FERMĠ-DIRAC YAKLAġIMI KULLANILARAK AIIIBV TĠPĠ YARIĠLETKENLERĠN FĠZĠKSEL
ÖZELLĠKLERĠNĠN ĠNCELENMESĠ Derya ÜNAL
Yüksek Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
2011 Her Hakkı Saklıdır
T.C.
GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
FERMĠ-DIRAC YAKLAġIMI KULLANILARAK
A
IIIB
VTĠPĠ
YARIĠLETKENLERĠN FĠZĠKSEL
ÖZELLĠKLERĠNĠN ĠNCELENMESĠ
Derya ÜNAL
TOKAT 2011
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu, baĢkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların baĢka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya baĢka bir üniversitedeki baĢka bir tez çalıĢması olarak sunulmadığını beyan ederim.
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
FERMĠ-DIRAC YAKLAġIMI KULLANILARAK AIIIBV TĠPĠ YARIĠLETKENLERĠN FĠZĠKSEL
ÖZELLĠKLERĠNĠN ĠNCELENMESĠ
Derya ÜNAL
GaziosmanpaĢa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
Fermi Dirac fonksiyonları ile ilgili tüm geliĢmelere rağmen α ve μ‟ ye bağlı olarak FD fonksiyonlarının analitik değerlendirilmesi fizikte ana problemlerden biridir. Bu çalıĢmada Fermi Dirac fonksiyonu için analitik ifadeler elde edilmiĢtir. Bu analitik ifadeleri kullanarak Mathematica 5.0 proglamlama dilinde programı yapılarak III-V yarıiletkenleri için elektron yoğunluğu hesaplanmıĢtır. Elde edilen formüllerin geçerliği ve doğruluğu uygulanarak test edilmiĢ ve hesaplanan sonuçların literatürdeki benzer sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüĢtür.
2011, 44 sayfa
Anahtar Kelimeler: Yarıiletkenler, III-V Yarıiletkenleri, Fermi Dirac Fonksiyonu
ABSTRACT
Ms Thesis
INVESTIGATION OF PHYSICAL PROPERTIES OF AIIIBV TYPE SEMICONDUCTORS USING FERMI DIRAC APPROXIMATION
Derya ÜNAL
Gaziosmanpasa University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics
Science
Supervisor: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
FD functions of analytical assessment depending on α and μ in spite of all development about Fermi Dirac functions is the main problem in physics. In this study, it was obtained analytical expressions for Fermi Dirac functions. On the basis of these analytical expressions a program for III-V semiconductors of electron density has been constructed by using Mathematica 5.0 mathematical software. The validity and reliability of the obtained analytical expressions was tested and the calculated results were found to be in agreement with the literature results.
2011, 44 pages
Keywords: Semiconductors, III-V Semiconductors, Fermi-Dirac Approximation
TEġEKKÜR
Yüksek Lisans çalıĢmalarım süresince bana her türlü kolaylığı sağlayan, karĢılaĢtığım zorluklarda bana yol gösteren ve bu çalıĢmamın oluĢmasında bilgi ve deneyimlerini benden esirgemeyen danıĢman hocam sayın Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU‟ na en içten teĢekkürlerimi sunarım.
KarĢılaĢtığım zorluklarda her zaman bana yol gösteren ve desteğini eksik etmeyen değerli hocam Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU‟ na içten teĢekkürlerimi sunarım.
Her zaman bilgilerinden yararlandığım ve tez çalıĢmamın her aĢamasında benden yardımlarını esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. Erhan ESER ve ArĢ. Gör. Songül FĠAT‟a teĢekkür ederim.
Hayatım boyunca maddi manevi beni destekleyen hep yanımda olan ve kızları olmaktan gurur duyduğum biricik annem Fadik ÜNAL ve biricik babam Musa ÜNAL‟a çok teĢekkür ederim.
Derya ÜNAL
Temmuz-2011
ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖZET i ABSTRACT ii TEġEKKÜR iii ĠÇĠNDEKĠLER iv ġEKĠLLER DĠZĠNĠ v ÇĠZELGELER LĠSTESĠ vi KISALTMALAR vii 1. GĠRĠġ 1 2. GENEL BĠLGĠLER 4
2.1. Enerji Bantlarının OluĢumu 4
2.2. Katkısız (saf) Yarıiletkenler 6
2.3. Katkılı Yarıiletkenler 7 2.4. Organik Yarıiletkenler 9 2.5. Ġnorganik Yarıiletkenler 9 2.6. III-V Yarıiletkenler 10 2.6.1. Kristal Yapıları 12 2.6.2. Bant Yapıları 13 2.6.3. Elektriksel Özellikleri 14 2.7. Yarıiletken Ġstatistiği 16
2.7.1. Yarıiletkenlerde Yük TaĢıyıcılarının Ġstatistiği 17
2.8. Fermi Dirac Ġstatistiği 19
2.8.1. Fermi Fonksiyonunun Özellikleri 25
2.9. Özden Yarıiletkenlerde Fermi Seviyesinin Yeri ve Yük TaĢıyıcılarının Konsantrasyonu 27 3. MATERYAL ve METOD 32 3.1. Fermi integralinin çözümü 33 4. BULGULAR 37 5. SONUÇ ve TARTIġMA 42 KAYNAKLAR 43 ÖZGEÇMĠġ 45 iv
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
Sayfa No
ġekil 1.1. (a) Metalin (Fe) ve (b) yarıiletkenin (Si) özdirencinin sıcaklıkla değiĢimi
2
ġekil 2.1. Katı cisimlerin bant teorisine göre elektriksel iletkenlerinin değerlendirilmesi
6
ġekil 2.2. n tipi yarıiletken oluĢumu 8
ġekil 2.3. p tipi yarıiletken oluĢumu 8
ġekil 2.4. Sekiz atom ihtiva eden çinko sülfür yapının birim hücresi 13
ġekil 2.5. Chelikowsky ve Cohen tarafından verilen III-V grup yarıiletkenlere ait enerji bant diyagramı
14
ġekil 2.6. N=8 atomları meydana gelen kristal için farklı enerji seviyeleri 17
ġekil 2.7. Farklı sıcaklıklarda (a) Fermi-Dirac ve (b) Boltzmann dağılım fonksiyonları (T=0<T2<T3)
19
ġekil 2.8. g1, g2,… durumları ile enerji bantlarındaki ε1,ε2,… enerji seviyeleri
20
ġekil 2.9. Farklı sıcaklık değerleri için Fermi Dirac dağılımı 21
ġekil 2.10. Özden yarıiletkenden Fermi seviyesinin sıcaklıkla değiĢimi 31
ġekil 2.11. Yarıiletkenin yasak band geniĢliğinin (Eg) sıcaklıkla değiĢimi 31
ġekil 4.1. GaAs‟nin 300 K‟de elde edilen elektron yoğunluğu 39
ġekil 4.2. Silisyumun 300 K‟de elde edilen elektron yoğunluğu 40
ġekil 4.3. Germanyumun 300 K‟de elde edilen elektron yoğunluğu 41
ÇĠZELGELER LĠSTESĠ
Sayfa No
Çizelge 4.1. GaAs için yapılan hesaplama tablosu 37
Çizelge 4.2. GaAs, Si, Ge için yapılan hesaplama tablosu 38 Çizelge 4.3. 300 K de bazı yarıiletkenlerin Enerji ve hole konsantrasyon
değerleri 38
KISALTMALAR Özdirenç T Mutlak sıcaklık Boltzmann sabiti Elektrik yükünün hızı g
E Yasak band geniĢliği
Ġletkenlik Mobilite e Elektronların yükü n Elektron konsantrasyonu J Akım yoğunluğu E Elektrik alan Elektron volt q Elektrik yükü a
E Termal aktivasyon enerjisi
Dalga fonksiyonu
F
E Fermi Enerjisi
S Entropi
Elektro kimyasal potansiyel
m Etkin kütle
p Hol konsantrasyonu
C
N Ġletim bandındaki elektron konsantrasyonu
V
N Valans bandındaki elekron konsantrasyonu
FD Fermi Dirac
1. GĠRĠġ
“Cisimler dört durumda bulunabilirler: katı, sıvı, gaz ve plazma durumunda. Katı cisimler hem belirli bir hacme hem de belirli bir Ģekle sahiptirler. Katı cisimlerin iki önemli özelliği vardır:
1. Katıların Ģekli sabittir.
2. Atomlar denge konumları çevresinde küçük genlikli titreĢim hareketi yaparlar.
Sıvıların belirli bir hacmi vardır, ama belirli bir Ģekilleri yoktur. Sıvılar bulundukları kabın Ģeklini alırlar. Sıvıların bu özelliği, onların moleküllerinin kinetik enerjisinin potansiyel enerjisine eĢit olmasından kaynaklanır. Gazların moleküller arası çekim kuvvetinin küçük olması nedeniyle, belirli bir hacmi ve Ģekli yoktur. Plazma durumu atomların yüksek dereceli iyonlaĢması ile karakterize olunur. Malzemenin plazma durumunda pozitif yüklü parçacıkların (iyonların) konsantrasyonu negatif yüklü (elektronların) konsantrasyonuna eĢittir.
Katı cisimler elektrik özelliklerine (özdirencine) göre üç gruba ayrılırlar. Metaller, yalıtkanlar ve yarı iletkenler. Katı cisimlerin sınıflandırılması Ģöyledir:
1. Metaller: =106-104ohm.cm 2. Yarıiletkenler: =104 -1010ohm.cm 3. Yalıtkanlar: 1010ohm.cm
Özdirenç kriteri açık değildir. Çünkü bir cisimden diğerine geçtiğimizde özdirenç değerleri üst üste gelmektedir. Metaller ve yarıiletkenler arasındaki fark, onların sıcaklıkla değiĢiminden daha açık görülmektedir. Kimyasal olarak temiz metallerde özdirenç sıcaklıkla lineer olarak artmaktadır ve
0 T
(1.1) Ģeklinde verilmektedir. Burada0, metalin 00
C „de özdirenci, 1/ 273 metalin termal genleĢmesi katsayısı T, mutlak sıcaklıktır. Metallerde sıcaklık arttıkça özdirenç artar (Ģekil1.1.a). Katkısız yarıiletkenin özdirenci, metalin aksine sıcaklık arttıkça eksponansiyel olarak küçülür (Ģekil1.1.b) ve
exp Eg
A
kT
2
ile verilir. Burada Eg yarıiletkenin yasak band geniĢliği, k Boltzman sabiti ve A bir
sabittir.
ġekil 1.1. (a) Metalin (Fe) ve (b) yarıiletkenin (Si) özdirencinin sıcaklıkla değiĢimi (Caferov, 1998)
Metallerin ve yarıiletkenlerin özdirenci ( ) veya iletkenliği ( )
1 1
ne
(1.3)
ile verilir. Burada n elektronların konsantrasyonu, e elektronların yükü (e=1.6 19 10 C) ve elektronların mobilitesidir. Metallerde atomlar tam iyonlaĢmıĢ durumdadır. Bu nedenle elektronların konsantrasyonu metallerde çok yüksektir. (n 22
10 cm3) ve sıcaklığa bağlı değildir. Metallerde sıcaklık arttıkça elektronların konsantrasyonu değiĢmemekte, fakat mobiliteleri bir miktar küçülmektedir. Bunların sonucunda (1.3) eĢitliğine uygun olarak metallerin özdirenci sıcaklıkla artmakta veya iletkenliği küçülmektedir. Katkısız (saf) yarıiletkenlerde, metallerin aksine elektronların konsantrasyonu sıcaklık arttıkça eksponansiyel olarak artmakta ve elektronların mobilitesi az miktarda küçülmektedir. Bu iki iĢlemin sonucunda, yarıiletkenlerin özdirenci arttıkça (1.3) eĢitliğine uygun olarak keskin azalmaktadır.
Elektrik akımını geçiren iki tür iletken olabilir: elektronik geçiĢli ve iyonik geçiĢli iletkenler. Metallerde elektrik akımı taĢıyıcıları elektronlar olduğu için metaller elektronsal iletkenlerdir. Ġyonik iletkenlerde elektrik akımı malzemenin iyonları ile taĢınır ve iyonik iletkenin kompozisyonu akımın geçtiği zamanla değiĢmektedir.
Isı enerjisi etkisiyle yarıiletkenlerde serbest yük taĢıyıcılarının (elektronların ve deĢiklerin) konsantrasyonu artmaktadır. Bu yöntemle meydana gelen yük taĢıyıcılarına ısısal veya dengeleyici yük taĢıyıcı denir. Bunda baĢka serbest yük taĢıyıcıları, ıĢık, elektrik alan, basınç ve - ıĢınları gibi hızlı parçacıkların etkisiyle oluĢabilir. Bu yöntemlerle meydana gelen yük taĢıyıcıları denkleĢtirilmemiĢ yük taĢıyıcıları olarak tanımlanır. Metallerde atomlar tam iyonlaĢmıĢ durumdadırlar ve serbest elektronların konsantrasyonu (n 10 cm22 3) atomların konsantrasyonuna eĢittir. Bu nedenle
metallerin özellikleri dıĢ etkilerle çok az değiĢmektedir. Katkısız yarıiletkenlerde ise serbest elektronların konsantrasyonu (n= 13
10 -10 cm15 3) ana atomların konsantrasyonundan ( 22 3
10 cm ) çok azdır. Yarıiletken atomların dıĢ etkilerle (ıĢık, elektrik alan, basınç, hızlı parçacıklarla bombardıman vb) iyonlaĢması ve serbest elektron konsantrasyonunu keskin değiĢtirmek mümkündür. Bunun neticesinde yarıiletken özellikleri de keskin değiĢebilmektedir (Caferov, 1998).
Serbest yük taĢıyıcılarının oluĢma yöntemleri yarıiletkenin kristal yapısına, kompozisyonuna ve katkı atomlarının bulunmasıyla iliĢkilidir. Çok az miktarda ki
(% 3 8
10 10 ) katkı atomları yarıiletkenin iletkenliğini keskin (108 kata kadar) değiĢebilir.
4
2. GENEL BĠLGĠLER
2.1. Enerji Bantlarının OluĢumu
Kuantum Mekaniği yasalarına göre, elektronlar atoma bağlı olan yapılarında spesifik ve diskre enerjilere sahiptirler. Eğer iki izole atom birbirlerine yaklaĢtırılırsa her atomik enerji seviyesi ikiye ayrılır. Eğer 3 atom birbirine yaklaĢtırılırsa her enerji düzeyi üçe ayrılacaktır. Bir katı cisim ele alındığında birbirine örgü sabiti mesafesinde yakın N sayıda atom bir arada bulunuyor demektir. Dolayısıyla enerji düzeyleri N‟ye yarılmıĢ olacaktır. Bu enerji seviyeleri arasındaki fark o kadar küçüktür ki bu enerji grubu sürekli bir enerji bandı olarak düĢünülebilir. BaĢka sözlerle katıdaki her enerji seviyesine prensip olarak bir enerji bandı karĢılık gelmektedir.
Atomun yapısında yer alan ve daha iç kabuklarda bulunan elektronlar, çekirdeğe yakın olmaları nedeniyle, atoma daha sıkı bağlıdırlar. Diğer taraftan bu elektronlar üzerine öteki komĢu atomların etkileri de ihmal edilebilecek kadar az olur. Bu nedenle iç kabuklardaki bu seviyelerin yarılmaları çok daha küçük boyutlarda olacağından iç kabuk elektronlarının enerji değerleri, pratik olarak atomunkiler ile aynıdır.
Pauli ilkesine göre enerji her enerji düzeyinde, spinleri farklı olmak koĢulu ile en fazla iki elektron yer alabilir. Buna göre bir bant N sayıda enerji düzeyine yarılıyorsa bu bantta en fazla 2N sayıda elektron bulunabilir. Elektronlar, enerji açısından enerji değerleri küçük olan seviyelere öncelikle yerleĢirler. Böylece tüm elektronlar enerjilerine göre seviyelere yerleĢir. Elektron bulunan en yüksek enerjili seviyeden sonra gelen enerji düzeyi, yerleĢecek baĢka elektron kalmadığı için, boĢ kalacaktır. Elektronlar, ortamdan ısı enerji alarak daha yüksek enerjili düzeylere, eğer yerleĢmesi mümkün ise geçiĢ yapabilir. Bu nedenle bir katı içinde elektron bulunan en yüksek enerji düzeyi, katı cismin bulunduğu sıcaklığa bağlı olarak değiĢir.
Herhangi bir sıcaklıkta elektron bulunan en yüksek enerji seviyesine valans bandı, bunu izleyen ilk boĢ enerji düzeyine ise iletkenlik bandı adı verilmiĢtir. Mutlak sıfır sıcaklığında (00
seviyesidir. Valans bandında bulunan atoma bağlı bir elektron, herhangi bir dıĢ etkisiyle örneğin elektrik alan optik aydınlatma X-ıĢınları ile ıĢınlanma, magnetik alan ısı enerjisi gibi, enerji kazanabiliyor ve daha yüksek enerjili boĢ seviyelere, baĢka sözlerle iletkenlik bandına geçiĢ yapabiliyorsa bu elektron atomdan bağımsız hale gelir, yani serbest elektron durumuna geçer. Elektronun katı cisim içinde serbestçe dolaĢması anlamına gelen bu olgu katı cismin iletken özellik taĢıması demektir. Bu nedenle dolu olan en yüksek enerjili banttan sonra gelen daha yüksek enerjili seviyelere iletkenlik seviyeleri denmiĢtir. Örneğin metallerde en dıĢ yörüngede bulunan valans elektronu atoma zayıf bir Ģekilde bağlı olup, küçük bir elektrik alan etkisi ile bağlı olduğu atomdan kurtulabilir ve elektron serbest elektron veya iletkenlik elektronu haline gelir ve katı cisme elektriksel iletkenlik kazandırır. Bu özelliğe sahip maddeler iletkenler olarak bilinir.
Eğer valans elektronu atoma çok güçlü bağlara bağlı ise, bir dıĢ etki ile bu elektronlar atomdan kopartılamaz ve iletkenlik bandına geçecek elektron yaratılamaz. Dolayısıyla bu maddeler iletkenlik özelliği göstermezler. Bunlara yalıtkan (izolatör) maddeler denir.
Bazı maddelerde ise alçak sıcaklıklarda valans bandındaki elektronlar yeterli enerji kazanarak iletkenlik bandına çıkamamalarına rağmen, sıcaklık artınca örneğin oda sıcaklığında (300 0
K) elektronların kazandığı enerji onlara valans bandından iletkenlik
bandına çıkmalarına neden olur ve malzeme iletken karakter kazanır. Bu özellik sahip malzeme yarıiletken olarak tamamlanmıĢtır.
6
ġekil 2.1. Katı cisimlerin bant teorisine göre elektriksel iletkenlerinin değerlendirilmesi (Atalay, 1994)
ġekilden görüleceği gibi malzemenin elektriksel iletkenliğini belirleyen ana faktör, valans bandı ile iletkenlik bandı arasındaki geniĢliktir. Elektronların enerji açısından bulunmalarının mümkün olmadığı bu bölgeye yasak enerji aralığı denir. Buna göre iletken malzemede valans bandı ile iletkenlik bandı arasındaki geniĢlik sıfırdır. Yani iletkenlerde valans bandı ile iletkenlik bandı üst üste binmiĢtir. Yalıtkanlarda ise yasak enerji aralığı oldukça geniĢ olup, elektron yeterli enerji kazanarak valans bandından iletkenlik bandına geçiĢ yapamaz. ġekilden görüldüğü gibi yarıiletkenlerde yasak enerji aralığı, elektronların oda sıcaklığında bile enerji kazanarak valans bandından iletkenlik bandına çıkmalarına izin verecek darlıktadır (Atalay, 1994).
2.2. Katkısız (saf) Yarıiletkenler
Safsızlık veya örgü kusuru içermeyen bir yarıiletken malzeme katkısız (saf) yarıiletken olarak tanımlanır. Böyle bir malzeme de mutlak sıfırda serbest yük taĢıyıcıları bulunmamaktadır, yani valans bandı elektronlarla tam olarak doldurulmuĢtur (deĢikler yok) ve iletim bandında serbest elektronlar bulunmamaktadır. Sıcaklık arttıkça kırılmıĢ valans bağların sayısı artar ve bu nedenle serbest elektronların ve deĢiklerin konsantrasyonu artar. Katkısız yarıiletkenlerde iletkenlik bandındaki elektronların yoğunluğu, değerlik bandındaki elektronların yoğunluğuna eĢittir. Çünkü bir elekron
termal uyarma sonucu geride bir boĢluk bırakarak iletim bandına geçer. Bu malzemelerde elektrik alan ve termal enerji etkisiyle uyarılan elektronlar yasak enerji aralığını atlayarak iletim bandına geçerler ve böylelikle iletimi sağlarlar. Katkısız yarıiletkenlere örnek olarak Germanyum (Ge) ve Silisyum (Si) verilebilir.
2.3. Katkılı Yarıiletkenler
Bir yarıiletkendeki yük taĢıyıcılarının sayısı uygun safsızlıkların yarıiletkenin kristal örgüsü içine ilave edilmesi ile arttırılabilir. Safsızlık ilavesi ile kristaldeki elektron veya boĢluk yoğunluğu değiĢtirilebilir. Bir yarıiletkende çoğunluk taĢıyıcıları elektronlar azınlık taĢıyıcıları boĢluklar olursa bu tür yarıiletkenler n-tipi yarıiletken, çoğunluk taĢıyıcıları boĢluklar ve azınlık taĢıyıcıları elektronlar olursa bu tür yarıiletkenler ise p tipi yarıiletken olarak adlandırılırlar. Katkısız bir yarıiletken safsızlık atomlarıyla katkılandırıldığında, malzemenin mevcut elektronik durumları değiĢir ve yarıiletkenin özelliğinde önemli değiĢiklikler oluĢur. Bu özellikler safsızlıklara bağlı olduğundan, malzeme katkılı yarıiletken olarak adlandırılır. Safsızlık atomlarıyla meydana gelen iletkenliğe de katkılı iletkenlik denir. Örneğin; IV.grup elementi olan silisyum (Si), V.grup elementi olan arsenik (As) atomu ile katkılandırıldığında, As atomunun en dıĢ yörüngesinde bulunan 5 elektrondan 4 tanesi Silisyum atomuyla kovalent bağ yaparlar.
Geride kalan bir elektron ise zayıf bağlı olarak kalır. Katkılanan As atomu serbest elektron vermek suretiyle akıma katkı sağlar. Bu durumda çoğunluk taĢıyıcıları elektronlar olduğundan bu tip yarıiletkenlere, n-tipi yarıiletken malzemeler denir.
8
ġekil 2.2. n tipi yarıiletken oluĢumu
Eğer Si kristali III. grup elementi olan bor (B) atomu ile katkılanırsa, bor atomunun en dıĢ yörüngesinde bulunan 3 elektron, Si kristalinin dört serbest elektronunun üçü ile bağ yapar. Silisyum ile bor atomu arasında bir bağ boĢta kalır, bu boĢ bağ pozitif yük taĢıyıcısı olarak davranır ve iletim boĢluklar tarafından sağlanmıĢ olur. Bu durumda, çoğunluk taĢıyıcıları boĢluklar olduğundan bu tür malzemelere p-tipi yarıiletken denir.
2.4. Organik Yarıiletkenler
Bu yapılar karbon ve hidrojen atomlarından meydana geldikleri için organik yarıiletkenler olarak adlandırılırlar. Organik yarıiletkenlerin elektriksel iletkenliği sıcaklıkla üstel bir artıĢ göstermektedir. Ġletkenlik mekanizmaları yarıiletkenlerinkine benzerdir. En çok bilinen organik yarıiletken antrasen (anthracene) (C6H4: (CH)2:C6H2) dir (Smith, 1978)
2.5. Ġnorganik Yarıiletkenler
Ġnorganik yarıiletken malzemelere örnek olarak silisyum (Si), germanyum (Ge) ve galyum arsenik (GaAs) verilebilir. Bunlar aynı zamanda katkısız, katkılı ve bileĢik yarıiletkenler, alaĢım yarıiletkenleri, oksit yarıiletkenler ve kompleks yarıiletkenler olarak da sınıflandırılır.
BileĢik yarıiletkenlere, periyodik tablonun III-V ve II-VI grup elementlerinin oluĢturduğu yarıiletken örnek verilebilir. III-V grubu bileĢiklerin en iyi bilinenleri GaAs, InSb, GaP, InAs ve GaSb ve II-VI grubu bileĢikler ise CdS ve ZnS gibi bileĢiklerdir. Bu bileĢiklerin büyük çoğunluğu ZnS yapıda kristalleĢir ve kimyasal bağlama kovalenttir.
AlaĢım yarıiletkenler, CuFeS2, CuInSe2, AgInSe2 ve CuFeSnS4 gibi üçlü ve dörtlü alaĢımlardan üretilir. Bunları katkılandırmak zor olduğundan dolayı fazla ilgi görmemiĢlerdir. Bunların yasak enerji aralıkları 0.55-3.5 eV aralığında bulunmuĢtur ve band yapıları III-V ve II-VI grubu yarıiletkenlerinden farklılıklar gösterir. Bu malzemeler doğrudan (direk) band yapısına sahip olduklarından, opto-elektronik, lüminesans ve lazerde kullanılmaktadırlar (Smith, 1978).
Oksit yarıiletkenler de inorganik yarıiletkenler sınıfına alınabilir. Metal oksit büyük yasak enerji aralığına sahip yarıiletkenlerdir. Bunlar genellikle d kabuklarında elektron eksikliğine sahiptirler. Bilinen en iyi oksit yarıiletkenler Cu2O, ZnO ve ReO3 dır. VO2 ve V2O3 gibi oksitler ise yüksek sıcaklıkta metalik iletkenlik gösterirken, krtitik bir
10
sıcaklık değerinden sonra direnç değerlerinde ani bir düĢme göstererek, düĢük sıcaklılarda yarıiletken özellik sergiler. SrTiO3 ve BaTiO3 oksitlerin ise kalkılama ile yarıiletken özellik gösterdikleri bulunmuĢtur (Smith, 1978)
Yarıiletken özellik gösteren geçiĢ metal kompleksleri de inorganik yarıiletken malzeme sınıfına alınabilir. Metal kompleksler, ortaklanmamıĢ elektron çiftlerine sahip olan ligand moleküllerine geçiĢ metallerinin kimyasal olarak bağlanmasıyla oluĢan bileĢiklerdir.
Kompleks malzemelerin yarıiletken özellik sergilemeleri, son yıllarda kompleks yarıiletken malzemeler üzerine ilgiyi arttırmıĢtır. Bu tür malzemeler katkısız yarıiletken özellik sergilediği gibi katkılı yarıiletken özellik de sergiler.
Bunların elektriksel özellikleri ve elektronik parametreleri, malzemenin kompozisyonuna bağlı olduğu gibi yapı içindeki örgü kusurlarına ve tane sınırlarına da bağlıdır. Bu tür malzemelerde iletkenlik yönü metalden liganda veya ligandan-metale doğru meydana gelmektedir, yani taĢıyıcı yükler ya metalden liganda ya da liganddan metale geçer. Bu malzemelerde iletkenlik mekanizması, malzemenin amorf ya da kristal olmasına göre sıçrama ile iletkenlik mekanizması veya farklı makenizmalarla açıklanabilir (Moharram, 1997).
2.6. III-V YARIĠLETKENLERĠ
Yarıiletken teknolojisinde, temel elektronik yapı elemanlarının fiziksel ve elektronik özelliklerini araĢtırmak oldukça önemlidir. Bu amaçla yıllardır çeĢitli yapı elemanlarından oluĢan yarıiletken kristallerin elektronik özelliklerinin saptanması için araĢtırmalar sürdürülmektedir. AraĢtırmaların bir bölümü bu kristallerin fiziksel özelliklerini belirlemek için yapılırken, diğer bir bölümü de fiziksel özelliklerinden yararlanılarak yeni aygıtlar geliĢtirmeyi amaçlar (Warschauler, 1959; Sze, 1981; Nicollian, vd., 1982; Ghandhi, 1983; Ebeoğlu, 1989; Kılıçoğlu, 1988; Schroder, 1990; Balasubramania, 1990).
Yeni devre elemanı teknolojisi, yapı tabanı olarak genellikle Silisyum kristalini kullanmakta, fakat ilerleyen teknoloji özel nitelikli devre elemanlarına ihtiyaç duymaktadır. Silisyum kristalinde yük taĢıyıcı hızlarının düĢük olması ve band yapısının doğrudan geçiĢlere uygun olmaması (indirekt band) teknolojik ihtiyaçları karĢılayamamaktadır. Bu sebepten ötürü isteklere cevap verilebilecek yeni tip yarı iletken tabanlar aranmaya baĢlanmıĢtır.
Böylece III-V grubu ve diğer yarıiletken tabanlar araĢtırılmaya baĢlandı (Gatos vd, 1960; Long, 1968; Nicolian vd.,1982; Piotrowska, 1983; Yamaguchi, 1988; Moison vd, 1989; Singh, vd., 1989; Tang Sah, 1991; Sharma, 1992).
III-V grubu bileĢiklerin ilki InP bileĢiği olarak bulundu (Hilsum, 1961). Daha sonra (III-a) ile (V-(III-a) grubu elementler arasında ikili bileĢikler oluĢturuldu (Hilsum, 1961). 1929 yılında InSb, GaSb, GaAs, GaP, AlSb, AlAs, AlP ve AlN bileĢikleri oluĢturuldu. III-V grubu bileĢikler, küçük enerji aralığına, yüksek elektron hızlarına ve direkt band yapılarına sahip olmalarından ötürü, yarıiletkenlerin yeni bir ailesi olarak önem kazandı, bu yarıiletkenlerin kullanımı ile silisyum devre elemanlarının sahip olmadığı üstün nitelikli devre elemanları gerçekleĢtirildi. Bu devre elemanları kullanılarak, ileri teknolojik aygıtlar üretildi (Hilsum, 1961). Bu alanda yapılan çalıĢmalarla diyod, transistör gibi devre elemanlarında sağlanan geliĢmeler yarıiletken teknolojisine büyük katkılar kazandırmıĢ ve entegre devre teknolojisi geliĢmiĢtir (Nicollian, 1982; Ghandhi, 1983).
Periyodik tablonun IIIA grubundaki bir element VA grubundaki element ile birleĢerek kristal yarıiletken bileĢikleri oluĢtururlar. Bunlar kristal örgünün uygun kenarlarına yerleĢen III-V grubu elementlerin atomları arasında 1:1 atomik oranlı kimyasal bileĢikler olup alaĢım değildirler (Hilsum ve ark., 1961; Long, 1968).
III-V grubu bileĢikler IV grubu yarıiletkenler gibi birim atomda aynı ortalama elektron sayısına sahiptir. Kristal yapıları, elektronik özellikleri IV grubu yarıiletkenlerinkine benzer olmakla birlikte farklı olan bazı karakteristik özellikler gösterirler. Bunlar IV grubu kristallerden daha düĢük simetriye sahiptirler. IV grubu yarıiletkenler kovalent
12
bağlı nötr atomları ihtiva ederler. Halbuki III-V grubu bileĢikler örgü kenarlarında negatif iyon kapsarlar (Hilsum vd., 1961)
IIIB ve VA bileĢikleri (CeAs, PrN, …. ) sodyum klorid kristal yapıya sahiptir ve iyonik kristallerdir. IIIB ve VB elementleri arasında alaĢımlar veya bileĢikler yoktur (Hilsum vd., 1961).
2.6.1. Kristal Yapıları
III-V grubu kristaller elmas yapıya benzer bir yapıya sahiptirler. Ancak birim hücrede iki çeĢit atom vardır. Birim hücrede iki farklı atoma sahip olmalarına rağmen bu bileĢikler, bazen tek atomlu yarıiletkenlerden daha basit davranıĢ gösterirler (Hilsum vd., 1961; Ghandh, 1983).
III-V grubu bileĢikler bir düzen içerisinde kristalize olurlar (Goodman, 1978). Atomların bir cinsi düzgün dörtyüzlünün merkezinde, diğer cins atomlar ise köĢelerde bulunurlar. Bu düzgün dörtyüzlü, kübik kristal yapıda düzenlenmiĢ ise çinko sülfür “Zinc-blende” yapı olarak (Ģekil 2.4.) ve hegzogonal kristal yapıda ise wurtize yapı olarak adlandırılır (Kittel, 1976). Wurtzite yapı çinko sülfür yapının bir çeĢididir. Sadece birbirini takip eden (111) tabakaları [111] ekseni etrafında 180o döner ve yapı hegzogonal simetri gösterir.
Bor, alüminyum, galyum ve indiyum ile birleĢen fosfor, arsenik ve antimon ikili bileĢiklerinin tamamı çinko sülfür yapıya sahiptirler. Bor nitridi ise grafite benzer hegzogonal yapıya sahiptir. Alüminyum, galyum ve indiyum nitridleri wurtzite yapıya sahiptir. Bizmut ise tetrahedral yapı dıĢında metalik bileĢik oluĢturur.
ġekil 2.4. Sekiz atom ihtiva eden çinko sülfür yapının birim hücresi
2.6.2. Bant Yapıları
Kristal örgünün periyodikliği nedeniyle bir yarıiletken, izinli ve yasaklanmıĢ enerji bölgelerine sahiptir. Yasak enerji aralığı yarıiletkenlerin birçok özelliklerini tanımlamakta kullanılan önemli bir parametredir. Ġzinli enerji bölgeleri yasak bandın altında ve üstünde yerleĢir. Yasak bandın altında kalan ve bağlı elektronların oluĢturduğu enerji bölgesi valans bandı ve üstünde kalan serbest elektronların oluĢturduğu enerji bölgesi iletkenlik bandı olarak adlandırılır. Bütün III-V grup yarıiletkenler benzer bant yapılarına sahiptir. Önemli yarıiletkenlerin bant yapıları Chelikowsky ve Cohen tarafından verilmiĢtir. III-V grup yarıiletkenlerin bant yapısı ġekil 2.5.‟de verilmiĢtir.
Bant yapısı kristal simetrisinin temel bir fonksiyonudur. , X, ve L Brillouin bölgelerindeki önemli simetri noktalarıdır. Bant yapılarının en belirleyici özelliği valans ve iletkenlik bantlarının konumudur. Eğer Brillouin bölgesinde, valans bandının tepesi ve iletkenlik bandının dibi aynı noktada oluĢursa () yarıiletken direkt yarıiletken, aynı
14
noktada oluĢmazsa indirekt yarıiletken olarak adlandırılır. Bu nedenle Brillouin bölgesinin merkezindeki noktası direkt yarıiletkenler için en önemli noktadır. DüĢük alan iletimi hesaplamalarında genellikle valans bandının tepesi ile iletkenlik bandı dibinin göz önüne alınması yeterli olmaktadır. Bu noktalar yarıiletkenin gözlenebilir özelliklerinin belirlenmesinde etkin bir rol üslenmektedir.
ġekil 2.5. Chelikowsky ve Cohen tarafından verilen III-V grup yarıiletkenlere ait enerji bant diyagramı
2.6.3 Elektriksel Özellikleri
Bir maddenin elektriksel iletkenliği o maddede atom baĢına düĢen serbest elektrik yükü sayısıyla belirlenir. Serbest elektrik yükünün madde ortamında hareket edebilme yeteneğini ifade eden hareketlilik (mobilite) elektriksel iletkenliğin belirlenmesinde rol oynayan baĢka bir parametredir. Mobilite elektrik alanı baĢına serbest elektrik yükünün hızı olarak tamamlanır.
Serbest elektrik yükünün içinde hareket ettiği elektrik alanının büyüklüğü E ile elektrik yükünün hızı v ile gösterilirse mobilite;
v
E
(2.6.1)
olarak yazılır. Yarıiletken içerisindeki serbest elektron yükleri bir elektrik alanı içerisinde hareket ederek J akım yoğunluğunu oluĢturur. Elektrik alanının, akım yoğunluğuna oranı o maddenin özdirencini tanımlar ve
E J
(2.6.2)
ifadesi ile verilir. Bir maddenin elektriksel iletkenliği, elektrik alanı baĢına düĢen akım yoğunluğudur. Bu aynı zamanda özdirencin tersine eĢittir ve
1
(2.6.3)
olarak tanımlanır. Malzemenin uçlarına uygun gerilime bağlı olarak oluĢan J akım yoğunluğunun büyüklüğü,
Jnqv (2.6.4)
bağıntısıyla ifade edilir. Burada q elektrik yükü, n birim hacimdeki iletim elektronlarının sayısıdır. Elektriksel iletkenlik ise, mobilite cinsinden,
qn olarak yazılır. Katkısız bir yarıiletkende elektriksel iletkenlik, boĢluk ve elektronlar tarafından sağlanır ve
( )
i qni n p
(2.6.6)
bağıntısıyla verilir. Burada i, katkısız elektriksel iletkenlik, ni katkısız taĢıyıcı sayısı, ve elektronların ve boĢlukların mobiliteleri ve q elektronun yüküdür. Yarıiletken madde bir miktar katkılandırıldığında artık serbest elektron ve boĢluk sayıları eĢit değildir. Bundan dolayı katkılı bir yarıiletkende elektriksel iletkenlik;
qn n qp p
(2.6.7)
ile verilir. Burada n ve p birim hacmindeki serbest elektronlar ve boĢlukların sayısıdır. Buna göre katkılı bir yarıiletkenin özdirenci;
1/ (qn n qp p)
16
olur. Yarıiletkenin n-tipi olması durumunda (2.6.8) bağıntısında, paydadaki birinci terim ikinci terimden çok büyüktür. Yani q n n q p p dir. Bu durumda, n-tipi yarıiletkende özdirenç;
1/ ( )
n qn n
(2.6.9)
olarak bulunur ve p-tipi yarıiletkende ise qp p qn n olduğundan özdirenç; 1/ ( )
p qn p
(2.6.10)
olur. Katkısız bir yarıiletkende elektriksel iletkenlik, değerlik bandında oluĢan boĢluğun iletkenliği ile iletkenlik bandında bulunan elektronların yaratacağı iletkenler toplamına eĢittir ve sıcaklığa bağlılığı;
0exp( Ea/kT)
(2.6.11)
denklemi ile verilir. Burada 0 bir sabittir ve Ea, iletkenlik için termal aktivasyon enerjisidir (Lubianiker ve Ark., 1997). Yarıiletkenlerin iletkenliği sıcaklıktan baĢka, elektrik alan, manyetik alan, aydınlanma dıĢ basınç gibi çevre Ģartlarına da bağlıdır. Bunun yanında, kendi özellikleri olan yük taĢıyıcıların mobilitesi, sayısı ve kristal yapıdaki kusurların yoğunluğu da iletkenlikte etkilidir.
2.7. Yarıiletken Ġstatistiği
Bir kristaldeki elektronun periyodik potansiyel dağılımı eğer kristal, N atomları içerirse N farklı seviyeleri oluĢur. Bu seviyeler birinci Brillouin bölgesine sınırlandırılabilir. Kristal periyodikliğinden dolayı, elektron dalga fonksiyonları bir boyutta
x u x
exp(ikx)
Ģeklindedir. Ayrıca periyodik (Bloch fonksiyonu) olmak zorundadır.
u xNa u x (2.7.1)
ve
exp ikx ikNa u x Na exp ikx u x (2.7.2)
exp ikNa 1 (2.7.3)
veya
2 / ;
kn Na n 0, 1, 2,....N/ 2 (2.7.4)
denklemini elde ederiz. Burada α örgü sabitidir. Birinci Brillouin bölgesi için k, -π/α ve +π/α arasında değerler alır. n tamsayısı –N/2 ve +N/2 arasında sınırlandırılmaktadır. ġekil 2.6‟da N=8 atomları meydana gelen kristal için farklı enerji seviyeleri verilmektedir (Seeger, 2004).
ġekil 2.6. N=8 atomları meydana gelen kristal için farklı enerji seviyeleri (Seeger, 2004).
2.7.1. Yarıiletkenlerde Yük TaĢıyıcılarının Ġstatistiği
Yarıiletkenlerde elektronlar belirli enerjiye sahip (veya enerji durumlarında) olabilirler. Farklı Ģartlara bağlı olarak elektronlar bu enerji düzeylerinde yerleĢebilirler veya düzeyler boĢ kalabilir. Enerji düzeylerinin elektronlarda dolu olması yarıiletkenin temel özelliğini (iletkenliğini) belirlemektedir. Yarıiletkenlerde elektronların
18
konsantrasyonunu hesaplamak için, enerji durumlarının yoğunluğu ve elektronların yerleĢme olasılığını bilmek lazımdır. Ġletim bandında enerji düzeylerinin elektronlarla doldurulması Fermi fonksiyonu ile belirlenmektedir.
Pauli ilkesine göre yarı-tam spine sahip olan parçacıklar Fermi-Dirac dağılım fonksiyonuna uyarlar. 1 ( , ) 1 exp F F E T E E kT (2.7.1.1)
Burada EF Fermi enerjisi, T mutlak sıcaklık ve k Boltzmann sabitidir. (2.7.1.1) ifadesiyle verilen fonksiyon, Fermi Dirac dağılım fonksiyonu veya Dirac fonksiyonu olarak tanımlanır. Fermi fonksiyonu (2.7.1.1) belirli bir sıcaklıkta, belirli bir enerji durumunda (E) parçacığın bulunma olasılığını ifade etmektedir.
Yarıiletkendeki elektronlar ve delikler yarı-tam değerli spine sahip parçacıklardır (yani fermiyonlardır) ve bu nedenle onlar Fermi Dirac dağılım fonksiyonuna uymaktadırlar. (2.7.1.1) Fermi fonksiyonunu mutlak sıfırda (T=0) gözönüne alalım. Elektronların enerjisi Fermi enerjisinden küçük (E<EF) veya Fermi enerjisinden büyük (E>EF) olduğunda, (2.7.1.1) Fermi fonksiyonu Ģu değerleri alır (Caferov, 1998).
F(E)=1 E<EF için
(2.7.1.2) F(E)=0 E>EF için
Mutlak sıfır Fermi enerjisinden daha küçük enerjili durumlar elektronlar tarafından iĢgal edilmektedirler (F(E)=1) ve Fermi enerjisinden daha büyük enerjili durumlar boĢtur (ġekil 2.7.a). Dolayısıyla, mutlak sıfırda elektronlar en küçük enerjili durumlarda bulunmaktadırlar. Böylece, Fermi enerjisi, kristaldeki elektronların en olası enerjisidir.
ġekil 2.7. Farklı sıcaklıklarda (a) Fermi-Dirac ve (b) Boltzmann dağılım fonksiyonları (T=0<T2<T3) (Caferov, 1998).
Sıcaklık arttıkça, elektronlar daha yüksek enerjili durumlara geçebilir ve bu nedenle Fermi fonksiyonunun karakteri değiĢebilir (ġekil 2.7.a). Fermi enerjisinin etrafında, (EF -2kT, EF+2kT) bölgede, Fermi fonksiyonu „yayılmaktadır‟ ve en büyük değerli enerji bölgesinde „kuyruk‟ oluĢturmaktadır (Caferov, 1998).
2.8. Fermi Dirac Ġstatistiği
Fermi Dirac integrali Fermi Dirac dağılımı içeren birçok fizik problemlerinde önemli rol oynar. Özellikle de yarıiletken cihazların yük yoğunluklarının hesaplanmasında uygun olarak ihtiyaç duyulmaktadır. (Blakemore, 1982). F1/2(x) üzerinde kurularak literatürde mevcut olan tam ve yaklaĢık ifadelerin kapsamlı hesaplarını verir. (Wang et al). F1/2(x) için çeĢitli yaklaĢımların geniĢ bir karĢılaĢtırmasını sunar.
a. Elektronların biri diğerinden ayırt edilemez.
b. Bandın herbir seviyesi karĢıt spin ile iki elektrondan fazla olmayacak Ģekilde iĢgal edilebilir. Bu Pauli dıĢarlama ilkesinden dolayı böyledir.
c. Herbir katkı seviyesi bir elektron tarafından iĢgal edilebilir.
ġekil 2.8‟de gösterildiği gibi n elektron içeren bandlar g1, g2,…,gN durumları ile birlikte ε1,ε2,…,εN, N seviyelerinden oluĢabilir.
nj<gj durumlarının herbirinin bir elektron tarafından iĢgal edildiği varsayılmaktadır. Bu yüzden (gj-nj) boĢtur.
20
Bunun için Boltzman termodinamik olasılığı W‟yi hesaplamalıyız (E. Spenke 1965). Elektronların tüm durumları üzerine en makul dağılımı hem toplam elektron sayısının hem de toplam U enerjisinin sabit kaldığı yardımcı Ģartlara bağlı olan
0
j
dW
dn (2.8.1)
formülünden elde edilmektedir. W‟nin maksimum Wmax değeri termodinamik olasılık olarak ifade edilmektedir. Boltzman‟a göre, entropi S=kBlnWmax ile verilmektedir. Burada kB Boltzman sabitidir. Serbest enerji F=U-TS ile verilmektedir. Burada sıcaklık
max ln 1 n const B W k T U (2.8.2)
ile ifade edilmektedir.
ġekil 2.8. g1, g2,… durumları ile enerji bantlarındaki ε1,ε2,… enerji seviyeleri (Seeger, 2004).
ġekil 2.9. Farklı sıcaklık değerleri için Fermi Dirac dağılımı (Seeger, 2004)
Fermi enerjisi ζ(elektro-kimyasal potansiyel veya Gibbs potansiyeli)
co s T n t F n (2.8.3)
ile ifade edilmektedir (Spenke 1965).
1 exp 1 j j j B n g k T (2.8.4)
Fermi Dirac dağılım fonksiyonu f(εj) diye adlandırılan formülünden bulunmaktadır. ġekil 2.8.„de fonksiyon gösterilmektedir. Ölçülebilir T sıcaklığı için ε=ζ durumu kBT‟nin geniĢ aralığına sahiptir ve fonksiyonun yüksek enerji kuyruğu iyi bir üstel yaklaĢık olarak j exp j j B n g k T exp j B k T (2.8.5)
22
boĢluk içerisine yerleĢirse ve her iki band ucundan 4 kBT „den fazla ayrılırsa yarıiletkenler dejenere olmayan yarıiletkenler olarak adlandırılır ve (2.8.5) dağılım fonksiyonu gazların taĢıyıcılarına uygulanabilir (Seeger, 2004).
εj enerji durumları bir enerji bandı oluĢturmak için kabul edilebilir. Bütün durumlar üzerinde toplam bir integral tarafından yerine konulmak zorundadır. Basit bir Ģekilde parabolik band 2 2 2 c n k m (2.8.6)
ve elektronun etkin kütlesi mn skaler bir niceliktir. k uzayındaki sabit enerji yüzeyleri eĢ merkezli kürelerdir. Kristalin momentumu ћk ile verildiği için uzay durumundaki hacim elementi dxdydz d(ћkx)d(ћky)d(ћkz) dir. Kuantum istatistiğine göre uzay durumunun hücrelerden oluĢtuğu veya hücre baĢına karĢıt spinlerin iki elektron kadarıyla hacminin h3=(2πћ)3 olduğu düĢünülmektedir.
Bir enerji aralığındaki dε durumlarının sayısı
3/ 2 3 3 1/ 2 3 2 2 2 2 2 4 2 n c m V d k V g d d (2.8.7)ile verilmektedir. Band içerisindeki taĢıyıcının toplam konsantrasyonu
1 c n f g d V
(2.8.8)ile verilmektedir. Burada f(ε) Fermi Dirac dağılımıdır. Bu dağılım yüksek enerjilerde exponansiyel olarak artar ve integrasyonun üst sınırı sonsuzluk olarak alınabilir. (2.8.7) de verilen g(ε) ile integral için
1/ 2
3/ 2 1/ 2 2 2 2 1 2 / 4 exp 1 c c n C n B B d m n N F k T k T
(2.8.9)burada Fermi enerjisini band ucuna bağlı hale getirdik (K. Seeger, 2004). Etkin durum yoğunluğu ζn=ζ-εc 3/ 2 3/ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ! 4 2 2 n B n B c m k T m k T N (2.8.10) ve Fermi integrali
0 1 ! exp 1 j j x dx F j x
(2.8.11)Bu integral (J. S. Blakemore, Semiconductor Statistics (Pergamon, Oxford 1962) Appendx B; J. McDougall, E. C. Stoner, Philos. Trans. A 237, 67 (1938); P. Rhodes, Proc. Roy. Soc. London a 204, 396 (1950) referansında tablolandırılmıĢtır.
η>1.25 için <1.5% bir hata ile yaklaĢık olarak
3/ 2 1/ 2
3/ 2 1/ 21 2 4 3 6
F (2.8.12)
n<-4 için dejenere olmayan durumda (Maxwell-Boltzman istatistiği),
exp
j
F (2.8.13)
ηn=ζn/kBT Fermi enerjisini azaltır. Sonuç valans bandındaki holler için elde edilmektedir. 300 K için ve mn=mp=m0, Nc=Nv=2.54x1019 cm-3 . Sabit C dejenere olmayan için n ve p‟den elde edilmektedir (Seeger 2004).
24 3 3/ 2 31 3 2 6 3 0 0 2.33 10 4 2 p n n B n c v m m m k m x C N N T m m cm K (2.8.14)
Ġntrinsic (gerçek) yarıiletkenlerde n p‟ye eĢittir ve
exp ; exp c c B v v B nN k T pN k T (2.8.15) Fermi enerjisi
1 3 ln 2 c v 4k TB mp mn (2.8.16)Fermi seviyesi elektronlar ve hollerin eĢit etkin kütlesi için sıcaklıktan bağımsızdır ve boĢluğun ortasına yerleĢmiĢtir. mn<<mp için Fermi seviyesi artan sıcaklıkla iletim bandının ucuna yaklaĢır. Eğer ve L iki band εc ve εc+∆L‟de band ucu ile birlikte dikkate alınırsa taĢıyıcı konsantrasyonu
1 2 1 2 L c n B cL n B nnn N F k T N F k T (2.8.17) burada 3/ 2 2 2 2 B c m k T N ve 3/ 2 2 2 2 L B cL m k T N (2.8.18)etkin durum yoğunluğudur. Toplam elektron yoğunluğu
1 2
x c n
D A
nN N N F (2.8.19)
ile verilmektedir (Seeger, 2004).
2.8.1. Fermi Fonksiyonunun Özellikleri
Fermi-Dirac dağılım fonksiyonunun mutlak sıfırdan daha yüksek sıcaklıklardaki (T>0) özelliklerini göz önüne alalım.
1. Elektron enerjisi Fermi enerjisine eĢit olduğu halde (E=EF), (2.7.1.1) dağılım fonksiyonu Ģu Ģekli alır:
F(E)=1/2, E=EF için (2.8.1.1)
Mutlak sıfırdan daha büyük sıcaklıklarda Fermi durumunun elektronlarla iĢgal edilmesi olasılığı 0.5‟tir. Fermi fonksiyonu (2.7.1.1), Fermi enerjisi bölgesinde (E-(2-3)kT‟den EF+(2-3)kT‟ye kadar) birden sıfıra kadar değiĢmektedir. Dolayısıyla, bu bölgede enerji durumlarının elektronlarla iĢgal olasılığı birden ve sıfırdan farklıdır.
2. Elektron enerjisinin Fermi enerjisinden daha büyük olduğu durumda (E-EF>>kT), (2.7.1.1) dağılım fonksiyonunun paydasındaki bir ihtimal edilebilir ve (2.7.1.1) denklemi Ģu Ģekilde yazılabilir:
( ) exp E EF exp EF exp E exp E
F E A kT kT kT kT (2.8.1.2) Burada A=exp EF kT
‟dir ve belirli bir sıcaklık için sabit olarak kabul edilir. (2.8.1.2)
Fermi fonksiyonu klasik mekaniğin Boltzman dağılım fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. (2.8.1.2) Boltzman fonksiyonuna uyan elektron sistemine (veya yarıiletkene) yozlaĢmamıĢ elektron sistemi (veya yozlaĢmamıĢ yarıiletken) denir. YozlaĢmamıĢ elektron sisteminin oluĢması, E-EF≥(2-3)kT durumunda gerçekleĢmektedir.
3. Elektron enerjisi Fermi enerjisinden daha küçük ise (E-EF<<kT), (2.7.1.1) dağılım
Fonksiyonu birdir F(E)=1, yani enerji durumları elektronlarla tam iĢgal edilmektedir (Ģekil 2.7..a).
26
4. Kristalde her hangi bir enerji durumunun elektronla iĢgali ya da boĢ olmasının (yani boĢlukla iĢgali) toplam olasılığı birdir.
1n p
F E F E (2.8.1.3)
Burada F En
ve Fp
E elektronların ve deliklerin Fermi dağılım fonksiyonudur. Bu denklemden deliklerin dağılım fonksiyonu Ģu Ģekilde yazılabilir (Caferov, 1998).1 1 ( ) 1 ( ) 1 exp 1 exp 1 P n F F F E F E E E E E kT kT (2.8.1.4)
Eğer elektronların enerjisi eksenin pozitif yönünde artmakta ve deliklerin enerjisi eksenin negatif yönünde artmaktaysa, bu halde deliklerin dağılım fonksiyonu, elektronların dağılım fonksiyonuna benzer. YozlaĢmamıĢ delikler sisteminde, EF -E>>kT Ģartı için Fermi dağılım fonksiyonu
( ) exp F P E E F E kT (2.8.1.5) olarak yazılabilir.
Böylece, mutlak sıfırdan daha büyük sıcaklıklarda (T>0) Fermi dağılım fonksiyonu üç enerji bölgesine ayrılabilir. Dağılım fonksiyonunun birinci bölgesi E=0‟dan E=EF -(2-3)kT‟ye kadar yayılmaktadır (ġekil 2.7.a) ve bu enerjili durumların elektron iĢgali olasılığı yaklaĢık birdir (F(E)=1). Ġkinci, geçiĢ bölgesinde (E=EF-(2-3)kT ve E=EF +(2-3)kT) aralığında dağılım fonksiyonu birden sıfıra kadar eksponansiyel (üstel) olarak değiĢmektedir. Üçüncü bölgede (E=EF+(2-3)kT ve E=∞ aralığında) enerji durumlarının elektronla iĢgal olasılığı sıfırdır (Caferov, 1998).
2.9. Özden Yarıiletkenlerde Fermi Seviyesinin Yeri ve Yük TaĢıyıcılarının Konsantrasyonu
Özden yarıiletkenlerde elektronların iletim bandındaki konsantrasyonu
exp g F c E E n N kT (2.9.1) veya exp c F c E E n N kT (2.9.1a)
ile verilir. Burada Nc iletim bandındaki etkin durum yoğunluğur.
3/ 2 2 2 2 n c m kT N h (2.9.2)
Böylece, iletim bandının dibindeki elektronların konsantrasyonu Fermi enerjisinin yasak banddaki seviyesi, sıcaklık ve elektronların etkin kütlesi ile bağlıdır. Deliklerin valans bandındaki konsantrasyonu exp F v E p N kT (2.9.3) veya exp F v v E E p N kT (2.9.3a)
ifadesiyle verilir. Burada Nv valans bandındaki etkin durum yoğunluğudur (Caferov, 1998). 3/ 2 2 2 2 p v m kT N h (2.9.4)
28
Silisyum için iletim ve valans bandlarındaki durum yoğunlukları sırasıyla Nc=6.36x1014T3/2 (cm-3) ve Nv=1.65x1015T3/2 (cm-3) ile verilir. Özden yarıiletkende elektronların ve deliklerin konsantrasyonlarının çarpımı
2 exp c v exp g i c v c v E E E n np N N N N kT kT (2.9.5)
ifadesiyle verilir. Burada ni özden yük taĢıyıcıların konsantrasyonudur. Özden yarıiletkenlerde (belirli sıcaklıklarda) elektronların ve deliklerin konsantrasyonlarının çarpımı sabittir ve özden yük taĢıyıcılarının konsantrasyonunun karesi eĢittir. (2.9.5) eĢitliği kütle hareketi kanunu olarak tanımlanır. (2.9.5) eĢitliğinden özden yük taĢıyıcılarının konsantrasyonunu exp 2 g i c v E n N N kT (2.9.6)
yazabiliriz ve (2.9.2), (2.9.4) denklemlerini (NC,NV) yerine koyarsak
3/ 2 3/ 4 2 2 ( ) exp 2 2 g i n p E kT n m m h kT (2.9.7)
olarak ifade edilebilir. Böylece, yozlaĢmamıĢ özden yarıiletkenlerde yük taĢıyıcılarının konsantrasyonu, sıcaklık, yasak band geniĢliği, elektronların ve deliklerin etkin kütlesi ile bağlıdır. Özden yarıiletkenlerde yük taĢıyıcılarının konsantrasyonunun sıcaklıkla değiĢimi ölçümlerinden, (2.9.7) denklemini kullanarak, yarıiletkenin yasak band geniĢliği Eg bulunabilir (Caferov, 1998).
Özden yarıiletkende yük taĢıyıcılarının meydana gelmesi, kristalde kimyasal bağların kopması ve eĢit sayılı elektron ve deliklerin jenerasyonuna bağlıdır. Bu nedenle özden yarıiletkende Fermi enerjisinin (veya Fermi seviyesinin) enerji band diyagramındaki yeri, elektronların iletim bandında ve deliklerin valans bandında konsantrasyonları eĢitliğinden (elektriksel nötrlük Ģartından) bulunur.
n=p (2.9.8) (2.9.8) eĢitliğinde n ve p yerine (2.9.1a) ve (2.9.3) ifadelerini koyarsak
exp c F exp F v c v E E E E N N kT kT (2.9.9)
buluruz. Basit dönüĢümler uygulanarak
exp . xp v c F F v c N E E E E e N kT kT (2.9.10)
ve (2.9.10) denkleminde logaritma alarak
1 ln 2 2 g v F c E N E kT N (2.9.11) elde ederiz.
Elektronların ve deliklerin etkin durum yoğunluklarının ifadelerini (2.9.2) ve (2.9.4) kullanarak, (2.9.11) denkleminin baĢka bir formunu
3 ln 2 4 g p F n E m E kT m (2.9.12) buluruz (Caferov, 1998).
(2.9.12) denklemi özden yarıiletkenlerde Fermi düzeyinin (veya Fermi seviyesinin) sıcaklıkla, elektronların ve deliklerin etkin kütleleri ile (mp/mn oranıyla) iliĢkisini göstermektedir (Ģekil 2.10). Mutlak sıfırda (T→0) Fermi seviyesi yasak bandın tam ortasında (EF=Eg/2) yerleĢmektedir. Sıcaklık arttıkça Fermi seviyesi iletim bandına (mn<mp için) veya valans bandına yaklaĢır (mn>mp için). EĢit değerli elektron ve
deliklerin etkin kütlesi için
mn mp
, Fermi seviyesi, sıcaklık arttıkça yasak bandın30
Eğer Fermi seviyesi, iletim bandının dibinden veya valans bandının tavanından (2-3)kT‟den daha uzak mesafede bulunursa, yarıiletken bu durumda yozlaĢmamıĢ yarıiletken olarak tanımlanır. Fermi seviyesi her hangi bandın birinden (2-3)kT‟den daha yakın mesafede yerleĢirse yarıiletken yozlaĢmıĢ yarıiletken olarak tanımlanır (Caferov, 1998).
ġekil 2.10‟da yarıiletkenin yasak band geniĢliğinin Eg ECEV sıcaklıkla değiĢmediği gösterilmektedir
Eg sabit
. Gerçekte, sıcaklık arttıkça yarıiletkenin örgü parametreside büyümektedir ve bu nedenle de yasak band geniĢliği sıcaklıkla değiĢmektedir
g
E T . Yarıiletkenlerin çoğunluğunda, sıcaklık arttıkça yasak band geniĢliği lineer
küçülmektedir (Ģekil 2.12.2)
0g g
E T E T (2.9.13)
Burada Eg0 mutlak sıfırdaki (T=0) yasak bandın geniĢliği, (eV/derece) yasak bandın sıcaklıkla değiĢimi katsayıdır.
ġekil 2.11. Yarıiletkenin yasak band geniĢliğinin (Eg) sıcaklıkla değiĢimi (Caferov, 1998).
Yasak band geniĢliğinin sıcaklıkla değiĢimini (2.9.13) hesaba katarsak özden yük taĢıyıcılarının konsantrasyonunun ifadelerinin (2.9.6) ve (2.9.7)
0 exp 2 g i c v E T n N N kT (2.9.14) veya 3/ 2 0 3/ 4 2 2 ( ) exp 2 2 g i n p E T kT n m m kT (2.9.14a) Ģekline dönüĢür.
Eğer yarıiletkenin yasak band geniĢliği büyükse (Eg>>kT), bu halde yük taĢıyıcılarının konsantrasyonunun sıcaklıkla değiĢimi (2.9.14a) ifadesinden görüldüğü gibi esasen eksponansiyel terimle belirlenmektedir (Caferov, 1998)
32
Kuantum fiziğinin bilim dünyasına getirdiği pek çok yenilik, mevcut teorilerinin geliĢmesine hatta belli oranda kökten değiĢmesine sebep olmuĢtur. Bu alanlardan birisi de istatistik fiziktir. Bilindiği üzere elektronların pek çok davranıĢı kuantum istatistiksel yaklaĢımlarla açıklanabilmektedir. Bir kuantum istatiksel yaklaĢım olan Fermi-Dirac (FD) fonksiyonunun çözümünden elde edilen sonuçlar malzemelerdeki elektron yoğunluğu, toplam enerji veya manyetik moment gibi pek çok özelliğin teorik olarak elde edilmesine imkan sağlamaktadır. Aynı zamanda bu fonksiyon plazma teorisinde de görülmektedir. Literatürde bu fonksiyonun çözümü için farklı metotlar kullanılmıĢtır (Abidi ve Mohammad, 1984; Lukyanov, 1995; Sommerfeld,1928; Glasser, 1964; Selvakumar, 1982; Kiess, 1987; Gong, 1991; Sagar, 1991; Goano, 1993). Ancak FD fonksiyonlarının çözümü için basit analitik ifadeler elde edilememiĢtir. Bu tez çalıĢmamızdaki amacımız Fermi Dirac fonksiyonları için genel bir ifade elde etmek ve elde ettiğimiz ifade ile yarıiletkenlerin elektron yoğunluğunu hesaplamakta kullanmaktır. Elektron yoğunluğunu
1/2 3/2 1/2 2 2 2 1 2 / 4 exp / 1 c c n C n B B d m n N F k T k T
(3.1)ile ifade edilir. Burada N iletim bandındaki etkin durum yoğunluğu, C elektro kimyasal potansiyel, k Boltzmann sabiti, B T sıcaklık, F Fermi Dirac integralidir. 1/ 2
Fermi Dirac integrali
0 1/ exp 1 j j x dx F j x
(3.2)3.1. Fermi Dirac Ġntegralinin Çözümü
01 t t F dt e
(3.1.1)Fermi Dirac fonksiyonu olarak tanımlanmaktadır. Burada değiĢkeni aralığında ve parametresi keyfi olarak rasyonel ve rasyonel olmayan değerler alır. Genellikle yarıiletken fiziğinde fonksiyonun
_ 0 1 1 1 t t F dt e
(3.1.2)Ģeklindedir. FD fonksiyonu için aĢağıdaki binom açılım teoremini keyfi bir reel n ve
x y için yazarsak (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980; Guseinov ve Mamedov, 2006;
Mamedov, 2005)
0 1 n m n m m m m x y f n x y
(3.1.3) Burada f0
n 1 ve 1 .... 1 , ! 1 , ! m m n n n mtam sayılar için m
f n
m n
rasyonel sayılar için
m n (3.1.4)
(3.1.3) eĢitliğinde meydana gelen fm
n katsayısı m 0 için sıfırdır ve pozitif tamsayı terimleri ile negatif faktöriyeller toplama katkıda bulunmaz. ‟nin pozitif tamsayı değerleri hızlı hesaplamalar için bilgisayarın hafızasında depolanmıĢtır. Binom katsayıları için aĢağıdaki tekrarlama bağıntısını kullanırız (Guseinov ve Mamedov, 2006).34
1
1
1
m m m
f n f n f n (3.1.5)
Bu katsayıları yerine koyup bilgisayar hafızasından geri çağırırsak fm
n katsayısının bazı durumları aĢağıdaki eĢitlik ile tanımlanmaktadır(Guseinov ve Mamedov, 2006).
,
1 / 2
1f n m n n m (3.1.6)
(3.1.3) eĢitliğini dikkate alırsak (3.1.1) eĢitliğinde meydana gelen
1 t
1e
fonksiyonu için aĢağıdaki gibi seri açılımı yazarız (Guseinov ve Mamedov, 2006).
1 0 , 1 lim 1 1 , i t N i t N t i i e t f e e t
(3.1.7)TamamlanmamıĢ Gama fonksiyonları ve binom katsayıları terimlerinde determinanttan hareket ederek FD fonksiyonu ifadesi oluĢturabiliriz.(3.1.1) eĢitliğinde (3.1.7) eĢitliğini dikkate alırsak FD fonksiyonları için aĢağıdaki formülü alırız (Guseinov ve Mamedov, 2006).
1 1 ' 1 1 ' 0 lim 1 , 1 1, 1 lim 1 , 0 1 N i i N i N j j N j F n f K j f e j
(3.1.8) ve
1 1 0 1 lim 1 , 0 1 L i i L i F f e i
(3.1.9)(3.7) eĢitliğindeki Ki
,
ifadesi aĢağıdaki eĢitlik ile tanımlanmaktadır (Mamedov2008).
0 , t i i K t e dt
(3.1.10)Binom açılımı teoremlerini kullanarak Ki
,
integrallerini hesaplayabiliriz.
,
i
K integralleri için tamamlanmamıĢ gama fonksiyonları ve binom katsayıları terimlerinde aĢağıdaki eĢitlikleri elde ederiz (Guseinov ve Mamedov, 2006).
1 0 1 0 1, 1 , 0 , 1, lim 1 , j j j j j i M j j j j M j j i f tamsayı i K j i f rasyonel i
(3.1.11)Alternatif formülleri kullanarak Ki
,
integrallerini aĢağıdaki gibi yazarız. Rasyonel için
1
0 , 1 1 k i k i k K e i k k
(3.1.12)Pozitif tamsayısı için
1 1 ! , 1 ! k k i k k K i k i
(3.1.13)(3.1.8), (3.1.9) ve (3.1.11) deki N N Lve M, ', toplamın üst limitidir.(3.1.8), (3.1.9) ve
(3.1.11) deki
, ,x ve
,x
ifadeleri aĢağıdaki ifadeler tarafından tanımlanan fonksiyonlar olarak bilinmektedir (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980).
1 0 t t e dt
(3.1.14)
1 0 , x t x t e dt
(3.1.15)
1 , t x x t e dt
(3.1.16)
,x
,x
(3.1.17)36
Bu fonksiyonlar farklı algoritmalar ile gösterilmektedir (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980; Guseinov ve Mamedov, 2006; Mamedov, 2005).
4. BULGULAR
Bu bölümde, Bölüm 2‟ den yararlanarak elde ettiğimiz Bölüm 3‟ deki integrasyonları Mathematica 5.0 programında kullanarak saf ve bileĢik yarıiletkenler için elektron konsantrasyonları hesaplanmıĢ olup çizelge 1 ve çizelge 2‟ de literatürden bulunan sonuçlar bir arada gösterilmiĢtir. Ayrıca çizelge 3‟ de literatürden bulunan diğer bazı yarıiletkenler için (Ġndiyum Arsenik, silikon ve Ġndiyum Fosfor) elektron konsantrasyon ve enerji değerleri bilgi sahibi olmak amacıyla tablo halinde sunulmuĢtur.
Çizelge 1. Galyum Arsenik (GaAs) için yapılan hesaplama tablosu
GaAs T (K) C N (ev) n (cm -3 ) Gökçen, M. 2008 D. Tezi ve Anonim, 2011 300 4.7x1017 1.8x1013 Bu çalıĢma 300 4.7x1017 1.83x1013
38
Çizelge 2. GaAs, Si, Ge için yapılan hesaplama tablosu
GaAs n (cm-3) Anonim, 2011 1.8x1013 Bu çalıĢma 1.83x1013 Si n (cm-3) Anonim, 2011 1.4x1010 Bu çalıĢma 1.4x1010 Ge n (cm-3) Anonim, 2011 1.x106 Bu çalıĢma 1.x106
Çizelge 3. 300 K de bazı yarıiletkenlerin Enerji ve hole konsantrasyon değerleri (Semiconductor Devices Moddelling and Techhonology Nandita Dasgupta)
Yarıiletken Ev (j) P=n (cm-3)
Ġndiyum Arsenik 0.56x10-19 1.3 x1015
Silikon 1.792x10-19 1.5 x1010
40
