Cauchy-Teoplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Khatri-Rao ve Tracy-Singh çarpımlarının normları üzerine

(1)

T.C

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CAUCHY – TOEPLİTZ VE CAUCHY – HANKEL MATRİSLERİNİN KHATRİ – RAO VE TRACY – SİNGH ÇARPIMLARININ NORMLARI ÜZERİNE

Hacı CİVCİV

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez 10 / 01 / 2005 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

... ... Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA ( Üye ) ( Üye )

... Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN ( Danışman )

(2)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

CAUCHY – TOEPLİTZ VE CAUCHY – HANKEL MATRİSLERİNİN KHATRİ – RAO VE TRACY – SİNGH ÇARPIMLARININ NORMLARI ÜZERİNE

Hacı CİVCİV

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

2005, 72 sayfa

Jüri :

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

Cauchy – Toeplitz matrislerinin singüler değerleriyle G. Szegö ilgilenmiş ve bununla ilgili bir problem ortaya koymuştur. Daha sonra bu matrisler, C. Möler ’in dikkatini çekmiş ve C. Möler deneysel olarak bu matrislerin singüler değerlerinin çoğunun π ’ye yaklaştığını tespit etmiş ama bu analitik olarak S. V. Parter tarafından çözülmüştür. E. E. Tyrtyshnikov g=1/2 ve h = 1 özel durumu için, bu matrisin singüler değerleri için bir alt ve üst sınır bulmuştur. Durmuş Bozkurt bu matrisin genel halinin Euclide normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur.

Biz bu çalışmada, g < h ve ,g h_{∈ \ olmak üzere, genel Cauchy –Toeplitz}+ matrislerinin Khatri – Rao ve Tracy – Singh çarpımlarının A normu için bir alt ve _p üst sınır bulduk ve yine aynı şartlar altında Cauchy –Hankel matrislerinin Khatri – Rao ve Tracy – Singh çarpımlarının A normu için bir alt ve üst sınır tespit ettik. _p

ANAHTAR KELİMELER : Matris Normu, Cauchy – Toeplitz Matrisleri, Cauchy – Hankel Matrisleri, Khatri – Rao Çarpımı, Tracy – Singh Çarpımı.

(3)

ABSTRACT

The Post Graduate Thesis

ON THE NORMS OF KHATRİ – RAO AND TRACY – SİNGH PRODUCTS OF CAUCHY – TOEPLİTZ AND CAUCHY – HANKEL MATRİCES

Hacı CİVCİV

Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mathematics

Supervisor : Ass. Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN 2005, 72 pages

Jury :

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Assoc. Prof. Dr. Necati TAŞKARA Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN

G. Szegö interested in the singuler values of Cauchy – Toeplitz matrix and put forward a problem. Later, these matrices attracted the attention of C. Moler, who had experimentaly discovered that most of their singular values are clustered near π . Recently, S. V. Parter gave an explanation of this phenomenon E. E. Tyrtyshnikov obtained a lower and upper bound for spectral norm of Cauchy – Toeplitz matrix such that h = 1 and g =1/2 . D. Bozkurt, found a lower and upper bound for the general condition of Euclidian norm of Cauchy – Toeplitz matrices.

In this study, we have established a lower and an upper for the A norms of _p Khatri – Rao and Tracy – Singh Products of the Cauchy – Toeplitz matrix such that

h

g< and ,g h∈ \ . Moreover, we have obtained an upper bound for the + A norms _p of Cauchy – Hankel matrix such that g< and ,h g h∈ \ . +

KEYWORDS : Matrix Norm, Cauchy – Toeplitz matrices, Cauchy – Hankel matrices, Khatri – Rao Product, Tracy – Singh Product.

(4)

2. GENEL BİLGİLER

Bu bölüm, sonraki bölümler için gerekli olan temel tanımlardan oluşmaktadır. Öncelikle, çalışma boyunca kullanılacak olan polygamma fonksiyonu ve onun özellikleri hakkında kısaca bilgi verelim.

Tanım 2.1. Gamma fonksiyonu,

1 0 ( )_x _{e t dt}t x ∞ − − Γ =

∫

olmak üzere,

[

]

{

}

( )x Psi x( ) d ln ( )x dx Ψ = = Γ

şeklinde tanımlı fonksiyona psi ( veya digamma ) fonksiyonu denir. Psi fonksiyonunun n. mertebeden türevine de polygamma fonksiyonu denir ve

[

]

( , ) ( ) ln ( ) n n n n d d d n x Psi x x dx dx dx   Ψ = = _ Γ _  

şeklinde gösterilir. Burada n≥ dır. Eğer, 00 n= ise

[

]

{

}

(0, )x Psi x( ) d ln ( )x dx Ψ = = Γ olur ( Kölbig 1972 ).

Özellik 2.1 a∈ ] , b herhangi bir sayı ve n+ ∈ ] olmak üzere, +

lim ( , ) 0

n→∞Ψ a n b+ = dır ( Bozkurt 1998 ).

(5)

2.1. Bazı Özel Matris Çarpımları

Tanım 2.1.1. A ve B sırasıyla, A = ( aij )ij , B = ( bkl )kl şeklinde m×n ve p×q

mertebeli herhangi iki kompleks matris olmak üzere,

A⊗B = (aijB )ij

= (( aij bkl )kl )ij

şeklinde tanımlanan, mp×nq boyutlu A⊗B matrisine, A ve B matrislerinin Kronecker çarpımı denir.

Kronecker çarpıma aynı zamanda, tensör çarpım ya da direkt çarpım da denir.

Tanım 2.1.2. A ve B sırasıyla, A = ( aij )ij , B = ( bkl )kl şeklinde m×n mertebeli

herhangi iki kompleks matris olmak üzere,

AοB = ( aijbij )ij

şeklinde tanımlanan mxn mertebeli AοB matrisine A ve B matrislerinin Hadamard çarpımı denir.

Tanım 2.1.3 A ve B sırasıyla, A = ( aij )ij , B = ( bkl )kl şeklinde m×n, pxq mertebeli

herhangi iki kompleks matris ve Aij , Bkl de sırasıyla A ve B matrislerinin mixnj

(

∑

m_i =m,

∑

n_j =n ) , pkxql (

∑

pk = p,

∑

ql =q ) mertebeli ( i, j )-inci ve

( k, l )-inci blok alt matrisleri olmak üzere;

AB = ( ( Aij ⊗Bkl )kl )ij

şeklinde tanımlanan mpxnq mertebeli AB matrisine, A ve B matrislerinin Tracy-Singh çarpımı denir ( Shuangzhe 1999 ).

(6)

Tanım 2.1.4 A ve B sırasıyla, A = ( aij )ij , B = ( bkl )kl şeklinde m×n, pxq mertebeli

herhangi iki kompleks matris ve Aij , Bkl de sırasıyla A ve B matrislerinin, mixnj

( 1 1 , s t i j i j m m n n = = = =

∑

) , pkxql ( 1 1 , s t k l k l p p q q = = = =

∑

) mertebeli, aynı sayıdaki ( i, j )-inci ve ( k, l )-inci blok alt matrisleri olmak üzere;

AB = ( Aij ⊗ Bij )ij şeklinde tanımlanan 1 1 ( s _i _i) ( t _j _j) i j m p x n q = =

∑

mertebeli AB matrisine, A ve B

matrislerinin Khatri-Rao çarpımı denir ( Shuangzhe 1999 ).

2.2. Vektör Normları

Tanım 2.2.1 F, reel ya da kompleks sayılar cismi ve V, F cismi üzerinde tanımlanmış vektör uzayı olmak üzere;

|| . || : V → \+_{∪ { 0 }}

v → || v ||

şeklinde ifade edilen ve

i ) Her v ∈ V için,

i a ) v ≠ 0 ise, || v || > 0 dır,

i b ) v = 0 olması için gerek ve yeter şart || v || = 0 olmasıdır, ii ) α ∈ F ve v ∈ V için, || αv || = | α | || v || dir,

iii ) u,v ∈ V için, || u+v || ≤ || u || + || v || dir,

aksiyomlarını sağlayan || . || dönüşüme, vektör normu denir.

(7)

Bileşenleri kompleks sayılar olan n – mertebeli vektörlerden oluşan Cn cümlesi, kompleks sayılar cismi üzerinde bir vektör uzaydır.

Tanım 2.2.2 || . ||1 : Cn → \+ ∪ { 0 }

ile ifade edilen ve ( ) n i v= v ∈ ^ (1≤ ≤i n) için, || v ||1 =

∑

= n i i v 1 | |

şeklinde tanımlanan || . ||1 dönüşümüne, v vektörünün toplam normu denir.

Tanım 2.2.3 || . ||2 : Cn → \+ ∪ { 0 }

ile ifade edilen ve ( ) n i v= v ∈ ^ (1≤ ≤i n) için, || v ||2 = 2 / 1 1 2 | |      

∑

= n i i v

şeklinde tanımlanan || . ||2 dönüşümüne, v vektörünün Euclidean (veya Frobenius )

normu denir.

Tanım 2.2.4 || . ||p : Cn → \+ ∪ { 0 }

ile ifade edilen ve ( ) n i v= v ∈ ^ (1≤ ≤i n) için, || v ||p = p n i p i v / 1 1 | |      

_∑

= , 1 ≤ p < ∞

şeklinde tanımlanan || . ||p dönüşümüne v vektörünün p – normu ( veya Holder )

(8)

2.3 Matris Normları

Tanım 2.3.1 F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn(F); bileşenleri F cisminin

elemanları olan n - mertebeli karesel matrislerin cümlesi olmak üzere;

|| . || : Mn(F) → \+ ∪ { 0 }

A → || A ||

i ) A ∈ Mn,(F) için,

i a ) A ≠ 0 ise, || A || > 0 dır,

i b ) A = 0 olması için gerek ve yeter şart || A || = 0 olmasıdır, ii ) α ∈ F ve A ∈ Mn,(F) için, || αA || = | α | || A || dır,

iii ) A, B ∈ Mn,(F) için, || A+B || ≤ || A || + || B || dir,

iv ) A, B ∈ Mn(F) için, || AB || ≤ || A |||| B || dir,

aksiyomlarını sağlayan || . || dönüşüme, matris normu denir.

Tanım 2.3.2 F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn,m(F); bileşenleri F cisminin

elemanları olan nxm mertebeli matrislerin cümlesi olmak üzere;

|| . || : Mn,m(F) → \+ ∪ { 0 }

A → || A ||

i ) A ∈ Mn,m(F) için,

i a ) A ≠ 0 ise, || A || > 0 dır,

(9)

ii ) α ∈ F ve A ∈ Mn,m(F) için, || αA || = | α | || A || dır,

iii ) A, B ∈ Mn,m(F) için, || A+B || ≤ || A || + || B || dir,

aksiyomlarını sağlayan || . || dönüşüme, genelleştirilmiş matris normu denir.

Tanım 2.3.3 F, reel ya da kompleks sayılar cismi olmak üzere;

|| . ||2 : Mn(F) → \+ ∪ { 0 }

ile ifade edilen ve A=( )a_ij ∈M F_n( ) (1≤i j n, ≤ ) için,

|| A ||2 = 1/2 1 , 2₎ | | (

∑

= n j i ij a

şeklinde tanımlanan || . ||2 dönüşümüne, Euclide normu denir.

Bazen, bu şekilde tanımlanan norm için, Euclide normu yerine Frobenius norm, Schur norm, Hilbert-Schmidt norm veya A norm ifadeleri de kullanılır. ₂

|| . ||g2 : Mn,m(F) → \+ ∪ { 0 }

ile ifade edilen ve A=( )a_ij ∈M_{n m}_, ( ) (1F ≤ ≤i n , 1≤ ≤j m) için,

|| A ||2 = 1/2 1 , 2₎ | | (

∑

= n j i ij a

şeklinde tanımlanan dönüşüme genelleştirilmiş - Euclide normu denir.

(10)

|| . ||p : Mn(F) → \+ ∪ { 0 }

ile ifade edilen ve A=( )a_ij ∈M F_n( ) (1≤i j n, ≤ ) için,

|| A ||p = 1/ , 1 ( n | | )p p ij i j a =

∑

şeklinde tanımlanan || . ||p dönüşümüne, A matris normu denir. _p

|| . ||p : Mn,m(F) → \+ ∪ { 0 }

ile ifade edilen ve A=( )a_ij ∈M_{n m}_, ( ) (1F ≤ ≤i n , 1≤ ≤j m) için,

|| A ||p = 1/ , 1 ( n | | )p p ij i j a =

∑

(11)

3. CAUCHY – TOEPLİTZ MATRİSLERİ

Tanım 3.1. x_i ≠ y_j ( ,x y_i _j∈^ ve ) 1≤ ,i j≤n olmak üzere elemanları,

j i ij y x c − = 1 ( 3.1 )

ile tanımlı C=

( )

c_ij _in_,_j₌₁ matrisine Cauchy matrisi denir ( Horn ve Kıttaneh 1998, Tyrtyshnikov 1991, Calvetti ve Reichel 1997 ).

Tanım 3.2. n≥1 ve t_i₋_j ’ler kompleks sayılar olmak üzere,

( )

1 0 , 1 − = − − = n j i j i n t T

şeklindeki matrise Toeplitz matrisi denir ( Iohvidov 1982 ).

Tanım 3.3 ( 3.1 ) ile verilen Cauchy matrisinde, a ve b keyfi sayılar olmak üzere, (b 0,a )

b

≠ ∉] x_i = + ve a bi y_j = jb alınarak elde edilen

(

1

)

_{, 1} n n i j T a i j b ₌   =  _{+ −}   

(12)

3.1. Cauchy – Toeplitz Matrislerinin Khatri – Rao Çarpımlarının A Normları _p İçin Sınırlar

Teorem 3.1.1 T ; ( 3.1 ) ile tanımlanan Cauchy matrisinde x_n i =

2 1

+ i , yj = j

alınması ile elde edilen,

n j i n j i T 1 , ) ( 2 1 1 =             − + = ( 3.1.1 )

şeklinde bir Cauchy-Toeplitz matrisi ve ( )ζ p , Riemann – Zeta fonksiyonu olmak üzere, T matrisinin _n A ( _p p≥2 ) normu için,

(

)

1/

(

)

1/ 1/ 1/ 2p 1 ( ) p p || || 2 p 2p 1 ( ) p n p p n T p ζ − ζ  ₋  _≤ _≤  ₋      ( 3.1.2 )

şeklinde bir alt ve üst sınır vardır ( Bozkurt 1996 ).

Teorem 3.1.2 T , ( 3.1.1 ) ’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-_n Toeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz

matrisinin, TnTn ile gösterilen Khatri-Rao çarpımının Ap (p≥2) matris normu için,

||TnTn||pp

(

)

(

)

( )

2 1 1 2p 2 n + ζ p   ≤_ − − _ ₊

(

2p ₋1

)

_ζ

( )

_p 2  

(

)

( )

2 2p 1 _ζ _p 2p   +_ − − _{ + 4}p_{( 3.1.3 )} şeklinde bir üst sınır,

(13)

||TnTn ||pp

(

)

( )

2 2p 1 _ζ _p   ≥_ − _ ₊2 2

(

p ₋2

)

_ζ

(

_p_{− −}1

)

(

2p ₋1

)

_ζ

( )

_p 2   + 4p ( 3.1.4)

şeklinde bir alt sınır vardır.

İspat : ( 3.1.1 ) ile tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-Toeplitz matrisini, 1 ) 11 ( − = _n n T T , (12) n T ; 1 1 ) 12 ( 2 1 1 − =             − + = n i n n i T ( 3.1.5 )

şeklinde ( n-1 ) – mertebeli reel sütun vektör, (21)

n T ; 1 1 ) 21 ( 2 1 1 − =             − + = n j n j n T ( 3.1.6 )

şeklinde (n-1)- mertebeli reel satır vektör, (22)

n T ; 1 1 ) 22 ( ₍₂₎ x n T = ( 3.1.7 )

şeklinde bir matris olmak üzere,

      = ₍(₂₁11)₎ ₍(₂₂12₎) n n n n n T T T T T ( 3.1.8 )

(14)

Bu şekilde bloklara ayrılmış n- mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Cauchy-Toeplitz matrisinin Khatri-Rao çarpımı,

TnTn =       ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ₋ − ) 22 ( ) 22 ( ) 21 ( ) 21 ( ) 12 ( ) 12 ( 1 1 n n n n n n n n T T T T T T T T

şeklinde 2((_n₋1)2 ₊1)_{- mertebeli karesel reel T}

nTn matrisidir.

( n-1 ) - mertebeli ( n ≥ 2 ) iki T , Cauchy-Toeplitz matrisinin Kronecker _n₋₁ çarpımı, 1 1 , 1 1 , 1 1 2 1 1 2 1 1 − = − = − −                                 ₊ ₋       ₊ ₋ = ⊗ n j i n l k n n l k j i T T

şeklinde tanımlanan, ₍_n₋₁₎2_{- mertebeli karesel reel matris; ( n-1 ) - mertebeli iki} )

12 (

n

T vektörünün Kronecker çarpımı,

1 1 1 1 ) 12 ( ) 12 ( 2 1 1 2 1 1 − = − =                                 ₊ ₋       ₊ ₋ = ⊗ n i n k n n n k n i T T

şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli reel sütun vektör; ( n-1 ) - mertebeli iki (21)

n T vektörünün Kronecker çarpımı; 1 1 1 1 ) 21 ( ) 21 ( 2 1 1 2 1 1 − = − =                                 ₊ ₋       ₊ ₋ = ⊗ n j n l n n l n j n T T

(15)

şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli reel satır vektör; 1 – mertebeli reel iki (22) n T matrisinin Kronecker çarpımı, (22) n T ⊗ (22) n

T = (4)₁_x₁ şeklinde 1 – mertebeli reel matristir.

Böylece, matrisler için tanımlanan A_p (p≥2) matris normu ve vektörler için tanımlanan p - normu tanımlarından,

|| TnTn || = pp

∑

= ⊗ 2 1 , ) ( ) ( _|| || j i p p ij n ij n T T ( 3.1.9 )

eşitliği yazılır. Yukarıda tanımlanan, (11) (11)

n n T T ⊗ , (22) (22) n n T T ⊗ karesel matrislerin ) 2 (p≥ p A normlarının ve (12) (12) n n T T ⊗ , (21) (21) n n T T ⊗ vektörlerinin p – normlarının p. kuvvetlerinin ve de ( 3.1.9 ) eşitliğinin dikkate alınması ile;

||TnTn ||p_p ₊               − + =

∑

− = 2 1 1 , 2 1 1 n j i p j i 2 1 1 2 1 1               − +

∑

− = n i p n i 2 1 1 2 1 1               − + +

∑

− = n j p j n +₄p +         + − =

∑

− = 2 1 1 , 2 2 1 1 2 n j i p p j i 2 1 1 2 2 1 1 2 _       + −

∑

− = n i p p n i 2 1 1 2 1 1 1 1               − + − − +

∑

− = n j p n j +₄p

(

)

_ +      − − − =

∑

− = 2 1 1 2 1 1 2 2 2 n k p p k k n 2 1 1 2 2 1 1 2 _       + −

∑

− = n i p p n i 2 1 1 2 2( 1) 1 1 2 _       + + − +

∑

− = n j p p n j + p 4 ||TnTn ||pp

₍

₎

+         − − − =

∑

− = 2 1 1 2 1 1 2 2 2 n k p p k k n 2 2 0(2 1) 1 2 _      +

∑

− = n i p p i 2 1 0 2 ) 1 2 ( 1 2 _       − + +

∑

− = p n j p p i + p 4 ( 3.1.10 )

(16)

||TnTn ||p_p || 1 ||2 p n p T₋ = 2 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 _             − +

∑

−

∑

= − = n k n k p p p p k k 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 _       −       − +

∑

−

∑

= − = p n k n k p p p p k k + p 4 ( 3.1.11 )

eşitliği elde edilir. Böylece; ( 3.1.11 ) eşitliği ve Teorem 3.1.1 de verilen ( 3.1.2 ) eşitsizliğinden, ||TnTn||p_p

(

)

(

)

( )

2 1 1 2p 2 n + ζ p   ≤_ − − _ 2 2 3 2 1 1 1 1 1 2 2 n n p p p p k k k k − − = =    +_ _ − __   

∑

 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 _       −       − +

∑

−

∑

= − = p n k n k p p p p k k + p 4 ||TnTn||p_p

(

)

(

)

( )

2 1 1 2p 2 n + ζ p   ≤_ − − _ 2 2 3 2 1 1 1 1 1 lim 2 2 n n p p p p n k k k k − − →∞ ₌ ₌    + _ _ − __   

∑

 2 2 1 1 1 1 1 1 1 lim 2 2 2 n n p p p p p n k k k k − − →∞ ₌ ₌     + _ _ − _− _   

∑

 + 4 p_{( 3.1.12 )}

eşitsizliği elde edilir. ( 3.1.12 ) eşitsizliği ve

( )

1 1 p k p k ζ ∞ = =

∑

eşitliği ile, ( 3.1.1 ) ile verilen n – mertebeli iki Tn Cauchy- Toeplitz matrisinin

Khatri – Rao çarpımı olan, 2((_n₋1)2 ₊1)_{- mertebeli karesel reel T}

nTn matrisinin ) 2 (p≥ p A normu için,

(17)

||TnTn||pp

(

)

(

)

( )

2 1 1 2p 2 n + ζ p   ≤_ − − _ ₊

(

2p ₋1

)

_ζ

( )

_p 2  

(

)

( )

2 2p 1 _ζ _p 2p   +_ − − _ + 4p

şeklinde bir üst sınır bulunmuş olunur ve böylece ( 3.1.3 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.

TnTn matrisinin (Ap p≥2) normunun bir alt sınırını bulmak için, ( 3.1.10 )

eşitliği olarak bilinen,

||TnTn ||pp

₍

₎

+         − − − =

∑

− = 2 1 1 2 1 1 2 2 2 n k p p k k n 2 2 0(2 1) 1 2 _      +

∑

− = n i p p i 2 1 0 2 ) 1 2 ( 1 2 _       − + +

∑

− = p n j p p i + p 4

eşitliğini göz önüne alalım. Buradan, ||TnTn ||pp =||Tn−1||2pp 2 2 0 2 ) 1 2 ( 1 2 _      + +

∑

− = n i p p i 2 1 2 1 1 2 (2 1) n p p i i − =   + _ _ + 

∑

 + p 4 p p n T n 2 1 2_|| _|| − − ≥ 2 1 2 1 1 1 2 (2 1) n p p i i − + =   + _ _ + 

∑

 + p 4 ||TnTn ||p_p

(

n p Tn p

)

p 2 1 / 1 _|| _|| − − ≥ 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 (2 1) (2 1) n n p p p i i i i − − + − = =   + _ − _ + + 

∑

 + p 4 ( 3.1.13 )

eşitsizliği elde edilir. Böylece elde edilen ( 3.1.13 ) eşitsizliği ve Teorem 3.1.1 de verilen ( 3.1.2 ) eşitsizliği ile,

||TnTn ||p_p

(

)

( )

2 2p 1 _ζ _p   ≥_ − _ 2 1 2 1 1 1 1 1 2 (2 1) (2 1) n p p p i i i − + − =    + _ _ − __ + +   

∑

 + 4 p_{( 3.1.14 )}

eşitsizliği yazılır. Böylece, ( 3.1.14 ) eşitsizliğinde yer alan

(

)

(

)

∑

− = −      + − + 1 1 1 2 1 1 1 2 1 n i i p i p

(18)

(

)

(

)

∑

− = −      + − + 1 1 1 2 1 1 1 2 1 n i i p i p

( )

(

)

     ₋ ₊ Ψ − − = ₋ 2 1 , 2 ! 2 2 1 1 _p p n p p

(

1

)

2 1 1 ₁ −      − + _p₋ ζ p

( )

(

)

     ₋ ₊ Ψ − − + 2 1 , 1 ! 1 2 1 n p p p p

( )

1 1 2p ζ p   − −_ _  

şeklinde yazıldığı ve ayrıca,

(

)

(

)

∑

− = − ∞ → _     + − + 1 1 1 2 1 1 1 2 1 limn i p p n _i _i 1

(

)

1 1 1 2p- z p   =_ − _ −  

( )

1 1 2p ζ p   − −_ _   3.1.15

olduğu bilindiğine göre, böylece, ( 3.1.14 ) eşitsizliği ve ( 3.1.15 ) eşitliği dikkate alınarak, TnTn matrisinin Ap (p≥2) normu için,

||TnTn ||pp

(

)

( )

2 2p 1 _ζ _p   ≥_ − _ ₊2 2

(

p ₋2

)

_ζ

(

_p_{− −}1

)

(

2p ₋1

)

_ζ

( )

_p 2   + 4p

şeklinde bir alt sınır bulunmuş olunur ve böylece ( 3.1.4 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.

Teorem 3.1.3 g ve h; 0 < g / h <1 olacak şekilde herhangi iki reel sayı olmak üzere,

n j i n h j i g T 1 , ) ( 1 =       − + = 3.1.16

şeklinde tanımlanan T , Cauchy-Toeplitz matrisinin _n A ( 1 ≤ p < ∞ ) matris normu _p için,

(19)

                      − +                     − +       − ≥ çift p h g p g h tek p h g p g h h T _p p p p p n , , , , | | 1 || || ₁_/ / 1 ζ ζ 3.1.17                       +       − +                     +       − +       − ≤ çift p h g p h g p g h tek p h g p h g p g h h n T _p p p p p p n , , , , , , | | || || ₁_/ / 1 / 1 ζ ζ ζ ζ 3.1.18

şeklinde alt ve üst sınırlar vardır ( Tekin 1996 ).

Teorem 3.1.4 T , ( 3.1.16 ) ’ daki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-_n Toeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz

matrisinin, TnTn ile gösterilen Khatri-Rao çarpımının A_p (1≤ < ∞p ) matris normu

için, p tek ise;

||TnTn || p_p

(

)

2 2 2 , , | | 1               +       − +       − − ≤ h g p h g p g h h n p p ζ ζ 2 2 2 1 , , | | p g g p p h h h ζ ζ      + _ _ − _+ _ __       ₍_g₎2p 1 + 3.1.19 p çift ise, ||TnTn ||p_p

(

)

2 2 2 , , | | 1               +       − +       − ≤ h g p h g p g h h n p p ζ ζ 2 2 2 1 , , | | p g g p p h h h ζ ζ      + _ _ − _+ _ __       ₍_g₎2p 1 + 3.1.20

(20)

şeklinde bir üst sınır vardır. p tek ise, ||TnTn ||pp 2 2 1 , | | p p h g p h g ζ h  _{ } _ _ ≥ −_{ } + _ − _        

(

)

2

(

)

2 1 1 p p g h g h + + − + ₍_g₎2p 1 + 3.1.21 p çift ise, ||TnTn ||p_p 2 2 1 , | | p p h g p h g ζ h _{ } _ _ ≥ _{ } + _ − _       

(

)

2

(

)

2 1 1 p p g h g h + + − + ₍_g₎2p 1 + 3.1.22

İspat : ( 3.1.16 )’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) T Cauchy-Toeplitz _n matrisini; (11) ₁ − = _n n T T , (12) n T ; 1 1 ) 12 ( ) ( 1 − =       − + = n i n h n i g T 3.1.23

şeklinde ( n-1 ) – mertebeli dikey reel vektör, (21)

n T ; 1 1 ) 21 ( ) ( 1 − =       − + = n j n h j n g T 3.1.24

şeklinde (n-1)- mertebeli satır reel vektör, (22)

n T ; 1 1 ) 22 ( 1 x n g T _      = 3.1.25

(21)

şeklinde bir matris olmak üzere,       = ₍(11₂₁₎) ₍(₂₂12₎) n n n n n T T T T T 3.1.26

şeklinde blok matrislere ayıralım.

Bu şekilde bloklara ayrılmış n- mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Cauchy-Toeplitz matrisinin Khatri-Rao çarpımı,

şeklinde 2((_n₋1)2 ₊1)_{- mertebeli karesel reel T}

nTn matrisidir.

( n-1 ) - mertebeli ( n ≥ 2 ) iki T , Cauchy-Toeplitz matrisinin Kronecker _n₋₁ çarpımı,

(

) (

)

1 1 , 1 1 , 1 1 ) ( 1 ) ( 1 − = − = − −               − + − + = ⊗ n j i n l k n n h l k g h j i g T T

şeklinde tanımlanan, ₍_n₋₁₎2_{- mertebeli karesel reel matris; ( n-1 ) – mertebeli dikey} iki (12)

n

T vektörünün Kronecker çarpımı,

(

) (

)

1 1 1 1 ) 12 ( ) 12 ( ) ( 1 ) ( 1 − = − =               − + − + = ⊗ n i n k n n h n k g h n i g T T

şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli dikey reel vektör; ( n-1 ) – mertebeli satır iki )

21 (

n

(22)

(

) (

)

1 1 1 1 ) 21 ( ) 21 ( ) ( 1 ) ( 1 − = − =               − + − + = ⊗ n j n l n n h l n g h j n g T T

şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli satır reel vektör; 1 – mertebeli reel iki (22)

n T matrisinin Kronecker çarpımı, (22) (22) 2 1 1 1 ( ) n n x T T g   ⊗ _{= } _  

şeklinde 1 – mertebeli reel matristir.

Böylece, matrisler için tanımlanan A_p (1≤ < ∞p ) matris normu ve vektörler için tanımlanan p - normu tanımlarından,

|| TnTn || = pp

∑

= ⊗ 2 1 , ) ( ) ( _|| || j i p p ij n ij n T T 3.1.27

n n T T ⊗ , (22) (22) n n T T ⊗ karesel matrislerin p

A normlarının ve T_n(12) ⊗T_n(12) , T_n(21) ⊗T_n(21) vektörlerinin p – normlarının p.

kuvvetlerinin ve de ( 3.1.27 ) eşitliğinin dikkate alınması ile;

||TnTn ||p_p 2 1 1 , ( ) 1         − + =

∑

− = n j i g i j h p 2 1 1 ( ) 1         − + +

∑

− = n i g i n hp 2 1 1 ( ) 1         − + +

∑

− = n i g n i hp _p g₎2 ( 1 + 2 1 1 1 0         + − + − − =

∑

− = − = n i p n i p g ih i n ih g i n 1 2 1 ( ) 1         − + +

∑

− = n i g i n hp

(23)

2 1 1 ( ) 1         − + +

∑

− = n i g n i hp (g)2p 1 + p p n T 2 1|| || ₋ = 2 1 1 1         − +

∑

− = n i g ihp 2 1 1 1         + +

∑

− = n i g ihp (g)2p 1 + ||TnTn||pp =||Tn−1||2pp 2 1 1 2 1 | | 1             − +

∑

− = n i p p i h g h 2 1 1 2 1 | | 1             + +

∑

− = n i p p i h g h ₍_g₎2p 1 + ||TnTn||p_p =||T_n₋₁||2_pp                           + +             − +

∑

− = − = 2 1 1 2 1 1 2 1 1 | | 1 n i p n i p p i h g i h g h ₍_g₎2p 1 + 3.1.28

eşitliği elde edilir. Şimdi ( 3.1.28 ) eşitliğini, p ’nin tek veya çift olma durumlarına göre inceleyelim.

Böylece; ( 3.1.28 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.18 ) eşitsizliğinden, p tek ise;

||TnTn || p_p

(

)

2 2 2 , , | | 1               +       − +       − − ≤ h g p h g p g h h n p p ζ ζ                           + +             − +

∑

eşitsizliği elde edilir. Ayrıca, Riemann – Zeta ( veya Hurwitz – Zeta ) fonksiyonu tanımından ve 0<g/h<1 kabulünden hareketle;

(24)

) / , ( 1 1 1 1 1 1 h g p h g i h g i i h g i p i p i p − ≤       − = − = −

∑

∞ = ∞ = ∞ = ζ 3.1.30 ) / , ( 1 1 1 1 h g p h g i h g i i p i p ζ ≤       + = +

∑

∞ = ∞ = 3.1.31

eşitsizlikleri yazılır. Böylece, ( 3.1.29 ) , ( 3.1.30 ) , ( 3.1.31 ) eşitsizlikleri ile birlikte p ’nin tek olması durumunda, n – mertebeli iki Tn Cauchy- Toeplitz matrisinin Khatri

– Rao çarpımı olan, 2((_n₋1)2 ₊1)_{- mertebeli karesel reel T}

nTn matrisinin Ap normu için, ||TnTn || p_p

(

)

2 2 2 , , | | 1               +       − +       − − ≤ h g p h g p g h h n p p ζ ζ 2 2 2 1 , , | | p g g p p h h h ζ ζ      + _ _ − _+ _ __       ₍_g₎2p 1 +

şeklinde bir üst sınır elde edilir ki, böylece Teorem 3.1.4 de verilen ( 3.1.19 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.

Benzer şekilde, ( 3.1.28 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.18 ) eşitsizliğinden, p çift ise;

||TnTn ||p_p

(

)

2 2 2 , , | | 1               +       − +       − ≤ h g p h g p g h h n p p ζ ζ                           + +             − +

∑

(25)

eşitsizliği elde edilir. Böylece, ( 3.1.30 ) , ( 3.1.31 ) , ( 3.1.32 ) eşitsizlikleri ile birlikte p ’nin çift olması durumunda, TnTn matrisinin Ap normu için,

||TnTn || pp

(

)

2 2 2 , , | | 1               +       − +       − ≤ h g p h g p g h h n p p ζ ζ 2 2 2 1 , , | | p g g p p h h h ζ ζ      + _ _ − _+ _ __       ₍_g₎2p 1 +

şeklinde bir üst sınır elde edilir ki, böylece Teorem 3.1.4 de verilen ( 3.1.20 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.

Şimdi de, TnTn matrisinin Ap normu için bir alt sınır bulalım. Bunun için,

( 3.1.28 ) eşitliğini p ’nin tek veya çift olması durumlarına göre ayrı ayrı ele alalım. Böylece ( 3.1.28 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.19 ) eşitsizliğinden, p tek ise; ||TnTn ||p_p 2 2 , | | 1               − +       − ≥ h g p g h h p p ζ 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 | | p p p i i h g g i i h h − − = = _ _ _ _  _ _ _ _  _ _ _ _  + _ + _     _ ₋ _ _ ₊ _  _ _ _ _   

∑

_p g₎2 ( 1 + ||TnTn ||pp 2 2 , | | 1               − +       − ≥ h g p g h h p p ζ 2 2 1 1 |_{g h}| p |_{g h}| p + + − + ₍_g₎2p 1 +

şeklinde TnTn matrisinin Ap normu için bir alt sınır elde edilir ki, böylece Teorem

(26)

Benzer şekilde, ( 3.1.28 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.19 ) eşitsizliğinden, p çift ise;

||TnTn ||pp 2 2 , | | 1               − +       ≥ h g p g h h p p ζ 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 | | p p p i i h _g _g i i h h − − = = _ _ _ _  _ _ _ _  _ _ _ _  + _ + _     _ ₋ _ _ ₊ _  _ _ _ _   

∑

_p g₎2 ( 1 + ||TnTn ||p_p 2 2 1 , | | p p h g p h g ζ h _{ } _ _ ≥ _{ } + _ − _        2 2 1 1 |_{g h}| p |_{g h}| p + + − + ₍_g₎2p 1 +

şeklinde TnTn matrisinin A normu için bir alt sınır elde edilir ki, böylece Teorem _p

3.1.4 de verilen ( 3.1.22 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.

Teorem 3.1.5 a ve b; a < b olacak şekilde herhangi iki pozitif reel sayı olmak üzere,

n j i n b j i a T 1 , ) ( 1 =       − + = 3.1.33

şeklinde tanımlanan T , Cauchy-Toeplitz matrisinin _n A matris normu için, _p

(

)

p p p p n p b a p b a p b p a T n / 1 / 1 ₁_,₁ ₁_,₁ ! 1 1 1 || || _            ₋ ₊ Ψ +       ₋ ₋ Ψ − + ≤ − _3.1.34

(

)

(

)

p p p p p n p a b a b a T n / 1 / 1 2 1 2 1 1 || || _      + + − + ≥ − _3.1.35

(27)

şeklinde alt ve üst sınır vardır ( Çatak 2001 ).

Teorem 3.1.6 T , ( 3.1.33 ) ’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-_n Toeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz

matrisinin, TnTn ile gösterilen Khatri-Rao çarpımının Ap matris normu için,

||TnTn ||pp

(

)

(

)

2 2 ₁_,₁ ₁_,₁ ! 1 1 1 1 _            ₋ ₊ Ψ +       ₋ ₋ Ψ − + − ≤ b a p b a p b p a n _p _p

( )

(

)

2 1 1,1 1,1 1 ! p p a a p p b b p b  ₋ _ _ _ _ __ + _Ψ_ − − _+ Ψ_ − + __ −          a2p 1 + 3.1.36 şeklinde bir üst sınır ve ||TnTn ||p_p

(

)

(

)

2 2 1 2 1 1               + + − + ≥ _p _p _p a b a b a

(

)

p

(

)

p a b a b 2 2 1 1 + + − + _p a2 1 + 3.1.37

İspat : ( 3.1.33 )’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) T , Cauchy-Toeplitz _n matrisini; (11) ₁ − = _n n T T , (12) n T ; 1 1 ) 12 ( ) ( 1 − =       − + = n i n b n i a T 3.1.38

şeklinde ( n-1 ) – mertebeli dikey reel vektör, (21)

n

(28)

1 1 ) 21 ( ) ( 1 − =       − + = n j n b j n a T 3.1.39

şeklinde (n-1)- mertebeli satır reel vektör, (22)

n T ; 1 1 ) 22 ( 1 x n a T       = 3.1.40

şeklinde bir matris olmak üzere,

      = ₍(11₂₁₎) ₍(₂₂12₎) n n n n n T T T T T 3.1.41

şeklinde blok matrislere ayıralım.

Bu şekilde bloklara ayrılmış n- mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Cauchy-Toeplitz matrisinin Khatri-Rao çarpımı,

şeklinde )2((_n₋1)2 ₊1 _{- mertebeli karesel reel T}

nTn matrisidir.

( n-1 ) - mertebeli ( n ≥ 2 ) iki T , Cauchy-Toeplitz matrisinin Kronecker _n₋₁ çarpımı,

(

) (

)

1 1 , 1 1 , 1 1 ) ( 1 ) ( 1 − = − = − −               − + − + = ⊗ n j i n l k n n b l k a b j i a T T

şeklinde tanımlanan, ₍_n₋₁₎2_{- mertebeli karesel reel matris; ( n-1 ) - mertebeli iki} )

12 (

n

(29)

(

) (

)

1 1 1 1 ) 12 ( ) 12 ( ) ( 1 ) ( 1 − = − =               − + − + = ⊗ n i n k n n b n k a b n i a T T

şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli dikey reel vektör; ( n-1 ) - mertebeli iki (21)

n T vektörünün Kronecker çarpımı;

(

) (

)

1 1 1 1 ) 21 ( ) 21 ( ) ( 1 ) ( 1 − = − =               − + − + = ⊗ n j n l n n b l n a b j n a T T

şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli satır reel vektör; 1 – mertebeli reel iki (22)

n T matrisinin Kronecker çarpımı, 1 1 2 ) 22 ( ) 22 ( 1 x n n a T T       = ⊗

şeklinde 1 – mertebeli reel matristir.

Böylece, matrisler için tanımlanan Ap matris normu ve vektörler için

tanımlanan p - normu tanımlarından,

|| TnTn || = pp

∑

= ⊗ 2 1 , ) ( ) ( _|| || j i p p ij n ij n T T 3.1.42

n n T T ⊗ , (22) (22) n n T T ⊗ karesel matrislerin p A normlarının ve (12) (12) n n T T ⊗ , (21) (21) n n T ⊗T vektörlerinin p – normlarının p. kuvvetlerinin ve de ( 3.1.42 ) eşitliğinin dikkate alınması ile;

||TnTn ||p_p 2 1 1 , ( ) 1         − + =

∑

− = n j i a i j bp 2 1 1 ( ) 1         − + +

∑

− = n i a i n bp 2 1 1 ( ) 1         − + +

∑

− = n i a n i bp a2p 1 +

(30)

||TnTn ||p_p

(

)

2 2 1 1 1 1 1                 + + − − − + − =

∑

− = n i p p p a ib a ib i n a n 1 2 1 ( ) 1         − + +

∑

− = n i a i n bp 2 1 1 ( ) 1         − + +

∑

− = n i a n i bp a2p 1 + ||TnTn ||p_p =||T_n₋₁||2_pp 2 1 1 1         − +

∑

− = n i a ibp 2 1 1 1         + +

∑

− = n i a ibp a2p 1 + 3.1.43

eşitliği elde edilir. ( 3.1.43 ) eşitliği ve Teorem 3.1.5 de verilen ( 3.1.34 ) eşitsizliği ile, ||TnTn ||pp

(

)

(

)

2 2 ₁_,₁ ₁_,₁ ! 1 1 1 1 _            ₋ ₊ Ψ +       ₋ ₋ Ψ − + − ≤ b a p b a p b p a n _p _p 2 1 1 1         − +

∑

− = n i a ibp 2 1 1 1         + +

∑

− = n i a ibp a2p 1 + ||TnTn ||p_p

(

)

₍

₎

2 2 1 , 1 1 , 1 ! 1 1 1 1 _            ₋ ₊ Ψ +       ₋ ₋ Ψ − + − ≤ b a p b a p b p a n _p _p 2 1 1 1 1 1 1         + + − +

∑

− = − = n i p n i a ibp a ib a2p 1 + 3.1.44

eşitsizliği elde edilir. (3.1.44 ) eşitsizliğindeki

∑

−

=         + + − 1 1 1 1 n i a ibp a ibp ifadesinin Polygamma fonksiyonu cinsinden,

∑

− =         + + − 1 1 1 1 n i a ibp a ibp

( )

(

)

        ₋ ₊ Ψ −       ₋ ₋ Ψ − − − = b a n p b a n p b p p p , 1 , 1 ! 1 1

(31)

_         ₋ ₊ Ψ +       ₋ ₋ Ψ + b a p b a p 1,1 1,1 yazıldığı ve ayrıca,

∑

− = ∞ →         + + − 1 1 1 1 limn i p p n _a _ib _a _ib

( )

(

)

1 1,1 1,1 1 ! p p a a p p b b p b −      = _Ψ_ − − _+ Ψ_ − + __ −      3.1.45

olduğu bilindiğine göre, böylece ( 3.1.44 ) eşitsizliği ve ( 3.1.45 ) eşitliğinden, TnTn

matrisinin Ap normu için,

||TnTn ||pp

(

)

(

)

2 2 1 , 1 1 , 1 ! 1 1 1 1 _            ₋ ₊ Ψ +       ₋ ₋ Ψ − + − ≤ b a p b a p b p a n _p _p

( )

(

)

2 1 1,1 1,1 1 ! p p a a p p b b p b  ₋ _ _ _ _ __ + _Ψ_ − − _+ Ψ_ − + __ −          a2p 1 +

şeklinde bir üst sınır elde edilir ki; Teorem 3.1.6 ile verilen ( 3.1.36 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.

Şimdi de, TnTn matrisinin Ap normu için bir alt sınır bulalım. Bunun için,

Teorem 3.1.5 ile verilen ( 3.1.35 ) eşitsizliğini ve ( 3.1.43 ) eşitliğini göz önüne alırsak, ||TnTn ||p_p =||T_n₋₁||2_pp 2 1 1 1         − +

∑

− = n i a ibp 2 1 1 1         + +

∑

− = n i a ibp a2p 1 +

(

)

(

)

2 2 1 2 1 1               + + − + ≥ _p _p _p a b a b a 2 1 2 1 1         − +

∑

− = i a ibp 2 1 2 1 1         + +

∑

− = i a ibp a2p 1 +

(32)

||TnTn ||pp

(

)

(

)

2 2 1 2 1 1               + + − + ≥ _p _p _p a b a b a

(

)

p

(

)

p a b a b 2 2 1 1 + + − + _p a2 1 +

şeklinde bir alt sınır elde edilir ki; Teorem 3.1.6 ile verilen ( 3.1.37 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.

3.2. Cauchy – Toeplitz Matrislerinin Tracy – Singh Çarpımlarının A Normları _p İçin Sınırlar

Teorem 3.2.1 T , ( 3.1.1 ) ’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n _n ≥ 2 ) Cauchy-Toeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz

matrisinin, Tn Tn ile gösterilen Tracy - Singh çarpımının A_p (p≥2) matris normu

için, || T _n T_n p p || _≤

[

_n

(

₂p+1₋₂

)

_ζ

( )

_p

]

2_3.2.1 şeklinde bir üst sınır ve || T _n T_n p p || _≥

(

2p₋2

)

_ζ

(

_p₋1

)

2   3.2.2

İspat : ( 3.1.1 )’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) T Cauchy-Toeplitz _n matrisini, (11) ₁ − = _n n T T ve (12) n T , (21) n T , (22) n T sırasıyla; ( 3.1.5 ) , ( 3.1.6 ) , ( 3.1.7 ) ’ deki gibi tanımlamak üzere,

      = ₍(11₂₁)₎ ₍(₂₂12₎) n n n n n T T T T T

(33)

şeklinde blok matrislere ayıralım. Böylece; (ij)

n

T (1≤ ji, ≤2) matrisleri ile n- mertebeli ( n ≥ 2 ) T , Cauchy-Toeplitz matrisinin Tracy – Singh çarpımı, _n

) (ij n T T = _n _      ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ) 22 ( ) ( ) 21 ( ) ( ) 12 ( ) ( ) 11 ( ) ( n ij n n ij n n ij n n ij n T T T T T T T T , i,j = 1, 2

şeklinde tanımlanmak üzere, ( 3.1.1 ) deki gibi bloklara ayrılmış n – mertebeli iki T _n Cauchy-Toeplitz matrisinin, T _n T ile gösterilen Tracy-Singh çarpımı; _n

n

T T = (_n (ij)

n

T T )_n ij

şeklinde tanımlanan _n2_{- mertebeli reel karesel bir matristir.}

Herhangi iki matrisin Kronecker çarpımı göz önüne alınırsa, T _n T matrisini _n oluşturan bloklar, karesel matrisler veya vektörlerin yanısıra, karesel olmayan

matrislerden de ibarettir. Bu sebeptendir ki; ||.||gp , Tanım 2.3.6 da verilen

genelleştirilmiş -A matris normu olmak üzere, T_p n Tn matrisinin Ap (p≥2)

normu için;

(

)

p gp kl n ij n T T kl ij, ₌|| ( )_⊗ ( )|| Ω (1≤i,j,k,l≤2) olmak üzere, || T _n T_n p p ||

∑ ∑

= = Ω = 2 1 , 2 1 , ) , ( j i kl kl ij 3.2.3

şeklinde eşitlik yazılır. Herhangi iki matrisin Kronecker çarpımı ve bu çarpımın genelleştirilmiş -Ap matris normu tanımları göz önüne alınırsa,

(34)

2 , 1 (11, ) k l kl = Ω =

∑

              − +

∑

− = 1 1 , 2 1 1 n j i p j i _      +               − +

∑

− = 1 1 , 2 1 1 n j i p j i _             − +

∑

− = 1 1 2 1 1 n i p n i _      +               − + +

∑

− = p n j p j n 2 2 1 1 1 1 3.2.4 2 , 1 (12, ) k l kl = Ω =

∑

              − +

∑

− = 1 1 2 1 1 n i p n i _      +               − +

∑

− = 1 1 , 2 1 1 n j i p j i _             − +

∑

− = 1 1 2 1 1 n i p n i _      +               − + +

∑

− = p n j p j n 2 2 1 1 1 1 3.2.5 2 , 1 (21, ) k l kl = Ω =

∑

              − +

∑

− = 1 1 2 1 1 n j p j n _      +               − +

∑

− = 1 1 , 2 1 1 n j i p j i _             − +

∑

− = 1 1 2 1 1 n i p n i _      +               − + +

∑

− = p n j p j n 2 2 1 1 1 1 3.2.6 2 , 1 (21, ) k l kl = Ω =

∑

₂p        +               − +

∑

− = 1 1 , 2 1 1 n j i p j i _             − +

∑

− = 1 1 2 1 1 n i p n i _      +               − + +

∑

− = p n j p j n 2 2 1 1 1 1 3.2.7

eşitlikleri elde edilir. Böylece , ( 3.2.4 ) , ( 3.2.5 ) , ( 3.2.6 ) , ( 3.2.7 ) eşitliklerinden, Tn Tn matrisinin Ap (p≥2) normu için;

|| T _n T_n p p ||        +               − + =

∑

− = 1 1 , 2 1 1 n j i p j i 1 1 1 1 2 n p i i n − =         + −      

∑

2 1 1 2 2 1 1        +             − + +

∑

− = p n j p j n                      − + + =

∑

− = − 1 1 1 2 1 1 || || n i p p p n n i T 2 1 1 2 2 1 1        +             − + +

∑

− = p n j p j n             + − + =

∑

− = − 1 1 1 1 2 2 1 2 || || n i p p p p n n i T 2 1 1 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2     +         + + − +

∑

− = p n j p p n j

(35)

(

)

   + + =

∑

− = − 2 0 1 1 2 1 2 || || n i p p p p n i T

(

)

2 1 0 2 1 1 2    + +

∑

− = n j p p j || T _n T_n p p || 2 1 1 1 2 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 || ||                     − +       − + =

∑

− = − = − = − = − n i p p n i p n i p p n i p p p p n i i i i T 3.2.8

eşitliği elde edilir. Böylece; ( 3.2.8 ) eşitliği ve Teorem 3.1.1 de verilen ( 3.1.2 ) eşitsizliğinden, || T _n T_n p p ||

[

(

)

(

) ( )

]

2 1 1 1 2 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2                     ₋ +       ₋ + − − ≤

∑

− = − = − = − = + n i p p n i p n i p p n i p p p i i i i p n ζ 3.2.9

eşitsizliği elde edilir. ( 3.2.9 ) eşitsizliği ve

( )

p k k p ζ =

∑

∞ =1 1

eşitliği ile ( 3.1.1 ) ’ deki gibi tanımlanan n – mertebeli iki Tn Cauchy- Toeplitz

matrisinin Tracy - Singh çarpımı olan, _{n - mertebeli karesel reel}2

n T T matrisinin _n ) 2 (p≥ p A normu için, || T _n T_n p p || _≤

[

_n

(

₂p+1₋₂

)

_ζ

( )

_p

]

2

şeklinde bir üst sınır bulunmuş olunur ki; böylece Teorem 3.2.1 ’de verilen ( 3.2.1 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.

Şimdi de T _n T matrisinin _n A_p (p≥2) normu için bir alt sınır bulalım. Bunun için, || T _n T_n p p ||

(

)

   + + =

∑

− = − 2 0 1 1 2 1 2 || || n i p p p p n i T

(

)

2 1 0 2 1 1 2    + +

∑

− = n j p p j