Çok Açıklıklı Kirişlerin Hareketli Yük Etkisi Altındaki Dinamik Davranış

XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 26 - 30 Ağustos 2013, Celal Bayar Üniversitesi, Manisa

ÇOK AÇIKLIKLI KİRİŞLERİN HAREKETLİ YÜK ETKİSİ ALTINDA DİNAMİK DAVRANIŞI

Volkan Kahya1, Onur Araz2, Muhittin Turan3

1,3_{Karadeniz Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, 61080, Trabzon} 2_{Gümüşhane Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Gümüşhane}

e-posta: 1_{volkan@ktu.edu.tr,} 2_{onuraraz29@hotmail.com,} 3_{m.turan@ktu.edu.tr,}

ÖZET

Bu çalışmada, hareketli yük etkisindeki iki açıklıklı kirişin dinamik davranışı incelenmiştir. Dinamik davranış, mod süperpozisyon metodu ile analitik olarak, sonlu elemanlar metodu ile de sayısal olarak elde edilmiştir. Yük hızında meydana gelen değişimin dinamik davranış üzerindeki etkileri incelenmiştir. Sayısal sonuçlar, söz konusu etkilerin iki açıklıklı kirişin dinamik davranışı üzerinde önemli etkiye sahip olduğunu göstermiştir.

Anahtar kelimeler: Hareketli yük, Dinamik büyütme çarpanı, Çok açıklıklı kiriş

DYNAMIC BEHAVIOUR OF MULTI-SPAN BEAMS UNDER MOVING LOADS ABSTRACT

In this paper, dynamic analysis of two-span beams subjected to moving loads is performed. The dynamic responses of two-span beam are obtained analytically by using the assumed mode method, and numerically by using the finite element method. Effects of the load speed on the dynamic response of two-span beams are examined. Numerical results show that the above mentioned effects play very important role on the dynamic behavior of two-span beams.

Kahya, Araz ve Turan

1. GİRİŞ

Ulaşım sistemleri bünyesinde bulunan önemli yapılardan biri de köprülerdir. Uygulandıkları arazinin sahip olduğu fiziksel şartlar köprülerin tasarımında belirleyici olmaktadır. Özellikle büyük mesafeler arasındaki bağlantının sağlanmasında çoğu zaman çok açıklıklı köprülerin tasarımına ihtiyaç duyulmaktadır. Söz konusu köprülerin trafik yükleri etkisindeki dinamik davranışının belirlenmesi, özellikle ulaşım araçlarının sahip olduğu hız seviyelerinde görülen artışla beraber önemli bir çalışma konusu haline gelmiştir.

Çok açıklıklı sistemlerin hareketli yükler altındaki davranışını ele alan çalışmalara aşağıda yer verilmiştir. Chatterjee vd. [1], Hayashikawa ve Watanabe [2] tarafından geliştirilen metodu kullanarak yaylı kütle etkisindeki çok açıklıklı köprülerin dinamik davranışını incelemişlerdir. Yang ve Yau [3], çok açıklıklı demiryolu köprülerinin yüksek hızlı trenler altındaki dinamik davranışını incelemişlerdir. Ichikawa vd. [4], çok açıklıklı Euler-Bernoulli kirişlerinin hareketli yük altındaki dinamik davranışını modal analiz metodunu kullanarak incelemişlerdir. Sonuçların elde edilmesinde hareketli yükün hızlanma ve yavaşlama etkileri dikkate alınmıştır. Johanson vd. [5], sabit ve değişken kesitli çok açıklıklı sistemlerin hareketli yükler altında dinamik davranışını ele almışlardır. Mod süperposizyon metodu kullanılarak elde edilen sonuçları, sonlu elemanlar metoduyla ede edilenlerle karşılaştırmışlardır. Ichikawa vd. [6], sabit hızda seyreden hareketli kütle etkisindeki çok açıklıklı sistemlerin dinamik davranışı çalışmışlardır. Modal analiz kullanılarak yapılan analizler sonucunda farklı kütle oranları dikkate alınarak açıklıklarda meydana gelen yer değiştirme-zaman eğrilerini elde etmişlerdir. Henchi ve Fafard [7], sonlu elemanlar metodunu kullanarak üç açıklı kiriş sistemi üzerinde sabit hızla hareket eden tekil yük problemini çözmüşlerdir. Farklı hızlarda yer değiştirmelerin zamana bağlı olarak değişimini elde etmişlerdir.

Bu çalışmada, yük hızındaki değişimin çok açıklıklı kirişlerin dinamik davranışı üzerindeki etkisi her bir açıklık için belirlenerek, tek açıklıklı sistemle mukayese edilmiştir.

2. TANIM ve TEORİK FORMÜLASYON

Çalışmada, kesit özellikleri çubuk ekseni boyunca sabit iki açıklıklı sistemin sabit hızla hareket eden tekil yük etkisindeki dinamik davranışı incelenmiştir (Şekil 1). Kirişin sönümü hesaplarda dikkate alınmamıştır. Problemin hareket denklemi aşağıdaki gibi yazılır.

4 2 4 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) y x t y x t y x t EI c m F x t x t t          (1)

Şekil 1. Hareketli tekil yük etkisindeki iki açıklıklı kiriş

x1

v P

L L

Kahya, Araz ve Turan

Burada, EI eğilme rijitliği, m birim uzunluğun kütlesi, x kiriş ekseni koordinatı, t zaman, ( , )

y x t kirişin düşey yer değiştirmesi, c kirişe ait sönüm katsayısı, F x t( , ) ise uygulanan dış

kuvvettir. ( ) n x

 ve Y t_n( ), sırasıyla n. moda ait mod fonksiyonu ve genelleştirilmiş koordinatlar olmak üzere (1) ifadesinde verilen diferansiyel denkleminin çözümü,

1 ( , ) _n( ) ( )_n n y x t  x Y t   



şeklinde kabul edilebilir. (2) eşitliğinin (1) denkleminde yerine yazılması ile elde edilen ifade ( )

i x

 ile çarpılıp 0 x L  aralığında integre edilir ve modların ortogonalitesi de dikkate alınırsa sönümsüz duruma ait hareket denklemi aşağıdaki gibi elde edilir.

2 .. 2 2 1 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) L n _{n n L n} j j n P Y t Y t x x vt dx m x dx           









Burada, _n( )x n. moda ait mod fonksiyonu, ( )Y t_n genelleştirilmiş koordinatları,  doğal _n

frekansı, m birim uzunluğun kütlesini, L açıklık uzunluğunu, v yük hızını, ( )  ise Dirac delta fonksiyonunu göstermektedir. (3) ifadesi elde edilirken _n( ) sin(x  n x L / ) olduğu dikkate alınmıştır.

2.1. İki Açıklıklı Kirişin Serbest Titreşim Modları

İki açıklıklı kiriş için serbest titreşim modları

( ) sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( ) , 1, 2

rn xr Arn xr Brn xr Crn xr Drn xr r

          (4)

ifadesi yardımıyla elde edilir [1]. Burada, r açıklık numarasını, n mod numarasını, xr ise her bir açıklığın x ekseni üzerindeki mesafesini göstermektedir. Şekil 1’de verilen problem için sınır şartları, (2) ile verilen çözüm de dikkate alındığında, aşağıdaki gibi yazılabilir.

0 ( ) ( ) 0, 1, 2 r r r xr x r xr x L r  _  _   (5) 1 2 2 2 1 2 2 2 1 0 2 0 0 x x x x      _ _   (6)

Kahya, Araz ve Turan 1 2 1 2 1 x L 2 x L x x      _{ }   (7) 1 2 2 2 1 2 2 2 1 x L 2 x L x x      _    (8)

Yukarıda moment, dönme ve yer değiştirmeye bağlı olarak yazılan 8 sınır şartının (4) ifadesinde yerine koyulmasıyla 8 bilinmeyenli 8 denklemden oluşan bir sistem elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü için

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

sin( ) 0 sinh( ) 0 0 0 0 0

cos( ) 0 cosh( ) 0 cos( ) 0 cosh( ) 0

sin( ) 0 sinh( ) 0 sin( ) 0 sinh( ) 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 sin( ) 0 sinh( ) 0 L L L L L L L L L L L L                _            _{ }       _        (9)

katsayılar determinantının sıfır olması gereklidir. det( ) 0  denklemini sağlayan L

 değerleri MATLAB [8] programı kullanılarak hesaplanmıştır. Hesaplanan  L değerlerinin aşağıdaki ifadede yazılmasıyla iki açıklıklı kirişe ait doğal frekanslar elde edilir.

2 4 ( ) n n EI w L mL   (10)

İki açıklıklı kirişe ait mod şekil fonksiyonları ise aşağıdaki ifadelerde verilmiştir. İki açıklıklık bir kirişe ait mod şekilleri tek modlar için anti-simetrik, çift modlar için ise simetriktir (Şekil 2). Mod şekil fonksiyonları

( 1) ( ) sin , 0 2 , 1,3,5,... 2 n n x x x L n L        (11)

 

Kahya, Araz ve Turan 1.Mod 2.Mod 3.Mod 4.Mod sin( ) ( ) sin( (2 )) sinh[ (2 )] , 2 , 2, 4, 6,... sinh( ) n L x L x L x L x L n L             (12b) şeklindedir.

Şekil 2. İki açıklıklı kiriş için elde edilen ilk 4 mod şekli

3. BULGULAR VE TARTIŞMA

Bu çalışmada hareketli yük etkisindeki iki açıklıklı kirişin dinamik davranışına ait sayısal sonuçlar, sonlu elemanlar metodu (SEM) ve mod süperposizyon metoduyla 10 mod için elde edilmiştir. Mod süperpozisyon metodu kullanılarak elde edilen (3) nolu ifadenin sayısal çözümü Newmark metodu yardımıyla elde edilmiştir. Problemin sonlu eleman çözümü 20 elemanlı 21 düğüm noktalı kiriş için SAP2000 paket programı kullanılarak yapılmıştır [9]. Problemde ele alınan kirişin elastisite modülü E = 27,5 GPa, atalet momenti I = 0,12 m4, birim uzunluğun kütlesi m = 4800kg/m, açıklık boyu L = 20 m ve sisteme etkiyen kuvvet P = 12 kN olarak seçilmiştir [10]. Çalışmada kullanılan boyutsuz parametreler; DLF, dinamik yer değiştirmenin statik yer değiştirmeye oranı ve , yük hızının kritik hıza oranı (  v L/ ₁)

şeklinde tanımlanmıştır.

Tablo 1. İki açıklıklı kiriş için doğal frekanslar (rad/sn)

Mod Analitik SEM

1 20,459 20,459 2 31,967 31,960 3 81,834 81,834 4 103,572 103,570

Kahya, Araz ve Turan 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8  DL F 1. açıklık (Analitik) 1. açıklık (SEM) Tek açıklık (Analitik)

Şekil 3. Yük hızına bağlı olarak DLF’nin değişimi (1. Açıklık için)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5  DL F 2. Açıklık (Analitik) 2. Açıklık (SEM) Tek açıklık (Analitik)

Şekil 4. Yük hızına bağlı olarak DLF’nin değişimi (2. Açıklık için)

Tablo 1’de iki açıklıklı kiriş için doğal frekanslar verilmiştir. Sonuçlar incelenecek olduğunda her iki metot için elde edilen doğal frekansların birbirleriyle uyum içinde olduğu görülmektedir.

Kahya, Araz ve Turan

Şekil 3’te hız parametresinin farklı değerlerine karşılık birinci açıklığın ortasında elde edilen DLF değerleri ile tek açıklıklı kirişin ortası için elde edilen DLF değerleri verilmiştir. Birinci açıklık ortasında her iki metot için elde edilen DLF değerleri tek açıklıklı kiriş için elde edilen DLF değerlerine göre daha küçüktür. Çok açıklıklı kirişlerde tekil yük altındaki davranış, ilk açıklıkta tek açıklıklı kirişinkiyle benzerlik göstermektedir. Şekil 4’te ise ikinci açıklık için elde edilen değerler görülmektedir. İki açıklıklı kirişte hareketli tekil yük altında yüksek hızlarda ikinci açıklıkta birinci açıklığa göre daha büyük yer değiştirme değerleri ortaya çıkmaktadır. Bu durum, ikinci açıklığa ait dinamik davranışın elde edilmesinde yüksek hızların son derece önemli bir etkiye sahip olduğunu göstermektedir.

4. SONUÇLAR

Bu çalışmada hareketli yük etkisindeki iki açıklıklı kirişin dinamik analizi yapılmıştır. Mod süperpozisyon metodu kullanılarak elde edilen sonuçlar sonlu elemanlar metodu kullanılarak elde edilenlerle büyük oranda benzerlik göstermektedir. Hızın dinamik davranış üzerindeki etkisi sayısal olarak incelenmiş ve ikinci açıklıkta yer değiştirmelerin daha büyük çıktığı görülmüştür.

KAYNAKLAR

[1] Chatterjee, P.K., Datta, T.K. ve Surana, C.S., “Vibration of Continuous Bridges under Moving Vehicles”, Journal of Sound and Vibration,169, 619-632, 1994.

[2] Hayashikawa, T. ve Watanabe, N., “Dynamic Behavior of Continuous Beams with Moving Loads”, Journal of Engineering Mechanics Division, American Society of Civil Engineers 107, 229-246, 1981.

[3] Yang, Y.B. ve Yau, J.D., “Vehicle-Bridge Interaction Element for Dynamic Analysis”, Journal of Structural Engineering, American Society of Civil Engineers 123, 1512-1518, 1997.

[4] Ichikawa, M., Matsuda, A. ve Miyakawa, Y., “Simple Analysis of a Multi-Span Beam under Moving Loads with Variable Velocity”, Transactions of the Japan Society for Aeronautical and Spaces Sciences, 41, 168-173, 1999.

[5] Johansson, C., Pacoste, C. ve Karoumi, R., “Closed-Form Solution for the Mode Superposition Analysis of the Vibration in Multi-Span Beam Bridges Caused by Concentrated Moving Loads”, Computers and Structures, 119, 85–94, 2013.

[6] Ichikawa, M., Miyakawa, Y. ve Matsuda, A., “Vibration Analysis of the Continuous Beam Subjected to a Moving Mass”, Journal of Sound and Vibration, 230(3), 493-506, 2000.

[7] Henchi, K. ve Fafard, M., “Dynamic Behaviour of Multi-Span Beams under Moving Loads”, Journal of Sound and Vibration, 199, 33-50, 1997.

[8] MATLAB, Version 6, The MathWorks, Inc., Natick, 2000.

[9] SAP2000, Structural Analysis Program, Computers and Structures Inc., Berkeley, California.

[10] Yang, Y.B. ve Lin, C.W., “Vehicle–Bridge Interaction Dynamics and Potential Applications”, Journal of Sound and Vibration, 284, 205–226, 2005.