NÜKLEER GAMA REZONANS OLAYINDA SICAKLIK DEĞĠġĠMĠNĠN DEBYE-WALLER FAKTÖRÜ
ÜZERĠNE ETKĠLERĠ Erhan ESER Doktora Tezi Fizik Anabilim Dalı Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
2010 Her Hakkı Saklıdır
T.C.
GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
DOKTORA TEZĠ
NÜKLEER GAMA REZONANS OLAYINDA
SICAKLIK DEĞĠġĠMĠNĠN DEBYE-WALLER FAKTÖRÜ
ÜZERĠNE ETKĠLERĠ
Erhan ESER
TOKAT 2010
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu, baĢkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların baĢka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya baĢka bir üniversitedeki baĢka bir tez çalıĢması olarak sunulmadığını beyan ederim.
ÖZET
Doktora Tezi
NÜKLEER GAMA REZONANS OLAYINDA
SICAKLIK DEĞĠġĠMĠNĠN DEBYE-WALLER FAKTÖRÜ ÜZERĠNE ETKĠLERĠ
Erhan ESER
GaziosmanpaĢa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
Nükleer Gama Rezonans olayı (Mössbauer olayı) ile ilgili geri tepme ihtimali ve Debye–Waller faktörünün hesaplanması kristal yapının ve X-ıĢını kırınım çizgilerinin yoğunluğunun belirlenebilmesi için oldukça önemlidir. Bu çalıĢmada, tamamlanmamıĢ gama fonksiyonu ve binomial katsayıları içeren n-boyutlu Debye fonksiyonu kullanılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü için iki farklı analitik formül elde edilmiĢtir. Bu analitik ifadeler kullanılarak Mathematica 5.0 programlama dilinde programı yapılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü için hesaplama sonuçları alınmıĢtır. Elde edilen formüllerin geçerliliği ve doğruluğu saf ve katkılı kristallere uygulanarak test edilmiĢ ve hesaplanan sonuçların literatürdeki benzer deneysel ve teorik sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüĢtür.
2010, 52 sayfa
Anahtar Kelimeler: Mössbauer Olayı, Debye-Waller Faktörü, Geri Tepme Ġhtimali, Debye Sıcaklığı, Debye Fonksiyonu
ABSTRACT
Mr Thesis
EFFECTS ON DEBYE-WALLER FACTOR OF TEMPERATURE VARIATION IN NUCLEAR GAMMA RESONANCE EVENT
Erhan ESER
Gaziosmanpasa University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics
Science
Supervisor: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
The calculation of the Recoilless Fraction and the Debye–Waller factor (DWF) with related to the Nuclear Gamma Resonance event is very important for determining the intensity of X-ray diffraction lines and for crystal-structure determinations. In this study, it was obtained two different analytical expressions to determine the Recoilles fraction and Debye–Waller factor using an n- dimensional Debye approximation involving binomial coefficients and incomplete gamma functions. On the basis of these analytical expressions a program for the Recoilles fraction and Debye–Waller factor has been constructed by using Mathematica 5.0 mathematical software. The validity and reliability of the obtained analytical expressions was tested by applying them to the pure and impurity crystals, and the calculated results were found to be in agreement with the experimental and theoretical results.
2010, 52 pages
Keywords: Mössbauer Effect, Debye-Waller Factor, Recoilless Fraction, Debye Temperature, Debye Function
TEġEKKÜR
Doktora çalıĢmalarım süresince bana her türlü kolaylığı sağlayan, karĢılaĢtığım zorluklarda bana yol gösteren ve bu çalıĢmamın oluĢmasında bilgi ve deneyimlerini benden esirgemeyen danıĢman hocam sayın Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU’ na en içten teĢekkürlerimi sunarım.
KarĢılaĢtığım zorluklarda her zaman bana yol gösteren ve desteğini eksik etmeyen değerli hocam Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU’ na içten teĢekkürlerimi sunarım.
Her zaman bilgilerinden yararlandığım değerli bölüm hocalarıma teĢekkürlerimi sunarım. Tez çalıĢmamın her aĢamasında bana yardımlarını esirgemeyen değerli arkadaĢlarım, Öğr. Gör. Hüseyin KOÇ, ArĢ. Gör. SavaĢ SÖNMEZOĞLU, ArĢ. Gör. Necati BAġMAN, ArĢ. Gör. Fikret YILMAZ, ArĢ. Gör. Utkan ALP, ArĢ. Gör. ġükrü YILDIZ, Uzman Semra ERGEN, ArĢ. Gör. Asaf Tolga ÜLGEN, Ebru ÇOPUROĞLU’ na teĢekkür ederim.
Hayatım boyunca maddi ve manevi olarak hep yanımda olan canım aileme çok teĢekkür ederim.
Erhan ESER
Temmuz-2010
ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖZET i ABSTRACT ii TEġEKKÜR iii ĠÇĠNDEKĠLER iv ġEKĠLLER DĠZĠNĠ v ÇĠZELGELER LĠSTESĠ vi KISALTMALAR vii 1. GĠRĠġ 1 2. GENEL BĠLGĠLER 3
2.1. Gama IĢınlarının Rezonansla Soğurulması 3
2.2. Mössbauer Olayı 7
2.3. Mössbauer Spektrumlarının Elde Edilmesi 13
2.4. Mössbauer Parametreleri 16
2.4.1. Geri Tepme Olayı 16
2.4.2. Doppler Kayması 17
2.4.3. Ġzomer Kayması 19
2.4.4. Elektrik Kuadrupol EtkileĢmeleri 21
2.4.5. Manyetik Dipol EtkileĢmesi 22
2.4.6. Geri Tepme Ġhtimali ve Debye-Waller Faktörü 24 2.4.7. Geri Tepme Ġhtimali ve DWF’ nün Sıcaklığa Bağlılığı 27
3. MATERYAL ve METOD 29
3.1. Metot 1 29
3.2. Metot 2 34
4. BULGULAR 36
4.1. Saf Yapıdaki Kristaller için f ve DWF Değerleri 36
4.2. Katkılı Kristaller için f ve DWF Değerleri 40
5. SONUÇ ve TARTIġMA 44
KAYNAKLAR 47
EKLER 51
ÖZGEÇMĠġ 53
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
Sayfa No
ġekil 2.1. UyarılmıĢ durumdan taban durumuna geçiĢ 3
ġekil 2.2. Gama fotonu yayınlayan çekirdeğin geri tepmesi 4 ġekil 2.3. 191Ir’ nin 129 keV’lik ıĢınlarının T=300 K’ deki yayınlama ve
soğurma çizgileri
5 ġekil 2.4. 191
76Os’nin bozunum Ģeması 7
ġekil 2.5. Yayınlama ve soğurma çizgileri 10 ġekil 2.6. Mössbauer spektrumu ölçme tekniği 12 ġekil 2.7. Mössbauer spektroskopisi için deneysel düzenek 13 ġekil 2.8. Gama fotonu yayınlayan atomun geri tepmesi 15 ġekil 2.9. Bir kaynak ve soğurucudaki izomer kayması ve gözlenen
spektrum
19 ġekil 2.10. Farklı kaynaklardaki Fe ve Sn’ ye bağlı izomer kayması (mm/s) 20 ġekil 2.11. 57Fe için enerji seviyelerinde ortaya çıkan yeni enerji seviyeleri
ve Mössbauer spektrum çizgileri
21 ġekil 2.12. a) Manyetik dipol yarılma; b)Yarılmalar sonucu oluĢan
Mössbauer spektrumu
23
ÇĠZELGELER LĠSTESĠ
Sayfa No
Çizelge 3.1. Mössbauer etkisi gözlenen izotoplar 11
Çizelge 4.1. Oda sıcaklığında Alüminyum için DWF değerleri 37 Çizelge 4.2. Yüksek sıcaklıklarda Alüminyum için DWF değerleri 37 Çizelge 4.3. Oda sıcaklığında Alüminyum için DWF değerleri 38 Çizelge 4.4. Bakır için sıcaklık faktörü, , değerleri 39 Çizelge 4.5. Alüminyum için sıcaklık faktörü, , değerleri 40 Çizelge 4.6. Tungsten ( 183W) için geri tepme ihtimali
40 Çizelge 4.7. Oda sıcaklığında bazı saf yapılı kristaller için geri tepme
ihtimali 41
Çizelge 4.8. 57Fe katkılı Palladyum (Pd) için geri tepme ihtimali
41 Çizelge 4.9. 57Fe katkılı Platin (Pt) için geri tepme ihtimali
42 Çizelge 4.10. 57Fe katkılı Bakır için geri tepme ihtimali
42 Çizelge 4.11. Oda sıcaklığında Kalay (119Sn) katkılı metaller için geri tepme
ihtimali 43
Çizelge 4.12. Oda sıcaklığında Kobalt (57Co) katkılı Bakır için geri tepme
ihtimali 43
Çizelge 4.13. N=600 için Debye fonksiyonu değerleri 44
Çizelge 4.14. N’ e bağlı olarak Debye fonksiyonu için elde edilen değerler 44
KISALTMALAR Debye sıcaklığı Planck sabiti Boltzmann sabiti Frekans Gama ıĢını
UyarılmıĢ durum enerjisi Taban durum enerjisi Geri tepme enerjisi Gama enerjisi Beta bozunumu Çizgi geniĢliği Elektron volt ns Nano saniye Momentum Doppler geniĢlemesi Geri tepme ihtimali Debye-Waller Faktörü Dalga boyu Tesir kesiti Beklenen değer Binomial katsayılar vii
1. GĠRĠġ
“Nükleer Gama Rezonansı” olarak bilinen Mössbauer olayı, ilk olarak 1957 yılında Mössbauer (1957) tarafından keĢfedilmiĢtir. Mössbauer olayı, kristal örgü içindeki bir çekirdek tarafından enerji kaybı olmaksızın gama fotonu salınması olayı olarak bilinir (Mössbauer, 1958; Goldstein, 1981; Bancroft, 1973). Bu olay yaklaĢık 50 elementteki 100 nükleer geçiĢ için gözlenmesine rağmen deneysel zorluklar nedeniyle bunların ancak 20 tanesi kullanılmaktadır. Bu geçiĢlerin hiçbiri mevcut kullanım için uygun olmasa da, bu teknik nükleer fizik çalıĢmalarına ek olarak katıhal fiziği, kimya, biyoloji, metalürji gibi pek çok alana da yayılmıĢtır (Pound ve ark., 1959; Sitek ve ark., 1974; Goldstein, 1981; Bancroft, 1973; May, 1971).
Gama ıĢın yayılımı ve emiliminin geri tepme olmaksızın meydana gelebileceğini gösteren Mössbauer olayı, ilk zamanlarda sadece ilginç yeni bir olaydan baĢka bir Ģey olarak görünmüyordu. Fakat kısa zaman içinde Mössbauer; rezonans çizgisinin oldukça dar olduğunu ve bunun hyperfine saçılmalarının çok basit bir Ģekilde çözülebilmesine izin verdiğini fark etmiĢtir. Bununla birlikte kullanıĢlı bu yeni metot araĢtırma faaliyetlerinde bir çığ açtı. Birkaç yıl içinde doğal bilimlerdeki hemen hemen tüm bilim dallarında Mössbauer spektroskopi uygulamaları büyük bir hızla arttı.
Daha sonraları Gonser (1962) tarafından yapılan çalıĢmalarda Mössbauer olayının önemi tam olarak açıklanmıĢtır. Bilimsel öğretilerin farklılığında meydana gelen çeĢitli problemlerin çözümünde Mössbauer spektroskopisinin önemi pek çok çalıĢma da anlatılmıĢtır (Cohen, 1976; 1980, Gonser, 1975; 1981, Thosar ve ark., 1983; Long, 1984). Yapılan bu çalıĢmalara göre; Mössbauer spektroskopisi, çekirdekteki enerji düzeyleri arasındaki geçiĢler, uyarılmıĢ seviyelerin enerji geniĢlikleri ve bu seviyelerin yaĢama zamanları, çekirdek kuadrupol momentleri ve çekirdek manyetik dipol momentleri gibi çekirdek özellikleri hakkında bilgi vermektedir (Goldstein, 1981; May, 1971). Aynı zamanda; Mössbauer spektroskopisinin çeĢitli sistemlerin bağlanma, yapısal ve manyetik özelliklerinin belirlenebilmesi için oldukça önemli olduğu anlaĢılmıĢtır.
Yapılan çalıĢmalarla birlikte 158Eu , 151Eu , 193
Ir, 187Re ve 129
I gibi birçok elementte bu olayın gerçekleĢtiği bulunmuĢtur (Mössbauer, 1961; Jaswal, 1966; De Nercy, 1960; Jia ve ark., 1994). Ancak, Mössbauer araĢtırmalarının çoğunda radyasyon kaynağı olarak ilk uyarılmıĢ seviyesinde uygun bir yarı ömür ve enerjiye sahip 57Fe ve 119Sn
radyo izotop kaynakları kullanılmaktadır (Gonser, 1975).
Bu çalıĢmada, n-boyutlu Debye fonksiyonu kullanılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörünün (DWF) hesaplanabilmesi için iki farklı analitik ifade elde edilmiĢtir. Elde edilen analitik ifadelerin Mathematica 5.0 programlama dilinde programları yapılarak bazı saf ve katkılı kristaller için geri tepme ihtimali ve DWF hesaplanmıĢtır. Elde edilen sonuçlar diğer teorik ve deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırılmıĢ ve uyum içinde olduğu bulunmuĢtur.
2. GENEL BĠLGĠLER
2.1. Gama IĢınlarının Rezonansla Soğurulması
Radyoaktif bozunum yapmıĢ veya bir nükleer reaksiyondan sonra ortaya çıkan ürün çekirdek, genellikle, uyarılmıĢ enerji seviyesinde kalır. Bu durumdaki çekirdek ikinci bir bozunum ile bir foton yayınlayarak daha düĢük enerji seviyesine ve sonunda da taban enerji seviyesine düĢer. Bu Ģekilde, çekirdeğin uyarılmıĢ enerji seviyesinden temel enerji seviyesine düĢerken yayınladığı fotonlara gama ıĢını denir.
Genel olarak uyarılmıĢ durumdaki bir çekirdek, uyarılmıĢ enerji durumundan taban durumuna geçerken,
(2.1)
bağıntısına göre frekanslı bir fotonu yayınlar. ġekil 2.1’de görüldüğü gibi, bu fotonun öncekinin aynı baĢka bir çekirdek tarafından soğrulup çekirdeği taban durumundan uyarılmıĢ duruma çıkarmasına rezonans adı verilir. Rezonansla uyarılan bu çekirdekler tekrar taban durumuna geçerken, aynı frekanslı ıĢınımları bütün doğrultuda yayınlarlar.
ġekil 2.1. a) Taban durumuna geçiĢ, b) UyarılmıĢ duruma çıkma hv ET EU ET EU hv (a) (b)
Rezonansla soğurma olayının meydana gelebilmesi için, ikinci çekirdek için verilen;
(2.2)
frekansın birinci çekirdeğin yayınladığı fotonun frekansına eĢit olması gerekir. Gerçekte birinci çekirdek fotonu yayınlarken, momentum korunumu kanunu gereği çekirdek de ġekil 2.2’deki gibi aynı momentumla zıt yönde geri teper. Geri tepme enerjisi değerini enerjisinden alacağı için, yayınlanan fotonun enerjisi, kütle merkezi sisteminde olduğu halde, laboratuar sisteminde;
(2.3)
olur. Burada geri tepme olmadığında yayınlanan fotonun enerjisidir.
ġekil 2.2. Gama fotonu yayınlayan atomun geri tepmesi
Aynı Ģekilde ikinci çekirdek gelen fotonu soğurduğunda yine momentum korunumu kanununa göre, enerjisi ile geri tepeceğinden (öteleneceğinden) bu çekirdeğin uyarılması için:
(2.4)
kadar enerji gereklidir.
M
Buna göre, yayınlama ve soğurma çizgileri arasındaki frekans ve enerji farkı aĢağıdaki gibi olur.
(2.5)
(2.6)
ġekil 2.3’de görüldüğü gibi yayınlama ve soğurma çizgileri arasındaki ’lik enerji farkından dolayı - ıĢınlarının yayınlama ve soğurma çizgilerinin merkezleri üst üstte gelmez.
ġekil 2.3. 191Ir’ nin 129 keV’lik -ıĢınlarının T=300 K’ deki yayınlama ve soğurma
çizgileri
Gama ıĢınlarının rezonansla soğrulmasını yani, iki çizginin üst üstte gelmesini sağlamak için genelde, Doppler kaymasından yararlanılır. Bunun içinde kaynağın ya da soğurucunun birbirlerine göre hareket ettirilmesi sağlanır. olacak Ģekilde hızı ayarlanırsa geri tepme sonucu azalan enerji Doppler enerji artması ile karĢılanmıĢ olup, yayınlama ve soğurma çizgilerinin üst üste gelmesi sonucu rezonansla soğurma mümkün olacaktır.
Ş
idd
et
Yayınlama çizgisi Soğurma çizgisi
E0-EG E0=hv0 E0+EG Enerji
EG EG
Mössbauer tarafından gama yayınlanması olayı keĢfedilmeden önce, ıĢınlarının rezonansla soğurulması, Doppler kaymasına dayanan çeĢitli metotlarla inceleniyordu. Bu olay ilk olarak Moon (1950; 1951) tarafından gözlenmiĢtir. AĢağıda kısaca bilgi vereceğim Mössbauer olayı gama ıĢınlarının rezonansla soğurulmasının kolayca gözlenebilmesini sağlayan ve fizik, kimya ve biyoloji gibi pek çok alanda çeĢitli uygulamalara yol açan yeni bir metottur.
2.2. Mössbauer Olayı
Mössbauer olayı, ilk olarak 1957 yılında Rudolf Ludwing Mössbauer tarafından keĢfedilmiĢtir (Mössbauer,1958; 1961) ve kristal örgü içindeki bir çekirdek tarafından enerji kaybı olmaksızın gama fotonu salınması olayı olarak bilinir (Mössbauer, 1958; Goldstein, 1981; Bancroft, 1973).
Mössbauer olayının keĢfi ġekil 2.4’ de görünen 191
76Os’un yayımlayarak parçalanması sonucu meydana gelen uyarılmıĢ durumdaki 191
77 Ir’nin yaydığı 129 keV’lik fotonlarının rezonans durumunun incelenmesiyle baĢlamıĢtır (Mössbauer, 1958; 1961).
ġekil 2.4. 191
76 Os’nin bozunum Ģeması 1 191 76Os 191 77 Ir 2 129keV 171 keV 0 9 2 11 2 3 2 5 2
Mössbauer olayından (1956) önce nükleer rezonansı belirlemek için yapılan çalıĢmalar, yayılan atomun çevresi ve komĢuları ile olan bağlanma enerjilerini ihmal ettiklerinden dolayı baĢarısız olmuĢlardır. Bu etki ilk olarak 1957 yılında Mössbauer tarafından dikkate alınmıĢtır. Mössbauer; kuantum mekaniksel yöntemleri kullanarak bir kristal örgü içerisinde olup fotonu yayan bir atomda üç farklı durumun görülebileceğini ileri sürmüĢtür:
i) Eğer, serbest atomun geri tepme enerjisi, katıdaki atomun bağlanma enerjisinden
daha büyük ise, atom bu bağın kopması ile örgüden ayrılır.
ii) Eğer, serbest atomun geri tepme enerjisi bağlanma enerjisinden daha az ama
fonon enerjisinden daha büyük ise atom örgüde kalır. Fakat uyarma ile kristal örgünün fonon modlarının enerjisini dağıtır.
iii) Eğer, serbest atomun geri tepme enerjisi fonon enerjisinden daha az ise,
rezonans emilimi Mössbauer olayına katılır.
Mössbauer; bu olayın keyfi olarak uyarılmamıĢ bir sistem olmasından kaynaklandığını açıklamıĢtır. Yani, bu durumda atom kristal örgüdeki yerinden ayrılmayacak ve fonon enerji seviyeleri uyarılmayacaktır. Çünkü fonon enerjilerinin kuantumlanmıĢ durumda olması, bunların geliĢigüzel biçimde uyarılamayacağını gösterir.
UyarılmıĢ durumdaki bir çekirdek bir gama ıĢını yayınlarsa kendiside momentum korunumu kanununa uygun olarak geri tepme enerjisi alacaktır. Alınan bu geri tepme enerjisi doğal çizgi geniĢliğinden ( ) daha büyük ise, gama enerjisi taban durumundaki çekirdeği uyarmaya yetmeyecektir. Bu enerji ( ), soğurulma olayında momentum korunumu kanununa göre bir kez daha harcanacaktır. Yani rezonans olayı sırasında kadar enerji, yayınlayan ve soğuran çekirdekler tarafından geri tepme enerjisi olarak alınacaktır ve böylece rezonans olma olasılığı azalacaktır.
Olayı daha ayrıntılı inceleyebilmek için olayın kinematiğini inceleyelim. Buna göre; bu sistem için enerji korunumu ve momentum korunumu aĢağıdaki gibi yazılabilir (Ünak, 1972). *2 2 * 2 2 n n n n P P E E E m m (2.7) * n n P P P (2.8) Burada * n P ve * n
E çekirdeğin fotonu yayınlamadan önceki Pn ve En ise fotonu yayınladıktan sonraki enerji ve momentumlarıdır. EĢitlik (2.7) ve (2.8)’ den
fotonunun enerjisi; 2 * * 2 n n n P P P E E E m m (2.9) bulunur. * 0 n n E E E , * n P P D m ve 2 2 G P E m (2.10)
olduğu kabul edilirse, EĢitlik (2.9) aĢağıdaki gibi tekrar yazılabilir.
0 G
E E D E (2.11)
D Doppler geniĢlemesi olup aĢağıdaki gibi ifade edilir.
* * * *
0
cos cos cos
n P P mv E v v D E E m mc c c . (2.12)
Burada v çekirdeğin denge konumu etrafındaki hareketinden dolayı oluĢan hızıdır. Bu *
hızın her doğrultuda bir bileĢeni olabileceğinden dolayı D, bir çizgi geniĢlemesi
Geri tepme enerjisi için;
(2.13)
ifadesi yazılır. O halde yayınlanan ıĢını, E0 enerjisini değil de enerjisini alır ve bir geniĢliğe sahip olur (ġekil 2.5). Soğurulma olayında geri tepme momentumu gama ıĢınının yayınlama doğrultusunda olduğundan soğurma spektrumunun ağırlık merkezi E0EG olur.
ġekil 2.5. Yayınlama ve soğurma çizgileri
Geri tepme enerjisi çizgi geniĢliğinden çok büyük olduğu zaman bir rezonans oluĢabilmesi mümkün değil gibi görünür. Ancak, termik hareketler nedeniyle oluĢan Doppler geniĢlemesi geri tepme enerjisi büyüklüğünde olabilir ve bazı gama ıĢınlarının enerjileri rezonans yapmaya yetebilir. Doppler geniĢlemesi ve geri tepme enerjisi, gama ıĢını yayınlayan çekirdeğin içinde bağlı olduğu yapıyla ilgilidir. Eğer bu yapı kristal örgüsü ise, çekirdeğin hareketi esnek titreĢimlerle anlatılabilir ve bu esnek titreĢimlere ait enerjiye fonon enerjisi denir. Fonon enerji seviyeleri Ģeklinde kuantumlanmıĢtır. Eğer yayınlama olayından sonraki enerji ise, kristale bir geri
tepme enerjisi aktarması olmaz ve bu durumda ıĢını yayınlamasına geri tepmesiz denir. Mössbauer olayında geri tepme ihtimali ( f ) (Mössbauer,1958; 1961; Mössbauer ve Wiedemann, 1958; Harris ve ark., 1965);
2 2
2 2 2
4
exp x exp exp 2
f k x W
(2.14)
Ģeklinde ifade edilir. Burada gama ıĢınlarının dalga boyu, k yayılan gama ıĢınlarının dalga vektörü (k 2 E
c
) ve gama ıĢını yönünde yayılan çekirdeğin titreĢim genliğinin bileĢenidir. Bu ifade bir sıvı veya bir gazda, değerlerinin büyük olmasından dolayı Mössbauer olayının gözlenmesinin oldukça güç olduğunu gösterir. Aynı zamanda küçük bir k değeri, büyük bir f değeri verebilir. Bu yüzden, Mössbauer olayının gözlenmesi için düĢük enerjili gama ıĢınları tercih edilir. Bugün bu olay yaklaĢık 100 nükleer geçiĢte gözlenmekle birlikte deneysel zorluklar sebebiyle bunlardan yaklaĢık 20 tanesi kullanılmaktadır (Çizelge 2.1) (Ünak, 1972). Bu izotoplar içinde ilk uyarılmıĢ seviyesinde uygun bir yarı ömür ve enerjiye sahip kararlı bir izotop olan 57Fe ’de Mössbauer olayının daha kolay gözlenebilmesi bu izotopun önemini
Çizelge 2.1. Mössbauer etkisi gözlenen izotoplar
Ġzotop Gama IĢını Enerjisi UyarılmıĢ durumun Ömrü (keV) (ns) 57Fe 14.4 100 61 Ni 71 51 67Zn 93 10.000 83Kr 9 --- 99 Ru 89 --- 119 Sn 24 18 125 Te 35.5 2.2 129I 27 --- 129Xe 40 1 149Sm 22 1 151Eu 22 3 152 Sm 122 1.4 155Gd 87 0.6 159Tb 58 --- 160Dy 84 2.5 161Dy 26 28 166 Er 81 1.8 169Tm 8 4 170Yb 84 1.6 177Hf 113 0.6 181Ta 6.25 9800 182 W 100 1.3 183W 46 99 0.15 0.57 187Re 134 2 191Ir 129 0.13 193Ir 73 --- 195Pt 99 0.16 197Au 77 1.9
2.3. Mössbauer Spektrumlarının Elde Edilmesi
Bugüne kadar Mössbauer olayının incelenebilmesi ve bu konuyla ilgili denemelerin yapılabilmesi için farklı Ģekillerde sistemler yapılmıĢtır. Genel olarak bir Mössbauer deneyi yapmak için bir radyoaktif gama kaynağı, bir soğurucu, bir -dedektörü, bir hata ayıklayıcı, bir sinyal yükseltici ve kaynak ile soğurucu arasındaki göreli hızı sağlamak için bir düzenek gereklidir (ġekil 2.7).
Farklı birçok sistem geliĢtirilse de genellikle kaynağı veya soğurucu madde bir mekanik sistemle harekete geçirilir ve soğurucu maddenin arka tarafına yerleĢtirilen bir detektör sayesinde de gama ıĢınlarının absorbsiyonu ölçülür. ġekil 2.6’da böyle bir sistemin basit bir Ģeması gösterilmektedir.
(a) (b)
ġekil 2.6. Mössbauer spektrumu ölçme tekniği
ġekilde ki kaynağı hareket ettiren sistemler genel olarak iki gruba ayrılır. Birinci grupta soğurucu madde belli bir t anında belli v1 hızıyla harekete geçirilir ve detektörün
ölçtüğü sayımlar kaydedilir. Sonra tekrar bu madde bu sefer v2 hızıyla hareket ettirilir
ve aynı Ģekilde sayımlar kaydedilir. Madde kaynağa yaklaĢtığı zaman hızı pozitif, uzaklaĢtığında negatif alınır. Bu Ģekilde elde edilen sayım ve hızlar arasında çizilen eğri Mössbauer spektrumunu vermektedir (ġekil 2.6).
Gama Kaynağı Soğurucu Dedektör
V V V V h 0 Sayım V 2 Deney Sonuç
Ġkinci grupta, kaynağın hızı, belli bir zaman aralığında sabit olmayıp –v ile +v arasında değiĢmektedir. Kaynak önce 0 ile +v hız arasında bir t zamanında harekete geçer. Sonra yine t zamanında +v ile 0 arasında hız değiĢir. Aynı durum 0 ile –v ve –v ile 0 arasında da tekrarlanır. Bu Ģekilde maddenin hızı 4t zaman aralığında –v ile +v arasında değerler almıĢ olacaktır. Aynı Ģekilde gama detektörünün aldığı sayımlar çok kanallı gama spektroskopisi ve çeĢitli elektronik sistemler sayesinde analiz edilerek Mössbauer spektrumu elde edilir. Bu yol, spektrumların bir defada ve daha çabuk Ģekilde elde edilmesi açısından kolaylık göstermektedir. ġekil 2.7’de bu türden bir sistemin genel çalıĢma Ģekli verilmiĢtir.
Elde edilen Mössbauer soğurma spektrumlarının çizgi geniĢliği;
2
den soğ emis
(2.15)
gibi ifade edilir (ġekil 2.6b). Burada soğ ve emis soğurma ve emisyon çizgi
geniĢlikleridir. Heisenberg belirsizlik ilkesinden:
(2.16a)
(2.16b)
elde edilir. Burada uyarılmıĢ seviyenin yaĢam süresidir. Buna göre, soğurma veya rezonans Ģiddeti için aĢağıdaki ifade elde edilir.
(2.17)
Burada rezonans yapan ana atomların soğurucu madde içindeki yüzdesi, N atom sayısı, f ve sırasıyla soğurma ve emisyondaki Debye-Waller faktörleri(Waller, 1923) ve maksimum soğurma tesir kesitidir.
2.4. Mössbauer Parametreleri
Mössbauer Spektroskopisi, ıĢınının yüksek enerji çözünürlüğü, çekirdek ve elektronlar arasındaki etkileĢimlerin belirlenmesi gibi parametreler hakkında bilgi vermektedir. AĢırı ince yapı etkileĢimleri olarak adlandırılan bu etkileĢimler izomer kayması, elektrik kuadrupol etkileĢim ve manyetik ince yapı etkileĢimi olarak karĢımıza çıkmaktadır
2.4.1. Geri Tepme Olayı
kütleli bir atom çeĢitli nedenlerle dıĢarıya fotonlar salarken, salınan bu fotonlar ve momentum korunumu ilkesine göre atom ġekil 2.8’de görüldüğü gibi aynı momentumla zıt yönde hareket eder (Ünak, 1972). Bu olay, gülle atan bir topun atılan güllenin verdiği hareket ile geriye tepilmesine benzetilebilir. Burada da gama fotonu güllenin yaptığı gibi atomu geriye tepecek ve atom geriye doğru bir hareket kazanmıĢ olacaktır. Bu olay geri tepme olayı olarak bilinir.
ġekil 2.8. Gama fotonu yayınlayan atomun geri tepmesi
Buna göre atomun geri tepme enerjisi yani, geri tepilmeden sonra kazandığı kinetik enerji: 2 2 2 2 2 2 2 G E h E mc mc (2.18)
M
P
Ph cĢeklinde ifade edilir. Burada m atom kütlesi, c ıĢık hızı, h Planck sabiti, v frekans ve gama ıĢınının enerjisidir. Bir atom tarafından salınan fotonlar, ister elektronların seviye değiĢtirmesi isterse çekirdeğin seviye değiĢtirmesi sonucu salınmıĢ olsun durum aynıdır. Hareketsiz bir atoma enerjili bir fotonun çarptığı düĢünülürse, bu durumda foton enerjisini atoma aktaracak ve atom yine enerjisi ile geri tepecektir (Cohen, 1976).
2.4.2. Doppler Olayı
Ġlk olarak 1842 yılında C. Andreas Doppler tarafından ileri sürülen Doppler olayı, kısaca dalga özelliği gösteren herhangi bir fiziksel varlığın frekans ve dalga boyunun hareketli (yakınlaĢan veya uzaklaĢan) bir gözlemci tarafından farklı zaman veya konumlarda farklı algılanması olayıdır. IĢık, radyo dalgaları veya radyasyon gibi fiziksel bir dalga ortamına ihtiyaç duymayan dalgalar için Doppler etkisi hesaplanırken sadece dalga kaynağının ve gözlemcinin birbirine göre birim zamandaki konumlarının değerlendirilmesi yeterli olur. Yayılan dalga sayısı, kaynak yaklaĢırken alıcıya daha az sürede gelir. Çünkü kaynak dalga yayınlandıktan sonra alıcıya yaklaĢmaktadır. Bu nedenle frekans daha büyük çıkar. Bunun tersi olması durumunda yani, yayılan dalga sayısı kaynak uzaklaĢırken alıcıya daha uzun sürede gelir ve bu yüzden de frekans daha küçük çıkar.
IĢık hızıyla hareket eden bir fotonun enerjisi;
f
hc
E h
(2.19)
ile verilir. Fotona v hızı ile bir atom yaklaĢtığı düĢünülürse, fotonun enerjisi;
bağıl bağıl hc h E c v (2.20) olur.ve EĢitlik (2.19) dikkate alınırsa, 1 bağıl f v E E c (2.21)
elde edilir. Bu durumda fotonun atoma göre bağıl enerjisi gerçek enerjisinden daha büyük olur. f v E E c (2.22)
Aynı Ģekilde atomun fotondan uzaklaĢtığı düĢünülürse;
1 bağıl f v E E c (2.23)
bulunur. (2.21) ve (2.23) eĢitliklerinden görüldüğü gibi, atom fotona hızı ile yaklaĢtığında fotonun atoma göre bağıl enerjisi artarken fotondan uzaklaĢtığında da fotonun atoma göre bağıl enerjisi azalmaktadır.
Aynı Ģekilde foton salan bir kaynağın sabit konumdaki bir atoma göre hızı ile yaklaĢıp uzaklaĢtığı düĢünülürse, sonuç yine (2.21) ve (2.23) eĢitlikleri ile bulunur.
Gaz halindeki bir maddenin görünür ıĢık mertebesinde enerjiye sahip fotonlar yaydığını ve bu fotonların normal enerji seviyesinde bulunan aynı türden baĢka atomlar tarafından soğrulduğunu düĢünelim. Kinetik gaz teorisinden de bilindiği gibi, gaz halindeki bu atomlar ısısal bir hareket halinde olduğundan dolayı bu fotonların enerjileri soğuran atomlara göre rölatif (bağıl) bir değer alacaktır. Bu bağıl enerjilerden dolayı, salınan bu fotonların yayınlama çizgi geniĢlikleri gerçek geniĢliklerinden daha fazla olur. ĠĢte bu olaya Doppler Olayı denir.
Buna göre yayınlama çizgilerinin Doppler geniĢliği: 1 2 2 1 2 f kT D E c m (2.24)
eĢitliği ile verilir. Burada Boltzmann sabiti, mutlak sıcaklık ve atom kütlesidir. Geri tepme enerjisi (EG E2f 2mc2 ) düĢünüldüğünde Doppler geniĢliği;
1 22 G
D k T E (2.25)
olur (Bancroft, 1973).
2.4.3. Ġzomer Kayması
Ġzomer kayması, bir atomun bir katı veya bir molekül içerisine dâhil edildiğinde çekirdekte oluĢan elektron yoğunluğundaki değiĢmelerden kaynaklanır. Yâda; kaynak ve soğurucunun her ikisindeki çekirdeği saran elektron bulutu ile nükleer yük dağılımının (atom çekirdeğinin) etkileĢmesi sonucu enerji seviyelerinin değiĢime uğraması Mössbauer spektrumunda kendini çizginin yer değiĢtirmesi olarak gösterir. ġekil 2.9a’da 57
Fe çekirdeğinin bu durumu, ġekil 2.9b’de de Mössbauer spektrumu
gösterilmiĢtir. Ġzomer kayma değerinin ölçülmesiyle Mössbauer izotobunun bağ durumları ve soğurucu maddedeki katkı atomlarının değerliliği bulunabilir (Gonser, 1975).
(a) (b)
ġekil 2.9. Bir kaynak ve soğurucudaki izomer kayması ve gözlenen spektrum.
Ġzomer kayması iki seviye arasındaki farklılıktan oluĢtuğundan dolayı, eğer aynı malzemeden olan numuneler farklı sıcaklıklarda çalıĢılırsa izomer kaymasına benzer ama daha küçük bir değiĢim meydana gelebilir. Bu yüzden, izomer kayma hesaplanırken her zaman standart bir madde alınmalı ve diğer maddeler bu maddeye göre ölçülmelidir. ġekil 2.10’da farklı kaynaklarda Fe ve Sn’ ye bağlı izomer kaymaları görülmektedir.
2.4.4. Elektrik Kuadrupol EtkileĢmeleri
Ġncelenen çekirdek eğer küresel simetrik bir yük dağılımına sahip değilse o zaman çekirdek bir elektrik kuadropol momentine sahip olur. Çekirdek kuadrupol moment, çekirdeğin küresel simetriden sapmasını yansıtır. Mössbauer atomunun çekirdek elektrik kuadropol momenti ile kristaldeki diğer elektriksel yüklerden gelen elektrik alanı gradyentinin giriĢimi sonucunda nükleer spinlerin ayrılmasıyla çekirdek seviyelerde farklı Ģekilde yeni seviyelere bölünür. Bunun sonucunda da Mössbauer spektrumunda bu seviyelere karĢı gelen iki veya daha fazla rezonans çizgisi görülür (May, 1971). ġekil 2.11’ de Fe için çekirdek seviyeleri ve bu durum için Mössbauer spektrum çizgileri gösterilmiĢtir.
ġekil 2.11. 57Fe için enerji seviyelerinde ortaya çıkan yeni enerji seviyeleri ve
Nükleer elektrik kuadrupol momenti “Q” ile elektrik alanın gradyenti arasındaki etkileĢim;
(2.26)
Hamiltoyeni ile verilmekte ve
(2.27)
olarak ifade edilir. Burada q bağımsız bir bileĢen, I çekirdek spini, asimetri parametresi ve ve yükseltme ve indirgeme operatörleridir. EĢitlik (2.27)’nin çözümü;
(2.28)
Ģeklinde verilir. Burada çekirdeğin manyetik kuantum sayısı olup,
değerlerini alır. Deney sonunda elde edilen kuadrupol yarılmaları ölçümlerinden incelenen materyalin kimyasal özellikleri hakkında bilgiler elde edilebilir (Gonser, 1975).
2.4.5. Manyetik Dipol EtkileĢmesi
Bu etkileĢme, çekirdeğin manyetik dipol momenti ile çevrenin oluĢturduğu manyetik alan arasındadır (May, 1971) ve
(2.29)
olarak tanımlanır. Burada çekirdeğin manyetik dipol momentinin olduğu düĢünülürse EĢitlik (2.29);
Ģeklinde tekrar yazılabilir. Burada g nükleer g-çarpanı ve ’ de nükleer manyeton olarak bilinir. Bu durumda meydana gelen enerji seviyelerinin enerjileri;
, (2.31)
eĢitliği ile verilir. Enerji düzeylerinin manyetik alan içinde yarılmasının nedeni bu düzeye ait spinin manyetik alan üzerindeki bileĢenlerinin farklı farklı olmasındandır (May, 1971). Bu yarılmalardan dolayı Mössbauer spektrumunda çok sayıda çizgiler görülür (ġekil 2.12). Mössbauer spektrumunda bu durumun incelenmesi ile atomların manyetik özellikleri, manyetik momentleri, spin durulma zamanları ve Curie sıcaklıkları tespit edilebilmektedir (Gonser, 1975).
ġekil 2.12. a) Manyetik dipol yarılma; b)Yarılmalar sonucu oluĢan Mössbauer spektrumu
2.4.6. Geri Tepme Ġhtimali ve Debye-Waller Faktörü
Geri tepme ihtimali, bir çekirdeğin fotonu salması sırasında Mössbauer olayının meydana gelme olasılığı olarak tanımlanır ve genellikle ile gösterilir (Ünak, 1972). Geri tepme ihtimali ve sıcaklığa bağlı değiĢimlerinin incelenmesi x-ıĢını kırınım çizgilerinin yoğunluğunun (Frauenfelder, 1962; Bpyle ve Hall, 1962) ve kristal örgü yapısının belirlenmesi (Mahesh, 1968) için oldukça önemlidir. Aynı zamanda; değerinin belirlenmesi elastik olmayan nötron saçılmaları ve dinamik elektron kırınımı için oldukça önemlidir (Sears ve Shelley, 1991; Peng ve ark., 1996). Ancak fizik ve kimya uygulamalarındaki önemine rağmen pek çok kristal için tam olarak bilinmemektedir.
Bir kristal örgü içindeki bir çekirdek tarafından yayılan veya soğurulan gama ıĢınlarının geri tepme olasılığı (Mössbauer,1958; 1961; Mössbauer ve Wiedemann, 1958; Harris ve ark., 1965);
k x
W
x
f exp 4 2 exp 2 2 exp 2
2 2 (2.32)
Ģeklinde ifade edilir. Burada yayınlanan çekirdeğin titreĢim genliğinin karesinin beklenen değeri, k yayılan gama ıĢınlarının dalga vektörü ve gama ıĢınının dalga boyudur. EĢitlik (2.32)’ de W değeri ise DWF olarak bilinir.
Uygulama alanlarının fazla olmasından dolayı bu parametrenin doğru olarak ve herhangi bir keyfi sıcaklık değeri için belirlenmesi son derece önemlidir. Bugüne kadar kristallerin geri tepme ihtimali ve DWF’ nün belirlenebilmesi için pek çok deneysel ve teorik yöntem geliĢtirilmiĢtir. Deneysel olarak x-ıĢını kırınımı (Paakkari, 1975; Dingle ve Medlin, 1972; Krishna, 1998; Shankar ve ark., 2001; Feranchuk ve ark., 2002; Derlet ve ark., 2005; Flinn ve ark., 1961; 1963; D. Vila ve ark., 2007), nötron kırınımı (Sears ve Shelley, 1991), Mössbauer spektroskopisi (Shukla ve Taylor, 1992; Dunlap ve ark., 1998; Okuducu ve Askerov, 2002; Askerov ve ark., 1988; 1989) ve radyoaktif iyon ıĢın tekniği (Correia, 1998) gibi farklı teknikler kullanılmaktadır. Butt ve ark. (1988;
1993) tarafından yapılan çalıĢmada x-ıĢını, nötron ve gama ıĢınları kullanılarak kübik yapıdaki kristal ve bileĢikler için DWF hesaplanmıĢtır.
X-ıĢını kırınımından elde edilen durum yoğunlukları kullanılarak Al kristali için farklı
sıcaklıklardaki DWF değerleri Dingle ve Meldin (1972) tarafından elde edilmiĢtir.
Peng ve ark.(1996) deneysel olarak belirlenen fonon durum yoğunluklarını kullanarak farklı sıcaklıklarda elementel yapıdaki kristaller için DWF hesaplamıĢlardır.
Saf yapıdaki kristaller için yapılan çalıĢmalar yanında farklı katkı atomları (57Fe, 119Sn, …) ile katkılanmıĢ kristaller içinde f ve DWF değerleri hesaplanmıĢtır. DeWames ve ark. (1963) tarafından yapılan çalıĢmada Al ve Cu kristalleri için 0–400 K sıcaklık aralığında DWF’nin sıcaklıkla değiĢimi incelenmiĢtir.
77–300 K sıcaklık aralığında ve farklı oranlarda 151Eu katkılı Ga2Se3 tek kristaller için
elektron yapısı, f ve Debye sıcaklık değerleri Okuducu ve Askerov (2002) tarafından nükleer gama rezonans yöntemi kullanılarak belirlenmiĢtir.
Sorescu (2002) tarafından yapılan çalıĢmada oda sıcaklığında Mössbauer deneyinden yararlanılarak f ’in belirlenebilmesi için yeni bir metot önerilmiĢtir. Bu çalıĢma da diğerlerinden farklı olarak iki ayrı soğurucu kullanılmaktadır.
Shankar ve ark. (2001) x-ıĢını yöntemini kullanarak hcp yapıdaki Ti, Zr, Ru, Tm ve Hf için DWF ve Debye sıcaklıklarını hesaplamıĢlardır.
Mössbauer olayının keĢfinden bugüne kadar (Mössbauer,1958; 1961) yapılan deneysel çalıĢmalar yanında pek çok teorik çalıĢmalarda yapılmıĢtır (Killean, 1974; Mahesh, 1968; Sears ve Shelley, 1991; Peng ve ark., 1996; Gao ve Peng, 1999; Jacobsen, 1955; Lehman, 1962; 1963; White, 1958; Walker, 1956; Heberle, 1971; Giovanelli ve Orefice, 2005; Eser ve ark., 2009; Schowalter ve ark., 2009). Flinn ve ark.(1961; 1963) tarafından yapılan çalıĢmada Cu için DWF’ nin sıcaklığa bağlılığı, merkezi kuvvet modeli (C.F) kullanılarak analiz edilmiĢtir.
Gao ve Peng (1999), Debye yaklaĢımına ve fonon durum yoğunluğuna bağlı olarak elementel yapıdaki 68 kristal ve 17 bileĢik için DWF hesaplamıĢlardır.
Green fonksiyonu tekniği kullanılarak farklı metalik katılardaki Fe katkıları için DWF değerleri Roy ve Kundu (1987) tarafından verilmiĢtir.
Robertson ve Reid (1979) tarafından yapılan çalıĢmada, Shell modeli kullanılarak 1– 1000 K sıcaklık aralığında Si için DWF değerleri hesaplanmıĢtır.
Ancak, yapılan deneysel çalıĢmalar oda sıcaklığı gibi (293 K) sabit bir sıcaklıkta yapıldığından dolayı, elde edilen sonuçları farklı sıcaklık bölgeleri için kullanmak zor olduğu gibi aynı zamanda da deneysel durumlara tam olarak karĢılık gelmemektedir.
Teorik çalıĢmalarda, yapılan hesaplamalar düĢük sıcaklık ve yüksek sıcaklık bölgeleri altında iki farklı seri geniĢlemeye sahiptir. Bu tip hesaplamalar iĢlemlerin zor olmasına ve çok zaman almasına neden olmaktadır. Örneğin, Heberle (1971) tarafından yapılan çalıĢmada Bernolli sayıları kullanılarak yüksek ve düĢük sıcaklıklarda DWF’nin hesaplanması için iki ayrı analitik ifade verilmiĢtir.
Mahesh (1968), düĢük ve yüksek sıcaklık bölgelerinde Debye integralinin iki farklı sonsuz seri geniĢlemesini kullanarak çeĢitli kristaller için DWF değerlerini hesaplamıĢtır. DüĢük sıcaklıklarda, DWF’ nin sıcaklıkla değiĢimi oldukça küçük olup Debye sıcaklığının küçük sıcaklık değiĢimleri kullanılarak tanımlanabilir. DüĢük sıcaklığın aksine yüksek sıcaklıklarda ise DWF sıcaklık artıĢı ile birlikte aniden azalmaktadır.
Guseinov ve Mamedov (2007) tarafından binomial seri açılım teorisini kullanarak Debye integralinin çözülebilmesi için analitik formül oluĢturulmuĢtur. Eser ve ark., (2009) tarafından burada oluĢturulan yaklaĢım kullanılarak bazı kristaller için geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü hesaplanmıĢtır.
2.4.7. Geri Tepme Ġhtimali ve DWF’ nün Sıcaklığa Bağlılığı
Termal titreĢimlerin kristallerdeki x-ıĢını saçılmalarının yoğunluğu üzerine etkisi pek çok çalıĢmada açıkça gösterilmiĢtir (Debye, 1914; Laval, 1938; 1939; Faxen, 1918; 1923; James, 1967). En çok bilenen etkisi kristal düzlemlerinden gelen Bragg yansımalarının yoğunluğunun Debye-Waller teorisinden elde edilen faktörüne göre azalmasıdır.
Geri tepme ihtimalini tanımlamak için genellikle Debye yaklaĢımı (1914) tercih edilir ve Debye ısı kapasitesi denkleminin elde edilmesinde kullanılan titreĢim özelliklerine sahip bir kristal düĢünülür. Buna göre, bir Debye kristali için geri tepme ihtimalinin sıcaklığa bağlılığı aĢağıdaki gibi verilir (Nussbaum ve Gruverman, 1971).
(2.33) EĢitlik (2.33)’de; (2.34) ve (2.35)
olarak tanımlanır. EĢitlik (2.34) ve (2.35)’ de Debye sıcaklığı, gama geçiĢ enerjisi, m çekirdeğin kütlesi ve c ise ıĢık hızıdır. EĢitlik (2.34) ve (2.35), EĢitlik (2.33)’de yerine yazılırsa,
(2.36)
DüĢük sıcaklıklarda ;
(2.37)
olduğundan (2.36) eĢitliği,
(2.38)
3. MATERYAL ve METOT
Mössbauer olayı ile ilgili geri tepme ihtimali ve Debye–Waller Faktörünün hesaplanması kristal yapının ve x-ıĢını kırınım çizgilerinin yoğunluğunun belirlenebilmesi için oldukça önemlidir. Bu çalıĢmada tamamlanmamıĢ gama fonksiyonu ve binomial katsayıları içeren n-boyutlu Debye fonksiyonunun sıcaklığa bağlı genel ifadesi kullanılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü için iki farklı seri açılım elde edilmiĢtir. Bu serilerin Mathematica 5.0 programlama dilinde programları yapılarak geri tepme ihtimali ve Debye-Waller Faktörü hesaplanmıĢtır. Elde edilen formüllerin geçerliliği ve doğruluğu saf ve katkılı kristallere uygulanarak test edildi. Hesaplanan sonuçlar literatürdeki deneysel ve teorik sonuçlarla karĢılaĢtırıldı ve uyum içinde olduğu bulunmuĢtur.
3.1. Metot 1: Geri Tepme Ġhtimali ve DWF’nin Hesaplanması
Geri tepme ihtimali genel olarak aĢağıdaki gibi tanımlanır (Mössbauer,1958; 1961; Mössbauer ve Wiedemann, 1958; Harris ve ark., 1965);
(3.1a)
(3.1b)
Burada ifadesi,
(3.2)
olarak tanımlanır. EĢitlik (3.2)’de dönüĢümü yapılırsa;
elde edilir. EĢitlik (3.3)’de aĢağıda verilen Binomial açılım teoremi (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980; Guseinov ve Mamedov, 2007);
. (3.4)
binomial katsayısı;
(3.5)
kullanılırsa EĢitlik (3.3);
(3.6)
elde edilir. Burada fonksiyonu;
(3.7)
gibi ifade edilir. EĢitlik (3.7) için parçalı integrasyon yöntemi uygulanırsa;
ve
(3.8)
EĢitlik (3.8) için tekrar parçalı integrasyon uygulanırsa;
ve
(3.9)
elde edilir. Tekrar parçalı integrasyon uygulanırsa;
ve
(3.10)
elde edilir. Tekrar parçalı integrasyon uygulanırsa;
ve
(3.11)
Elde edilen ifadeler fonksiyonunda yerine yazılırsa; (3.12) (3.13)
elde edilir. Burada olduğu kabul edilirse;
(3.14)
EĢitlik (3.14), parantezine alınır ve tekrar düzenlenirse;
(3.15)
(3.16)
gibi tekrar yazılabilir. Buna göre EĢitlik (3.16), EĢitlik (3.6)’da yerine yazılırsa:
(3.17)
elde edilir. EĢitlik (3.17) ile verilen fonksiyon EĢitlik (3.1)’de yerine yazılırsa;
(3.18)
elde edilir. Buradan da görüldüğü gibi çekirdek tarafından yayılan veya soğurulan gama ıĢınları için geri tepme ihtimalinde yer alan Debye integrali, binomial seri açılım teorisi ve fonksiyonu ile ifade edilmiĢtir (Mamedov ve ark., 2009). Burada elde edilen analitik ifade sadece n’nin tamsayı değerleri için geçerlidir. Bu yaklaĢım uygulanarak bazı kristaller için geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü hesaplanmıĢtır (Eser ve ark., 2009).
3.2. Metot 2: Geri Tepme Ġhtimali ve DWF’nin Hesaplanması
Debye yaklaĢımında bir kristaldeki çekirdek tarafından yayılan veya soğurulan gama ıĢınları için geri tepme ihtimali aĢağıdaki gibi tanımlanır (Mössbauer, 1958; 1961; Mössbauer ve Wiedemann, 1958; Harris ve ark., 1965);
(3.19a)
(3.19b)
EĢitlik (3.19b)’de Debye fonksiyonu olup aĢağıdaki gibi verilir.
(3.20)
Burada Boltzmann sabiti, , geri tepme enerji , ise mutlak sıcaklıktır. GenelleĢtirilmiĢ Debye fonksiyonu için formül elde etmek için EĢitlik (3.20)’de binomial açılım teorisi kullanalım (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980; Guseinov ve Mamedov, 2007);
. (3.21)
Burada, binomial katsayısı olup aĢağıdaki gibi tanımlanır.
EĢitlik (3.22)’de için, binomial katsayısı sıfırdır ve pozitif n tamsayısı terimleri ile negatif faktöriyeller toplama katkı sağlamaz (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980). EĢitlik (3.21)’de EĢitlik (3.10) düĢünülürse;
(3.23)
EĢitlik (3.23)’de görünen integral fonksiyonunu tamamlanmamıĢ (imcomplete) gama fonksiyonu,
(3.24)
olarak yazabiliriz. EĢitlik (3.23), n-boyutlu Debye fonksiyonunda yerine yazılırsa (Guseinov ve Mamedov, 2007),
(3.25)
elde edilir. EĢitlik (3.25) ile verilen n-boyutlu Debye fonksiyonu EĢitlik (3.19b)’de yerine yazılırsa;
(3.26)
eĢitliği elde edilir. Buradan da görüldüğü gibi geri tepme ihtimalinde yer alan Debye integrali, Binomial açılım teorisi ve tamamlanmamıĢ gama integraliyle ifade edilmiĢtir. Debye integralinin çözülebilmesi için (3.25) seri açılımı oluĢturulmuĢtur (Guseinov ve Mamedov, 2007). Burada oluĢturulan seri açılım Metot 1’den farklı olarak n’nin hem tamsayı hem de kesirli (tamsayı olmayan) değerleri için geçerlidir. Bu yaklaĢım uygulanarak bazı kristaller için geri tepme ihtimali ve Debye-Waller faktörü hesaplanmıĢtır (Eser ve ark., 2009)
4. BULGULAR
Bu bölümde, Bölüm 3’de elde edilen seriler kullanılarak saf ve katkılı kristaller için geri tepme ihtimali ve DWF değerleri hesaplanmıĢtır. Çizelge 1-7’de saf yapıdaki kristaller için hesaplanan ve literatürden elde edilen f ve DWF gösterilmiĢtir. Çizelge 8-12’de ise katkılı kristaller için elde edilen sonuçlar gösterilmiĢtir. Çizelge 13 ve 14’de EĢitlik (3.25)’ da elde edilen Debye fonksiyonu için yapılan hesaplamalar gösterilmiĢtir.
4.1. Saf yapıdaki kristaller için f ve DWF değerleri
Çizelge 4.1. Oda sıcaklığında Alüminyum için DWF değerleri ( ).
Yazarlar ÇalıĢmalarDiğer EĢitlik (3.18) ve (3.26)Bu çalıĢma Dingle ve Medlin (1972)* 393 0.840 0.843 Flinn ve McManus (1961; 1963)* 410 390 0.790 -0.777 0.855 McDonald (1967)* 386 390 0.890 0.870 0.872 0.855 Butt ve ark. (1988; 1993)* 394 0.860 0.839 Owen ve Williams (1947)* 395 0.840 0.835 Chipman (1960)* 390 407 0.870 0.790 0.855 0.788 Mothersole ve Owen (1965)* 397 0.840 0.827 De Marco (1967)* 387 0.890 0.868 Deneysel çalıĢmalar
Çizelge 4.2. Yüksek sıcaklıklarda Alüminyum için DWF değerleri ( ). 370 477 559 3875 3785 3629 Dingle ve Medlin (1972) 1,087 1,447 1,840 Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26) 1,077 1,437 1,826
Çizelge 4.3. Alüminyum kristali için DWF değerleri ( ). 80 295 300 375 475 485 552 588 655 700 730 810 830 860 * 405 386 383 375 365 361 355 353 345 340 336 326 325 320 Killean, (1974)** 0.320 0.890 0.901 1.160 1.541 1.580 1.870 2.032 2.360 2.591 2.770 3.251 3.370 3.572 McDonald (1967); Gilat ve Nicklow(1966); Stedman ve Nilsson (1965)** 0.325 0.901 0.890 1.220 1.562 1.600 1.890 2.071 2.420 2.620 2.771 3.240 3.342 3.640 Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26) 0.327 0.882 0.832 1.160 1.534 1.599 1.874 2.017 2.345 2.577 2.766 3.236 3.335 3.562 * Debye sıcaklıkları
413 1 0.000461.
12 D T T K denkleminden elde edildi (Killean, 1974).
Çizelge 4.4. Bakır için sıcaklık faktörü değerleri, . Flinn ve ark., (1961)* C. F. Model (Flinn ve
ark., 1963) Jacobsen (1955) White (1958)
A-S Cal. (Lehmann ve ark., 1962; 1963) Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26) 4 320 0.544 0.552 0.579 0.537 0.570 0.544 20 320 0.588 0.566 0.593 0.548 0.582 0.557 80 320 0.755 0.762 0.808 0.733 0.779 0.754 300 315 2.17 2.100 2.290 2.030 2.180 2.166 400 300 3.14 2.770 3.020 2.670 2.870 3.137 *Deneysel çalıĢma
Çizelge 4.5. Alüminyum için sıcaklık faktörü değerleri ( ), . Walker (1956) Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26) 4 - 0.471 - 20 418 0.478 0.422 80 392 0.598 0.562 300 382 1.540 1.493 400 - 2.020 -
Çizelge 4.6. Tungsten ( 183W) için f değerleri (
Bullard ve Mullen (1991) Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26) 80 0.6340 0.6412 297 0.2990 0.3015 373 0.2290 0.2261 469 0.1550 0.1566 572 0.1040 0.1054 621 0.0847 0.0872 663 0.0696 0.0742 770 0.0460 0.0488 869 0.0298 0.0335 950 - 0.0245 1120 - 0.0127 1200 - 0.0093
Çizelge 4.7. Oda sıcaklığında bazı saf yapıdaki kristaller için f değerleri
Çekirdek Diğer çalıĢmalar Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26) 22 Na 150 0.991 a 0.994 57 Fe 480 0.930 b 0.827 400 0.920 c 0.779 99 Mo 388 0.252 a 0.260 a Paakkari, 1974; b Potenziani ve Kosinski, 2004; c Okuducu ve Askerov, 2002.
4.2. Katkılı kristaller için f ve DWF değerleri
Çizelge 4.8. Oda sıcaklığında 119
Sn katkılı metaller için f değerleri ( (Grow ve ark., 1978)
Çekirdek Diğer ÇalıĢmalar Bu çalıĢma
EĢitlik (3.18) ve (3.26) Ag 190 0.2700 0.2341 Al 153 0.1410 0.1076 Au 180 0.1800 0.1987 Pd 262 0.4801 0.4621 Si 223 0.3400 0.3468 Ge 191 0.2201 0.2264 Cu 206 0.3000 0.2900
Çizelge 4.9. 57Fe katkılı Pd için f değerleri (Roy ve Kundu, 1987). Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26) 295.5 0.6891 0.6590 0.6580 380.5 0.6171 0.5870 0.5872 449.5 0.5627 0.5350 0.5342 591 0.4626 0.4280 0.4411 657 0.4209 0.3870 0.4032 729 0.3788 0.3500 0.3656 810 - - 0.3274 900 - - 0.2896 975 - - 0.2615
Çizelge 4.10. 57Fe katkılı Pt için f değerleri
(Roy ve Kundu, 1987). Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26) 295 0.7482 0.7310 0.7641 360 0.6967 0.6780 0.7237 471 0.6147 0.5870 0.6488 561 0.5701 0.5380 0.6101 697 0.4927 0.4570 0.5430 766 0.4597 0.4190 0.5117 840 - - 0.4802 910 - - 0.4521 1000 - - 0.4184
Çizelge 4.11. Oda sıcaklığında 57Co katkılı Cu için f değerleri.
Housley ve ark. (1964) Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26)
385 0.710 0.753
Çizelge 4.12. 57Fe katkılı Cu için f değerleri
(Roy ve Kundu, 1987). Bu çalıĢma EĢitlik (3.18) ve (3.26) 295 0.7005 0.7090 0.6697 360 0.6454 0.6590 0.6162 471 0.5568 0.5670 0.5339 561 0.4911 0.5050 0.4750 677.5 0.4142 0.4180 0.4138 766 0.3607 0.3620 0.3637 840 - - 0.3303 910 - - 0.3015 1000 - - 0.2681
Çizelge 4.13. için Debye fonksiyonu değerleri
Çizelge 4. 14. N’ nin bir fonksiyonu olarak Debye fonksiyonu için (EĢitlik 3.15) elde edilen değerler EĢitlik (3.25) 10 1.5580321243119676306 50 1.6255171314695340897 100 1.6350818601253431420 200 1.6399712282130845118 300 1.6416172506389006030 400 1.6424433384463707019 500 1.6429399798982760739 600 1.6432714871759690673 700 1.6435084806753131844 800 1.6436863367092773205 900 1.6438247349569346172 1000 1.6439354950200653930 Bu ÇalıĢma EĢitlik (3.25) EĢitlik (5) ( Dubinov ve Dubinova, 2008) 5 1 5 7.68634254418014339152E-02 7.68634254418019216139E-02 8 1 8.5 5.66871555598240278646E-03 5.66871555598240278646E-03 18 1 45 2.01273821942094720480E-13 2.01273821942094720480E-13 12 1 14.6 4.27734919507127247409E-05 4.27734919507127247409E-05 23 1 23.4 9.15491622521230592032E-09 9.15491622521230592032E-09 28 1 31.4 7.17849420374775063568E-12 7.17849420374775063568E-12 32 1 4.5 5.65734901485992739446E-02 5.65734901485992739446E-02 3.5 4 5.5 9.53307100496333726429E-03 - 7.3 3.4 2.8 1.95389930404695413445E-03 - 13.4 8.3 14.1 6.55160259501047370496E-17 - 17.7 8.4 7.6 2.43754633426463295575E-18 - 21.1 0.8 2.6 3.65666076295009994249E-01 -
5. SONUÇ ve TARTIġMA
Bu çalıĢmada geri tepme ihtimali ve DWF ifadelerinin hesaplanması için, binomial seri açılım teoremi ve tamamlanmamıĢ gama fonksiyonu kullanılarak geniĢ sıcaklık aralığı için Debye fonksiyonuna bağlı olarak iki farklı seri açılım oluĢturulmuĢtur. Elde edilen formüllerin Mathematica 5.0 programlama dilinde programı yapıldı ve farklı sıcaklık değerleri için geri tepme ihtimali ve DWF hesaplandı. Elde edilen sonuçlar literatürden elde edilen teorik ve deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırıldı ve uyum içinde olduğu görülmüĢtür. Elde edilen ve literatürden alınan sonuçlar Çizelge 4.1 - 4.13’de verilmiĢtir.
Çizelge 4.1’de görüldüğü gibi; Alüminyum kristali için elde edilen DWF değerleri Killean (1974) ve McDonald (1967)’ ın sonuçları ile mükemmel uyum içindedir. Deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırıldığında buradaki en büyük uyumsuzluk 375 K sıcaklığında olup % 4.6 büyüklüğündedir.
Farklı sıcaklıklarda Alüminyum kristalinin DWF için hesaplanan ve literatürden elde edilen sonuçlar Çizelge 4.3’de gösterilmektedir. Hesaplanan sonuçların Dingle ve ark. (1972), Flinn ve ark. (1961; 1963) ve Qwen ve ark.(1967)’nın sonuçlarıyla mükemmel uyum içinde olduğu görülmektedir. Örneğin, DWF için hesaplanan ve literatürden elde edilen sonuçlar sırasıyla, 393 K’de 0.841 ve 0.840 (Dingle ve ark., 1972), 410 K’de 0.778 ve 0.79 (Flinn ve ark., 1961; 1963) ve 395 K’de 0.835 ve 0.840 (Qwen ve ark., 1967)’dir.
Çizelge 4.4 ve 4.5’de Alüminyum ve Bakır kristalleri için elde edilen sıcaklık faktörü, , değerleri gösterilmiĢtir. Elde edilen sonuçlardan görüldüğü gibi; hesaplanan sonuçlar Walker (1956), Flinn ve ark., 1961; 1963)’dan elde edilen sonuçlarla uyum içindedir.
Tungsten (183W) için farklı sıcaklıklarda elde edilen f değerleri Çizelge 4.6’ da verilmiĢtir. Çizelge 4.6’dan elde edilen sonuçların diğer sonuçlarla (Bullard ve ark., 1991) mükemmel uyum içinde olduğu görülmektedir. En büyük uyumsuzluk 869 K’ de % 12.41’dir.
Aynı zamanda, farklı sıcaklıklarda 22
Na, 57Fe ve 99Mo için elde edilen f değerleri Çizelge 4.7’ de verilmiĢtir. 22
Na ve 99Mo için elde edilen sonuçlar diğer sonuçlarla mükemmel uyum gösterirken 57Fe için elde edilen sonuçlarda ki en büyük uyumsuzluk
%15.4’dür.
Çizelge 4.8’de 119Sn katkılı kristaller için oda sıcaklığında elde edilen f değerleri
gösterilmektedir. Çizelge 4.11’den görüldüğü gibi Ag ve Al dıĢında diğer kristaller için elde edilen sonuçlar diğer çalıĢmalarla mükemmel uyum göstermektedir.
Çizelge 4.9, 4.10 ve 4.12’ de, 57
Fe, 119Sn ve 57Co katkılı kristaller için hesaplanan f değerleri verilmiĢtir. 57Fe katkılı Pd için elde edilen sonuçlar diğer çalıĢmalara göre
deneysel sonuçlarla mükemmel uyum göstermektedir. Örneğin, f için hesaplanan ve deneysel sonuçlar sırasıyla, 295.5 K’de 0.6580 ve 0.6590 (Roy ve Kundu, 1987), 449.5 K’de 0.5342 ve 0.5350 (Roy ve Kundu, 1987) ve 657 K’de 0.4032 ve 0.3870 (Roy ve Kundu, 1987)’dir. En büyük uyumsuzluk 657 K’ de % 4.1’dir. 57Fe katkılı Pd kristalinin aksine Pt ve Cu için elde edilen sonuçların, deneysel ve literatürden elde edilen diğer çalıĢmalarla uyum içinde olduğu Çizelge 4.9 ve 4.10’da görülmektedir.
Aynı zamanda, 57Co katkılı Cu kristali için oda sıcaklığında hesaplanan sonuçların
deneysel f değerleri ile uyum içinde olduğu Çizelge 4.11’den görülmektedir.
Çizelge 4.13’ de ise, Bölüm 3’de EĢitlik (3.25) ile gösterilen Debye fonksiyonu için yapılan bilgisayar hesaplamaları görülmektedir. Hesaplama sonuçları bize , ve ’ in tüm değerleri için oluĢturulan analitik ifadelerin f ve DWF’nin hesaplanmasında yararlı bir çalıĢma olabileceğini göstermektedir.
Çizelge 4.14.’de N’e bağlı olarak Debye fonksiyonu (EĢitlik 3.25) için elde edilen sonuçlar gösterilmektedir. Çizelgeden de görüldüğü gibi üst limitlere çıkıldıkça N’ e bağlı olarak elde edilen değerlerde farklılık azalmaktadır. Bu sonuç elde edilen fonksiyonun tutarlı yani yakınsak olduğunu göstermektedir.
Literatür de Ģimdiye kadar n ve ’nın tamsayı olmayan değerleri için Debye fonksiyonun hesaplanması üzerine hiçbir çalıĢma yoktur. Bu yüzden, Metot 2’de oluĢturulan ifade n ve ’ nın tamsayı olmayan değerleri için Debye fonksiyonun hesaplanabilmesi açısından oldukça önemlidir.
Sonuç olarak, bu çalıĢmada binomial katsayılar ve tamamlanmıĢ gama fonksiyonuna dayalı Debye fonksiyonu kullanılarak saf ve katkılı kristallerin geri tepme ihtimali ve DWF’nin hesaplanabilmesi için iki yeni seri açılım oluĢturulmuĢtur. Bu seri açılımların bilgisayar modellemeleri ve simülasyonlar da kullanımı kristallerin özelliklerinin belirlenmesinde yararlı olabilir. Aynı zamanda bu çalıĢmada elde edilen seriler kullanılarak pek çok alanda ortaya çıkan çeĢitli problemler çabuk ve doğru bir Ģekilde ölçülebilir.
KAYNAKLAR
Askerov, I.M., Aslanov, G.K., Nasredinov, F.S., Tagiev, B.G. 1989. Iron-doped defect Ga2S3 and Ga2Se3 semiconductors. Sov. Phys. Semicond. 23(6), 676-678.
Askerov, I.M., Mekhrabov, A.O., Aslanov, G.K., Tagiev, B.G., Nakhmetov, S.M. 1988. Transition metal electron states in imperfect Ga2S3 crystals. Phys. Status Solidi,
A 105(2), K151-K154.
Bancroft, G. M., 1973. Mössbauer Spectroscopy: An Introduction for Inorganic Chemist and Geochemist Mc Graw ± Hill Book Company, (UK) Limited, Maindenhead ± Berkshire England.
Boyle, A.J.F., Hall, H.E., 1962. The Mössbauer effect. Rep. Prog. Phys. 25, 441-524. Bullard, B.R. and Mullen, J.G., 1991. Mössbauer line-shape parameters for 183
W and
191
Ir in metallic tungsten and iridium. Physical Review B 43(10) 7405-7415. Butt, N.M., Bashir, J., Willis, B.T.M., Heger, G. 1988. Compilation of temperature
factors of cubic elements. Acta Crystallogr., A 44, 396-398.
Butt, N.M., Bashir, J., Khan, M. 1993. Compilation of temperature factors of cubic compounds. Acta Crystallogr., A 49, 171-174.
Chipman, D.R., 1960. Temperature dependence of the Debye temperatures of aluminum, lead, and beta brass by an X-ray method. J. Appl. Phys. 31, 2012-2015.
Cohen, R.L., 1976. Applications of Mössbauer spectroscopy, Vol.I Aca.Press, London. Frauenfelder, H., 1962. The Mössbauer Effect. Benjamin, New York.
Correia, J.G. 1998. Radioactive ion beams and techniques for solid state research. Nucl. Instrum.Methods, B 136–138, 736-743.
D. Vila, Fernando, Rehr, J. J., Rossner, H. H. and Krappe, H. J., 2007. Theoretical x-ray absorption Debye-Waller factors. Physical Review B 76, 014301-014312.
Debye, P., 1914. Interferenz von Rontgenstrahlen und Warmebewegung. Annalen der Physik, 43, 49-92.
DeMarco, J.J., 1967. Single crystal measurement of the atomic scattering factor of aluminum. Phila.Mag. 15(135), 483-495.
Derlet, P.M., Petegem, S.V., Swygenhoven, H.V. 2005. Calculation of x-ray spectra for nanocrystalline materials. Phys. Rev., B 71, 24114-24122.
DeWames, R.E., Wolfram, T., and Lehman, G.W., 1963. Temperature Dependence of the Debye-Waller Factor for Copper and Aluminum, Pyhsical Review 131(2), 528-529.
Dingle, R.E.,Medlin, E.H. 1972. The X-ray Debye temperature of aluminum. Acta Crystallogr., A 28, 22-27.
Dubinov, A. E., Dubinova, A. A., 2008. Exact integral-free expressions for the integral Debye Functions. Tech. Phys. Lett. 34(12), 999-1001.
Dunlap, R.A., Eelman, D.A., MacKay, G.R. 1998. A Mössbauer effect investigation of correlated hyperfine parameters in natural glasses (tektites). J. Non-Cryst. Solids 223, 141-146.
Eser, E., Askerov, I.M, Mamedov, B.A., 2009. Calculation of the Debye–Waller factor of crystals using the n-dimensional Debye function involving binomial coefficients and incomplete gamma functions. Hyperfine Interaction, 194, 381-389.
Faxen, H., 1923. Zeit. Phys., 17, 266.
Feranchuk, I.D., Gurskii, L.I., Komarov, L.I., Lugovskaya, O.M., Burgäzy, F., Ulyanenkov, A., 2002. A new method for calculation of crystal susceptibilities for X-ray diffraction at arbitrary wavelength. Acta Crystallogr., A. 58, 370-384. Flinn, P.A., McManus, G.M., Rayne, J.A., 1961. Effective X-ray and calorimetric
Debye temperature for copper. Phys. Rev. 123(3), 809-812.
Flinn, P.A., McManus, G.M., Rayne, J.A., 1963. Lattice Vibrations and Debye Temperatures of Aluminum, Phys. Rev. 132, 2458-2460.
Gao, H.X., Peng, L.M., 1999. Parameterization of the temperature dependence of the Debye–Waller factors. Acta Crystallogr., A 55, 926-932.
Gilat, G., Nicklow, R.M., 1966. Normal vibrations in aluminum and derived thermodynamic properties. Phys. Rev. 143, 487-494.
Giovanelli, R. and Orefice, A., 2005. Quantum elasticity in Debye solids. Solid State Comm. 135, 82–86.
Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M., 1980. Tables of Integrals, Sums, Series and Product, 4th edn., vols. 340–345, pp. 655–662. Academic, New York.
Grow, J.M., Howard, D.G., Nussbaum, R. H. and Takeo, M., 1978. Frequency moments of cubic metals and substitutional impurities: A critical review of impurity-host force-constant changes from Mössbauer data. Physical Review B 17 (1) 15-39. Goldstein, J.I., 1981. Scanning Elektron Microsopy and X- Ray Microanalysis, New
York, Plenum Press.
Gonser, U., 1975. Topics øn Applied Physics, Springer, Verlag Berlin Heidelberg, New York.
Guseinov, I.I. and Mamedov, B.A., 2007. Calculation of integer and noninteger n-dimensional Debye functions using binomial coefficients and incomplete gamma functions. Int. J. Thermophys. 28,1420–1426.
Harris, J.R., Benczer-Koller, N., Rothberg, M., 1965. Temperature dependence of the Debye–Waller factor of platinum. Phys. Rev. 137(4), A1101-A1105.
Herberle, J., 1971. The Debye integrals, the thermal shift, and theMössbauer fraction. In: Gruverman, I.J. (Plenum, New York) Mössbauer Effect Methodology, pp. 299-308.
Housley, R.M., Dash, J. G. and Nussbaum, R. H., 1964. Mean-Square Displacement of Dilute Iron Impurity Atoms in High-Purity Berylium and Copper. Physics Review 136, 464-466.
Jacobsen, E.H., 1955. Elastic spectrum of copper from temperature-diffuse scattering of X-rays. Phys. Rev. 97, 654-659.
James, R.W., 1967. Optical Principles of the Diffraction of X-rays, G. Bell, London. Killean, R.C.G., 1974. An investigation of the Debye–Waller factor and Debye
temperature of aluminum using nearest neighbour central force pair interactions. J. Phys. F.Met. Phys. 4, 1908-1915.
Krishna, P G., Subhadra, K.G., Sirdeshmukh, D.B. 1998. X-ray determination of Debye–Waller factors of NaBr and NaI. Acta Crystallogr., A 54, 253-.
Laval, J., 1938. Sur la diffussion des rayons X par un cristal. CR Acad. Sci. Paris, 207, 169.
Laval, J., 1939. Bull. Soc. Franc. Miner., 62, 137-253.
Lehman, G.W., Wolfram, T., DeWames, R.E., 1962. Axially symmetric model for lattice Dynamics of metals with application to Cu, Al, and ZrH2. Phys. Rev. 128,
