Bertrand Eğri Çiftlerinin Küresel Göstergelerinin Eğrilikleri Ve Tabii Liftleri

T.C.

ORDU ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

BERTRAND EĞRĠ ÇĠFTLERĠNĠN

KÜRESEL GÖSTERGELERĠNĠN EĞRĠLĠKLERĠ

VE TABĠĠ LĠFTLERĠ

ZEYNEP ÖZGÜNER

Bu tez,

Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans

derecesi için hazırlanmıĢtır

I

TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu,başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu,tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması olarak sunulmadığını beyan ederim.

İmza

Zeynep ÖZGÜNER

Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirimlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

II ÖZET

BERTRAND EĞRĠ ÇĠFTLERĠNĠN

KÜRESEL GÖSTERGELERĠNĠN EĞRĠLĠKLERĠ VE TABĠĠ LĠFTLERĠ

Zeynep ÖZGÜNER

Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 2013

Yüksek Lisans Tezi, 66s.

Danışman: Yrd.Doç.Dr.Süleyman ŞENYURT

Bu çalışma beş bölüm halinde düzenlenmiştir. Giriş Bölümünde çalışmanın amacı ve konunun ele alınma nedeni tartışıldı. Genel Bilgiler Bölümünde Öklid uzayı ile ilgili bilgilere yer verildi. Materyal ve Yöntem Bölümünde Öklid uzayında Bertrand eğri çiftleri ile ilgili temel kavramlara yer verildi.

Bulgular Bölümü çalışmamızın orijinal kısmını oluşturmaktadır.Bu bölümde



 , *



Bertrand eğri çifti alınarak bu eğri çiftlerinin küresel gösterge eğrileri ile sabit pol eğrisinin yay uzunlukları, 3

E veS2ye göre geodezik eğrilikleri hesaplandı bunlar

arasındaki bağıntılar bulundu. Ayrıca *_{eğrisinin küresel göstergelerinin tabii lift}

eğrileri geodezik spray için integral eğrisi olma şartı  eğrisine bağlı olarak ifade edildi.

Anahtar Sözcükler: Öklid uzayı, Bertrand eğri çifti, Geodezik eğrilik, Geodezik spray, Tabii Lift

III ABSTRACT

NATURAL LIFTS AND CURVATURES OF THE SPHERICAL INDICATRICES OF THE BERTRAND CURVES

Zeynep ÖZGÜNER

University of Ordu

Institute for Graduate Studies in Science and Technology Department of Mathematic, 2013

MSc. Thesis, 66p.

Supervisor:Asst.Prof.Dr.Süleyman ŞENYURT

This study consists five fundamental chapter. In introduction, it is discussed aim of and why this study is taken into consideration. In general in formation part, the basic consepts of Euclidean space have been pointed out. In material and method part, Bertrand curves are defined in the 3-dimensional Euclidean space.

In the last chapter is the original part of the study. In this chapter, Arc-lengths and geodesic curvatures of the spherical indicatrix curves with the fixed pole curve of Bertrand curves to 3

E and 3 E or 2

S . In addition, the relations among the geodesic curvatures and arc-lengths are given. Finally, the condition being the natural lifts of the spherical indicatrix curves of the * curve are an integral curve of the geodesic spray has expressed depending on  curve.

Key Words: Euclidean space, Bertrand curve, Geodesic spray, Geodesic curvatures, Natural Lift.

IV TEġEKKÜR

Yoğun çalışmaları arasında danışmanlığımı yapan ve çalışmalarım boyunca yardımlarını esirgemeyen saygıdeğer hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT’a en içten minnet duygularımı ve teşekkürlerimi sunuyorum.Ayrıca her zaman desteklerini gördüğüm Matematik Bölüm Başkanı Sayın Prof. Dr. Cemil YAPAR’a, Sayın Doç. Dr. Selahattin Maden’e, Sayın Yrd. Doç. Dr. Erdal ÜNLÜYOL’a ve Yrd. Doç. Dr. Seher ASLANCI’ya teşekkür etmeyi bir borç bilirim.

V ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa TEZ BĠLDĠRĠM………...…...I ÖZET………..……….II ABSTRACT……….…..…III TEġEKKÜR………..…IV ĠÇĠNDEKĠLER………..………...….V ġEKĠLLER LĠSTESĠ………..VII SĠMGE VE KISALTMALAR……….…..…VIII 1. GĠRĠġ………...………...………..…...1 2. ÖNCEKĠ ÇALIġMALAR………..2 3. GENEL BĠLGĠLER………...……..………..….4 3.1. Öklid Uzayı………..………...4

3.2. Küresel Göstergelerin Yay Uzunlukları………...………...16

3.3. 3 E e Göre Küresel Göstergelerin Geodezik Eğrilikleri………...…...17

3.4. 2 S ye Göre Küresel Göstergelerin Geodezik Eğrilikleri………....….22

4. MATERYAL VE YÖNTEM………..………...….26

4.1. Öklid Uzayında Bertrand Eğri Çiftleri………..………...…...…26

4.2. Tabii Lift Eğrileri ve Geodezik Spraylar İçin Bazı Karakterizasyonlar…...33

5. BULGULAR…………...………...39

5.1.1

     

T* , N* , B* Küresel Gösterge Eğrileri ile

 

C* Sabit Pol Eğrisinin Yay Uzunlukları……….………..…...39

5.1.2

     

T* , N* , B* Küresel Gösterge Eğrileri ile

 

C* Sabit Pol Eğrisinin E e 3 Göre Geodezik Eğrilikleri...……….…...44

5.1.3

     

* * * , , T N B Küresel Gösterge Eğrileri ile

 

* C Sabit Pol Eğrisinin 2 S ye Göre Geodezik Eğrilikleri………….………...…51

5.1.4 Küresel Gösterge Eğrilerinin Tabii Liftleri ve Geodezik Sprayları………...56

TARTIġMA………...62

VI

KAYNAKLAR………...………...64 ÖZGEÇMĠġ………..…….66

VII

ġEKĠLLER LĠSTESĠ

ġekil No Sayfa

ġekil3.1. Darboux Vektörü……...………..……….…...8

ġekil4.1. Bertrand Eğri Çifti……...………...……..26

ġekil 4.2. Bertrand Eğri Çiftine Ait Frenet Çatılarının Gösterimi………...29

ġekil 5.1. Bertrand Eğri Çiftine Dahil Olan Helisler………...……….…...61

VIII

SĠMGE VE KISALTMALAR LĠSTESĠ

D : Levi-Civita konneksiyonu

D : 2

S deki konneksiyon 3

E :3-boyutlu Öklid uzayı 2

S :Birim küre

: İç çarpım  : Vektörel çarpım  : Eğrinin eğriliği

 : Eğrinin burulması (torsiyon)

g

k : 3

E e göre geodezik eğrilik

g

 : 2

S ye göre geodezik eğrilik :Norm

W :Darboux vektörü

C : Birim Darboux vektörü

S :Şekil operatörü ( Weingarten dönüşümü)

 

M

T P :P noktasındaki tanjant uzayı TM : M nin vektör alanları uzayı  : Tabii lift eğrisi

1 1.GĠRĠġ

3-Boyutlu Öklid uzayında eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerinde birçok çalışmalar yapılmıştır. Özellikle iki eğrinin karşılıklı noktalarında Frenet çatıları arasında bağıntılar kurularak, birçok teoriler geliştirilmiştir. İnvolüt - Evolüt eğriler, Bertrand eğri çiftleri ve Manheim eğrileri birer örnek olarak gösterilebilir. Bir  eğrisinin 

 

s noktasındaki Frenet vektörleri birim kürenin merkezine yerleştirildiğinde uç noktaları birim küre yüzeyi üzerinde küresel gösterge eğrilerini oluşturular.Eğrinin Frenet 3-ayaklısının her s anında , bir eksen etrafında , bir ani helis hareketi yaptığı kabul edilir.Bu eksene eğrinin 

 

s noktasındaki Frenet ani dönme ekseni denir.Bu eksenin yön ve doğrultusunu veren vektöre eğrinin Frenet ani dönme vektörü adı verilir ve bu vektör W TBNN şeklinde ifade edilir.

Çalışkan, Sivridağ ve Hacısalihoğlu (1984) çalışmasında bir  eğrisinin küresel gösterge eğrileri ile sabit pol eğrisinin tabii liftleri ve geodezik sprayları üzerinde durmuşlardır.Burada tabii lift eğrilerinin tanjant demeti üzerindeki geodezik sprayın bir integral eğrisi olması için esas eğrinin nasıl bir eğri olması gerektiğine dair sonuçlar elde etmişlerdir .

Bertrand eğri çifti ilk olarak; 1850 yılında Bertrand Russel tarafından tanımlanmıştır.Birinci ve ikinci eğrinin aslinormal vektörleri lineer bağımlı olduğunda bu eğri çiftine Bertrand eğri çifti denilmektedir.

Bu çalışmada



*



,

  Bertrand eğri çifti olarak alındığında *

eğrisinin

   

T , N

ve

 

B* küresel gösterge eğrileri ile

 

C sabit pol eğrisinin yay uzunlukları E ve 3 2

S ye göre geodezik eğrilikleri hesaplanarak ve bunlar arasındaki bağıntılar bulundu. Ayrıca * eğrisinin küresel gösterge eğrilerinin tabii liftlerinin geodezik sprayın integral eğrisi olması için,  eğrisinin nasıl bir eğri olduğuna dair sonuçlar bulundu.

2 2.ÖNCEKĠ ÇALIġMALAR

Çalışkan, Sivridağ ve Hacısalihoğlu (1984),



: IM eğrisinin : I 

 

M

tabii liftinin, geodezik sprayın bir integral eğrisi olması için gerek ve yeter şartın M üzerinde bir geodezik eğri olması gerektiğini belirtmişlerdir. Ayrıca bir  eğrisinin küresel gösterge eğrilerinin tabii liftlerinin geodezik sprayın integral eğrisi olması için  eğrisinin nasıl bir eğri olması gerektiğine dair sonuçlar bulmuşlardır.

Bilici (1999), İnvolüt-Evolüt eğrilerin küresel gösterge eğrilerinin eğrilikleri,tabii liftleri ve tabii lift eğrilerinin tanjant demeti üzerinde geodezik spray için integral eğrisi olma şartları ile ilgili değişik sonuçlar bulmuşlardır.

Ekmekçi ve İlarslan (2001), n

IL Lorentz uzayında Bertrand eğri çiftlerini tanımlayarak bu eğri çiftler arasında uzaklığın sabit olduğunu ve eğrilerin teğet vektörleri arasındaki açının sabit olduğunu belirtmişlerdir. Ayrıca Bertrand eğri çiftleri için Manheim ve Schell teoremlerini ispatlamışlardır.

Bilici (2009), Lorentz uzayında non-null eğrilerin involütleri için eğrilikler ve burulmalar, Frenet vektörleri, Frenet vektörlerinin 2

1

S birim Lorenz küresi veya 2 0

H

hiperbolik birim küresi üzerindeki küresel gösterge eğrilerinin yay uzunlukları, 3 IL , 2

1

S veya 2 0

H ye göre geodezik eğrilikleri ve Frenet ani dönme vektörlerinden bahsedilerek bazı önemli sonuçlar elde etmiştir.

Ergun ve Çalışkan (2011), Lorentz uzayında integral eğrisi, tabii lift eğrisi ve geodezik eğriyi tanımlayarak,



: IMeğrisinin : I

 

M tabii liftinin, geodezik sprayın bir integral eğrisi olması için gerek ve yeter şartın M üzerinde bir

geodezik eğri olması gerektiğini belirtmişlerdir.

Şenyurt (2012), Öklid uzayında Manheim eğrilerinin küresel göstergelerinin yay uzunluklarını, geodezik eğriliklerini hesaplamıştır. Ayrıca



*



,

  Manheim eğri çifti olmak üzere, *

eğrisinin küresel göstergelerinin tabii litlerinin geodezik sprayın integral eğrisi olması için  eğrisinin nasıl bir eğri olaması gerektiğine dair sonuçlar belirtmiştir.

3

Demet (2012), Timelike-Spacelike Manheim eğri çiftlerinin küresel gösterge eğrilerinin eğrilikleri,tabii liftleri ve tabii lift eğrilerinin tanjant demeti üzerinde geodezik spray için integral eğrisi olma şartları ile ilgili değişik sonuçlar bulmuşlardır.

Çalışkan Ö.(2013), Timelike Bertrand eğri çiftlerinin küresel gösterge eğrilerinin eğrilikleri,tabii liftleri ve tabii lift eğrilerinin tanjant demeti üzerinde geodezik spray için integral eğrisi olma şartları ile ilgili değişik sonuçlar bulmuşlardır.

4 3.GENEL BĠLGĠLER

Bu bölümde 3-boyutlu Öklid uzayına ait temel kavramlara yer verilmiştir. 3.1 Öklid Uzayı

Tanım 3.1.1: A  bir cümle ve V de Kcismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. :

f A A Vfonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa Aya V ile birleştirilmiş afin uzay denir:

A1: P Q R, , A için f P Q( , ) f Q R( , ) f P R( , )

A2: P Ave   V için f P Q( , ) olacak şekilde bir tek QA

noktası vardır. Tanım 3.1.2: n

IR afin uzayı ile birleşen vektör uzayı n

IR olsun. , :IRn IRn IR     1 ( , ) , n i i i X Y X Y x y     



fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar. Bu fonksiyona standart iççarpım veya Öklid iç çarpımı denir:

i) Bilineer aksiyomu : X Y Z, , Vve a b, IR için

, , , aX bY Z a X Z b Y Z          , , , X aY bZ a X Y b X Z         

ii) Simetri aksiyomu: X Y, V için X Y,   Y X, 

iii) Pozitif tanımlılık aksiyomu:  X V için X X,  0 ve

, 0 0

X X X

    

Tanım 3.1.3:Üzerinde standart iç çarpım tanımlı n

IR afın uzayına n-boyutlu Öklid uzayı denir ve n

E ile gösterilir. Tanım 3.1.4: X En olmak üzere

: , n E IR X X X X   

5 şeklinde tanımlı fonksiyona n

E de norm fonksiyonu ve X IRsayısına X

vektörünün normu denir.

Tanım 3.1.5:X Y, En olmak üzere

: n n d E E 





2 1 , ( , ) ( ) n i i i X Y d X Y Y X   





şeklinde tanımlı d fonksiyonuna n

E de uzaklık fonksiyonu, d X Y( , )IR sayısına da X ileY noktaları arasındaki uzaklık denir.

Tanım 3.1.6:X Y, En olmak üzere

3 3 3 : E E E    3 1 ( , ) det( ,_i , ) _i i X Y X Y e X Y e    



şeklinde tanımlı  fonksiyonuna vektörel çarpım fonksiyonu, XY vektörüne de X ile Y nin vektörel çarpımı denir.

Tanım3.1.7: :IEn ( ) s ( ( ),₁ s ₂( ),....,s _n( ))s şeklinde tanımlı diferen-siyellenebilir fonksiyona E de bir eğri denir. n

Tanım 3.1.8:



:I En diferensiyellenebilir bir eğri olsun. : I IR

 

s 

 

s  

 

s

şeklinde tanımlı  fonksiyonuna skaler hızfonksiyonu, 

 

s reel sayısına da eğrinin skaler hızı denir.

Tanım 3.1.9:



:I En bir eğri olsun.  s I _için 

 

s 1 ise eğriye birim hızlı eğri, sI parametresine de yay parametresi denir.

Tanım 3.1.10: : n

I IR E

   bir eğri ve a b, I için

 

b

a

6

reel sayısına 

 

a ile 

 

b noktaları arasındaki yay uzunluğu denir.

Tanım 3.1.11:



:I IREn bir eğri ve 



    , , ,...( )r



cümlesi lineer bağımsız olsun.

 

( ) , k Sp k r    

olmak üzere cümlesinden Gram Schmidt ortogonalleĢtirme yöntemi ile elde edilen



V s V s1

   

, 2 ,...,V sr

 



ortonormal sistemine  eğrisinin 

 

s noktasındaki

Serret-Frenet r-ayaklısı, , 1V_i  i r,vektörüne de Serret -Frenet vektörü denir. Teorem 3.1.1:



: I IRE3eğrisinin 

 

s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı; 1)sI yay parametresi ise

 

 

 

_{ }

 

 

 

 

1 2 3 1 V s s V s s s V s T s N s     _{ }    _{ }  _       

2)sI yay parametresi değilse

 

_{   }

 

 

 

 

_{ }

_{ }



 

 



1 2 3 1 1 V s s s V s B s N s V s s s s s        _{ }  _               _{  } 

7

Tanım 3.1.12:



:I Eneğrisinin 

 

s noktasındaki Frenet r-ayaklısı

   

 



V s V s1 , 2 ,...,V sr



olsun. : i k I  sk si

 

 Vi

 

s V, i1

 

s  , 1 i r,

şeklinde tanımlı k fonksiyonuna i-yinci eğrilik fonksiyonu ve _i k s_i

 

 sayısına eğrinin 

 

s noktasındaki i-yinci eğriliği denir.

Özel olarak n3 alınırsa k s₁

 



 

s ve k₂

   

s  s ile gösterilir.



_{ya eğrinin} eğriliği,  ya eğrinin burulması (torsiyonu) denir,(Hacısalihoğlu 1983).

Teorem 3.1.2:



:I Eneğrisinin Frenet r-ayaklısı



V s V s₁

   

, ₂ ,...,V s_r

 



,

i-yinci eğriliğik s olsun. Bu durumda Frenet vektörleri ile bunların türev _i

 

vektörleri arasında

 

   

 

   

   

 

   

1 1 2 1 1 1 1 , 1 i i i i i r r r V s k s V s V s k s V s k s V s i r V s k s V s                         bağıntısı vardır,(Hacısalihoğlu 1983). 3

n özel halinde  eğrisinin 

 

s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı



T N B, ,



ile gösterilir. Burada Tye teğet vektör, N ye asli normal vektör ve Bye de binormal vektör denir. eğrisinin birinci ve ikinci eğrilikleri de sırasıyla  _ve  olmak üzere Frenet formülleri

8

 

   

 

       

 

   

, , T s s N s N s s T s s B s B s s N s       _             _{ } 



3.1.2



şeklinde olur,(Hacısalihoğlu 1983).Diğer yandan eğrisi üzerinde 

 

s noktası

eğriyi çizerken bu noktadaki



T N B, ,



Frenet 3-ayaklısı her s anında, (bir eksen etrafında) ani bir helis hareketi yaptığı kabul edilir ve bu eksene eğrinin 

 

s

noktasındaki Darboux (ani dönme) ekseni denir. Bu eksenin yön ve doğrultusunu veren vektör,

,

W  N N

W TB



3.1.3



şeklinde olur ve bu vektöre Darboux vektörü adı verilir.

ġekil 3.1 Darboux vektörü

ile

W Bvektörleri arasındaki açı  ile gösterilirse şekilden,

sin , cos

W W

 

  



3.1.4



9

C T B

W W

 

 

olur. Burada ile  _{nun yerine}



3.1.4



deki karşılıkları yazılırsa

sin cos

C T B



_3.1.5



bulunur.

Tanım 3.1.13::I En eğrisinin 

 

s noktasındaki birinci ve ikinci eğrilikleri sırasıyla k s ve ₁

 

k₂

 

s olsun. : H IIR

 

1

 

_{ }

1 2 k s s H s k s  

şeklinde tanımlı H fonksiyonuna 1 eğrisinin 1-inci harmonik eğriliği denir. Tanım 3.1.14 : :I En _eğrisinin 

 

s noktasındaki hız vektörü sabit bir U vektörü ile sabit açı yapıyorsa eğriye eğilim çizgisi (helis) ve S_P

 

U ya da eğilim çizgisinin eğilim ekseni denir.

Teorem 3.1.3: 3

: I E

  eğrisi bir eğilim çizgisidir  H s1

 

sbt(Hacısalihoğlu 1983).

Ġspat:  _{Kabul edelim ki}  bir eğilim çizgisi olsun.  eğrisinin 

 

s noktasındaki Frenet vektörleri



T s

     

,N s ,B s



olmak üzere , eğilim çizgisi tanımına göre

 

, cos

T s U  

olur.Bu ifadenin s ye göre türevi alınırsa

 

, 0

 

, 0

T s U   N s U 

N U  

10

 

 

U aT s bB s

şeklinde yazılabilir.Bu ifade sırasıyla T ve B ile iç çarpılırsa

 

, cos , U T s  a 

 

, sin U B s  b  olur ve buradan

 

 

cos sin U  T s  B s bulunur.Diğer yandan

 

 

 

       

   

   

 

 

 

 

 

1 , 0 , , 0 , 0 , , 0 cos sin 0 . N s U N s U N s U s T s s B s U s T s U s B s U s s s sbt s H s sbt                             

 _{Kabul edelim ki}  s I için H s₁

 

sbt olsun.İddia ediliyor ki  bir eğilim çizgisidir.

 

1

H s sbt ise H s1

 

tan sbtalınabilir.Buradan

 

 

cossin

 

cos

 

sin 0

s s s s   _{   }       olur.

 

 

cos sin U  T s  B s

11

 

 

 

0 cos sin os sin , U T B U s c s N s                      0 . U   Usbt bulunur.Buradan da

 

 

 

 

 

, , = , cos sin =cos =sbt s U T s U T s T s B s       

olur ki bu da  bir eğilim çizgisi olması demektir. Teorem 3.1.4: 3

: I E

  eğrisinin düzlemsel bir eğri olması için gerek ve yeter şart 0

  olmasıdır,(Hacısalihoğlu 1983).

Ġspat:  _{Kabul edelim ki} birim hızlı düzlemsel bir eğri olsun.Bu durumda s I

  için

 

s noktalarının tümü bir E düzlemi içinde bulunur.Düzlemin normali

q, düzlem üzerinde herhangi bir nokta polsun.Bu durumda

 

s p q, 0

  

olur. Bu ifadenin türevi alınırsa

 

 

 

 

, , 0 , 0 , 0 s q s p q s q T s q           

olur ve tekrar türev alınırsa

 

   

 

, 0 , 0 , 0 s q s N s q N s q       

12

bulunur.Buradan q vektörünün Tve N vektörlerine dik olduğu görülür.Bu durumda q vektörü B ye paralel olur.

 

q

B s

q  

alınabilir. Bu ifadenin türevi alınırsa 0 B  bulunur ve

 

   

B s   s N s eşitliğinden

 

s 0   elde edilir.

 _{Kabul edelim ki} 

 

s 0 olsun. B s

 

 

   

s N s idi. Buradan

 

0

 

B s  B s sbt olur.

 

 

   

: s F 0 , F I IR s  s  B s    

fonksiyonunu tanımlayalım.s0 ise F

 

0 0dır. F nin sye göre türevi alınırsa

 

   

 

   

   

     

 

, 0 , = , , =0, F . F s s B s s B s T s B s T s s N s s sbt               olur.Buna göre

 

s

   

0 ,B s 0   

eşitliği eğrisinin 

 

0 noktasından geçen ve B vektörüne dik olan düzlem içinde olduğunu gösterir.

Teorem 3.1.5: 3

: I E

  _{eğrisinin doğru olması için gerek ve yeter şart}  0 olmasıdır,(Hacısalihoğlu 1983).

13

Ġspat: 3

: I E

  birim hızlı bir eğri olsun.

 

s

 

s    olduğundan

 

 

 

 

 

0 0 0 , , . s s s s b s bs c b c IR                   

Tanım 3.1.15: X Y, 

 

M ve Ynin bileşenler

: n C

i

y E  , 1 i n, diferensiyellenebilir fonksiyonlar olsun.

 

 

 



1 , 2 ,....,



X p p p n

D Y  X y X y X y

ifadesineY nin X e göre kovaryant türevi denir. Tanım 3.1.16: n

E nin bir hiperyüzeyi M veM nin birim normal vektör alanı N

olsun. E nin Riemann konneksiyonu n Dolmak üzere ,X

 

M için

 

X

S X D N



3.1.6



şeklinde tanımlanan S dönüşümüne Ģekil operatörü (weingarten dönüĢümü) denir,(Hacısalihoğlu 1983).

Tanım 3.1.17: n

E de bir hiperyüzey M, şekil operatörü S ve Riemann konneksiyonu D olsun. X Y, 

 

M için

( ),

X _X

D Y D Y S X Y N



3.1.7



şeklinde tanımlı D operatörüne M üzerinde Gauss anlamında türev operatörü, denkleme de Gauss denklemi denir.

Tanım 3.1.18: :I En birim hızlı bir eğri olsun.  eğrisinin teğet vektörü T

14 0 T D T



3.1.8



ise eğrisine n

E de bir geodezik eğri, 0

T

D T 



3.1.9



ise eğrisine M yüzeyi üzerinde bir geodezik eğri denir (Hacısalihoğlu 1983). Tanım 3.1.19: 3

: I E

  birim hızlı bir eğri olsun. 

 

s noktasındaki teğet vektörü

T olmak üzere g T k  D T



3.1.10



ifadesine eğrinin 3

E e göre geodezik eğriliği ,

T

g D T

 



3.1.11



ifadesine de eğrinin 2

S ye göre geodezik eğriliği denir. Tanım 3.1.20: 3

: I E

  de birim hızlı bir eğri olsun.eğrisinin birim teğet vektörü T PQ alındığında, P noktası eğrisini çizerken Q noktasının birim küre yüzeyi üzerinde çizdiği eğriyeeğrisinin birinci küresel göstergesi veya teğetler göstergesi adı verilir.

 eğrisinin teğetler göstergesi

 

T ile gösterilirse denklemi,

 

 

T s T s

 

dir.

 

T nin yay parametresis ile gösterilirise _T

T

ds  T ds olur.

Tanım 3.1.21: 3

: I E

  de birim hızlı bir eğri olsun. eğrisinin asli normal vektörünün birim küre yüzeyi üzerinde çizdiği eğriye eğrisinin ikinci küresel göstergesi veya asli normaller göstergesidenir.

 eğrisininasli normaller göstergesi

 

N ile gösterilirse denklemi,

 

 

N s N s

 

dir.

 

N nin yay parametresi s_N gösterilirse

N

15 olur.

Tanım 3.1.22: 3

: I E

  de birim hızlı bir eğri olsun. eğrisininbinormal vektörünün birim küre yüzeyi üzerinde çizdiği eğriye  eğrisinin üçüncü küresel göstergesi veya binormaller göstergesi adı verilir.

 eğrisinin binormaller göstergesi

 

B ile gösterilirse denklemi,

 

 

B s B s

 

dir.

 

B nin yay parametresi s_B ile gösterilirse

B

ds  B ds olur.

Tanım 3.1.23: 3

: I E

  de bir eğri olsun. eğrisinin Frenet vektörlerine bağlı olarak oluşan birim Darboux vektörünün sabit birim küre üzerinde çizdiği eğriye sabit pol eğrisi adı verilir.

 eğrisine ait birim Darboux vektörü

 

C ile gösterilirse denklemi,

 

 

C s C s

 

dir.

 

C nin yay parametresi s_C ile gösterilirse

C

ds ds olur.

Tanım 3.1.24 : 3 ,

M NE eğrileri



I,



ve



I,



koordinat komşulukları ile verilsin.M veNeğrilerinin Frenet 3-ayaklıları sırasıyla



T s

     

,N s ,B s



ve

 

 

 



* * *



, , T s N s B s olsun s I için

   

* , 0 T s T s 

16

3.2 Küresel Gösterge Eğrilerinin Yay Uzunlukları

Çalışmamızın bu bölümünde  eğrisinin

     

T , N , B küresel gösterge eğrileri

ile

 

C sabit pol eğrisinin yay uzunlukları hesaplanmıştır.

 

T Teğetler göstergesinin yay uzunluğu s ile gösterilirse T

0 0 , = , s T s dT s ds ds N ds  





0 = . s ds 





3.2.1



 

N Asli normaller göstergesinin yay uzunluğu s ile gösterilirse N

0 0 2 2 0 , = , = , s N s s dN s ds ds T B ds ds        







0 = . s W ds





3.2.2



17

 

B Binormaller göstergesinin yay uzunluğu s ile gösterilirse _B

0 0 , , s B s dB s ds ds N ds    





0 . s ds  





3.2.3



 

C Sabit pol eğrisinin yay uzunluğu s ile gösterilirse _C

0 , s C dC s ds ds 

_

0 = cos sin , s T B ds    



0 = . s ds 





3.2.4



3.3 Küresel Gösterge Eğrilerinin E e Göre Geodezik Eğrilikleri 3

 

T teğetler göstergesininE e göre geodezik eğriliği 3 k_Tile gösterilsin.

 

T nin yay parametresi sTve birim teğet vektörü TT ın geodezik eğriliği

T

T T T

k  D T

dır.

 

T teğetler göstergesinin denklemi

 

 

T sT T s

18

şeklinde yazılır. Bu ifadenin s parametresine göre türevi alınırsa, _T

T T T T T T d dT ds d ds N ds ds ds ds ds ds T N ds  _{ }      

olur ve her iki tarafın normu alınırsa

1 T ds ds 

 

 

T T T s N s

bulunur. Bu ifadenin tekrar türev alınır ve gerekli işlemler yapılırsa





1 T T T T T T T T T T T T T T T dT ds dN ds D T D T ds ds ds ds D T T B D T T B                 olur.Norm alınırsa 2 2 1 T k     veya 2 1 tan T k    1 cos T k  



3.3.1



elde edilir.

19

 

N aslinormaller göstergesinin E e göre geodezik eğriliği 3 k ile gösterilsin. _N

 

N

nin yay parametresi s ve birim teğet vektörü _N T ın geodezik eğriliği _N

N

N T N

k  D T

dır.

 

N asli normaller göstergesinin denklemi

 

 

N sN N s

 

dir. Burada s ye göre türev alınırsa _N













N N N N N N N N d dN ds d ds T B ds ds ds ds ds d ds T B ds ds ds T T B ds   _{ }  _{ }               

olur ve her iki tarafın normu alınırsa

1 , N ds ds  W , N T T B W W      cos sin N T   T B

20









cos sin sin cos N N N N T N T N N N T N d T B dT ds ds D T D T ds ds ds ds D T T B N W    _{ }           olur.Normu alınırsa 2 1 N k W      _{  }  



3.3.2



bulunur.

 

B binormaller göstergesinin E e göre geodezik eğriliği 3 k ile gösterilsin. _B

 

B nin yay parametresi s ve birim teğet vektörü _B T ın geodezik eğriliği _B

B

B T B

k  D T

dır.

 

B binormaller göstergesinin denklemi

 

 

B sB B s

 

dir. Her iki tarafıns parametresine göre türevi alınırsa, _B

B B B B B B d dB ds d ds N ds ds ds ds ds ds T N ds   _        

olur ve normu alınırsa

1

B

ds ds  ,

21

B

T  N

olur.Bu ifadenin tekrar türev alınır ve gerekli işlemler yapılırsa





1 B B B B B T B T B B B T B T B dT ds dN ds D T D T ds ds ds ds D T T B D T T B                  olur.Norm alınırsa 2 2 1 B k     veya 2 1 cot B k    , 1 sin B k  



3.3.3



bulunur.

 

C sabit pol eğrisinin E e göre geodezik eğriliği 3 kCile gösterilsin.

 

C nin yay

parametresi sCve birim teğet vektörü TCın geodezik eğriliği

C C T C k  D T dır.

 

C nin denklemi

 

 

C sC C s  

22









cos sin cos sin C C C C C C d dC ds d ds T B ds ds ds ds ds ds T T B ds  _{   }            

olur ve normu alınırsa

1 , C ds ds  cos sin C T  T  B

bulunur. Bu ifadenin tekrar türev alınır ve gerekli işlemler yapılırsa









cos sin sin cos C C C C T C T C C C T C d T B dT ds ds D T D T ds ds ds ds W D T T B N                olur.Norm alınırsa 2 1 C W k     _{  }   



3.3.4



3.4 Küresel Gösterge Eğrilerinin 2

S ye Göre Geodezik Eğrilikleri

2

S küreye göre

     

T , N , B küresel gösterge eğrilerinin geodezik eğriliklerini hesaplayabilmek için 3

E deki konneksiyon D, S2deki konneksiyon D, birim normal vektör alanı Nolmak üzere

( ),

X _X

23 Gauss denklemlerinden yararlanılacaktır.

 

T teğetler göstergesinin S2 deki geodezik eğriliği _T ile gösterilirse,

T

T

T D TT

 

dir. Gauss denkleminden

 

, T _T T _{T T T T T} D T D T  S T T T yazılır.

 

T T S T T ve S T

 

_T ,T_T 1 olduğundan tan T _T T T T _{T T T} T _T T _T D T D T T D T T B T D T B            

olur.Her iki tarafın normu alınırsa

T tan



3.4.1



bulunur.

 

N aslinormaller göstergesinin S2 deki geodezik eğriliği _N ile gösterilirse,

N

N D TT N

 

dir. Gauss denkleminden

 

, N _N T _{N T N N N} D T D T  S T T N yazılır.

 

N N S T T ve S T

 

_N ,T_N 1 olduğundan

24









sin cos sin cos N _N N N T _{N T N} T _N T _N D T D T N D T T B N N W D T T B W  _{ }  _{ }       _   _      

olur.Her iki tarafın normu alınırsa

N W    



3.4.2



bulunur.

 

B binormaller göstergesinin S2 deki geodezik eğriliği _B ile gösterilirse,

B

B D TT B

 

dir. Gauss denkleminden

 

, B _B T _{B T B B B} D T D T  S T T B yazılır.

 

B B S T T ve S T

 

_B ,T_B 1 olduğundan cot B _B B B T _{B T B} T _B T _B D T D T B D T T B B D T T           

olur.Her iki tarafın normu alınırsa cot

B

  



3.4.3



bulunur.

 

C sabit pol eğrisinin 2

25

C

C D TT C

 

dir. Gauss denkleminden

 

, C _C T _{C T C C C} D T D T  S T T C yazılır.

 

C C S T T ve S T

 

_C ,T_C 1 olduğundan

sin cos sin cos

C _C C C T _{C T C} T _C T _C W D T D T C D T T N B T B W D T N             _   _       

olur.Her iki tarafın normu alınırsa

C W    



3.4.4



elde edilir.

26 4.MATERYAL VE YÖNTEM

Bu bölümde Öklid uzayında Bertrand eğri çiftleri ile ilgili temel kavramlara yer verildi.

4.1 Öklid Uzayında Bertrand Eğri Çiftleri Tanım 4.1.1 : 3

: I E

  ve * 3

: I E

  diferensiyellenebilir iki eğri , bu eğrilerin Frenet 3-ayaklıları sırasıyla



T s

     

,N s ,B s



ve



*

 

*

 

*

 



, , T s N s B s olsun. s I   için

 

 



*



, N s N s

lineer bağımlı ise



*



,

  ikilisine bir Bertrand eğri çifti denir(Hacısalihoğlu 1983).

ġekil 4.1 Bertrand eğri çifti

Teorem 4.1.1:



*



,

  Bertrand eğri çifti olsun. sabit bir sayı olmak üzere * eğrisi * N    



4.1.1



şeklindedir(Sabuncuoğlu 2006). Ġspat: 3 : I E

  birim hızlı bir eğri olsun.Bertrand eğri çifti tanımına göre

 

     

* s s u s N s   



4.1.2



biçiminde verilebilir.

 

*





u N uN u N u T B         

27

ve buradan

 

*  



1 u



T u N u B



4.1.3



bulunur.

 

*

 

s

  vektörü T*

 

s vektörüne paralel olduğundan

 

* *

 

N s

  

dir.N*

 

s vektörü N s vektörüne paralel olduğundan

 

 

*

 

N s    olur.Öyleyse

 

* ,N 0   

dır. Burada

 

* _{ın yerine yukarıda bulunan eşiti yazılarak} 0

u 

usbt

bulunur.ualınırsa



4.1.2 ifadesinden



 

 

 

*

s s N s

  

elde edilir.

Teorem 4.1.2:



 , *



Bertrand eğri çiftinin karşılıklı noktalarındaki birim teğet vektörleri arasındaki açı sabittir (Hacısalihoğlu 1983).

Ġspat : 3

: I E

  ve * 3

: I E

  diferensiyellenebilir iki eğri , bu eğrilerin Frenet 3-ayaklıları sırasıyla



T s

     

,N s ,B s



ve



T*

 

s ,N*

 

s ,B*

 

s



olsun. Bu durumda

28

   

* * * * * * * * * * * * * , , , . = , , = , , d dT dT ds T s T s T T ds ds ds ds ds N T T N ds ds N T T N ds        

yazılabilir.



N s

 

,N*

 

s



sistemi lineer bağımlı olduğundan *

, 0

N T  ve T N, * 0 dır.Bu neticeler yukarıda kullanılırsa

   

* , 0 d T s T s ds  bulunur. O halde

   

* , T s T s sbt

dir.Kabul edelim ki T s ile

 

T*

 

s arasındaki açı  olsun. O zaman

   

*

, cos

T s T s   sbt

bulunur.Bu ise ispatı tamamlar.

Teorem 4.1.3:



 , *



Bertrand eğri çiftlerinin birim teğet vektörleri arasındaki açı  olmak üzere Frenet vektörleri arasında

* * * cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos T T N N B B       _{    }  _{    }   _{    }  _{      }   bağıntısı vardır,(Kasap 1996). Ġspat :



*



,

  Bertrand eğri çifti olduğundan teğetler arasındaki açı ile binormaller arasındaki açı aynı olur,(şekil 4.2).Bu durumda çatılar arasında

29 * * * cos sin sin cos T T B N N B T B         



4.1.4



bağıntıları yazılabilir. Bu da ispatı tamamlanır.

ġekil 4.2Bertrand Eğri Çiftinin Frenet Çatılarının Gösterimi

Teorem 4.1.4:



 , 



Bertrand eğri çifti olsun.



eğrisinin eğrilikleri  ve



ise bunlar arasında

1,

    cot



4.1.5



bağıntısı vardır(Hacısalihoğlu 1983).

Ġspat:  ve *

eğrilerinin 

 

s ve *

 

s noktalarında Frenet 3-ayaklıları sırasıyla

     



T s ,N s ,B s



ve



T*

 

s ,N*

 

s ,B*

 

s



olsun.Buna göre T s ile

 

T*

 

s arasındaki açı  olmak üzere

*

cos sin

T  T B

30





* * * 1 ds T T B ds      dir. Buradan





cos 1 sin ds ds ds ds        _{ }       

bulunur. Bu ifade taraf tarafa oranlanırsa

cot 1

  

veya  cot alınırsa

1

   , bulunur.

Teorem 4.1.5:



 , *



Bertrand eğri çifti olsun.  eğrisinin eğrilikleri  ve  , * eğrisinin eğrilikleri *

ve *

olmak üzere bu eğrilikler arasında

2 * 2 * 2 sin , (1 ) sin              _      



4.1.6



bağıntısı vardır(Sabuncuoğlu 2006). Ġspat:



*



,

  Bertrand eğri çifti olsun.

 

 

* * * T     

31 olduğundan

 

* * * v T    dır.



4.1.4 eşitliğinden yararlanarak



 

* * * cos sin v T v B       bulunur.



4.1.3 eşitliğine göre



 

*





1 u T u N u B         olduğundan

 

 

 

 

* * cos 1 sin v s s v s s           _{ } 



4.1.7



olur.: I E3eğrisinin yay uzunluğu fonksiyonu f olmak üzere *

 

_* 1 _*

f  h

olsun. f*

 

s t ise h t*

 

s olur. f*

 

I J olmak üzere * * 3 :

h J E

   eğrisi

birim hızlı bir eğri olur. *

N

    eşitliğinin her iki yanının *

h fonksiyonu ile bileşkesi alınarak





* * * * h h N h     





* * * * h h N h      elde edilir. * N Nolduğundan bu eşitlik





* * * * * h h N h      şeklinde yazılabilir.Bu durumda *

h

 eğrisi ile * *

h

  eğrisi Bertrand eğri çifti oluşturur.



*

  

* 1

h h

   ve birim hızlı bir eğri olduğundan h* eğrisinin yay uzunluğu fonksiyonu *

32

 

*

 

 

*

 

*

 

f  s  f  s v s

 

*

 



*



 

 

h  t  h  t v t

 

 

 

 

 

* * * 1 1 h t v s f s  _{ }  olduğundan

 

*

_{ }

1 v t v s  olur. Şimdi * h

 eğrisi ile  * h* eğrisinin Bertrand eğri çifti oluşturduğunu göz önüne alarak



4.1.7 eşitliklerinde



 yerine ,  yerine  yazılırsa

 

 

 

 

1 1 * * cos 1 sin v t t v t t         elde edilir.Burada *1

 

t  ve *1

 

t  ile * * h

  birim hızlı eğrisinin eğrilik ve burulması olmak üzere _*1

 

_*

 

t s   ve *1

 

t *

 

s olduğundan

 

 

 

 

* * cos 1 sin v t s v t s           _{ } 



4.1.8



olur.



4.1.7 ve





4.1.8 ifadelerindeki birinci eşitliklikler taraf tarafa çarpılırsa











2 * cos   1  1 2 * sin (1 )        

elde edilir.Benzer şekilde



4.1.7 ve





4.1.8 ifadelerindeki ikinci eşitlikler taraf



tarafa çarpılırsa

33 2 2 * sin    2 * 2 sin      elde edilir.

4.2. Tabii Lift Eğrileri ve Geodezik Spraylar Ġçin Bazı Karakterizasyonlar Tanım 4.2.1:M,En1 de bir hiperyüzey ve da Müzerinde bir parametrik eğri

olsun. M üzerinde bir diferansiyellenbilir vektör alanı X olmak üzere ,eğer

 







 



d

s X s

ds    ,  s I ise ya X in bir integral eğrisidir denir.

M nin bir Pnoktasındaki tangent uzayı T M olmak üzere P

P p M

TM T M





dir. Burada TM ye M nin vektör alanları uzayıdır,(Çalışkan,Sivridağ,Hacısalihoğlu 1984).

Tanım 4.2.2:: I M herhangi bir parametrik eğri olmak üzere

 

s



   

s , s



   

s s

     



4.2.1



ile verilen : IM parametrik eğrisine  nin TM deki tabii lifti denir.

Böylece n 1

E  deki konneksiyonu D olmak üzere

 





 

_{ }s

 

d d s s D s ds ds   _{  }     





4.2.2 yazabiliriz,(Çalışkan,Sivridağ,Hacısalihoğlu 1984). Tanım 4.2.3:v TM için

 

,

 

N _P X v   v S v



4.2.3



şeklinde tanımlanan XTM vektör alanına geodezik spray denir,(Çalışkan,Sivridağ,Hacısalihoğlu 1984).

34

Teorem 4.2.1.



: IM eğrisinin : I TMtabii lifti, X geodezik sprayının bir integral eğrisi olması için gerek ve yeter şart M üzerinde bir geodezik eğri

olmasıdır,(Çalışkan, Sivridağ, Hacısalihoğlu 1984).

Ġspat:  X geodezik sprayın bir integral eğrisi olsun.Bu durumda

 

 

 

 

 t d X t t dt    

olur.X,

 

M üzerinde bir geodezik spray olduğundan

 

 

 

 

 

  , t X t t S t N      

yazılır.Tabii lift tanımından

 

_{ }





 

_{ }



 

_{ }



  , t t t t d d t t S t N dt         dt _ bulunur.Bu son eşitlik bütün 

 

t ler için doğru olduğundan ve

 s



 



d D s ds   _   

eşitliği de göz önüne alındığında

 t

 

 

,



 



D_  t    t S  t N

olur.Gauss denkleminden

 t

 

0

D  t 

bulunur.Böylece  nın M üzerinde bir geodezik olduğu görülür. , M üzerinde bir geodezik olsun.Bu durumda

 t

 

0 D  t  olur.Gauss denkleminden  t

 

_{ }

 

,



 



_{ } 0 t t D_ t t S t N       

yazılır.X bir geodezik spray olduğundan

 

_{ }







 



_{ }

 

_{ }







 



_{ } 0, t t t t d t X t dt d t X t dt           

35

 

 

 t

 

 

d t X t dt  _   bulunur ki bu da ispatı tamamlar.

Bir  eğrisinin

 

T teğetler göstergesinin tabii lifti

 

T olmak üzere bu eğrinin geodezik sprayın bir integral eğrisi olması için

0 T T D  dır.Gauss denkleminden

   

, 0 T T T T D    S  T s 

yazılır.Birim küre için S I₂ olduğundan

 

 

 

 





2 ₂ 2 2 0 0 0 0 T T T T T D T s D N T s d N T s ds T N B                           _{ }    

bulunur. DTT 0olması için









2 0, 0,1 0 , , 0 0 sbt     _{ }                    

olmalıdır. Böylece aşağıdaki sonuç verilebilir:

Sonuç 4.2.1.



eğrisi bir birim çember ise



nın teğetler göstergesi birim küre yüzeyi üzerinde bir büyük çemberdir. Bu durumda,

 

T tabii lifti T S

 

2 tanjant

demeti üzerinde geodezik sprayın bir integral

36

Bir  eğrisinin

 

N asli normaller göstergesinin tabii lifti

 

N olmak üzere bu eğrinin geodezik sprayın bir integral eğrisi olması için

0 N N D   dır.Gauss denkleminden

   

 









 





 

 

2 2 2 2 , 0 0 0 0 N N N N N N N N N D S N s D N s D T B N s d T B W N s ds                              



3 2



 T W  W NB0

bulunur.DNN 0 olması için









2 2 0 , 0 , 0 veya 1 sbt sbt                           

olmalıdır. Böylece aşağıdaki sonuç verilebilir:

Sonuç 4.2.2.



eğrisi bir dairesel helis ise



nın asli normaller göstergesi, birim küre yüzeyi üzerinde bir büyük çemberdir. Bu durumda,

 

N tabii lifti T S

 

2 tanjant demeti üzerinde geodezik sprayın bir integral eğrisidir,(Çalışkan,Sivridağ,Hacısalihoğlu 1984).

Bir  eğrisinin

 

B teğetler göstergesinin tabii lifti

 

B olmak üzere bu eğrinin geodezik sprayın bir integral eğrisi olması için

37 0 B B D   dır.Gauss denkleminden

   

, 0 B B B B D_    S  B s 

 

2

 

0 B B B d B s ds     bulunur.Türev alınırsa ,



2



0 T  N B        _{ }     

bulunur.DBB 0 olması için

2 0 0 0                 

olmalıdır. Böylece aşağıdaki sonuç verilebilir:

Sonuç 4.2.3:

 

B binormaller göstergesi, birim küre üzerinde bir büyük çember olacak şekilde herhangi bir



eğrisi yoktur. Bu durumda,

 

B tabii lifti T S

 

2 tanjant demeti üzerinde geodezik sprayın bir integral eğrisi olamaz,(Çalışkan,Sivridağ,Hacısalihoğlu 1984).

Bir  eğrisinin

 

C teğetler göstergesinin tabii lifti

 

C olmak üzere bu eğrinin geodezik sprayın bir integral eğrisi olması için

0 C C D   dır.Gauss denkleminden

   

, 0 C C C C D_    S  C s 

 

2

 

0 C C C d C s ds    