3-Boyutlu Öklid Ve Mınkowskı Uzaylarında Mannheım Eğri Çiftleri

T.C.

UŞAK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

3-BOYUTLU ÖKLİD VE MINKOWSKI UZAYLARINDA MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÖZKAN COŞKUN

TEMMUZ 2010 UŞAK

T.C.

UŞAK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

3-BOYUTLU ÖKLİD VE MINKOWSKI UZAYLARINDA MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÖZKAN COŞKUN

3-BOYUTLU ÖKLİD VE MINKOWSKI UZAYLARINDA MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ

(Yüksek Lisans Tezi)

Özkan COŞKUN

UŞAK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Temmuz 2010

ÖZET

Bu tez üç bölümden oluşmaktadır.

Tezin birinci bölümünde temel tanımlar verildi.

İkinci bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında Mannheim eğri çiftlerinin karakterizasyonları incelendi.

Üçüncü bölümde, 3-boyutlu Minkowski uzayında Mannheim eğri çiftlerinin karakterizasyonları incelendi.

Bilim Kodu : 53A04, 53A35, 53B30

Anahtar Kelimeler : Mannheim eğri, Mannheim eğri çiftleri,

3-boyutlu Öklid uzayı, 3-boyutlu Minkowski uzayı Sayfa Adedi : 59

MANNHEIM PARTNER CURVES IN EUCLIDEAN AND MINKOWSKI 3-SPACES

(M. Sc. Thesis)

Özkan COŞKUN

UŞAK UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY July 2010

ABSTRACT

This thesis consists of three chapters.

In the first chapter, the basic definitions are given.

In the second chapter, characterizations of Mannheim partner curves in 3-dimensional Euclidean space are given.

In the third chapter, characterizations of Mannheim partner curves in 3-dimensional Minkowski space are given.

Science Code : 53A04, 53A35, 53B30

Key Words : Mannheim curve, Mannheim partner curves,

3-dimensional Euclidean space, 3-dimensional Minkowski space Page Number : 59

TEŞEKKÜR

Bu tezin hazırlanmasında her konuda yakın ilgi, anlayış gösteren, önerileriyle destekleyen çok değerli danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Murat Kemal KARACAN’a içtenlikle teşekkür ederim.

Bu çalışmada önerileriyle katkıda bulunan Sayın Yrd. Doç. Dr. Yılmaz TUNÇER’e (Uşak Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) ve tezin kopyalarını gözden geçirmemde yardımcı olan meslektaşım Muhammed ÇETİN’e teşekkürlerimi sunarım.

Tezin hazırlanmasında, teşviklerinden, gösterdikleri anlayış ve sevgiden dolayı başta babam, annem ve abim olmak üzere tüm aileme gönülden teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER ÖZET ...i ABSTRACT ... ii TEŞEKKÜR ... iii İÇİNDEKİLER ...iv SİMGELERİN LİSTESİ ...v 1. BÖLÜM...1 GİRİŞ...1 1.1 Temel Tanımlar ...1 2. BÖLÜM...7

2. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ...7

3. BÖLÜM...18

3. 3-BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ ...18

3.1 a asli normali spacelike olan timelike bir eğri, b asli normali spacelike olan timelike bir eğri olma durumu ...18

3.2 a asli normali timelike olan spacelike bir eğri, b asli normali spacelike olan timelike bir eğri olma durumu ...29

3.3 a asli normali spacelike olan spacelike bir eğri, b asli normali timelike olan spacelike bir eğri olma durumu ...35

3.4 a asli normali timelike olan spacelike bir eğri, b asli normali spacelike olan spacelike bir eğri olma durumu ...41

3.5 a asli normali spacelike olan timelike bir eğri, b asli normali spacelike olan spacelike bir eğri olma durumu ... 46

KAYNAKLAR...57

SİMGELERİN LİSTESİ

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama Ù Vektörel çarpım , İç çarpım a t a eğrisinin burulması a k a eğrisinin eğriliği a

T a eğrisinin teğet vektörü

a

N a eğrisinin asli normal vektörü

a

B a eğrisinin binormal vektörü

b

T b eğrisinin teğet vektörü

b

N b eğrisinin asli normal vektörü

b

B b eğrisinin binormal vektörü

b

k b eğrisinin eğriliği b

1. BÖLÜM

GİRİŞ

Eğriler teorisi klasik diferensiyel geometrinin temellerinden biridir. Son zamanlarda özel eğrilere ilgi giderek artmıştır. Bertrand eğri çiftleri, involüt-evolüt eğriler ve Mannheim eğri çiftleri bunlardandır.

S. Venant 1845 yılında bir eğrinin asli normali ile üretilen yüzey üzerinde bulunup bulunmadığını ve bu eğrinin asli normali ile lineer bağımlı olan ikinci bir eğrinin var olup olmadığı sorusunu ortaya atmıştır. Bu soru 1850 yılında J. Bertrand tarafınndan cevaplandırılmıştır. Buna göre Bertrand, böyle bir ikinci eğrinin var olabilmesi için gerek ve yeter şartın verilen bu eğrilerin birinci ve ikinci eğrilikleri arasında sabit katsayılı lineer bir bağıntının olması gerektiğini göstermiştir. Bu çeşit eğri çiftleri Conjugate Bertrand Eğriler ya da yaygın olarak Bertrand Eğriler olarak adlandırılır [17]. İnvolüt ve evolüt eğriler ise her noktasında teğet vektörleri ortogonal olan eğriler olup bu konuyla ilgili bugüne kadar birtakım çalışmalar yapılmıştır.

H. Liu ve F. Wang 2008 yılında 3-boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında Mannheim eğri çiftleri üzerinde çalışmalar yapmıştır [18].

Bu çalışmada ise a ve b , 3-boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında iki eğri olmak üzere, bu eğrilerin Mannheim eğri çifti olma şartları ve aralarındaki karakterizasyonları incelenmiştir.

1.TEMEL TANIMLAR

Tanım 1.1 (Öklid Uzayı) R reel sayılar cismini göstermek üzere

(

)

{

x x x x R

}

R3 = ₁, ₂, ₃ : _iÎ

vektör uzayında, x=

(

x1,x2,x3

)

ve y=

(

y1,y2,y3

)

olmak üzere

å

= = 3 1 , i i iy x y x

eşitliği ile tanımlanan

( )

x y x y R R R , , 3 3 ® ® ´

fonksiyonu, R3 uzayında bir iç çarpımdır. Bu iç çarpıma, R3 uzayının doğal iç çarpımı veya Öklid iç çarpımı denir.

3 R xÎ olmak üzere x x x = ,

olmak üzere, R3 ®R,x® x fonksiyonu, 3

R uzayında bir normdur. Buna göre, 3

R uzayı normlu bir vektör uzayıdır.

( )

x y x y

d , =

-biçiminde tanımlanan, d:R3´R3 ®R fonksiyonu, R3 uzayında bir metriktir. Dolayısıyla, 3

R bir metrik uzaydır. Her metrik uzay bir topolojik uzay olduğundan R3 topolojik uzaydır. Bu uzaya Öklid Uzayı denir ve kimi zaman 3

E ile gösterilir [10]. Tanım 1.2 I ,R nin bir açık aralığı olmak üzere

3 :I Ì R®E a

biçiminde diferensiyellenebilir bir a dönüşümüne, E3 _{uzayı içinde bir eğri denir [12].} Tanım 1.3 3

E uzayında a :I Ì R®E3 eğrisi için I

Î

"s için a¢ s

( )

=1 ise a eğrisine birim hızlı eğri denir [5].

Tanım 1.4 3

E üç boyutlu Öklid uzayında birim hızlı a :I ÌR®E3 eğrisi için

( )

s

( )

s T =a ¢

eşitliği ile belirli T

( )

s vektörüne a eğrisinin a

( )

s noktasındaki birim teğet vektörü

denir. T, a eğrisi üzerinde bir vektör alanıdır. Bu vektör alanına birim teğet vektör alanı denir [5].

Tanım 1.5 3

E üç boyutlu Öklid uzayında birim hızlı a :I ÌR®E3 eğrisi için R

I ® :

fonksiyonuna a eğrisinin eğrilik fonksiyonu denir. k

( )

s sayısına eğrinin a

( )

s

noktasındaki eğriliği denir [5]. Tanım 1.6 3

E üç boyutlu Öklid uzayında birim hızlı a :I ÌR®E3 eğrisi için

( )

_{( ) ( )}

T s s s N = ¢ k 1

eşitliği ile belirli N

( )

s vektörüne, eğrinin a

( )

s noktasındaki asli normali denir. N, a eğrisi üzerinde bir vektör alanıdır. Bu vektör alanına asli vektör alanı denir [5]. Tanım 1.7 3

E üç boyutlu Öklid uzayında birim hızlı a :I ÌR®E3 eğrisi için

( )

s T

( ) ( )

s N s

B = ´

eşitliği ile tanımlı B

( )

s vektörüne, a eğrinin a

( )

s noktasındaki binormal vektörü

denir. B vektör alanına da a eğrisinin binormal vektör alanı denir [5].

Tanım 1.8 T

( ) ( ) ( )

s , N s ,B s vektörlerine, eğrinin noktasındaki Frenet vektörleri denir.

( ) ( ) ( )

{

T s , N s, B s

}

kümesine a

( )

s noktasındaki Frenet çatısı denir. T, N, B vektör alanlarına Frenet vektör alanları denir [5].

Tanım 1.9 3

:I Ì R®E

a birim hızlı eğrisinin Frenet vektör alanları T, N, B olmak üzere

R I ® :

t , t

( )

s =- B¢

( ) ( )

s , N s

fonksiyonuna, a eğrisinin burulma fonksiyonu denir. t

( )

s sayısına eğrinin a

( )

s

noktasındaki burulması denir [5].

Tanım 1.10 a:I ÌR®E3 birim hızlı eğrisinin Frenet vektör alanları T, N, B olmak üzere

N

T¢=k , N¢=-kT +tB, B¢=-tN şeklindedir

[ ]

10 .

Tanım 1.11 Tanım 1.10 da elde edilen eşitliklere 3

E ‘te birim hızlı bir eğri için Frenet formülleri denir [5].

Tanım 1.12 sÎI ÌR için

{

T

( ) ( )

s ,N s

}

kümesinin gerdiği düzleme, a

( )

s noktasındaki

oskülatör düzlemi ya da dokunum düzlemi denir.

{

T

( ) ( )

s ,B s

}

kümesinin gerdiği

düzleme, a

( )

s noktasındaki doğrultman düzlemi ya da rektifiyan düzlemi denir.

( ) ( )

{

N s, B s

}

kümesinin gerdiği düzleme, a

( )

s noktasındaki normal düzlemi denir

[8,10]. Tanım 1.13 x=

(

x1,x2,x3

)

ve

(

)

3 3 2 1,y ,y E y y = Î olmak üzere 3 3 2 2 1 1 ,y x y x y x y x _L =- + +

iç çarpımına Lorentz (Minkowski) iç çarpımı denir ve g metriğine Lorentz (Minkowski) metriği denir [5].

Tanım 1.14 Lorentz iç çarpımı ile tanımlı Öklid uzayına Lorentz uzayı ya da Minkowski uzayı denir ve 3

1

E ile gösterilir.

Özel olarak n=3 alınırsa, E₁3 uzayına 3-boyutlu Minkowski uzayı denir. Bu durumda bu uzayın standart metriği, x=

(

x₁,x₂,x₃

)

ve y=

(

y₁,y₂,y₃

)

ÎE3 olmak üzere

3 3 2 2 1 1 ,y x y x y x y x _L =- + + şeklindedir [5]. Tanım 1.15 3 1 E xÎ olmak üzere

(i) x,y _Lñ0 veya x=0 ise x vektörüne uzaysı (spacelike) vektör

(ii) x,y _Lá0 ise x vektörüne zamansı (timelike) vektör

(iii) x,y _L =0 ve x¹0 ise , bu durmda x vektörüne ışıksı (lightlike, null veya

Tanım 1.16 3 1

E ’te m sabit bir nokta ve rñ0 olmak üzere

( )

{

3 2

}

1 2

1 m,r u E : u m,u m r

S = Î - - =

cümlesine yarı-Rieman küresi

( )

{

3 2

}

1 2

0 m,r u E : u m,u m r

H = Î - - =

-cümlesine yarı-Rieman hiperbolik uzayı

( )

m =

{

uÎE13: u-m,u-m =0

}

C

cümlesine yarı-Rieman ışık konisi (quadrik koni) denir [15,16]. Tanım 1.17 3

1

E ’te a :I Ì R®E13 diferensiyellenebilir bir eğri olsun. a eğrisinin teğet vektör alanı T olmak üzere

(i) T,T _Lñ0 ise a eğrisine uzaysı(spacelike) eğri

(ii) T,T _Lá0 ise a eğrisine zamansı (timelike) eğri denir [11,16].

Tanım 1.18 l:I ÌR®R ve m:I ÌR®R diferensiyellenebilir fonksiyonlar ve R

I sÎ Ì

" için a nın yer vektörü

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

s l s N s m s B s

a = +

biçiminde ise a eğrisine normal eğri denir. Başka bir deyişle a eğrisi normal düzlemde yatıyor ise a eğrisine normal eğri denir [5].

Tanım 1.19 Asli normali uzaysı veya zamansı olan uzaysı eğrilerin Frenet denklemleri aşağıdaki gibidir. a uzaysı bir eğri ve asli normali N , zamansı veya uzaysı olsun. Bu durumda 0 , , 0 , , 0 , , 1 , , 1 , , 1 ,T _L = N N _L =- B B _L = T N _L = T B _L = N B _L = T olmak üzere

ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ¢ ¢ ¢ B N T B N T 0 0 0 0 0 t t k k

asli normali ışıksı olmayan uzaysı bir eğrinin Frenet denklemleri elde edilmiş olur [5]. Tanım 1.20 Zamansı eğrilerin Frenet denklemleri aşağıdaki gibidir.a zamansı bir eğri ve 0 , , 0 , , 0 , , 1 , , 1 , , 1 , =- = = = = = L L L L L L N N B B T N T B N B T T olmak üzere ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ¢ ¢ ¢ B N T B N T 0 0 0 0 0 t t k k elde edilir [5].

Tanım 1.21 xr=(x₁,x₂,x₃),ry=(y₁,y₂,y₃) gibi iki vektörün Minkowski 3-uzayında vektörel çarpımı

(

2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 2 1

)

3 2 1 3 2 1 3 2 1 , , det y x x y yc c y x y x y y y y x x x e e e y x _L = - - -ú ú ú û ù ê ê ê ë é-= Ù biçiminde tanımlanır [13].

Tanım 1.22 Zamansı eğrilerin Frenet denklemleri aşağıdaki gibidir.a zamansı bir eğri ve 0 , , 0 , , 0 , , 1 , , 1 , , 1 ,T _L = N N _L = B B _L =- T N _L = T B _L = N B _L = T olmak üzere ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ¢ ¢ ¢ B N T B N T 0 0 0 0 0 t t k k elde edilir [13].

Şekil-1

2. BÖLÜM

2. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MANNHEİM EĞRİ ÇİFTLERİ

Bu bölümde, Mannheim eğri çiftleri ve bazı karakterizasyonları incelendi.

Tanım 2.1 a ve b , 3-boyutlu Öklid uzayında birim hızlı eğriler olsun. Eğer b eğrisinin asli normali ile a eğrisinin binormali lineer bağımlı ise, b eğrisine Mannheim eğrisi, a eğrisine de Mannheim eğri çifti denir [6].

Şekil-1’e göre

( )

s a

( )

s lB_a

( )

s

b * = +

(2.1) yazılabilir. Burada *

s ves , sırasıylab ve a eğrilerinin yay parametreleridir.

Teorem 2.1 Öklid uzayında bir eğrinin Mannheim eğrisi olması için gerek ve yeter şart eğrinin, eğrilik ve burulmasının

(

2 2

)

b b

b lk t

k = + denklemini sağlamasıdır. Burada l sabittir [6]. a T a B a N b N b T b B

( )

s a

( )

* s b O

İspat

3-Boyutlu Öklid uzayında bir Mannheim eğrisi b

( )

s* =a

( )

s +lB_a

( )

s olsun. Buna göre

( )

₌

( ) ( ) ( )

* ₊ * * s N s s s b l _b

a yazılabilir. Bu denklemin her iki tarafının s değişkenine göre türevi alınırsa

( )

_{= ¢}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* _{+ ¢} * * ₊ * _¢ * ¢ s b s l s N_b s l s N_b s a

( )

₌

( ) ( ) ( ) ( )

* _{+ ¢} * * ₊ *

(

_-

( ) ( ) ( ) ( )

* * ₊ * *

)

¢ s T_b s l s N_b s l s k_b s T_b s t_b s B_b s a

( )

₌

(

_-

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* _{+ ¢} * * ₊ * * * ¢ s lk_b T_b s l s N_b s l s t_b s B_b s a 1 (2.2) olur.

( )

b a¢ s ^ N ve a¢

( )

s ^ B_a. Buna göre

( )

,

( )

=0 ¢ * s N s b a olur. Buradan

( ) ( )

, =0 ¢ * * s N s N_{b b} l

( )

s = Þ

( )

s =sabit ¢ * _l * l 0 (2.3) elde edilir.

(2.3) eşitliği (2.2) eşitliğinde yerine yazılırsa

( )

₌

(

_-

)

( )

* ₊

( )

* ¢ s lkb Tb s ltbBb s a 1 (2.4) eşitliği bulunur.

( )

( )

_[

₍

₎

_{( )}

_]

ds ds s B T ds ds ds s d ds s d T * * * = - + = = _{b b b b} a lk lt a a 1

olmak üzere, eşitliğin her iki tarafının s değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

(

)

[

]

( )

[

]

(

)

( )

[

]

2 ₂ 2 1 1 ds s d s B T ds ds s B N T T * * + -+ ¢ + -+ ¢ -= ¢ b b b b b b a b b b b b a lt lk t l lt k lk k l (2.5) elde edilir. a a B T¢ ^ ve T_a¢ ^N_b olduğundan 0 , = ¢ _b a N T

yazılabilir.

(2.5) ile verilen denklem N_b ile iç çarpılırsa

(

b b b

)

b b b b b b b b b a N T N lk k lk lt N N lt B N T ¢, =- , ¢ + - 2 - 2 , + ¢ ,

(

)

[

1- - 2

]

=0, ¹0 * * ds ds ds ds b b b k lt lk

(

1-lk_b

)

k_b -lt_b2 =0

(

kb tb

)

kb l 2 + 2 = b b b t _lk k2 + 2 = 1 (2.6) bulunur.

Teorem 2.2 E3’te b

( )

s* Mannheim eğrisi olsun. Eğriliği k ve burulması a t olan a

( )

s

a eğrisinin b ’nın Mannheim eğri çifti olması için gerek ve yeter şart sıfırdan farklı bazı l sabitleri için

(

2 2

)

1 _a a a a _l lt k t t¢ = = + ds d denklemin sağlanmasıdır [6]. İspat

( )

* s

b Mannheim eğrisi olsun. O zaman b

( )

s* =a

( )

s +lB_a

( )

s eşitliği yazılabilir. Buradan, b

( )

s* =a

( )

s +lBa

( )

s eşitliğinin her iki tarafının s değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

( )

s B T ds ds T_b = _a +l _a¢ * (2.7) olur.

( )

s N T ds ds T_b = _a -lt_{a a} * (2.8) bulunur. Ayrıca q q _a a b T cos N sin T = + (2.9) eşitliğinde her iki tarafın T_a ile iç çarpılırsa

q q _{a a} a a a b,T T ,T cos N ,T sin T = +

q a

b,T =cos T

bulunur.

(2.9) eşitliğinin her iki tarafının N_a ile iç çarpılırsa

q q a a a a a b,N T ,N cos N ,N sin T = + q a b,N =sin T bulunur. q lt q asin cos = sabit = a lt (2.10) elde edilir. Buradan l ’nın sıfırdan farklı sabit bir sayı olduğu bulunur. Böylece

( )

s N T ds ds T_b = _a-lt_{a a} * olur.

(2.9) eşitliğinin her iki tarafının s değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

q q a a b T cos N sin ds ds T = + *

(

)

¢+ ¢ +

(

)

¢ + ¢ = ¢ _{q q q q} a a a a

b T cos T cos N sin N sin

T

(

q q

) (

k t

)

q q q

q k

kbNb = aNacos +Ta ¢sin + - aTa + aBa sin + ¢Na cos

(

a

)

a

(

a

)

a a a

b

b k q q k q q t q

k N =- + ¢ sin T + + ¢ cos N + sin B

olur. Buradan

(

k_a +q¢

)

sinq=0

(

k_a+q¢

)

cosq =0 0 = ¢ +q ka elde edilir. O halde

a k q¢=- (2.11) eşitliği bulunur. (2.8) ve (2.9) eşitliklerinden q q cos 1 , cos = = * * ds ds ds ds ve

q lt q lt a a sin , sin = -= * * ds ds ds ds

ifadeleri elde edilir. Elde edilen bu ifadeler eşitlenirse

q lt q sina cos 1 ₌ -= * ds ds (2.12) bulunur. Buradan q q lt_a cos sin -= q lta =-tan (2.13) elde edilir. Bu eşitliğin türevi alınırsa

(

q

)

q t

l a¢ =- ¢1+tan2 (2.14) elde edilir. (2.11) ve (2.13) eşitliklerinden

(

)(

2 2

)

1 _a a a k lt t l ¢ =- - +

bulunur. Sıfırdan farklı l sabiti için

_a a

(

1 l2t_a2

)

l

k

t¢ = + (2.15) denklemi elde edilir.

(2.1) denkleminin iki kez türevi alınarak Mannheim eğrileri ve Mannheim eğri çiftleri bulunabilir.

( )

s N

( )

s N

( )

s N ds s d T ds ds T_{b ÷÷} + _b =k_{a a} -lt_a¢ _a -lt_{a a}¢ ø ö çç è æ ¢ * * 2 2 2

( )

a a

( )

a

(

a a a a

)

a a b b b k lt lt k t k N s N s T B ds s d T ds ds N _÷÷ + = - ¢ - + ø ö çç è æ * * 2 2 2

(

a a

)

a a a a a a b b b lt k k lt lt k T N B ds s d T ds ds N ₂ 2 2 2 -¢ -+ = + ÷÷ ø ö çç è æ * * (2.16) elde edilir.

(2.8) ve (2.16) ile verilen ifadeler vektörel çarpılırsa

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 3 2 2 2 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b t l t l k lt k t l lt t l k t lk k B N N N T N B T N T T T ds ds ds s d T T ds ds N T Ù + ¢ -Ù -Ù -Ù -¢ -Ù + Ù = Ù + ÷÷ ø ö çç è æ Ù * * *

(

a a

)

a a

(

a

)

a a

(

a

)

a a b b k lt lt lt k lt k B N B T ds ds B 2 2 2 2 3 3 + -¢ -= ÷÷ ø ö çç è æ *

(

a a a a

)

a a a a a b b lt lt k lt lk t k T N B ds ds B 2 3 2 2 2 3 + ¢ -+ + = ÷÷ ø ö çç è æ * 0 2 2 = + ¢ - a a a a lt l k t k a a a a b b lt lt k T N ds ds B 2 3 2 3 + = ÷÷ ø ö çç è æ * (2.17) elde edilir. Benzer şekilde (2.8) ve (2.17) ile verilen ifadeler vektörel çarpılırsa

(

)

(

)

(

)

(

)

3 4

(

)

2 3 2 3 2 4 a a a a a a a a a a a a b b b t l t l lt t l k N N T N N T T T ds ds B T Ù -Ù -Ù + Ù = ÷÷ ø ö çç è æ Ù * a a a a b b lt lt k B B ds ds N 2 3 4 4 + = ÷÷ ø ö çç è æ - *

(

a

)

a a b b lt lt k B ds ds N 2 2 2 4 1+ -= ÷÷ ø ö çç è æ *

bulunur. Sonuç olarak B_aile N_b lineer bağımlı olur. Bundan dolayı b

( )

s* Mannheim eğrisi ve a

( )

s Mannheim eğri çifti olur.

Sonuç 2.1

(

2 2

)

1 _a a a _l lt k t¢ = +

olmak üzere buradan

(

)

ò

ò

_a¢ = k_a +lt_a l t 2 1 1

( )(

q q

)

l t_a 2 tan 1 1 _{- ¢ +} =

_ò

(

_ò

+

)

= tan 0 1 c d_a a a _l k t

olarak yazılabilir. Bu yüzden herhangi bir Mannheim eğrisi için tek bir Mannheim eğri çifti vardır [6].

Önerme 2.1 b

( )

s* 3-boyutlu Öklid uzayında s* yay parametresi boyunca Mannheim eğrisi ve a

( )

s s yay parametresi boyunca Mannheim eğri olsun. b

( )

s* genelleştirilmiş bir helis ise o zaman a

( )

s bir doğru olur [6].

İspat b b

b N B

T , , sırasıyla b

( )

s* eğrisinin teğet, normal ve binormal vektör alanları olsun. Genelleştirilmiş helislerin özeliğinden ve Mannheim eğrilerilerinin tanımından

0 , , 0 ,u = N u = B_{a b}

eşitlikleri u sabit vektörü için elde edilir. Bu durumda t_a =k_a =0 olur. T_b,u =sbt eşitliğinin türevi alınırsa

0 ,u = N_b b k

olur. Buradan N_b,u =0 ve B_a,u =0türevi alınırsa t_a N_a,u =0 olur.

u oskülatör düzlemdedir. t_a =0 olur. (2.15) eşitliğinde t_a =0 değeri yerine yazılırsa 0

= a

k elde edilir. Dolayısıyla a

( )

s bir doğrudur.

Önerme 2.2 Genelleştirilmiş helis, 3-boyutlu Öklid uzayında b

( )

s* eğrisinin mannheim eğri çifti ise

s c s c e c e c 1 1 2 2 2 1 2 -= a a k t

olup, burada c ,1 c sıfırdan farklı sabitler ve 2 s yay paremetresidir. Özel olarak, c1 =1 ve c2 =1 alınırsa s e es s sinh 2 = -= -a a k t olur [6]. İspat b b b N B

T , , sırasıyla b

( )

s* eğrisinin teğet, normal ve binormal vektör alanları olsun. Genelleştirilmiş helislerin özeliğinden ve Mannheim eğrilerilerin tanımından

q a,u =cos

elde edilir. Önerme 1’e göre cosq ¹0 _{ve k}t sabit değildir. (2.18) eşitliğinin s değişkenine göre iki kez türevi alınırsa

0 , ,u - T u = B_{a a a} a k t ve

(

)

N u u T u B u N u T u B u N , , , 0 , , , , 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a k t k t k k t t + = ¢ -¢ = -¢ -¢ +

-(

t k

)

q k ta¢ Ba,u - a¢ Ta,u = a2 + a2 cos elde edilir. Bu denklem düzenlenirse

u B u T , a, a a a =_kt u N u B u N , , _{a a}, a a a a a a a _k t t k t k -¢ ÷÷ ø ö çç è æ = u N u N u B , , , 2 a a a a a a a a k t k k t ¢ _{= +} ÷÷ ø ö çç è æ u N u B , , 2 2 a a a a a a a k t k k t + = ¢ ÷÷ ø ö çç è æ q kl k k t a a a a a _{, = cos} ¢ ÷÷ ø ö çç è æ u B q l k t a a a cos 1 , = ¢ ÷÷ ø ö çç è æ u B q k t l a a a cos 1 , _¢ ÷÷ ø ö çç è æ = u B u B u T , _a, a a a _k t = q k t l k t a a a a a cos 1 , _¢ ÷÷ ø ö çç è æ = u T

q k t l k t a a a a a, _¢cos ÷÷ ø ö çç è æ = u T u N u B_a, 1 _a, a a l k t ¢ ₌ ÷÷ ø ö çç è æ

(

T u B u

)

ds d u N u B ds d , , 1 , , 2 2 a a a a a a a a a a a t k l k t t k t + -= ÷÷ ø ö çç è æ -÷÷ ø ö çç è æ ds d ds d ds d _÷÷ ø ö çç è æ = ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ a a a a a a a k t q t q k t l k t cos cos 1 2 2 2 2 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ = ds d ds d a a a a a k t l k t t (2.19) bulunur. (2.19) ve l

(

t_a2 +k_a2

)

=k_a eşitliklerinden l k t k a a a 1 2 = + a a a a _k t t l k = 1 -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -= 2 ₂ 2 2 2 2 1 1 1 ds d ds d ds d ds d a a a a a a a a a a a a a k t k k t t l k t l k t k t l k

÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -= 2 ₂ 2 1 1 ds d ds d a a a a a a a k t k k t t l k (2.20) bulunur. (2.19) ve (2.20) eşitliklerinden 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ = ds d ds d ds d ds d ds d ds d ds d ds d ds d ds d a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k t k t k t k t k t k t k t k t k k t t l k t l k t k t 2 2 2 2 2 ds d ds d ds d ÷÷ ø ö çç è æ -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ = a a a a a a a a a a k t k t k t k t k t elde edilir.

( )

s y = a a k t olsun. Bu durumda

(

1

)

0 2 2 2 2 = ÷ ø ö ç è æ -+ ds dy y ds y d y

denklemi elde edilir. Bu denklem çözülürse

dy dp p ds dy dy dp ds y d p ds dy = = = , 2₂

(

1+ 2

)

- 2 =0 yp dy dp p y

(

)

yp dy dp y = + 2 1 dy y y p dp 2 1+ =

ò

=

ò

₊ dy y y p dp 2 1 1 2 ln 1 ln 2 1 lnp = + y + c

(

)

2 1 2 11 y c p= +

(

)

2 1 2 11 y c ds dy + =

( )

1 2 arcsin y =c s+c

3. BÖLÜM

3. 3-BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA MANNHEİM EĞRİ

ÇİFTLERİ

Bu bölümde, 3-Boyutlu Minkowski uzayında eğrinin casual karakterleri farklı olduğundan iki eğrinin Mannheim eğri çifti oluşturması için aşağıdaki 5 durum söz konusudur.

i) a asli normali spacelike olan timelike bir eğri, b asli normali spacelike olan timelike bir eğri olma durumu

ii) a asli normali timelike olan spacelike bir eğri, b asli normali spacelike olan timelike bir eğri olma durumu

iii) a asli normali spacelike olan spacelike bir eğri, b asli normali timelike olan spacelike bir eğri olma durumu

iv) a asli normali timelike olan spacelike bir eğri, b asli normali spacelike olan spacelike bir eğri olma durumu

v) a asli normali spacelike olan timelike bir eğri, b asli normali spacelike olan spacelike bir eğri olma durumu

3.1 a Asli Normali Spacelike Olan Timelike Bir Eğri, b Asli Normali Spacelike Olan Timelike Bir Eğri Olma Durumu

Teorem 3.1.1 Minkowski uzayında bir eğrinin Mannheim eğrisi olması için gerek ve yeter şart eğrinin, eğrilik ve burulmasının

(

2 2

)

b b b lk t k =- - denklemini sağlamasıdır. Burada l sabittir [6]. İspat

3-Boyutlu Minkowski uzayında bir Mannheim eğrisi b

( )

s* =a

( )

s +lB_a

( )

s olsun. Buna göre a

( )

s =b

( ) ( ) ( )

s* +l s* N_b s* yazılabilir. Bu denklemin her iki tarafının s

( )

_{= ¢}

( )

* _{+ ¢}

( )

* ₊ ¢

( )

* ¢ s b s lN_b s lN_b s a

( )

_{= + ¢}

( )

* ₊

( )

* ₊

( )

* ¢ s T_b lN_b s lk_bT_b s lt_bB_b s a

olur. Bu denklem düzenlenirse

( )

(

lkb

)

b l b

( )

ltb b

a¢ s = 1+ T + ¢N s + B (3.1) bulunur.

( )

a

a¢ s ^B ve a¢

( )

s ^N_b olduğundan B_a ile N_b lineer bağımlı olur.

( )

,

( )

=0 ¢ * L s N s _b a bulunur. Böylece 0 = ¢ l sabit = ¢ l (3.2) elde edilir. (3.1) denkleminde (3.2) eşitliği yerine yazılırsa

( )

(

lkb

)

b l b

( )

ltb b a¢ s = 1+ T + ¢N s* + B (3.3) eşitliği bulunur.

( )

( )

_[

₍

₎

_]

ds ds B T ds ds ds s d ds s d T * * * = + + = = _{b b b b} a lk lt a a 1

olmak üzere, bu eşitliğin her iki tarafının s değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

(

)

[

]

[

(

)

]

2 2 1 1 ds s d B T ds ds B B T T T * * + + + ¢ + ¢ + ¢ + + ¢ = ¢ _{b b b b b b b b b b b b} a lk lk lt lt lk lt

(

)

(

)

[

]

[

(

)

]

2 2 1 1 ds s d B T ds ds N B N T T * * + + + -+ ¢ + + + ¢ = ¢ _{b b b b b b b b b b b b b b} a lk lk k lt lt t lk lt

(

)

[

]

[

(

)

]

2 2 2 2 1 ds s d B T ds ds B N T T * * + + + ¢ + -+ + ¢ = ¢ _{b b b b b b b b b b b b} a lk k lk lt lt lk lt (3.4) elde edilir. a a B T¢ ^ ve T_a¢ ^N_b olduğundan 0 , = ¢ L N T_{a b}

yazılabilir. Buna göre (3.4) ile verilen denklem Nb ile iç çarpılırsa

(

)

N N B N

N T N

0 2 2 = -+ b b b lk lt k bulunur. Buradan

(

2 2

)

b b b lk t k =- - (3.5) yazılabilir.

Teorem 3.1.2 E3’te b

( )

s* Mannheim eğrisi olsun. Eğriliği k ve burulması _a t olan _a

( )

s

a eğrisinin b ’nın Mannheim eğri çifti olması için gerek ve yeter şart sıfırdan farklı bazı l sabitleri için _a a a

(

1 l2t_a2

)

l k t t¢ = = -ds d denkleminin sağlanmasıdır [6]. İspat

( )

* s

b Mannheim eğrisi olsun. O zamanb

( )

s* =a

( )

s +lB_a

( )

s eşitliği yazılabilir. Buradan, b

( )

s* =a

( )

s +lBa

( )

s eşitliğinin her iki tarafının s değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

( )

* * _¢ + =T B s ds ds Tb a l a

( )

s N T ds ds T_b = _a -lt_{a a} * (3.6) olur. T_b =T_acoshq +N_a sinhq (3.7) olmak üzere (3.7) eşitliğinin her iki tarafı T_a ile iç çarpılırsa

L L L T T N T T T_b, _a =coshq _a, _a +sinhq _a, _a q a b,T _L =-cosh T elde edilir.

Aynı zamanda (3.7) eşitliğinin her iki tarafı N_a ile iç çarpılırsa

L L L T N N N N T_b, _a =coshq _a, _a +sinhq _a, _a q a b,N _L =sinh T bulunur. Buradan q lt q _asinh cosh =

-sabit = a lt

elde edilir. Böylece l ’nın sıfırdan farklı sabit bir sayı olduğu bulunur. (3.7) eşitliğinin her iki tarafının s değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

(

)

¢ + ¢ +

(

)

¢ + ¢ = ¢ _{q q q q} a a a a

b T cosh T cosh N sinh N sinh

T

(

) (

a a a a

)

(

)

a a a a b b k q q q k t q q q

k N = N cosh +T ¢sinh + T + B sinh + ¢cosh N

(

a

)

a

(

a

)

a a a

b

b k q q k q q t q

k N = + ¢ sinh T + + ¢ cosh N + sinh B

olur. Buradan

(

k_a +q¢

)

sinhq =0 ve

(

k_a +q¢

)

coshq =0 ve

(

k_a +q¢

)

=0 elde edilir. O halde

a k q¢=- (3.8) bulunur. (3.6) denklemi = _* -

( )

_* ds ds s N ds ds T

T_{b a} lt_{a a} şeklinde yazılırsa ve (3.7) denklemi ile eşlenirse q cosh = * ds ds olur. Buradan q cosh 1 = * ds ds (3.9) elde edilir. Aynı zamanda

q lta =sinh - _* ds ds yazılabilir. Buradan q lta sinh -= * ds ds (3.10) bulunur. (3.9) ve (3.10) eşitliklerinden q lt q a sinh cosh 1 ₌ -= * ds ds yazılabilir. Buradan

q q lta cosh sinh -= olur. O halde q lta =-tanh (3.11) elde edilir.

Eşitliğin her iki tarafının türevi alınırsa

(

q

)

q

lta¢ =- ¢1-tan2h

bulunur. Burada (3.8) ve (3.11) eşitliklerini yerlerine yazılırsa

(

)

(

2 2

)

1 _a

a

a k lt

lt ¢ =- -

-elde edilir. Böylece

(

2 2

)

1 a a a _l lt k t ¢ = - (3.12) bulunur.

Ayrıca (3.6) eşitliğinin iki kez türevi alınarak Mannheim eğrileri ve Mannheim eğri çiftleri bulunabilir.

( )

-

( )

¢ ¢ -¢ = + ÷÷ ø ö çç è æ ¢ * * s N s N T ds s d T ds ds T_{b b 2 a} lt_{a a} lt_{a a} 2 2

( )

a a

( )

a

(

a a a a

)

a a b b b k lt lt k t k N s N s T B ds s d T ds ds N _÷÷ + = - ¢ - + ø ö çç è æ * * 2 2 2

( )

a a a a a a a a b b b lt k k lt lt k T N s B ds s d T ds ds N ₂ 2 2 2 -÷ ø ö ç è æ _- ¢ + -= + ÷÷ ø ö çç è æ * * (3.13) elde edilir. (3.6) ve (3.13) ile verilen denklemler vektörel çarpılırsa

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3 2 2 2 2 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b t l t t l k lt k t l lt lt k k lt k B N N N T N B T N T T T ds ds ds s d T T ds ds N T L L L L L L L L Ù + Ù ÷ ø ö ç è æ_{- +} ¢ + Ù + Ù -Ù ÷ ø ö ç è æ _- ¢ + Ù -= Ù + ÷÷ ø ö çç è æ Ù * * * a a a a a a a a a b b lt lt k lt lt k k T N B ds ds B ÷ ø ö ç è æ _- ¢ -+ + -= ÷÷ ø ö çç è æ * 2 2 2 3 2 3 bulunur.

0 2 2 = -¢ - _{a a a} a lt lt k k olduğundan a a a a b b lt lt k T N ds ds B 2 3 2 3 + -= ÷÷ ø ö çç è æ * (3.14) elde edilir. Benzer şekilde (3.6) ve (3.14) eşitlikleriyle verilen denklemler vektörel çarpılırsa

(

)

(

)

(

)

(

)

(

a a

)

a a a a a a a a a a b b b t l t l lt t l k N N T N N T T T ds ds B T L L L L L Ù -Ù + Ù + Ù -= ÷÷ ø ö çç è æ Ù * 3 2 4 3 2 3 2 4 a a a a b b lt lt k B B ds ds N 2 3 4 4 -= ÷÷ ø ö çç è æ - * a a a a b b lt lt k B B ds ds N 2 3 4 4 + -= ÷÷ ø ö çç è æ *

(

a a

)

a a b b lt l t k B ds ds N 2 2 2 4 1 -= ÷÷ ø ö çç è æ *

bulunur. Sonuç olarak B_a ile N_b lineer bağımlı olur. Bundan dolayı b

( )

s* Mannheim eğrisi vea

( )

s Mannheim eğri çifti olur.

Sonuç 3.1.1

(

2 2

)

1 _a a a _l lt k t¢ =

-olmak üzere buradan

(

)

ò

ò

_a¢ = k_a -lt_a l t 2 1 1

( )(

q q

)

l t_a 2 tanh 1 1 _{- ¢} -=

_ò

(

_ò

+

)

-= tanh 0 1 c d_a a a _l k t

olarak yazılabilir. Bu yüzden herhangi bir Mannheim eğrisi için tek bir Mannheim eğri çifti vardır [6].

Önerme 3.1.1 b

( )

s* 3-boyutlu Minkowski uzayında s* yay parametresi boyunca Mannheim eğrisi ve a

( )

s eğrisi de s yay parametresi boyunca Mannheim eğri çifti

olsun. b

( )

s* genelleştirilmiş bir helis ise o zaman a

( )

s bir doğru olur [6].

İspat

( )

a b b

b N B B

T , , sırasıyla b

( )

s* eğrisinin teğet, normal ve binormal vektör alanları olsun. Genelleştirilmiş helislerin özeliğinden ve Mannheim eğrilerilerinin tanımından

0 , , 0 , = = L L N u u B_{a b}

eşitlikleri u sabit vektörü için elde edilir. Bu durumda t_a =0 ve k_a =0 olur. sbt

u T

L =

,

b eşitliğinin türevi alınırsa

0 , = L u N_b b k olur. Buradan , =0 L u

N_b ve B_a,u _L =0 türevi alınırsa t_a N_a,u _L =0 elde edilir.

u oskülatör düzlemdedir. t_a =0 olur. (3.12) eşitliğinde t_a =0 değeri yerine yazılırsa 0

= a

k elde edilir. Dolayısıyla a

( )

s bir doğrudur.

Önerme 3.1.2 Genelleştirilmiş helis, 3-boyutlu Minkowski uzayında b

( )

s* eğrisinin Mannheim eğri çifti ise

s c s c e c e c 1 1 2 2 2 1 2 -= a a k t

s yay paremetresi olmak üzere, özel olarak c₁ =1 ve c₂ =1 için s e es s sinh 2 = -= -a a k t elde edilir [6]. İspat

( )

a b b b N B B

T , , sırasıyla b

( )

s* eğrisinin teğet, normal ve binormal vektör alanları olsun. Genelleştirilmiş helislerin özeliğinden ve Mannheim eğrilerilerin tanımından

q a,u _L =cos

N (3.15) elde edilir. Önerme 3.1’den cosq ¹0 _{ve k}t sabit değildir.

(3.15) eşitliğinin s değişkenine göre iki kez türevi alınırsa 0 , ,u _L + T u _L = B_{a a a} a k t elde edilir. Buradan

L L B u u T , _a, a a a _k t -= (3.16) bulunur.

(3.16) denkleminin türevi alınırsa

L L L B u N u u N , , _{a a}, a a a a a a a _k t t k t k + ¢ ÷÷ ø ö çç è æ -= olur. Bulunan bu denklem düzenlenirse

L L L N u N u u B , , _{a a}, a a a a a a a _t k t k k t + -= ¢ ÷÷ ø ö çç è æ elde edilir. L L N u u B , , 2 2 a a a a a a a k t k k t - + = ¢ ÷÷ ø ö çç è æ

denkleminde

(

-ka2 +ta2

)

yerine (3.5) eşitliği kullanılarak L L N u u B , _a, a a a a a kl k k t ¢ ₌ ÷÷ ø ö çç è æ L L N u u B_a, 1 _a, a a l k t = ¢ ÷÷ ø ö çç è æ (3.17) bulunur. Buradan L L N u u B , 1 _a, a a a k t l ¢ ÷÷ ø ö çç è æ = bulunur. L L B u N u u T , , 1 _a, a a a a a a a a k t l k t k t ¢ ÷÷ ø ö çç è æ -= -=

L L N u u T , a, a a a a a k t l k t ¢ ÷÷ ø ö çç è æ -= olur.

(3.17) denkleminin türevini alınırsa

(

_{L L}

)

L L _ds T u B u d u N u B ds d , , 1 , , 2 2 a a a a a a a a a a a t k l k t t k t + = ÷÷ ø ö çç è æ -÷÷ ø ö çç è æ (3.18) elde edilir. 0 , ,u + B u = T_{a a a} a t k

olduğundan (3.18) denklemini düzenlenirse

ds d u N u N ds d ds d L L ÷÷ ø ö çç è æ = ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ a a a a a a a a a k t t k t l k t , , 1 2 2 bulunur. Buradan 2 2 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ = ds d ds d a a a a a k t l k t t (3.19)

elde edilir. (3.5) denklemi kullanılarak

l k t k a a a 1 2 -= -yazılabilir. Böylece a a a a _k t t l k =-1 + olur. Burada (3.19) eşitliği yerine yazılırsa

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -= 2 ₂ 2 1 1 ds d ds d a a a a a a a k t k k t t l k (3.20) elde edilir. (3.19) ve (3.20) eşitliklerinden 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ = ds d ds d ds d ds d ds d ds d ds d ds d ds d ds d a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k t k t k t k t k t k t k t k t k k t t l k t l k t k t 2 2 2 2 2 ds d ds d ds d ÷÷ ø ö çç è æ -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -= a a a a a a a a a a k t k t k t k t k t

elde edilir. Eğer = y

( )

s a a k t denirse, o zaman

(

1

)

0 2 2 2 2 _÷ = ø ö ç è æ + -ds dy y ds y d y denklemi elde edilir.

dy dp p ds dy dy dp ds y d p ds dy = = = , 2₂ ifadeleri, bu denklemde yerlerine yazılırsa

(

1- 2

)

+ 2 =0 yp dy dp p y olur. Bu denklem çözülürse

(

)

yp dy dp y = -- 2 1 dy y y p dp 2 1 -=

ò

=-

ò

_- dy y y p dp 2 1 1 2 ln 1 ln 2 1 lnp = -y + c

(

)

2 1 2 11 y c p=

-(

)

2 1 2 11 y c ds dy ₌

-(

)

ò

ò

= -ds c y dy 1 2 1 2 1

( )

1 2 arcsin y =c s+c olur.

3.2 a Asli Normali Timelike Olan Spacelike Bir Eğri, b Asli Normali Spacelike Olan Timelike Bir Eğri Olma Durumu

Teorem 3.2.1 Minkowski uzayında bir eğrinin Mannheim eğrisi olması için gerek ve yeter şart eğrinin, eğrilik ve burulmasının

(

2 2

)

b b b lk t k =- - denklemini sağlamasıdır. Burada l sabittir [6]. İspat

3-Boyutlu Minkowski uzayında bir Mannheim eğrisi b

( )

s* =a

( )

s +lB_a

( )

s olsun. Buna göre a

( )

s =b

( ) ( ) ( )

s* +l s* N_b s* yazılabilir. Bu denklemin her iki tarafının s

değişkenine göre türevini alınırsa

a¢

( )

s =T_b +l¢N_b

( )

s* +lk_bT_b

( )

s* +lt_bB_b

( )

s*

olur. Bu denklem düzenlenirse

a¢

( )

s =

(

1+lk_b

)

T_b

( )

s* +l¢N_b

( )

s* +lt_bB_b

( )

s*

bulunur.

( )

a

a¢ s ^B ve a¢

( )

s ^N_b lineer bağımlı olduğundan

( )

,

( )

=0 ¢ * L s N s _b a bulunur. l¢=0 sabit = ¢ l

elde edilir. (3.1) denkleminde (3.2) eşitliği yerine yazılırsa a¢

( )

s* =

(

1+lk_b

)

T_b +lt_bB_b

( )

( )

[

(

)

]

ds ds B T ds ds ds s d ds s d T * * * = + + = = b b b b a a a 1 lk lt

[

(

)

]

[

(

)

]

₂ 2 1 1 ds s d B T ds ds B B T T T * * + + + ¢ + ¢ + ¢ + + ¢ = ¢ _{b b b b b b b b b b b b} a lk lk lt lt lk lt

(

)

(

)

[

]

[

(

)

]

2₂ 1 1 ds s d B T ds ds N B N T T * * + + + -+ ¢ + + + ¢ = ¢ _{b b b b b b b b b b b b b b} a lk lk k lt lt t lk lt elde edilir. a a B T¢ ^ ve T_a¢ ^N_b

0 , = ¢ L N T_{a b}

yazılabilir. Buna göre (3.4) ile verilen denklem N_b ile iç çarpılırsa

(

)

L L L L N B N N N T N Ta , b b, b lkb kb lkb ltb b, b ltb b, b 2 2 _¢ + -+ + ¢ = ¢ k_b +lk_b2 -lt_b2 =0 bulunur.

(

2 - 2

)

=0 + _{b b} b lk t k elde edilir.

(

2 2

)

b b b lk t k =- -veya

(

2 2

)

b b b lt k k = -bulunur.

Teorem 3.2.2 E3’te b

( )

s* Mannheim eğrisi olsun. Eğriliği k ve burulması _a t olan _a

( )

s

a eğrisinin b ’nın Mannheim eğri çifti olması için gerek ve yeter şart sıfırdan farklı

bazı l sabitleri için

(

2 2

)

1 _a a a a _l lt k t t¢ = =- -ds d denkleminin sağlanmasıdır [6]. İspat

( )

* s

b Mannheim eğrisi olsun. O zaman b

( )

s* =a

( )

s +lB_a

( )

s eşitliği yazılabilir. Buradan, b

( )

s* =a

( )

s +lB_a

( )

s eşitliğinin her iki tarafının s değişkenine göre kısmi türevi alınırsa T B

( )

s ds ds T = + ¢ * a a b l

( )

s N T ds ds T_b = _a +lt_{a a} * (3.21) olur.

(3.7) eşitliğinde her iki taraf T_a ile iç çarpılırsa L L L T T N T T T_b, _a =coshq _a, _a +sinhq _a, _a T_b,T_a =coshq

bulunur. (3.7) eşitliğinin her iki tarafı N_a ile iç çarpılırsa _{L L} L T N N N N T_b, _a =coshq _a, _a +sinhq _a, _{a b}, _a =-sinhq L N T bulunur. -coshq =lt_a sinhq lt_a =sabit

elde edilir. Buradan l ’nın sıfırdan farklı sabit bir sayı olduğu bulunur. (3.7) eşitliğinin her iki tarafının s değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

T_b =T_a¢coshq +T_a

(

coshq

)

¢ +N_a¢sinhq +N_a

(

sinhq

)

¢

k_bN_b =k_aN_acoshq +T_a

(

q¢sinhq

) (

+ k_aT_a +t_aB_a

)

sinhq +

(

q¢coshq

)

N_a k_bN_b =

(

k_a +q¢

)

sinhqT_a +

(

k_a +q¢

)

coshqN_a +t_asinhqB_a

(

ka +q¢

)

sinhq =0 ve

(

k_a +q¢

)

coshq =0 bulunur. Böylece a k q¢= -elde edilir. (3.21) denklemini = _* +

( )

* _* ds ds s N ds ds T

T_{b a} lt_{a a} şeklinde yazıp ve (3.10) denklemi ile eşlenirse q cosh = * ds ds

elde edilir. Buradan

q cosh 1 = * ds ds bulunur. Ayrıca q lta * =sinh ds ds

q lta sinh = * ds ds (3.22) bulunur. (3.9) ve (3.22) eşitliklerinden q lt q sinha cosh 1 ₌ = * ds ds

elde edilir. Böylece

q q lt_a cosh sinh = q lta =tanh (3.23) olur. (3.23) Eşitliğinin her iki tarafının türevi alınırsa

(

q

)

q

lta¢ = ¢1-tan2h

elde edilir. Burada (3.8) ve (3.27) eşitlikleri yerlerine yazılırsa

(

)

(

2 2

)

1 _a a a k lt lt ¢ = - -bulunur. Buradan

(

2 2

)

1 _a a a _l lt k t ¢ =- - (3.24) elde edilir. (3.21) denkleminin iki kez türevi alınarak Mannheim eğrileri ve Mannheim eğri çiftleri bulunabilir.

( )

( )

¢ + ¢ + ¢ = + ÷÷ ø ö çç è æ ¢ * * * * s N s N T ds s d T ds ds T_{b b 2 a} lt_{a a} lt_{a a} 2 2

( )

a a

( )

a

(

a a a a

)

a a b b b k lt lt k t k N s N s T B ds s d T ds ds N _÷÷ + = + ¢ + + ø ö çç è æ * * _{* *} 2 2 2

( )

a a a a a a a a b b b lt k k lt lt k T N s B ds s d T ds ds N ₂ 2 2 2 + ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + = + ÷÷ ø ö çç è æ * * _* (3.25) elde edilir. (3.21) ve (3.25) eşitlikleri ile verilen denklemler vektörel çarpılırsa

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3 2 2 2 2 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b t l t t l k lt k t l lt lt k k lt k B N N N T N B T N T T T ds ds ds s d T T ds ds N T L L L L L L L L Ù + Ù ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + Ù + Ù + Ù ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + Ù = Ù + ÷÷ ø ö çç è æ Ù * * * a a a a a a a a a b b lt lt k lt l t k k T N B ds ds B ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ -+ + = ÷÷ ø ö çç è æ * 2 2 2 3 2 3 olur. Burada 0 2 2 = -¢ + _{a a a} a lt lt k k olduğundan a a a a b b l t lt k T N ds ds B 2 3 2 3 + = ÷÷ ø ö çç è æ * (3.26) elde edilir. Benzer şekilde (3.21) ve (3.26) eşitlikleri ile verilen denklemler vektörel çarpılırsa

(

)

(

)

(

)

(

)

(

a a

)

a a a a a a a a a a b b b t l t l lt t l k N N T N N T T T ds ds B T L L L L L Ù + Ù + Ù + Ù = ÷÷ ø ö çç è æ Ù * 3 2 4 3 2 3 2 4 kb b lta Ba lta Ba ds ds N 2 3 4 4 -= ÷÷ ø ö çç è æ - * k_{b b} lt_a B_a lt_a B_a ds ds N 2 3 4 4 + -= ÷÷ ø ö çç è æ * k_{b b} lt_a

(

l_a t_a

)

B_a ds ds N 2 2 2 4 1 -= ÷÷ ø ö çç è æ *

bulunur. Sonuç olarak B_aile N_b lineer bağımlı olur. Bundan dolayı b

( )

s* Mannheim eğrisi ve a

( )

s Mannheim eğri çifti olur.

Sonuç 3.2.1

(

2 2

)

1 _a a a _l lt k t¢ =-

-ifadesi olmak üzere buradan

(

)

ò

ò

_a¢ =- k_a -lt_a l t 2 1 1

( )(

q q

)

l ta 1 tanh2 1 _{- ¢} -=

_ò

(

_ò

+

)

= 1 tanh _ad_a c₀ a _l k t

olarak yazılabilir. Bu yüzden herhangi bir Mannheim eğrisi için tek bir Mannheim eğri çifti vardır [6].

Önerme 3.2.1 b

( )

s* 3-boyutlu Minkowski uzayında s* yay parametresi boyunca Mannheim eğrisi ve a

( )

s s yay parametresi boyunca Mannheim eğri çifti olsun. b

( )

s* genelleştirilmiş bir helis ise o zaman a

( )

s bir doğru olur [6].

İspat

( )

a b b

b N B B

T , , sırasıyla b

( )

s* eğrisinin teğet, normal ve binormal vektör alanları olsun. Genelleştirilmiş helislerin özeliğinden ve Mannheim eğrilerilerinin tanımından

0 , , 0 , = = L L N u u B_{a b}

eşitlikleri u sabit vektörü için elde edilir. Bu durumda t_a =0 ve k_a =0olur. sbt

u T

L =

,

b eşitliğinin türevi alınırsa

0 , = L u N_b b k olur. Buradan , =0 L u

N_b ve B_a,u _L =0türevi alınırsa t_a N_a,u _L =0 olur.

u oskülatör düzlemdedir. t_a =0 olur. (3.24) eşitliğinde t_a =0değeri yerine yazılırsa 0

= a