MATRİS 1

Ödevin Konusu : Matrisler

Yararlanılan Kaynaklar : Tümay Set 5

Öysm Çözümlü Soru Bankası

MATRİSLER

• Tanım:

a11 a12 …a1n A= a21 a22 …a2n ………. am1 am2… amn

Biçiminde bir cismin

elemanlarının sıralı bir tablosuna mxn türünde bir matris denir.m sayısına matrisin satır sayısı n sayısına ise matrisin sütun sayısı denir.m satırlı ve n sütunlu bir matrise mxn boyutlu ya da mxn türünde bir matris adı verilir.

a) 3 4 A = 2 0 5 6

Yukarıdaki matriste 3 satır ve 2 sütun olduğundan A matrisi 3x2 türünden bir matristir.

b) 2 1x1 , 3,4,7 1x3 , 0, -5 1x2

c) 6 1x1 , 2 2x1 , 0

7 0 -3 3x1

birer sütun matrisidir.

ÖRNEK:

A = a_{ij 3x2}

matrisi a

_ij

= (-1)

i+j

_{.ij biçiminde tanımlanıyor.A matrisini}

bulunuz.

ÇÖZÜM: a₁₁ a₁₂ A = a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂ a₁₁ =(-1)1+1_{1.1=1 a} 12 =(-1)1+2.1.2 = -2 a₂₁ =(-1)2+1_{.2.1=-2 a} 22 =(-1)2+2.2.2 = 4 A₃₁ =(-1)3+1_{.3.1=3 a} 32 =(-1)3+2.3.2 = -6 1 -2 A = -2 4 _3x2 3 -6 KARE MATRİS:

Satır ve sütun sayıları eşit olan matrise kare matris denir.Örneğin,

3 4 matrisi 2x2 türünde bir matristir. 5 6

SIFIR MATRİSİ:

Tüm elemanları 0 olan matristir.

MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ:

A= a_{ij mxn} ve B = b_{ij mxn} olsun.

İ ve j nin her değeri için aij = bij oluyorsa A ile B matrisleri eşittir . Yani ; a_ij = b_ij A=B’ dir.

ÖRNEK:

2x+1 6 = 9 6 olması için x+y+z=? y-2 7 3 3z -2

2x+1= 9 x=4

y-2 =3 y=5 x+y+z =12 bulunur. 3z- 2=7 z=3

BİR MATRİSİN BİR SAYI İLE ÇARPIMI:

Bir matrisi bir sayı ile çarpmak demek onun her elemanını o sayı ile çarpmak demektir.

A = 3 4 -2 matrisi için 3a, a/2 matrislerini bulnuz. 6 0 8

3A = 3 3 4 -2 = 9 12 -6 6 0 -8 18 0 -24 A/2 = ½ 3 4 -2 = 3/2 2 -1 6 0 -8 3 0 -4

MATRİSLERİN TOPLAMI:

A ve B aynı türden olan iki matris olsun.A +B , Aile B’ nin karşılıklı elemanları toplanarak elde edilen matristir.

A –B = A+(-B)’ dir. ÖRNEK:

3 4 2 -1

A= 1 -2 ve B = 0 4 ve A+2B ve A-B matrislerini bulnuz. 0 5 5 2

ÇÖZÜM:

3 4 2 -1 3 4 4 -2 7 2 A+ 2B = 1 -2 +2 0 4 = 1 -2 + 0 8 = 1 6 0 5 5 2 0 5 10 4 10 9

3 4 2 -1 3 4 -2 1 1 5 A - B = 1 -2 - 0 4 = 1 -2 + 0 -4 = 1 -6 0 5 5 2 0 5 5 -2 -5 3

MATRİSLERİN ÇARPIMI:

A matrisi mxn türünde ; B matrisi nxp türünde olsun.A.B matrisi mxp türünde bir matristir.c_{ij ,} A.B’ nin bir elemanı ise, bu eleman A’nın i. satır vektörü ile B ‘ nin j. sütun vektörünün skaler çarpımına eşittir.

UYARI:

A ve B matrisleri verilsin.A.B çarpımının yapılabilmesi için A’nın sütun sayısı B’ nin satır sayısına eşit olması gerekir.Buna göre;

A _mxn .B _nxp = c _mxp olur.

ÖRNEK: 3 1

A = 1 2 0 ve B = 4 2 ise A.B matrisini bulunuz. 3 4 -2 -2 3

1 2 0 3 1 a . 3 4 -2 . 4 2 = . . -2 3

a =1.3 + 2.4 + 0. (-2) = 11 1 2 0 3 1 . b 3 4 -2 . 4 2 = . . -2 3 b = 1.1 + 2.2 + 3.0 = 1+4 = 5 1 2 0 3 1 . . 3 4 -2 . 4 2 = c . -2 3 c = 3.3+ 4.4+ (-2).(-2) =9 +16+4 = 29 1 2 0 3 1 . . 3 4 -2 . 4 2 = . d -2 3 d = 3.1+ 4.2+ (-2).3 = 3+8-6 =5 A.B = a b = 11 5 c d 29 5

ÖRNEK:

A = 2 -4 ise A.A = A2 matrisini bulunuz.

3 -1 ÇÖZÜM : A2 _{= A.A = 2 -4 . 2 -4 2.2 -4.3 2 (-4) + (-4). (-1)} 3 -1 3 -1 3.2 + (-1)3 3 .(-4) +(-1).(-1) 4 -12 -8 +4 = -8 -4 6 -3 -12 +1 3 -11

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:

A , B ve C matrislerinin birbirleriyle çarpımları tanımlı ve kЄR olsun. 1) (kA).B = A.(kB) =k.(A.B)

2) (A+B).C =A.C + B.C 3) C.(A+B) = C.A + C.B 4) A.(B.C) = (AB) .C 1 0 …. 0 5) nxn türündeki In = 0 1 …. 0 0 0 …. 1

(Köşegen üzerindeki elemanları 1, diğerleri 0 ‘dır.) matrisi nxn türündeki matrislerde çarpma işleminin birim elemanıdır.

Yani A_nxn I_nxn = I_nxn A _nxn = A _nxn’dir. ÖRNEK :

A= -1 3 ise; A50 _{matrisini bulunuz.}

0 1 A2 = -1 3 . -1 3 = 1 0 = I 2X2 0 1 0 1 0 1 A50 =(A2 )25 = (I 2X2)25 = 1 0 olur. 0 1 ÖRNEK:

A= -2 3 ise A37 matrisini bulunuz.

-1 2

A2 _{= A.A = -2 3 . -2 3 = 1 0 = I} 2X2

A37 = (A2)18.A = ( I

2X2)18.A = I 2X2.A = A = -2 3

-1 2 ÖRNEK:

A = 1 2 ise A30 _{matrisini bulunuz.}

0 1 A2 _{= 1 2 . 1 2 = 1 4 = 1 2.2} 0 1 0 1 0 1 0 1 A3 = 1 4 . 1 2 = 1 6 = 1 2.3 0 1 0 1 0 1 0 1 A4 _{= 1 6 . 1 2 = 1 8 = 1 2.4} 0 1 0 1 0 1 0 1 A30 = 1 2.30 = 1 60 bulunur. 0 1 0 1

BİR MATRİSİN DEVRİĞİ ( TRANSPOZU )

A = aij mxn matrisinin aynı indisli satırlarıyla sütunlarının yer değiştirmesiyle oluşturulan aji nxm

matrisine A matrisinin devriği denir ve AT ile ya da AD ile gösterilir.

Örnek: 5 7

A = 0 -8 ise AT = 5 0 3

3 4 7 -8 4 ÖZELLİKLERİ:

1. A ve B mxn türünde iki matris ise (A+B)T = AT + BT

2. A bir matris kЄR ise (kA)T = k AT

3. A, mxn türünde, B nxp türünde iki matris ise (A.B)T = BT.AT 4. (AT)T = A’ dır ÖRNEK: A = 2 3 -1 A. AT matrisini bulunuz. 4 0 5 ÇÖZÜM:

2 4 AT _{= 3 0 ‘dir.} -1 5 2 3 -1 2 4 A.AT = 4 0 5 3 0 -1 5 4+9+1 8+0-5 = 14 3 8+0-5 16+0+25 3 41 ÖRNEK:

A ve B iki matris olmak üzere A = B + B T _{ise A}T _{matrisi nedir?}

DETERMİNANTLAR:

TANIM :

A bir kare matris olsun. A’nın determinantı deta ya da A ile gösterilir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.

i. A = a11 1x1 şeklinde bir matris ise;

A = a11 = a11

ii. A = a11 a12 şeklindebir matris ise;

a21 a22 2x2 A = a11.a22- a12. a21

iii. A, nxn türünde bir matris olsun.A’nın i. Satırı ve j. Sütunu silinerek elde edilen matrisi Mij ile gösterelim. mij determinantına aij elemanının minörü, Aij = (-1) i+j Mij ‘ye aij’ nin eş çarpanı (kofaktörü) denir.

Bir determinantın değeri herhangi bir satır (veya sütun) elemanları ile o satırdaki (veya sütundaki) elemanların kofaktörleri çarpımının toplamına eşittir.

A = A11a11+A12a12+…+a1nA1n (1. satıra göre açılımı) A = A21a21 + A22a22+…+a2nA2n (2. satıra göre açılımı)

iv. türündeki reel matrisler kümesinden R ye, A D(A)= A şeklinde tanımlanan D fonksiyonuna determinant fonksiyonu denir.

Örnek: 5 =? -2 =? 4 2 =? -3 4 =? 7 8 5 -8 5 = 5 -2 = -2 4.8-2.7=32-14=18 -3.-8 – 4.5 = 24-20=4 ÖRNEK: x-2 3 = 8 denklemini çözünüz. x 5 ÇÖZÜM: x-2 3 = 8 5(x-2)-3x = 8 x 5 5x-10-3x = 8 2x = 18 x=9 ÖRNEK:

5678 5679 matrisinin determinantının değeri nedir? 5676 5677

A=5678 olsun.

5678 5679 = a+2 a+3 5676 5677 a a+1 (a+1)(a+2)-a(a+3)

A2_+3a+2-a2_{-3a = 2 bulunur.}

A = 5 7 -8 matrisinin a₂₂ elemanı ile a₁₃ elemanının minörlerini yazınız. 2 0 4

6 9 3 ÇÖZÜM:

A matrisinin 2. satır ve 2. sütun elemanlarının atılması ile elde edilen matrisin determinantı a₂₂minörüdür. Buna göre 5 7 -8

2 0 4 6 9 3 M₂₂ = 5 -8 = 5.3 -6 (-8) = 63

Aynı şekilde 5 7 -8 M₁₃ = 2 0 2.9 – 6.0 = 18 2 0 4 6 9 6 9 3 =2.9-6.0 = 18 bulunur. ÖRNEK: 3 2 4

A = -5 3 -2 matrisinin a₃₂ elemanına ait kofaktör (eş çarpan) nedir? 4 -3 5 ÇÖZÜM: 3 2 4 A₃₂ = (-1)3+2 _M 32 = - 3 4 -5 3 -2 -5 -2 4 -3 5 = - (-6+20) = -14 SARRUS KURALI:

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 matrisinin determinantı alt tarafa ilk iki satır yazılarak a31 a32 a33

ya da sağ tarafa ilk iki sütun yazılarak aşağıda gösterildigi şekilde hesaplanabilir. a11 a12 a13

a21 a22 a23 - a31 a32 a33 + - a11 a12 a13+ - a21 a22 a23+

A = (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃) -(a₁₃a₂₂a₃₁+a₂₃a₃₂a₁₁+a₃₃a₁₂a₂₁) a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₂₂ - a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ + - + - + A = (a₁₁ a₂₂ a₃₃ +a₁₂ a₂₃ a₃₁+a₁₃ a₂₁ a₃₂) -(a₁₃ a₂₂ a₃₁ +a₁₁ a₂₃ a₃₂ +a₁₂ a₂₁ a₃₃)

NOT :Sarrus kuralı yalnız 3x3 türündeki matrislerin determinantları hesaplanırken kullanılır.

ÖRNEK: 3 2 5

A = 0 -4 1 matrisinin determinantını bulunuz. 2 3 4 ÇÖZÜM: 3 2 5 0 -4 1 - 2 3 4 + - 3 2 5 + - 0 -4 1 + A = 3(-4).4 + 0.3.5 +2.2.1 - 5 (-4).2 + 1.3.3+4.2.0 = (-48+4) – (-40+ 9) = -44 + 31 = -13 bulunur.

DETERMİNATIN ÖZELLİKLERİ:

1. Bir determinantın bir satırındaki ya da bir sütunundaki terimlerin türü 0 ise determinantın değeri 0 dır.

4 3 7 3 0 2

0 0 0 = 0, 1 0 -7 = 0 5 2 8 3 0 5

2. Bir determinantın iki satırındaki ya da iki sütunundaki terimler orantılı ise determinantın değeri 0 dır.Örneğin,

2 3 4

0 1 -2 determinantında 1. satır ile 4 6 8

3. satır ( 2/4= 3/6=4/8=1/2) orantılı olduğundan determinant 0 a eşittir. 3. Bir determinantın bir köşegeninin üstündeki ya da altındaki tüm

elemanlar 0 ise determinant köşegen üzerindekielemanların çarpımına ya da çarpımın ters işaretlisine eşittir.Örneğin ,

3 4 2 3 0 0 0 3 1 = 4 3 0 = 3.3.5 =45 0 0 5 2 1 5 2 1 3 2 4 1 4 2 0 = 1 2 0 = -( 3.2.1) = -6 1 0 0 3 0 0

4. Bir determinantın iki satırı ya ada iki sütunu yer değiştirirse determinant işaret değiştirir.Örneğin,

a₁ a₂ a₃ a₂ a₁ a₃

b₁ b₂ b₃ = - b₂ b₁ b₃ ‘tür. c₁ c₂ c₃ c₂ c₁ c₃

5. Bir determinantın bir satırı ya da sütunu bir k sayısı ile çarpılırsa determinant k ile çarpılmış olur.

a₁ a₂ a₃ ka₁ ka₂ ka₃

b₁ b₂ b₃ = m ise b₁ b₂ b₃ = km olur. c₁ c₂ c₃ c₁ c₂ c₃

SONUÇ: A, nxn türünde bir matris ve k R ise kA = kn _A

6.Bir determinantın herhangi bir satırı ( veya sütunu) bir sayı ile çarpılıp diğer bir satıra (veya sütuna ) karşılıklı olarak eklenirse determinantın değeri

değişmez.Örneğin,

Örneğin,

a₁ a₂ a₃ a₁+kb₁ a₂+kb₂ a₃+kb₃ b₁ b₂ b₃ = b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ c₃ c₁ c₂ c₃ 7.A ve B nxn türünde iki matris ise A.B = A . B ve An _{= A} n

8. A = AT _‘dir.

9. Bir determinanta bir satırın elemanları başka bir satırın elemanlarının eş

çarpanları ile karşılıklı olarak çarpılır ve toplanırsa bu toplam 0 olur.(aynı özellik sütun için de doğrudur.) Örneğin,

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 10. A= a₂₂ a₂₂ a₂₃ ise a₁₁A₃₁ +a₁₂A₃₂ +a₁₃A₃₃ = 0 dır. a₃₃ a₃₂ a₃₃ a₁+x b₁+y c₁+z a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃ a₁ b₁ c₁ x y z a₂ b₂ c₂ + a₂ b₂ c₂ dır. a₃ b₃ c₃ a₃ b₃ c₃

(aynı özellik sütünlar içinde geçerlidir.)

ÖRNEK:

2 1 0 4 2 0

3 1 -2 = A ise 6 2 -4 determinantının değeri kaçtır. 5 4 -1 10 8 -2

ÇÖZÜM:

Bir determinantın bir satırı 2 ile çarpılırsa determinant 2 ile çarpılmış olur. Bu determinantın her satırı 2 ile çarpıldığına göre determinant 2.2.2 = 8 ile

çarpılmış olur. ÖRNEK:

A = 2 5 olduğuna göre A4 _{matrisinin determinantı kaçtır.}

3 7 ÇÖZÜM:

A = 2 5 = 14 -15 = -1 3 7

EK ( ADJOİNT) MATRİS:

Karesel A matrisinin a_ij terimlerinin yerine A_ij eş çarpanlarının yazılmasıyla oluşan A_ij matrisinin devriğine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek (A) ile gösterililr.

ÖRNEK:

3 4 2

A = 0 5 -1 matrisinin ek matrisini bulunuz. 2 3 7 ÇÖZÜM: A₁₁ = (-1)1+1 _{5 -1 = 35+3 = 38} 3 7 A₁₂ = (-1)1+2 _{0 -1 = - (0+2) = -2} 2 7 A₁₃ = (-1)1+3 _{0 5 = 0 -10 =-10} 2 3 A₂₁ = (-1)2+1 4 2 = -(28 -6) = -22 3 7

A₂₂ = (-1)2+2 _{3 2 = 21 -4 = 17} 2 7 A₂₃ = (-1)2+3 _{3 4 = -(9-8) = -1} 2 3 A₃₁ = (-1)3+1 _{4 2 =-4 -10 =-14} 5 -1 A₃₂ = (-1)3+2 3 2 = -(-3-0) = 3 0 -1 A₃₃ =(-1)3+3 3 4 = 15- 0 = 15 0 5 A₁₁ A₁₂ A₁₃ 38 -2 -10 Ek(A)= A₂₁ A₂₂ A₂₃ = -22 17 -1 A₃₁ A₃₂ A₃₃ -14 3 15 38 -22 -14 = -2 17 3 olur. -10 -1 15

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ:

mxn türünden bir matris A olsun. A.B=B.A = I_n koşulunu sağlayan nxn türünde bir B matris varsa , B matrisine A nın çarpma işlemine göre tersi denir ve B = A-1 _{ile gösterilir. A .A}-1 _{= A}-1_{.A = I dır.} ÖZELLİKLER: 1. A ≠ 0 ise A-1= 1/ A Ek (A) 2. A (EkA) =(EkA). A = A I_n 3. A-1 _{= 1/ A} 4. (A-1₎ -1 _{= A} 5. (AT₎ -1 _{= (A} -1 ₎T 6. (AB) -1_{= B}-1_.A-1 NOT :

1. Bir A kare matrisini tersinin olabilmesi için A ≠ 0 olmalıdır . 2. Bir A kare matrisinin tersi (varsa ) tektir.

3. A kare matris ve A ≠ 0 ise A matrisine regular (tekli olmayan ) matris denir. A = 0 ise A matrisine singuler (tekil ) matris denir.

ÖRNEK:

A= 2 3 matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulunuz. -1 -2

ÇÖZÜM:

A-1 = a b olsun. A.A -1 = I olması gerekir.

c d 2 3 . a b = 1 0 -1 -2 c d 0 1 ise 2a+3c 2b+3d = 1 0 -a-2c -b-2d 0 1 İse 2a+3c =1 2b+3d =0 -a-2c = 0 -b -2d =1 2a+3c= 1 2b+3d =0 + -2a-4c=0 + -2b-4d =2 -c=1 , c=-1 , a=2 -d=2 , d=-2, b= 3 A-1 _{= 2 3} -1 -2

BİR MATRİSİN RANKI:

A, mxn tüünde bir matris olsun.A nın determinantları sıfırdan farklı olan kare

matrislerden en büyük mertebeli olanın mertebesine , A nın rankı denir ve rank A ile gösterilir.

ÖRNEK: 3 4

A = 5 6 matrisinin 2x2 türündeki bütün kare alt matrislerini yazınız. 0 2 ÇÖZÜM: 3 4 3 4 5 6 5 6 0 2 0 2 ÖRNEK: 3 4

2 0 matrisinin rankını bulunuz. 5 -2

A matrisi 3x2 türünden olduğundan A nın karesel alt matrisleri en çok 2x2 türünden olabilir.Bu nedenle rank(A) en fazla 2 olabilir.2x2 boyutlu 3 4 2 0 Alt matrisinin determinantı 3 4 = 0 -8 =-8 ≠0 olduğundan rank(A)= 2 dir. 2 0

LİNEER DENKLEM SİSTAMLERİ:

Bilimeyen x₁, x₂, …x_n ve katsayıları gerçel sayılar olan , a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…a_1nx_n = b1

A₂₁x₁ + a₂₂x₂ +…a_20nx_n = b₂ ……….

a_m1x₁ + a_m2x₂ +…a_mnx_n =b_m

Denklemlerinden oluşşan sisteme n bilinmeyen lineer denklem sistemi denir.Matrislerde çarpma işleminin tanımından ,

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ a₂₁ a₂₂ ... a_2n x = x₂ a_m1 a_m2 … a_mn x_n

b1

B= b2 olmak üzere bm

Yukarıdaki sistem A.X = B şeklinde yazılabilir.Burada A ya katsayılar matrisi denir.

m = n ise A bir kare matris olur..Bu durumda A -1 _varsa,

AX = B ise A -1_{.(A.X) =A} -1._B

ise (A -1)X =A -1.B

ise I_n.X = A-1_.B

ise X=A -1_{.B bulunur.}

ÖRNEK:

3x+2y-z = 5 denklem sistemini matrisler yardımıyla çözünüz. X-3y+2z = 6

ÇÖZÜM: x Katsayılar matrisi A = 3 2 -1 bilinmeyeler matrisi X = y 1 -3 2 z

Ve sabit terimler matrisi B = 5 olsun.Buna göre verilen sistemler A.X=B ya 6 da 3 2 -1 x 5 1 -3 2 . y = 6 z Biçiminde yazılır. GRAMER KURALI:

Bilinmeyen sayısı ile denklem sayısısnın eşit olduğu lineer denklem sistemlerinin pratik çözümlerini veren gramer kuralını inceleyelim. a11 a12 .. A1n

a21 a22 …a2n dir. an1 an2 …ann

1. ∆ ≠ 0 ise tek çözüm vardır.

x₁ = ∆₁ / x₂ = ∆₂ / ∆ , … X_n = ∆_n / ∆ dır.

2. ∆ = 0 ve ∆₁, ∆₂,…= ∆_n lerden en az biri sıfırdan farklı ise sistemin çözümü yoktur.

3. ∆ = ∆₁ = ∆₂ … = ∆_n = 0 ise sistemi sonsuz çözümü vardır. ÖRNEK:

3x-2y = 5 sisteminin çözümünü bulunuz. 2x +5y = 1 ÇÖZÜM: ∆ = 3 -2 = 15 - (-4) =19 2 5 ∆

∆1 = 5 -2 = 25 – (-4) =19 1 5

∆2 = 3 5 = 3-10 = -7 2 1