ı+ HALLERİN TABAN HAL KORELASYONLARINA ETKİSİ

SAU Fen Bilimleri EnstittlSU Dergisi 8.Cilt, LS ayı (Mart 2004)

l + HaDerin Taban Hal Korelasyonianna Etkisi

M. Güner

ı+

HAIJLERİN TABAN HAL KORELASYONLARINA ETKİSİ

Mehmet

GÜNER

Özet

- Taban baldeki kuaziparçacık sayısı ile

ölçülebilen taban hal korelasyonları (GSC), Rasgele

Faz Yaklaşımı (QRPA),

Renormalize QRPA (R­

QRPA) ve Tamamen Renormalize QRPA (FR-QRPA)

yaklaşımlarndaki

Hamiltoniyenler

ele

alınarak

çalışıldı. Hesaplama sonuçları, GSC de yüksek enerjili

ı+

hallerin önemini ve teorinin güvenirliliği için RP A

çözümlerinin tam çözümlerinin ne derece önemli

olduğunu gösterdi.

Anahtar

Kelimeler -

QRPA, R-QRPA, FR-QRPA,

Dönme

Değişmez

Olmayan

Model,

Kollektif

Uyarılmalar, Kuaziparçacık Sayısı.

Abstract

-

The ground state correlations (GSC)

measured by the number of quasiparticles in the

ground state are studied for the Hamiltonian within the

Ran do m

Phase

Approximation

(QRP A),

the

Renormalize QRP A (R-QRP A) and the Fully

Renormalized QRP A (FR-QRP A) approacbes. The

resnit of calculations has indicated a significant role of

the high energy

₁ +

states and the im portance to use full

complete set of the RP A solutions for reliable

predictions of the tbeory in GSC.

Keywords

-

QRP A, R-QRP A, FR .. QRPA, Non

Rotational İnvariant Model, Collective Excitations,

Quasiparticles Number.

I.

GİRİŞ

Quasi-Parçacık Rasgele Faz Yaklaşımı (QRPA), iki lmasi­ parçacık durumlarını bozonlar olarak kabul eden kuasi­ bozon yaklaşımına(QBA) dayandırılır

[1].

Bu yaklaşımın gelişmiş bir hali, korelasyonlu taban durumundaki

ferrniyon çiftleri için Pauli prensibini gözönüne alan Renormalize QRPA yaklaşımı (R-QRPA) dır

[2-4].

A ncak

R-QRPA, QRPA için gerçekleşen ve bir tam çözüm için gerçekleşmek zorunda olan Ikeda toplam kuralını (ISR) ihlal eder

[5-7].

Son on yılda R-QRP A nın bu eksikliğini gidermek için değişik yöntemler denendi ancak giderHemedi

[ 6-8].

Son yıllarda Pauli prensibini taban durumunda gözönüne alan ve ISR yi gerçekleyen Tamamen Renormalize Rasgele Faz Yaklaşımı (FR -QRP A) geliştiriidi

[9].

Bu yaklaşımda invaryans prensipleri vasıtasıyla efektif etkileşmelerin verilen bir kuasi parçacık yapısından fonon tl ehmet GÜNER SAÜ, Fen-Edebiyat Fakültesi,

1atematik Böl omu, Esentepe Kamposo, Sakarya.

ıguner@sakarya edu. _tr

ı

operatörü oluşturuldu. Fo non operatörü verilen Hamiltonyen için, toplam parçacık sayısı operatörü ile komut olacak ve iyi bir J açısal momentwnuna sahip olacak bir biçimde uygun bir tanım yapıldı. Hallerin fonon yapısı ve Hamiltonyen arasındaki bu tam tutarlılıktan daİayı FR-RQRPA, R-QRPA ya özgü olan iki-kuaziparçacıklar ve saçılma hallerine ayrılan fononlara . sahip düşük-enerjili sahta çözümlerden bağınlsızdır ve ISR yi tam olarak

gerçekler.

QRPA, R-QRPA ve değişik versiyonlarında yapılan hesaplamalar, hareket denklemlerinin lineer olmayan karmaşık bir sisteminin çözümünü

gerektirir. Böyle bir durumda

IL ;ı

çok kutupluluklar için ayn ayrı tüm RP A çözümleri göz önüne alınmalıdır. Bu yaklaşımda kollektif haller taban hal korelasyonları için oldukça büyük öneme

sahiptir.

Taban hal korelasyonlarında yüksek enerjili hallerin etkilerini ihmal etmenin hiçbir fiziksel izahı olmamasına rağmen, bu güne kadar yapılan bir çok R-QRP A hesaplamalarında sadece düşük seviyeli enerji çözümleri dikkate alınmış, operatar denklemlerinin taban hal beklenen değerinde yüksek enerjili QRP A çözümleri ihmal edilmiştir

[2, 7,1 0-1 3].

Kollektif yüksek enerji kanşımlanndan dolayı yapılan bu sayısal hesaplama sonuçlannın güvenirliliği şüphe götürmektedir. Şimdiye kadar bu hallerin GSC üzerindeki önemli etkileri araştırılmamıştır. Bttnunla ilgili olarak taban hal korelasyonlan ·için kollektif yüksek enerjili QRP A çözümlerinin ne derece öneme sahip olduğunu ve

N ortalama kuaziparçacık sayısının GSC ye

qp

katkılarını hesaplamak fayda vericj olacaktır.

Bu yüzden biz bu çalışmada taban hal korelasyonları için yaptığımız sayısal hesaplamalarda QRP A Harnil toniyeninin tüm özdeğerlerini dikkate aldık. Yüksek enetiili RP A çözümlerinin taban hal korelasyonlannda ne derece önemli oldu

�

unu göstermek amacıyla 154Sm, 156Gd, 168Er and 1 8Hf nadir toprak elementleri için izovektör spin-spin kuvvetleri tarafından oluşturulan 1 + uyarılmaları mn B(M

1)

değerlerini ve

N

k:uaziparçacık sayısını hesap ladık.

SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 8.Cilt, l.Sayı (Mart 2004)

II.

TAMAMEN RENORMALiZE RASGELE FAZ

YAKLAŞlMI

\

Eksenel simetrik ortalama bir alanda çiftlenme kuvvetleri

yoluyla etkileşen nükleonlar sistemini ele alalım. Bu

durumda sisternin uygun tek-parçacık Hamiltoniyeni

Hsqp =

l:Es(r)(a;(ı)as(ı)+a;(ı)a9(ı-))

(1)

s

Burada

_Es=

�(es-

..1,)2

+ � 2

nilldeonların tek-kuaziparçacık

enerjileri,

_A,

ve

_ll

sırasıyla süperakışkan modelin

kimsayasal potansiyel ve gap parametreleridir.

a;(as),

kuaziparçacık yaratma (yoketme) operatörü ve

ı s)

ise

deforme potansiyelde hareket eden

1 s)

tek-parçacık dalga

fonksiyonunun zaman eşJeniğidir.

(V<n) izovektör spin-spin etkileşmelerinin deforme

çekirdeklerde 1

+

durumlarını oluşturduğunu kabul ederek

model Hamiltoniyenini aşağıdaki şekilde yazabiliriz [ 1 5] :

Burada spin-spin etkileşmesi

LT _rm

=-

ı

X

crr

"

L...ı

a,aJ

r

z z

,r J

2 1,) ..

(2)

(3)

• •

şeklinde ve

_{X cr}

spin-izospin çiftleşme parametresını

··

term

e

ktedı

'

r

�-'

ve

l-l

ı·se sırasıyla spin ve izospini

gos

_{,. . a- r}

temsil eden Pauli matrisleridir.

FR-RQRP

A da çift çift deforme çekirdeklerde kolektif

uyarılınalann modife olmuş fo non operatörü şu şekilde

vazılabil

_{... ir:}

L[x;s.ı

(r)-

ys�'ı (r)]

= 1

(5)

ss' r

Bundan sonra kullanacağımız tüm tanımlar referans [8]

deki gibidir. Şimdi FR-QRPA temsilinde

cr+ı

ve

(1)

Hamiltoniyeninin ifadesini verelim:

(6)

2

1 + Hallerin Taban Hal Korelasyoniarına Etkisi

M. Güner

Buradaa;=c-ıy�a-p

ve

_{a.u· =(s/a�1fs')}

dir.

QRP A nın bilinen prosedürleri kullanılarak hareket

denklemi şu şekilde olur [I 5, 16]:

Buradan bir fononlu 1,. uyanlmalarının

co.

enerjileri

için aşağıdaki denklem elde edilir:

Burada

D _a

=l+z

_{ur F a}

=0

(9)

(10)

dir ve

_{F (J}

fonksiyonu genellikle spin-vibrasyone\

olarak tanımlanır. Ayrıca

_E

1

=E

+E

1

iki-Sl S S

kuaziparçacık enerjileri,

Us

ve vs Bogolyubov

dönüşUn1 parametreleri olmak üzere

_L11 =usvs·-Us·Vs

dir. Ayru zamanda

E • . = E

'+E

.

ss ss ss ,__ U V U .V .

)

E . =

(

E

-E.)-s s s s

(N -Ns.

ss

s

s

G (v

. 2 _ v 2

)ı

s .

ve

.).Ç .) s 2 2 2 2 1 U .s -V\' N 1 U J --V s· N G . =1-- "' - .., � +- 2 .., :/ ss 2 ... - .. 2 -v . --v _{s l} v . -v _{s s}

(ll)

(12)

(13)

dir. FR-QRP A da

E;5•

iki kuazi parçacık

en e rj ilerinin verilen nükleon lar arası etkileşmeler

tarafından

doğal

olarak

modife

edildiğini

göstereceğiz. Sonuç olarak bu etkHeşmeler değişik

özelliklere

sahip

parçacıkları

içerdiğinden

kuaziparçacıklar ve geçiş matris elemanları

arasındaki etkileşmeler de değişebilir. QRP

A

ve

R-

.

QRP A da bu ifade sıfırdır.

Bir fononlu dalga fonksiyonunun iki-kuziparçacık

genlikleri aşağıdaki şekilde yazılabilir:

ap

L

p (E

Jl + m i

)

E:E

J.l- m;2

SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 8.Cilt, l.Sayı (Mart 2004)

Burada

dir.

yn =­ /.1 z =

2

"

Gss'Ess'L

;

s,(j

�

s·

u

�

• 2 2

ss' (Ess'Ess'

-OJ;

)

Ill.SAYISALSONUÇLAR

(15)

(16)

Sayısal

hesaplamalar

150<A<172

nadir

toprak

bölgesindeki iyi defoııne çekirdeklere uygulanmıştır. Tek­

parçacık enerjileri ve dalga fonksiyonları defornıe Woods­

Saxon potansiyeli kullanılarak elde edilmiştir [ 18].

Kullandığımız modelde tek-parçacık enerjileri potansiyel

kuyunun

dibinden 3 Me

V

e kadar eneıjilerde yerleşen

_tüm

diskret ve kuazi-diskret seviyeleri ihtiva eder.

Deformasyon parametreleri ise [12] makalesinden

alınmıştır.

Deforme bazda özdeger ve özfonksiyon problemlerinin

çözümü R-QRP A ve QRP A hesaplamalarında çok

uzun

ve

zaman alıcı işlemler gerektirdiğinden, RP A çözümlerinin

doğru olarak hesaplanmasında oldukça önemli olan spin

matris elemanlarının katkılarını belirlemek ilginç olacaktır.

Çalışmalarımızda M l geçiş matris elemanlarının enerji

ağırlıklı ve enerji ağırlıksız toplam kurallarını hesapladık.

Hesaplamalar,

_{(s js}

+ı

1 s')

2 �

1

O -4

matris elemanlarının

toplam kurallarına çok küçük katkı sağladığını gösterınştir

( bu etkiler %2 yi geçmez). Buna dayanarak

_tüm

sayısal

hesaplamalarımızı matris elemanlarını bu şekilde

sırurlandırarak yaptık. Yaptığımız hesaplamaların amacı

çekirdek taban hal kore tasyanlarındaki FR -QRP A nın

ortalamasını göstermek olmuştur. Bu ise R-QRPA ve

QRPA nın sonuçlarının FR-QRPA sonuçları ile

karşılaştırılarak elde edilebilir. FR-QRP A ve QRP A

arasındaki temel fark, kuaziparçacık enerjileri ve

_Gss'

renormalizasyon çarpanıdır. QRP A nın spektroskobik

enerji bölgesindeki kuaziparçacıklann, enerjiye göre

dağılımını görünür derecede değiştirdiğini ve düşük

enerjiye sahip

₁ +

d

urum

larının yoğunluğunun deneysel

verilere [34-36] uygun olarak arttırdığını gösterdi.

Örneğin, 168Er çekirdeğinde 1

+

seviyelerinin 4 Me

V

e kadar

olan enerji bölgesindeki yoğunlukları R-QRPA ve QRPA

da 10 Mev·1, FR-QRPA da ise 13 Mev·ı civarındadır.

168Er çekirdeği için uygun deneysel veriler [35]

_Pexp >

10

Mev·• dir. Bu çekirdek için 1

+

seviyelerin enerji seviye

yoğunlukları Şekil

_1.'

de gösterilmiştir.

3

4

3

2

ı+ Hallerin Taban Hal Korelasyonianna Etkisi ·

QRPA R-QRPA FR-QRPA

M. Güner · · - - - - -. . . - -- - -

-

- -

-

·-·----. ·-·----. .

--

- . .

-

. . . - -- - - -. - . . . . . . . . . -

-. Exp.

---Şekil 1. 168Er çekirdegi için pozitif pariteli

1

=

1

hallerinin

enerji seviyeler diyagramı. Doz çizgiler K1t =l +olan seviyeleri ve kesitti çizgHj seviyeler ise. [18] referansına göre alınan K sı belirsiz seviyeleri göstennektedir.

QRPA, R-QRPA ve FR-QRPA yaklaşımları

çerçevesinde hesaplanan

_{Nqp kuaziparçacık}

sayısının 154Sm, 156Gd, 168Er ve 178Hf çekirdekleri

için karşılaştırılması Şekil 2. 'de gösterilmiştir.

20

�

15 c a.. ı:r z 10 �Sm l�Hf . .

-.

. . .

.

. • • • • 4 ... . . . .

-.

. . . . . .

.

.

.

.... .

.

.

QR RQ

FR

QR RQ

FR

QR RQ FR QR RQ FR

..

Şekil2. QRPA, R-QRPA ve FR-RQPAyaldaşımlarında

hesaplanan vibrasyonel 1 +hallerine bag1ı taban halde ortalama kuaziparçacık sayısı larının karşılaştırılması. QRP A, R -QRP A ve FR-RQPA yaldaşımları sırasıyla QR, RQ ve FR olarak

SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 8.Cilt, l.Sayı (Mart 2004)

Şekilden de görüldüğü gibi, toplam

Nqp

değerleri QRPA, R-QRPA ve FR-QRPA yaklaşımlarının üçünde de hemen hemen aynıdır. Bu yaklaşımlar arasındaki fark toplam

N

qp değerinin

%1-2

si civarındadır.

•

Kırılıruş simetriye sahip modellerde her uyarılma seviyesi sahte halin belirli karışımını içermektedir. Sahte halin karıştığı enerji bölgesini belirlemek için dönme değişmezliği kırılmış fonon halleri ve sahte hal dalga fonksiyonunun örtüşüm integrallerinin incelenmesi çok bilgi vericidir. Buna örnek olarak 168Er çekirdeği için bu örtüşn1enin karesinin enerji dağılımı sırasıyla Şekil

3.'

de

gösterilmiştir. 20 ı 16 12 8 4 o - ---ı-- --,- . l o ·ı r 3 4 5 ô

Şekil 3. 168Er çekirdeği için dönme deg;işmez olmayan

modeldehesaplanan sahte hal karışımının _{1 +} hallerindeki da�ılımı.

Elde ettiğimiz sonuçlar yüksek ene_rji

li 1

+ hallerin

öneminin göstermekte ve taban hal korelasyonlarında teorinin güvenirliliğini sağlamak için _RP A çözümlerinin tam küme s inin kullanılmasının gerekliliğini ortaya

koymalaadır. Bunun yanında hesaplan1alar,

N

qp

kuaziparçacık sayısının mutlak değerlerinin p-h izevektör

spin-spin etkileşmesi için QRPA, R-QRPA ve FR-QRPA

yaklaşımlarında hemen hemen aynı olduğunu gösterdi.

'

• 1

4

ı+ Hallerin Taban Hal Korelasyonianna Etkisi M. Güner

IV.

KAYNAKLAR

[1].

P. Ring and P. Schuck, "The Nuclear many

Body Problem"{Springer-Verlag, Berlin,

I 980);

V. G. Soloviev "Theory of Complex Nuclei " (Pergamon Press, New York,

(1976)

_.

[2].

K. Hara, Progr. Theor, Phys.'

32, 88 (1964).

[3].

K. Ikeda T. Udagava and H. Yamura� _Progr.

Theor, Phys.

33, 22 (1965).

[4].

D. _J. Rowe, Rev. Mod. Phys.

40 (1968 ) 153;

Phys.

Rev 175, 1283 (1968).

[_5].

_J. Tovianen and J. Suhonen, Phys. Rev. C

55�

2314 (1997).

[6].

S. Stocia and

H.

V. Klapdor-Kleingrothause,

Euro. Pbys. _J.

A9, 345 (2000)�

Phys. Rev. _C

63, 064304 (2001);

Nucl. Phys, A

694,269 (2001).

[7].

A. Bobyk, _{W. /\} .

.

Kanıincki and P. Zareba ..

Nucl. Phys.

669, 221 (2000)

[8].

D. S. De lion, J. _Ducke

l

sk_y and _{P. Schuck,}

Phvs. Rev. C _•

55,2340

_lO

(1997)

.

[9].

Vadim Rodin and Arnand Faessler, P

h

ys. Rev.

c

66, 051303 (2002).

(10].

_{A. A.} Raduta, C. M. Raduta, Arnand Faessler, W. A. Kaminski, N uel. Phys. A

634,

₄₉₇

( 1998).

[ll].

N. Dinh Dong andA. Arima, _P

h

ys. Rev. C

621' 024303 (200 1 )

.

[ 12].

D. Karadjov, V. V. Voronov and _{F. Catara,}

Phys. Lett.

B 306, 166 ( 1993 )

.

[14].

D. J. Thouless Nucl.Phys.,

22,78 (1961)

[15].

A.A.Kuliev, R.Akkaya, M.llhan, E.Guliev,

C.Salamov and S.Se1vi, IntJournal of

Modern Physics

E,9 (2000) 249.

[16].

A.A.Kuliev, An1and Faessler, M. Güner,

Vadim Rodin, (submitted to the Nucl.phys

G,2004)

[17].

S. Raman, C. _W. Nestor, Jr., P.Tikkanen, Atomic Data and Nucl.Data.Tables

78 (200 1)

₁

[1 8]

.H. Maser et al., Phys. Rev. C

53 (1996) 2749.