Kopulalar ve bağımlılık yapıları / Copulas and dependence structures

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

KOPULALAR VE BAĞIMLILIK YAPILARI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ AyĢe METĠN

Anabilim Dalı: Ġstatistik

Program: Ġstatistiksel Bilgi Sistemleri

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

KOPULALAR VE BAĞIMLILIK YAPILARI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ AyĢe METĠN (07233101)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 29 Aralık 2009 Tezin Savunulduğu Tarih: 13 Ocak 2010

Tez DanıĢmanı : Yrd. Doç. Dr. Sinan ÇALIK (F.Ü) Diğer Jüri Üyeleri : Yrd. Doç. Dr. Mehmet GÜRCAN (F.Ü)

Yrd. Doç. Dr. ReĢat YILMAZER (F.Ü)

II ÖNSÖZ

Bu çalıĢma da kopulalar teorisi ve bağımlılık yapısı hakkında genel bilgi verilip daha sonra kopula tahmin yöntemlerin yönelik meterolojik verilerden yararlanılarak bir uygulama verilmiĢtir.

Öncelikle çalıĢmamın oluĢumunda ve Ģekillenmesinde desteğini ve bilgisini benden esirgemeyen danıĢman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Sinan ÇALIK’ a, bilgisinden ve fikirlerinden yararlandığım Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet GÜRCAN’ a,daima yanımda olan araĢtırma görevlisi Sayın AyĢe TURAN’a, desteğini esirgemeyen araĢtırma görevlisi Sayın Adem DOĞANER’e, istatistik bölüm hocalarına ve daima yanımda olan aileme saygı ve Ģükranlarımı sunarım.

AyĢe METĠN ELAZIĞ - 2010

III ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖNSÖZ……….. II ĠÇĠNDEKĠLER……… III ÖZET………. IV ABSTRACT………. V TABLOLAR……… VI ġEKĠLLER……….. VII KISALTMALAR……… VII1 1.GĠRĠġ……….. .. 1 2. MATERYAL ve METOT………. … 2

2.1 Ġki Boyutlu Dağılımlar ……….. 2

2.2 Kopula Teorisine GiriĢ……… 3

2.3 ArĢimedyan Kopula Tanımı ve Özellikleri………... 10

2.4 Çok değiĢkenli Kopula Tanımı ve Özellikleri……….. 14

2.5 Uç Değerli Kopula………. 17

2.6 Bağımlılık Sıralaması……… 19

2.7 Bağımlılık Yapıları………... 29

2.8 Kopula Tahmin Yöntemleri ……… 35

2.9 Kopula OluĢturma Metotları……… 38

3.UYGULAMA ……….. 42

4.BULGULAR……… .. . 43

4.1 En DüĢük Sıcaklık Ölçümleri için Yapılan Analiz Sonuçlar……… 43

4.2 En Yüksek Sıcaklık Ölçümleri için Yapılan Analiz Sonuçları………. 50

5.TARTIġMA VE SONUÇ………... 58

KAYNAKLAR……….. 59

EKLER………... 60

EK-1 Önemli kopula aileleri, üreteçleri, Kendal Tau ve Spearman Rho…………. 61

EK-2 2008–2009 En DüĢük ve En Yüksek Sıcaklık Ölçümleri……….. 62

IV ÖZET

Kopulalar tesadüfi değiĢkenler arasındaki bağımlılığı modellemek amacıyla kullanılır. Kopula fonksiyonları 1959 yılında ilk Sklar tarafından kullanılmıĢtır. Kopulalar ile bağımlılık yapısı modelleme, özellikle finansal risk değerlendirmesinde ve aktüerya analizinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu çalıĢmanın amacı kopula tahmin yöntemleri hakkında bilgi vermek ve bir uygulama ile örneklendirmektir. Genellikle finansta uygulamalarına rastlanan kopulalar için bu çalıĢmada dört bölgenin günlük en yüksek ve en düĢük sıcaklık ölçümleri arasındaki bağımlılık yapısı kopula tahmin yöntemiyle modellenmeye çalıĢılmıĢtır. Bölgeler arasındaki sıcaklık ölçümlerini modellemede en uygun kopula ailelerinin Gumbel Hougaard, Clayton ve Gaussian (Normal) kopula aileleri olduğu görülmüĢtür. ÇalıĢmada üç aile için gerekli parametre değerleri hesaplanmıĢtır.

Anahtar Kelimeler: Ġki Boyutlu Dağılım Fonksiyonları, Kopula Fonksiyonu, Bağımlılık yapısı, Kendal Tau, Spearman Rho, Sıcaklık Ölçümleri.

V SUMMARY

COPULAS AND DEPENDENCE STRUCTURES

Copulas are used modelling dependicies between random variables.Copulas are first used by Sklar in 1959. Modelling the dependence structure with copulas is widely used the financial risk assessment and in the actuary analysis. The purpose of this study is to provide information about copula estimation methods and example with an application. In this study, the aim is modelling with copula estimation method between the highest and the lowest tempeature measureament in four region copulas which is encountered in finance. It seen that the most optimal model for tempeature measure of between regions is Gumbel Hougaard, Clayton and Gaussian copula families. Parameter values are calculated for these three families in study.

Key Words: Two-Dimensional Distrubition Functions, Copula Function, Dependence Structure, Kendall Tau, Spearman Rho, Tempeature Measureaments

VI

TABLOLAR

Sayfa No

Tablo 2.1. Bağımlılık yapıları arasındaki iliĢki ... 35

Tablo 4.1. Ġstanbul-Roma arasındaki en düĢük sıcaklık iliĢkisi ... 43

Tablo 4.2. Ġstanbul- Bakü arasındaki en düĢük sıcaklık iliĢkisi ... 43

Tablo 4.3.Ġstanbul-Tokyo arasındaki en düĢük sıcaklık iliĢkisi ... 44

Tablo 4.4. Roma-Bakü arasındaki en düĢük sıcaklık iliĢkisi ... 44

Tablo 4.5. Roma-Tokyo arasındaki en düĢük sıcaklık iliĢkisi ... 44

Tablo 4.6. Bakü-Tokyo arasındaki en düĢük sıcaklık iliĢkisi ... 45

Tablo 4.7 Gumbel Hougaard Ailesi için endüĢük sıcaklıklarda parametre tahmini ... 45

Tablo 4.8.Clayton Ailesi için endüĢük sıcaklıklarda parametre tahmini ... 46

Tablo 4.9.Gaussian Ailesi için endüĢük sıcaklıklarda parametre tahmini ... 46

Tablo 4.10. Ġstanbul-Roma arasındaki en yüksek sıcaklık iliĢkisi ... 51

Tablo 4.11. Ġstanbul-Bakü arasındaki en yüksek sıcaklık iliĢkisi ... 51

Tablo 4.12. Ġstanbul-Tokyo arasındaki en yüksek sıcaklık iliĢkisi ... 51

Tablo 4.13. Roma-Bakü arasındaki en yüksek sıcaklık iliĢkisi ... 52

Tablo 4.14. Roma-Tokyo arasındaki en yüksek sıcaklık iliĢkisi ... 52

Tablo 4.15. Bakü-Tokyo arasındaki en yüksek sıcaklık iliĢkisi ... 52

Tablo4.16. Gumbel Hougaard Ailesi için enyüksek sıcaklıklarda parametre tahmini .. 53

Tablo 4.17. Clayton Ailesi için en yükdek sıcaklıklarda parametre tahmini ... 53

VII ġEKĠLLER

Sayfa No

ġekil 4.1.a Ġstanbul-Roma 3,076 parametreli Gumbel Hougaard Ailesi ... 47

ġekil 4.1.b Ġstanbul-Roma  3,076 parametreli Gumbel Hougaard Ailesi ... 48

ġekil 4.2.a Ġstanbul-Roma Clayton 4,153parametreli Clayton Ailesi ... 48

ġekil 4.2.b Ġstanbul-Roma Clayton 4,153parametreli Clayton Ailesi ... 49

ġekil 4.3.a Ġstanbul-Roma



0.0185 parametreli Gaussian Ailesi ... 49

ġekil 4.3.b Ġstanbul-Roma



0.0185 parametreli Gaussian Ailesi ... 50

ġekil 4.4.a Ġstanbul-Roma  3,745 parametreli Gumbel Hougaard Ailesi ... 55

ġekil 4.4.b Ġstanbul-Roma  3,745 parametreli Gumbel Hougaard Ailesi ... 55

ġekil 4.5.a Ġstanbul-Roma Clayton 4,153parametreli Clayton Ailesi ... 56

ġekil 4.5.b Ġstanbul-Roma Clayton 4,153parametreli Clayton Ailesi ... 56

ġekil 4.6.a Ġstanbul-Roma



0.0201 parametreli Gaussian Ailesi... 57

ġekil 4.6.b Ġstanbul-Roma



0.0201 parametreli Gaussian Ailesi... 57

VIII

KISALTMALAR

CDA : Kopula Çekim Alanı (Domain of attraction)

MDA : Maksimum Çekim Alanı (Maximum domain attraction ) PQD : Pozitif Kadran Bağımlılık ( Pozitive quadrant dependence ) NQD : Negatif Kadran Bağımlılık ( Negative quadrant dependence ) LTD : Sol Kuyruk Azalan( Left tail decreasing )

RTI : Sağ Kuyruk Artan ( Right tail decreasing) SI : Stokastik Artan ( Stochastic increasing ) SD : Stokastik Azalan ( Stochastic decreasing )

LCSD : Sol Korner ( KöĢe) Azalan ( Left corner decreasing ) LCSI : Sol Korner ( KöĢe) Artan ( Left corner increasing ) RCSI : Sağ Korner (KöĢe) Artan (Right corner increasing ) RCSD : Sağ Korner (KöĢe) Azalan ( Right corner decreasing ) TP2 : Toplam Pozitif ( Total Positivity )

MLE : Tam En Çok Olabilirlik Tahmini ( Maximum likelyhood estimation ) IFM : Marjinallere Ait Tahmin Edici ( Inference functions for margins) SPSS :Sosyal Bilimler için Ġstatistiksel paket programı

1. GĠRĠġ

Ġstatistiğin önemli amaçlarından biri örnek verilerinden yararlanarak yığın parametreleri hakkında tahmin yapmaktır. Tahmin yapmada, araĢtırılan konuya göre ele alınan değiĢkenler arasındaki bağımlılık yapısı öncelikli sorunlardan biri olarak karĢımıza çıkar. Tesadüfi değiĢkenler arasındaki bağımlılık yapısı hakkında bilgi veren bağımlılık ölçülerini belirlemenin çeĢitli yöntemleri vardır.

Bu çalıĢmada değiĢkenler arasındaki bağımlılık yapısını birçok cebirsel özellikleriyle belirleyen metotlardan biri olan kopulalar kullanılmıĢtır.

Kopulalar ilk kez 1959 da Sklar tarafından kullanılmıĢtır. Matematiksel olarak kopula fonksiyonları çok değiĢkenli dağılım fonksiyonlarının tek değiĢkenli marjinalleri arasındaki iliĢkisidir. Ġstatistiksel olarak hem parametrik hem de parametrik olmayan durumlarda bağımlılığın ölçülmesi ve parametrelerin tahminlenmesi için kopula fonksiyonları kullanılarak birçok metoda alternatif sunar. Ayrıca parametrik bir yöntem olan Pearson korelasyon katsayısının da dez avantajlarını ortadan kaldırır.

Bu çalıĢmada öncelikle kopula fonksiyonlarının teorisine daha sonrada iki uygulamaya yer verilmiĢtir. Uygulamada aynı konumda bulunan dört bölgenin günlük sıcaklık ölçümleri arasındaki bağımlılık yapısı uygun kopulalarla modellemeye ve uygun kopula tahmin yöntemlerini tanıtmaya çalıĢacağız. Bu çalıĢmada modelleme yönteminde parametrik olmayan bağımlılık katsayısı olan Kendal Tau’ dan yararlanılmıĢtır.

2. MATERYAL ve METOT

2.1. Ġki Boyutlu Dağılımlar

Öncelikle bazı notasyonların tanıtılmasına ihtiyaç vardır. R ile (,) aralığındaki gerçel sayılar kümesi, R ile de [,] aralığındaki geniĢletilmiĢ gerçel sayılar kümesi gösterilsin. Bu durumda R2 R R geniĢletilmiĢ gerçel düzlemdir. R2 deki bir dikdörtgen D ile gösterilirse, bu iki kapalı aralığın çarpımı D[x₁,x₂][y₁,y₂] dir. Burada (x₁,y₁),(x₂y₂),(x₂y₁),(x₁y₂) noktaları köĢegen noktalarıdır. Birim kare I2;

] 1 , 0 [ 

I ’ in kartezyen çarpımı olan II’ dır. Bir 2- boyutlu gerçel fonksiyon F, tanım kümesi R2’ nin altkümesi olan DomF ve değer kümesi R’ nin bir alt kümesi olan RanF Ģeklindeki fonksiyondur.

Tanım 2.1.1.

1

S ve S₂ R’ nin boĢ olmayan alt kümeleri, (X, Y ) S1 ve S2’ de tanımlı tesadüfî

değiĢkenler, F’ de tanım kümesi DomF=S1S2 olan bir fonksiyon olmak üzere

R y x y Y x X P y x F( , ) (  ,  ), ,  (2.1) fonksiyonuna (X, Y )’ nin iki boyutlu dağılım fonksiyonu denir [14].

Teorem 2.1.1.

Bir F:R₂ [0,1] fonksiyonunun (X,Y)’ nin dağılım fonksiyonu olması için gerek ve yeter koĢul aĢağıdaki dört özelliği sağlamasıdır.

1. F değiĢkenlerine göre monoton artandır. 2. F değiĢkenlerine göre soldan süreklidir. 3. F(,)1, F(,y)F(x,)0.

3 Tanım 2.1.2.

1

S ve S2 R’ nin boĢ olmayan alt kümeleri ,(X,Y ) S1 ve S2’ de tanımlı tesadüfi

değiĢkenler, F ’ de tanım kümesi DomF=S₁S₂ olan bir fonksiyon olsun. ] , [ ] , [x1 x2 y1 y2

D  tüm köĢeleri DomF’ de olan bir dikdörtgen olmak üzere durumda

F ’nin D –hacmi ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) (D F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 VF     (2.2)

dir. Aynı zamanda D- dikdörtgeni üzerindeki F ’ nin birinci dereceden farkları aĢağıdaki gibi verilirse VF (D)’ ye D- dikdörtgeninin F- hacmi denir ve

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 1 2 2 1 1 2 1 y x F y x F y x F y x F y x F y x F y y x x      

dir. O zaman D- dikdörtgeninin F- hacmi, F ’ nin D üzerindeki ikinci dereceden farkları olacaktır yani, ). , ( ) ( 2 1 2 1 F x y D V_F x_xy_y (2.3) olacaktır. F fonksiyonu için 2F xy türevi mevcut ise, o zamanV_F(D)0 olma koĢulu

y x F  

2 _{0 koĢuluna denktir [14].}

Tanım 2.1.3.

Eğer köĢegen noktaları DomF’de olan tüm D dikdörtgenleri için V_F(D) 0 ise 2- boyutlu gerçel F fonksiyonuna iki artandır denir [12].

2.2. Kopulalar Teorisine GiriĢ

X ve Y dağılımları sırasıyla F ve G olan iki sürekli tesadüfi değiĢken ve H ’ da marjinalleri F,G olan sürekli ortak dağılım fonksiyonu olsun. Bu ortak dağılım fonksiyonu ile marjinalleri arasındaki iliĢki, C:II I fonksiyonu yardımıyla

4

Ģeklinde tanımlanır. Bu fonksiyona kopula denir. BaĢka bir deyiĢle F ve G fonksiyonları için f, F’ in yoğunluğu olmak üzere 1( ) inf ( : ( ) )

t x F x f t F   ’ dir. Sürekli C( vu, )kopulası F ve Gfonksiyonları yardımıyla

H(F1(u),G1(v))C(u,v) (2.5) Ģeklinde tanımlanabilir. Burada ( 2.4) ifadesinin birinci türevinden h yoğunluğu da f ve

g H ’ ın marjinal yoğunlukları olmak üzere ) ( ) ( )) ( ), ( ( ) , (x y c F x G y f x g y h  (2.6) Ģeklindedir [12]. Tanım 2.2.1.

I [0,1] olmak üzere C:II I iki değiĢkenli fonksiyonun kopula olması için aĢağıdaki özellikleri sağlaması gerekir

1. u,vI için 0 ) 0 , (u  C , C(0,v)0 , C(u,1)u , C(1,v)v (2.7) 2. u₁ u₂,v₁ v₂olmak üzere u₁,u₂,v₁,v₂I için,

C(u₂,v₂)C(u₂,v₁)C(u₁,v₂)C(u₁,v₁)0. (2.8) [7,12].

Tanım 2.2.2.

C, bir kopula olsun. C ’ nin u ve v’ de sürekli olması için aĢağıdaki Lipschitz koĢulunu sağlaması gereklidir. 1 2 1 2 1 1 2 2, ) ( , ) (u v C u v u u v v C      (2.9) [1,7,12]. Tanım 2.2.3.

C kopulası u ve v değiĢkenlerine göre sürekli ve artan olsun. Buna göre C kopulası için

1 ) , ( 0     C u v u ve 0  ( , )1   C u v v (2.10) eĢitsizlikleri sağlanır. Bu eĢitsizlikler C kopulasının differansiyellenebilir olduğunu gösterir [13].

5 Tanım 2.2.4.

C bir kopula olmak üzere



_C :I2 I ,



_C(t)C(t,t)Ģeklinde tanımlanan kopulaya

köĢegen kopula denir [13].

Teorem 2.2.1.

C bir kopula olsun. C kopulası için (u,v)I olmak üzere ) , min( ) , ( ) 0 , 1 max(uv C u v  u v (2.11) eĢitsizliği sağlanır. Bu eĢitsizlikte M (u,v)min{u,v} ve W(u,v)max{uv1,0} fonksiyonları birer kopuladır. Bu kopulalara sırasıyla Hoefding üst sınırı,

Frechet-Hoefding alt sınırı denir ve W(u,v)C(u,v)M(u,v) (2.12)

eĢitsizliğine ise Frechet-Hoefding eĢitsizliği denir. W ve M kopulalar için genel sınırları oluĢturur. Diğer önemli kopula da  (u,v)uv olarak ifade edilen bağımsızlık ya da çarpım kopulasıdır [7].

AĢağıda ifade edilecek teorem kopulalar teorisinin merkezidir. Sklar teoremi çok değiĢkenli dağılım fonksiyonları ile onların tek değiĢkenli marjinalleri arasındaki iliĢkide kopulaların oynadığı rolü izah eder.

Teorem 2.2.2. ( Sklar Teoremi )

H, marjinalleri F ve G olan bir ortak dağılım fonksiyonu olsun. Öyle bir C kopulası vardır ki, R’ deki tüm x ve y’ ler için,

)) ( ), ( ( ) , (x y C F x G y H  (2.13) dir. F ve Gsürekli ise C tektir; diğer durumdaC, Ran(F)Ran(G) üzerinde tek olarak belirlenir. Diğer taraftan eğer C bir kopula ve F, G marjinal dağılım fonksiyonları ise (2.13) ile verilen H, marjinal dağılımları F ve G olan bir ortak dağılım fonksiyonudur [1,3,12].

6 Tanım 2.2.5.

F dağılım fonksiyonu olsun. F ' in yarı-tersi F(1) olmak üzere

1. tRanF ise F(1)için R’ de öyle bir x vardır ki F(x)t,  t RanF için, F (F(1)(t))t’ dir. 2. tRanF ise } ) ( sup{ } ) ( inf{ ) ( ) 1 ( t x F x t x F x t F      (2.14) dir [7,12]. Sonuç 2.2.1.

H, marjinalleri F ve G olan bir ortak dağılım fonksiyonu olsun. F(1), G(1) sırasıyla bu marjinal fonksiyonların yarı terslerini göstersin. Buna göre herhangi bir 2

) , (u v I için )) ( ), ( ( ) , (u v H F( 1) x G( 1) y C    (2.15) dir [2,7]. Örnek 2.2.1. Gumbel’ in 2

R deki iki değiĢkenli ortak lojistik dağılımı, H(x,y)(1ex ey)1 ve

marjinalleri sırasıyla 1 ) 1 ( ) (x  ex 

F , G(x)(1ey)1 olsun. Buna göre kopulası Sonuç (2.2.1) yardımıyla, uv v u uv y G x F H v u C       )) ( ), ( ( ) , ( ( 1) ( 1) olur [12].

Tanım 2.2.6. ( YaĢam Kopulası )

X bir bireyin yaĢam süresi, F ’ de X tesadüfi değiĢkenin dağılım fonksiyonu olsun. X ’ in x zamanından daha uzun yaĢama olasılığı

) ( 1 ] [ ) (x P X x F x F     (2.16)

7

Ģeklinde ifade edilir. Bu fonksiyona X ’ in yaĢam fonksiyonu denir. (X,Y) tesadüfi değiĢkeninin ortak dağılım fonksiyonu H, kopulası C marjinalleri F ve G, ortak yaĢam fonksiyonu da H olsun. Buna göre

)) ( 1 ), ( 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( ), ( ( 1 ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( 1 ] , [ ) , ( y G x F C y G x F y G x F C y G x F y x H y G x F y Y x X P y x H                  (2.17)

olur. I2 I bir C fonksiyonu tanımlanıp F(x)=u ve G( y)=v olduğu göz önüne alınarak (2.17)’ den ) 1 , 1 ( 1 ) , (u v u v C u v C       (2.18) ve )) ( ), ( ( ) , (x y C F x G y H  (2.19) sonucu elde edilir. (2.18)’ deki C bir kopuladır ve yaĢam kopulası olarak tanımlanır. YaĢam kopulası C ile ortak yaĢam fonksiyonu karıĢtırılmamalıdır. C, C kopulası yardımıyla, (0,1) düzgün dağılımlı rastgele iki tesadüfî değiĢkenler için aĢağıdaki gibi verilir ) 1 , 1 ( ) , ( 1 ] , [ ) , (u v P U uV v u v C u v C u v C           (2.20) [7, 12]. Örnek 2.2.2.

X ve Y sürekli tesadüfî değiĢkenlerinin ortak yaĢam fonksiyonları iki değiĢkenli Pareto dağılımı olsun. Buna göre



0olmak üzere

                    _  0 , 0 1 0 , 0 ) 1 ( 0 , 0 ) 1 ( 0 , 0 ) 1 ( ) , ( y x y x y y x x y x y x y x H _  

ve marjinal fonksiyonları da sırasıyla

        0 1 0 ) 1 ( ) ( x x x x F  ve         0 1 0 ) 1 ( ) ( y y y y G 

8

Ģeklindedir. Buna göre buradan elde edilen yaĢam kopulası

          ( 1) ) , (u v u 1/ v 1/ C dir [12]. Tanım 2.2.7. n k Y Xk, k)}, 1,2,...,

{(  örneği ile ilgili olan ranklar {(Ri,Si)} olsun. 1 indikatör fonksiyon ve u,vI olmak üzere uygun deneysel kopula C_n,

) 1 , 1 ( 1 1 ) , ( 1 v n S u n R n v u C k n k k n 



_  _   (2.21) Ģeklinde tanımlanır.

Nij, 1i, jn (x,y) için xxi, yyi Ģeklindeki sıralı nokta çiftinin sayısı olmak üzere

deneysel kopulanın alternatif tanımı,

n C n N n j n i _ ij       , (2.22) Ģeklindedir [7,12].

Örnek 2.2.3. ( Frechet-Mardia Ailesi ) I

v

u,  , , bağımsız parametreler ve , 0,  1 olmak üzere standart denklem, ) , ( ) , ( ) 1 ( ) , ( ) , ( , u v M u v u v W u v C_ 



 







 



Ģeklinde olup bu kopula ailesi  ,M ,W kopulalarının konveks birleĢimi olarak tanımlanır. Gerçekten fonksiyonda C_1,0 M ,C_0,0  ve C_0,1 W dir [7,12].

Örnek 2.2.4.

Kopulaların bir uygulaması da sıra istatistikleri üzerinedir. X ve Y sürekli tesadüfî değiĢkenler, bu değiĢkenlerin dağılım fonksiyonları sırasıyla F ve G, kopulası da C olsun. K min(X,Y) ve Lmax(X,Y) _{de (}X ,Y) nokta çiftinin ekstremal istatistiklerini göstersin. K _ve L değiĢkenlerinin dağılım fonksiyonları, kopulalar kullanılarak Ģu Ģekilde ifade edilir,

9









( ( ), ( )). )) ( ), ( ( ) ( ) ( t G t F C t L P t G t F C t G t F t K P      

Bu eĢitlikte FGH alınırsa,



_c, C kopulasının köĢegen kopulası olmak üzere









( ( )) )) ( ( ) ( 2 t L t L P t H t H t K P c c





    

yazılır. U,V I _{olmak üzere} X =U, Y=V _ve Ida H(t)t eĢitliğinden









( ) )) ( ( 2 t t L P t H t t K P c c





     elde edilir [7].

Örnek 2.2.5. ( Farlie-Gumbel-Morgenstern Ailesi ) I

v

u,  , [1,1] olmak üzere C_, [0,1]2 üzerinde ) 1 )( 1 ( ) , (u v uv uv u v C_  



 

Ģeklinde tanımlanır.



0 ise, C₀  [7].

Örnek 2.2.6. ( Cuadras-Auge Ailesi )

I v

u,  ,[0,1] için C_, [0,1]2 üzerinde

Ģeklindedir. 0 ise, C₀ ve  1 ise, C₁ M ve (u,v)uv olduğundan bu aile M ve ’ nin ağırlıklandırılmıĢ geometrik ortalaması diye adlandırılır [7].

Örnek 2.2.7. ( Marshall- Olkin Ailesi ) I

v

u,  ve ,[0,1] olmak üzere C_, [0,1]2 üzerinde C_(u,v)min(u1v,uv1) Ģeklindedir [7,12].         _ v u v u v u uv uv v u v u C _     1 1 1 ] [ )] , [min( ) , (

10 Örnek 2.2.8. ( Galambos Ailesi )

I v

u,  ve



0 olmak üzere C_, [0,1]2üzerinde

C_(u,v)uvexp





(Inu) (Inv)





1/

Ģeklindedir [7].

2.3. ArĢimedyan Kopula Tanımı ve Özellikleri

ÇalıĢmalarda önemli rol oynayacak ve çok faydalı özelliklere sahip olan arĢimedyan kopula, kopulaların bir alt sınıfıdır. Sürekli kesin azalan tek değiĢkenli bir fonksiyon yardımıyla elde edilir. ArĢimedyan kopulalar değiĢkenler arasındaki iliĢkinin doğası ve gücü bakımından çeĢitliliği olan modellerin temellerini oluĢturur. Bu özelliği sayesinde uygulamada çok fazla tercih edilir.

Tanım 2.3.1.

 sürekli, :I [0,]’ a kesin azalan (1)0 olan bir fonksiyon olsun.  nin genelleĢtirilmiĢ-tersi



[1]

, Dom



[1] [0,] ve Ran



[1] Iolan aĢağıdaki gibi bir fonksiyondur            . ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) ( ) ( 1 ] 1 [ t t t t









(2.23) Ģeklinde bir fonksiyondur.



[1]

fonksiyonu [0,]’ da sürekli, artmayan ve [0,(0)]’ da kesin azalandır. Üstelik I da



[1](



(t))t ve

          t t t t ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 0 )) ( ( [ 1]











(2.24) )} 0 ( , min{ )) ( ( ] 1 [







 t  t (2.25) dır. Ayrıca (0)  ise



[1]=1 [4,12].

11 Teorem 2.3.1.

C:III bir kopula ve 1 de (2.24)’ de tanımlanan  ’ nin genelleĢtirilmiĢ tersi olmak üzere

C(u,v)



1(



(u)



(v)) (2.26) Ģeklinde tanımlanan C, Tanım (2.2.2)’ deki özellikleri sağlar [3,12].

Tanım 2.3.2. ( ArĢimedyan Kopula )

Teorem (2.3.1)’ de verilen kopulalar  üreteçli arĢimedyan kopula olarak tanımlanır. 

 ) 0 (



ise C kopulası kesindir denir ve bu kopulalar aĢağıdaki özellikleri sağlar, 1.u,vI için C simetriktir,

C(u,v)C(v,u). (2.27) 2. u,v,wIiçin C birleĢimlidir,

(C(u,v),w)C(u,C(v,w)). (2.28) 3. C kopulasının üreticisi



ve c pozitif bir sayı olmak üzere c



’ de C kopulası için bir üreticidir.

4. C kopulasının köĢegen kopulası _C olmak üzere, t(0,1)için _C< t dır [4].

Örnek 2.3.1.

 ,M ,W kopulalarının bazı özellikleri aĢağıdaki gibidir.

1. (t)In(t),tI olsun.  tam üreticidir ve



1(t)et dır. Buna göre Teorem (2.3.1)’ deki eĢitlik yardımıyla

) , ( ) , (u v e [ ( ) ( )] uv u v C  InuInv  

elde edilir. O halde  arĢimedyan bir kopuladır.

2. (t)1t, tI olsun.  tam olmayan üretici ve



1(t)max{1t,0}dir. Buna göre

) , ( } 0 , 1 max( ) , (u v u v W u v C    

12

3. M kopulası arĢimedyan değildir. Gerçekten t(0,1) için t t t t t M₂( )min{ , }   dir [7]. Sonuç 2.3.1.

Kesin üreteç fonksiyonu  ve  ’ nin tersi 1 olan C arĢimedyan kopulası kesin monoton ise Cdir [7].

Tanım 2.3.3. ( Seviye Eğrileri )

C bir kopula ve 0t1 olmak üzere

} ) , ( : ) , {(u v I2 C u v t Lt    (2.29)

ifadesi C ’ nin seviye eğrileri olarak tanımlanır. Tanım (2.2.1)’ den C(t,1)=C(1,t)=t olduğundan Lt’ nin uzunluğu sınır noktaları olan (1,t) ve (t,1) ile ilgilidir. t=0 ise Z(C)=L0

yani C(u,v)=0 olduğu bölgedir. C,  üreteçli arĢimedyan kopula olsun. t ve L_t’ de yukarıdaki gibi tanımlanırsa (2.29) denklemi C ’ nin arĢimedyan olması durumunda konvekstir. Buna göre (2.26) ve (2.29) ifadeleri yardımıyla

) ( ) ( ) ( ) , (u v Lt 



u 



v 



t (2.30) yazılır. Burada tu 1 için v, u ’ nun fonksiyonu olmak üzere Lt(u)valınırsa

)) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) (u [ 1] t u 1 t u L_t 























(2.31) elde edilir. Bu son eĢitlikte (t)(u) ifadesi (0,(0)) aralığında yer aldığından

] 1 [



yerine 1kullanılabilir. C kopulasının C- ölçüsü,

1 0 }, ) , ( : ) , {( ) (t  u v I2 C u v t t  B_C (2.32) Ģeklinde elde edilir. Bu ifade  üreteçli C arĢimedyan kopula için aĢağıdaki gibidir

1 0 )}, ( ) ( ) ( : ) , {( ) (t  u v I2 u  v  t t B_C







[7]. (2.33) Teorem 2.3.2.

C,  üreteçli arĢimedyan kopula ve 0t1 olsun. (2.33) eĢitliği ile verilen B_C(t) fonksiyonunun C - ölçüsü K_C(t)olmak üzere,

13 ) ( ) ( ) (   _{' } t t t t K_C   (2.34) dir [5].

Örnek 2.3.2. ( Frank Ailesi )

I v

u,  ,



0için üretici fonksiyonu _

         1 1 ) (







t In t , tI olan kopula ailesi

           1 ) 1 )( 1 ( 1 1 ) , (









 v u In v u C

dır.



1 için U ve V tesadüfi değiĢkenleri bağımsız yani C₁ ,



0ise C₀ M , 





ise C_ W ’ dır. Frank ailesinin yoğunluğu ise















   _{  }  v u v u v u In v u c ( , ) ( 1) Ģeklindedir [7,12].

Örnek 2.3.3. ( Gumbel-Hougaard Ailesi ) I

v

u,  ,



1 için üretici fonksiyonu



(t)(Int), tI olan kopula ailesi     / 1 ] ) ( ) [( ) , (u v e Inu Inv C    

dir.



1 için U ve V tesadüfi değiĢkenleri bağımsız yani C₁ , bu aile pozitif sıralı ve 





için M dir [7].

Örnek 2.3.4. ( Clayton Ailesi )

I v

u,  ,



1 üretici fonksiyonu ( ) 1(  1) 

 t t , tI olan kopula ailesi

   (u,v)(max{(u v 1),0})1/ C 0 



için U ve V tesadüfi değiĢkenleri bağımsız yani C₀  , bu aile pozitif sıralı ve

0



14 Örnek 2.3.5. ( Ali-Mikhail-Haq Ailesi )

I v

u,  , 1



1 için üretici fonksiyonu          t t In t) 1 ( 1) (   , tI olan kopula ailesi ) 1 )( 1 ( 1 ) , ( v u uv v u C    





dir.



0 için U ve V tesadüfi değiĢkenleri bağımsız yani C₀ dir. Bu aile pozitif sıralı,



1 için ) 1 )( 1 ( 1 ) , ( 1 v u uv v u C   

 ve bu kopula Clayton ailesinde



1

durumuna denktir [12].

Örnek 2.3.6. ( Joe Ailesi ) I

v

u,  ,



1 için üretici fonksiyonu



(t)In[1(1t)], tIolan kopula ailesi,

     (u,v) 1 [(1 u) (1 v) (1 u) (1 v) ]1/ C         1 



çin U ve V tesadüfî değiĢkenleri bağımsız yani C₀ , bu aile pozitif sıralı ve 





için M olup ailenin tüm üyeleri kesin süreklidir [7]. Sonuç 2.3.1.

 üretici olsun. O zaman

1.



_(t)



(t), (0,1] için üreticidir. 2.



_(t)[



(t)], 1 [4].

2.4. Çok değiĢkenli Kopula Tanımı ve Özellikleri

Tanım 2.4.1. ( F- Hacmi )

D=[x,y] köĢeleri DomF de olan n- dörtgeni olmak üzere D ’ nin F- hacmi, D’ nin 2n -tane köĢesinin toplamı olan

) ( ) ( ) (B Sgn c F c V_F 



(2.35) Ģeklindedir. Burada Sgn fonksiyonu

15         için i her tek x c için i her çift x c c Sgn i i i i , 1 , 1 ) ( (2.36)

dir. D dörtgeninin tüm köĢeleri için VF(B) 0 ise F fonksiyonu n- artandır [7,12].

Tanım 2.4.2.

F reel değerli fonksiyon ve DomF  Rn olmak üzere F ’ in n-artan olması için 0

) (D 

V_F olması gerek ve yeterdir [12].

Tanım 2.4.3. ( Çok DeğiĢkenli Kopula ) I

I

C: n  fonksiyonu n -kopuladır öyle ki, 1. uIn için en az bir u sıfır ise,

0 ) (u 

C (2.37) ve herhangi bir u_i dıĢında tüm u lar 1 ise,

C(u )u_i. (2.38) 2. Her x,yIn öyle ki x y için

0 ]) , ([x y 

V_C . (2.39) C, n-kopulası tanım kümesi üzerinde düzgün sürekli ve C n- kopulası n>2 ise, C ’ nin

n k  

2 olacak Ģekilde k- boyutlu marjinalleri I üzerinde düzgün sürekli ve azalmayandır [7].

Teorem 2.4.1. ( Çok değiĢkenli Sklar Teoremi )

H marjinalleri F₁,F₂,...,F_n olan boyutlu ortak dağılım fonksiyonu için öyle bir C n-kopulası vardır ki, xRn için

H(x1,x2,...,xn)C(F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn)) (2.40) olur. F₁,F₂,...,F_n’ ler dağılım fonksiyonu ise C tektir yani C değer kümesi üzerinde tek olarak bellidir. Tersine C, n –kopula ve F₁,F₂,...,F_n dağılım fonksiyonları ise F fonksiyonu eĢitlik (2.40)’ da verilen marjinalleri F1,F2,...,Fn olan n- boyutlu ortak dağılım

16 Sonuç 2.4.1.

H, sürekli marjinalleri F₁,F₂,...,F_n ve kopulası C olan ortak dağılım fonksiyonu olsun.

Bu marjinallerin yarı tersleri sırasıylaF₁(1),F₂(1),...,F_n(1) olmak üzere

C(u₁,u₂,...,u_n)F(F₁(1),F₂(1),...,F_n(1)) (2.41) dir [3,7,12].

Örnek 2.4.1.

1. W_n(u₁,...,u_n)max{u₁...u_n(n1),0} Frechet-Hoeffding alt sınırı n>2 için kopula değildir.

2. M_n(u₁,...,u_n)min{u₁,...,u_n} Frechet-Hoefding üst sınırı n>2 için n- kopuladır. 3.



_n(u₁,...,u_n)u₁...u_n çarpım kopulası n2 için n- kopuladır [7,12].

Tanım 2.4.4. ( Çok DeğiĢkenli ArĢimedyan kopula )

 sürekli,  :I [0,]’ a kesin azalan ve (1)0olan bir fonksiyon olsun.  ' nin. genelleĢtirilmiĢ-tersi



[1]:[0,][0,1] Ģeklindedir. 1 için



1(0)1,



1()0’dır. Bu fonksiyona üretici fonksiyonu adı verilir. Bu tanıma bağlı olarak, bir C:In I kopulası )) ( ... ) ( ) ( ( ) (u 1 u₁ u₂ u_n C 











 



(2.42) ise tüm n2 ler için C, n- kopula ve 1, [0,)üzerinde tam monotondur. O halde

,... 2 , 1 0 ) ( ) 1 ( 1       k u uk k n



(2.43)

olup  , C kopulasının üretici fonksiyonu olarak tanımlanır.  üretici fonksiyonuna bağlı olarak C kopulasının yoğunluğu

) ( )) ( ... ) ( ) ( ( ) ,..., , ( ' 1 2 1 1 2 1 i n i n n u u u u u u u c    



   _{  }  (2.44) Ģeklindedir [7].

17 Örnek 2.4.2.



_ (t)t 1,



0 üreteçli Clayton ailesinin n>2 durumuna genelleĢtirilmesi, üretici fonksiyon ve tersi olan



_1(t)(1t)1/ yardımıyla

0 , )) 1 ( ,..., ( ) (  ₁  ₂    1/



  u u u u n C _n olarak bulunur [7]. Örnek 2.4.3. ] ) 1 ( 1 [ ) ( 



t In  t ,



1 üreteçli Joe ailesinin n-boyuta genelleĢtirilmesi üretici fonksiyon ve tersi



1(t)1(1et)1/ yardımıyla

   / 1 1 ) ) 1 ( 1 ( 1 1 ) ( _          



 i n i u u C olarak bulunur [7].

2.5. Uç Değerli Kopula

Rassal değiĢkenlerin toplamının modellendiği zaman merkezi limit teoreminin oynadığı rolün aynısı, rassal değiĢkenlerin uç değerlerinin modellendiği zaman uç değer teorisinin oynadığı rolün aynısıdır. Her iki durumda da teori bize limit dağılımlarının ne olması gerektiğini söyler.

Teorem 2.5.1. ( Fisher Tippet (1928) )

 

n

i i

X _1, F dağılımı ile dağılmıĢ tesadüfi değiĢkenler ve Mn=maks (X1,X2,…,Xn) olsun.

Eğer R d c H c d M n n d n n n     , 0 (2.45)

olacak Ģekilde H dağılım fonksiyonu varsa bu H dağılımı aĢağıda verilen uç değerli dağılımlardan birine aittir.

Frechet        _  0 0 0 , 0 ) (





_  x e x x _x

18 Weibull            0 0 , 1 0 , ) ( ) (





  x x e x x (2.46) Gumbel (x)eex, xR [3,9]. Tanım 2.5.1. a ve b sabitleri için ) ( lim ) (x F a b x G n n n n     (2.47)

eĢitliği sağlanıyorsa F dağılımı G dağılımının maksimum çekim alanına aittir denir. Öte yandan nN _{ve a, b sabitleri için}

), ( ) (a b z G z Gn _n  _n  zR (2.48) sağlanıyorsa G(z) fonksiyonu maksimum dengeli olarak tanımlanır [7,9].

Tanım 2.5.2. ( Uç Değerli Kopula ) Bir n- kopula C olsun. Buna göre

( 1 ,..., ) ( 1 ,..., n ) t t n t u u C u u C  _(2.49) ifadesi uç değerli kopula olarak tanımlanır. F, H ’ ın maksimum çekim alanına ait bir fonksiyon ise H ' ın C kopulası, F ’ in limiting uç değerli kopulası olarak tanımlanır [7,9].

Örnek 2.5.1.

Kopula ailelerinden bir kaçı, (2.49) yardımıyla, uç değerli kopula için aĢağıdaki gibi tanımlanır. 1. Bağımsızlık kopulası ) ( ) ( 1 u u u n i t n t i t n



     Ģeklindedir.

2. Gumbel Hougaard n- kopulası olan C_



1için

) ( ) (_{u e} [( 1) ... ( ) ]1/ _{C u} C t tInu tInun t           

19

elde edilir. O halde Gumbel-Hougaard ailesi uç değerli tek arĢimedyan kopuladır [7].

Tanım 2.5.3.

C, n- kopula olsun. C fonksiyonu t 0 _ve uI_n için,

( ,..., ) ( ,..., ) / 1 / 1 1 1 t n t t n C u u u u C  (2.50) ise maksimum güvenilirdir [7].

Tanım 2.5.4.

C n- kopula ve C ’ nin uç değerli n- kopulası C* olsun. Buna göre uIn için *( ₁ ,..., ) lim n( ₁1/t,..., _n1/t) n n C u u u u C    (2.51) dir [7]. Tanım 2.5.5.

C bir n- kopula ve C ’ nin uç değerli kopulası C olsun. C kopulası C* kopulasının çekim alanına sahip ise,

C(F₁,...,F_n)MDA(C(H₁,...,H_n)) (2.52) eĢitliği sağlanır. Her bir F_i marjinali, sürekli ve genelleĢtirilmiĢ uç değerli dağılım olan

i

H ’ nin çekim alanına ait fonksiyonlardır. Buna göre C , C kopulasının limit kopulası olarak tanımlanır ve CCDA(C) yazılabilir [7].

2.6. Bağımlılık Sıralaması

Tanım 2.6.1. ( Uyum Sıralaması )

H ve H' sırasıyla Cve C' kopulalarına ve aynı F, G marjinallerine sahip sürekli iki değiĢkenli dağılım fonksiyonu olsun. '

H , H’ dan daha uyumlu ise

2

) , (x y R

 H(x,y) H'(x,y) (2.53) ya da bu ifadeye denk olarak

2

) , (u v I

20 dır. Eğer '

H , H’ dan daha uyumlu ise H_CH'yazılabilir.

Ġki tesadüfî değiĢken arasındaki bağımlılığı ölçmek için birkaç yol vardır. Bağımlılığın ölçüsü X ve Y tesadüfî değiĢkenlerinin monoton bağımlılığı ve karĢılıklı uç değerlerin bağımsızlığı ile ilgilidir. Bu ölçülerin en önemli özelliği bazılarının kesin artan dönüĢümler altında değiĢmez kalmasıdır [7].

Tanım 2.6.2. ( Bağımlılığın Ölçüsü )

X ve Y sürekli tesadüfî değiĢkenlerinin kopulası C ve değiĢkenler arasındaki bağımlılığın nümerik ölçüsü de



olsun. Buna göre

1. Her sürekli (X,Y) çifti için  tanımlıdır. 2. 0



XY 1.

3. _XY _YX.

4. _XY 0 ise X ve Y değiĢkenleri bağımsızdır.

5.



_XY 1 ise X ve Y tesadüfi değiĢkenleri birbirlerinin kesin monoton fonksiyonlarıdır. 6.



ve  sırasıyla RanX ve RanY de tanımlı kesin monoton fonksiyonlar ise

XY y

x





_{,( )( )}  ’ dir.

7. {(X_n,Y_n)}, nN sırasının kopulası C_n olsun. C_n kopulası C kopulasına yakınsıyor

ise XY XY

n_



nn 



lim [7,12].

Tanım 2.6.3. ( Uyum (Konkordant) ) )

,

(x_i y_i ve (x_j,y_j)sürekli (X,Y ) sürekli tesadüfi değiĢken çiftinden alınan gözlemler

olsun. xi xj ya da yi  yj ve xi xjya da yi  yj ise (xi,yi)ve (xj,yj)uyumludur

(konkordant) denir. Benzer biçimde xi xjya da yi  yjve yi  yj ya da xi  xj ise

) ,

(x_i y_i ve (xj,yj) uyumsuzdur (diskonkordant) denir.

Diğer bir ifadeyle (x_i x_j) (y_i y_j)0 ise (x_i,y_i) ve (x_j,y_j)uyumludur (konkordant), (x_i x_j) (yi yj)0 ise (xi,yi) ve (xj,yj) uyumsuzdur denir [7,12].

21 Tanım 2.6.4. ( Konkordant Fonksiyon )

1

X ,X F ortak marjinli, ve ₂ Y ,₁ Y ’ de G oratk marjinli rasgele tesadüfi değiĢkenler ₂ olmak üzere; (X1,Y1), (X2,Y2) marjinalleri H1 ve H2 ortak dağılım fonksiyonlu sürekli

tesadüfi değiĢkenlerin bağımsız vektörleri olsun. C₁ ve C₂; H₁(x,y)C₁(F(x),G(y)) ve )) ( ), ( ( ) , ( 2 2 x y C F x G y

H  olmak üzere (X1,Y1), (X2,Y2)’ nin kopulaları olsun. Q

) ,

(X1 Y1 ve (X2,Y2)’ nin uyum ve uyumsuzluğunun olasılıkları arasındaki farkı göstersin,

yani; } 0 ) )( {( } 0 ) )( {( ₁ _{1 1} ₂   ₁ _{1 1} ₂  P X X Y Y P X X Y Y Q (2.55)

Ģeklindedir. Bu fonksiyonsa konkordant fonksiyon denir. Bu durumda 1 ) , )( ) , ( 4 ) , ( _{1 2}  _{2 2 1}  Q C C

_

C u v dC u v Q I (2.56) olacaktır [4,7,12]. Sonuç 2.6.1. 1

C , C₂ ve Q Tanım (2.6.4)’ deki gibi olsun.

1. Q fonksiyonu kendi bileĢenlerine göre simetriktir. Yani Q(C₁,C₂)=Q(C₂,C₁) dir. 2. Q fonksiyonu her bir bileĢenine göre azalmayandır. Yani I2 deki her ( vu, ) için

' 1

1 C

C  ve C ₂ C₂' ise Q(C₁,C₂)Q(C₁',C₂')’ dir.

3.Qfonksiyonunda kopulalarla yaĢam fonksiyonları yer değiĢtirebilir. Yani

Q(C₁,C₂)=Q( ₁, ₂)

 

C

C ’ dir.

Herhangi bir keyfi C kopulası için Q fonksiyonu [-1,1] aralığında yer alır. Ayrıca

Q(C,M)[0,1], Q(C,W)[1,0] ve Q( ] 3 1 , 3 1 [ ) ,   C ’ dir [12].

Parametrik olmayan uyum ölçüleri Kendal Tau ve Spearman Rho ele alınan verinin parametrik varsayımlarının sağlanmaması durumunda kullanılan iliĢki ölçüleridir. Kendall Tau ve Spearman Rho tesadüfî değiĢkenler arasındaki uyum olasılığının ölçüsü olsalar da birbirlerinden oldukça farklıdırlar.

22 Tanım 2.6.5. ( Kendall Tau )

Sıra sayılarına dayanan ve sıkça kullanılan bir diğer bağımlılık ölçüsü de Kendall Tau dur. (X_j,Y_j), j =1,2,...,n rastgele örneğinde Pn uyumlu çiftlerin sayısını, Qn uyumsuz

çiftlerin sayısını göstermek üzere, bu örnekten hesaplanan Kendal Tau ifadesi 1 ) 1 ( 4 2            n n n n P n n n Q P  (2.57) ile verilir [7,10]. Teorem 2.6.1.

X ve Y kopulaları C olan sürekli tesadüfî değiĢkenler olsun. O zaman X ve Y için Kendal Tau 1 ) , ( ) , ( 4 ) , (  ₂     Q Q C C



C u v dC u v I C XY   (2.58)

Ģeklindedir. Ortak dağılım fonksiyonu C olan düzgün dağılımlı U ve V rastgele değiĢkenlerinin C(U,V) fonksiyonunun beklenen değeri olarak (2.58)’ de verilen ifade

1 )] , ( [ 4   E CU V C



(2.59) Ģeklindedir [5,7,12]. Ġspat.

(X,Y) değiĢken çiftinden alınan aynı dağılımlı bağımsız sürekli tesadüfî değiĢkenleri )

,

(X₁ Y₁ ve (X₂,Y₂) olsun. Bu değiĢkenlerin ortak dağılım fonksiyonu da F olsun. Buna göre 1 } 0 ) )( {( } 0 ) )( {( 1 2 1 2   1 2 1 2   P X X Y Y P X X Y Y k



1 ) , ( ) , ( 1 1 ) , ( ) , ( 1 1 2 1 ] 1 1 1 1 [ 2 1 ] 1 [ 2 1 ] 0 ) )( [( 2 1 1 2 2 } 0 ) {( } 0 ) {( 1 1 2 2 } 0 ) {( } 0 ) {( } 0 ) {( } 0 ) {( } 0 ) {( } 0 ) {( 0 )} )( {( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1                                      

  

  

y x dF y x dF y x dF y x dF E E Y Y X X P Y Y X X R R R Y Y X X R R R Y Y X X Y Y X X Y Y X X

23

 

 

  

            _{   } 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 } 0 ) {( } 0 ) {( 1 ) , ( ) , ( 4 1 ) , ( ) , ( 4 1 ) , ( ) , ( 1 1 2 . 2 2 1 2 1 v u dC v u C y x dF y x F y x dF y x dF R R Y Y X X R R R

Ģeklinde elde edilir. Buradan da

1 ) , ( ) , ( 4 1 0 1 0 





C u v dC u v 4E[C(U,V)]1 (2.60) yazılır [5]. Teorem 2.6.2.

X ve Y kopulaları C olan sürekli tesadüfî değiĢkenleri olsun. O zaman X ve Y tesadüfi değiĢkenleri için Kendal Tau, üretici fonksiyonlarına bağlı olarak aĢağıdaki gibi verilir

dt t t C ) ( ) ( 4 1 ' 1 0







 

_

. (2.61) Ġspat.

U ve V düzgün dağılımlı tesadüfi değiĢkenler, C bunların ortak dağılımı, KC’ de

C(U,V)’ nin dağılım fonksiyonu olsun. Buna göre

. ) ( 4 3 1 ) ( )] ( [ 4 1 ) ( 4 1 )] , ( [ 4 1 0 1 0 1 0 1 0 dt t K dt t K t tK t tdK V U C E C C C C C







               

olur. Teorem (2.3.2)’ den C (U,V ) ’ nin dağılım fonksiyonu KC

) ( ) ( ) (   _{' } t t t t KC _  (2.62) ve buradan ) ( ) ( 4 1 ) ( ) ( 4 3 ' 1 0 ' 1 0 t t dt t t t











_

_

_  

_

        (2.63)

24 elde edilir [1,5].

Tanım 2.6.6. ( Spearman Rho )

Spearman Rho da Kendall Tau gibi uyumluluk ve uyumsuzlukla ilgili bir iliĢki ölçüsüdür. Spearman Rho bağımlılık ölçüsünü tanımlamak için öncelikle Spearman rank korelasyonundan bahsedelim. X ve Y, H ortak dağılımlı, F ve G marjinalli tesadüfi değiĢkenler olsun. Bu iki değiĢken arasındaki örnek Spearman rank korelasyonu _S(X, Y) gösterilirse,       _        _   



 2 1 2 1 ) 1 ( 12 ) , ( 1 2 ^ _n Y rank n X rank n n Y X i i n i S  (2.64)

Ģeklindedir. Anakütle durumu için )) ( ), ( ( ) , (X Y F X G Y S    (2.65) olur.

Buna göre (X1,Y1),(X2,Y2) ve (X3,Y3); H ortak dağılımlı, F ve G marjinalli ve C

kopulalı üç bağımsız tesadüfi vektör olsun. Bu değiĢkenler için Spearman Rho



( ₁ ₂)( ₁ ₃)0 ( ₁ ₂)( ₁ ₃)0



 P X X Y Y P X X Y Y

S



(2.66)

Ģeklindedir. Burada (X₁,Y₁) çiftinin kopulası C ve (X₂,Y₃) çifti içinde (X₂ ve Y₃’ ün bağımsız kabul edilmesi nedeniyle )  olur [5,7,12].

Sonuç 2.6.3.

X ve Y tesadüfi değiĢkenlerinin dağılım fonksiyonları sırasıyla F, G kopulası C olsun. X ve Y tesadüfî değiĢkenleri için Spearman Rho ana kütle durumunu ele alalım. Bunu elde edebilmek için önce iki değiĢken arasındaki korelasyon ifadesini göz önüne alalım.

12 1 . 12 1 )] ( ), ( [ )] ( [ )] ( [ )] ( ), ( [ )) ( ), ( ( 2 2 Y G X F Cov Y G X F Y G X F Cov Y G X F S       

25 dxdy Y G X F Y G X F C Y G X F Cov )]} ( )][ ( [ )) ( ), ( ( { 12 )] ( ), ( [ 12 1 0 1 0   



elde edilir.Burada u, v [0,1]’den [0,1]’e fonksiyonlar olmak üzere F(X )=u ve G(Y )=v alınırsa son eĢitlikden

3 ) , ( 12 3 ) , ( 12 } ) , ( { 12 ) , ( 2 1 0 1 0      





V U E v u uvdC dudv uv v u C v u I



yazılır. Son eĢitlik de yer alan 3 katsayısı normalleĢtirme katsayısıdır. Sonuç (2.6.1)

eĢitliğinde Q( ] 3 1 , 3 1 [ ) ,   C Ģeklinde belirtilmiĢtir [5,7,12]. Tanım 2.6.7.

Kopulası C olan X ve Y sürekli tesadüfî değiĢkenleri arasındaki iliĢkiyi gösteren



ölçüsünün uyumluluk ölçüsü olduğunu söyleyebilmemiz için aĢağıdaki özellikleri sağlaması gerekir.

1.



ölçüsü, her X, Y sürekli tesadüfî değiĢkenleri için tanımlanmıĢ olmalıdır. 2. 1



X,Y 1,



X ,Y=1,



X ,Y=-1

3.



_{X ,Y}=



_{Y ,X}

4. Eğer X ve Y sürekli tesadüfî değiĢkenleri bağımsızsa



_{X ,Y}=_=0’ dır. 5.



_{X ,Y}=



X,Y=-



X ,Y

6. Eğer C1 ve C2 , C 1 C2 iliĢkisi olan kopulalar ise



C₁ 



C₂

7. Eğer {(X_n,Y_n)}, C_n kopulalarına sahip sürekli tesadüfî değiĢkenler dizisi ise ve {C_n} noktasal olarak C’ ye yakınsıyorsa _{C C}

n_



n 



lim dır [7,12].

Örnek 2.6.1.

I v

u,  , 1



1 için üretici fonksiyonu          t t In t) 1 ( 1) (   , tI olan

26 ) 1 )( 1 ( 1 ) , ( v u uv v u C    





olmak üzere bu ailenin



parametresi ile Kendalın



_k arasındaki iliĢki;

2 2 3 ) 1 ( ) 1 ( ( 2 1 ) (













_K     In  . Ģeklindedir [7,12]. Örnek 2.6.2. I v

u,  , [1,1] olmak üzere C_, [0,1]2 üzerinde ) 1 )( 1 ( ) , (u v uv uv u v C_  



 

Ģeklinde tanımlanan FGM kopula ailesi için



parametresi ve sırasıyla Kendalın Tau, Spearman Rau arasındaki iliĢki

9 2 ) (  K  , 3 ) (  S 

dir. Buradan K()[2 9,2 9] ve



S(



)[13,13] olur [6,12].

Örnek 2.6.3.

I v

u,  ,



0için üretici fonksiyonu _

         1 1 ) (







t In t , tI olan Frank’ın kopula

ailesi            1 ) 1 )( 1 ( 1 1 ) , (









 v u In v u C

olsun. Buna göre Frank’ın kopula ailesi için



parametresi ve sırasıyla Kendalın Tau, Spearman Rau arasındaki iliĢki









In In D K 1 ) ( 4 1 ) (   1  











In In D In D S ) ( ) ( 12 1 ) (   2   1  .

27 Örnek 2.6.4.

Ġki değiĢkenli normal dağılım kopulası Gaussian kopula olarak tanımlanır.  , N(0,1)’ in kümülatif dağılım fonksiyonu , 1 de  nin tersi olsun. [1,1] _ da iki değiĢkenli normal dağılım olmak üzere

)) ( ), ( ( ) , (u v 1 u 1 v C_ 



_







 dsdt t st s v u             





      2(1 ) 2 exp 1 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( 1 1    

ve yoğunluk fonksiyonu ise

2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 )) ( ( )) ( (( 1 )) ( ( ) ( ) ( 2 )) ( (( 2 1 2 1 2 1 ) , ( v u v v u u e v u c                               

Ģeklinde tanımlanır. Finansta, özellikle finansal modelleme ve portfölyo teorisinde normal kopula kullanılmaktadır. U ve V tesadüfî değiĢkenleri için C0 ’dır ve bu aile pozitif sıralı olup C_1 W ve C1 M’ dir. Bu ailenin



parametresi ile Kendalın Tau ve

Spearman Rho arasındaki iliĢki, sırasıyla,







( ) 2 arcsin   K 2 arcsin 6 ) (







  S Ģeklindedir [1,7,17]. Teorem 2.6.3.

X ve Y sürekli tesadüfî değiĢkenler



ve  da sırasıyla (2.57), (2.66)’ daki gibi tanımlansın. Buna göre,

1 2 3 1      (2.67) Ģeklindedir [7,12]. Teorem 2.6.4.

28 2 2 1 2 1         





(2.68) ve 2 2 1 2 1         





(2.69)

Ģeklindedir. Bu iki teoremden aĢağıdaki sonuç elde edilir [7,12]. Sonuç 2.6.4.

X ve Y sürekli tesadüfî değiĢkenler,



ve  da Teorem (2.6.3)’ deki gibi verilsin. Buna göre 2 2 1 2 1 3



_









2    ,



0 (2.70) ve 2 3 1 2 1 2 2









     ,



0 (2.71) dir [7,12]. Teorem 2.6.5. 1

C ve C2 iki kopula olsun. Buna göre

dudv v u C v v u C u v u dC v u C I I ) , ( ) , ( 2 1 ) , ( ) , ( _{2 1 2} 1 2 2      

_



(2.72)

dir. Bu ifade özellikle Cuadras-Auge ailesi ve Marshall-Olkin ailesi gibi parçalı fonksiyonlarda Kendal Tau değeri için kullanılır [7].