Sonlu Aralıkta Coulomb Potansiyele Sahip Sturm-Liouville Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri İçin Bir Gösterilim = An Integral Representation for Solutions of Sturm-Liouville Differential Equations with Coulomb Potential on a Finite Interval

C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi

Fen Bilimleri Dergisi (2007)Cilt 28 Sayı 2

Sonlu Aralıkta Coulomb Potansiyele Sahip Sturm-Liouville Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri İçin Bir Gösterilim

R. Kh. AMİROV , N. TOPSAKAL

Cumhuriyet Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü SİVAS [email protected], [email protected]

Received: 26.10.2007, Accepted: 14.12.2007

Özet: Bu çalışmada sonlu aralıkta Coulomb potansiyele sahip Sturm-Liouville operatörleri için çevirme

operatörü tipinde gösterilimler elde edilmiştir.

Anahtar kelimeler: Çevirme operatörü, İntegral Denklemi, Sturm-Liouville operatörü, Coulomb

potansiyeli.

An Integral Representation for Solutions of Sturm-Liouville Differential Equations with Coulomb Potential on a Finite Interval

Abstract: In this study, representation with transformation operator has been obtained for

Sturm-Liouville operators with Coulomb potential on a finite interval.

Keywords: Transformation operator, Integral Equation, Sturm-Liouville operator, Coulomb Potential.

1. Giriş

( )

a,b sonlu aralığında ly:= −y''

( ) ( ) ( )

x +q x y x diferansiyel ifadesinin ürettiği Sturm-Liouville operatörler teorisinde, q

( )

x fonksiyonu, q

( )

x ∈L₁

( )

a,b koşulunu

sağladığında l diferansiyel ifadesi regüler,y

( )

a,b aralığı sonsuz ya da q

( )

x fonksiyonu verilen aralığın iç noktalarında veya sınırında integrallenemeyen singüleriteye sahip ise singüler diferansiyel ifade olarak adlandırılır.

[6] çalışmasında, u∈L2

( )

0,1 olmak üzere genelleştirilmiş türev kullanılarak

( )

x u

( )

x

q = ′ şeklinde bir potansiyele sahip singüler Sturm-Liouville operatörü tanımlanmıştır.

Ayrıca bu çalışmada u∈L₂

( )

0,1 olmak üzere q

( )

x =u′

( )

x potansiyeline sahip y

l diferansiyel ifadesi tarafından diferansiyel operatörlerin self-adjoint genişlemeleri oluşturulmuştur. Genelleştirilmiş fonksiyonlar, [5] ‘de kanonik regülarizasyon metodu kullanılarak x−asignx,a≠2,4,6,...durumlarında belirtilmiştir.

2 3 <

a durumunda, bu yolla elde edilen genelleştirilmiş fonksiyonlar L uzayındaki fonksiyonların 2 genelleştirilmiş türevleri şeklinde gösterilebilir. Böylece l diferansiyel ifadesi ve y

( )

x x signx

q = −a şeklinde bir potansiyele sahip Sturm-Liouville operatörü tanımlanabilir. [1] çalışmasında, q

( )

x =Cx−a ve

2 3 <

a , C∈R, x∈R+ olması durumunda, bu tip potansiyele sahip Sturm-Liouville denklemi için sınır-değer probleminde bir regülarizasyon verilmiştir.

[4] çalışmasında ise q

( )

x =Cx−a ve a∈

[

1,2

)

olması durumunda sınır-değer koşullarına göre bu tip potansiyele sahip l diferansiyel ifadesi tarafından üretilen y operatörlerin tüm self-adjoint genişlemeleri ve dolayısıyla bu tip potansiyele sahip Sturm-Liouville denklemi için sınır-değer probleminin nasıl konulacağı konusu incelenmiştir. Ayrıca [4] ve [6] çalışmalarında ki regülarizasyonlar sadece

2 3 < a

durumu için çakışmaktadır.

( )

( ) ( ) ( )

: '' C_a y y x y x q x y x x = − + + l , 0< x<π (I) diferansiyel ifadesini ele alalım. Burada C∈R,q

( )

x - gerçel değerli, sınırlı bir

fonksiyondur.

( )

0,π 0 0 ∞ = ′ C

D kümesinde L₀′ ′ =:L y₀ l

( )

y operatörünü tanımlayalım. Açıktır ki,

[ ]

0,π 2

diferansiyel ifadesinin ürettiği minimal operatördür, L operatörünün eşleniği olan ₀ * 0 L operatörüde (I) diferansiyel ifadesinin ürettiği maksimal operatör olarak adlandırılır.

[4] çalışmasında, tüm maksimal dissipative ve accumulative ve ayrıca L ₀ operatörünün self-adjoint genişlemeleri; (I) diferansiyel ifadesinin ürettiği maksimal ve minimal operatörlerin sınır koşulları ve tanım kümesine göre çalışılmıştır.

( )

a x C x u a − = − 1 1

olmak üzere

( )( )

Γ_ay x = y′

( ) ( ) ( )

x −u x y x alalım.

[4] de y

( )

x ∈D

( )

L*₀ ise bu durumda x→+0 iken

( )( )

Γ_αy x fonksiyonu bir limite sahip olduğu gösterilmiştir. Yani

( )( ) ( )( )

x 0

lim

0 ay ay

x→+ Γ = Γ

dir. Dolayısıyla (I) diferansiyel ifadesinin ürettiğiL minimal operatörünün ₀ D

( )

L₀ tanım kümesi sadece y

( )

x ∈D

( )

L*0 fonksiyonlarından oluşur öyle ki, y

( )

x fonksiyonu

( ) ( ) ( )( )

0 = yπ = Γ y 0 = y′

( )

π =0

y _a koşullarını sağlar.

Bu çalışmada a=1 durumu incelenmiştir. Dolayısıyla u

( )

x =Clnx∈L₂

[ ]

0,π ve

( )( )

Γy x = y′

( ) ( ) ( )

x −u x y x olarak alınmıştır. Ayrıca bu çalışmada [10] çalışmasında ki

( )

( )

_∫

( )

− + = x x ikt dt e t x K k x y k x y , 0 , ,

çevirme operatörüne benzer bir gösterilim elde edilmiştir.

2. İntegral denklemin oluşturulması

( )

: '' C y y q x y y x λ   = − +_ + _ =   l , λ =k2, 0< x<π (1) diferansiyel denklemi,

( )

0 0,

( )

0 y = y π = (2) sınır koşulları ve

(

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

0 0 ' 0 ' 0 2 0 y d y d y d y d ik y d α α− β + = −   _{+ = − + −}  (3)

süreksizlik koşullarının ürettiği L problemini ele alalım. Burada λ -spektral parametre, 0 , 1 , , ,α β∈R α ≠ α > C , , , 2      ∈ π π d q

( )

x - gerçel değerli, sınırlı ve q

( )

x ∈L₂

( )

0,π dir.

(1) diferansiyel denkleminde u

( )

x =Clnx∈L₂

( )

0,π olmak üzere

( )( )

Γy x = y′−u

( )

x y alınırsa,

( )

( )

( )

( )

( )

2 : y = − +y′′ u x y′ +q x y= −_y′−u x y_′−u x y′+q x y=k y l ,

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

( )

( )

2 ' y= − Γ_ y x _ −u x Γy x −u x y+q x y=k y l

elde edilir. Şimdi y₁ = y, y₂ =

( )( )

Γy x alınırsa,

( )

( )

( )

( )

   + − − = + = − 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 ' ' y x q y x u y x u y k y y x u y y (4)

( )

( )

1 0 0, 1 0 y = y π = (5)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

   − + − = + − = + − _{0 2 0} 0 0 0 1 1 1 2 1 1 d y ik d y d y d y d y β α α (6) problemi elde edilir.

(4) sisteminin matris gösterilimi

        − + − − = ′     2 1 2 2 2 1 1 y y u q u k u y y (7) veya

( )

( ) ( )

( )

1 2 2 2 1 , -u x y A y y k u x q x u x   _{ } =_ _ =_{ } − − + _{ }

  olmak üzere y′= Ay, matrisinin

elemanları integrallenebilir olduğundan [12] dey′= Ay+ f , f ∈L₁

( )

0,π sistemleri için başlangıç-değer problemin çözümünün varlığı ile ilgili teorem gereği her ξ∈

[ ]

0,π ,

(

)

2

2

1, C

T _∈ = ν ν

ν için (7) sisteminin y₁

( )

ξ =ν₁ , y₂

( )

ξ =ν₂ başlangıç koşullarını sağlayan sadece bir tek çözümü vardır. Özel olarak y₁

( )

0 =1,y₂

( )

0 =ik alınabilir.

Tanım: (4) diferansiyel denklemler sisteminin y₁

( ) ( )

ξ = y ξ =ν₁, y₂

( ) ( )( )

ξ = Γy ξ =ν₂ başlangıç koşullarını sağlayan çözümünün birinci bileşenine, (1) denkleminin aynı koşulları sağlayan çözümü denir.

(4) diferansiyel denklemler siteminin

( )

    =     ik y y 1 0 2 1 başlangıç koşullarını ve (6)

süreksizlik koşullarını sağlayan çözümü,

(

1

)

2 1 ₋ + _{= α +α} α ,

(

1

)

2 1 ₋ − _{= α −α} α olmak üzere, d x< iken,

( )

( )

(

)

[

( )

( )

( )

]

(

)

( )

(

)

[

( )

( )

( )

]

(

)

_            − − + + − − − − + − − + =    

∫

∫

∫

∫

x x ikx x x ikx dt t x k y t q y t u y t u dt t x k y t ku ike dt t x k y t q y t u y t u k dt t x k y t u e x y y 0 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 0 1 2 1 cos sin sin 1 cos (8) d x> iken, ( )

[

( )

]

(

)

(

)

[

]

( )

( )

( )

( )

[

]

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

[

]

( )

( )

( )

( )

[

]

[

(

)

(

)

]

( )

(

)

[

( )

( )

( )

]

(

)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − + − − + − − + − − + − + − + − + + − − − − + − + − + − + − + + = + − + − − − + x d x d d d o d d x d ik ikx x d ik ikx dt t x k y t q y t u y t u k dt t x k y t u dt t x k t d x k y t q y t u y t u k i dt y t u t d x k t x k i dt t d x k t x k y t q y t u y t u k dt y t u t d x k t x k e e e e y sin 1 cos cos 2 cos 2 sin sin 2 sin sin 1 2 cos cos 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 _ 1 1 2 2 0 1 2 2 1 β β α α α α β α α (9)

( )

[

( )

]

(

)

(

)

[

]

( )

( )

( )

( )

[

]

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

[

]

( )

( )

( )

( )

[

]

[

(

)

(

)

]

( )

(

)

[

( )

( )

( )

]

(

)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − + − − − + − − − − + − + − + − + + − + − − − + + + − − − − + − + − = + − + − − − + x d x d d d o d d x d ik ikx x d ik ikx dt t x k y t q y t u y t u dt t x k y t u k dt t d x k t x k y t q y t u y t u i dt y t u t d x k t x k ik dt t d x k t x k y t q y t u y t u dt y t u t d x k t x k k e e ik e ik e ik y cos sin 2 sin sin 2 cos cos 2 cos cos 2 sin sin 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 _ 1 1 2 2 0 1 2 2 2 β β α α α α β α α (10)

integral denklemler sistemini elde edilir.

Şimdi (4) diferansiyel denklemler siteminin

( )

    =     ik y y 1 0 2 1 başlangıç koşullarını ve (6) süreksizlik koşullarını sağlayan her çözümünün

d x< iken,

( )

( )

( )

( )

( )

_            + + + + =    

∫

∫

∫

− − − x x x x ikt ikt ikx ikx x x ikt ikx e t x K ik e t x K e x b ike dt e t x K e x y y , , , 22 21 11 2 1 (11) d x> iken,

( )

( )

(

( )

)

_{( )}

( )

(

( )

)

( )

[

( )

(

( )

)

]

( )

( )

                   + + − + + + + + − + − + + =    

∫

∫

∫

− − − − − + − − − + − − − − + x x x x ikt ikt x d ik ikx x d ik ikx x d ik ikx x d ik ikx x x ikt x d ik ikx x d ik ikx e t x K ik e t x K e e e e x b e e ik e ik e ik dt e t x K e e e e x y y , , , 22 21 2 2 2 2 11 2 2 2 1 β α α β α α β α α (12)

şeklinde bir integral gösterilime sahip olduğunu ispatlayalım. Burada

( )

, , , 1, 2

ij

K x t i j= ve b

( )

x reel değerli sınırlı fonksiyonlardır. (11) ve (12) ifadeleri, (9) ve (10) çözümünde yerine yazılırsa,

( )

( )

(

)

(

)

( )

11 11

0

, cos cos 2 ,

x d t

ikt ikt iks

x t K x t e dt u t α+ k x t α− k x d t e K t s e ds dt − −     = _ − + − + _ +   

∫

∫

∫

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

_ 21 0 22 1 sin sin 2 , , d t

ikt ikt iks

t t iks t u t k x t k x d t ike b t e K t s e ds k ik K t s e ds dt α+ α − −    − _ − − − + _ + +   + _ 

∫

∫

∫

( ) ( )

(

2

)

(

)

_

(

)

( )

11 0 1 sin sin 2 , d t ikt iks t u t q t k x t k x d t e K t s e ds dt k α α + −     − − _ − − − + _ + _  

∫

∫

( )

sin

(

)

sin

(

2

)

11

( )

, d t ikt iks o t iβ u t k x t k x d t e K t s e ds dt −   + _ − + − + _{ } + _  

∫

∫

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

21 0 22 cos 2 cos , , d t

ikt ikt iks

t t iks t i u t k x d t k x t ike b t e K t s e ds k ik K t s e ds dt β − −  − _ − + − − _{ } + +   + _ 

∫

∫

∫

( ) ( )

(

2

)

(

)

(

)

( )

11 0 cos 2 cos , d t ikt iks t i u t q t k x d t k x t e K t s e ds dt k β −   − − _ − + − − _{ } + _  

∫

∫

( )

(2 )

(

(2 )

)

_{( )}

₍

₎

11 , cos x t ik d t ik d t

ikt ikt iks

d t u t α+e α−e − β e e − K t s e ds k x t dt −   + _ + + − + _ −  

∫

∫

( )

{

(2 )

(

(2 )

)

}

₍

₎

sin x ik d t ik d t ikt ikt d u t ikα+e ikα−e − ik β e e − k x t dt −

_∫

− + + −

( )

21

( )

, 22

( )

, sin

(

)

x t t iks ikt d t t u t K t s e ik K t s e k x t dt − −   + _ + _ −  

∫

∫

∫

( ) ( )

(

2

)

(2 )

(

(2 )

)

_{( )}

₍

₎

11 , sin x t ik d t ik d t

ikt ikt iks

d t u t q t α+e α−e − β e e − K t s e ds k x t dt −   − − _ + + − + _ −  

∫

∫

ve

( ) ( )

(2 )

(

(2 )

)

₍

₎

sin x ik d t ik d t ikt ikt d u t b t α+e α−e − β e e −  k x t dt −

∫

_ + + − _ −

( )

(2 )

(

(2 )

)

_{( )}

_{( )}

21 , 22 ,

x x

ik d x ik d x

ikx ikx ikt ikt

x x b x α+e α−e − β e e − K x t e ik K x t e − −  _{+ + −} _{+ + =}  

∫

∫

( )

(

)

(

)

11

( )

0 sin sin 2 , d t ikt iks t k u t α+ k x t α− k x d t e K t s e ds dt −   − − − − + _ + _    

∫

∫

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

_ 21 0 22 cos cos 2 , , d t

ikt ikt iks

t t iks t u t k x t k x d t ike b t e K t s e ds ik K t s e ds dt α+ α − −    + _− − + − + _ + +   + _ 

∫

∫

∫

( ) ( )

(

2

)

(

)

_

(

)

( )

11 0 cos cos 2 , d t ikt iks t u t q t α+ k x t α k x d t e K t s e ds dt −     + − _− − + − + _ + _  

∫

∫

( )

cos

(

)

cos

(

2

)

11

( )

, d t ikt iks o t ikβ u t k x t k x d t e K t s e ds dt −   + _ − + − + _{ } + _  

∫

∫

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

21 0 22 sin sin 2 , , d t

ikt ikt iks

t t iks t i u t k x t k x d t ike b t e K t s e ds ik K t s e ds dt β − −  − _ − − − + _{ } + +   + _ 

∫

∫

∫

( )

(2 )

(

(2 )

)

_{( )}

₍

₎

11 , sin x t ik d t ik d t

ikt ikt iks

d t k u t α+e α−e − β e e − K t s e ds k x t dt −   − _ + + − + _ −  

∫

∫

( )

{

(2 ) (2 )

}

₍

₎

cos x ik d t ik d t ikt ikt d u t ikα+e ikα−e − ikβe e −  k x t dt −

∫

− _ + _ −

( )

21

( )

, 22

( )

, cos

(

)

x t t iks ikt d t t u t K t s e ik K t s e k x t dt − −   − _ + _ −  

∫

∫

∫

( ) ( )

(

2

)

(2 )

(

(2 )

)

_{( )}

₍

₎

11 , cos x t ik d t ik d t

ikt ikt iks

d t u t q t α+e α−e − β e e − K t s e ds k x t dt −   − − _ + + − + _ −  

∫

∫

integral denklemleri elde edilir. Gerekli hesaplamalardan sonra

( ) ( )

(2 )

(

(2 )

)

₍

₎

cos x ik d t ik d t ikt ikt d u t b t α+e α−e − β e e −  k x t dt −

∫

_ + + − _ −

( )

11 2 , 2 2 2 2 x x x

ikt ikt ikt

x x x d x t t x K x t e dt α u e dt α u d e dt + − − − − + −     = _{ } + _ + _    

∫

∫

∫

2 2 2 2 2 2 2 2 2 d x d x x

ikt ikt ikt

x x d x t x x t x t u d e dt u e dt u e dt α− − β − β − − − + +       − _ − _ − _{ } + _{ }      

∫

∫

∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 0 2 2 2 x t d x x ikt ikt x x t x u d e dt u s u s b s q s ds e dt β α + − + − −   −    _{ }  − _ − _ − _{ } + − _{ }   _{ }  

∫

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 x t d x x ikt ikt x d d x d t x u d e dt u s u s b s q s ds e dt β α + + − − −   −    _{ }  + _ + _ − _{ } + − _{ }   _{ }  

∫

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 x d ikt t x x d _d u s u s b s q s ds e dt α− − − ₊    _{ }  + _{ } + − _{ }    

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 x t d x ikt d x d u s u s b s q s ds e dt β + + −    _{ }  + _{ } + − _{ }    

∫ ∫

( ) (

11

)

( ) (

11

)

2 2 , , 2 2 x x x x ikt ikt x t x t x x u s K s t s x ds e dt u s K s t s x ds e dt α+ α+ − + − −         + _ + − _ + _ − + _        

∫ ∫

∫ ∫

( )

21

( )

( ) (

22

)

0 2 - , , 2 2 x d t x s x x ikt ikt x t x t x s x u s K s d ds e dt u s K s t s x ds e dt α+ + − _{ξ ξ} α+ − − − + −     _{ } − + −   _{ }   _ _

∫ ∫

∫

∫ ∫

( ) (

22

)

2 , 2 x x ikt x t x u s K s t s x ds e dt α+ + −     + _ − + _    

∫ ∫

( )

2 21

( )

0 2 , 2 x d t x s d ikt x t x s d u s K s d ds e dt α− + + − _{ξ ξ} − − − +   +    

∫ ∫

∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 0 2 x t x ikt d x u s u s b s q s ds e dt β + −    _{ }  − _{ } + − _{ }    

∫ ∫

( ) ( )

(

2

)

( )

11 0 , 2 x d t x s ikt x t x s u s q s K s d ds e dt α+ + − _{ξ ξ} − − +   − _ − _  

∫ ∫

∫

( ) (

22

)

( ) (

22

)

2 2 , , 2 2 x x x x ikt ikt x t x t x x u s K s t s x ds e dt u s K s t s x ds e dt β β − + − −         − _ + − _ − _ − + _        

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

11

)

( )

21

( )

2 , - , 2 2 x x x x t x s ikt ikt x t x x d t x s u s K s t s x ds e dt u t K s d ds e dt β β + − _{ξ ξ} − − − − +       + _ − + _{  }      

∫ ∫

∫ ∫

∫

( ) ( )

(

2

)

( )

11 - , 2 x x t x s ikt x d t x s u s q s K s d ds e dt β + − _{ξ ξ} − − +   −    

∫ ∫

∫

( ) (

)

2 11 2 , 2 2 d x d ikt t x x _d u s K s t x d s ds e dt α− − + − ₋     + _ + − + _    

∫ ∫

( ) (

22

)

2

( ) (

22

)

2 2 2 , 2 , 2 2 x d d x x ikt ikt t x x t x d x d u s K s t x d s ds e dt u s K s t s x ds e dt α− α− − − − − ₋ −         + _ − + − _ − _ + − _        

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

22

)

2 2 , 2 2 x d ikt t x x d _d u s K s t x d s ds e dt β − − ₋     + _ − + − _    

∫ ∫

( ) (

)

2 22 2 , 2 2 d x d ikt t x x _d u s K s t x d s ds e dt β − + − ₋     + _ + − + _    

∫ ∫

( ) (

11

)

2

( ) (

11

)

2 2 2 + , , 2 2 x x d x x ikt ikt x t x t x d x u s K s t x s ds e dt u s K s t s x ds e dt β β − − + − −      _{− +}  ₋  _{− +}             

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

11

)

2 2 , 2 2 x d ikt t x x d _d u s K s t x d s ds e dt β − − ₋     + _ − + − _    

∫ ∫

( ) ( )

(

2

)

2

( )

11 0 2 , 2 x d t x s d ikt x t x s d u s q s K s d ds e dt α− + + − _{ξ ξ} − − − +   + _ − _  

∫ ∫

∫

( ) (

22

)

2 2 1 , 2 2 x d ikt t x x d _d u s K s t x d s ds e dt − − ₊     − _ − + − _    

∫ ∫

( ) (

11

)

2 2 , 2 2 x d ikt t x x d _d u s K s t x d s ds e dt α− − − ₋     + _ − + − _    

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 0 2 t x d x ikt x d u s u s b s q s ds e dt β − + −    _{ }  − _{ } + − _{ }    

∫ ∫

( )

21

( )

2

( )

2 21

( )

2 0 2 0 , , 2 2 x d t x s d x d t x d s ikt ikt x d t x d s x t x s u t K s d ds e dt u t K s d ds e dt β + − _{ξ ξ} β − − + − _{ξ ξ} − + − + − − +     − _{ } + _{ }    

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

( ) ( )

( )

2 11 2 0 2 , 2 x d t x s ikt x d t x d s u t q t K s d ds e dt β + − _{ξ ξ} − + − +     − _{ } − _{ }  

∫ ∫

∫

( ) (

)

( ) (

)

2 11 11 2 2 1 1 , , 2 2 d x x x x ikt ikt x t x d d x u t K s t x s ds e dt u t K s t x s ds e dt − + − −     _{ } + _ + − _ + _ + − _   _ _

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

)

∫ ∫

− − ₋+           + − + + d x x ikt d x t d dt e ds s d x t s K s u 2 2 22 , 2 2 1 (13)

( )

∫

∫

− − −                 ₊ − −       ₊ −       ₊ − +       ₊ − = x x x d x ikt ikt dt e x t d q x t d b x t d u x t d u dt e t x K 2 2 21 2 2 2 2 4 , α 2 2 4 2 2 2 2 d x ikt x t x t x t x t x u d u d b d q d e dt α−_ − _{  −   −   −   −  } + _{  } − _+ _ − _{ } − _− _ − _{ }           

∫

 2 4 2 2 2 2 x ikt x t x t x t x t x u u b q e dt α+ −   +   +   +   +  − _{  }+ _{   }− _{ }          

∫

2 4 2 2 2 2 x ikt x t x t x t x t x u u b q e dt β −   +   +   +   +  − _{  }+ _{   }− _{ }          

∫

2 2 4 2 2 2 2 x ikt x d t x t x t x t x u d u d b d q d e dt β −   −   −   −   −  − _{ } + _+ _ + _{ } + _− _ + _          

∫

( ) (

)

2 2 2 , 2 2 d x d ikt t x x _d u s K s t x d s ds e dt β − + − ₋     + _ + − + _    

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 0 2 t x d x ikt x u s u s b s q s ds e dt β − + −    _{ }  + _{ } + − _{ }    

∫ ∫

( ) ( )

( )

2 2 2 11 0 , 2 d x d t x d s ikt x t x s u t q t K s d ds e dt β − − + − _{ξ ξ} − − +     + _{ } − _{ }  

∫ ∫

∫

2 2 4 2 2 2 2 x ikt d x t x t x t x t x u d u d b d q d e dt β −   −   −   −   −  − _{ } − _+ _ − _{ } − _− _ − _          

∫

( ) (

21

)

2 2 , 2 2 x d ikt t x x d _d u s K s t x d s ds e dt α− − − ₊     − _ − + − _    

∫ ∫

( ) (

)

2 21 2 , 2 2 d x d ikt t x x _d u s K s t x d s ds e dt α− − + − ₋     − _ + − + _    

∫ ∫

( ) ( )

(

2

)

(

)

21 2 2 , 2 2 x d ikt t x x d _d u s q s K s t x d s ds e dt α− − − ₊     − _ − − + − _    

∫ ∫

( ) ( )

(

)

(

)

2 2 21 2 , 2 2 d x d ikt t x x _d u s q s K s t x d s ds e dt α− − + − ₋     − _ − + − + _    

∫ ∫

( ) (

)

( ) (

)

2 21 21 2 2 1 1 , , 2 2 x d x x x ikt ikt t x x _d x d d u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt − − − ₊ −       − _ − + _ − _ − + _      

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

)

( ) (

)

2 21 21 2 2 1 1 , , 2 2 d x x x x ikt ikt x t x d d x u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt − + − −     _{ } − _ + − _ − _ + − _   _ _

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

)

( ) (

)

2 11 11 2 2 1 1 , , 2 2 x d x x x ikt ikt x t x x d d u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt − − − −       − _ − + _ − _ − + _      

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

)

( ) (

)

2 11 11 2 2 1 1 , , 2 2 d x x x x ikt ikt x t xd d d x u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt − + − −     _{ } − _ + − _ − _ + − _   _ _

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

11

)

( ) (

11

)

2 2 2 2 , , 2 2 x x x x ikt ikt x t x t d x d x u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt α+ α+ − + − −         − _ − + _ − _ + − _        

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

(

2

)

(

)

11 2 , 2 x x ikt x t x u s q s K s t x s ds e dt α+ − −     − _ − − + _    

∫ ∫

( ) ( )

(

)

(

)

2 2 11 2 , 2 d x x ikt t x x u s q s K s t x s ds e dt α+ − + −     − _ − + − _    

∫ ∫

(14)

( )

∫

− = x x ikt dt e t x K₂₂ , 2 2 2 2 -2 2 2 2

∫

∫

∫

− − − − − − +       ₋ − −       ₊ −       + − x d x ikt x d x ikt x x ikt dt e x t d u dt e x t d u dt e t x u α α α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d x x x

ikt ikt ikt

x d x x d x t x t t x u e dt u e dt u d e dt β − β β − − − + + −       + _{ } − _{ } − _ + _      

∫

∫

∫

( ) ( )

(

)

( )

2 2 11 0 , 2 2 2 d x x d t x s ikt ikt x x t x s t x u d e dt u s q s K s d ds e dt β − β + − _{ξ ξ} − − − +   −   + _ − _ − _ − _   _{ }

∫

∫ ∫

∫

( ) (

11

)

2

( ) (

11

)

2 2 2 , , 2 2 x x d x x ikt ikt x t x t x d x u t K s t x s ds e dt u t K s t x s ds e dt α+ α+ − − + − −         + _ − + _ − _ + − _        

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

11

)

2

( ) (

11

)

2 2 2 , , 2 2 x d d x d ikt ikt t x t x x d _d x _d u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt α− α− − − + − ₋ − ₋         − _ − + _ + _ + − _        

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

22

)

2 2 , 2 2 x d ikt t x x d _d u s K s t x d s ds e dt α− − − ₊     − _ − + − _    

∫ ∫

( ) (

)

2 11 2 , 2 2 d x d ikt t x x _d u s K s t x d s ds e dt β − + − ₋     − _ + − + _    

∫ ∫

( ) (

)

2 22 2 , 2 2 d x d ikt t x x _d u s K s t x d s ds e dt β − + − ₋     − _ + − + _    

∫ ∫

( ) (

)

2 22 2 , 2 2 d x d ikt t x x _d u s K s t x d s ds e dt α− − + − ₋     − _ + − + _    

∫ ∫

( ) (

22

)

2 2 , 2 2 x d ikt t x x d _d u s K s t x d s ds e dt β − − ₋     + _ − + − _    

∫ ∫

( ) (

11

)

2

( ) (

11

)

2 1 1 , , 2 2 x x d x x ikt ikt x d d x d u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt − − −     + _ − + _ − _ + − _    

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

11

)

2

( ) (

22

)

2 2 2 1 1 , , 2 2 x x x d x ikt ikt x t x t d x x u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt − + − − −         − _ + − _ − _ − + _        

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

22

)

2

( ) (

22

)

2 1 1 , , 2 2 x x x d x ikt ikt x d d x d u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt − − −     − _ − + _ − _ + − _    

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

22

)

( )

21

( )

2 0 2 1 , , 2 2 x x x d t x s ikt ikt x t d x x t x s u s K s t x s ds e dt α u t K s ξ ξd ds e dt + − + + − − − +       − _ + − _ + _{ }      

∫ ∫

∫ ∫

∫

( ) (

11

)

( ) (

11

)

2 2 , , 2 2 x x x x ikt ikt x t x t x x u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt α+ β + + − −         − _ + − _ + _ + − _        

∫ ∫

∫ ∫

( ) (

11

)

( ) (

22

)

2 2 , , 2 2 x x x x ikt ikt x t x t x x u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt β β − + − −         + _ − + _ + _ + − _        

∫ ∫

∫ ∫

( )

2 21

( )

( ) (

22

)

0 2 2 , , 2 2 x d t x d s x x ikt ikt x t x t x d s x u t K s d ds e dt u s K s t x s ds e dt β + − + _{ξ ξ} β − − − + − −     _{ } − _{ } − _ − + _   _ _

∫ ∫

∫

∫ ∫

( ) ( )

(

2

)

2

( )

11 0 2 , 2 x d t x d s ikt x t x d s u s q s K s d ds e dt β + − + _{ξ ξ} − − + −   − _ − _  

∫ ∫

∫

(15) eşitlikleri elde edilir. (13), (14) ve (15) eşitliklerinden Kij

( )

x,t ,i,j=1,2 fonksiyonları için aşağıdaki integral denklem sistemleri bulunur.

( ) (

)

2 11 2 1 , 2 d x x ikt x t x u s K s t x s ds e dt − − −     + _ − + _    

∫ ∫

( )

      ₋ − +       ₊ − +       + −       ₊ − +       + = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 11 x t d u x t d u x t u x t d u x t u t x K α α β β β

( ) ( ) ( ) ( )

[

]

_∫

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

∫

₋ + − + + − + + − + − d x t d x t dt t q t b t u t u dt t q t b t u t u 2 2 2 0 2 2 2 α α

( ) ( ) ( ) ( )

[

]

_∫

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

∫

+ − + − + + − + − 2 0 2 2 0 2 2 2 x t x t d dt t q t b t u t u dt t q t b t u t u β β

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

₋ + ₊ + − + + + − + x t x x t x ds s x t s K s u ds s x t s K s u 2 11 2 11 , 2 , 2 α α

( )

_∫

( )

_∫

( ) (

)

∫

+ − + − − + + + − − s x t s x t x t x d ds s x t s K s u ds d s K s u 2 22 21 0 , 2 -, 2 α ξ ξ α

( ) (

)

_∫

(

( ) ( )

)

_∫

( )

∫

+ − + − + + + − − − + + s x t s x t d x t x ds d s K s q s u ds s x t s K s u α ξ ξ α , 2 , 2 ₁₁ 0 2 2 22

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

₊ − − − + − + − + + − + − + d t x d d x t d ds s d x t s K s u ds s d x t s K s u 2 11 2 11 , 2 2 2 , 2 α α

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

₋ − ₋ + − + − − − + − + x t x d x t d ds s x t s K s u ds s d x t s K s u 2 22 2 22 , 2 2 , 2 α α

( )

( )

_∫

(

( ) ( )

)

_∫

( )

∫

∫

+ − + − + − − + − + − + − − − + + s d x t s d x t d d t x d s s d x t ds d s K s q s u ds d s K s u 2 2 11 0 2 0 2 2 21 , 2 , 2 α ξ ξ α ξ ξ

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

₊ − − + + − + + − + − + d t x d d x t d ds s d x t s K s u ds s d x t s K s u 2 22 2 22 , 2 2 2 , 2 β β

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

₋ − + − ₊ + − + x t x x t x ds s x t s K s u ds s x t s K s u 2 11 2 11 , 2 , 2 β β

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

₊ − − + + − + + − + − + d t x d d x t d ds s d x t s K s u ds s d x t s K s u 2 11 2 11 , 2 2 2 , 2 β β

( )

( )

_{( )}

(

_{( ) ( )}

)

( )

_{( )}

∫

∫

∫

∫

− + − + − − + + − + − − _{+ −} + s d x t s x t s x t s d x t n d n d ds d s K s q s u ds d s K s u 2 2 1 11 0 2 1 21 0 , 2 , 2 β ξ ξ β ξ ξ

( ) ( )

(

)

_∫

( )

_∫

( )

_∫

( )

∫

+ − + − + − + − + − − − + d t x s s d x t s d x t s x t d ds d s K s u ds d s K s q s u 0 2 21 2 11 0 2 , 2 , 2 β ξ ξ β ξ ξ

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

₋ − + − ₊ + − − x t x x t x ds s x t s K s u ds s x t s K s u 2 22 2 22 , 2 , 2 β β

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

− + − + − − − + + d x t d x d ds s d x t s K s u ds s x t s K s u 2 22 11 , 2 2 1 , 2 1

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

− + − + − + + − + + x t x d x t d ds s x t s K s u ds s d x t s K s u 2 11 2 22 , 2 1 2 , 2 1

( )

( )

_∫

(

( ) ( )

)

_∫

( )

∫

∫

+ − + − − + + − − − − s x t s x t x d x d s x t s x t ds d s K s q s u ds d s K s u ξ ξ ,ξ ξ 2 1 , 2 1 11 2 21

( )

_            + −       +       + +       + − = + 2 2 2 2 4 , 2 21 t x q t x b t x u t x u t x K α             ₊ − −       ₊ −       ₊ − +       ₊ − + − 2 2 2 2 4 α u2 d t x u d t x b d t x q d t x             + −       +       + +       + − 2 2 2 2 4 β u2 x t u x t b x t q x t             ₊ − −       ₊ −       ₊ − +       ₊ − − 2 2 2 2 4 β u2 d t x u d t x b d t x q d t x

( ) (

)

_∫

( ) (

)

∫

₋ + ₊ + − + − + − − x t x x t x ds s x t s K s u ds s x t s K s u 2 11 2 11 , 2 , 2 α α

( ) ( )

(

u s q s

)

K

(

s t x s

)

ds

(

u

( ) ( )

s q s

)

K

(

s t x s

)

ds x t x x t x − + − − + − − −

_∫

_∫

+ + − + , 2 , 2 ₁₁ 2 2 11 2 2 α α

( ) (

s K s t x d s

)

ds u

( ) (

sK s t x d s

)

ds u d t x d d x t d + − + − − + − −

_∫

_∫

+ − − − + − 2 , 2 2 , 2 ₂₁ 2 21 2 α α

( ) ( )

(

2

)

(

)

11 2 , 2 2 d t x d u s q s K s t x d s ds α− − + −

∫

− − + −

( ) (

21

)

( ) (

11

)

2 2 1 1 , , 2 2 x x x t x t u s K s t x s ds u s K s t x s ds − − −

_∫

− + −

_∫

− +

( ) (

21

)

( ) (

21

)

1 1 , , 2 2 x x d d u s K s t x s ds u s K s t x s ds +

∫

− + +

∫

+ −

( ) (

11

)

( ) (

11

)

1 1 , , 2 2 x x d d u s K s t x s ds u s K s t x s ds +

∫

− + +

∫

+ −

( )

      ₊ − −       + +       ₊ − −       + − = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 , 22 x t d u x t u x t d u x t u t x K α α β β

( ) (

21

)

( ) (

11

)

2 2 , , 2 2 x x x t x t u s K s t x s ds u s K s t x s ds α+ α+ − + +

∫

− + −

∫

+ −

( ) (

s K s t x s

)

ds u

( ) (

s K s t x s

)

ds u d t x d d x t d − + − + − −

∫

∫

+ − − − + − , 2 , 2 11 2 11 2 α α

( ) (

s K s t x d s

)

ds u

( ) (

s K s t x d s

)

ds u d t x d d x t d + − + − − + − −

∫

∫

+ − − − + − 2 , 2 2 , 2 22 2 22 2 α α

( ) (

sK s t x s

)

ds u

( ) (

sK s t x s

)

ds u x t x x t x − + − + − +

∫

∫

+ − , 2 , 2 ₁₁ 2 11 2 β β

( ) (

sK s t x s

)

ds u

( ) (

sK s t x d s

)

ds u d t x d d x t d + − + − + − −

∫

∫

+ − − + 2 , 2 , 2 ₁₁ 2 11 2 β β

( ) (

sK s t x d s

)

ds u

( ) (

sK s t x d s

)

ds u d t x d d x t d + − + − − + − −

_∫

_∫

+ − − + 2 , 2 2 , 2 ₂₂ 2 22 2 β β

( ) (

sK s t x s

)

ds u

( ) (

sK s t x s

)

ds u x t x x t x − + − + − +

_∫

_∫

+ − , 2 , 2 ₂₂ 2 22 2 β β

( ) ( )

(

2

)

(

)

11 2 , 2 2 d x t d u s q s K s t x d s ds α− + − −

∫

− + − +

( )

21

( )

0 , 2 d t x s t x s u s K s d ds α+ + − _{ξ ξ} − + −

∫

∫

( )

( )

_∫

( )

_∫

( )

∫

∫

+ − − + − + − + − + − − + d t x s s x t d t x d s s d x t ds d s K s u ds d s K s u 0 21 0 2 2 21 , 2 , 2 β ξ ξ β ξ ξ

( ) ( )

(

u s qs

)

K

( )

s d ds

(

u

( ) ( )

s qs

)

K

( )

s d ds s d x t d x s t d t x d s x t s x t d x t d ξ ξ β ξ ξ β , 2 , 2 ₁₁ 2 2 2 2 11 2 2

∫

∫

∫

∫

+ − + + − − + − − + + − − + − − − −

( ) (

sK s t x s

)

ds u

( ) (

sK s t x s

)

ds u x t x x t x + − − + − +

∫

∫

+ − , 2 1 , 2 1 ₂₂ 2 11 2

( ) (

s K s t x s

)

ds u

( ) (

sK s t x s

)

ds u x d x d − + − + − +

∫

∫

, 2 1 , 2 1 _{11 11}

( ) (

s K s t x s

)

ds u

( ) (

sK s t x s

)

ds u x d x d − + − + − −

∫

∫

, 2 1 , 2 1 22 22 1-) d <x<2d, −x<t< x−2d <2d−x bölgesinde K₁₁

( )

x,t ,K₂₁

( )

x,t veK₂₂

( )

x,t ifadelerine ardışık yaklaşımlar yöntemi uygulanırsa;

( )

_{( )}

_      ₋ − +       ₊ − +       + −       ₊ − +       + = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 11 x t d u x t d u x t u x t d u x t u t x K α α β β β

( ) ( ) ( ) ( )

[

]

_∫

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

∫

− + − + + − + + − + − d x t d x t dt t q t b t u t u dt t q t b t u t u 2 2 2 0 2 2 2 α α

( ) ( ) ( ) ( )

[

]

_∫

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

∫

+ − + − + + − + − 2 0 2 2 0 2 2 2 x t x t d dt t q t b t u t u dt t q t b t u t u β β ( )

_{( )}

_{( )}

( )

₍

₎

_{( )}

( )

₍

₎

∫

∫

+ ₊ − − − + − + + + − = x t x n x t x n n ds s x t s K s u ds s x t s K s u t x K 2 1 11 2 1 11 11 , 2 , 2 , α α

( )

( )

_{( )}

_{( )}

( )

₍

₎

∫

∫

∫

+ − + − − − + − + + − − s x t s x t x t x n n d ds s x t s K s u ds d s K s u 2 1 22 1 21 0 , 2 -, 2 α ξ ξ α

( )

( )

₍

₎

(

_{( ) ( )}

)

( )

_{( )}

∫

∫

∫

+ − + − − + + − + − − − + + s x t s x t n d x t x n ds d s K s q s u ds s x t s K s u α ξ ξ α , 2 , 2 ₁₁ 1 0 2 2 1 22