Singüler Potansiyelli Dirac Diferensiyel Denklemlerin Çözümleri İçin İntegral Gösterilimleri = Integral Representations for Solutions of Dirac Differential Equations With Singular Potential

(1)

C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi

Fen Bilimleri Dergisi (2005)Cilt 26 Sayı 2

Singüler Potansiyelli Dirac Diferensiyel Denklemlerin Çözümleri İçin İntegral Gösterilimleri

R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ

Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas

emirov@cumhuriyet.edu.tr, yguldu@cumhuriyet.edu.tr

Received:12.10.2006, Accepted: 22.10.2006

Özet: Bu çalışmada, [4]’de incelenen ve self-adjoint genişlemeleri yazılan singüler katsayılı Dirac

operatörleri için çevirme operatörü tipinde gösterilimler elde edilmiştir.

Anahtar kelimeler: Çevirme operatörü, İntegral denklemi, Dirac operatörü

Integral Representations for Solutions of Dirac Differential Equations With Singular Potential

Abstract: In this study, representations with transformation operator have been obtained for Dirac

operators with singular coefficients which have been written self-adjoint extensions and have been considered in [4].

Key Words: Transformation operator, Integral equation, Dirac operator

1. Giriş

İntegrallenebilen potansiyellere sahip Dirac diferansiyel operatörlerin spektral teorisi, [1,2] de verilmiştir. Singüler potansiyellere sahip bazı Dirac operatörleri [3,

(2)

   + ′ − + ′ = 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ] [ y x b y y x a y y l    + + ′ − + + ′ = 2 1 1 2 1 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ] [ y x p y x q y y x q y x p y y l

diferansiyel ifadeleri tarafından sonlu bir aralıkta üretilen Dirac operatörleri [4] de tanımlanmıştır. Burada a(x) birinci mertebeden singüler fonksiyondur öyleki

∫

∈

≡ ( ) ,

)

(x a x dx L₂

u ν±1(x)≡exp

{

±

∫

q(x)dx

}

∈L₂ ve b(x) ve p(x)sınırlı ölçülebilir fonksiyonlardır. l₁[ ] ve [ ]⋅ l ifadeleri ile minimal ve maksimal operatörler belirlenmiş ₂ ⋅ ve minimal operatörlerin self-adjoint genişlemeleri tanımlanmıştır.

Singüler katsayılara sahip Sturm-Liouville operatörleri [3,5] de geniş olarak çalışılmıştır.

Bu çalışmada, [4]’de incelenen ve self-adjoint genişlemeleri yazılan singüler katsayılı Dirac operatörleri için çevirme operatörü tipinde gösterilimler elde edilmiştir.

2. İntegral Denkleminin Oluşturulması Sonlu aralıkta     =         + ′         − 2 1 2 1 2 1 0 0 0 ) ( 0 1 1 0 y y y y x a y y λ , 0< x<π (1)

Dirac diferansiyel denklemler sistemi ele alınsın. Burada a(x) birinci mertebeden singüler fonksiyondur öyleki u x( )≡

∫

a x dx( ) ∈L₂

[ ]

0,π ve λ∈Cdir.

2 2 ( ) 1 y% = y +u x y dönüşümü ile 1 1 2 2 2 ( ) ( ( ) 1) ( ) y u x y y u x u x y λ λ λ λ ′ ₋   ₌      ₊ ₋      %  % (2)

sistemi elde edilir. Bu bağıntının sağ tarafındaki matrisin elemanları L₁(0,π) uzayına aittir. Böylece ∀ξ∈[0,π] için c₁ ,c₂∈C olmak üzere (1) sisteminin

1( ) 1 ve ( )2 2

y ξ =c y% ξ =c başlangıç koşullarını sağlayan bir tek 1

2 ( ) y ( ) y x x y   =    % çözümü vardır ve y(x)∈AC[0,π] dir.

İlk olarak (2) sisteminin çözümü elde edilsin. Bunun için (2) sisteminin homojen kısmının çözümü;

i xλ i xλ

(3)

şeklinde alınır. Dolayısıyla, x c x c x y₁( ,λ)= ₁cosλ + ₂sinλ 2( , ) 1sin 2cos y x% λ =c λx c− λx

şeklinde lineer bağımsız reel çözümler ailesi elde edilir.

Şimdi ise homojen olmayan (2) sisteminin çözümü yazılacak olursa,

2

1 1 2 1 2

0 0

( , ) cos sin ( ) sin ( ) ( ) sin ( )

x x y x λ =c λx c+ λx+λ

∫

u x y λ t−x dt−λ

∫

u x y% λ t−x dt

∫

− + x dt x t y x u 0 1cos ( ) ) ( λ λ 2 2 1 2 1 2 0 0

( , ) sin cos ( ) cos ( ) ( ) cos ( )

x x y x% λ =c λx c− λx+λ

∫

u x y λ t−x dt−λ

∫

u x y% λ t−x dt

∫

− − x dt x t y x u 0 1sin ( ) ) ( λ λ şeklinde olur. (2) sistemi ve 1 2 1 (0) y y i   ₌     ₋  

 % koşulunun oluşturduğu problem L ile gösterilirse bu L

probleminin çözümü, 2 1 1 2 0 0 1 0 2 2 1 2 0 0 1 0 ( , ) ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) cos ( ) ( , ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) x x i x x x x i x x y x e u x y t x dt u x y t x dt u x y t x dt y x ie u x y t x dt u x y t x dt u x y t x dt λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ  = + − − −     + −    _{= −} ₊ ₋ ₋ ₋  − − 

∫

% % %    (3)

olur. Diğer taraftan (2) sisteminin 1

2 1 (0) y y i   ₌     ₋  

 % başlangıç koşullarını sağlayan

1 2 ( , ) y x y λ      % çözümünün 1 2 1 ( ) 1 ( , ) ( , ) ( ) x i x i t y ib x x e K x t e dt y i b x i λ λ λ − +   ₌  ₊     _{− +}   ₋      %

∫

(4)

şeklinde bir gösterime sahip olduğu gösterilsin. Burada     = ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 22 21 12 11 t x K t x K t x K t x K t x K ve b(x)=b₁(x)+ib₂(x) biçimindedir.

(4) ifadesi koordinatları ile yazılırsa aşağıdaki ifadeler alınır:

∫

− − − + + − = x x t i x x t i x i x i x i dt e t x K i dt e t x K e x ib e x b e x y1( ,λ) λ 2( ) λ 1( ) λ 11( , ) λ 12( , ) λ , (5) 2( , ) 1( ) 2( ) 21( , ) 22( , ) x x i x i x i x i t i t x x y x λ ieλ b x eλ ib x eλ K x t e dtλ i K x t e dtλ − − = − + + +

∫

−

∫

% , (6) (4) şeklinde verilen 1 2 ( , ) y x y λ    

 % çözümünün (3) denklemini sağlaması için,((5),

(6) eşitlikleri (3) eşitliğinde yerlerine yazılırsa)

∫

− − − = − + + − x x x t i t i x x t i x i x i dt e x t t u dt e t x K i dt e t x K e x ib e x b 0 2 12 11 1 2( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )sin ( ) λ λ λ λ λ _λ _λ

∫

− +

∫

− − x i t x it dt e t b x t t u i dt e t b x t t u 0 0 1 2 2 2 ) ( ) ( sin ) ( ) ( ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ

∫

− − − − − + x s i t t x t t s i dsdt e s t K x t t u i dsdt e s t K x t t u 0 12 2 0 11 2 ) , ( ) ( sin ) ( ) , ( ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ

∫

−

∫

−

+

x i t x x t i t i

dt

e

t

b

x

t

u

i

dt

e

t

b

x

t

u

dt

e

x

t

u

i

0 2 0 0 1

(

)

(

)

sin

(

)

(

)

(

sin

)

(

)

(

sin

)

(

λ

∫

− − − + − − x t t x t t s i s i dsdt e s t K x t t u i dsdt e s t K x t t u 0 0 22 21( , ) ( )sin ( ) ( , ) ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ

∫

− −

∫

− +

∫

− + x it x it x is dt e t b x t t u i dt e t b x t t u dt e x t t u 0 0 0 1 2( ) ( )cos ( ) ( ) ) ( cos ) ( ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ λ λ λ

∫

− − − − − + x t t s i x t t s i dsdt e s t K x t t u i dsdt e s t K x t t u 0 12 0 11( , ) ( )cos ( ) ( , ) ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ (7) ve

∫

− − − = − + + x x x t i t i x x t i x i x i dt e x t t u dt e t x K i dt e t x K e x ib e x b 0 2 22 21 2 1( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )cos ( ) λ λ λ λ λ _λ _λ

∫

− +

∫

− − x x t i t i dt e t b x t t u i dt e t b x t t u 0 0 1 2 2 2 ) ( ) ( cos ) ( ) ( ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ

(5)

∫

− − − − − + x s i t t x t t s i dsdt e s t K x t t u i dsdt e s t K x t t u 0 12 2 0 11 2 ) , ( ) ( cos ) ( ) , ( ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ

∫

−

∫

−

∫

−

+

x x i t x t i t i

dt

e

t

b

x

t

u

dt

e

t

b

x

t

u

dt

e

x

t

u

i

0 0 2 0 1

(

)

(

)

cos

(

)

(

)

(

cos

)

(

)

(

cos

)

(

λ

∫

− − − + − − x t t x t t s i s i dsdt e s t K x t t u i dsdt e s t K x t t u 0 0 22 21( , ) ( )cos ( ) ( , ) ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ

∫

− +

∫

− −

∫

− − x x x s i t i t i dt e t b x t t u i dt e t b x t t u dt e x t t u 0 0 0 1 2( ) ( )sin ( ) ( ) ) ( sin ) ( ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ λ λ λ

∫

− − − − − − x t t s i x t t s i dsdt e s t K x t t u i dsdt e s t K x t t u 0 12 0 11( , ) ( )sin ( ) ( , ) ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ (8)

eşitliklerinin sağlanması gerekir.

Tersine K( tx, ) matris fonksiyonu (7) ve (8) eşitliklerini sağlıyorsa, 1

2 ( , ) y x y λ      %

fonksiyonu (4) eşitliğini sağlamalıdır. (7) eşitliğinden,

∫

− =− + + − x x i x x t i x t i dt t u e i dt e t x u i dt e x t t u 0 2 2 0 2 ) ( 2 ) 2 ( 4 ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ λ

∫

− = + + − − − x x i x x t i x t i dt t b t u e i dt e t x b t x u i dt e t b x t t u 0 2 2 2 2 0 2 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ λ dt e t x b t x u dt t b t u e dt e t b x t t u i x x t i x x i x t i

∫

− + + + − = − λ λ λ λ λ λ λ ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( sin ) ( 1 2 0 1 2 0 1 2 dt e d x t K u i dsdt e s t K x t t u i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

∫

∫ ∫

− − − − + − = − 2 11 2 0 11 2 ) ) , ( ) ( ( 2 ) , ( ) ( sin ) ( u K x t d e dt i t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 11 2 ) ) , ( ) ( ( 2 dt e d x t K u dsdt e s t K x t t u i it x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

_∫

_{∫ ∫}

− − − − + = − − 2 12 2 0 12 2 ) ) , ( ) ( ( 2 ) , ( ) ( sin ) ( u K x t d ei tdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + − 2 12 2 ) ) , ( ) ( ( 2

(6)

∫

− = + − − x x i x x t i x t i dt t u e dt e t x u dt e x t t u i 0 0 ) ( 2 ) 2 ( 4 ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ λ

∫

− = + + − − x x i x x t i x t i dt t b t u e i dt e t x b t x u i dt e t b x t t u 0 1 1 0 1 ( ) ( ) 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ λ dt e t x b t x u dt t b t u e dt e t b x t t u i x x t i x x i x t i

∫

− + + + − = − λ λ λ λ λ λ λ ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( sin ) ( ₂ 0 2 0 2 dt e d x t K u i dsdt e s t K x t t u i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

_∫

_{∫ ∫}

− − − − + − = − 2 21 0 21 ( ( ) ( , ) ) 2 ) , ( ) ( sin ) ( u K x t d e dt i t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 21( , ) ) ) ( ( 2 dt e d x t K u dsdt e s t K x t t u i i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

∫

∫ ∫

− − − − + − = − 2 22 0 22 ( ( ) ( , ) ) 2 ) , ( ) ( sin ) ( u K x t d ei tdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 22( , ) ) ) ( ( 2

∫

− = + + − x x i x x t i x t i dt t u e dt e t x u dt e x t t u 0 0 ) ( 2 ) 2 ( 4 ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ λ

∫

− =− + + − − − x x i x x t i x t i dt t b t u e dt e t x b t x u dt e t b x t t u 0 2 2 0 2 ( ) ( ) 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ λ dt e t x b t x u i dt t b t u e i dt e t b x t t u i x x t i x x i x t i

∫

− + + + = − λ λ λ λ λ λ λ ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( cos ) ( ₁ 0 1 0 1 dt e d x t K u dsdt e s t K x t t u i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

_∫

_{∫ ∫}

− + − − + = − 2 11 0 11 ( ( ) ( , ) ) 2 ) , ( ) ( cos ) ( u K t x d ei tdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + + 2 11( , ) ) ) ( ( 2 dt e d x t K u i dsdt e s t K x t t u i it x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

_∫

_{∫ ∫}

− − − − + − = − − 2 12 0 12 ( ( ) ( , ) ) 2 ) , ( ) ( cos ) (

(7)

i u K t x d ei tdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + − 2 12( , ) ) ) ( ( 2

ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler (7) de yerlerine yazılırsa,

∫

− − − + − = − + + − x x x x t i t i x x t i x i x i dt e t x u i dt e t x K i dt e t x K e x ib e x b λ λ λ λ λ ) λ 2 ( 4 ) , ( ) , ( ) ( ) ( ₁ ₁₁ ₁₂ 2 2

∫

+ + + − + − x x i x x t i x x i dt t b t u e i dt e t x b t x u i dt t u e i 0 2 2 2 2 0 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( 2 λ λ λ λ λ λ

∫

− x x i dt t b t u e 0 1 2 ) ( ) ( 2 λ λ dt e t x b t x u x x t i

∫

− + + +λ λ ) 2 ( ) 2 ( 4 1 2 dt e d x t K u i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + + 2 11 2 ) ) , ( ) ( ( 2 dt e d t x K u i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + − 2 11 2 ) ) , ( ) ( ( 2 u K t x d e dt t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + + 2 12 2 ) ) , ( ) ( ( 2 dt e d t x K u i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + − 2 12 2 ) ) , ( ) ( ( 2

∫

−

∫

+ + − x x i x x t i dt t u e dt e t x u 0 ) ( 2 ) 2 ( 4 λ λ λ λ

∫

+ + − + − x x i x x i x x t i dt t b t u e dt t b t u e i dt e t x b t x u i 0 2 0 1 1 ( ) ( ) 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 λ λ λ λ λ λ dt e t x b t x u x x t i

∫

− + + −λ λ ) 2 ( ) 2 ( 4 2 u K t x d e dt i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + − 2 21( , ) ) ) ( ( 2 dt e d t x K u i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 21( , ) ) ) ( ( 2 u K t x d e dt t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + − 2 22( , ) ) ) ( ( 2 dt e d t x K u i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 22( , ) ) ) ( ( 2

∫

+

∫

+ + − x x i x x t i dt t u e dt e t x u 0 ) ( 2 ) 2 ( 4 λ λ λ λ

∫

+ + − + − − x x i x x i x x t i dt t b t u e i dt t b t u e dt e t x b t x u 0 1 0 2 2 ( ) ( ) 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 λ λ λ λ λ λ dt e t x b t x u i x x t i

∫

− + + +λ ₎ λ 2 ( ) 2 ( 4 1 u K t x d e dt t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 11( , ) ) ) ( ( 2

(8)

dt e d x t K u i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + + 2 11( , ) ) ) ( ( 2 u K t x d e dt i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + − 2 12( , ) ) ) ( ( 2 12 2 ( ( ) ( , ) ) 2 x x i t x t x i u K t x d e dtλ λ _ς _ς _{ς ς} + − −

∫ ∫

+ − (7’) eşitliği alınır. Buradan

∫

− = x x dt t b t u dt t u x b 0 2 2 0 2 1 ( ) ( ) 2 ) ( 2 ) ( λ λ , =

∫

x dt t b t u x b 0 1 2 2 ( ) ( ) 2 ) ( λ ς ς ς ς λ λ d x t K u t x b t x u t x K x t x ) , ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) , ( ₁₂ 2 2 1 2 11 − + − + + =

∫

− ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) , ( ) ( 2 12 2 2 2 x t b t x u t x u d x t K u x t x + + − + + − + +

∫

+ λ λ ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u x t x x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 11 2 22 2 − + + − + −

∫

− − ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u x t x x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 11 2 22 2 − + + − + +

_∫

+ + ς ς ς ς λ λ λ d x t K u t x b t x u t x u t x K x t x ) , ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) , ( 11 2 2 2 2 2 12 + + − + + + + − =

∫

− ς ς ς ς λ λ ς ς ς ς λ d x t K u t x b t x u d x t K u x t x x t x ) , ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) , ( ) ( 2 21 2 1 11 2 2 + − + + + − + − −

_∫

− + ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u x t x x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 12 2 21 2 − + + − + +

∫

− + ς ς ς ς λ d x t K u x t x ) , ( ) ( 2 12 2 − + +

∫

+

eşitlikleri elde edilir. (8) eşitliğinden,

∫

− = + + − x x i x t i x t i dt t u e dt e t x u dt e x t t u2 2 2( ) 2 ) 2 ( 4 ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ λ

(9)

∫

− =− + + − − − x x i x x t i x t i dt t b t u e dt e t x b t x u dt e t b x t t u 0 2 2 2 2 0 2 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ λ dt e t x b t x u i dt t b t u e i dt e t b x t t u i x x t i x x i x t i

∫

− + + + = − λ λ λ λ λ λ λ ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( cos ) ( 1 2 0 1 2 0 1 2 dt e d x t K u dsdt e s t K x t t u i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

_∫

_{∫ ∫}

− − − − + = − 2 11 2 0 11 2 ) ) , ( ) ( ( 2 ) , ( ) ( cos ) ( u K x t d ei tdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 11 2 ) ) , ( ) ( ( 2 dt e d x t K u i dsdt e s t K x t t u i i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

∫

∫ ∫

− − − − + − = − − 2 12 2 0 12 2 ) ) , ( ) ( ( 2 ) , ( ) ( cos ) ( i u K x t d ei tdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + − 2 12 2 ) ) , ( ) ( ( 2

∫

− = + + − x x i x x t i x t i dt t u e i dt e t x u i dt e x t t u i 0 0 ) ( 2 ) 2 ( 4 ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ λ

∫

− = + + + − x x i x x t i x t i dt t b t u e dt e t x b t x u dt e t b x t t u 0 1 1 0 1 ( ) ( ) 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( cos ) ( λ λ λ λ λ λ λ dt e t x b t x u i dt t b t u e i dt e t b x t t u i x x t i x x i x t i

∫

− + + + = − λ λ λ λ λ λ λ ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( cos ) ( 2 0 2 0 2 dt e d x t K u dsdt e s t K x t t u i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

_∫

_{∫ ∫}

− − − − + = − 2 21 0 21 ( ( ) ( , ) ) 2 ) , ( ) ( cos ) ( u K x t d ei tdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 21( , ) ) ) ( ( 2 dt e d x t K u i dsdt e s t K x t t u i i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

∫

∫ ∫

− − − − + = − 2 22 0 22 ( ( ) ( , ) ) 2 ) , ( ) ( cos ) ( i u K x t d ei tdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 22( , ) ) ) ( ( 2

(10)

∫

− = + − − x x i x x t i x t i dt t u e i dt e t x u i dt e x t t u 0 0 ) ( 2 ) 2 ( 4 ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ λ

∫

− =− + + + − − x x i x x t i x t i dt t b t u e i dt e t x b t x u i dt e t b x t t u 0 2 2 0 2 ( ) ( ) 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( sin ) ( λ λ λ λ λ λ λ dt e t x b t x u dt t b t u e dt e t b x t t u i x x t i x x i x t i

∫

− + + + − = − λ λ λ λ λ λ λ ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( sin ) ( 1 0 1 0 1 dt e d x t K u i dsdt e s t K x t t u i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

∫

∫ ∫

− + − − + = − 2 11 0 11 ( ( ) ( , ) ) 2 ) , ( ) ( sin ) ( u K t x d e dt i t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + − 2 11( , ) ) ) ( ( 2 dt e d x t K u dsdt e s t K x t t u i i t x x x t x x s i t t λ λ λ _ς _ς _ς _ς λ λ

∫

∫ ∫

− − − − + − = − 2 12 0 12 ( ( ) ( , ) ) 2 ) , ( ) ( sin ) ( u K t x d eitdt x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 12( , ) ) ) ( ( 2

ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler (8) de yerlerine yazılırsa,

∫

− − − + = − + + x x x x t i t i x x t i x i x i dt e t x u dt e t x K i dt e t x K e x ib e x b λ λ λ λ λ ) λ 2 ( 4 ) , ( ) , ( ) ( ) ( 2 21 22 2 1

∫

− + + − + − x x i x x t i x x i dt t b t u e dt e t x b t x u dt t u e 0 2 2 2 2 0 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( 2 λ λ λ λ λ λ

∫

+ x x i dt t b t u e i 0 1 2 ) ( ) ( 2 λ λ dt e t x b t x u i x x t i

∫

− + + + λ ₎ λ 2 ( ) 2 ( 4 1 2 dt e d x t K u i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + + 2 11 2 ) ) , ( ) ( ( 2 u K x t d e dt t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 11 2 ) ) , ( ) ( ( 2 dt e d x t K u i it x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + − 2 12 2 ) ) , ( ) ( ( 2 u K x t d e dt i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + − 2 12 2 ) ) , ( ) ( ( 2 dt e t x b t x u dt t u e i dt e t x u i x x t i x x i x x t i

∫

− − + + − + + + λ λ λ λ λ ₎ λ 2 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 4 ₀ 1 −

∫

x x i dt t b t u e i 0 2( ) ) ( 2 λ λ dt e t x b t x u i x x t i

∫

− + + − λ λ ) 2 ( ) 2 ( 2 2 u K t x d e dt t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + − ( ( ) 21( , ) ) 2

(11)

dt e d t x K u i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + − 2 21( , ) ) ) ( ( 2 u K t x d e dt i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + + 2 22( , ) ) ) ( ( 2 dt e d t x K u i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 22( , ) ) ) ( ( 2

∫

−

∫

+ + − x x i x x t i dt t u e i dt e t x u i 0 ) ( 2 ) 2 ( 4 λ λ λ λ

∫

+ x x i dt t b t u e i 0 2( ) ) ( 2 λ λ dt e d x t K u i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 11( , ) ) ) ( ( 2 dt e d x t K u i i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + − 2 11( , ) ) ) ( ( 2 u K t x d e dt t i x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− − − + − 2 12( , ) ) ) ( ( 2 dt e d x t K u i t x x x t x λ ς ς ς ς λ

∫ ∫

− + − + + 2 12( , ) ) ) ( ( 2 (8’) eşitliği alınır. Buradan

∫

− = x x dt t b t u dt t u x b 0 2 2 0 2 1 ( ) ( ) 2 ) ( 2 ) ( λ λ , =

∫

x dt t b t u x b 0 1 2 2 ( ) ( ) 2 ) ( λ ς ς ς ς λ λ λ d x t K u t x b t x u t x u t x K x t x ) , ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) , ( 11 2 2 2 2 2 21 + + − + + − + =

∫

− ς ς ς ς λ λ ς ς ς ς λ d x t K u t x b t x u d x t K u x t x x t x ) , ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) , ( ) ( 2 21 2 1 11 2 2 + − − + + − + − +

_∫

− + ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u x t x x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 12 2 21 2 − + − − + −

∫

+ + ς ς ς ς λ d x t K u x t x ) , ( ) ( 2 12 2 − + +

∫

− ς ς ς ς λ λ λ d x t K u t x b t x u t x u t x K x t x ) , ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) 2 ( 2 ) , ( ₁₂ 2 2 1 2 22 − + − + + − + − =

_∫

− ς ς ς ς λ λ ς ς ς ς λ d x t K u t x b t x u d x t K u x t x x t x ) , ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) , ( ) ( 2 22 2 2 12 2 2 ₊ ₋ ₊ + + ₋ ₊ ₋ −

∫

− +

(12)

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u x t x x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 11 2 22 2 − + + − + −

∫

− + ς ς ς ς λ d x t K u x t x ) , ( ) ( 2 11 2 − + −

∫

+

eşitlikleri elde edilir. Ayrıca         +               ₋ = ′     0 2 ) ( ) ( 0 2 2 0 ) ( ) ( 2 2 1 2 2 2 1 u x b x b u u x b x b λ λ λ

şeklinde sistem yazılır. Bu bağıntının sağ

tarafındaki matrisin elemanları L₁(0,π) uzayına aittir. Böylece ∀ξ∈[0,π] için C

c

c₁, ₂ ∈ olmak üzere sisteminin y₁( )ξ =c₁ ve ( )y%₂ ξ =c₂ başlangıç koşullarını sağlayan bir tek

    = ) ( ) ( ) ( 2 1 x b x b x b çözümü vardır ve b₁(x),b₂(x)∈AC[0,π] dir.

3. İntegral Denklemler Sisteminin Çözümünün Varlığı

İntegral denklemler sisteminin çözümünün varlığı için ardışık yaklaşımlar metodu uygulansın. Bunun için

) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) , ( 2 ₁ ₂ ) 0 ( 11 t x b t x u t x u t x b t x u t x K =λ + + +λ + −λ + + ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d t x K u d x t K u t x K n x t x n x t x n ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) , ( 12( 1) 2 2 ) 1 ( 12 2 2 ) ( 11 =− + − + + − − + − −

∫

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u n x t x n x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 22 2 ) 1 ( 22 2 − + + − + − − + − −

∫

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u n x t x n x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 11 2 ) 1 ( 11 2 − + + − + + − − − +

∫

) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) , ( 2 2 ₂ ₁ ) 0 ( 12 t x b t x u t x b t x u t x u t x K =−λ + +λ + + +λ + + ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d t x K u d x t K u t x K n x n x n ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) , ( 11( 1) 2 ) 1 ( 11 2 ) ( 12 = + − − + − − + − −

∫

(13)

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u n x t x n x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 21 2 ) 1 ( 21 2 − + + − + − − + − −

∫

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u n x t x n x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 12 2 ) 1 ( 12 2 − + + − + + − − − +

∫

) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) , ( 2 2 ₂ ₁ ) 0 ( 21 t x b t x u t x b t x u t x u t x K =λ + −λ + + −λ + + ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d t x K u d x t K u t x K n x t x n x t x n ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) , ( ₁₂( 1) 2 2 ) 1 ( 12 2 2 ) ( 21 =− + − − + − − + − −

∫

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u n x t x n x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 22 2 ) 1 ( 22 2 − + − − + − − + − −

∫

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u n x t x n x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 11 2 ) 1 ( 11 2 − + + − + − − − − +

∫

) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) , ( 2 ₁ ₂ ) 0 ( 22 t x b t x u t x u t x b t x u t x K =−λ + + −λ + +λ + + ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d t x K u d x t K u t x K n x t x n x t x n ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) , ( 12( 1) 2 2 ) 1 ( 12 2 2 ) ( 22 =− + − − + − − + − −

∫

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u n x t x n x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 22 2 ) 1 ( 22 2 − + − − + − − + − −

∫

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u d x t K u n x t x n x t x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 11 2 ) 1 ( 11 2 − + + − + − − − − +

∫

+ + = x x x d b u d u d b u x 0 2 0 0 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ) ( λ ς ς ς λ ς ς λ ς ς ς σ

∫

+ + = x x x d b u d b u d u x 0 1 0 2 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ) ( 2 ) ( λ ς ς λ ς ς ς λ ς ς ς σ

ve max

{

σ₁(x),σ₂(x)

}

=σ(x)olarak alınırsa, ) , ( ), , ( ), , ( ), , ( (0) 22 ) 0 ( 21 ) 0 ( 12 ) 0 ( 11 x t K x t K x t K x t K fonksiyonlarının ifadelerinden

(14)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) , ( 0 1 2 0 0 1 2 ) 0 ( 11 x t dt u b d u d u b d x x K x x x x x σ σ ς ς ς λ ς ς λ ς ς ς λ ₊ ₊ ₌ _≤ ≤

∫

− ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) , ( 0 2 1 0 2 2 0 2 ) 0 ( 12 x t dt u d u b d u b d x x K x x x x x σ σ ς ς ς λ ς ς ς λ ς ς λ ₊ ₊ ₌ _≤ ≤

∫

− ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) , ( 0 2 1 0 2 2 0 2 ) 0 ( 21 x t dt u d u b d u b d x x K x x x x x σ σ ς ς ς λ ς ς ς λ ς ς λ ₊ ₊ ₌ _≤ ≤

∫

−

∫

≤ + + = ≤ − x x x x x x x d b u d u d b u dt t x K 0 1 2 0 0 1 2 ) 0 ( 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ) , ( λ ς ς ς λ ς ς λ ς ς ς σ σ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) , ( 0 1 2 0 0 1 2 ) 1 ( 11 x t dt u b d u d u b d x x K x x x x x σ σ ς ς ς λ ς ς λ ς ς ς λ ₊ ₊ ₌ _≤ ≤

∫

− ) , ( ) 1 ( 11 x t

K fonksiyonu için benzer değerlendirmeler alınacak olunursa,

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d t x K u dt d x t K u dt dt t x K x t x x x x t x x x x x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) , ( 12(0) 2 2 ) 0 ( 12 2 2 ) 1 ( 11 ≤

∫

+ − +

∫

+ −

∫

+ − − − − ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u dt d x t K u dt x t x x x x t x x x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 0 ( 22 2 ) 0 ( 22 2 − + + − + +

∫

+ − − − ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u dt d x t K u dt x t x x x x t x x x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 0 ( 11 2 ) 0 ( 11 2 − + + − + +

∫

− − + −

eşitsizliği yazılır. Bu eşitsizliğin sağ tarafındaki integraller değerlendirilirse;

∫

− − − ≤ = − + x x t x x x x ds s K d u d x t K u dt 0 2 ) 0 ( 12 2 ) 0 ( 12 2 2 ! 2 ) ( ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ς ς σ ς ς ς λ ς ς ς ς λ ! 2 ) ( ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 2 ) 0 ( 12 0 2 ) 0 ( 12 2 2 x ds s K d u d t x K u dt x x t x x x σ ς ς ς λ ς ς ς ς λ ς ς ≤ = − +

_∫

∫

− + − ! 2 ) ( ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 2 ) 0 ( 22 0 ) 0 ( 22 2 x ds s K d u d x t K u dt x x t x x x σ ς ς ς λ ς ς ς ς λ ς ς ≤ = − +

_∫

∫

− − − ! 2 ) ( ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 2 ) 0 ( 22 0 ) 0 ( 22 2 x ds s K d u d x t K u dt x x t x x x σ ς ς ς λ ς ς ς ς λ ς ς ≤ = − +

∫

− + − ! 2 ) ( ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 2 ) 0 ( 11 ) 0 ( 11 x ds s K d u d x t K u dt x x x σ ς ς ς λ ς ς ς ς λ ₊ ₋ ₌ ς _≤

∫

(15)

! 2 ) ( ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 2 ) 0 ( 11 0 ) 0 ( 11 2 x ds s K d u d x t K u dt x x t x x x σ ς ς ς λ ς ς ς ς λ ς ς ≤ = − + +

_∫

− − −

elde edilir. Dolayısıyla

! 2 )] ( [ ! 2 ) ( 6 ) , ( 2 2 ) 1 ( 11 x c x dt t x K x x σ σ _≤ ≤

∫

− olur. Burada c≥6 dır. Benzer şekilde

∫

− ≤ ≤ x x x c x dt t x K ! 2 )] ( [ ! 2 ) ( 6 ) , ( 2 2 ) 1 ( 12 σ σ

∫

− ≤ ≤ x x x c x dt t x K ! 2 )] ( [ ! 2 ) ( 6 ) , ( 2 2 ) 1 ( 21 σ σ

∫

− ≤ ≤ x x x c x dt t x K ! 2 )] ( [ ! 2 ) ( 6 ) , ( 2 2 ) 1 ( 22 σ σ elde edilir. Böylece K(0)(x,t)dt (x) x x ij ≤σ

∫

− olmak üzere K , 1 , 0 , )! 1 ( )] ( [ ) , ( 1 ) ( = + ≤ + −

∫

m m x c dt t x K m x x m ij σ (9) eşitsizliğin doğruluğu gösterilebilir. Bunun için tümevarım yöntemi kullanılırsa,

1 , 0

=

m için yukarıdaki eşitsizliğin doğruluğu açıktır. (m−1) için doğru olduğu kabul edilsin ve m için doğru olduğu gösterilsin. K11(x,t) için,

ς ς ς ς λ d x t K u dt dt t x K m x t x x x x x m ) , ( ) ( 2 ) , ( ₁₂( 1) 2 2 ) ( 11 ≤ + − − − − −

∫

ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u dt d t x K u dt m x t x x x m x t x x x − + + − + + − − − − + −

∫

, ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 22 2 ) 1 ( 12 2 2 ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u dt d x t K u dt m x t x x x m x t x x x ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 11 2 ) 1 ( 22 2 − + + − + + − + − − + −

∫

ς ς ς ς λ d x t K u dt m x x ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 11 + − + −

∫

(16)

eşitsizliği elde edilir. Burada ds s K d u d x t K u dt m x m x t x x x

∫

− − − − − = − + ς ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ ) , ( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 12 0 2 ) 1 ( 12 2 2 )! 1 ( ) ( ) ( ) ( ! ! )] ( [ ) ( 2 1 0 0 2 + ≤ ≤ ≤

∫

+ m x c d m c d m c u m m x m m m x _σ ς σ ς σ ς ς σ ς λ olur. Benzer şekilde, )! 1 ( ) ( ) , ( ) ( 2 1 ) 1 ( 12 2 2 + ≤ − + + − + −

∫

m x c d t x K u dt m m m x t x x x σ ς ς ς ς λ ς ς ς ς λ d x t K u dt m x t x x x ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 22 2 − + − − −

∫

( 1)! ) ( 1 + ≤ + m x cmσm ς ς ς ς λ d x t K u dt m x t x x x ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 22 2 − + − + −

∫

( 1)! ) ( 1 + ≤ + m x cmσm ς ς ς ς λ d x t K u dt m x t x x x ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 11 2 − + − + −

∫

( 1)! ) ( 1 + ≤ + m x cmσm ς ς ς ς λ d x t K u dt m x t x x x ) , ( ) ( 2 ) 1 ( 11 2 − + − − −

∫

( 1)! ) ( 1 + ≤ + m x cmσm

elde edilir. O halde

∫

− x x m dt t x K11( )( , ) )! 1 ( )] ( [ )! 1 ( ) ( )! 1 ( ) ( 6 1 1 1 1 + = + ≤ + ≤ + + + + m x c m x c m x cmσm m σm σ m eşitsizliği sağlanır. (9) eşitsizliklerinden

∑

∞ =0 ) ( ) , ( m m ij x t

K serisinin L₁[0,π] uzayında düzgün yakınsak olduğu açıktır ve serinin toplamı olan K_ij(x,⋅)∈L₁[0,π] fonksiyonları aşağıdaki eşitsizliği sağlar: 1 ) , ( ≤ ( ) −

∫

− x c x x ij x t dt e K σ .

(17)

Teorem. 1 2 1 (0) y y i   ₌     ₋  

 % başlangıç koşullarını sağlayan L probleminin her bir çözümü

için

∫

( , ) ≤ ( ) −1 − x c x x ij x t dt e K σ olmak üzere, 1 2 1 ( ) 1 ( , ) ( , ) ( ) x i x i t x y ib x x e K x t e dt y i b x i λ λ λ − +   ₌  ₊     _{− +}   ₋      %

∫

eşitsizliği sağlanır. Burada b(x)=b₁(x)+ib₂(x) ve

∫

= xu t b t dt x b 0 1 2 2 () ( ) 2 ) ( λ =

∫

−

∫

x x dt t b t u dt t u x b 0 2 2 0 2 1 ( ) ( ) 2 ) ( 2 )

( λ λ gerçel değerli mutlak

sürekli fonksiyonlar ,     = ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 22 21 12 11 t x K t x K t x K t x K t x K ve c pozitif sabittir.

(18)

Kaynaklar

[1]. B. M. Levitan ve I. S. Sargsyan, Introduction to Spectral Theory, Moskova 1970. [2]. B. M. Levitan ve I. S. Sargsyan, Sturm-Liouville and Dirac operators, Moskova 1988.

[3]. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn ve H. Holden Solvable Models in Quantum Mechanics, New York: Springer, 1988.

[4]. R. Kh. Amirov, I. M. Guseinov, Some Classes of Dirac Operators with Singular Potentials, Differential Equations, vol. 40, no. 7, 2004, pp. 1066-1068.