Szasz-Charlier tipi operatörlerin gama tipi genelleştirilmesi

T.C.

NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SZASZ-CHARLIER OPERATÖRLERİNİN GAMA TİPİ GENELLEŞTİRİLMESİ

Bilal ÇAVDAR YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

Mayıs-2017 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ KABUL VE ONAYI

Bilal ÇAVDAR tarafından hazırlanan “Szasz-Charlier Operatörlerinin Gama Tipi Genelleştirilmesi” adlı tez çalışması 24/05/2017 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Jüri Üyeleri İmza

Başkan

Prof. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ………..

Danışman

Prof. Dr. Nesip AKTAN ………..

Üye

Yrd. Doç. Dr. Nihat AKGÜNEŞ ………..

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Ahmet COŞKUN FBE Müdürü

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Bilal ÇAVDAR Tarih: 24.05.2017

iv ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

SZASZ-CHARLIER TİPİ OPERATÖRLERİN GAMA TİPİ GENELLEŞTİRİLMESİ

Bilal ÇAVDAR

Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Nesip AKTAN 2017, 45 Sayfa

Jüri

Prof. Dr. Nesip AKTAN Prof. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

Yrd. Doç. Dr. Nihat AKGÜNEŞ

Bu tezde Szasz-Charlier operatörlerinin Gama tipi genelleştirilmesi tanımlanarak bazı yaklaşım özellikleri incelenmiştir.

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde yaklaşımlar teorisi hakkında bilgiler verilip, bu teori hakkında literatür taraması yapılmıştır.

İkinci bölümde lineer pozitif operatörler tanıtılmış ve lineer pozitif operatörlerin sağladığı temel özellikler incelenmiştir. Ayrıca daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar verilmiştir. Üçüncü bölümde Szasz-Charlier operatörlerinin Gama tipi genelleşmesini tanımlayarak bazı yaklaşım özelliklerini incelenmiş ve tanımladığımız operatörün merkezi momentleri hesaplanmıştır. Ayrıca operatörün süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla yaklaşım hızı tahmin edilmiştir.

Dördüncü bölümde tanımladığımız operatörün ağırlıklı uzaylarda sürekli fonksiyonlara yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Daha sonra tanımladığımız operatörlerin ağırlıklı uzaylarda yaklaşım hızı ağırlıklı süreklilik modülü ve Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla hesaplanmıştır. Son olarak tanımladığımız operatörler için Voronovskaja tipi teorem verilmiştir.

Son olarak beşinci bölümde sonuçlar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Korovkin teoremi, Lineer pozitif operatörler, Lipschitz sınıfı, Peetre-K

fonksiyoneli, Süreklilik modülü, Szasz-Charlier operatörleri, Szasz-Charlier Operatörlerinin Gama tipi genelleştirilmesi, Voronowskaja teoremi.

v ABSTRACT MS THESIS

GAMMA TYPE GENERALIZATION SZASZ-CHARLIER OPERATORS

Bilal ÇAVDAR

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF NECMETTİN ERBAKAN UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Advisor: Prof. Dr. Nesip AKTAN 2017, 45 Pages

Jury

Prof. Dr. Nesip AKTAN Prof. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

Yrd. Doç. Dr. Nihat AKGÜNEŞ

In this thesis, the approximation properties were studied by defining Gamma Type Generalization Szasz-Charlier Operators.

This thesis consists of five chapters.

In the first chapter, informations were given about the approximation theory, literature scan was done about this theory.

In the second part, linear positive operators were introduced and main properties which are supplied by linear pozitive operators were studied.

In the third part, the approximation properties were studied by defining Gamma Type Generalization of Szasz-Charlier Operators and central moments of the operator that we defined were calculated. Besides, speed of approximation of these operators was estimated with the help of modulus of continuity and the function in the Lipschitz class.

In the fourth part, approximation properties to continuous functions in weighted space of this operator that we defined were studied. After that, speed of approximation in a weighted space of the operator that we defined was calculated by the help of both weighted modulus of continuity and Peetre-K functional. At last, Voronowskaja type theorem was given for operators that we defined.

Finally, in the fifth part, results were given.

Keywords: Gamma Type Generalization Szasz-Charlier Operators, Lipschitz class, Modulus of continuity, Peetre's K-functionals, Positive linear operators, Szasz-Charlier operators, the Korovkin theorem, the Voronowskaja theorem.

vi ÖNSÖZ

Bu çalışma Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı tez çalışması olarak sunulmuştur. Bu çalışmada yardımlarını esirgemeyen danışman hocam Prof. Dr. Nesip AKTAN’a ve Yrd. Doç. Dr. Ümit KARABIYIK’a teşekkür ederim.

Bilal ÇAVDAR KONYA-2017

vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii

SİMGELER VE KISALTMALAR ... viii

1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR ... 3

3. SZASZ-CHARLIER OPERATÖRLERİNİN GAMA TİPİ GENELLEŞMESİ 12 4. OPERATÖRÜN AĞIRLIKLI UZAYLARDA YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ .. 29

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 41

KAYNAKLAR ... 43

viii

SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler

( ; ) n

L f x nIN olmak üzere bir operatör dizisi.

 

,

C a b Bir

 

a b aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel , değerli fonksiyonların uzayı.

 ,

C a b

f C

 

a b fonksiyon uzayı üzerinde tanımlı norm. ,

( )

n

f x nIN olmak üzere bir fonksiyon dizisi.

 

f_n fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması.

( ; )f

  f fonksiyonun süreklilik modülü.

 

M

Lip  Lipschitz sınıfı fonksiyonlar.

( ; ) n B f x Bernstein Polinomları. ( ; ) n S f x Szasz operatörleri.



;



n A f x Szasz-Charlier operatörleri ** ( ; x) n

S f Szasz-Charlier operatörlerinin Gama tipi genelleşmesi.





2 0,

x

C 



0,  aralığında tanımlı



lim ( )₂ 1 x f x x   ile sınırlı ve sürekli fonksiyonların uzayı.





2 , K f  Peetre-K fonksiyoneli.



f;



1. GİRİŞ

Yaklaşımlar teorisinde önemli bir çalışma konusu olan lineer pozitif operatörlerle yaklaşımlar teorisi tüm disiplinlerde, fizikten, bilgisayar destekli geometrik dizayn, mühendislik bilimlerinde model oluşturmaya kadar pek çok farklı disiplinde yoğun bir şekilde kullanılmaktadır.

Szasz ve Mirakjan (Szasz, 1950, Mirakjan,1941) Bernstein operatörünün sonlu aralıktan sonsuz aralığa genelleştirerek aşağıdaki operatörü tanımlamıştır.

0 ( ) ( , ) ( ) ! k nx n k nx k S f x e f k n    



, x˃0

bu operatörün birçok yaklaşım özelliklerini incelemişlerdir. Tanımlanan bu operatör literatürde Szasz-Mirakjan veya Szasz operatörü olarak bilinir. Szasz operatörlerinin birçok genelleştirmesi çeşitli yazarlar tarafından çalışılmıştır.

Son yıllarda, Varma ve Tasdelen (S. Varma, F. Tasdelen, 2012) Szasz tipi operatörleri çalışmış ve Charlier polinomlarını içeren bir genelleştirmesini aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.





1  1  









0 1 1 ; , 1 ; 1 ! a a nx k n k C a nx _k A f x a e f a a k n  _          _  _{  }   



 

Burada C_k a

 

u Charlier polinomlarını göstermektedir. Charlier polinomları aşağıdaki şekilde elde edilir.

 

_{ }

0 1 , ! u _k a t k k t t e C u t a a k    _  _{ }    



Burada  

 

0 1 r a k _r k k C u r a        _{ }  _{ }    



ve

 

m ₀ 1,

 

m _j m m



1

 

m j 1 ,



j 1 dir. Szasz-Charlier operatörleri ve bu operatörlerin genelleştirmeleri ve yaklaşım özellikleri literatürde yoğun bir şekilde çalışılmıştır. [ (A. Kajla ve P.N. Agrawal,2015, S. Varma ve F. Taşdelen,2012) ].

Bu çalışmamızda, Gama tipi Szasz-Charlier operatörlerini tanımlayıp bazı yaklaşım özelliklerini araştıracağız.



0,



x   için, Gama tipi Szasz-Charlier operatörlerini





 1  









_

1

_

 

** 1 0 ₀ 1 1 ; , 1 ! 1 n n a a x k k n n t k n k C a x S f x a e e t f t dt a k k      _                _  _     





şeklinde tanımlayacağız.

Bu tezde yaklaşımlar teorisi hakkında literatür taraması yapılacak, lineer pozitif operatörler tanıtılacak ve bu operatörlerin sağladığı temel özellikler incelenecektir. Daha sonra bu tezde kullanılacak olan bazı tanımlar verilecektir. İlerleyen bölümlerde Szasz-Charlier operatörlerinin Gama tipi genelleşmesi tanımlanıp bu operatörün kapalı aralıkta Korovkin teoremi yardımıyla yakınsama özellikleri incelenecektir. Ayrıca süreklilik modülü, Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar tanımlanıp bunlar yardımıyla tanımladığımız operatörün yaklaşım hızı tahmin edilecektir. Daha sonra ağırlıklı

uzaylarda yaklaşım kavramları incelenip tanımladığımız operatörün ağırlıklı uzaylarda bazı yaklaşım özellikleri incelenecektir. Ayrıca ağırlıklı uzaylardaki süreklilik modülü tanımlanıp özellikleri incelenecektir. Daha sonra ağırlıklı süreklilik modülü ve Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla tanımladığımız operatörün yaklaşım hızı tahmin edilecektir. Bununla birlikte son olarak tanımladığımız operatör için Voronovskaja teoremi tipinde bir teorem verilip ispat edilecektir.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde lineer pozitif operatörler tanıtılacak ve lineer pozitif operatörlerin sağladığı temel özellikler incelenecektir. Ayrıca daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar verilecektir.

2.1. Lineer Pozitif Operatörler

Tanım 2.1.1 ve fonksiyon uzayları olmak üzere, eğer den alınmış herhangi bir fonksiyonuna de bir g _{fonksiyonu karşılık getiren bir kuralı varsa bu kuralına} den ye bir operatör denir. Bu durumda uzayında tanımlı her fonksiyonuna uzayında bir fonksiyon karşılık gelir. Bu fonksiyonun noktasında aldığı değer

ile gösterilir (Kreyszig 1978).

Tanım 2.1.2 ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere; şeklindeki operatörünü göz önüne alalım. Eğer operatörü her ve her için

koşulunu sağlıyorsa, operatörüne lineer operatör denir (Hacıyev ve Hacısalihoğlu 1995).

Tanım 2.1.3 _{bir operatör ve} f X olsun. Eğer iken

oluyorsa operatörüne pozitif operatör denir (Korovkin 1960).

Hem lineerlik hem de pozitiflik koşullarını sağlayan operatörüne lineer pozitif operatörler denir.

Lineer Pozitif Operatörlerin Özellikleri

Aşağıdaki yardımcı teoremler lineer pozitif operatörlerin literatürde var olan özellikleridir.

Yardımcı Teorem 2.1.1 _{bir lineer pozitif operatör olsun. olmak} üzere eşitsizliği sağlanır (Hacıyev ve Hacısalihoğlu 1995).

İspat: ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere; şeklindeki lineer pozitif operatörünü göz önüne alalım. için kabul edelim ki f  olsun. Bu durumda g

0

g  olacağından ve L operatörü pozitif olduğundan f L g



 f



 elde edilir. 0 Diğer taraftan L operatörü lineer olduğundan L g



f



L g

   

L f  elde edilir. 0 Böylece L f

   

L g  olur ki ispat tamamlanır.. 0

Yardımcı Teorem 2.1.2 bir lineer pozitif operatör ise o taktirde eşitsizliği sağlanır (Hacıyev ve Hacısalihoğlu 1995).

İspat: ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere; şeklindeki lineer pozitif operatörünü göz önüne alalım. Her hangi bir f fonksiyonu için

 f  f f (2.1.1) dir. L operatörü lineer pozitif olduğu için Yardımcı Teorem 2.1.1 den dolayı monoton artan olduğu için (2.1.1)'den

L



 f



L f

 

L f

 

(2.1.2) elde edilir. L operatörü lineer olduğundan





 

L  f  L f 'dir. Bunun (1.1.2)'de kullanılmasıyla;

 

 

 

L f L f L f

   elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

Tanım 2.1.4 A ve :R f AIR bir fonksiyon olsun. Her nIN için e bir denir ve ile gösterilir (Hacıyev ve Hacısalihoğlu 1995).

Tanım 2.1.5 ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere; şeklindeki operatörü ve her nIN için 'e bir denir ve ile gösterilir. , operatörünün 'e uygulandığını ve sonucun ' e bağlı olduğunu gösterir (Hacıyev ve Hacısalihoğlu 1995).

Tanım 2.1.6 Kapalı bir aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli bütün reel değerli fonksiyonlardan oluşan kümeye denir. Bu uzaydaki norm

Tanım 2.1.7 Bir ( fonksiyon dizisinin fonksiyonuna normunda düzgün yakınsak olması için  her için

ya da daha açık olarak;

eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Düzgün yakınsama şeklinde gösterilir. (Musayev ve ark. 2003).

Korovkin, lineer pozitif operatörlerin sürekli fonksiyonlara düzgün yakınsaması ile ilgili aşağıdaki teoremi vermiştir.

Teorem 2.1.1 ve tüm reel eksende

(2.1.3) olsun. Eğer lineer pozitif operatör dizisi,  ve olmak üzere

için

koşullarını sağlıyorsa, bu durumda aralığında

dir (Korovkin 1953).

İspat: Kabul edelim ki f C a b

 

, olsun. Sürekli fonksiyonların tanımından dolayı her 0

 için t x  olduğunda f t

 

 f x

 

 olacak şekilde 



'a bağlı   reel 0 sayısı vardır. t x  olduğunda ise (2.1.3)'ten ve üçgen eşitsizliğinden dolayı: 

f t

 

 f x

 

 f t

 

 f x

 

2Mf _(2.1.4) yazabiliriz. Diğer taraftan eğer; t  ise x  t x 1

   olacağından;





2 2 1 t x    _(2.1.5) sağlanır. (2.1.4) ve (2.1.5)'ten

 

 

2 f 2 f



2



2 t x f t f x M M      yazılır. O halde; t  için x  f t

 

 f x

 

  t  için x 

 

 





2 2 2 _f t x f t f x M    

elde edilir. Dolayısıyla her t IR ve her x

 

a b, için:

 

 





2 2 2 _f t x f t f x  M      _(2.1.6)

dir. Şimdi i 0,1, 2 koşullarını sağlayan

 

L operatör dizisinin, _n

 





 

_{ ,}

lim _n ; 0

C a b n L f t x  f x  eşitliğini sağladığını gösterelim;

Lineerlikten:

 





 



 



 



 





 



 







 





 



 

 

 









 





 





 

 









   





; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 ; 1; 1 n n n n n n n n n n n L f t x f x L f t x f x L f x x L f x x L f t x L f x x L f x x f x L f t f x x f x L f x x L f t f x x f x L x                 

dir. Burada üçgen eşitsizliğinin kullanılmasıyla

 



;



 





 

 



;



 



 

1; 1



n n n

L f t x  f x  L f t  f x x  f x L x  yazılabilir. Diğer taraftan Lineer pozitif operatörler monoton artan ve

 

 



f t  f x



 f t

 

 f x

 

olduğundan;

 

 







;





 

 

;



n n L f t  f x x  L f t  f x x elde edilir. Operatör pozitif ve

 

 

0 f t  f x  olduğundan;

 

 



;





 

 

;



n n L f t  f x x L f t  f x x dir. Böylece;

 



;



 



 

 

;



 



 

1, 1



n n n L f t x  f x L f t  f x x  f x L x  olduğu gösterilir. (2.1.3)'ten

 



;



 



 

 

;





 

1, 1



n n f n

L f t x  f x L f t  f x x M L x  elde edilir.

 

L monoton artan olduğundan (2.1.6)'nın kullanılmasıyla; _n

 





 





2



 



2 2 ; f ; 1, 1 n n f n M L f t x f x L  t x x M L x      _   _    (2.1.7)

bulunur. Diğer taraftan;





 





 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 2 2 _{2 2} 2 2 2 2 ; ; ; 2 1; 2 ; ; 2 2 ; 2 1; 1; ; 2 2 ; 2 1; 1; ; 2 1; f f n n n f n n n n f n n n n f n n n f n M M L t x x L x L t x x M L x L t xt x x L t x x x x xL t x M L x x L x L t x x x xL t x M L x x L x x L t x x M L x                                                                







 



 





2 2 2 ; 1; 1 n n x x L t x x L x  _{ }    _{ }   

elde edilir. Son bulduğumuz ifadenin (2.1.7)'de kullanılmasıyla;

 





 

 



 





 



 





 





2 2 2 ₂ ; 2 ; 2 ; 1; 1; 1 1, 1 n n f n n n f n L t x x x x L t x M L f t x f x L x x L x M L x    _{  }       _{ }     

elde edilir. i 0,1, 2 koşullarının son eşitsizlikte kullanılmasıyla;

 



;



 

n L f t x  f x   bulunur. O halde;

 





 

lim max _n ; 0 n  a x b L f t x  f x 

dır. Böylece ispat tamamlanır.

Tanım 2.1.8 ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere; şeklindeki operatörü ve  nIN için

 

L operatör dizisi verilsin._n







k;



n

L tx x ,



k 0,1, 2,



ile tanımlanan ifadelere

 

L operatör dizisinin k-yıncı merkezi momenti denir (Lorentz _n 1953).

Tanım 2.1.9

 

_n ve

 

_n , her n için N n nve n  için n  ve 0 0

n

  koşullarını sağlayan fonksiyon dizileri olsunlar. Bu durumda

 

_n dizisinin sıfıra yaklaşma hızı

 

_n dizisininkinden daha hızlıdır denir.

Teorem 2.1.1' de lineer pozitif bir



L_n



f x;





operatör dizisinin belirli şartlar altında f x fonksiyonuna düzgün yakınsadığını göstermiştik. Bu durumda

 

 

n

L f  f ifadesini sıfıra yakınsayan bir dizi olarak düşünebiliriz. Böylece n  için _n  olmak üzere; eğer 0

 

n n

L f  f M

olacak şekilde bir ( )n dizisi bulabilirsek, (n)'nin sıfıra yaklaşım hızı Ln



f x 'in ;



 

f x 'e yaklaşma hızını değerlendirmemize yardımcı olur. Bu değerlendirmeyi yapmak için birçok yöntem vardır. Şimdi bu yöntemleri açıklayalım:

Tanım 2.1.10 f C a b

 

, olsun.   0için

 

 

, , ( ; ) sup ( ) t x x t a b f f t f x        

ile tanımlanan ( ; ) f  ifadesine f fonksiyonunun Süreklilik Modülü denir (Altomare ve Campiti 1994).

Süreklilik Modülünün Özellikleri

ii. ₁ ise ₂ ( ;f ₁)( ;f ₂) iii. ( f g; ) ( ; )f   (g; ) iv. mINiçin ( ; m ) f  m ( ; ) f  v. IR için ( ;f )



1



( ; )f  vi. f t( ) f x

 





f t; x



vii. f t( ) f x

 

t x 1 



f;



     _  _   viii.





0 lim f; 0    

dir (Altomare ve Campiti 1994).

Tanım 2.1.11 0  1 olmak üzere f t( ) f x

 

M tx koşulunu sağlayan fonksiyonlara Lipschitz sınıfındandır denir. M 'ye de Lipschitz sabiti denir ve

 

M

f Lip  ile gösterilir. (Ersan 2008)

Tanım 2.1.12



0, 



aralığında tanımlı, M_f, f 'ye bağlı sabit olmak üzere



2



( ) _f 1

f x M x koşulunu sağlayan fonksiyonlardan oluşan kümeyeB_x2



0,



ağırlıklı fonksiyon uzayı denir. B_x2



0,



uzayının sürekli fonksiyonlardan oluşan alt

uzayına C_x2



0,



ağırlıklı fonksiyon uzayı denir. ₂

( ) lim 1 x f x x   ile sınırlı ve sürekli

fonksiyonlardan oluşan C_x2



0,



uzayının alt uzayına C_x2



0,



 _{ ağırlıklı fonksiyon} uzayı denir. C_x2



0,



 _ uzayındaki norm   2 ₂ 0, ( ) sup 1 x x f x f x    

şeklinde tanımlıdır (Hacıyev ve Hacısalihoğlu 1995).

Tanım 2.1.13 f C_x2



0,





  olsun. Herhangi bir  0için





 



2



2



0, , ( ) ( ) ; sup 1 1 x h f x h f x f h x           

şeklinde tanımlı olan 



f;



ifadesine f fonksiyonunun ağırlıklı süreklilik modülü denir (Atakut, Ispir 2002).

Ağırlıklı Süreklilik Modülünün Özellikleri





2 0,

x

f C  için ağırlıklı süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir (Ashieser 1956 ve Ispir 2001). i. 



f;



 0 ii. ₁ ise ₂ 



f;₁



 



f;₂



iii.





0 lim f; 0 _



 iv. m için N







2







; 2 1 ; f m m  f      v. Herhangi   için 0 



f;



2 1









12







f;



vi. f t

 

 f x

 

 



1 x2





1 



t x



2







f t; x



vii. f t

 

f x

 

2 1



2



1 x2



1 t x



1



t x



2





f;



        _  _     

Tanım 2.1.14



0,  aralığında tanımlı tüm reel değerli sınırlı ve sürekli f



fonksiyonlarının oluşturduğu kümeyeC_B



0,



ağırlıklı fonksiyon uzayı denir. Bu uzaydaki norm 0,  sup ( ) x f f x  

 şeklinde tanımlıdır.   için Peetre-K fonksiyoneli  0





2_{ }





2 0, , inf '' B x C K f  f h  h     

şeklinde tanımlıdır. Burada

















2 0, 0, : ', '' 0, B B B C   hC  h h C  'dir. 0 C

  öyle ki K₂



f,



C₂



f,



burada ₂



f,



ikinci dereceden süreklilik modülü olmak üzere





 









 

2 0, 0 , sup sup 2 2 x p f f x p f x p f x            

şeklinde tanımlanır (Lorentz 1953). Ayrıca 



f,



, f C_B



0, 'nin genel süreklilik



modülüdür.

Tanım 2.1.15 lim _n 0

n  ise

 

n dizisine sonsuz küçülendir denir.

 

n ve

 

n dizileri sonsuz küçülen diziler olsun. Buna göre

i. lim n 0 n

n

 

  ise

 

n dizisinin sıfıra yaklaşma hızı

 

n dizisinden daha hızlıdır denir. ii. lim n

n n

 

   ise

 

n dizisinin sıfıra yaklaşma hızı

 

n dizisinden daha hızlıdır denir. iii. lim n 1 n n  

  ise

 

n ve

 

n dizilerinin sıfıra yaklaşma hızı aynıdır denir. iv. lim n n n c  

  ise c ye asimptotik değer,

 

n dizisine de

 

n dizisinin asimptotik hızı denir. Yani

 

_n 'nin sıfıra yaklaşım hızı

 

_n 'nin sıfıra yaklaşım hızıyla belirlenir. Çünkü c , n 'ye bağlı olmayan bir sabittir. Operatörlerde



;



 

_{ }

lim n , n n L f x f x A n x   

 ise A n x fonksiyonu asimptotik değer,

 

,

 

_n dizisi de



;



 

n

3. SZASZ-CHARLIER OPERATÖRLERİNİN GAMA TİPİ GENELLEŞMESİ

Bu bölümde Szasz-Charlier operatörlerinin Gama tipi genelleştirilmesini tanımlayarak bazı yaklaşım özelliklerini inceleyip tanımladığımız operatörün merkezi momentlerini hesaplayacağız. Ayrıca süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla yaklaşım hızı incelenecektir.

3.1. Operatörün Oluşturulması ve Yaklaşım Özellikleri

Szasz-Charlier operatörlerinin Gama tipi genelleştirilmesi a>1 için aşağıdaki gibi tanımlanır.





 1  









_

1

_

 

** 1 0 0 1 1 ; , 1 ! 1 n n a a x k k n n t k n k C a x S f x a e e t f t dt a k k                      _  _     





_(3.1.1)

 

n ve

 

n sınırsız ve pozitif artan dizilerde,

 

n 1

 

n  şeklinde tanımlanır ve 1

1 lim 0 n n    , 1 1 n n n O           .





 

1 0 1 n k t k n k e t f t dt f k n           _{  } 

  



  ve n  alınırsa Szasz-Charlier operatörü elde n edilir.

Aşağıdaki yardımcı teorem Szasz-Charlier operatörünün yaklaşım özellikleri ile ilgilidir.

Yardımcı Teorem 3.1.1 nINolmak üzere    ve için x



0,



 

 

 

2 2 2 1; 1 1 t; 1 2 ; 3 1 n n n A x A x x n x A t x x n a n        _  _   

 

_

_

 

_

_



 



2 3 3 2 2 3 3 2 4 4 2 2 3 2 3 4 3 2 1 3 5 ; 6 5 1 ₁ 1 6 30 11 ; 10 31 1 1 ₁ 31 20 6 15 67 1 _{1 1} n n x x A t x x n a n _a a n x x A t x x n a n a a x a n _{a a} n     _{ }   _  _          _  _     _{ }   _  _         _  _            _{ }    eşitlikleri sağlanır(Kajla, 2015).

Aşağıdaki yardımcı teorem Szasz-Charlier Operatörünün Gama Tipi Genelleştirilmesinin yaklaşım özellikleri ile ilgilidir.

Yardımcı Teorem 3.1.2 nINolmak üzere    ve için x



0,



 

** 1; 1 n S x 

 

** 2 ; n n n n S t x  x      

 

2









 



** 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 3 1 ; n n n n n n a S t x x x           _{ } _     _{  } _{   }     

 

























2 3 ** 3 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 3 6 6 1 ; 1 2 6 3 12 11 3 3 6 10 1 ₁ 1 3 2 1 3 12 11 5 n n n n n n n n a S t x x x a _a a x                  _{ } _     _{  }      _{ }      _  _            _   _           

 

















3 4 ** 4 4 3 4 4 2 2 2 2 4 6 4 10 10 1 ; 3 30 11 6 30 35 4 10 6 31 1 1 ₁ n n n n n n n a S t x x x a a _a x            _{ } _     _{  }      _{ }        _  _{ }   _     _   _   



 













 

















3 2 2 4 2 3 2 4 3 2 4 1 4 30 70 50 6 30 35 3 1 1 3 6 20 31 8 20 5 67 1 1 1 1 1 4 3 2 1 4 30 70 50 20 50 15 n n n n n a x a a a a a x                     _{     }  _     _{  }                         _   _{ }    _                eşitlikleri geçerlidir.

İspat: Yardımcı Teorem 3.1.1 ve **

 

f; n S x tanımından; i)

 

   









_

_

    1 1 ** 1 0 0 1 1 1 1 1 1; 1 ! 1 1 1 1 1 1 1 n n n n a a x k k n n t k n k a x a x C a x S x e e t dt a k k e e a a        _                    _  _           _  _{ }  _     





ii)

 

   









_

_

   



_

_



   



_

_



   



_

_



1 1 ** 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 ; 1 ! 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 ! 1 1 1 n n n n n a a x k k n n t k n k a a x k n k n a a x k n k n a a x k n C a x S t x e e t tdt a k k C a x _k e a k C a x e a k C a x e a            _   _       _{ }     _    _          _  _        _{   }    _  _{  }   _{ }         _  _{  }   _{ }      _  _  









0 ! 2 k n n n n k k x                



iii)

 

 1  









_

1

_

** 2 1 2 0 0 1 1 ; 1 ! 1 n n a a x k k n n t k n k C a x S t x e e t t dt a k k      _                _  _     





   



_

_



_

_

_{ }

_

   



_

_



_

_

_

   



_

_



   



_

_



1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 ! 1 2 1 1 1 ! 1 1 2 3 1 ! 1 1 1 ! n n n n a a x k n k n a a x k n k n a a x k n k n a a x k n C a x k k e a k C a x e a k C a x e k a k C a x e k a k               _    _    _    _                 _  _{  }   _{ }          _  _{  }   _{ }         _  _{  }   _{ }      _  _  











_

_

_{ }

_

2 0 2 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 1 2 3 1 k n n n n n n a x x                    _{ } _     _{  } _{   }     



iv)

 

   









_

_

   



_

_



_

_

_

_





_

_

   



_

_



_

_

_

_

1 1 ** 3 1 3 0 0 1 1 2 2 3 3 0 1 1 3 1 1 ; 1 ! 1 1 1 3 2 1 3 12 11 3 6 1 ! 1 3 2 1 1 1 ! n n n n a a x k k n n t k n k a x a k n k n a a x k n n C a x S t x e e t t dt a k k e a k k k C a x k C a x e a k                                           _  _         _  _                               _  _{ }   _







   



_

_



   



_

_



   



_

_







0 1 ₂ 1 3 0 1 1 2 3 0 1 1 3 3 0 2 3 3 3 1 1 3 12 11 1 ! 1 1 3 6 1 ! 1 1 1 1 ! 3 3 6 6 1 n n n k a a x k n k n a a x k n k n a a x k n k n n n n C a x e k a k C a x e k a k C a x e k a k a x     _{ }   _           _    _    _               _  _{  }   _{ }         _  _{  }   _{ }        _  _{  }   _{ }  _{ } _     _{  }   





















2 3 2 2 3 1 2 6 3 12 11 3 3 6 10 1 ₁ 1 n n n x a _a a x          _{ }      _  _            _   _   









2 3 3 2 1 3 12 11 5 n               v)

 

   









_

_

   



_

_

























  1 1 ** 4 1 4 0 0 1 1 0 3 2 4 2 2 3 4 4 1 1 1 1 ; 1 ! 1 1 1 1 ! 4 3 2 1 4 30 70 50 6 30 35 4 10 1 1 n n n n a a x k k n n t k n k a a x k n k n n a x k C a x S t x e e t t dt a k k C a x e a k k k k k C e a        _                   _{ }     _          _  _           _  _                            _  _  



_



 



_

_



_

_

_

_

_

   

_

_

_

_

   



_

_



   



_

_



4 0 1 _{3 2} 1 4 0 1 ₂ 1 2 4 0 1 ₂ 1 2 0 1 4 3 2 1 ! 1 1 4 30 70 50 1 ! 1 1 6 30 35 1 ! 1 1 6 3 1 ! n n n a n k n a a x k n k n a a x k n k n a a x k n k a x k C a x e k a k C a x e k a k C a x e k a k           _{  }   _{ }   _    _    _    _                         _  _{  }   _{ }          _  _{  }   _{ }   _    _  _  









   



_

_



   



_

_















4 1 1 3 4 0 1 1 4 4 0 3 4 4 3 4 4 2 2 0 35 1 1 4 10 1 ! 1 1 1 1 ! 6 4 10 10 1 3 30 6 30 35 4 10 6 31 1 1 n n n a a x k n k n a a x k n k n n n n n n C a x e k a k C a x e k a k a x x a a      _              _    _                  _  _{  }   _{ }        _  _{  }   _{ }  _{ } _     _{  }           _  _      









2 2 4 11 1 n a x            _{  }  



 













 

















3 2 2 4 2 3 2 4 3 2 4 1 4 30 70 50 6 30 35 3 1 1 3 6 20 31 8 20 5 67 1 1 1 1 1 4 3 2 1 4 30 70 50 20 50 15 n n n n n a x a a a a a x                     _{     }  _     _{  }                         _   _{ }    _               

bulunur. Böylece ispat tamamlanır.

Aşağıdaki teorem Szasz-Charlier Operatörünün Gama Tipi Genelleşmesinin sürekli fonksiyonlara düzgün yakınsaması ile ilgilidir.

Teorem 3.1.1 :



0,



, ₂( ) yakınsaktır, x 1 f x E f x x   _    _    ,f C



0,  ve



E

AIR olmak üzere (3.1.1) ile verilen S_n**( ; x)f operatörü f fonksiyonuna

 

0, A aralığında düzgün yakınsar.

İspat: Korovkin teoremi (Altomare ve Campiti 1994) gereğince i 0,1, 2 için

  ** 0, lim _n ( ; ) -i i 0 C A n S t x x  olduğu gösterilmelidir.

i) için Yardımcı Teorem 3.1.2 den

 

** 0 lim max _n 1; 1 0 n  x AS x   olduğu açıktır.

ii) için Yardımcı Teorem 3.1.2 den

 





** 0 0 0 2

lim max t; lim max

2 lim max 2 lim 0 n n n x A n x A n n n n n x A n n n n n n S x x x x x x                                     

elde edilir.

iii) için Yardımcı Teorem 3.1.2 den ve üçgen eşitsizliğinden

 





_

_

_{ }

_









 



** 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 ₀ lim max t ; 1 2 3 3 2 1 2 3 1 lim max 1 1 lim max 2 3 3 2 1 2 3 1 1 lim max 2 n n x A n n n x A n n n n n n x A n n n n x A n S x x a x x x x x x a x                                   _{ } _     _{  } _{   }             _ _  _  _      _          











 















 















 



2 2 2 2 ₀ 2 2 2 2 1 3 3 2 1 2 3 1 1 1 lim max 2 3 3 2 1 2 3 1 1 1 lim 2 3 3 2 1 2 3 1 0 n n n n n x A n n n n n n x a x x a A A a                             _ _  _{    }    _{ } _                 _{ }  _  _  _      _                 _  _  _  _      _        

elde edilir. Böylece Korovkin teoreminden (Altomare ve Campiti 1994)

 

0, A aralığında sürekli her f fonksiyonu için ** _{ }

0, lim _n ( ; ) 0 C A n S f x  f  sağlanır ki böylece





** ; n

S f x operatörünün f fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğu gösterilir.

Aşağıdaki yardımcı teorem Szasz-Charlier Operatörünün Gama Tipi Genelleşmesinin Tanım 1.1.8 ile verilen merkezi momentleri ile ilgilidir.

Yardımcı Teorem 3.1.3 (3.1.1) ile verilen **

( ; x)

n

S f operatörlerinin Tanım 2.1.8 ile verilen merkezi momentlerinin bazılarının eşitleri;







0



** ; 1 n S tx x 







1



** 2 ; n 1 n n n S t x x x          _  _  



















2 2 ** 2 2 2 1 2 4 ; 1 2 3 3 1 2 1 2 3 n n n n n n n S t x x x x a   _                   _  _  _{ }  _  _ _              

































4 4 ** 4 3 2 3 4 3 3 2 2 2 2 4 2 ; 1 6 12 4 10 10 12 24 24 1 1 6 4 8 12 18 18 1 3 30 11 6 30 35 4 10 6 31 1 1 ₁ n n n n n n n n n n n n S t x x x x a a x a x a a _a          _     _{  }      _  _          _{ }  _  _ _    _                 _{ }    _ _                         _   _{ }   





















 











2 2 3 2 2 2 3 2 2 4 2 4 1 8 24 12 48 44 3 12 24 40 1 ₁ 1 6 2 1 12 18 1 4 30 70 50 6 30 35 3 1 1 3 8 20 5 1 1 6 n n n n n n n x a _a a x x a a a x a  _{  }       _{    }             _{ }         _  _        _      _                   _{ }       _  _                   _    _     



 

































3 2 2 3 3 2 4 20 31 67 1 1 1 1 4 3 2 1 12 48 44 20 1 4 3 2 1 4 30 70 50 20 50 15 n n a a                        _              _              şeklindedir. İspat: i)







0



** ** ; (1; ) n n







0



** ; 1 n S tx x  dir. ii)

Yardımcı Teorem 3.1.2 den ve lineerlikten







1



 

 

** ** ** ; ; 1; 2 2 1 n n n n n n n n n S t x x S t x xS x x x x                    _  _   dir. iii)

Yardımcı Teorem 3.1.2 den ve lineerlikten







2



 

 

 

** ** 2 ** 2 ** ; ; 2 ; 1; n n n n S tx x S t x  xS t x x S x





_

_

_{ }

_











2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 3 3 1 n n n n n n n n n n n n n n a x x x x x x x a   _{  }              _       _{ } _     _{  } _{   }          _  _                _  _  _{ }  _  _ _          dir. iv)

Yardımcı Teorem 3.1.2 den ve lineerlikten









 

 

 

 

 





4 ** ** 4 ** 3 2 ** 2 3 ** 4 ** 3 4 4 3 4 4 ; ; 4 ; 6 ; 4 ; 1; 6 4 10 10 1 n n n n n n n n n n S t x x S t x xS t x x S t x x S t x x S x a x x             _{ } _     _{  }    















 













 











2 2 2 2 4 3 2 2 4 2 3 2 4 3 30 11 6 30 35 4 10 6 31 1 1 ₁ 1 4 30 70 50 6 30 35 3 1 1 3 6 20 31 8 20 5 67 1 1 1 1 1 4 3 2 n n n n n n a a _a x a x a a a a a x                    _{ }        _  _{ }   _     _   _     _{     }  _     _{  }                         _{ }  _{   }  _       

































3 2 4 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 3 1 4 30 70 50 20 50 15 3 3 6 6 1 4 1 2 6 3 12 11 3 3 6 10 1 ₁ 1 4 3 2 1 3 12 11 5 4 n n n n n n n n a x x x a _a a x x x                                 _{ } _     _{ } _                _{ }        _  _            _    _   _                       





_

_

_{ }

_









2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 3 2 3 4 3 1 2 3 3 2 1 2 3 1 6 2 4 1 6 12 4 10 10 12 24 24 1 1 n n n n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x a a                 _  _      _   _{ } _     _{ } _ _{   }                   _  _       _  _          _{ }  _  _ _    _          