T.C.
NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KONSTA-DEVİRLİ KODLAR
Tezi Hazırlayan
Bahar KULOĞLU
Tez Danışmanı
Doç. Dr. Sezer SORGUN
Matematik Anabilim Dalı
Yüksek Lisans Tezi
Mayıs 2016
NEVŞEHİR
T.C.
NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KONSTA-DEVİRLİ KODLAR
Tezi Hazırlayan
Bahar KULOĞLU
Tez Danışmanı
Doç. Dr. Sezer SORGUN
Matematik Anabilim Dalı
Yüksek Lisans Tezi
Mayıs 2016
NEVŞEHİR
iii
TEŞEKKÜR
Tezimin konusunun belirlenmesinde, araştırma aşamasında yön tayininde ve tamamlanmasında destek olan değerli hocam Doç. Dr. Hacı AKTAŞ ve tez danışmanım Doç. Dr. Sezer SORGUN’a bana ayırdıkları değerli zamanları ve sağladıkları destekler için teşekkür ederim.
Gösterdikleri sabır ve verdikleri her türlü destekle yanımda olan aileme de ayrıca teşekkür ederim.
iv
KONSTA-DEVİRLİ KODLAR (Yüksek Lisans Tezi)
Bahar KULOĞLU
NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Mayıs 2016
ÖZET
Bu tezde ele alınan konular genel itibari ile “J. Qian, Li Zhang, Shi Zhu, Constacyclic and cyclic codes over 𝐹2+ 𝑢𝐹2+ 𝑢2𝐹2, Oxfored Journals Mathematics and Physical
Sciences IEICE-Tran Fund Elec, Comm and Comp Sci E89-A, 6, 2006. 1863-1865” ve
“Jian-Fa Qian, Li-Na Zhang and Shi-Xin Zhu, (1 + 𝑢) − constacyclic and cyclic over 𝐹2+ 𝑢𝐹2, Applied Mathematics Letters, 19 (18) 2006, 820-823” makalelerinden derlenmiştir.
Tezin birinci bölümünde kodlamanın doğuşu ve amacı ile ilgili bilgiler, ikinci bölümünde kodlama teorisi ile ilgili temel tanım ve kavramlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde, sonlu zincir halkaları üzerindeki konsta-devirli kodlar ele alınmıştır. 𝑍4 üzerinde n uzunluğunda bir lineer konsta-devirli kodun Gray görüntüsünün bir ikili uzaklığa sahip değişmez devirli kod olduğu ve 𝑅2 = 𝐹2+ 𝑢𝐹2 ve 𝑅3 = 𝐹2+ 𝑢𝐹2 +
𝑢2𝐹2 üzerinde sırası ile (1 + 𝑢) − konsta devirli ve (1 − 𝑢2)-konsta-devirli kodların
genel tanımları verilmiştir.
Anahtar kelimeler: Devirli kod, Konsta-devirli kod, Kuasi-devirli kod, Gray dönüşüm Tez Danışman: Doç. Dr. Sezer SORGUN
v
CONSTA-CYCLIC CODES (M. Sc. Thesis)
Bahar KULOĞLU
NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELI UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES May 2016
ABSTRACT
The topics discussed in this thesis has generally been compiled from “J. Qian, Li Zhang, Shi Zhu, Constacyclic and cyclic codes over 𝐹2+ 𝑢𝐹2+ 𝑢2𝐹2, Oxfored Journals
Mathematics and Physical Sciences IEICE-Tran Fund Elec, Comm and Comp Sci
E89-A, 6, 2006. 1863-1865” and “Jian-Fa Qian, Li-Na Zhang and Shi-Xin Zhu,
constacyclic and cyclic over 𝐹2+ 𝑢𝐹2, Applied Mathematics Letters, 19 (18) 2006,
820-823” references.
In the first section of this thesis some information about the starting of coding is given. In the second section, The basic definitions and concepts related to coding theory is determined.
The third section of the thesis is deal with consta-cyclic codes over finite chain rings. Especially, Gray image of a linear constacyclic code over 𝑍4 of lenght n is a binary
distance invariant cyclic code. Also constacyclic and (1 − 𝑢2)-constacyclic code over the ring 𝑅2 = 𝐹2+ 𝑢𝐹2 and 𝑅3 = 𝐹2+ 𝑢𝐹2+ 𝑢2𝐹2 is introduced.
Keywords: Cyclic code, Constacyclic code, Quasi-cyclic code, Gray map Thesis Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Sezer SORGUN
vi
İÇİNDEKİLER
KABUL VE ONAY SAYFASI ... i
TEZ BİLDİRİM SAYFASI ... ii TEŞEKKÜR ... iii ÖZET ... iv ABSTRACT ... v İÇİNDEKİLER ... vi SİMGELER LİSTESİ………..vii 1. BÖLÜM GİRİŞ ... 1 2. BÖLÜM TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR ... 3
2.1. Halkalar ve Sonlu Cisimler ... 3
2.2. Kodlar ile İlgili Genel Tanımlar ... 6
2.3. Üreteç ve Parite Kontrol (Parity-Check) Matrisi ... 15
2.4 Polinom Kodlama ve Kod Çözme………..………...22
3. BÖLÜM SONLU CİSİM HALKALARI ÜZERİNDE KONSTA-DEVİRLİ KODLAR ... 26
3.1. Konsta-devirli Kodlar ve Kuasi-devirli Kodlar ... 26
3.2. 𝐹2+ 𝑢𝐹2 Üzerinde (1 + 𝑢)-Konsta-devirli Kodlar ... 27
3.3. 𝐹2+ 𝑢𝐹2+ 𝑢2𝐹 2 Üzerinde (1 − 𝑢2)-Konsta-devirli Kodlar ... 37
4. BÖLÜM SONUÇ VE ÖNERİLER ... 47
KAYNAKLAR ... 48
vii
SİMGELER LİSTESİ
𝒁𝟐[𝒙] katsayıları {0,1} elemanlarından oluşan polinom.
𝑨 {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑞}, q elemanlı kod kelimerinin kümesi.
𝑪 𝐶 ⊂ 𝐴𝑛 olan bir kod kümesi. 𝒄 𝑐 ∈ 𝐶 olan bir kod kelimesi.
M n uzunluğundaki kodların boyutu.
𝑭𝒒𝒏 sonlu 𝐹𝑞 cismi üzerinde n uzunluğunda vektör uzayı.
𝑭𝟐 {0,1} elemanlarından oluşan bir binary (ikili) cisim.
𝑹𝟐= 𝑭𝟐+ 𝒖𝑭𝟐 {0,1, 𝑢, 1 + 𝑢}, 𝑢2 = 0 kümesi ile değişmeli halkadır.
𝑹𝟑= 𝑭𝟐+ 𝒖𝑭𝟐+ 𝒖𝟐𝑭
𝟐 {0,1, 𝑢, 𝑢2, 𝑣, 𝑣2, 𝑢𝑣, 𝑣3}, 𝑢3 = 0 𝑣𝑒 𝑣 = 1 + 𝑢, 𝑣2 =
1 + 𝑢2, 𝑣3 = 1 + 𝑢 + 𝑢2, 𝑢𝑣 = 𝑢 + 𝑢2 elemanlarından
oluşan değişmeli halkadır. 𝒅(𝒙, 𝒚) x ile y arasındaki hamming uzaklık. 𝒅(𝑪) C kodunun minimum uzaklığı. 𝒘𝒕(𝒙) x kodunun hamming ağırlığı. 𝒘𝑳(𝒙) x kodunun Lee ağırlığı.
𝒘𝒕𝑳(𝒙) x kodunun Lee uzaklığı.
𝒂𝒓 r elemanının Lee ağırlığı.
G üreteç matrisi.
H parite kontrol matrisi.
g(x) üreteç polinomu.
s(x) syndrome polinomu.
𝝓(𝒛) 𝑧 ∈ 𝑅2𝑛 ve 𝑧 ∈ 𝑅3𝑛 ün Gray dönüşümü. 𝝁 halka izomorfizması.
1
1.BÖLÜM GİRİŞ
Claude Shannons 1948 yılında’’ İletişimin Matematiksel Teorisi’’ adlı makalesinde bilgi teorisi ve kodlama teorisinin doğuşuna imza attı. Temel amaç ise düşmanca bir çevre içerisinde etkili ve güvenli iletişim sağlamaktı. Bu iki amacın varlığı daima avantaj olacaktı bizim temel problemimiz ise bunları daima bağdaştırmak olmalı idi. Kodlama teorisi temelde cebirsel anlamda inşa edilmiş modeller aracılığı ile bu bağların oluşmasını farketmemize yardımcı oldu.
Shannons’un meslektaşı Richard Hamming aslında Shannons’un 1948 deki makalesinden daha önce ilk bilgisayarlar ile ‘’Hata Düzeltme’’ üzerinde çalışmalar yaptı. ve o kodlama teorisindeki ilk buluşları oluşturdu.
Aşağıdaki şema bize bir kaynaktan gönderilen bilginin bir kanal aracılığı ile varacağı yere ulaşma sistemini göstermektedir.
Bilgi Kaynağı → Kodlayıcı → İletişim Kanalı → Alıcı → Bilgi Alıcısı ↑
Gürültü
Bu şemanın en önemli parçası gürültüdür. Eğer gürültü ya da diğer bir değişle gürültü olmazsa teori için çalışmaya ihtiyaç kalmayacaktır.
n uzunluğunda ve M sayıda bir kod her biri n bileşen ile M vektörlerinin kümesinden
oluşur. Bu bileşenler S alfabe kümesinden alınır. Klasik kodlama teorisinde S, |𝑆| mertebeli bir cisimdir.
Bir C kodu , 𝑆𝑛 in n boyutlu alt kümelerinin kümesidir. Bir lineer C kodu S kümesi üzerinde bir üretici G matrisi ile belirlenir. Yani; C, G uzayının satırlarından oluşmaktadır.
2
Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm de kodlamanın tarihçesi hakkında kısa bir bilgi verilip ikinci bölümde halka, idealler ve kodlar üzerinde genel tanımlardan ve aynı zamanda üreteç ve (parite kontrol ) parity-check matrisinden bahsedilmiştir.
Son bölümde ise sonlu 𝑅2 𝑣𝑒 𝑅3 zincir halkaları üzerinde konsta- devirli kodlar ve bunlar üzerinde tanımlanan Gray dünüşümler ile ilgili yapılan çalışmalar derlenmiştir.
3
2. BÖLÜM
TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR
Bu bölümde geçen teoremler ve sonuçlar [1-7] kaynaklarından alınmıştır.
2.1. Halkalar ve Sonlu Cisimler
Bu bölümde temel cebir yapıları, yani; halkalar, polinom halkaları, idealler, maximal idealler, temel idealler, indirgenemez polinomlar ve idempotent polinomların genel tanım ve teoremler ile ifade edilecektir.
Tanım 2.1.1. 𝛷 , R halkasından S halkasına bir dönüşüm olsun. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 için;
1. 𝛷 (𝑎 + 𝑏) = 𝛷 (𝑎) + 𝛷 (𝑏) 2. 𝛷(𝑎. 𝑏) = 𝛷(𝑎). 𝛷(𝑏)
şartları sağlanıyorsa 𝛷 ye R den S ye bir halka homomorfizması denir.
Örnek 2.1.1. Gerçel katsayılı bütün polinomları 𝑅[𝑥] halkası ile gösterelim.𝑓(𝑥) → 𝑓(1) dönüşümü 𝑅[𝑥] → 𝑅 ye bir halka homomorfizmasıdır.
Tanım 2.1.2. 𝛷 ye R den S ye bir halka homomorfizması olmak üzere
a) 𝛷 1-1 ise monomorfizma b) 𝛷 örten ise epimorfizma
c) 𝛷 hem bire bir hem de örten ise izomorfizma adını alır.
Tanım2.1.3. R bir halka olsun. I, R nin boş olmayan bir altkümesi olsun. Eğer ;
1. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 için 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐼 ,
4
koşulları sağlanıyor ise I ya R nin bir idealidir denir.
Örnek 2.1.2. Herhangi bir R halkası için {0} ve R, R nin idealleridir.
Tanım 2.1.4. I, R nin bir ideali olsun. Eğer I, 𝑔 ∈ 𝐼 olacak biçimde bir eleman
tarafından üretilir ise yani; 𝐼 = 〈𝑔〉={𝑔. 𝑟: 𝑟 ∈ 𝑅} oluyorsa o zaman I ya esas (temel) ideal denir.
Bir 𝑅 halkasının her ideali esas ideal oluyorsa bu durumda 𝑅 ye esas ideal halkası denir. 𝑔 elemanı 𝐼 nın üreteciolarak adlandırlır ve 𝐼, 𝑔 tarafından üretilir denir.
Tanım 2.1.5. 𝑅 bir halka ve 𝐴 , 𝑅 halkasının bir ideali olsun. {𝑟 + 𝐴 ∶ 𝑟 ∈ 𝑅} kümesi,
çarpım halkası olarak adlandırılır.
Örnek 2.1.3. 𝐹2[𝑥]/(𝑥3− 1) halkasında 𝐼 = {0, 1 + 𝑥, 𝑥 + 𝑥2, 1 + 𝑥2} altkümesi bir
idealdir.
Tanım 2.1.6. R bir halka, M, N; R nin idealleri olsun. Eğer M≠R ve 𝑀 ⊆ 𝑁 ⊆ 𝑅 olacak
şekildelde en az bır N kümesi varsa ve M=N veya N=R oluyorsa bu durumda M ye R nin maksimal ideali denir.
Örnek 2.1.4. ℤ36 nın maksimal idealleri 〈2〉 ve 〈3〉 tür.
Örnek 2.1.5. 𝐹2[𝑥]/(𝑥3− 1) halkasında I={0, 1 + 𝑥, 𝑥 + 𝑥2, 1 + 𝑥2} altkümesi esasdır.
Yani; I=〈1 + 𝑥〉 dir. Şimdi dikkat edilirse; 0. (1 + 𝑥) =1+𝑥3 = 0 = (1 + 𝑥 + 𝑥2). (1 + 𝑥);
1. (1 + 𝑥) = 1 + 𝑥 = (𝑥 + 𝑥2)(1 + 𝑥);
𝑥. (1 + 𝑥) = 𝑥 + 𝑥2 = (1 + 𝑥2). (1 + 𝑥);
𝑥2(1 + 𝑥) = 1 + 𝑥2 = (1 + 𝑥)(1 + 𝑥)
eşitliklerinin sağlandığı görülür.
Tanım 2.1.7. R bir değişmeli halka olsun. 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 için 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 olmak üzere
5
Tanım 2.1.8. Eğer 〈𝑓1〉 + 〈𝑓2〉 = 𝑅[𝑥] veya eşit olarak 𝑓1𝑔1+ 𝑓2𝑔2 = 1, 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝑅[𝑥] varsa 𝑓1, 𝑓2 ∈ 𝑅[𝑥] polinomları aralarında asal polinomlardır denir. Eğer 𝑓 ∈ 𝑅[𝑥] bir
sıfır bölen değilse o zaman regüler olarak adlandırılır.
Tanım 2.1.9. Herhangi bir 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] polinomu için eğer 𝑓(𝑥) =
𝑎(𝑥). 𝑏(𝑥), 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] ve 𝑎(𝑥) veya 𝑏(𝑥) ten biri 0 derecesine sahip yani sabit ise o zaman 𝑓(𝑥) polinomuna 𝐹 cismi üzerinde indirgenemez polinom denir. Aksi taktirde 𝑓(𝑥) polinomu indirgenebilirdir.
Örnek 2.1.6. 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥2 ∈ ℤ
2[𝑥] polinomunun derecesi 2 ve bu polinom
indirgenemez bir polinomdur. Aksi takirde bu polinom 𝑥 veya 𝑥 + 1 gibi bir lineer çarpana sahip olabilirdi. Yani; 0 veya 1 𝑔(𝑥) polinomunun bir kökü olabilirdi. Fakat 𝑔(0) = 𝑔(1) = 1 ∈ ℤ2 dir.
Örnek 2.1.7. 𝑓(𝑥) = 𝑥4+ 2𝑥6 ∈ ℤ
2[𝑥] polinomunun derecesi 6 dır. Bu polinom
𝑓(𝑥) = 𝑥4(1 + 2𝑥2) olacak şekilde indirgenebilir bir polinomdur.
Tanım 2.1.10. Bütün polinomların halkasını 𝐹𝑞 cismi üzerinde ve mod (1 + 𝑥𝑛)
bağıntısına göre 𝐹𝑞[𝑥]/(1 + 𝑥𝑛) olarak tanımlayalım.
Eğer 𝐼2(𝑥) ≡ 𝐼(𝑥) (𝑚𝑜𝑑(1 + 𝑥2)) ise o zaman 𝐼(𝑥) ∈ 𝑅
𝑛 polinomu idempotent
olarak adlandırılır.
Örnek 2.1.8. 𝑥3+ 𝑥6 ∈ ℤ
2[𝑥]/(𝑥9+ 1), (𝑥3+𝑥6) polinomu 𝑚𝑜𝑑(1 + 𝑥9 ) için bir
idempotent elemandır. Çünkü ℤ2 üzerinde;
(𝑥3+ 𝑥6)2 ≡ 𝑥6+ 2𝑥9+ 𝑥12 (𝑚𝑜𝑑(1 + 𝑥9))
≡ 𝑥3+ 𝑥6 (𝑚𝑜𝑑(1 + 𝑥9))
dir.
Tanım 2.1.11. Sıfır bölensiz birimli ve değişmeli halkaya tamlık bölgesi denir. Eğer R
birimli ve sıfırdan farklı her elemanı tersinir olan bir halka ise R ye bölünme halkası; ayrıca değişmeli bölünme halkasına da cisim denir.
6
2.2 Kodlar İle İlgili Genel Tanımlar
Bu bölümde biz alfabe, kodlar, kod kelimeleri, cisimler üzerindeki kodlar, Hamming ağırlık ve Hamming uzaklıkları ele alacağız.
Tanım 2.2.1. 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑞}, q elemanlı bir küme olsun. Bu küme alfabe kodu ve
bu kümenin tüm elemanları da kod sembolleri olarak adlandırılır. Bir 𝑛 uzunluğunda 𝐴 üzerinde 𝑞 − lu kelime, ∀𝑖 ∈ 𝐼 ve her bir 𝑤𝑖 ∈ 𝐴 için
𝑊 = 𝑤1𝑤2… 𝑤𝑛
şeklinde bir dizidir.
𝐴 üzerinde 𝑛 uzunluğunda bir 𝑞 − lu blok kod yine aynı uzunluklu 𝑞 − lu kelimelerinin boş olmayan bir 𝐶 kümesidir ve 𝐶 ⊂ 𝐴𝑛 dir.
Tanım 2.2.2. 𝐶 nin bir elemanı 𝐶 de bir kod kelimesi olarak adlandırılır. 𝐶 deki kod
kelimelerinin sayısı |𝐶| ile gösterilir ve C nin boyutu olarak adlandırılır. 𝑛 uzunluğunda ve eleman sayısı 𝑀 olan bir kod (𝑛, 𝑀) koddur.
Örnek 2.2.1. 𝐶 = {00,10,01,11} olsun. 01 bir kod kelimesi ve |𝐶| = 4 tür.
Tanım 2.2.3. ℤ4 , 𝑚𝑜𝑑4 ile bir halkadır. Bu halka 4 tane eleman içerir. Bunlar; {0, 1, 2, 3} veya {0, 1, 2, −1} dir.
Tanım 2.2.4. 𝐹𝑞𝑛, sonlu 𝐹𝑞 cismi üzerinde tüm 𝑛 −uzunluğunda vektör uzaylarını
tanımlar.
Tanım 2.2.5. 𝑅2 = 𝐹2 + 𝑢𝐹2 ; {0, 1, 𝑢, 1 + 𝑢}, 𝑢2 = 0 kümesi ile bir değişmeli
halkadır. Burada 𝐹2, {0,1} elemanları ile bir binary (ikili) cisimdir 𝐹2+ 𝑢𝐹2 için toplam ve çarpım işlemleri aşağıdaki tablolarda verilmiştir.
7
Tanım 2.2.6. 𝑅3 = 𝐹2+ 𝑢𝐹2+ 𝑢2𝐹2; {0, 1, 𝑢, 𝑢2, 𝑣, 𝑣2, 𝑢𝑣, 𝑣3}, 𝑢3 = 0 kümesi ile bir
değişmeli halkadır. Burada 𝑣 = 1 + 𝑢, 𝑣2 = 1 + 𝑢2, 𝑣3 = 1 + 𝑢 + 𝑢2, 𝑢𝑣 = 𝑢 + 𝑢2
dir.
R üzerinde toplamsal ve çarpımsal işlemler aşağıdaki tabloda verilmiştir.
+ 0 1 u v 𝑢2 uv 𝑣2 𝑣3 . 0 1 u v 𝑢2 uv 𝑣2 𝑣3 0 0 1 u v 𝑢2 uv 𝑣2 𝑣3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 v u 𝑣2 𝑣3 𝑢2 uv 1 0 1 u v 𝑢2 uv 𝑣2 𝑣3 u U v 0 1 uv 𝑢2 𝑣3 𝑣2 u 0 u 𝑢2 uv 0 𝑢2 u uv v v u 1 0 𝑣3 𝑣2 uv 𝑢2 v 0 uv v 𝑣2 𝑢2 u 𝑣3 1 𝑢2 𝑢2 𝑣2 uv 𝑣3 0 u 1 v 𝑢2 0 𝑢2 0 𝑢2 0 0 𝑢2 𝑢2 uv uv 𝑣3 𝑢2 𝑣2 u 0 v 1 uv 0 uv 𝑢2 u 0 𝑢2 uv u 𝑣2 𝑣2 𝑢2 𝑣3 uv 1 v 0 u 𝑣2 0 𝑣2 u 𝑣3 𝑢2 uv 1 v 𝑣3 𝑣3 uv 𝑣2 𝑢2 v 1 u 0 𝑣3 0 𝑣3 uv 1 𝑢2 u v 𝑣2
Tanım 2.2.7. 𝑥 ve 𝑦, A alfabe kümesi üzerinde n uzunluğunda kelimeler olsun.
+ 0 1 u 1+u . 0 1 u 1+u
0 0 1 u 1+u 0 0 0 0 0
1 1 0 1+u u 1 0 1 u 1+u
u u 1+u 0 1 u 0 u 0 u
8 𝑥 = 𝑥1𝑥2… 𝑥𝑛
𝑦 = 𝑦1𝑦2… 𝑦𝑛
olmak üzere 𝑥 ile 𝑦 arasındaki uzaklık karşılıklı farklı sembollerin sayısı olarak tanımlanır ve 𝑑(𝑥, 𝑦) ile gösterilir. Bu uzaklığa ise Hamming uzaklık adı verilir.
Eğer; 𝑥 = 𝑥1𝑥2… 𝑥𝑛 ve 𝑦 = 𝑦1𝑦2… 𝑦𝑛 ise o zaman
𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥1, 𝑦1) + ⋯ + 𝑑(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) (2.2.1) burada 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 1 uzunluğunda kelimelerdir. ve
𝑑(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = {1, 𝑒ğ𝑒𝑟 𝑥0, 𝑒ğ𝑒𝑟 𝑥𝑖 ≠ 𝑦𝑖
𝑖 = 𝑦𝑖
dir.
Örnek 2.2.2. 𝐴 = {0, 1} ; 𝑥 = 01010 ve 𝑦 = 11101 olsun. O zaman 𝑑(𝑥, 𝑦) = 4 olur. Örnek 2.2.3. 𝐴 = {0, 1, 2, 3} = ℤ4 ve 𝑥 = 1230, 𝑦 = 1023 olsun. O zaman 𝑑(𝑥, 𝑦) =
3 olur.
Önerme 2.2.1. 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝐴 üzerinde 𝑛 uzunluğunda kelimeler olsun. o zaman;
1. 0 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑛 2. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦
3. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 için
4. 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧) (üçgen eşitsizliği) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 için uzaklık fonsiyonunun bu 4 özelliği sağlanır [6].
Tanım 2.2.8. 𝐶 bir kod olsun. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 için 𝑑(𝑥, 𝑦) ile 𝑥, 𝑦 kodları arasındaki uzaklığı
gösterelim. 𝐶 deki min 𝑑(𝑥, 𝑦) ye 𝐶 kodunun minimum uzaklığı denir ve 𝑑(𝐶) ile gösterilir. Yani;
𝑑(𝐶) = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑥, 𝑦): 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶, 𝑥 ≠ 𝑦} dir.
9
Örnek 2.2.4. 𝐶 = {00000, 11111, 00111} bir binary (ikili) kod olsun. O zaman 𝑑(𝐶) = 2 dir. Çünkü;
𝑑(00000, 00111) = 3; 𝑑(00000, 11111) = 5; 𝑑(00111, 11111) = 2 eşitliklerinden dolayı 𝐶 bir ikili (binary) [5, 3, 2]- koddur.
Örnek.2.2.5. 𝐶 = {000000, 000111, 111222} bir ternary kod olsun. (yani; {0, 1, 2} alfabe kodu ile ) o zaman 𝑑(𝐶) = 3 tür. Çünkü;
𝑑(000000, 000111) = 3; 𝑑(000000, 111222) = 6; 𝑑(000111, 111222) = 6 eşitliklerinden dolayı, C bir üçlü (ternary) [6, 3, 3]– koddur.
Tanım.2.2.9. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 olan bir 𝐶 kodu için 𝑥 + 𝑦 de 𝐶 nin elemanı oluyorsa (yani C de
bir kelime oluyorsa) o zaman 𝐶 koduna bir lineer koddur denir. Yani; bir lineer kod, kelimeleri toplama işlemine göre kapalı olan koddur.
Örnek 2.2.6. 𝐶 = {000, 111} , 𝐹2 üzerinde bir lineer koddur. Çünkü;
000 + 000 = 000 111 + 000 = 111 000 + 111 = 111 111 + 111 = 000
dir. Yukarıdaki toplamlar yine C içindedir. Bir lineer kod 000 kelimesini içermek zorundadır.
Tanım 2.2.10. 𝑛 uzunluğunda 𝐹𝑞 üzerinde bir lineer 𝐶 kodu 𝐹𝑞𝑛 nin bir alt uzayıdır.
Örnek 2.2.7. 𝐶 = {(𝜆, 𝜆, … , 𝜆): 𝜆 ∈ 𝐹𝑞} bir lineer koddur. Bu kod tekrarlayan kod olarak adlandırılır.
Tanım 2.2.11. 𝑥 ∈ 𝐹𝑞𝑛 olsun. 𝑥 in Hamming ağırlığı 𝑥 de sıfırdan farklı bileşenlerin
sayısı olarak ifade edilir ve 𝑤𝑡(𝑥) olarak gösterilir. Yani; 𝑤𝑡(𝑥) = 𝑑(𝑥, 0)
10 dir. Burada ‘’0’’ sıfır kelimesidir.
Örnek 2.2.8. 𝑥 = (1010111) ∈ 𝐹27, 𝑦 = (00111010111) ∈ 𝐹
211 olsun. o zaman
𝑤𝑡(𝑥) = 5 𝑣𝑒 𝑤𝑡(𝑦) = 7 dir.
Not 2.2.2. Bir 𝑥 ∈ ℤ4 ün Lee ağırlığı ;
𝑤𝐿(0) = 0; 𝑤𝐿(1) = 1; 𝑤𝐿(2) = 2; 𝑤𝐿(3) = 1 şeklinde tanımlanır.
Tanım 2.2.12. 𝑥 ∈ ℤ4𝑛 elemanının Lee ağırlığı 𝑤𝐿 = 𝑛
1(𝑥) + 2𝑛2(𝑥) + 𝑛3(𝑥) dir.
Burada 𝑛𝑎(𝑥), ∀𝑎 ∈ ℤ4 için 𝑥 in 𝑎 ya eşit bileşenlerinin sayısıdır.
Uyarı 2.2.1. ℤ4𝑛, ℤ
4 üzerinde bir modüldür. ℤ4 üzerinde n uzunluğunda bir C lineer
kodu ℤ4𝑛 nin bir altkümesi ℤ4 moddur.
Örnek 2.2.9. 𝑥 = (12301322) ∈ ℤ48 olsun. O zaman;
𝑤𝐿 = 𝑛1(𝑥) + 2𝑛2(𝑥) + 𝑛3(𝑥) = 2 + 2.3 + 2 = 10
Tanım 2.2.13 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℤ4𝑛 için 𝑑
𝐿 = 𝑤𝑡𝐿(𝑥 − 𝑦) olarak tanımlanan ifadeye Lee uzaklık
denir ve 𝑑𝐿 ile gösterilir.
Uyarı 2.2.2. ∀𝑥 ∈ 𝐹𝑞 için Hamming ağırlık
𝑤𝑡(𝑥) = 𝑑(𝑥, 0) = {1, 𝑥 ≠ 0 𝑖𝑠𝑒 0, 𝑥 = 0 𝑖𝑠𝑒 olarak tanımlanır [6]. X Y x●y 𝑤𝑡(𝑥) + 𝑤𝑡(𝑦) − 2𝑤𝑡(𝑥●𝑦) 𝑤𝑡(𝑥 + 𝑦) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1
11 Tablo(1)
𝑥 ∈ 𝐹𝑞𝑛 , 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) alarak x in Hamming ağırlığı ini ayrıca aşağıdaki gibi de
tanımlayabiliriz;
𝑤𝑡(𝑥) = 𝑤𝑡(𝑥1) + 𝑤𝑡(𝑥2)+…+𝑤𝑡(𝑥𝑛) (2.2.2)
Önerme 2.2.3. [1] 𝑥, 𝑦, 𝑧; 𝑛 uzunluklu kelimeler ve 𝑎 bir sayı olsun. şimdi biz ağırlık ve uzaklıkla ilgili birkaç özelliği listeleyelim;
1. 0 ≤ 𝑤𝑡(𝑥) ≤ 𝑛 2. 𝑤𝑡(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 3. 0 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑛 4. Eğer 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦 5. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) 6. 𝑤𝑡(𝑥 + 𝑦) ≤ 𝑤𝑡(𝑥) + 𝑤𝑡(𝑦) 7. 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧) 8. 𝑤𝑡(𝑎. 𝑥) = 𝑎. 𝑤𝑡(𝑥), 𝑎 ≠ 0 𝑣𝑒 𝑎 ∈ 𝐹𝑞 9. 𝑑(𝑎𝑥, 𝑎𝑧) = 𝑎. 𝑑(𝑥, 𝑧), 𝑎 ≠ 0 𝑣𝑒 𝑎 ∈ 𝐹𝑞
Lemma 2.2.4. Eğer 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹𝑞𝑛 ise o zaman 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑤𝑡(𝑥 − 𝑦) dir [1].
İspat. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹𝑞, 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦 ve bu denklem ancak ve ancak 𝑥 − 𝑦 = 0 veya
eşit olarak 𝑤𝑡(𝑥 − 𝑦) = 0 anlamına gelir. Şimdi 2.2.1 ve 2.2.2 denklemlerinden biz;
𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥1, 𝑦1) + 𝑑(𝑥2, 𝑦2) + ⋯ + 𝑑(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) (2.2.3) 𝑤𝑡(𝑥) = 𝑤𝑡(𝑥1) + 𝑤𝑡(𝑥2) + ⋯ + 𝑤𝑡(𝑥𝑛) (2.2.4) 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0
12 denklemlerini elde ederiz ve benzer olarak ;
𝑤𝑡(𝑥 − 𝑦) = 𝑤𝑡(𝑥1− 𝑦1) + 𝑤𝑡(𝑥2−𝑦2) + ⋯ + 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑦𝑛) (2.2.5)
𝑤𝑡(𝑥 − 𝑦) = 𝑑(𝑥1, 𝑦1) + 𝑑(𝑥2, 𝑦2) + ⋯ + 𝑑(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) (2.2.6)
elde edilir. 2.2.3 ve 2.2.6 dan; 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑤𝑡(𝑥 − 𝑦)
elde edilir.
□
Lemma 2.2.5. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹2𝑛 olsun. 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ve 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) için;
𝑤𝑡(𝑥 + 𝑦) = 𝑤𝑡(𝑥) + 𝑤𝑡(𝑦) − 2𝑤𝑡(𝑥●𝑦) (2.2.7) ve burada 𝑥●𝑦 = (𝑥1𝑦1, 𝑥2𝑦2, … , 𝑥𝑛𝑦𝑛) dir [6].
İspat. (2.2.2) den (2.2.7) nin doğru olduğunun ispatı açıktır. Bu tablo1 den kolaylıkla doğrulanır.
Tanım 2.2.14. 𝐶 bir kod olsun. 𝑤𝑡(𝐶) ile tanımlanan 𝐶 nin minimum(Hamming)
ağırlığı; 𝐶 de sıfırdan farklı kod kelimelerinin en küçük weghtidir.
Teorem 2.2.6. 𝐶, 𝐹𝑞 üzerinde bir lineer kod olsun. o zaman 𝑑(𝐶) = 𝑤𝑡(𝐶) dir [6]. İspat. Lemma2.2.4 ten 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑤𝑡(𝑥 − 𝑦) dir. Tanım 2.2.14 ten 𝑑(𝑥́, 𝑦́) = 𝑑(𝐶) olacak biçimde 𝑥́, 𝑦́ ∈ 𝐶 vardır. 𝑥́ − 𝑦́ ∈ 𝐶 olduğundan dolayı;
𝑑(𝐶) = 𝑑(𝑥́, 𝑦́) = 𝑤𝑡(𝑥́ − 𝑦́) ≥ 𝑤𝑡(𝐶) dir. (2.2.8) Tersine; bir 𝑧 ∈ 𝐶\{0} vardır öyle ki; 𝑤𝑡(𝐶) = 𝑤𝑡(𝑧) dir. Böylece;
𝑤𝑡(𝐶) = 𝑤𝑡(𝑧) = 𝑑(𝑧, 0) ≥ 𝑑(𝐶) (2.2.9) dir. 2.2.8 ve 2.2.9 dan;
𝑑(𝐶) = 𝑤𝑡(𝐶) elde edilir.
13
□ Örnek 2.2.10. 𝐶 = {0000,1000,0100,1100} bir ikili (binary) lineer kod olsun. Şimdi; 𝑤𝑡(1000) = 1; 𝑤𝑡(0100) = 1; 𝑤𝑡(1100) = 2
olsun. Buradan 𝑑(𝐶) = 1 dir.
Tanım 2.2.15. 𝐶 bir lineer [𝑛, 𝑘]-kod olsun.
𝐶⊥ = {𝑥 ∈ 𝐹
𝑞𝑛: 𝑥. 𝑐 = 0, ∀𝑐 ∈ 𝐶}
kümesi 𝐶 için dual kod olarak adlandırılır. Burada 𝑥. 𝑐, 𝑥 𝑣𝑒 𝑐 vektörlerinin 𝑥1𝑐1 + 𝑥2𝑐2+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑐𝑛 şeklindeki genel skaler çarpımıdır. Dikkat edilirse 𝐶⊥ bir [𝑛, 𝑛 −
𝑘]-koddur.
Tanım 2.2.16. 𝑥 = 𝑥1𝑥2, … , 𝑥𝑛 ve 𝑦 = 𝑦1𝑦2, … , 𝑦𝑛 binary kelimeler olsun. 𝑥 𝑣𝑒 𝑦 nin kesişimi; 𝑥 ∩ 𝑦 = (𝑥1𝑦1, 𝑥2𝑦2, … , 𝑥𝑛𝑦𝑛) şeklinde tanımlanır. 𝑥 𝑣𝑒 𝑦 nin çarpımı; 𝑥. 𝑦 = 𝑥1𝑦1+ 𝑥2𝑦2+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑦𝑛 şeklinde yazılır. Teorem 2.2.7 1. Eğer 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹2𝑛 ise 𝑤𝑡(𝑥 + 𝑦) = 𝑤𝑡(𝑥) + 𝑤𝑡(𝑦) − 2𝑤𝑡(𝑥 ∩ 𝑦) 2. Eğer 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹2𝑛 ise 𝑤𝑡(𝑥 ∩ 𝑦) ≡ 𝑥. 𝑦 (𝑚𝑜𝑑2)
3. Eğer 𝑥 ∈ 𝐹2𝑛 ise ise 𝑤𝑡(𝑥) ≡ 𝑥. 𝑥 (𝑚𝑜𝑑2)
4. Eğer 𝑥 ∈ 𝐹3𝑛 ise 𝑤𝑡(𝑥) ≡ 𝑥. 𝑥 (𝑚𝑜𝑑3) 5. Eğer 𝑥 ∈ 𝐹4𝑛 ise 𝑤𝑡(𝑥) ≡ 𝑥. 𝑥 (𝑚𝑜𝑑2)
şartları sağlanır [7].
14 𝑎𝑟 aşağıdaki denklemlerle ifade edilir;
𝑎𝑟={
0, 𝑟 = 0 𝑖𝑠𝑒 1, 𝑟 = 1 𝑣𝑒𝑦𝑎 1 + 𝑢 𝑖𝑠𝑒 2, 𝑟 = 𝑢 𝑖𝑠𝑒
Buradan bir 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) ∈ 𝑅2𝑛 elemanının Lee ağırlığı;
𝑤𝑡𝐿(𝑥) = ∑ 𝑎𝑟
𝑛
𝑖=1
biçiminde olur.
Tanım 2.2.18. 𝑅3 = 𝐹2+𝑢𝐹2+ 𝑢2𝐹2 olsun. 𝑅3 halkasında bir 𝑟 elemanının Lee ağırlığı 𝑎𝑟 aşağıdaki denklemlerle elde edilir.
𝑎𝑟 = { 0; 𝑟 = 0 ise 1; 𝑟 = 1 veya 𝑣2 𝑖𝑠𝑒 2; 𝑟 = 𝑢 veya 𝑢𝑣 𝑖𝑠𝑒 3; 𝑟 = 𝑣 veya 𝑣3 𝑖𝑠𝑒 4; 𝑟 = 𝑢2ise
Örnek 2.2.11. 𝑥 = (1,0,0, 𝑢, 𝑣, 𝑢2, 𝑣2, 𝑢𝑣) olsun. Buradan 𝑤𝑡
𝐿(𝑥) = 13 elde edilir.
Tanım 2.2.19. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 arasındaki Lee uzaklık;
𝑑𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑤𝑡𝐿(𝑥 − 𝑦)
şeklinde tanımlanır.
Tanım 2.2.20. 𝑋; 𝐹𝑞 üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer ;
𝜆1𝑥1+ ⋯ + 𝜆𝑟𝑥𝑟 = 0
𝜆1 = ⋯ = 𝜆𝑛 = 0
ise o zaman . 𝑋 de {𝑥1, … , 𝑥𝑟} vöktörlerinin kümesi lineer bağımsızdır denir.
Örnek 2.2.12. Herhangi 𝐹𝑞 𝑖ç𝑖𝑛 {(0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,0)} kümesi lineer bağımsızdır.
15
Tanım 2.2.21. 𝑉, 𝐹𝑞 üzerinde bir vektör uzayı ve 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘} kümesi 𝑉 nin boş olmayan bir altkümesi olsun. 𝑆 nin lineer gereni;
〈𝑆〉 = {𝜆1𝑣1+ ⋯ + 𝜆𝑘𝑣𝑘: 𝜆𝑖 ∈ 𝐹𝑞}
olarak tanımlanır. 𝐶, 𝑉 nin bir altuzayı ve 𝑆 𝑑𝑒 𝐶 nin bir alt kümesi olsun. Eğer 𝐶 = 〈𝑆〉 ise o zaman 𝑆 𝑦𝑒 𝐶 kümesinin gereni adı verilir.
Tanım 2.2.22. 𝑋, 𝐹𝑞 üzerinde bir vektör uzayı olsun. 𝑋 = 〈𝐵〉; B lineer bağımsız ve 𝑋 için bir geren küme ise 𝑋 in boş olmayan bir 𝐵 = {𝑥1, … , 𝑥𝑟} kümesi 𝑋 için bir baz
olarak adlandırılır.
Tanım 2.2.23. Sonlu 𝐹𝑞 cismi üzerinde 𝑋 bir vektör uzayı olsun. Bu uzay birçok baza sahip olabilir fakat bütün bazlar aynı sayıda elemana sahiptirler. Bu sayıya 𝑋 in 𝐹𝑞 üzerinde boyutu denir ve 𝑑𝑖𝑚(𝑋) ile gösterilir.
Tanım 2.2.24. 𝑎, 𝑀 maksimal idealinin bir sabit üreteci olsun. o zaman 𝑎 bir nilpotent
tir.
Buradan 𝑎 nın nilpotent indeksini 𝑡 alarak 𝑎𝑡 = 0 tanımlarız. 𝑅 nin idealleri ;
𝑅 = 〈𝑎0〉 ⊋ 〈𝑎1〉 ⊋ ⋯ ⊋ 〈𝑎𝑡−1〉 ⊋ 〈𝑎𝑡〉 = 〈0〉
şeklinde zincirdir.
Tanım 2.2.25. Eğer herhangi bir R halkasının bütün sağ ve sol ideallerinin kümesi bir
sonlu zincir oluşturuyorsa R halkasına zincir halkası adı verilir.
2.3. Üreteç ve Parite Kontrol(Parity Check) Matrisi
Bir lineer kod için bazları bilmek bize onun kod kelimelerini açıkça tanımlama imkanı sağlar. Kodlama teorisinde, bir lineer kod için baz sıkça matris formunda temsil edilir ve üreteç matrisi olarak adlandırılır. Dual kod için matris gösterimi parite kontrol matrisi olarak adlandırılır. Bu matrisler kodlama teorisinde önemli rol oynar. K üzerinde bir matrisin rankı; herhangi eşelon formdaki bir matrisin sıfırdan farklı satır sayısıdır. C kodunun boyutu olan k; C nin boyutudur.
16
Tanım 2.3.1. Eğer C; n uzunluğunda boyutu k olan bir lineer kod ise; satırları C için bir
baz oluşturan herhangi bir matris, C için üreteç matrisi olarak adlandırılır. C için üreteç matrisinin k sayıda satıra ne n sayıda sütuna sahip olması gerektiği unutulmamalıdır.
Tanım 2.3.2. K üzerindeki bir matrisin rankı bir matrisin herhangi bir eşelon formdaki
sıfırdan farklı satır sayısıdır.
Teorem 2.3.1. G matrisi bazı lineer C kodu için üreteç matrisidir ancak ve ancak G nin
satırları lineer bağımsızdır. Yani; G nin rankı G nin satırlarının sayısına eşittir. [6]
Tanım 2.3.3. Herhangi bir 𝑘 < 𝑛, 𝑘 × 𝑛 tipinde bir G matrisinin ilk 𝑘 sütunu 𝑘 × 𝑘
tipinde 𝐼𝑘 birim matrisidir. Böylece;
𝐺 = (𝐼𝑘|𝑋)
indirgenmiş eşelon formda lineer bağımsız satırlara sahiptir. Böylece G matrisi n uzunluğunda ve k boyutlu bazı lineer kodlar için üreteç matrisidir.
Bir G üreteç matrisi standart form olarak adlandırılır ve G tarafından üretilen C kodu sistematik kod olarak adlandırılır.
Teorem 2.3.2. Eğer 𝐺 = (𝐼𝑘|𝑋) standart formda C [𝑛, 𝑘] kodu için bir üreteç matrisi olsun. o zaman 𝐻 = (−𝑋⊥|𝐼
𝑛−𝑘) , C için bir parite kontrol matrisidir. [6]
Teorem 2.3.3. Eğer G, bir lineer C kodu için üreteç matrisi ise o zaman satırları G ye
denk herhangi bir matris de aynı zamanda C kodu için üreteç matrisidir. Özellikle, herhangi bir lineer kod indirgenmiş eşelon formda bir üreteç matrisine sahiptir. [6] Örnek 2.3.1. 𝑆 = {11101, 10110, 01011, 11010} ve 𝐶 = 〈𝑆〉 olan bir lineer kodun üreteç matrisini bulmak için, elemanter satır işlemlerinden;
𝐴 = ( 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 )→( 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 ) → ( 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 ) yazılır. Böylece; 𝐺 = ( 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 ) = (𝐼3|𝑋)
17
C için bir standart form olur.
Tanım 2.3.4. Eğer bir lineer C kodu için herhangi bir H matrisinin satırları 𝐶⊥ nin
kodu için bir baz oluyorsa o zaman H matrisine parite kontrol matrisi denir ve ; 𝐶⊥ = {𝑥 ∈ 𝐹
𝑞𝑛| 𝐻𝑥⊥ = 0}
ile ifade edilir.
Eğer 𝐶 kodu 𝑛 uzunluğunda ve 𝑘 boyutlu bir kod ise o zaman 𝐶 ve 𝐶⊥ nin boyutlarının
toplamı 𝑛 dir ve 𝐶 için herhangi bir parite kontrol matrisi 𝑛 sayda satıra, 𝑛 − 𝑘 sayıda sütuna sahip olup rankı 𝑛 − 𝑘 dır.
Örnek 2.3.2. 𝑆 = {11101, 10110, 01011, 11010} ve 𝐶 = 〈𝑆〉 olan bir C lineer kodunun parite kontrol matrisini bulmak için elemanter satır işlemlerinden;
𝐴 = ( 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 ) ⟶ ( 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 ) ⟶ ( 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 ) buradan; 𝐺 = ( 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 ) = (𝐼3|𝑋)
C kodu için bir üreteç matrisi olur ve;
𝐻 = (0 1 1 1 0
1 1 1 0 1) = (𝑋
⊥\𝐼 2)
C kodu için bir parite kontrol matrisi olur.
Teorem 2.3.4. Bir C lineer kodu için H bir parite kontrol matrisidir ancak ve ancak H ın
sütunları lineer bağımsızdır. [1]
Teorem 2.3.5. Eğer n uzunluğunda bir lineer C kodu için H parite kontrol matrisi ise o
18 𝑥𝐻𝑇 = 0
deklemi elde edilir. [1]
Örnek 2.3.3. 𝐺 = (𝐼4|𝑋) olsun. Burada ;
𝐺 = ( 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 )
[7, 4] binary (ikili) kod için standart formda bir üreteç matrisidir. Parite kontrol matrisi ise; 𝐻 = (𝑋𝑇|𝐼 3) = ( 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 )
şeklinde elde edilir.
Tanım 2.3.5. 𝑛 uzunluğunda bir lineer 𝐶 kodu bir devirli değişim altında invaryant ise o
zaman 𝐶 koduna 𝑅 üzerinde devirli kod denir. Yani; 𝑐 = (𝑐0, 𝑐1, … , 𝑐𝑛−2, 𝑐𝑛−1) ∈ 𝐶
ancak ve ancak
𝑐̃ = (𝑐𝑛−1, 𝑐0, 𝑐1, … , 𝑐𝑛−3, 𝑐𝑛−2) ∈ 𝐶
dir.
Örnek 2.3.4. {11111, 00000} ⊂ 𝐹25 kümesi bir devirli koddur.
Örnek 2.3.5. Aşağıdaki kodlar devirli kodlardır: ● üç aşikar kod: {0}, {𝜆. 1 ∶ 𝜆 ∈ 𝐹𝑞} 𝑣𝑒 𝐹𝑞𝑛
● [3, 2, 2] binary (ikili) lineer kodu {000, 110, 101, 011}
Teorem 2.3.6. C , üreteç matrisi 𝑔(𝑥) = 𝑔1+ 𝑔2𝑥 + ⋯ + 𝑔𝑘𝑥𝑘−1 olan devirli kod
19 O zaman verilen kod için üreteç matrisi;
𝐺 = ( 𝑔1 𝑔2 𝑔3 … 𝑔𝑘 0 0 … 0 0 𝑔1 𝑔2 … 𝑔𝑘−1 𝑔𝑘 0 … 0 0 0 𝑔1 … 𝑔𝑘−2 𝑔𝑘−1 𝑔𝑘 … 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 … … 𝑔1 … … … 𝑔𝑘) şeklinde olur. [6]
Uyarı 2.3.1. 𝑛 uzunluğunda 𝐹𝑞 üzerinde bir devirli 𝐶 kodunun üreteç poliomu 𝑔(𝑥), 𝑥𝑛− 1 polinomunun bir bölenidir.
Tanım 2.3.6. Polinomların halkası x bilinmeyenine göre 𝐹(𝑥) olarak yazılır. Yani 𝐹(𝑥) ten kasıt olarak 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 olan bütün polinomların kümesini ele almış
oluyoruz. Burada 𝑛 negatif olmayan herhangi bir tamsayı; 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐹 tir.
Tanım 2.3.7. Eğer ; 𝑝(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑥𝑚 ve 𝑞(𝑥) = 𝑏
0+ 𝑏1𝑥 + ⋯ +
𝑏𝑛𝑥𝑛 𝐹[𝑥] de polinomlar ise o zaman 𝑞(𝑥) = 𝑝(𝑥) ⟺ ∀𝑖 ≥ 0 için 𝑎
𝑖 = 𝑏𝑖 dir.
Tanım 2.3.8. Eğer 𝑝(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑥𝑚 ve 𝑞(𝑥) = 𝑏0+ 𝑏1𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥𝑛 𝐹[𝑥] te polinomlar ise o zaman 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 𝑐0+ 𝑐1𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑡𝑥𝑡 dir. burada
∀𝑖 için 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 = 𝑐𝑖 dir.
Tanım 2.3.9. Eğer 𝑝(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑥𝑚 ve 𝑞(𝑥) = 𝑏0+ 𝑏1𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥𝑛 𝐹[𝑥] te polinomlar ise o zaman 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) = 𝑐0+ 𝑐1𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑘𝑥𝑘 dır. Burada
𝑐𝑡 = 𝑎𝑡𝑏0+𝑎𝑡−1𝑏1+ 𝑎𝑡−2𝑏2+ ⋯ + 𝑎0𝑏𝑡 dir.
Tanım 2.3.10. Bir 𝑛. dereceden sıfırdan farklı 𝑓(𝑥) = ∑𝑛 𝑎𝑖𝑥𝑖
𝑖=0 polinomu eğer 𝑎𝑛 = 1
ise o zaman 𝑓(𝑥) polinomuna monik polinom denir.
Tanım 2.3.11. 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ ℤ4[𝑥] olacak şekilde iki polinom olsun. Eğer 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) ve 𝑔(𝑥) veya ℎ(𝑥) ten biri birim ise o zaman 𝑓(𝑥) ∈ ℤ4[𝑥] polinomuna indirgenemez polinom denir.
Örnek 2.3.6. 𝑥4− 1 in indirgenemez polinomlar halindeki ℤ
4 deki çarpanları (𝑥 −
20
Tanım 2.3.12. 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ ℤ4[𝑥] sıfırdan farklı iki polinom olsun. 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ ℤ4[𝑥] nin en büyük ortak böleni; (𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)) ile gösterilir. 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ ℤ4[𝑥] in en büyük
ortak böleni en yüksek dereceli monik polinomdur. Eğer (𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)) = 1 ise o zaman 𝑓(𝑥) 𝑣𝑒 𝑔(𝑥) polinomları aralarında asaldır denir.
Lemma 2.3.7. 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ ℤ4[𝑥] polinomlar olsun. 𝑓(𝑥) 𝑣𝑒 𝑔(𝑥) aralarında asaldır ancak ve ancak 𝜇(𝑓(𝑥)) 𝑣𝑒 𝜇(𝑔(𝑥)), 𝐹2[𝑥] üzerinde aralarında asal polinomlardır. [7]
Tanım 2.3.13. . 𝜇: ℤ4[𝑥] ⟶ 𝐹2[𝑥] 𝑣𝑒
𝜇(𝑓(𝑥)) ≡ 𝑓(𝑥) (𝑚𝑜𝑑2) yani; 𝜇(0) = 𝜇(2) = 0, 𝜇(1) = 𝜇(3) = 1 ve 𝜇(𝑥) = 𝑥 olarak belirlenen dönüşüm indirgenmiş homomorfizma olarak adlandırılır.
Tanım 2.3.14. Eğer 𝐶 kodu 𝑛 uzunluğunda, boyutu 𝑘 olan ve uzaklığı 𝑑 olan bir kod ise
ozaman bu kod [𝑛, 𝑘, 𝑑] şeklinde ifade edilir ve bu üç parametre herhangi bir 𝐶 kodu için önemli bilgiler verir.
Teorem 2.3.8 (Hensel). 𝑓(𝑥) ∈ ℤ4[𝑥] olsun. ℎ1(𝑥)ℎ2(𝑥) … ℎ𝑘(𝑥) polinomları 𝐹2[𝑥] de
ikişer ikişer aralarında asal polinomlar olsunlar. Kabul edelim ki 𝜇(𝑓(𝑥)) = ℎ1(𝑥)ℎ2(𝑥) … ℎ𝑘(𝑥) olsun o zaman;
1. 𝜇(𝑔𝑖(𝑥)) = ℎ𝑖(𝑥)
2. 𝑔1(𝑥)𝑔2(𝑥) … 𝑔𝑘(𝑥) fonksiyonları ikişer ikişer aralarında asaldır
3. 𝑓(𝑥) = 𝑔1(𝑥)𝑔2(𝑥) … 𝑔𝑘(𝑥) olacak şekilde 𝑔1(𝑥), 𝑔2(𝑥), … , 𝑔𝑘(𝑥) ∈ ℤ4[𝑥]
fonksiyonları vardır. [7]
Tanım 2.3.15.( Graeffe metodu)
1. ℎ(𝑥), 𝑥𝑛+ 1 in 𝐹
2[𝑥] te indirgenemez çarpanı olsun.
ℎ(𝑥) = 𝑒(𝑥) + 𝑜(𝑥); 𝑒(𝑥) , ℎ(𝑥) terimlerinin çift kuvvetli üslerinin toplamı ve 𝑜(𝑥), ℎ(𝑥) terimlerinin tek kuvvetli üslerinin toplamıdır.
2. 𝑔(𝑥), ℤ4[𝑥] te 𝜇(𝑔(𝑥)) = ℎ(𝑥) şartıyla 𝑥𝑛− 1 in indirgenemez çarpanı olsun.
burada 𝑔(𝑥2) = ±(𝑒(𝑥))2− (𝑜(𝑥))2 dir.
Örnek 2.3.7 . 𝑥7+ 1 polinomunun 𝐹
21 𝑥7+ 1 = (𝑥 + 1)(𝑥3+ 𝑥 + 1)(𝑥3+ 𝑥2+ 1)
olsun. 𝑥7− 1 in monik indirgenemez polinomlar halinde ℤ4[𝑥] te çarpanlarını bulmak için Graeffe nin metodunu uygulayalım.
Çözüm.
● Eğer ℎ(𝑥) = 𝑥 + 1 ise 𝑒(𝑥) = 1 ve 𝑜(𝑥) = 𝑥. Buradan 𝑔(𝑥2) = −(1 − 𝑥2) = 𝑥2− 1 ve böylece 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 dir.
● Eğer ℎ(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥 + 1 ise 𝑒(𝑥) = 1 𝑣𝑒 𝑜(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥. Buradan
𝑔(𝑥2) = −(1 − (𝑥3+ 𝑥)2) = 𝑥6+ 2𝑥4+ 𝑥2− 1
ve böylece 𝑔(𝑥) = 𝑥3+ 2𝑥2+ 2𝑥 − 1 dir.
● Eğer ℎ(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥2 + 1 ise 𝑒(𝑥) = 𝑥2+ 1 𝑣𝑒 𝑜(𝑥3). Buradan
𝑔(𝑥2) = −((𝑥2+ 1)2− (𝑥3)2) = 𝑥6− 𝑥4− 2𝑥2− 1 ve böylece
𝑔(𝑥) = 𝑥3− 𝑥2− 2𝑥 − 1 dir.
Böylece 𝑥7− 1 in ℤ
4[𝑥] teki monik indirgenemez polinomlar halindeki çarpımı;
𝑥7− 1 = (𝑥 − 1)(𝑥3+ 2𝑥2+ 2𝑥 − 1)(𝑥3− 𝑥2+ 2𝑥 − 1) şeklindedir.
Örnek 2.3.8. 𝑥9+ 1 in 𝐹
2 deki indirgenemez monik polinomlar halindeki çarpımı;
𝑥9+ 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1)(𝑥6+ 𝑥3+ 1)
şeklindedir. 𝑥9− 1 in ℤ
4[𝑥] te indirgenemez monik polinomlar halindeki çarpanlarını
Graeffe metodunu kullanarak bulalım Çözüm.
● Eğer ℎ(𝑥) = 𝑥 + 1 ise 𝑒(𝑥) = 1 𝑣𝑒 𝑜(𝑥) = 𝑥 dir. Buradan
𝑔(𝑥2) = −(1 − 𝑥2) = 𝑥2− 1 ve böylece 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 dir.
22
𝑔(𝑥2) = −((𝑥2 + 1)2 − 𝑥2) = −𝑥4− 𝑥2− 1 ve böylece 𝑔(𝑥) = −𝑥2− 𝑥 − 1 dir.
● Eğer ℎ(𝑥) = 𝑥6+ 𝑥3 + 1 ise 𝑒(𝑥) = 𝑥6+ 1 𝑣𝑒 𝑜(𝑥) = 𝑥3 tür. Buradan
𝑔(𝑥2) = −((𝑥6 + 1)2 − (𝑥3)2) = −𝑥12− 𝑥6− 1 ve böylece 𝑔(𝑥) = −𝑥6− 𝑥3 − 1
dir.
Böylece 𝑥9− 1 in ℤ
4[𝑥] teki monik indirgenemez polinomlar halindeki çarpımı;
𝑥9− 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1)(𝑥6+ 𝑥3+ 1) şeklindedir.
2.4. Polinom Kodlama ve Kod Çözme
Lineer devirli kodlar için çeşitli üreteç matrisleri bulunabilir bunun en basiti satırları üreteç polinomuna karşılık gelen kod kelimeridir ve onun ilk 𝑘 − 1 sütunu devirli değişimdir. Yani; 𝐺 = ( 𝑔(𝑥) 𝑥𝑔(𝑥) . . . 𝑥𝑘−1𝑔(𝑥)) dir.
Örnek 2.4.1. 𝐶 lineer devirli kodu 𝑛 = 7 uzunluğunda ve derecesi 𝑛 − 𝑘 = 3 olan 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥3 üreteç polinomuna sahip olsun. Buradan 𝑘 = 4 olur. Böylece C için
bir baz ;
𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥3
𝑥𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑥2+ 𝑥4
𝑥2𝑔(𝑥) = 𝑥2+ 𝑥3 + 𝑥5
𝑥3𝑔(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥4 + 𝑥6
23 𝐺 = ( 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 ) şeklinde olur.
𝐶 bir 𝑛 uzunluğunda ve 𝑘 boyutlu bir lineer devirli kod olsun. 𝑘 basamak olan (𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑘−1), 𝑎(𝑥) = 𝑎0+𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑘−1𝑥𝑘−1 gibi bir polinom olarak kodlama
yapmak için düşünülebilir. Bu polinom ise bilgi mesaj polinomu olarak adlandırılır. Kodlama, polinom çarpımından oluşur yani; 𝑎(𝑥) polinomu 𝑎(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑐(𝑥) olarak kodlanır. Polinom çarpımı için ters işlem polinom bölümüdür. Dolayısıyla en yakın kod kelimesi 𝑐(𝑥) e karşılık gelen mesajı bulmak için alınan kelime 𝑐(𝑥) 𝑖𝑛 𝑔(𝑥) e bölünmesi ile oluşur. Böylece düzeltme mesaj polinomu 𝑎(𝑥) bulunur.
Örnek 2.4.2. 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥3 𝑣𝑒 𝑛 = 7 olsun. buradan 𝑘 = 7 − 3 = 4 tür. 𝑎(𝑥) =
1 + 𝑥2 mesaj polinomu olsun karşılık gelen kelime 𝑎 = 1010 olur. 𝑎(𝑥) mesajı 𝑐(𝑥) =
𝑎(𝑥)𝑔(𝑥) olarak kodlanır. Böylece;
𝑐(𝑥) = (1 + 𝑥2)(1 + 𝑥 + 𝑥3) = 1 + 𝑥 + 𝑥2+ 𝑥5
𝑐 = 1110010 karşılık gelen kod kelimesidir.
Eğer 𝑐(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥4+ 𝑥6 ise karşılık gelen mesaj polinomu 𝑐(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝑎(𝑥) = 1 + 𝑥 3 ,
karşılık gelen mesaj ise 𝑎 = 1001 dir.
Tanım 2.4.1. Syndrome polinomu, 𝑠(𝑥) ≡ 𝑤(𝑥) (mod 𝑔(𝑥)) olarak tanımlanır burada
𝑤(𝑥) alınan, 𝑔(𝑥) üreteç polinomudur.
Eğer 𝑤(𝑥) = 𝑐(𝑥) + 𝑒(𝑥) işlemi ile 𝑐(𝑥) gönderilen ve 𝑤(𝑥) alınan polinomlar olsun. o zaman biz syndrome polinomunu ve büyük olasılıkla hata polinomu 𝑒(𝑥) i hesaplayabiliriz. Toplam 𝑔(𝑥) polinomu 𝑛 − 𝑘 dereceye sahiptir. O zaman 𝑠(𝑥) polinomu 𝑛 − 𝑘 dan daha az dereceye sahip olacaktır ve 𝑛 − 𝑘 uzunluğunda bir ikili 𝑠 kelimesine karşılık gelecektir.
𝑤(𝑥) = 𝑐(𝑥) + 𝑒(𝑥) ve 𝑐(𝑥) = 𝑎(𝑥)𝑔(𝑥) den biz 𝑠(𝑥) = 𝑒(𝑥) 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) olduğunu söyleyebiliriz.
24
𝑖. sırası 𝑟𝑖 , 𝑛 − 𝑘 uzunluğundaki kelime ve 𝑟𝑖(𝑥) ≡ 𝑥𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) e karşılık gelen
satırları olan bir 𝐻 matrisini tanımlayabiliriz. Eğer 𝑤 alınan bir kelime ise o zaman ; 𝑤(𝑥) = 𝑐(𝑥) + 𝑒(𝑥)
Böylece;
𝑤𝐻 = (𝑐 + 𝑒)𝐻 = 𝑠(𝑥) dir.
Buradan 𝑠(𝑥) = 0 ancak ve ancak 𝑤(𝑥) bir kod kelimesi ve böylece 𝐻 bir parite kontrol matrisidir. Aynı zamanda eğer 𝑤𝐻 = 𝑠 ise o zaman 𝑠; 𝑠(𝑥) = 𝑤(𝑥) 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) e karşılık gelir.
Örnek 2.4.3. 𝑛 = 7 ve 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥3 olsun. o zaman 𝑛 − 𝑘 = 3 tür. Biz 𝐻’ ı
aşağıdaki gibi üretebiliriz:
𝑟0(𝑥) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) = 1 ⟷ 100 𝑟1(𝑥) ≡ 𝑥 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) = 𝑥 ⟷ 010 𝑟2(𝑥) ≡ 𝑥2 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) = 𝑥2 ⟷ 001 𝑟3(𝑥) ≡ 𝑥3 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) = 𝑥3 ⟷ 110 𝑟4(𝑥) ≡ 𝑥4 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) = 𝑥4 ⟷ 011 𝑟5(𝑥) ≡ 𝑥5 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) = 𝑥5 ⟷ 111 𝑟6(𝑥) ≡ 𝑥6 𝑚𝑜𝑑 𝑔(𝑥) = 𝑥6 ⟷ 101 Böylece;
25 𝐻 = ( 100 010 001 110 011 111 101)
olur. Eğer 𝑤(𝑥) = 1 + 𝑥5+𝑥6 alınırsa 𝑤 = 1000011 olur. o zaman 𝑤𝐻 = 𝑠 = 110 ve 𝑠(𝑥) = 1 + 𝑥 = 1 + 𝑥5+ 𝑥6𝑚𝑜𝑑(1 + 𝑥 + 𝑥3) elde edilir.
26
3. BÖLÜM
SONLU ZİNCİR HALKALARI ÜZERİNDE KONSTA-DEVİRLİ KODLAR
Bu bölümde geçen kavramlar ve sonuçlar [8-13] kaynaklarından alınmıştır.
Sonlu halkalar üzerinde kodlama ile ilgili çok fazla araştırma ve inceleme yapılmıştır. Özellikle Ζ4 halkası ve bunun yanında 𝐹2+ 𝑢𝐹2 halkası üzerinde birkaç araştırma yapılmıştır. Wolfmann [13] Ζ4 üzerinde n uzunluğunda ve n tek olmak üzere lineer devirli kodların Gray görüntüsünün bir ikili devirli koda denk olduğunu göstermiştir. Bu bölümde 𝑅2 = 𝐹2+ 𝑢𝐹2 ve 𝑅3 = 𝐹2+ 𝑢𝐹2+ 𝑢2𝐹2 üzerindeki konsta-devirli kodlar
ile ilgili bazı tanım teoremler incelenecektir.
Ayrıca konsta-devirli kodlar hakkında bazı tanım ve önermeler, konsta-devirli kodların Gray dönüşümler altındaki kodları ile ikili kuasi-devirli kodlar incelenecektir.
3.1 Konsta-Devirli Kodlar ve Kuasi -Devirli Kodlar
Bu bölümde 𝛽-konsta-devirli kodlar ve 𝑡-kuasi devirli kodlar hakkında bazı tanım ve notlar incelenecektir.
Tanım 3.1.1. Her (𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1) kod kelimesi, 𝛽 ∈ 𝐹𝑞∗∖ {0} olacak şekilde konsta-
devirli değişim vektörleri tarafından (𝛽𝑎𝑛−1, 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−2) şeklinde elde edilen ifade de bir kod kelimesi ise o zaman bu koda 𝛽-konsta -devirli kod denir.
Bunlar 𝐹𝑞[𝑥]/(𝑥𝑛 − 𝛽) halkasında ideallerdir.
Not 3.1.1. 𝛽 = 1 olduğu zaman bu koda devirli kod adı verilir.
27
Tanım 3.1.2. 𝐶 bir kod ve her (𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1) kod kelimesi için 𝑡 tamsayı olmak üzere (𝑎𝑛−𝑡, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−𝑡−1) de aynı zamanda bir kod kelimesi ise o zaman
bu koda 𝑡-kuasi devirli kod denir. 𝜎 ve 𝜈 𝐹22𝑛 𝑣𝑒 ℤ
2𝑘+1 𝑛
üzerinde alışılmış değişim olsun; 𝜓𝑡(𝑎(1)|𝑎(2)| … |𝑎(𝑡)) = 𝜎(𝑎(1))|𝜎(𝑎(2))|… | 𝜎(𝑎(𝑡)),
𝛿𝑡(𝑎̃(1)|𝑎̃(2)| … |𝑎̃(𝑡)) = 𝜈(𝑎̃(1))|𝜈 (𝑎̃(2))| … |𝜈(𝑎̃(𝑡))),
verilenler ile herhangi bir pozitif 𝑡 sayısı için, 𝜓𝑡, (𝐹22𝑛)𝑡 üzerinde bir kuasi-değişim ve
𝛿𝑡 , (ℤ4𝑛) üzerinde bir kuasi-negatif değişim olsun. Burada 𝑎(𝑖) ∈ 𝐹22𝑛, 𝑎̃(𝑖)∈ ℤ4𝑛, 𝑖 =
1, 2, … , 𝑡 için ve “|” ise alışılmış vektör birleştirmesini tanımlar.
Not 3.1.3. 𝑡 = 1 ise o zaman bu kod devirli kod olarak adlandırılır.
3.2. 𝑭𝟐+ 𝒖𝑭𝟐 Üzerinde (𝟏 + 𝒖) −Konsta-Devirli Kodlar
𝑅3𝑛 nin alt kümesi 𝐶 𝑛𝑖𝑛 (1 + 𝑢) −konsta -devirli 𝑛 uzunluğunda bir kod olması için gerek ve yeter şartın onun polinom gösteriminin 𝑅2[𝑥]/(𝑥𝑛 − (1 + 𝑢)) nun bir ideali
olması gerektiğini ve yine bu bölümde 𝐹2+ 𝑢𝐹2 üzerinde n uzunluğunda (1 +
𝑢) −konsta lineer devirli kodun Gray görüntüsünün bir ikili uzaklıklı değişmez lineer devirli kod olduğu ve aynı zamanda eğer n tek ise 𝐹2+ 𝑢𝐹2 üzerinde n uzunluğunda bir lineer devirli kodun Gray görüntüsü olan her ikili kodun bir lineer devirli koda denk olduğu ispatlanacaktır.
𝑅2 = 𝐹2+ 𝑢𝐹2 = 𝐹2[𝑢]/(𝑢2) değişmeli halkası aşikar toplam ve çarpım işlemlerini
𝑢2 = 0 özelliği ile sağlamaktadır. Burada 𝑅2 nin elemanları 0,1,u,1+u olup 1 ve 1+u 𝑅2
de birim elemanlardır. Bu yüzden 𝑅2; (0), (1), (u) ideallerine sahiptir.
Tanım 3.2.1. 𝑅2 = 𝐹2 + 𝑢𝐹2 olsun. Eğer 𝑛 uzunluğunda 𝑅2 üzerinde bir kod ν(𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1) = ((1 + 𝑢)𝑎𝑛−1, 𝑎0, … , 𝑎𝑛−2),
ν otomorfizmi ile değişmez ise o zaman bu kod (1 + 𝑢) −konsta-devirli kod olarak tanımlanır.
28
Önerme 3.2.1. 𝑅𝑛 nin bir alt kümesi 𝐶, (1 + 𝑢)-konsta 𝑛 uzunluğunda devirli koddur
ancak ve ancak onun polinom gösterimi 𝑅2[𝑥]/(𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) nun bir idealidir.[10]
İspat. Kabul edelim ki 𝜋(𝐶), 𝑅2[𝑥]/(𝑥𝑛 − (1 + 𝑢)) in ideali olsun. O zaman herhangi
𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅2𝑛 ⊂ 𝑅2[𝑥]/(𝑥𝑛 − (1 + 𝑢)) ve 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐶 için tanım 2.1.3, 2. maddeden
𝛼𝜋(𝑎), 𝛽𝜋(𝑏) ∈ 𝜋(𝐶) bulunur. Böylece Tanım 2.1.3, 1. maddeden 𝛼𝜋(𝑎) + 𝛽𝜋(𝑏) ∈ 𝜋(𝐶) yani;
𝛼𝜋(𝑎) + 𝛽𝜋(𝑏) = 𝜋(𝛼𝑎 + 𝛽𝑏) ∈ 𝜋(𝐶) dolayısıyla 𝛼(𝑎) + 𝛽(𝑏), 𝐶 nin bir kod kelimesidir. Bu da gösterirki C lineer koddur.
Şimdi 𝑐 = (𝑐0, 𝑐1, … , 𝑐𝑛−1), 𝐶 nin bir kod kelimesi olsun o zaman C’nin polinom
gösterimi;
𝜋(𝑐) = (𝑐0+ 𝑐1𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛−1𝑥𝑛−1), 𝜋(𝐶) nin bir elemanıdır.𝜋(𝐶), 𝑅
2[𝑥]/(𝑥𝑛 − (1 +
𝑢) nun ideali olduğundan;
𝑥𝜋(𝑐) = 𝑐0𝑥 + 𝑐1𝑥2+ ⋯ + 𝑐𝑛−1𝑥𝑛 ∈ 𝜋(𝐶) dir.
Fakat 𝜋(𝐶), 𝑅2[𝑥]/(𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) nin bir ideali olduğu için ve
𝑥𝑛− (1 + 𝑢) = 0 ⟹ 𝑥𝑛 = (1 + 𝑢) olduğundan dolayı
𝑥𝜋(𝑐) = 𝑐0𝑥+𝑐1𝑥2+ ⋯ + 𝑐
𝑛−2𝑥𝑛−1+ 𝑐𝑛−1((1 + 𝑢))
= (1 + 𝑢)𝑐𝑛−1+ 𝑐0𝑥 + 𝑐1𝑥2+ ⋯ + 𝑐
𝑛−2𝑥𝑛−1
𝜋(𝐶) nin elemanıdır yani; ((1 + 𝑢)𝑐𝑛−1, 𝑐0, 𝑐1, … , 𝑐𝑛−2), 𝐶 nin bir kod kelimesidir. Bu da 𝐶 nin (1 + 𝑢) −konsta- devirli kod olduğu anlamına gelir.
Tersine; Kabul edelim ki 𝐶, 𝑅 üzerinde (1 + 𝑢) − konsta-devirli kod olsun. Tanım 2.1.3, madde 1 𝜋(𝐶) için doğrulanır. (𝑓0, 𝑓1, … , 𝑓𝑛−2, 𝑓𝑛−1) ∈ 𝐶 ile 𝜋(𝐶) nin herhangi 𝑓(𝑥) polinomu için;
𝑓(𝑥) = 𝑓0+ 𝑓1𝑥 + ⋯ + 𝑓𝑛−2𝑥𝑛−2+ 𝑓
𝑛−1𝑥𝑛−1
= 𝜋(𝑓0, 𝑓1, … , 𝑓𝑛−2, 𝑓𝑛−1)
29 𝑥𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛𝑓
𝑛−1+ 𝑓0𝑥 + 𝑓1𝑥2+ ⋯ + 𝑓𝑛−2𝑥𝑛−1
= (1 + 𝑢)𝑓𝑛−1+ 𝑓0𝑥 + 𝑓1𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛−1𝑓 𝑛−2
polinomu da aynı zamanda 𝐶, (1 + 𝑢) − konsta-devirli kod olduğundan 𝜋(𝐶) nin elemanıdır. Böylece 𝑥2𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥𝑓(𝑥)), 𝜋(𝐶) nin bir elemanıdır. Tümevarımdan
kabul edilir ki ∀𝑗 ≥ 0 için 𝑥𝑗𝑓(𝑥), 𝜋(𝐶) ye aittir. C bir lineer kod ve π bir lineer
dönüşüm olduğundan 𝜋(𝐶), 𝑅2 üzerinde bir modüldür. Dolayısıyla herhangi
𝑔(𝑥) = 𝑔0+ 𝑔1𝑥 + ⋯ + 𝑔𝑛−1𝑥𝑛−1 ∈ 𝑅 2[𝑥]/(𝑥𝑛 − (1 + 𝑢)) polinomu için; 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = ∑ 𝑔𝑖(𝑥𝑖𝑓(𝑥)) 𝑛−1 𝑖=0
polinomu da 𝜋(𝐶) nin elemanıdır. Böyce ideal tanımından 𝜋(𝐶), 𝑅2[𝑥]/(𝑥𝑛− (1 + 𝑢)
nin bir ideali olduğu kolaylıkla görülür.
Tanım 3.2.2. 𝑅2 = 𝐹2 + 𝑢𝐹2 bir değişmeli halka olsun. Herhangi bir 𝑧 ∈ 𝑅2, 𝑧 = 𝑟 + 𝑢𝑞 olarak ifade edilebilir burada 𝑟, 𝑞 ∈ 𝐹2.
𝜙(𝑧) = (𝑞, 𝑞 + 𝑟) tarafından 𝜙: 𝑅2 → 𝐹2 gray dönüşümü tanımlanır.
Bu dönüşüm doğal bir yolla 𝑅2𝑛 e genişletilebilir. 𝑧 = (𝑧
1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛) ∈ 𝑅2𝑛 için 𝜙, 𝑅2𝑛’e
aşağıdaki gibi genişletilebilir: 𝜙: 𝑅2𝑛 → 𝐹
22𝑛
(𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛) → (𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛, 𝑞1 ⊕ 𝑟1, … , 𝑞𝑛⊕ 𝑟𝑛)
Burada 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 için 𝑧𝑖 = 𝑟𝑖+ 𝑢𝑞𝑖 ,ve ⊕ ikili toplamı ifade eder.
Örnek 3.2.1. 𝜙(1) = 01 𝑞 = 0, 𝑟 = 1 𝜙(𝑢) = 11 𝑞 = 1, 𝑟 = 0
𝜙(0) = 00 𝑞 = 0, 𝑟 = 0 𝜙(1 + 𝑢) = 10 𝑞 = 1, 𝑟 = 1
30
Not 3.2.2. (1 + 𝑢)𝑛 = 1 + 𝑢 , 𝑛 tek ise (1 + 𝑢)𝑛 = 1, 𝑛 çift ise
3.2.1 Tek Uzunluklu (𝟏 + 𝒖) −Konsta-Devirli Kodlar
Bu bölümde tek uzunluklu (1 + 𝑢) − konsta-devirli kodlar ile ilgili bazı önermeler incelenecektir.
Önerme 3.2.3. 𝜇; 𝜇(𝑓(𝑥)) = 𝑓((1 + 𝑢)𝑥) olacak şekilde
𝑅2[𝑥]/(𝑥𝑛− 1) → 𝑅2[𝑥]/(𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) ye bir dönüşüm olsun. Eğer 𝑛 tek ise o
zaman 𝜇 bir halka izomorfizmasıdır. [10]
İspat. İlk olarak 𝜇 nin bir halka homomorfizması olduğunu gösterelim. 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅2[𝑥]/ 𝑥𝑛 − 1 polinomları için 𝜇(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝜇((𝑓 + 𝑔)(𝑥)) = (𝑓 + 𝑔)((1 + 𝑢)𝑥) = 𝑓((1 + 𝑢)𝑥) + 𝑔((1 + 𝑢)𝑥) = 𝜇(𝑓(𝑥)) + 𝜇(𝑔(𝑥)) ve 𝜇(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = 𝜇((𝑓𝑔)(𝑥)) = (𝑓𝑔)((1 + 𝑢)𝑥) = 𝑓((1 + 𝑢)𝑥)𝑔((1 + 𝑢)𝑥) = 𝜇(𝑓(𝑥))𝜇(𝑔(𝑥))
ifadeleri elde edilir. Böylece 𝜇 bir halka homomorfizmasıdır.
31
𝑓(𝑥) ≡ 𝑔(𝑥) 𝑚𝑜𝑑(𝑥𝑛− 1) ⟺ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥)(𝑥𝑛− 1)
olacak şekilde ℎ(𝑥) ∈ 𝑅2[𝑥] vardır. ⟺ 𝑛 tek ve 𝑓((1 + 𝑢)𝑥) − 𝑔((1 + 𝑢)𝑥) =
ℎ((1 + 𝑢)𝑥)((1 + 𝑢)𝑥)𝑛 − 1) ⟺ (1 + 𝑢)𝑓((1 + 𝑢)𝑥) − (1 + 𝑢)𝑔((1 + 𝑢)𝑥) = (1 + 𝑢)ℎ((1 + 𝑢)𝑥)((1 + 𝑢)𝑛𝑥𝑛− 1) = ℎ((1 + 𝑢)𝑥)(𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) ⟺ (1 + 𝑢)(𝜇(𝑓(𝑥)) − 𝜇(𝑔(𝑥))) = ℎ((1 + 𝑢)𝑥)(𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) ⟺ (𝜇(𝑓(𝑥)) − 𝜇(𝑔(𝑥))) = (1 + 𝑢)ℎ((1 + 𝑢)𝑥)(𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) ⟺ 𝜇(𝑓(𝑥)) ≡ 𝜇(𝑔(𝑥))(𝑚𝑜𝑑(𝑥𝑛 − (1 + 𝑢))) Bu 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑅2[𝑥] /(𝑥𝑛 − 1) için 𝜇(𝑓(𝑥)) ≡ 𝜇(𝑔(𝑥))(𝑚𝑜𝑑 (𝑥𝑛− (1 + 𝑢))) ancak ve
ancak 𝑓(𝑥) ≡ 𝑔(𝑥)(𝑚𝑜𝑑 (𝑥𝑛 − 1)) anlamına gelir. Bu da 𝜇 nin birebir bir homomorfizma olması anlamına gelir.
𝜇 nin örten olduğunu göstermek için; 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅2[𝑥]/ (𝑥𝑛 − (1 + 𝑢)) olsun o zaman
𝑓((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝑅2[𝑥]/ (𝑥𝑛− 1) vardır öyle ki 𝜇 (𝑓((1 + 𝑢)𝑥)) = 𝑓((1 + 𝑢)2𝑥) =
𝑓(𝑥) dir.
Böylece; 𝜇 örtendir. Buradan 𝜇 bir halka izomorfizmasıdır. Örnek 3.2.2. 𝑛 = 7 olsun. 𝑥7+ 1 = (𝑥 + 1)(𝑥3+ 𝑥 + 1)(𝑥3+ 𝑥2+ 1) ∈ 𝑅 2[𝑥] 𝜇 halka izomorfizmasından; (1 + 𝑢)7𝑥7+ 1 = ((1 + 𝑢)𝑥 + 1)((1 + 𝑢)3𝑥3+ (1 + 𝑢)𝑥 + 1)((1 + 𝑢)3𝑥3+ (1 + 𝑢)2𝑥2+ 1)
elde edilir. Not 3.2.2 den ;
(1 + 𝑢)𝑥7+ 1 = ((1 + 𝑢)𝑥 + 1)((1 + 𝑢)𝑥3 + (1 + 𝑢)𝑥 + 1)((1 + 𝑢)𝑥3+ 𝑥2+ 1)
32 (1 + 𝑢)(𝑥7+ (1 + 𝑢)) = (1 + 𝑢)(𝑥 + (1 + 𝑢))(1 + 𝑢)(𝑥3+ 𝑥 + (1 + 𝑢))(1 + 𝑢) ve (1 + 𝑢)(𝑥7+ (1 + 𝑢)) = (1 + 𝑢)3(𝑥 + (1 + 𝑢))(𝑥3+ 𝑥 + (1 + 𝑢))(𝑥3 + (1 + 𝑢)𝑥2+ (1 + 𝑢)) (1 + 𝑢)(𝑥7+ (1 + 𝑢)) = (1 + 𝑢)(𝑥 + (1 + 𝑢))(𝑥3+ 𝑥 + (1 + 𝑢))(𝑥3+ (1 + 𝑢)𝑥2+ (1 + 𝑢))
dir. Bu denklem (1 + 𝑢) ile bölünerek;
𝑥7+ (1 + 𝑢) = (𝑥 + (1 + 𝑢))(𝑥3+ 𝑥 + (1 + 𝑢))(𝑥3 + (1 + 𝑢)𝑥2+ (1 + 𝑢)) elde edilir. Örnek 3.2.3. 𝑛 = 9 olsun. 𝑥9+ 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1)(𝑥6+ 𝑥3+ 1) ∈ 𝑅2[𝑥] 𝜇 halka izomorfizmasından; (1 + 𝑢)9𝑥9+ 1 = ((1 + 𝑢)𝑥 + 1)((1 + 𝑢)2𝑥2+ (1 + 𝑢)𝑥 + 1)((1 + 𝑢)6𝑥6+ (1 + 𝑢)3𝑥3+ 1) Not 3.2.2 den ; (1 + 𝑢)𝑥9+ 1 = ((1 + 𝑢)𝑥 + 1)(𝑥2+ (1 + 𝑢)𝑥 + 1)(𝑥6+ (1 + 𝑢)𝑥3+ 1)(1 + 𝑢)(𝑥9+ (1 + 𝑢)) = (1 + 𝑢)(𝑥 + (1 + 𝑢))(𝑥2 + (1 + 𝑢)𝑥 + 1)(𝑥6+ (1 + 𝑢)𝑥3 + 1) (1 + 𝑢) ile bölünerek; (𝑥9+ (1 + 𝑢)) = (𝑥 + (1 + 𝑢))(𝑥2 + (1 + 𝑢)𝑥 + 1)(𝑥6+ (1 + 𝑢)𝑥3 + 1) elde edilir.
33
Sonuç 3.2.4. 𝐼, 𝑅2[𝑥] /(𝑥𝑛− 1) nin bir ideali olması için gerek ve yeter şart 𝜇(𝐼),
𝑅2[𝑥] / (𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) nin bir ideali olmasıdır.[10]
İspat. Kabul edelim ki 𝐼, 𝑅2[𝑥] /(𝑥𝑛− 1) nin bir ideali ve
𝑓((1 + 𝑢)𝑥), 𝑔((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) olsun. 𝐼 ideal olduğundan
∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐼 𝑖ç𝑖𝑛 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∈ 𝐼 dır. Böylece 𝜇 nin tanımından 𝜇(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ∈ 𝜇(𝐼) dır. Fakat 𝜇(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝜇((𝑓 + 𝑔))(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(1 + 𝑢)(𝑥) = 𝑓((1 + 𝑢)𝑥) + 𝑔((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼), bu da;
𝑓((1 + 𝑢)𝑥) + 𝑔((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) (3.2.1) şimdi 𝑓((1 + 𝑢)𝑥), 𝐼((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) olsun. ∀𝑓(𝑥) ∈ 𝐼 𝑖ç𝑖𝑛 𝑓(𝑥)𝑙(𝑥) ∈ 𝐼 𝑣𝑒 𝑙(𝑥) ∈ 𝑅2[𝑥] olduğundan 𝜇 nun tanımından;
𝜇(𝑓(𝑥)𝑙(𝑥)) ∈ 𝜇(𝐼) olur. Fakat 𝜇(𝑓(𝑥)𝑙(𝑥)) = 𝜇((𝑓. 𝑙)(𝑥)) = (𝑓. 𝑙)((1 + 𝑢)𝑥) = 𝑓((1 + 𝑢)𝑥). 𝑙((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) dır. Böylece;
𝑓((1 + 𝑢)𝑥). 𝑙((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) (3.2.2) denklem 3.2.1 ve 3.2.2 den 𝜇(𝐼), 𝑅2[𝑥] / (𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) nin bir idealidir.
Tersine; kabul edelim ki 𝜇(𝐼), 𝑅2[𝑥] / (𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) nin bir ideali ve 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐼
olsun. şimdi 𝑓((1 + 𝑢)𝑥) + 𝑔((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼), ∀𝑓((1 + 𝑢)𝑥), 𝑔((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) 𝑖ç𝑖𝑛, çünkü 𝜇(𝐼), 𝑅2[𝑥] /(𝑥𝑛− (1 + 𝑢)) nun idealidir. Böylece 𝜇 nın tanımından;
𝑓((1 + 𝑢)𝑥) + 𝑔((1 + 𝑢)𝑥) = (𝑓 + 𝑔)((1 + 𝑢)𝑥) = 𝜇((𝑓 + 𝑔)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) elde edilir.
𝜇 bir halka izomorfizması olduğundan o zaman 𝜇−1𝜇((𝑓 + 𝑔)𝑥) ∈ 𝜇−1𝜇(𝐼) dır. Böylece; (𝑓 + 𝑔)(𝑥) ∈ 𝐼, yani;
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∈ 𝐼 (3.2.3) 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼 𝑣𝑒 𝚤(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] olsun. Şimdi ∀𝑓((1 + 𝑢)𝑥), 𝑙((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) 𝑣𝑒 𝜇(𝐼) bir ideal olsun o zaman 𝑓((1 + 𝑢)𝑥). 𝑙((1 + 𝑢)𝑥) ∈ 𝜇(𝐼) dır. Böylece 𝜇 nin tanımından;
