ÇEKM ECE N Ü KLEER ARAŞTIRM A VE BÖ İTİH M ERKEZİ
Ç.N .A.E.M . A .R 307
IBDADI : DEĞİŞKEN YÖNLÜ İMPLİSİT DİFÜZYON KODU
Ulvi ADALIOĞLU
Nükleer Mühendislik Bölümü
Ocak - 1993
P.K . 1, Hava Alanı, İSTANBUL
Basım tarihi Eylül - 1993
TÜRKİYE ATOM ENERJİSİ KURUMU
ÇEKM ECE N Ü KLEER ARAŞTIRM A V İ ttötTİM H ER K E Sİ
Ç .N .A .E .M .A .R 1907
IBDADI : DEĞİŞKEN YÖNLÜ İMPLİSİT DİFUZYON KODU
UİTİ
a d a l i oG
l uNükleer Mühendislik Bölümü
Ocak -1 9 9 3
P.K. 1, Hava Alanı, İSTANBUL
Basım tarihi Eylül - 1993
IBDA D I : DEĞİŞKEN YÖNLÜ İMPLİSİT DİFÜZYON KODU
Sonlu fark difüzyon denkleminin çözümü için ardışık överine-
laksasyon ve Chebyshev yarı itératif tekniğinden başka değişken
yönlü implisit (ADI) tekniği kullanılabilir. Bu teknik bir çok
hâllerde yakınsama hızını oldukça arttırmaktadır.
Bu rapor Nükleer Mühendislik bölümünde yazılmış olan sonlu
fark difüzyon koduna iç iterasyonu hızlandırmak üzere ADI tekni ğinin uygulanmasını ve elde edilen neticeleri ihtiva etmektedir.
SUMMARY
IBDADI : AN ALTERNATING DIRECTION IMPLICIT DIFFUSION
CODE
The alternating direction implicit method besides successive
overrelaxation and Chebyshev semi iterative techniques can be
utilized for the solution of finite difference form of neutron
diffusion equation. It improves the convergence considerably in
most c a s e s .
This report describes the application of this technique to a diffusion code written at Nuclear Engineering Department in
der to accelerate inner iteration and the results obtained.
or-İÇİNDEKİLER
Sayfa
1. GİRİŞ 1
2. DEĞİŞKEN YÖNLÜ İMPLİSİT METOD 1
2.1- Teori 1
2.2- Çözüm tekniği 3
2.3- Hızlandırma parametreleri' 5
2.4- Spektral alt ve üst sınırlar
2.5- İleri yoketme ve geriye yerine koyma
metodu 8
3. PROGRAMIN TANITILMASI 9
4. UYGULAMALAR 10
5. SONUÇLAR 12
REFERANSLAR 14
Ek 1- Giriş datasının verilişi
Ek 2- Giriş parametreleri hakkında bilgi Ek 3- Çıkışda verilen bazı değerlerin tarifi
TABLOLAR
Tablo 1- Test problemler için elde edilen
sonuçlar 15
ŞEKİLLER
Şekil 1- Sonlu fark denklemi için kafes yapısı 2
Şekil 2- TR-2 küçük kâlp konfigürasyonu 11
Ardışık overrelaksasyon ve Chebyshev yarı itératif teknikle
rin kullanılmasıyla sonlu fark difüzyon denkleminin nokta over
relaksasyon tekniğine göre daha hızlı çözümlerini verecek bir
kaç difüzyon kodu ÇNAEM Nükleer Mühendislik Bölümü ’nde yazılmış idi (1-5).
Değişken yönlü implisit metodun (ADI tekniğinin) her iki
teknikten de daha iyi olduğu bilinmektedir. Bilhassa büyük bo
yutlu problemlerde daha hızlı ve iyi sonuçlar alınabilmektedir.
Bu rapor ADI tekniğinin yeni bir difüzyon kodu elde edilmesine
tatbiki ve neticeler ile kodun tanıtılmasını ihtiva etmektedir.
2. DEĞİŞKEN YÖNLÜ İMPLİSİT METOD
2.1. Teori
Çözülecek olan beş nokta sonlu fark denklemi:
s e g g g g g g
- b $ + a $ — c $ — d $
i,j i- 1, j i,j i,j i,j i +1,j i,j i,j-l
g
g g X g g
- e $ = --- K + K S K (2.1)
i,j i,j+l k fi.j si.j i,j
eff
g = 1 , 2 ... G
dir ki G maksimum enerji grup sayısı olup
’1er sırayla (i,j) noktasındaki toplam fisyon
saçılma kaynaklarıdır. a katsayısı
K ve f i , j ve gruptan K si , j gruba ë g g g g a = b + c + d + e + g E V i. j i»j i,j i , j R i ,j i ,j g + D 2 B V (2.2) i . j i . j
-2-dır. a, b, c, d, e katsayılarının açık İfadeleri daha önce v e
rilmiş idi (1). Burada tekrar verilmiyecektir.
Gözönüne alınan kafes noktaları yapısı X-Y veya r-Z geomet
rileri için Şekil 1 ’de verilmektedir.
Şekil 1 - Sonlu fark denklemi için kafes yapısı
Kafes noktalarının belli şekilde g r u p l a n d ı n İmaları ve (2.1) ifadesinin kullanılmasıyla
A $ H + V + E $ = k (2.3)
matris denklemine gelinirki H, V, ve E matrislerinin her bir
elemanı g g = - b $ i , j i- 1 , j g -i s e g $ — c $ i , j -I i , j i . j i + 1 * j [ H* ] + + c
[ v* ] e e = - d $ + r - ‘ * •' 1 E * e e - e $ i , j i , j- 1 1L i , j i.J J i , J i ,j i «j + 1 S e e 2 g [ E* ] = E V $ + D B V $ Ri ♦ j i • j i , J i , j i . j i . j
ile hesaplanacaktır. H, V ve E matrisleri 3-köşegen gerçek ve
simetrik matrisler olup E matrisi sadece köşegen bir matrisdir.
H ve V matrisleri köşegene göre dominant birer matrisdir1er.
Bu H ve V matrisleri yatay ve düşey çizgiler üzerindeki ka
fes noktaları için elde edilmektedir. A matrisi negatif olmıyan
définit matrislerle positif définit matrislerin toplamı olmakta
dır. A matrisi singular değildir ve dolayısıyla (2.3) denklemi
nin bir tek çözümü vardır. Çözüm
1 1
( H + --- E ) 4» = ( - V - --- E ) $ + k (2.4)
2 2
ile bulunabilir.
2.2. Çözüm tekniği
Bu şekilde tarif edilen çözümün diğer bir şekli ise aşağıdaki bir çift denklem ile verilmektedir:
[ H + 3*E + r I ] = [ r l - V - % E ] $ + k (2.5)
ve
[ v + H E + r I ] $ = [ r I - H - % E ] $ + k (2.6)
Burada r sabiti her hangi bir skalar değer ve I birim matrisdir. (2.5) de sağ taraf için bir akı vaz edip sol tarafdan yatay çiz
giler üzerindeki kafes noktaları için akı bulunmaktadır. Elde
edilen yeni akı değerleri (2.6) da sağ tarafa konup bu sefer sol
-4-Bu iterasyon çözüm elde edilene kadar sürer. -4-Bu çözüm tarzı "Dè- ğişken yönlü implisit metod" (ADI metodu) ’dur.
Eğer
H = H + % E
1
V = V + % E
1
tarifleri yapılırsa, m iterasyon indisini göstermek üzere
(m+%) [ H + r I ] 4> 1 m+1 (m) r I - V ] * + k m+1 1 (2.7) (m+1 ) [ V + r I ] $ 1 m+1 (m+%) r I - H ] $ + k m+1 1 m > 0 (°)
denklemleriyle yeni bir iterasyon tarif edilebilir. $ ile baş
langıç çözümü gösterilmektedir. r« ’1er hızlandırma parametrele
ri olarak bilinmektedir.
(2.7) denklemleri önce yatay kafes çizgileri üzerinde daha
sonra da düşey kafes noktaları için çözülmektedir. Bu çözüm tar
zı Peaceman-Rachford çözümü diye bilinmektedir (6). (2.7) denk
lemleri birleştirilebilir ve
(m+1 ) (m)
$ = T $ + g (2.7)
r
a +ı
r*+ı
denklemine gelinirki T iterasyon matrisi Peaceman-Rachford mat risi olarak çağrılır ve
T r - 1 ( V + r l ) . ( r l - H ) 1 1 - 1 ( H + r I ) 1 r I - V ) 1
- 1 “ 1
g = ( V + r I ) . { ( r I - H ) . ( H + r l ) + I } k
r 1 1 1
dir. Eğer $ doğru çözüm ise her hangi bir m inci iterasyondaki
çözümün hatası
(m) (m)
€ = $ - $ (2.8)
ile tarif edilir. (2.7) iterasyonunda tarif edilen iterasyon
matrisinin spektral yarıçapının birden küçük olduğu gösterilmiş
olup çözümdeki hatanın iterasyon ile küçüleceğini garantilemek
tedir .
Eğer tek bir optimum hızlandırma parametresi kullanılırsa
ADI metodu ile nokta overrelaksasyon metodunun ayni asimtotik
yakınsama hızına sahip olduğu gösterilmiştir. Eğer r ’1er için
bir değerler seti tayin edilebilirse metodun esas kudreti o za
man ortaya çıkmaktadır (6).
2.3. Hızlandırma parametreleri
Birbir1eriyle kommüt iki matris H ve V matrisleri için
1 1
böyle bir seri parametre hesap edilebileceği gösterilmiştir.
Eğer kafes noktalarını çevreliyen kapalı konveks bölge kenarları
koordinat eksenlerine paralel olan bir paralelkenar ise eliptik
bir diferansiyel denklemden elde edilecek H ve V matrisleri
1 1
birbir1eriyle kommüt olmaktadır; yani
H V = V H
1 1 1 1
Difüzyon denklemi eliptik bir diferansiyel denklem ve genel likle gözönüne alınan kafes yapısı da konveks olup kenarları ek sen takımına paralel bir paralelkenardır.
H ve V matrislerinin özdeğerleri cr ve t (j = l, . . . ,n) ile
İ l j j
verilmekte ise bu özdeğerlerin alt ve üst sınırları a ve D olsun.
0 < a < cr , t < 1 < j < n
j j
Bu hâlde gösterilmiştir ki hızlandırma parametreleri sayısı m (ki ayni zamanda iterasyon sayısı olmaktadır.)
6
-m
k
2 1 < k < m (2.9)
ile bulunabilmektedir. Hızlandırma parametreleri ise
r k
r
2k-l ar
l/2m r £ ı L a J 1 < k < m ( 2.1 0)ile hesaplanmaktadır (7,6). Bu hesap tarzı her iki H ve V
ma-1 1
trisleri için ayrı ayrı tatbik edilebilmekte ve Peaceman-Rach-
ford iterasyonu tatbik edilirken H ve V çözümlerinde kendi
pa-1 1
rametreleri kullanılabilmektedir (7).
2.4. Spektral alt ve üst
A herhangi bir matris ve manı olmak üzere
sınırlar
a bu matrisin
i j
her hangi bir
ele-n v = maks E | a l<i<n j=l ij n v# = maks E | a 1<j<n i=l ij
değerleri bulunabilir. A matrisinin spektral yarıçapı ^>(A) ve & üst sınırı
^>(A) < min (v,v^ ) = : üst sınır (2.11)
ile elde edilebilir.
H indirgenemez, nxn boyutlu bir Stieltjes matrisi ve özde-
1
ger 1er i
0 < CF < CF < ... <<T
olsun. Gösterilmiştir ki (6)
0 < X < cr
şartını sağlıyan bütün X *lar için
- 1
( H - X I ) > 0
1
dır. Bu özellikten faydalanarak a Jin alt ve üst limiti
buluna-1
bilir. Şu özdeğer problemini gözönüne alalım:
(m +1 ) (m)
( H - X I ) x = x
1 m
(2.1 2a)
veya eşdeğer olarak
(m+1 ) - 1 (m)
x = ( H - X I ) x
1 m
(2 .1 2b)
yazılabilir. (2.1 2) denklemi ileri yoketme ve geriye yerine koyma
tekniği ile kolayça çözülebilir. Bu denklemin spektral yarıçapı
- 1
P { ( H - X I ) } =
1 m cr - X
1 m
(2.13)
ile tarif edilebilir. İterasyondan elde edilen çözüm vektörünün elemanları vasi tasıyla
(m+1 ) (m+1 ) m m l<i<n (m) -< cr - X 1 m < maks
r
l<i<n L (m ) x veya ı-8-( m) cr "l X + m min l<i<n (m) x - i - (m +1 ) -x i < d < X + 1 m maks l<i<n ( m ) x i (m+1 ) x i ( m ) 1
eşitsizliği elde edilir. İterasyon arttıkça Eşitsizlik olduğu zaman
(m) 1 J m) <r olacaktır. 1 (m) X = or m+1 ~1
alınıp iterasyon devam edecektir. Başlangıçda
X = 0 0 a l ı n a c a k t ı r . Yakınsama sağlandığında (m) a = a " 1 olarak alınmalıdır. (2.14)
2.5 . İleri yoketme geriye yerine koyma metodu
Gerek (2.12) veya gerekse de esas Peaceman-Rachford iteras
yon çözümünde bu teknik kullanılabilir. Matris denklemlerin her
bir satırı kafes üzerinde yatay veya düşey çizgiler üzerindeki
noktalara tekabül eden sonlu fark denklemidir. Dolayısıyla satır
satır veya sütun sütun sırayla gidilerek çözüm elde edilir. Bu
rada her hangi bir çizgi üzerindeki noktalar için denklemler çı
kartılacaktır. (2.1 2) denkleminin açık ifadesi
- b $ + a $ - c $ =4> (2.15)
ij i-l,j ij ij ij i+l,j ij
t = b + c + — r ij ij ij 2 L E + D B Rij ij
V
- X
i j mdır. j indisini yok sayarak m+1 inci iterasyondaki çözüm
$ (m+1 ) (m+1 ) t c $ + g i i + 1 i i = N - l ... 1 (2.16)
ile verilecektir. Buradaki katsayılar
I c 1 c 1 a 1 1 ı c i S i (m) b g + $ (m+1) N N-l N $ = ---N a - b c1 N N N-l (m) « 1 a 1 ( m) b g + ♦ i i- 1 i a - b c' i i i- 1 i = 2 ... N-l e N
dir. önce 1 den N ’e kadar c' ve g katsayıları hesaplanıp (2.16) formülüyle çözüm vektörünün bileşenleri bulunacaktır.
3. PROGRAMIN TANITILMASI
IBDADI kodu şu özelliklere sahiptir:
1. Kod en fazla 5 grup ve 70x80 boyutlarındaki problemleri
çözebilecek şekilde yazılmıştır. Maksimum bölge sayısı 100, teryel sayısı ise 40 ’dır.
ma-
-10-2. Kodun giriş data listesi Ek 1 * de verilmektedir.
3. Giriş parametreleri hakkındaki bilgi Ek 2 ’dedir.
4. Kod H ve V matrislerinin spektral sınırlarını ayrı ayrı
1 1
bulmakta, fakat bunlardan bir tek alt ve üst sınır seçmekte ve
çözümde tek bir hızlandırma parametre seti kullanmaktadır. Her
matris için ayrı bir set kullanmak bir çok kere yakınsamayı te
min etmemektedir. Bazen matrislerden birinin parametreleri diğe
rine göre daha kaba olmakta^ bu da ıraksaklıkla sonuçlanmakta
dır. Spektral alt sınır için en küçük değerin seçilmesi yakınsa mada karşılaşılan bu problemi ortadan kaldırmaktadır.
5. Kodun çıkışında her dış iterasyondaki k-eff değerleri ve
yakınsama elde edildikten sonra - ortalama akı değerleri,
- gruplara göre ve toplam nötron üretim ve kayıp hesabı
- her grup ve bölge için güce göre normalize integral ve or
talama akılar, absorpsiyon, gruptan saçılma ve fisyon ile
olan kayıplar ve üretilen güç değerleri, verilmektedir. Bunlara ait izahat Ek 3 ’dedir.
6 . İç iterasyonda yakınsama kriteri, 6ı dış iterasyonun ya
kınsama kriteri 63 ’e göre ayarlanmaktadır. Başlangıçta iç ite-
rasyon hassasiyetinin çok iyi olmasına ihtiyaç yoktur. Bu sebep
ten 61 kaba bir değerden, meselâ 0 . 0 2 gibi bir değerden başlayıp
her dış iterasyonda 0 . 1 küçültülerek 63 ’den küçük değerlere
gelmektedir ki bu da istenen yakınsamayı temin etmektedir.
7. İç iterasyonda akılar arasındaki maksimum fark 61 ’den
küçük olursa iterasyon bitmektedir. Yani hızlandırma parametre
leri her sefer aynen kullanılmamakta iterasyon ara bir noktada
bitmektedir. Bu kontrol olmazsa her iterasyonda ayni sayıda, y a
ni m sayısında iterasyon yapılacaktır ki bu fuzuli zaman kaybı
dır.
8. Hızlandırma parametrelerinin sayısını veya her iterasyonda
yapılacak iterasyon sayısını tesbit eden ”k ” katsayısının (yani
programdaki KIT parametresinin) seçimi problemin büyüklüğüne gö re olmaktadır. Hesap deneyleri göstermiştir ki küçük problemler
için küçük k ’1ar yeterli olmaktadır. Büyük kafesler için k ’yı
arttırmak hassasiyeti ar111rmamaktadır. Bu durumda sadece CPU
zamanı artmaktadır.
4. UYGULAMALAR
IBDADI kodu IBIND1L (5) ve GEREBUS (8) koduyla beraber
şitli problemlere tatbik edilmiştir.
çe-Test için kullanılan problemler şunlardır:
i- Birinci problem Şekil 2 de görülen TR-2 reaktörü küçük
kalp konfigürasyonudur. Reaktör kâlbi bir taraftan Be bloklar
ile yansıtılmış olup karşı kenarın köşelerine birer Alüminyum
blok konmuştur. BC-2 kontrol çubuğu kalbe tamamen girmiş olup
diğer üç çbbuk tamamen dışardadır.
Bu problem X-Y geometride 4 grup ve 48x58 kafes yapısı ile
modellenip kritiklik hesabı yapılmıştır. Modelde 53 bölge ve 10
materyel tarifi yapılmıştır.
Be : Be blok
Al : Al blok
BC : Kontrol çubuğu
BS : Ayar çubuğu
Boş kareler standart yakı t elemanlarıdır.
Şekil 2- TR-2 küçük kalp konfigürasyonu
ii- İk inci problem birinci problemin ayni olup daha ince ka
fes yapısı ve enerji grubu kullanılmaktadır. Beş gruplu nötron
akışı 64x74 kafes noktasında çözülmektedir. Bölge sayısı 73 dür. Materyel sayısı 5 dir.
iii- İkinci problem Şekil 3 de gösterildiği gibi r-Z geome
tride homojen bir kalp bölgesinin arka arkaya konulmuş iki fark
lı cinsten reflektör ile yansıtılmasından elde edilen konfigü-
rasyondur. Kafes noktaları yapısı 44x62 olup grup sayısı 2 dir.
-12-Z (Cm) 273 Agir su 223 ---Homojen kâlp 70 Graf it 50 0 -I--- ---0 84 104 154 r (Cm)
Şekil 3- Test problem 3 konfigürasyonu
5. SONUÇLAR
Test problemlerinin her üç kodla yapılan çözümlerinde karşı laşılan problemler ve elde edilen sonuçlar şunlardır:
1. Yakınsama kriterleri ayni alındığı zaman IBIND1L ve
IBDADI kodu sonuçlarında
- k-eff değerleri 6 inci hanede,
- ortalama akılar 4 üncü hanede,
- nokta akılar 4 üncü veya 5 inci hanede değişmektedir.
2. Aynı yakınsama kriterleri kullanılarak GEREBUS ve IBDADI
sonuçlarında ise şunlar gözlenmiştir:
- k-eff değerleri 3 üncü ilâ 5 inci hanede,
- bölgesel reaksiyon hızları 2 noi hanede, - bölgesel güç üretimi 2 veya 3 Üncü hanede,
- toplam ve eksenel kaçaklar 2 ndi veya 3 üncü hanede, değişmektedir.
3. IBIND1L ve IBDADI ile GEREBUS farklı hücre yapısı kullan maktadırlar. GEREBUS hücre kenarlarında kafes noktalarını aldığı
hâlde diğerleri hücre ortasında noktaları koymaktadır. Yapılan
bir çok hesap denemelerinde GEREBUS 'un sonuçları ile diğerleri
nin sonuçlarının alınan kafes aralıklarının büyüklüğüne bağlı
olarak değiştiği, kafes aralıkları ortalama serbest yola ne ka
dar yakınsa o kadar bu değerlerin birbirine yakın olduğu görül müştür. GEREBUS sonuçları doğru değerlerin bir parça üstüride,bö lümde yazılan kodlarınki ise bir parça altındadır. Kafes yapısı
inceltildikçe sonuçlar alttan ve üstten birbirlerine yaklaşmak
tadırlar .
4. Tablo 1 'de görüldüğü üzere IBDADI aynı şartlar altında
gerek IBIND1L gerekse de GEREBUS ’dan daha hızlı bir koddıir.
5. İterasyon sayısını (yani KIT 'i) arttırmak neticelerin
hassasiyetini çok etkilememekte, buna mukabil CPU zamanını art
tırmaktadır. Dolayısıyla problemin büyüklüğüne göre KIT 'i seç
mek gerekmektedir. Genellikle KIT=3 çok uygun bir değerdir. Bu
da demektir ki her iç iterasyonda 8 iterasyon yapılacaktır. Fa
kat problem küçük olduğu zaman, meselâ 50x50 boyutlu kâfesler
için KIT=2 de çok iyi neticeler vermektedir. Büyük problemler de
(kafes 50x50 den büyük) bile KIT=4 sadece CPU zamanını arttır
maktadır. Büyük kafesler için KIT=2 kodun ıraksamasına sebep ol maktadır.
Meselâ 2. problem KIT=2 için yakınsamamaktadır. 3. problemde
ise KIT=4 CPU zamanını 2 katına çıkarmaktadır. Fakat sonuçlar
KIT=3 hâlindekilerden daha iyi değildir.
2. problemde IBIND1L kodunun maksimum iç iterasyon sayısı,
ITMAXr30 ile sınırlandırılmış idi. Bu hâlde ilk dış iterasyon-
larda bazı gruplarda yakınsama elde edilememekle beraber sonuçda
yakınsama elde edilmektedir. ITMAX 'ın Arttırılması yakınsamış
değerleri hemen hiç değiştirmemekte buna mukabil CPU zamanı çok
-
14
-REFERANSLAR
1 . R. Tunçel, U. Adalıoglu, "IBD kodu - İki boyutlu,
gruplu nötron difüzyon kodu", ÇNAEM-R-190, 1978.
çok
2. U. Adalıoglu, R. Tunçel, "IBD-lL:One Line Overrelaxation
Code for Diffusion Theory Calculations (An improved ver
sion of IBD-1 code)", ÇNAEM-AR-263, June 1989.
3. U. Adalıoglu, "IBD-2L : Two Line Overrelaxation Code for
Diffusion Calculations", ÇNAEM-AR-284, Oct. 1990.
4. U. Adalıoglu, "IBIND : Nokta çevrimsel Chebyshev Yarı i-
teratif Difüzyon kodu", ÇNAEM-AR-296, Ocak 1992.
5. U. Adalıoglu, "IBINDIL : Bir satır çevrimsel Chebyshev
yarı itératif Difüzyon kodu", ÇNAEM-AR-298, Mayıs 1992.
6. R. S. Varga, "Matrix Iterative Analysis", Prentice-Hall,
1962.
7. E. L. Wachpress, "Iterative Solution of Elliptic Systems"
, Prentice-Hall, 1963 (?).
8. M. Console, A. Daneri, and E. Salina, "EREBUS : A Multi
group Diffusion Program in Two Dimension", FN-E- 8 8 (Fieit
1967), (GEREBUS, EREBUS kodundan GKSS ’de geliştirilmiş
tir . )
TEŞEKKÜR
İhtiyaç duyulan referansların temininde yardımlarını esirge- miyen Dr. Necmi DAYDAY ’a teşekkürü borç bilirim.
Ta bl o 1-Te st pr ob le ml er içi n el de ed il en so nu çl ar 18 LO T—1 OO L O LO c T—4 T—» T—< ı-H T-H «co 05 H- H~ -fr- H* H- -t* CNİ LO CO c o LO t H OT OT CD CO CO c o CO OO CNİ CO c o CO OO OO t-H OO CO CNİ c n CM CNİ - o t-H , — •* c o t-H LO p - î OT L O O LO LO — c r•rH t-H a o L O L O Hd- c OT a o t-H t-H t-H O t-H t-H r-H t-H OT 05 , t-H t-H H- H- H- -rH H- -+• H- H- H-CNİ o OO | | | a o 1 a o CNJ a o LO OTCM C— a o CO JJ OT O T |1 jI i| LO 11 COCNJ t-H CM cn c oa t OTOOM - CMCO CDa o İD—a o *<«■ t-H , OD 1 d O T 1 1 CD 1 a o CD a o r—i c o CM O T CNİ CM " O t-H O e r c d CD T—î p - ’ P - î p - ’ J O c d ■r-H LO C~‘ c d LO O T ■ Htf- LO LO i d t-H a o L O L O -*r c CD t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H OT (45 CNİ H- H- H- H- H- H- H- H- CD | I I CNJ 1 a o LO OT Q . a o LO OTt-H C^- CD O T OO I I 1 L O 1 t-H 3 O T CO O T a o -«*■ O T c o O T | | I LO 1 CNJ CM V. c o CO CM CO o -< d 1 O T ■ -«*• 1 1 CD 1 a o O T a o 0 5 c o CM O T O T CM • o t-H OD « t < d CD t-H p - î p - î p - î CNİ c d t-H L O C^- c d L OO T t-H OD OO LO L O t-H a o LO LO C CM L O CO t-H t-H tH t-H t-H t-H t-H O T 05 CD p — CD H- H- H» H- H~ H- H- H- t-H o o o o | I | CO 1 O T L O O T a o L O O T t-H P '- CD CD CD I 1 1 a o 1 t-H O T CO O T a o CO CNİ CD | | I LO 1 CNİ HT CM c o CO CM CO p - t-H CD 1 O T LO 1 1 1 CD ‘ 1 a o O T a o c o CM O T OT CM TD CD c d t-H P - î P - ’ c—- c d T -î L O r - î c d CO O T C/0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I 1 I OD 1 1 1 1 1 I 1 1 » 1 1 1 1 1 1 I 1 1 L U 1 1 1 1 1 1 » 1 » CS 1 1 I 1 1 a e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * rH 1 1 1 I 1 1 1 L U O CD • H CNİ , T<- CO L O LO <vo ? c o c o c r O ■'T -*r o LO a o t-H t-H t-H t-H r-H t-H ı 1t-H -r-H O T 05 c r — 1 CNJ p - O T m* CO LO H- H- H- H- : 0 H- H- H- H- H-r H CNİ o o O T t-H CO CD CNJ t-H CNI a o - O CNI a o ■^r CD CD m CD 1 < D o t CO o o CD cni t-H L O CO CO O T c o O CM OD C - CN r-H a * 3 C 1 p - t-H CNJ L O CD CNİ CO O T O T H T a o p - r - t-H t-H r—t H-H o t t-H CD CNİ CD CNJ MT a o CO CNJ LO P - a o •HTt-H O T C— “O t-H - O OD O 1----1 t-H t-H t-H t-H CD t-H CNİ LO c d c d t-H O T t H CM CM L - CL CM o » CO LO LO L- CO CO c r r H P - L O CO O T LO T---1t-H t-H t-H 0 5 t-H •r-Ht-H t-H O T 05 ►H O T O T O T CNJ Htf- CO H- H- H- H» H- H- H- H- H- C£>
OD CNİ 1 ■"St" t-H LO -otf- c o p - CNJ CNI CNI a o »" 1 CO LO CO CD CO - c r CD 1 CO CD CNİ CO t-H p - CO CO O T c o LO P — CM CO CM L O OD c o 1 t-H OO L O CD CNİ c o O T O T a o p — r — H t-H -r-H . OO CD 1 -r-H CD CNJ CD CNJ *■*- a o CO CNJ LO a o ■hT t-H O T C— TD t— I t-H tH T—î T—î CD t-H CNJ LO c d c d t-H c d t-H CM CNİ *hsr r-H t-H OO O T T^- L O LO CO L O CO c r 05 O T t-H t-H t-H t-H •ı-Ht-H t-H O T a o OD 1 1 1 CD 1 1 1 1 1 H- H- H- H- H- H- H- H- H- t-H O T OO 1 1 1 CO 1 1 1 1 1 CNJ CO t-H CNI CNI t-H O T t—1 CM O T L U 1 1 1 L O 1 1 1 1 1 CNJ CD O T CO O T O T C*— CO O T T - î a c 1 1 1 CD 1 1 1 1 1 CO CD CO ■r-H CO CM LO L O CD *TD L U O T CO "■T t-H O T LO a o CNJ t-H CD t-H • . . O T t-H LO CO CO t-H t-H CO t-H O T ■«•d- a o c o a o -*• T*" LO LO • rHO CO L O CO c r05 __ 1 CNİ CNİ CD t-H c o p - t-H T ""+ t-H t-H - rH t-H t-H t-H -r-H O T t-H 1 O T c o CNJ O T 1 O T H- H- H- -+- H- -+- H- -+* H- a o t H CD 1 CD CD O T CNJ CO CD a o LO CD t-H a o a> c o t-H O T OO CD t-H 1 LO O T P - CNJ 1 CO CO c o 0 5 O T r - a o -*»• CO • +“H 1 c d’ CNİ CD CD t-H CD 1 CD a o a o O T LO r-H a o LO ■'«**■ LO CD “O t-H o OO O T L O t-H : 0 c o CO CD O T 0 5 c : T—İ t-H t-H T—î t-H - O o s _ _ _ t-H LO c d CM t-H t-H c d c d t-H CD r-H •-«f t-H CO LO t-H -«o- M*" LO LO OT* CO LO -«ö- c o c r05 - f i cni ı H a o a o CNJ CD t-H t-H t-H t-H t-H r-H •r-Ht-H O T CM O O T tH CO c o 1 c o H- H- H- H- H- H- H- H- H- O T CO c o CDCD 11 1 * CDO T tO T-H p - tO T-H 11 p - HS- CO-*•3- CD COt-H O TCM 3CLtO T-H O TO - a oa o C— T«|-c o T---1 r 1 CD r-H CD 1 <=> a o a o O T LO L . a o LO LO CD “O O T LO T—H 0 5 c o CO CD O T CO tH -r-H t-H T— î t-H r-H a o OD -<x T**- t-H LO c d CM T— î t-H c d c d O T CD OO O T CO CD a o CO H- LO L O c o LO •'*3- c o U S CNİ 1 CNİO T tCO-H CO LOCD LO 1 tCO-H tH--H r HH- •r-HH- tH--H f—H ı-HH- H- tH--H tH--H O T C D CMa o CNİ CDCD 111 CDO T "■«*■ a oO T p - CNICNJ 11 LOCD O TCNİ tCO-H a oCM O TCNJ O TO - a oa o -rqfC— c o LO r-H CD ı 11 CD CD a o a o O T LO a o LO LO c o * o O T LO c o C O C D C D c o t-H tH T—î t-H t-H T*#- r-H LO LO c d CNJ t-H T— Î C O c o CD •05 a> -o *-» eu c i m «ı «L rH ro •05 c r c ro o > - L . o > ro a> ro •rH -İ C r-H -âC 05 V. CL c r 05 <o > L_ O *0 5 rH rH O a? o > . a> -HZ. ro İM 05 05 TD (O ro : :d _ Q -rH Dk ra h— r-H ra r-H r-H ü» m ro a> s s 05 ro L . c r ro ta <a a> r-H 0 5 a> r-H r-H r-H 0 5 ro 05 05 CL CL CL r-H HD - U O O O : o L . c r LU H-- 1— 1— ao O •r-H => CL. C_> 4. 98 45 +1 4 = 4. 98 45 E+ 14
ER 1- GİRİ$ DATASININ VERİLİSİ
1. k a rt : BASLIK
2044
2. kard :
IRRX1,IRRX2,IRHZ1,IRHZ2
415
3. kart : NRZ, KIT 415
4. kard : E P S 1 ,E P S 2 ,EPS3 3F10.7
5. kard : I B ,ICAP,IGEO,I A D ,IGUC,IBAK,ÎCEŸ *
KMAX,IMAX,JMAX.KOMSA,IBIS 1213
6. kard :
(ISI(I),IS2(I),JS1(I),JS2(I),
1=1,ÎB
1814
(6+IB).
kard : K K ( K ) ,IMAT(K), K=1,IB 1814
(6+2IB).
kard : DELRI(I), I=1,IMAX 8F10.5
(...)
kard : DELZJ(I), I=1,JMAX 8F10.5
( . . . )
kard : X ( K ) , K=1,KMAX 8F1 0 . 5
(...)
kard
:
[[ XNU(K ,N ),DF(K ,N ),SA(K ,N ),SF(K ,N )
5E14.7
(...)
kard : (SS(K,M,N), M=1,KMAX), 5E14.7
N =1 ,KOMSA ], K = 1 ,KMAX ]
(...)
kard : P E 1 4 .7
(...)
kard : HYUK E14.7
( . . , . )
IB IGEO = 1 ü 0 NRZ z 2 # 2 KIT EPS1 (€ )
1
EPS2 (€ ) 2 EPS3 (€ ) 3 İCAP # 1 + ICEY # 1 İCAP = 1 + ICEY # 1 İCAP # 1 + ICEY = 1 İCAP = 1 + ICEY = 1 I AD = O>
2
IGUC = 1#
1
IBAK = 1=
O
bölge sayısısilindir geometri için kartezyen geometri için normalize a k ı l a n yazar, normalize a k ı l a n yazmaz.
iç iterasyon sayısını belirliyen sabit iç iterasyonda akı yakınsama kriteri
k-eff ’1er ve fisyon kaynak oranları
için kriter
dış iterasyonda akı yakınsama kriteri kartezyen geometride bütün kâlp
kartezyen geomtride yarım kâlp
(Y ekseni simetrisi), veya si
lindir geometride tam kâlp
kartezyen geometride yarım kâlp (X ekseni simetrisi)
kartezyen geometride çeyrek kâlp, veya silindir geometride yarım kâlp akı ve adjoint akı hesabı
sadece akı hesabı
güç ve kaynak dağılımı hesabı sadece İzafî akı
X-Y geometride B 9. kullanılmakta silindirik geometri hâli
KMAX IMAX
JMAX
enerji grub sayısı
X veya r ekseni üzerindeki kafes nok tası sayısı
Y veya Z ekseni üzerindeki kafes nok tası sayısı
KOMSA kompozisyon sayısı
IBIS = 0
=
1
sadece İzafî akı
-E2/2-IS1(I) Bölge I 'run sol sıttın
IS2(I ) Bölge 1 ’nın sag: sınırı
JS1(I) Bölge I ’nın alt sınırı
J S 2 (I ) Bölge I ’nın üst s i n i n
IRRX1 kâlp bölgesinin sol sınırı
IRRX2 kâlp bölgesinin sag sınırı
IRHZİ kâlp bölgesinin alt sınırı
IRHZ2 kâlp bölgesinin üst sınırı
KK(K) Bölge K 'nın no. su
IMAT(K) Bölge K *daki kompozisyon no. su
DELRI(I) X veya r eksenindeki kafes aralıkları
D E L Z J (I ) Y veya Z eksenindeki kafes aralıkları
X(K) Grup K da dog:an fisyon nötronları kesr
X N U (K ,N ) grup K ve kompozisyon N için ortalama
fisyon nötronları sayısı
D F (K ,N ) grup K ve kompozisyon N için difüzyon
katsayısı
S A (K ,N ) : grup K ve kompozisyon N için E«
S F (K ,N) : grup K ve kompozisyon N için Ef
S S (K ,M ,N ) : kompozisyon N için grup K dan grup M
ye Eb
P : Watt olarak reaktör gücü (IGUC =1
ve IBIS=1 hâlleri için, aksi hâlde P ’ye ihtiyaç yoktur.) IGEO=0 için
’’toplam güç/HYUK” verilecektir.
HYUK : X-Y geometride reaktör kâlp yüksekliği
(Cm olarak), IGE0=1 için ihtiyaç yok.
BKARE : eksenel akıbükümü (Cm~a )
A) Gruplara ve bölgelere ait integral değerler
K grup indi s i , NK da bölge indisi ve
»lmak üzere:
1 . ŞÖL. HAC . (NK) = X , V
ı',)£rt K i j
2. INT. AKI (K,NK) =
X
cf> (K) V‘,)£NK i j i j
3 . ORT. AKI (K,NK) = INT. AKI (K ,NK
4 . ABSORPS (K ,N K ) = E (K, NK) * INT.
5. REMOVAL (K,NK) = E (K,NK) * I N T . AKI (K ,N K )
R
6. FISSION (K ,N K ) = V(K) * E (K ,N K ) * INT. AKI (K ,N K ) f
<r
7. FIS. KAYN (K ,NK) = X ( K ) k-ef f FISSION (K,NK)8. GUC ÜRET./CM ( K , N K ) = r * E (K,NK) * INT. AKI (K,NK)
f
(Silindir geometride GUC URET.(K.NK) hesaplanmaktadır.)
B) Gruplara göre ve toplam nötron kayıp ve kazancı
1 . Üretilen nötron miktarı
PRODXNU (K) = FISSION ( K , NK )
-E3/2-2. Gruplara düşen nötron miktarı/k-eff
XPRODK (K) FIS. KAYN (K,NK)
3. Gruba saçılan nötronlar
INSCAT (K+l) 7 REMOVAL (K ,N K )
MK
4. Toplam nötron kazancı
KAZANÇLAR (K) = XPRODK (K) + INSCAT (K)
5. Absorpsiyon kayıpları ABSORP (K) = / ABSORPS (K,NK) c=z=o m (e 6 . Gruptan saçılmalar OUTSCAT (K) = REMOVAL (K ,N K ) NIC 7. Eksenel kaçaklar
DBLOSS (K) = / D ( K ,NK) * B a. * INT. AKI (K ,N K )
MK
8. Sol sınırdan kaçaklar : SOLLIK (K)
9. Sag sınırdan kaçaklar : SAĞLIK (K)
10. Üst sınırdan kaçaklar : USTLIK (K)
1 1 . Alt sınırdan kaçaklar : ALTLIK (K)
12. KAYIPLAR = ( 5 den 12 ’ye kadarki terimlerin toplamı)
Toplam nötron kazanç ve kayıpları grup ve genel toplam rak eşit olmalıdır.
