Bessel ve Airy Denklemlerini Çözmekte Uygulanan Yeni Metot

(1)

1_{Kırgızistan Türkiye Manas Üniversitesi,Mühendislik Fakültesi,Çevre Mühendisliği Bölümü,720038,Bişkek,KIRGIZİSTAN} Sorumlu Yazar / Corresponding Author *: almazbek.isaev68@gmail.com

Geliş Tarihi / Received: 31.01.2019 Kabul Tarihi / Accepted: 20.04.2019

DOI:10.21205/deufmd.2019216304 Araştırma Makalesi/Research Article

Atıf şekli/ How to cite: İSAEV, A. (2019). Bessel ve Airy Denklemlerini çözmekte uygulanan yeni metot. DEUFMD, 21(63), 727-732.

Öz

Makalede,Bessel ve Airy denklemlerinin yeni metodun uygulanmasından gelen çözümleri ile Bessel fonksyonları çözümlerinin yakınsaklıkları incelenmektedir.

Anahtar Kelimeler: Riccati, Bessel ve Airy denklemleri

Abstract

In this article, Bessel and Airy equations are analyzed with the solution of the new method and the convergence of Bessel functions.

Keywords: Riccati, Bessel and Airy equations

1. Giriş

Önceden yapılmış klasik dönüşümü ve 1-3

çalışmalarına dayanarak Bessel denklemin daha genişletilmiş bir şekile getirerek, özel hali olarak Airy denklemi çıkartılacaktır.Çözümünün yakınsaklığı Mathcad 14 aracı ile kurulmuş grafiklerde gösterilecektir.

2. Materyal ve Metot

2.1. Normal Bessel diferansiyel denklemi 𝑡2_∙𝑑2𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 + 𝑡 ∙ 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 + (𝑡 2_{− 𝜈}2_{) ∙} 𝑋(𝑡) = 0 Burada ν- parametredir 3 Hatırlandığında 𝑡 ≠ 0 → 𝑡 ∙𝑑2𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 + 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 + (𝑡 − 𝜈2 𝑡) ∙ 𝑋(𝑡) = 0 Yerine koyarak 𝑋(𝑡) =𝑍(𝑡) √𝑡 → (1) 𝑑2_𝑍(𝑡) 𝑑𝑡2 + (1 − 𝜈2₋1 4 𝑡2 ) ∙ 𝑍(𝑡) = 0 (2)

Yeni metodun (Almaz Beyin metodu) uygulanması ile [1-3] 𝑍(𝑡) = 𝑒𝑙𝑛| 1 𝑐𝑜𝑠(𝜃)+𝑡𝑎𝑛(𝜃)| 𝑊(𝜃) = 𝑙𝑛 | 1 𝑐𝑜𝑠(𝜃)+ 𝑡𝑎𝑛(𝜃)| ; 𝜃 = 𝜃(𝑡) 𝑆(𝑡)_𝑑𝑡 +𝑥(𝑡)_𝑑𝑡 =_{𝑐𝑜𝑠(𝜃)}1 + 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑡𝑎𝑛 (𝜃₂+𝜋₄) = 𝑒𝑊(𝜃) 𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 − 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 𝑐𝑜𝑠(𝜃)− 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑒 −𝑊(𝜃)₌ 1 𝑍(𝑡); −𝑊(𝜃) = 𝑙𝑛 | 1 𝑐𝑜𝑠(𝜃)− 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃)| 1 𝑐𝑜𝑠(𝜃)= 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑊(𝜃)) = 𝑒𝑊(𝜃)_{+ 𝑒}−𝑊(𝜃) 2

Bessel ve Airy Denklemlerini Çözmekte Uygulanan Yeni

Metot

New Method of Solving Bessel and Airy Equations

(2)

tan(θ) = sinh(W(θ)) =e W(θ)_{− e}−W(θ) 2 𝑠𝑖𝑛(𝜃) = 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑊(𝜃)) =𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑊(𝜃)) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑊(𝜃)) 𝑒𝑊(𝜃)_{− 𝑒}−𝑊(𝜃) 2 𝑒𝑊(𝜃)_{+ 𝑒}−𝑊(𝜃) 2 =𝑒 2∙𝑊(𝜃)_{− 1} 𝑒2∙𝑊(𝜃)_{+ 1} 𝑆(𝑡) + 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑒𝑊(𝜃)_{𝑑𝑡 + 𝐶𝑆+𝑥} 𝑆(𝑡) − 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑒−𝑊(𝜃)_{𝑑𝑡 + 𝐶} 𝑆−𝑥 𝑍(𝑡) = 𝑒𝐺(𝑡)_{= 𝑒}𝑊0(𝑡)+𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡) 𝑒𝐺(𝑡)_{∙ [}𝑑2𝐺(𝑡) 𝑑𝑡2 + ( 𝑑𝐺(𝑡) 𝑑𝑡 ) 2 ] + 𝑒𝐺(𝑡)_∙ [1 −ν 2₋1 4 𝑡2 ] = 0 (3) 𝑑2_𝑊 0(𝑡) 𝑑𝑡2 + ( 𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 ) 2 + 1 ⏟ 0 +𝑑2(𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡2 + 2 ∙ 𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ 𝑑(𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 + ( 𝑑(𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 ) 2 −ν 2₋1 4 𝑡2 = 0 𝑑2_𝑊 0(𝑡) 𝑑𝑡2 + ( 𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 ) 2 + 1 = 0 → 𝑑( 𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 ) (𝑑𝑊0(𝑡)_𝑑𝑡 )2+1 = −𝑑𝑡 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 ) = 𝐶𝑡− 𝑡 → 𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑡𝑎𝑛(𝐶𝑡− 𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(𝐶𝑡−𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡−𝑡) 𝑊0(𝑡) = 𝑙𝑛|𝐶𝑊0∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡− 𝑡)|; 𝑒 𝑊0(𝑡)_{= 𝐶𝑊} 0∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡− 𝑡) 𝐶𝑡=𝜋₄ ; 𝐶𝑊0= √2 2 𝑑(𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑊(𝑡)_→𝑑2(𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡2 + 2 ∙ 𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ 𝑑(𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 + ( 𝑑(𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 ) 2 −ν 2₋1 4 𝑡2 = 0 𝑑𝑒𝑊(𝑡) 𝑑𝑡 + 2 ∙ 𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ 𝑒 𝑊(𝑡)_{+ 𝑒}2∙𝑊(𝑡)₋ν2− 1 4 𝑡2 = 0

Riccati denklemine götürmektedir. 𝑑𝑒𝑊(𝑡) 𝑑𝑡 = −1⏟ 𝑎(𝑡) ∙ 𝑒2∙𝑊(𝑡)_{−2 ∙}𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 ⏟ 𝑏(𝑡) ∙ 𝑒𝑊(𝑡)₊ν2− 1 4 𝑡2 ⏟ 𝑐(𝑡) = 0 𝑒2∙𝑊(𝑡)_{+ (2 ∙}𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑊(𝑡) 𝑑𝑡 ) ∙ 𝑒 𝑊(𝑡)₋ν2− 1 4 𝑡2 = 0 sin(𝜃(𝑡))∗= − ∫ (2 ∙𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 − ν2₋1 4 𝑡2 ) 𝑑𝑡 + 𝐶𝜃 𝑊(𝑡)∗_{= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛[sin(𝜃(𝑡))}∗_{] veya} 𝑊(𝑡)∗_{= ∑} sin(𝜃(𝑡)) ∗2∙𝑛+1 2∙𝑛+1 + 𝐶𝑊 𝑁 𝑛=0 𝐷(𝑡) = (2 ∙𝑑𝑊0(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑊(𝑡)∗ 𝑑𝑡 ) 2 + 4 ∙ 1 ∙ (ν 2₋1 4 𝑡2 ) 𝑒𝑊(𝑡)1,2₌ −(2∙𝑑𝑊0(𝑡)_𝑑𝑡 +𝑑𝑊(𝑡)∗_𝑑𝑡 )±√(2∙𝑑𝑊0(𝑡)_𝑑𝑡 +𝑑𝑊(𝑡)∗_𝑑𝑡 )2+4∙1∙(ν2− 1 4 𝑡2 ) 2 1,3 göz önüne alarak. 𝑁 = 0 → 𝑊(𝑡)∗_{= ∑} sin(𝜃(𝑡)) ∗2∙0+1 2∙𝑛+1 + 0 𝑛=0 𝐶𝑊= sin(𝜃(𝑡)) ∗ (𝑆(𝑡) + 𝑥(𝑡))_1,2= ∫ 𝑒⏞ ∙ 𝑑𝑡 + 𝐶𝑊(𝑡)1,2 𝑆+𝑥 𝑒𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑡)1,2 𝑍(𝑡) = 𝐶𝑊0∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡− 𝑡) ∙ 𝑒 (𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡))_1,2 𝑒𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑡)1₌𝑐(𝑡) 𝑎(𝑡)= ν2−1₄ 𝑡2 −1 ; 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑡)2_{= 1} 2.1.1. Bulgular (𝑆(𝑡) + 𝑥(𝑡))₁= − ∫ν 2₋1 4 𝑡2 ∙ 𝑑𝑡 + 𝐶𝑆+𝑥 (4) (𝑆(𝑡) + 𝑥(𝑡)) 2= ∫ 1 ∙ 𝑑𝑡 + 𝐶𝑆+𝑥 𝑋1(𝑡) =𝐶𝑊0∙𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡−𝑡) √𝑡 ∙ 𝑒 (𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡))₁ (5) 𝑋2(𝑡) = 𝐶_𝑊0∙𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡−𝑡) √𝑡 ∙ 𝑒 (𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡))₂ 𝑋𝐵(𝑡) = 𝐶1∙ 𝐽𝑛(𝑚, 𝑡) + 𝐶2∙ 𝑌𝑛(𝑚, 𝑡) Burada 𝐶1, 𝐶2−sabitler ve ∙

𝐽𝑛(𝑚, 𝑡), 𝑌𝑛(𝑚, 𝑡) −Besselin özel fonksiyonlarıdır

6.

Bessel denkleminin genel çözümleri.

(3)

2.2. Bessel denkleminin genişletilmiş şekle dönüştürülmesi ve özel hali olarak Airy denklemi 𝑡2_∙𝑑2𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 + 𝑡 ∙ 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 + (𝑡 2_{− 𝜈}2_{) ∙ 𝑋(𝑡) = 0} Klasik dönüşümleri kullandığımızda.

𝑋(𝑡) =𝛼∙ 𝑈(); 𝑡 = 𝛾 ∙𝛽 (6) 𝑑𝑡 𝑑= 𝛾 ∙ 𝛽 ∙ 𝛽−1_→𝑑 𝑑𝑡= 1 𝛾∙𝛽∙ 1−𝛽 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑋(𝑡) 𝑑 ∙ 𝑑 𝑑𝑡= 1 𝛾∙𝛽∙ 1−𝛽_∙𝑑(𝛼∙𝑈()) 𝑑 = 1 𝛾∙𝛽∙ 1−𝛽_{∙ [𝛼 ∙}_𝛼−1_{∙ 𝑈(}__{) +}_𝛼_∙𝑑𝑈() 𝑑 ] 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛼 𝛾∙𝛽∙ 𝛼−𝛽 ∙ 𝑈() + 1 𝛾∙𝛽∙ 𝛼−𝛽+1 ∙𝑑𝑈() 𝑑 𝑑𝑋(𝑡)_𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑋(𝑡)_𝑑𝑡 𝑑 ∙ 𝑑 𝑑𝑡= 𝛼 𝛾∙𝛽∙ 1−𝛽_∙ 𝑑[_𝛾∙𝛽𝛼∙𝛼−𝛽_∙𝑈(_₎₊1 𝛾∙𝛽∙ 𝛼−𝛽+1_∙𝑑𝑈() 𝑑 ] 𝑑 𝑑2_𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 = 𝛼 𝛾∙𝛽∙ 1−𝛽_{∙ [}𝛼 𝛾∙𝛽∙ (𝛼 − 𝛽) ∙ 𝛼−𝛽−1_∙ 𝑈() + 𝛼 𝛾∙𝛽∙ 𝛼−𝛽_∙𝑑𝑈() 𝑑 + 𝛼 𝛾∙𝛽∙ (𝛼 − 𝛽 + 1) ∙ 𝛼−𝛽 ∙𝑑𝑈(_𝑑_)+_𝛾∙𝛽𝛼 ∙𝛼−𝛽+1∙𝑑2_𝑑𝑈(_2)] 𝑑2_𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 = 𝛼 𝛾2_∙𝛽2∙ (𝛼 − 𝛽) ∙ 𝛼−2∙𝛽 ∙ 𝑈() + 𝛼 𝛾2_∙𝛽2∙ 𝛼−2∙𝛽+1 ∙𝑑𝑈() 𝑑 + (𝛼−𝛽+1) 𝛾2_∙𝛽2 ∙ 𝛼−2∙𝛽+1 ∙ 𝑑𝑈() 𝑑 + 1 𝛾2_∙𝛽2∙ 𝛼−2∙𝛽+2 ∙𝑑2𝑈() 𝑑2 denkleme koyduğumuzda: 𝛾2_∙_2∙𝛽_{∙ [}𝛼 𝛾∙𝛽∙ (𝛼 − 𝛽) ∙ 𝛼−2∙𝛽_{∙ 𝑈(}__{) +} (2∙𝛼−𝛽+1) 𝛾2_∙𝛽2 ∙ 𝛼−2∙𝛽+1_∙𝑑𝑈() 𝑑 + 1 𝛾2_∙𝛽2∙ 𝛼−2∙𝛽+2_∙ 𝑑2_𝑈(_₎ 𝑑2 ] + 𝛾 ∙ 𝛽_{∙ [}𝛼 𝛾∙𝛽∙ 𝛼−𝛽_{∙ 𝑈(}__{) +} 1 𝛾∙𝛽∙ 𝛼−𝛽+1_∙ 𝑑𝑈() 𝑑 ] + [𝛾 2_∙_2∙𝛽_{− 𝜈}2_{] ∙}_𝛼_{∙ 𝑈(}__{) = 0} 𝛼∙(𝛼−𝛽) 𝛽2 ∙ 𝛼_{∙ 𝑈(}__{) +}(2∙𝛼−𝛽+1) 𝛽2 ∙ 𝛼+1_∙𝑑𝑈() 𝑑 + 1 𝛽2∙ 𝛼+2 ∙𝑑2𝑈() 𝑑2 + 𝛼 𝛽∙ 𝛼 ∙ 𝑈() +1 𝛽∙ 𝛼+1 ∙𝑑𝑈() 𝑑 + [𝛾2_∙_2∙𝛽_{− 𝜈}2_{] ∙}_𝛼_{∙ 𝑈(}__{) = 0} 1 𝛽2∙ 2 ∙𝑑2_𝑑𝑈(_2)+ [ 2∙𝛼−𝛽+1+𝛽 𝛽2 ] ∙∙ 𝑑𝑈() 𝑑 + [𝛾2_∙_2∙𝛽 − 𝜈2₊𝛼∙(𝛼−𝛽) 𝛽2 + 𝛼 𝛽] ∙ 𝑈() = 0 1 𝛽2∙ 2_∙𝑑2_𝑈(_₎ 𝑑2 + [ 2∙𝛼+1 𝛽2 ] ∙∙ 𝑑𝑈() 𝑑 + [𝛾 2_∙_2∙𝛽₋ 𝜈2₊𝛼2−𝛼∙𝛽+𝛼∙𝛽 𝛽2 ] ∙ 𝑈() = 0 2_∙𝑑2_𝑈(_₎ 𝑑2 + (2 ∙ 𝛼 + 1)⏟ 𝑏 ∙∙𝑑𝑈() 𝑑 + [𝛾 2_{∙ 𝛽}2 ⏟ 𝜔02 ∙ 2∙𝛽⏞ 𝑚 + 𝛼_⏟2_{− 𝛽}2_{∙ 𝜈}2 𝑘2 ] ∙ 𝑈() = 0 2_∙𝑑2_𝑈(_₎ 𝑑2 + 𝑏 ∙∙ 𝑑𝑈() 𝑑 + [𝜔0 2_∙_𝑚_{+ 𝑘}2_{] ∙ 𝑈(}__{) =} 0 2 ∙ 𝑎 + 1 = 𝑏 ; 𝛼2_{− 𝛽}2_{∙ 𝜈}2_{= 𝑘}2_{; 𝛽}2_{∙ 𝛾}2₌ 𝜔02 ; 2 ∙ 𝛽 = 𝑚 (7) Genişletilmiş şeklindeki Bessel diferansiyel denklemi eğer 𝑏 = 0 ; 𝑘2_{= 0; 𝜔} 0 2_{= −1 ; 𝑚 = 3} 𝑑2_𝑈(_₎ 𝑑2 −∙ 𝑈() = 0 (8)

Airy diferansiyel denklemi Burada α = −1 2 ; ν = 1 3; β = 3 2 ; γ = 2 3∙ i 𝑋(𝑡) =−12∙ 𝑈(); 𝑡 =2 3∙ 𝑖 −3₂_{→ 𝑈(}__{) =}_−1₂_∙ 𝑋(𝑡) (9) Bessel dekleminin çözümün değiştirerek 3

𝑋1(𝑡) = 𝐶_𝑊0∙cos (𝐶𝑡−𝑡) √𝑡 ∙ 𝑒 (ν2₋1 4)∙ 1 𝑡+𝐶𝑆+𝑥→ 𝑋 1() = 𝐶𝑊0∙cos(𝐶𝑡−2₃∙𝑖∙ 3 2₎ √2 3∙𝑖∙ 3 2 ∙ 𝑒 (ν2₋1 4)∙ 1 2 3∙𝑖∙ 3 2 +𝐶𝑆+𝑥 (10) 𝑈1() = 1 2∙ 𝑋 1() = 1 2∙ 𝐶𝑊0∙𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡−2₃∙𝑖∙ 3 2₎ √2 3∙𝑖∙ 3 2 ∙ 𝑒 (𝜈2₋1 4)∙ 1 2 3∙𝑖∙ 3 2 +𝐶𝑆+𝑥 𝑋2(𝑡) =𝐶𝑊0∙cos (𝐶𝑡−𝑡) √𝑡 ∙ 𝑒 𝑡+𝐶𝑆+𝑥_{→ 𝑋2}₍_{) =} 𝐶_𝑊0∙cos(𝐶𝑡− 2 3∙𝑖∙ 3 2) √2 3∙𝑖∙ 3 2 ∙ 𝑒23∙𝑖∙ 3 2_+𝐶_𝑆+𝑥 𝑈2() =12∙ 𝑋2() = 1 2∙ 𝐶_𝑊0∙cos(𝐶𝑡− 2 3∙𝑖∙ 3 2) √2 3∙𝑖∙ 3 2 ∙ 𝑒 2 3∙𝑖∙ 3 2+𝐶𝑆+𝑥 𝑈𝐵() = 𝐶1∙ 𝐴𝑖() + 𝐶2∙ 𝐵𝑖() + (𝐼𝑚(𝐴𝑖()) + 𝐼𝑚(𝐵𝑖())) ∙ 𝑖 6

(4)

2.2.1. Bulgular

Airy denkleminin çözümünü bulmak için aşağıdaki ifade kullanılmaktadır. 𝑡 =2₃∙ 𝑖 ∙− 3 2 yerine 𝑡 = −2 3∙ 𝑖 ∙ −3₂ burada 𝑖 = √−1 ve 𝑈1() = 1 2∙ 𝐶_𝑊0∙cos(𝐶𝑡− (−2) 3 ∙𝑖∙ 3 2) √−2 3∙𝑖∙ 3 2 ∙ 𝑒 (1₉−1₄)∙ 1 −2₃∙𝑖∙ 3 2 +𝐶𝑆+𝑥 𝑈2() = 1 2∙ 𝐶_𝑊0∙cos(𝐶𝑡−(−2)₃ ∙𝑖∙ 3 2) √−2 3∙𝑖∙ 3 2 ∙ 𝑒−23∙𝑖∙ 3 2_+𝐶_𝑆+𝑥 𝑈1𝐵() = 𝐶1∙ 𝐴𝑖() + 𝐶2∙ 𝐵𝑖() + (𝐼𝑚(𝐴𝑖()) + 𝐼𝑚(𝐵𝑖())) ∙ 𝑖 𝑈2𝐵() = 𝐶1∙ 𝐽𝑛( 1 3, 2 3∙ 𝑖 ∙ 3 2) + 𝐶₂∙ 𝑌_𝑛(1 3, 2 3∙ 𝑖 ∙ 32) Şekil 2. ν =1 3, m = 1 3, n = m

2.3. Modifiye Bessel denkleminin genişletilmiş şekline dönüştürülmesi ve onun özel hali olarak Airy denklemi

t2_∙d2X(t) dt2 + t ∙ dX(t) dt + (t 2_{− ν}2_{) ∙ X(t) = 0} yerine t = −𝑖 ∙ t ,burada t = √−1 → 𝚤2_{= −1} (−𝑖)2_{∙ t}2_∙ 𝑑 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 (−𝑖)2_∙𝑑𝑡+ (−𝑖) ∙ t ∙ dX(t) (−𝑖)∙dt+ ((−𝑖)2_{∙ t}2_{− ν}2_{) ∙ X(t) = 0} t2_∙d2X(t) dt2 + t ∙ dX(t) dt − (t 2_{+ ν}2_{) ∙ X(t) = 0 (11)} Modifiye Bessel denklemi benzeri bir şekilde dönüştürmelerini yaparsak X(t) =α∙ U(); t = γ ∙β 1 β2∙ 2_∙d2_U(_₎ d2 + [ 2∙α−β+1+β β2 ] ∙∙ dU() d + [γ2_∙_2∙β_{+ ν}2₋α∙(α−β) β2 − α β] ∙ U() = 0 1 β2∙ 2 ∙d2U() d2 + [ 2∙α+1 β2 ] ∙∙ dU() d + [γ 2_∙_2∙β + ν2₋α2 β2] ∙ U() = 0 2 ∙𝑑2_𝑑𝑈(_2)+ (2 ∙ 𝛼 + 1)⏟ 𝑏 ∙∙𝑑𝑈(_𝑑_)− [𝛾_⏟2_{∙ 𝛽}2 𝜔02 ∙ 2∙𝛽⏞ 𝑚 + 𝛽2_{∙ ν}2_{− 𝛼}2 ⏟ 𝑘2 ] ∙ 𝑈() = 0 2_∙𝑑2_𝑈(_₎ 𝑑2 + 𝑏 ∙∙ 𝑑𝑈() 𝑑 − [𝜔0 2_∙_𝑚_{+ 𝑘}2_{] ∙ 𝑈(}__{) =} 0 yine 𝑏 = 0 ; 𝑘2_{= 0; 𝜔} 0 2_{= 1 ; 𝑚 = 3} 𝑑2_𝑈(_₎ 𝑑2 −∙ 𝑈() = 0 ama 𝛼 = −1 2 ; ν = 1 3; 𝛽 = 3 2 ; 𝛾 = 2 3 (12) Kontrol edildiğinde: 𝑋(𝑡) =−12∙ 𝑈(); 𝑡 =2 3∙ 3 2→= (3 2∙ 𝑡) 2 3 ; 𝑈() =12∙ 𝑋(𝑡) = (3 2∙ 𝑡) 1 3 ∙ 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑= 𝛾 ∙ 𝛽 ∙ 𝛽−1 →𝑑𝑡_𝑑_= (2₃∙3₂) ∙ (3₂∙ 𝑡) 2 3∙( 3 2−1) ;𝑑𝑡 𝑑= ( 3 2∙ 𝑡) 1 3 𝑑𝑈() 𝑑 = 𝑑𝑈() 𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝑡 𝑑= 𝑑[(3₂∙𝑡) 1 3 ∙𝑋(𝑡)] 𝑑𝑡 ∙ ( 3 2∙ 𝑡) 1 3 = (3 2) 1 3 ∙ (3 2) 1 3 ∙ 𝑡13∙ [1 3∙ 𝑡 1 3−1∙ 𝑋(𝑡) + 𝑡 1 3∙𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 ] = 1 3∙ ( 3 2) 2 3 ∙ 𝑡 1 3−1∙ 𝑋(𝑡) + (3 2) 2 3 ∙ 𝑡 2 3∙𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑑𝑈()_𝑑 𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝑡 𝑑= ( 3 2) 1 3 ∙ 𝑡 1 3∙ 𝑑[1₃∙(3₂) 2 3 ∙𝑡− 1 3_{∙𝑋(𝑡)+(}3 2) 2 3 ∙𝑡 2 3_∙𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 ] 𝑑𝑡 = (3 2) 1 3 ∙ 𝑡 1 3∙ [1 3∙ (− 1 3) ∙ ( 3 2) 2 3 ∙ 𝑡− 1 3−1∙ 𝑋(𝑡) +1 3∙ ( 3 2) 2 3 ∙ 𝑡−13∙𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 + ( 3 2) 2 3 ∙ (2 3) ∙ 𝑡 2 3−1∙𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 + ( 3 2) 2 3 ∙ 𝑡23∙ 𝑑2_𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 ] 𝑑2_𝑈(_₎ 𝑑2 = − 1 6∙ 𝑡 −1_{∙ 𝑋(𝑡) +}1 2∙ 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 + 3 2∙ 𝑡 ∙ 𝑑2_𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 ∙ 𝑈() = (3 2) 2 3 ∙ 𝑡 2 3∙ (3 2) 1 3 ∙ 𝑡 1 3∙ 𝑋(𝑡) 3 2∙ 𝑡 ∙ 𝑑2_𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 + 3 2∙ 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 − 1 6∙ 𝑡 −1_{∙ 𝑋(𝑡) −}3 2∙ 𝑡 ∙

(5)

𝑡2_∙𝑑2𝑋(𝑡) 𝑑𝑡2 + 𝑡 ∙ 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 − (𝑡 2₊ 1 9 ⏟ ν2 ) ∙ 𝑋(𝑡) = 0 değiştirmeleri ile 𝑡 = −𝑖 ∙ 𝑡 → 𝑡 −𝑖= 𝑡 → 𝑖∙𝑡 −𝑖2= 𝑖 ∙ 𝑡 (𝑖 ∙ 𝑡)2_∙𝑑( 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑(𝑖∙𝑡)) 𝑑(𝑖∙𝑡) + (𝑖 ∙ 𝑡) ∙ 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑(𝑖∙𝑡)− ((𝑖 ∙ 𝑡) 2₊1 9) ∙ 𝑋(𝑡) = 0 𝑖2_{∙ 𝑡}2_∙𝑑( 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 ) 𝑖2_∙𝑑𝑡 + 𝑖 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝑋(𝑡) 𝑖∙𝑑𝑡 − (𝑖 2_{∙ 𝑡}2₊1 9) ∙ 𝑋(𝑡) = 0 𝑡2_∙𝑑( 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡 + 𝑡 ∙ 𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 + (∙ 𝑡 2₋ 1 9 ⏟ ν2 ) ∙ 𝑋(𝑡) = 0; 𝑖2_{= −1}

Normal Bessel denklemine gelinmektedir.

(S(t) + x(t))_1,2= ∫ 𝑒⏞ ∙ 𝑑𝑡 + 𝐶𝑊(𝑡)1,2 𝑆+𝑥 𝑒𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑡)1,2 𝑍(𝑡) = 𝐶𝑊0∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡− 𝑡) ∙ 𝑒 (𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡))_1,2 𝑒𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑡)1₌𝑐(𝑡) 𝑎(𝑡)= − 1 9− 1 4 𝑡2 1 ; 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑡)2_{= 1} 2.3.1. Bulgular (𝑆(𝑡) + 𝑥(𝑡))₁= − ∫ 1 9− 1 4 𝑡2 ∙ 𝑑𝑡 + 𝐶𝑆+𝑥= ( 1 9− 1 4) ∙ 1 𝑡+ 𝐶𝑆+𝑥 (13) (𝑆(𝑡) + 𝑥(𝑡))₂= ∫ 1 ∙ 𝑑𝑡 + 𝐶𝑆+𝑥= 𝑡 + 𝐶𝑆+𝑥 𝑋1(𝑡) = 𝐶𝑊0∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡− 𝑡) √𝑡 ∙ 𝑒 (𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡))₁_; 𝑋2(𝑡) = 𝐶_𝑊0∙𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡−𝑡) √𝑡 ∙ 𝑒 (𝑆(𝑡)+𝑥(𝑡))₂ 𝑋𝐵(𝑡) = 𝐶1∙ 𝐽𝑛(𝑚, 𝑡) + 𝐶2∙ 𝑌𝑛(𝑚, 𝑡)

Burada 𝐶1, 𝐶2−sabitler ve∙

𝐽𝑛(𝑚, 𝑡), 𝑌𝑛(𝑚, 𝑡) −Besselin özel fonksiyonları

6.

Bessel denkleminin genel çözümleri.

Şekil 3. ν =1 3, m = 1 3, n = m 𝑈1(t) = ( 3 2∙ 𝑡) 1 3 ∙𝐶𝑊0∙cos (𝐶𝑡−𝑡) √𝑡 ∙ 𝑒 ∫ 𝑒𝑊1(𝑡)_{𝑑𝑡+𝐶}_𝑆+𝑥 𝑈2(t) = (3₂∙ 𝑡) 1 3 ∙𝐶𝑊0∙cos (𝐶𝑡−𝑡) √𝑡 ∙ 𝑒 ∫ 𝑒𝑊2(𝑡)_{𝑑𝑡+𝐶}_𝑆+𝑥 yerine koyarak 𝑡 =2 3∙ 𝑖 ∙ 3 2 Airy denkleminin çözümü bulunmaktadir. 𝑈1() = [3₂∙ (2₃∙ √−1 ∙ 3 2)] 1 3 ∙𝐶𝑊0∙𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡− 2 3∙√−1∙ 3 2) √2 3∙√−1∙ 3 2 ∙ 𝑒 5 36∙ 1 √2 3∙√−1∙ 3 2 +𝐶𝑆+𝑥 𝑈2() = [ 3 2∙ ( 2 3∙ √−1 ∙ 3 2)] 1 3 ∙𝐶𝑊0∙𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑡− 2 3∙√−1∙ 3 2) √2 3∙√−1∙ 3 2 ∙ 𝑒 2 3∙√−1∙ 3 2+𝐶𝑆+𝑥 𝑈𝐵() = 𝐶1∙ 𝐴𝑖() + 𝐵𝑖() + (𝐼𝑚(𝐴𝑖()) + 𝐼𝑚(𝐵𝑖())) ∙ 𝑖 Şekil 4. ν =1 3, m = 1 3, n = m

(6)

3. Tartışma ve Sonuç. Riccati denklemlerinin çözümünün integralı 1-3 olduğuna rağmen Bessel ve Airy denklemlerinin çözümleri ile Bessel ve Airy fonksiyonları yardımı ile kurulmuş çözümlerinin yakınsaklığı Mathcad 14

6 grafiklerinde gösterilmektedir. Onların analizi de iyi bir sonuç alındığından söz etmektedir. Bundan sonraki çalışmalarda yöntemin uygulanmasının çeşitli varyasyonları incelenecektir.

Teşekkür

Yeni metodun kurulmasını destekleyen ve tecrübeleri ile paylaşan kıymetli hocalarıma:

Prof.Dr. Ömer Akın (Türkye),Prof.Dr.Samandar İskandarov(Kırgızistan),Prof.Dr.Asan

Ömüraliev(Kırgızistan) ve diğer Rusya Federasyonu uzmanlarına çok teşekkür ediyorum.

Kaynakça

[1] İsaev, A.D., 2017. Riccati denklemi ve Almaz Beyin yöntemi, İzvestya vuzov Kırgızstana, Bişkek, Cilt 6, s. 15-22.

[2] İsaev, A.D., 2017. Lineer Olmayan Diferansyel denklemler, Kırgızistanda bilim,yeni teknoloji ve inovasyon,Bişkek, Cilt 7, s. 10-19.

[3] İsaev, A.D., 2017. Bessel ve Abel I-II Lineer Olmayan Diferansyel denklemler, Kırgızistanda bilim,yeni teknoloji ve inovasyon,Bişkek, Cilt 10, s. 11-21. [4] Dvayt, G.B., 1973. İntegraller çizelgesi, Bilim,

Moskova, s. 150-160.

[5] Kamke, K., 1971. Adi Diferansyel denklemler kıllavuzu, Bilim, Moskova, s. 576.

[6] Kudryavtchev, E.M., 2005, Mathcad 11 çalışma kılavuzu (rus versyonu), DMK-yayın, Moskova, s. 591.