C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi
Fen Bilimleri Dergisi (2006)Cilt 27 Sayı 2
Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler
R. Kh. Amirov, B. Keskin, A. S. Özkan
Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü/ SİVAS
Received: 07.03.2007, Accepted: 05.04.2007
Özet: Bu çalışmada sınır koşulunda spektral parametreyi içeren impulsive Sturm-Liouville sınır değer
probleminin spektral karakteristikleri incelenmiş ve ters problem için teklik teoremi verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Ters problem, spektrum, diferansiyel ifade.
Direct and Inverse Problems for Impulsive Sturm-Liouville Boundary Value Problem with Spectral Parameter
Contained in Boundary Condition
Abstract: In this study, the spectral characteristics of impulsive Sturm-Liouville boundary value problem with
spectral parameter contained in boundary condition are investigated and uniqueness theorem for inverse problem is given.
Key words: Inverse problem, spectrum, differential expression.
1. Giriş
Aşağıdaki sınır değer problemini göz önüne alalım:
( )
2 2 " ( ) , , ( ) 0, y q x y λy λ k q x L π − + = = ∈ (1)( )
( )
( )
' 0 0 sin y ka = (2)1 ( 0) ( 0) '( 0) '( 0), 0 2 y d y d y d y d a d α π α− + = − + = − ≤ ≤ ≤ (3)
(1) diferansiyel denkleminin (2) sınır koşullarını sağlayan çözümlerinin aranması problemi [12]-[13] çalışmalarında da gösterildiği gibi b yarıçaplı küre içerisinde kompakt supportun bir homojen olmayan medyumu için aşağıda verilen üç boyutlu ters akustik saçılma probleminin çözümünde ortaya çıkmıştır.
2 ( ) 0, ( ) exp( ( , )) ( ); lim 0 s s s r u k n x u u x ik x u x u r iku r α →∞ ∆ + = = + ∂ − = ∂
Orijinal problemin parametrelerine bağlı olan, (1)-(2) problemindeki a parametresi ve ( ) q x potansiyeli 1 2 2 0 1 2 2 2 3 0 ( ) ( ), , ( ( )) 1 ''( ) 5 ( '( )) ( ) ( ( )) 4 ( ( )) 16 ( ( )) r b b q x B q Bx a n t dt B n r n r q B n t dt n r n r ξ ξ = = = = − =
∫
∫
şeklindedir.Ayrıca daha önce sınır koşullarında spektral parametrenin lineer şekilde içerildiği durum [14]-[15] çalışmalarında incelenmiştir.
Diğer taraftan aralıkta süreksizliğe sahip sınır değer problemleri matematik, mekanik fizik ve jeofizik gibi bilim dallarında sıklıkla karşımıza çıkar. Süreksizliğe sahip olmayan diferansiyel operatörlerin ters ve düz spektral problemleri [2]-[6] çalışmalarında incelenmiştir. Süreksizliğin varlığı operatörlerin incelenmesinde temel niteliksel gelişmeler sağlamıştır. Süreksizliğe sahip sınır değer problemleri için düz ve ters problemlerin çeşitli formülasyonları [7]-[8] ve diğer çalışmalarda ele alınmıştır.
(1)-(3) problemini L ile gösterelim. q x( )=0 için (1) denkleminin
0(0, ) 1, 0 (0, )
e k = e′ k =ik başlangıç koşullarını ve (3) süreksizlik koşullarını sağlayan çözümü aşağıdaki gibidir:
(
)
0 exp , 0 ( , ) exp exp 2 , ikx x d e x k ikx ik d x d x α+ α− π < < = + − < < Burada 1 1 , 1 1 2 2 α α α α α α + = + − = − ’dır.
( )
( )
2 2 0 0 ( , ) 0, , ( , ) 0, , ( , ) ( ) 2 ( , ) 0 ( , 2 0) ( , 2 0) ( ) , 2 x t x x K x L K x L K x x q t dt K x x K x d x K x d x q t dt π π α α + − ∈ ∈ = − = − + − − − =∫
∫
(4)olmak üzere, ( )q x ≠0 olduğunda
0 0 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) x ikt e x k =e x k +
∫
K x t e dt K x t =K x t −K x −tgösteriminin varlığı R. Kh. Amirov [1] tarafından gösterilmiştir. Ayrıca bu çalışmada, 1 ( , ) ( , ) ( . ) 2 x k e x k e x k ϕ = +
(1) denkleminin ( , ) 1, '( , )ϕ o k = ϕ o k =0 başlangıç koşullarını ve (3) süreksizlik koşullarını sağlayan çözümü olmak üzere,
0 0 ( , ) ( , ) ( , ) cos x x k x k K x t ktdt ϕ =ϕ +
∫
(5)şeklinde bir gösterimin mevcut olduğu ispatlanmıştır. Burada
(
)
0 cos , 0 ( , ) cos cos 2 , kx x d x k kx k d x d x ϕ α+ α− π < < = + − < < (6) dır. 2. Spektrumun ÖzellikleriBu bölümde L probleminin spektrumu öğrenilecektir. L ile L probleminde ( )0 q x =0 olduğu durumu belirtelim.
sin
( , ) fonksiyonu (1) denkleminin ( , )x k λa, '( , ) cos a
ψ ψ π λ ψ π λ λ
λ
= = başlangıç
koşullarını sağlayan çözümü olsun.
Lemma 1: ( , ) sin ( , ) ( , ) n n n n n a x λ x ψ λ ϕ λ ϕ π λ λ
İspat:
( )
2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n x x n n x W W x x x π ψ λ λ ϕ ψ ϕ ψ ϕ λ ϕ λ = ∂ ∆ = = = ∂ ( )
2 0 ve ( , ) 0 n x n λ ϕ λ∆ = ≠ olduğundan ψ( ,x λn)=β ϕ λn ( ,x n) olur. Son eşitlikte x=π
yazılrsa ( , ) sin ( , ) ( , ) n n n n n n a λ ψ π λ β ϕ π λ ϕ π λ λ
= = elde edilir. Bu ise ispatı tamamlar.
Lemma 2: L probleminin özdeğerleri reel, ayrık ve basittir.
İspat: İlk olarak L probleminin özdeğerlerinin reel olduğunu gösterelim; Kabul edelim ki, λ
sayısı L probleminin bir özdeğeri ve ( , ) ϕ λ bu özdeğere karşılık gelen özfonksiyonu olsun.x
Bu durumda q x( )∈L2
( )
0,π olduğundan ''( , ) ( ) ( , ) ( , ) ''( , ) ( ) ( , ) ( , ) x q x x x x q x x x ϕ λ ϕ λ λϕ λ ϕ λ ϕ λ λϕ λ − + = − + =eşitlikleri sağlanır. Bu eşitlikleri sırasıyla ϕ λ( , ) ve ( , )x ϕ λ ile çarpılıp taraf tarafa çıkarılırx
ve
( )
0,π aralığında integrallenirse, 0 0 0 0 '( , ) ( , ) '( , ) ( , ) '( , ) ( , ) '( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) d d x x x x x x x x x x dx π π ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ λ λ ϕ λ ϕ λ − + − + − = −∫
elde edilir. ( ,ϕ λx n)ϕ λ fonksiyonları L probleminin özfonksiyonları olduğundan, (2)( ,x n) sınır koşulu ve (3) süreksizlik koşulunu sağlarlar. Buradan
0
0 ( ) ( , ) ( , )x x dx
π
λ λ ϕ λ ϕ λ
= −
∫
eşitliği elde edilir. ( ,ϕ λx n)≠0 olduğundan ,λ λ= olur.
L probleminin karakteristik fonksiyonu ∆( )k tam fonksiyon olduğundan ∆( )k ’nın sıfırları ayrıktır. Bu ise özdeğerlerin ayrık olması sonucunu verir.
Şimdi, özdeğerlerin basit olduğunu gösterelim. ''( , ) ( ) ( , ) ( , ) ''( , n) ( ) ( , n) n ( , n) x q x x x x q x x x ψ λ ψ λ λψ λ ϕ λ ϕ λ λ ϕ λ − + = − + =
eşitlikleri sırasıyla ϕ λ( ,x n) ve ( , )ψ x λ ile çarpılıp taraf tarafa çıkarılır ve
( )
0,π aralığında integrallenirse,[
]
0[
]
0 0 0 '( , ) ( , ) '( , ) ( , ) '( , ) ( , ) '( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) d n n n n d n n x x x x x x x x x x dx π π ϕ λ ψ λ ψ λ ϕ λ ϕ λ ψ λ ψ λ ϕ λ λ λ ψ λ ϕ λ − + − + − = −∫
son eşitlikte ϕ λ fonksiyonunun L probleminin bir özfonksiyonu olduğunu göz önüne( ,x n) alırsak
0
'(0, ) ( n) ( , ) ( ,x x n)dx
π
ψ λ = λ λ ψ−
∫
λ ϕ λelde edilir. Dolayısıyla (2) den
0 ( ) ( , ) ( , ) ( n) x x n dx π λ ψ λ ϕ λ λ λ ∆ = −
∫
olur. Son eşitlikte λ→λn iken limite geçersek
. 2 0 sin ( ) ( , ) ( , ) n n n n n a x dx π λ λ ϕ λ ϕ π λ λ ∆ =
∫
eşitliğini buluruz. Buradan
.
(λn) 0
∆ ≠ olduğu açıktır. Böylece Lemma2’nin ispatı tamamlanmış olur
Teorem 3: L probleminin özdeğerleri ve özfonksiyonları için 0 0 0 n n n n n n n k k k k ζ δ λ = = + + (7)
(
)
0 0 0 0 ( , ) cos cos 2 n n n n n n n s b x k k x k d x k k ϕ =α+ +α− − + + (8)asimptotik ifadeleri geçerlidir. Burada, ζn,sn∈∞, δn,bn∈ , ayrıca2 k , n0 L probleminin0
özdeğerlerinin kareköklerini belirtmektedir ve 0
(
2 1)
,{ }
2( ) n n n n k h h a π π ∞ + = + ∈ − şeklindedir.
İspat: L probleminin karakteristik fonksiyonunu ∆
( )
k ile L problemininkini de 0 ∆0( )
k ile gösterelim. Bu durumda aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz:( ) ( )
( )
( )
(
)
(
)
0 sin , cos ' , cos cos 2 ka k k ka k k k k a k d a ϕ π ϕ π α+ π α− π ∆ = − ∆ = − + − −( )
k( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 2 0 0 2 0 0 1 ( , 2 0) sin 2 2 1 1 ( , 2 0) sin 2 ( , ) sin 2 2 1 1 ( , ) sin ( , 2 0) sin 2 2 2 1 1 ( , 2 0) sin 2 ( , ) cos 2 2 1 1 ( , ) cos ( , 2 2 d d k k K d k a d k K d k a d K k a k k K k a K d k a d k k K d k a d K t k a t dt k K t k a t dt K t π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π − − − − ∆ = ∆ + − − + − + − − − + − + − − − − + + − − − + − + + + + − +∫
∫
(
)
2 0 ) cos d k a t dt π π − + + +∫
(
)
(
)
(
)
2 0 0 2 0 2 0 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 1 ( , )sin 2 d x x d x d K t k a t dt K t k a t dt k k K t k a t dt k π π π π π π π π − − − + − + − − + − −∫
∫
∫
eşitliği bulunur. Son eşitlikte kısmi integrasyon yapılırsa,
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 1 ( , 2 0) ( , 2 0) sin 2 1 1 ( , ) sin ( , ) sin 2 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 d t d t t d d t x d k k K d K d k a d k K k a K t k a t dt k k K t k a t dt K t k a t dt k k K t k a t dt K t k a t k k π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π − − − − − + − − − + ∆ = ∆ − − − − − − + − + − − + + − − + + − − +∫
∫
∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
2 0 0 2 0 2 0 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 1 ( , )sin 2 d x x d x d dt K t k a t dt K t k a t dt k k K t k a t dt k π π π π π π π π − − − + − + − − − + − −∫
∫
∫
eşitliği elde edilir.{
}
0 0 : : , 0,1, 2,... 2 : : , 0 , 0,1, 2,... n n n G k k k n Gδ k k k n β δ δ = = + = = − ≥ > =olarak gösterelim. Burada
2
β
δ << olacak şekilde δ seçilir.
Diğer taraftan [4] den, n’in yeterince büyük değerlerinde k∈Gn için,
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Im 0 Im 2 0 0 2 0 0 2 0 lim 1 lim ( , 2 0) ( , 2 0) sin 2 1 1 ( , ) sin ( , ) sin 2 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 k k k k d t d t t d e k k e K d K d k a d k K k a K t k a t dt k k K t k a t dt K t k a t dt k k π π π π π π π π π π π π π π π π π − →∞ − →∞ − − − − − + ∆ − ∆ = − − − − − − + − + − − + + − − + +∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 0 1 1 ( , )sin ( , )sin 2 2 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 1 ( , )sin 0 2 d t x d d x x d x d K t k a t dt K t k a t dt k k K t k a t dt K t k a t dt k k K t k a t dt k π π π π π π π π π π π π π − − − + − − − + − + − − + − − − + − − = ∫
∫
∫
∫
∫
olduğundan,( )
0( )
exp Im(
)
2 C k k δ kπ ∆ − ∆ < eşitsizliğini elde ederiz.Sonuç olarak n∈ nin yeterince büyük değerlerinde k∈Gn için,
( )
0( )
exp Im(
)
exp Im(
)
0( )
2
C
k k δ k π Cδ kπ k
∆ − ∆ < < < ∆
elde edilir. Rouche teoreminden n∈ nin yeterince büyük değerlerinde G çevresininn sınırlandırdığı bölge içerisinde, ∆0
( )
k ile ∆( )
k = ∆0( )
k + ∆(
( )
k − ∆0( )
k)
fonksiyonlarının sıfırlarının sayısı katlarıyla birlikte aynıdır. Yani bu fonksiyonlar (n+1) sayıda: k k0, ,...,1 knsıfırlarına sahiptir.
δ yeterince küçük olduğundan εn =o(1) olmak üzere kn =kn0+εn eşitliği geçerlidir. n
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 1 ( , 2 0) ( , 2 0) sin 2 1 1 ( , ) sin ( , )sin 2 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 n n n n n n n d n n t n n n n n n d t n n t n n d n n n n k k K d K d k a d k K k a K t k a t dt k k K t k a t dt K t k a t k k π π π π ε π π π π ε π ε π π ε π π ε ε ε π ε π ε ε ε − − − − − + ∆ = ∆ + − − − − − − + + − + + + − − + + + + + + − − + + + +∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 1 1 ( , )sin ( , ) sin 2 2 1 ( , )sin 2 d t n n x n n d n n n n d x n n x n n d n n n n x n n d n n dt K t k a t dt K t k a t dt k k K t k a t dt K t k a t dt k k K t k a t dt k π π π π π π π π π ε π ε ε ε π ε π ε ε ε π ε ε − − − + − − − + − + + + − − + + − + + + − − + + − + + + − +∫
∫
∫
∫
∫
( )
0 k∆ sinüs tipli fonksiyon olduğundan [10] her n∈ için
( )
. 0
0 kn γδ
∆ ≥ olacak
şekilde γδ >0 sayısı vardır. [11] çalışmasından dolayı 0 (2 1) ,
2( ) n n n n k h h a π π ∞ + = + ∈ −
geçerlidir. Diğer taraftan,
( )
(
)
(
)
(
)
.( )
0 0 0 0 k α cosk π a α cosk 2d π a , 0 kn εn kn εn o(εn) + − ∆ = − + − − ∆ + = ∆ + olduğundan( )
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 . 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 2 0 1 ( , 2 0) ( , 2 0) sin 2 (1) 1 ( , ) sin ( , ) sin 2 1 1 ( , ) sin ( , ) sin 2 2 1 ( , ) 2 n n n n n n d n n t n n d t n n t n n d t d K d K d k a d k o k K k a K t k a t dt K t k a t dt K t k a t dt K t π π π π π π ε π π π π ε π ε π π ε π π ε π ε π ε π − − − − − + − + = − − − − − + + − − ∆ + + + − + + + − + − + + + −∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 1 sin ( , ) sin 2 1 1 ( , ) sin ( , ) sin 2 2 1 ( , ) sin 2 d x n n n n d x n n x n n d x n n d k a t dt K t k a t dt K t k a t dt K t k a t dt K t k a t dt π π π π π π ε π ε π ε π ε π ε − − − − − + − + + − + + + + + − + + + + + − ∫
∫
∫
∫
∫
(4) eşitliğinden(
)
(
)
(
)
(
)
(
) ( )
0 0 2 0 . 0 0 0 sin 2 sin ( ) , 2 (1) n n n n n n n n n n n k a d k a q t dt k k k o π α ε π α ε π δ ε δ ε − + + − − + + − = + ∈ + ∆ + ∫
bulunur. Buradan 2 0 0, , n n n n n n n k k ζ δ ε = + ζ ∈∞ δ ∈olduğu elde edilir. Dolayısıyla
0 2 0 0, , n n n n n n n n n k k k k ζ δ λ ζ ∞ δ = = + + ∈ ∈
eşitliği ispatlanmış olur.
Şimdi (8) asimptotik formülünün doğru olduğunu gösterelim,
(
)
(
)
2 0 0 2 0 2 0 0 2 0( , ) cos cos 2 ( , ) cos ( , ) cos
1 1
cos cos 2 ( , 2 0)sin (2 ) ( , ) sin
1 1 1
( , 2 0) sin (2 ) ( , ) sin ( , ) cos
d x x d x d x x t t d x x k kx k d x K x t ktdt K x t ktdt kx k d x K x d x k d x K x x kx k k K x d x k d x K x t ktdt K x t ktdt k k k ϕ α α α α − − + − − + + − − − − + = + − + + = + − + − − − + − − + − − −
∫
∫
∫
∫
son eşitlikte k yerine k yazarsak ve n kn =kn0+εn olduğunu göz önüne alırsak,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) cos cos 2 sin (2 ) ( , 2 0) ( , 2 0) sin 1 ( , ) ( , ) sin ( ) cos cos 2 n n n n n n n n n x n n t n n n n n n n n n n n n n x k k x k d x k d x K x d x K x d x k k x K x x K x t k tdt O k k s b k x k d x k k ϕ α ε α ε ε ε ε ε ε ε ε α α + − + − = + + + − + − + − − − − + + + + − + + + + = + − + +∫
Burada,(
)
(
)
(
(
)
)
0 0 0 0 sin sin (2 ) ( , ) ( , 2 0) ( , 2 0) ( ) 1 / 1 / n n n n n n n n n n k x k d x s K x x K x d x K x d x O k k ε ε ε ε ε + + − = − − − − − + + + +olup, sınırlı bir dizidir.
3. Ters Problem
(
( ),)
ve (
( ),)
L=L q x a L=L q x a olmak üzere
{ }
λn L probleminin, { }
λn ise L probleminin özdeğer dizisi olsun.Teorem 4:λ λn=n ve ( ,ϕ π λn)=ϕ π λ( , n), n≥0, ise L=L dır. Yani, hemen hemen heryerde ve ( ) ( )
a=a q x =q x dır.
İspat: λ λ olduğundan n’in yeterince büyük değerleri için, n=n
1 1
(1)
(π−a)−(π−a)=o eşitliği doğrudur. Buradan a=a olduğu aşikardır.
( )
λ λ, 'nın∆ 1.
2 mertebeden tam fonksiyonudur. Dolayısıyla Hadamard teoreminden
( )
λ∆ kendi sıfırlarıyla tek olarak belirlenebilir. Buradanλn =λnise∆
( )
λ =∆( )
λ olduğu çıkar. Şimdi aşağıdaki eğrisel integrali göz önüne alalım, 1 : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) N N C I ϕ λ ϕ λ ψx x x λ ψ x λ dλ λ = − − ∆
∫
Burada,(
)
2 2 2 ( 1) : N N C a π λ λ π + = = − . 1 ( ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) F λ ϕ x λ ϕ λ ψx x λ ψ x λ λ = − − ∆ olsun. F( )λ nın λ λ= n noktalarında basit
kutuplara sahip λ ’nın meromorf fonksiyonu olduğu açıktır. Dolayısıyla,
(
)
. 2 . 1 ( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) sin ( , ) ( , ) ( ) ( , ) n n n n n n n n n n n n res F x x x x a x x λ λ ϕ λ ϕ λ ψ λ ψ λ λ λ ϕ λ ϕ λ λ ϕ π λ λ = − − ∆ = − ∆Diğer taraftan, N nin yeterince büyük değerlerinde IN →0olur. Dolayısıyla,
2 . sin 2 ( , ) ( , ) 0 ( ) ( , ) n n n n n n n a i λ x x π ϕ λ ϕ λ λ ϕ π λ λ − = ∆
∑
elde edilir. Buradan ϕ λ( ,x n)=ϕ λ( ,x n), n≥0 olduğu çıkar. Son eşitlik (1) diferansiyel denklemi ile birlikte göz önüne alınırsa ( )q x =q x( ) h.h.y. olur. Bu ise ispatı tamamlar.
Kaynaklar
[1]. R. Kh. Amirov , On Sturm-Liouville operators with discontinuity conditions inside an
interval, J. Math. Anal. Appl. 317 (2006) 163-176.
[2]. G. Borg, Eine umkehrung der Sturm-Liouvilleschen eigenwertaufgabe, Acta Math. 78 (1946) 1-96
[3]. B. M. Levitan, I.S. Sargsyan, Introduction to Spectral Theory, Amer. Math Soc. Transl. Math. Monogr., vol. 39, Amer. Math Soc., Providence, RI, 1975
[4]. V. A. Marchenko, Sturm-Liouville Operators and Their Applications, Nauka Dumka, Kiev, !977. English Transl. Birkhäuser, Basel, 1986.
[5]. B. M. Levitan, Inverse Sturm-Liouville problems, Nauka Moscow, 1984. English Transl.: VNU Sci Pres, Utrecht, 1987.
[6] J. R. Mclaughlin, Analytical methods for recovering coefficients in Differential equations from spectral data, SIAM rev. 28 (1986), 53-72.
[7]. D. G. Shepelsky, The inverse problem of reconstruction of the medium’s conductivity in a class of discontinuous and increasing functions, Adv. Soviet Math. 19 (1994), 209-231 [8]. O. H. Hald, Discontinuous inverse eigenvalue problems, Comm. Pure. Appl. Math. 37 (1984), 539-577.
[9]. R. Bellman, K. Cooke, Differential-Difference Equations, Academic Press., New York, 1963.
[10]. B. Ya. Levin, Entire Functions, MGU, Moscow, 1971.
[11]. B. F. Jdanovich, Formula efor the zeros of Dirichlet polynomials and quasi-polynomials, Dokl. Acad. Nauk. SSSR, 135 (8) (1960), 1046-1049
[12]. L. A. Zhornitskaya and V. S. Serov, İnverse eigenvalue problems for a singular Sturm-Liouville operator on [0,1], Inverse Problems 10(1994), 975-987.
[13]. J. McLaughlin and P. Polyakov, On the uniqueness of a spherical symmetric speed of sound from transmission eigenvalues, J. Diff. Eqn. 107(1994),351{382.
[14]. C. T. Fulton, Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proc. R. Soc. Edinburgh, A77 (1977), 293-308.
[15]. C. T. Fulton, Singular eigenvalue problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proc. R. Soc. Edinburgh, A87 (1980), 1-34.
