin ifadesinin basit kesirlere ayrılmış hali 2 1 1 1 1 1 . . 1t  2 1t 2 1t olur. 2 2 cos 1 1 1 1 1 . . 1 sin 1 2 1 2 1 x dx dt dt dt x  t  t  t    



1ln 1 1ln 1 2 t 2 t c       1ln 1 sin 1ln 1 sin 2 x 2 x c       bulunur.

(22)

Çözüm: Kısmi integrayon yöntemini uygulayalım. cos ln



x



u dv dx,  olsun. O halde





1

sin lnx dx du x v,

x

   olur. İntegralde bulduklarımızı uygularsak









1













 

cos lnx dx xcos lnx x sin lnx dx xcos lnx sin lnx dx... *

x      _ _    



olur.

Burada



sin ln x dx





integraline tekrar kısmi integrasyon yöntemini uygularsak





sin lnx u dv dx,  ve 1cos ln



x dx du x v



,

x   olur. O halde









1













 

sin lnx dx sin lnx x x cos lnx dx sin lnx x cos lnx dx... **

x

   



olur.

Görüldüğü gibi

 

** ifadesinde görülen integral çözümünü bulmak istediğimiz integraldir.

 

** ifadesini  * da yerine yazarsak

























cos lnx dx x cos lnx  sin lnx dx x cos lnx sin lnx x cos lnx dx



Şimdi



cos ln x dx





ifadesini eşitliğin sol tarafına atarsak

















1





1





1

2 cos ln cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln

2 2 2

x dx x x  x x c  x dx x x  x x c



bulunur. 1

2c sabit bir sayı olduğundan 1 1 2

c  c dersek













1

1 1

cos ln cos ln sin ln

2 2 x dx x x  x x c



elde edilir. 16. _cos2 x dx x



1 , cos x u dv dx x   olsun. O halde , tan

dx du v  xolur. cos ln





tan tan tan sin

cos x x dx x x xdx x x dx x    



xtanxln cos



x



c bulunur. 17. _eaxcos_bxdx

(23)

Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. _eax __{u dv}, _cos_bxdx_{olsun. O halde} 1 , sin ax ae dx du bx v b

  olur. _eaxcos_bxdx 1_eaxsin_bx _aeax1sin_bxdx

b b  



1 sin sin ax a ax e bx e bxdx b b   _{ }



_

Tekrar kısmi integrasyon uygulayalım. _eax __{u dv}, _sin_bxdx

ise ax , 1cos ae dx du bx v b    olduğundan _eaxcos_bxdx



= 1 1 1

sin sin sin cos cos

ax a ax ax a ax a ax e bx e bxdx e bx e bx e bxdx b b b b b b       _ _  _  _  



2 2 2 1

sin cos cos

ax a ax a ax e bx e bx e bxdx b b b   

_

Buradaki 2 2 cos ax a e bxdx

b



integralini aradığımız için eşitliğin soluna atarak çözümü

bulabiliriz.

2

2 2

1

cos sin cos cos

ax ax a ax a ax e bxdx e bx e bx e bxdx b b b   



2 2 2 1

1 a _eaxcos_bxdx _eaxsin_bx a _eaxcos_bx

b b b

 

 _ _  

 



cos 2 2 sin 2 2 cos

ax b ax a ax e bxdx e bx e bx c b a b a      



elde edilir. 18.

_

_

2 2 1 1 x x dx x x   



integralini hesaplayınız. Çözüm:

_

_

2 2 1 1 x x x x    ifadesi





2 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x x   _{ }   olur.

_

_

2 2 2 1 1 1 ln arctan 1 1 x x dx dx dx x x c x x x x   _ _ _ _ _  



bulunur. 19.

_

xln



x21



dxintegralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. ln



x2 1



u xdx dv,  olsun. O halde

2 2 2 , 1 2 x x dx du v x    bulunur.









2 2 2 2 2 2 ln 1 ln 1 2 2 1 x x x x x dx x dx x     







2 2 2 ln 1 2 1 x x x x dx x      _  _   







2 2 2 1 2 ln 1 2 2 1 x x x xdx dx x     



(24)









2 2 2 1 2 ln 1 ln 1 2 2 2 x x x x c       elde edilir. 20. cos_xxdx e



Çözüm: Kısmi integrasyonla çözelim. _ex __u, cos_{xdx dv}_ _{olsun. O halde} , sin

x

e dx du x v

    bulunur. cos xsin xsin

x x dx e x e xdx e     



olur. Tekrar kısmi

integrasyon uygulayalım. _ex __{u dv}, _sin_xdx_ise__{e dx du}x _ _{, cos}_{x v}_

olduğundan xcos

e xdx



=exsinx_



exsinxdx_exsinx _ excosx



excosxdx_ _{ }_exsin_{x e}_ xcos_x_ _excos_xdx



Buradaki xcos

e xdx



integralini aradığımız için eşitliğin soluna atarak çözümü bulabiliriz.

cos sin cos cos

x x x x

e xdx e x e  x e xdx



2 xcos xsin xcos

e xdx e x e x





 

cos 1 sin 1 cos

2 2

x x x

e xdx  e x e x c



_

   elde edilir.

Bu soru kısmi integrasyon yardımıyla da çözülebilir.

21.



cos cos sinx



x dx



Çözüm:usinx dersek cos xdx du olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak





cos cos sinx x dx cosudusinu c



olur. usinx olduğundan









cos cos sinx x dxsin sinx c



bulunur. 22.





3 11 x dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm:u 11 x dersek 1 1 2 2 xdx du  x dx du olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak









3 4 4 3 11 11 2 2 4 2 x _u x dx u du c c x       



elde edilir.

(25)

A) sinm _xcosn _xdx



biçimindeki integraller

m veya n’nin tek veya çift olma durumuna göre integralleri inceleyelim.  m tek, n çift olması halinde cos x t _{dönüşümü yapılır.}

 m çift, n tek olması halinde sin x t dönüşümü yapılır.

 m tek, n tek olması halinde cos x t _veyasin x t dönüşümü yapılır.  m çift, n çift olması halinde_sin2 1



_{1 cos 2}



2

x  x ve cos2 1



1 cos 2



2

x  x

özdeşliklerini kullanarak çözülür.

Örnek:



sin5xcos2 xdx integralini çözelim.m5,n2 olduğundan cos x t dönüşümü yapılır. O halde sin xdx dt olur.





2

5 2 4 2 2 2

sin xcos xdx sin xcos xsinxdx 1 cos x cos xsinxdx



_{ }



₁__t2



2_{t dt}2 _{ }



_{1 2}_ _t2__{t t dt}4



2







3 5 7 2 ₂ 4 6 2 3 5 7 t t t t t t dt   c      _   _  



3 5 7

cos 2cos cos

3 5 7 x x x c    _   _   çözümü elde edilir.

Örnek:



sin2 xcos3xdx integralini çözelim.m2,n3 olduğundan sin x t dönüşümü yapılır. O halde cos xdx dt olur.





2 3 2 2 2 2

sin xcos xdx sin xcos xcosxdx sin x 1 sin x cosxdx







t2



1t dt2









t2t dt4



3 5 3 5 sin sin 3 5 3 5 t t x x c c       bulunur.

Örnek:



sin2 xcos2xdx integralini çözelim.m2,n2 olduğundan





2 1 sin 1 cos 2 2 x  x ve _cos2 1



_{1 cos 2}



2 x  x özdeşliklerini kullanacağız.



 







2 2 1 1 1 2

sin cos 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2

2 2 4 x xdx  x  x dx  x dx



1 1 1



1 cos 4



1 1 1 1cos 4 4 2 x dx 4 2 2 x dx      _   _  _   _    



(26)

1 1 1cos 4 1 1 1 1sin 4 4 2 2 x dx 4 2x 2 4 x c      _  _  _  _    



1 1 sin 4 8x 32 x c   

Örnek:



cos xdx4 integralini çözelim.n2 olduğundan _cos2 1



_{1 cos 2}



2

x  x

özdeşliğini kullanacağız.





2





4 1 1 2

cos 1 cos 2 1 2cos 2 cos 2

2 2 xdx  x dx  x x dx



1 1 2cos 2 1



1 cos 4



2 x 2 x dx    _    _  







1 1 1 2cos 2 1 cos 4 2 2 3 1 cos 2 cos 4 4 4 x x dx x x dx    _    _      _   _  



3 1 1 cos 2 cos 4 4x 2 x 16 x c     olur. B) tanm _xsecn _xdx



biçimindeki integraller

m_veyan_{’nin tek veya çift olma durumuna göre integralleri inceleyelim.}

 m tek ise sec x t dönüşümü yapılır.  n çift ise tan x t dönüşümü yapılır.

 m çift, n tek ise kısmi integrasyon yöntemi uygulanır.

Örnek:



tan6xsec4xdx integralini çözelim. n4 olduğundan tan x t dönüşümü yapılır. O halde _{sec xdx dt}2 _ _olur.



_tan6 _x_sec4 _xdx



_tan6_x_sec2 _x_sec2 _xdx

2 2

1 tan xsec xolduğundan 

_

tan6 x



1 tan 2 x



sec2xdx





t6



1t dt2





_



t6t dt8



7 9 7 9 t t c   

(27)

7 9 tan tan 7 9 x x c    olur.

Örnek:



sec xdx integralini çözelim. sec sec

_



sec tan

_



sec tan x x x xdx dx x x   



şeklinde yazabiliriz.

Burada u



secxtanx



dönüşümü yaparsak du



tan .secx xsec2x dx



olur. O halde









sec sec tan

sec ln ln sec tan

sec tan x x x du xdx dx u c x x c x x u         



bulunur.

Örnek:



sec xdx3 integralini çözelim.n3 oluğundan kısmi integrasyonla çözeceğiz.

3 2

sec xdx sec xsecxdx



olmak üzere _u__{sec ,}_{x dv}__sec2_x

dersek dusec tanx xdx olur.

2

sec xsecxdxsec tanx x tan sec tanx x x dx



2

sec tanx x tan xsecx dx

 

_



2



sec tanx x 1 sec x secx dx

 





3

sec tanx x sec xdx secxdx

 







3

sec xdx



çözümünü aradığımız integral olduğundan eşitliğin soluna atarsak

3 3 1 1

2 sec sec tan sec sec sec tan sec

2 2

xdx x x xdx xdx x x xdx



1sec tan 1ln sec tan

2 x x 2 x x c

    bulunur.

C) sin



mxcosnxdx,



sinmxsinnxdx,



cosmxcosnxdx biçimindeki integraller Bu tip integralleri çözerken













 













 

















1

sin .cos sin sin ... *

2 1

sin .sin cos cos ... **

2 1

cos .cos cos cos ... ***

2 mx nx m n x m n x mx nx m n x m n x mx nx m n x m n x             özdeşliklerini kullanacağız.

Örnek:



sin 2 cos 5x x dx integralini çözelim.

 

* özdeşliğini kullanırsak





1 1 1 1

sin 2 cos5 sin 7 sin 3 cos 7 cos3

2 2 7 3

x x dx x x dx _ x x_c

 