Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin normları için sınırlar

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Salih ÇELİK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

~ S E L~SANS K TEZi MATEMATIK ANABILIM DALI

Bu

lez 24.05.2007 tarihinde w d a k i jiiri

&dm

-/ oy birligi ile kabul #

CAUCHY-TOEPLITZ VE CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Salih ÇELİK Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ali A. SİNAN

2007, 96 sayfa

Jüri: Prof. Dr. Ali A. SİNAN : Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL : Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

Cauchy-Toeplitz matrislerinin singüler değerleriyle G.Szegö ilgilenmiş ve bununla ilgili bir problem ortaya koymuştur. Daha sonra bu matrisler Moler’ in dikkatini çekmiş ve Moler deneysel olarak bu matrislerin singüler değerlerinin π’ ye yaklaştığını tespit etmiş, ama bu analitik olarak S. V. Parter tarafından çözülmüştür. E. E. Trytyshnikov g =1/2 ve h=1 özel durum için bir alt sınır bulmuştur. D.Bozkurt bu matrisin genel halinin Euclide normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur. R. Türkmen genel Cauchy-Toeplitz matrisleri için bir alt ve üst sınır bulmuştur. Yine aynı şartlar altında Cauchy-Hankel matrisleri için bir üst sınır tespit etmiştir.Ayrıca , Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının Euclide normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur.

S. Solak genel Cauchy-Toeplitz matrislerinin spektral normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur. Ayrıca , Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının spektral ve A_p normları için birer üst sınır bulmuştur.

ANAHTAR KELİMELER: Matris normu, Toeplitz matrisleri,

Cauchy-Hankel matrisleri, spektral norm, Euclide norm, norm, Hadamard çarpım, Singüler değerler.

p

ON THE BOUNDS FOR THE NORMS OF

CAUCHY-TOEPLITZ AND CAUCHY-HANKEL MATRICES

Salih ÇELİK Selçuk Üniversty

Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mathematics

Danışman: Prof. Dr. Ali A. SİNAN 2007, 96 page

Jüri: Prof. Dr. Ali A. SİNAN : Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL : Assistant Prof. Dr. Ayşe NALLI

G. Szegö interested in the singular values of Cauchy-Toeplitz matrix and forward a problem. Later, these matrices attaracted the attention of C. Moler, who had experimentaly discovered that most of their singular values are clustered near π Recently S. V. Parter gave an explanation of this phenomenon. E.E. Trytshnikov obtained a lower bound for the spectral norm of Cauchy-Toeplitz matrix such that and . D. Bozkurt , found a lower and upper bound for the general condition of Euclidean norm of Cauchy-Toeplitz matrices.

2 / 1 =

g h=1

R. Türkmen, established a lower and an upper bound for the spectral norms of the general Cauchy-Toeplitz matrix.Again in same position that found to upper bound for the Cauchy-Hankel matrices. İn adition that found a lower and upper bound for the Cauchy–Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices Hadamard product .

S. Solak found a lower and upper bound for the spectral norm of general Cauchy- Toeplitz matrices. İn adition that found to upper bound for the spectral and

norm of Cauchy–Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices Hadamard product .

p

A

KEY WORDS: Matrix norm, Cauchy-Toeplitz matrices, Cauchy-Hankel matrices,

öğretim üyesi Prof. Dr. Ali SİNAN yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimler Enstitüsü’ne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışma Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin normlarının alt ve üst sınırları üzerine hazırlanmıştır.Çalışmanın birinci bölümünde matris ve iç çarpım hakkında genel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde vektör normları, matris normları ve normlar arasındaki bağıntılar ile ilgili tanım ve teoremler verildi.Üçüncü bölümde ise Hadamard çarpım ve özellikleri ile ilgili tanım ve teoremler verildi.

Dördüncü bölümde Gamma, Psi, Riemann Zeta fonksiyonu verildi. Ayrıca Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel formları, singüler değerler ile ilgili tanım ve teoremler verildi.

Beşinci ve altıncı bölümde ise çalışmanın esasını teşkil eden Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin normları ve Hadamard çarpımları için sınırlar verilmiştir.

Bu tez çalışmamda anlattığı ders ve verdiği tavsiyeler ile yol gösteren, boş zamanlarında da bana kapısını açan çok değerli hocam sayın Prof. Dr. Ali SİNAN’ a teşekkür ederim.

Salih ÇELİK Konya, 2007

1. GENEL BİLGİLER ………...1 1.1. Matris………..1 1.2. İç Çarpım ………...5 2. NORMLAR ………7 2.1. Vektör Normları..………...7 2.2. Matris Normları..………..16

2.3. Matris Normu Arasındaki Bağıntılar ………..24

3. HADAMARD ÇARPIM VE ÖZELLİKLERİ ………..27

4. CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİ …………...34

4.1. Gamma, Psi ve Riemann Zeta Fonksiyonu ………..34

4.2. Cauchy, Hankel ve Toeplitz Formları ………..36

4.3. Toeplitz Matrislerinin Öz Değerlerinin ve Singüler Değerlerinin Dağılımı …40 5. CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR………...43

5.1. Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları İçin Sınırlar ……….43

5.2. Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar ………..62

6. MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ NORMLARI İÇİN SINIRLAR ………..72

6.1. Hadamard Çarpım İle Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar………..72

6.2. Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Hadamard Çarpımlarının Normları İçin Sınırlar ………..78

7. SONUÇ ve ÖNERİLER ………..89

1.GENEL BİLGİLER Bu çalışmada

₍

₎

n j i n h j i g T 1 , 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = Cauchy-Toeplitz ve

(

)

n j i n h j i g H 1 , 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + +

= Cauchy-Hankel matrislerinin ve bu matrislerin değişik

formları için Euclidean, Spektral, _p normları için alt ve üst sınırlar üzerinde duruldu ve Hadamard çarpım yoluyla elde edilen sınırlarını verdik.Daha sonra bu matrislerin Hadamard çarpımlarının normları için elde edilen sınırları verdik.

Bu çalışmamızda kullanacağımız temel bilgileri verelim.

1.1. Matris

Günümüzde elemanter matris cebiri, teorik matematik, istatistik için olduğu kadar sosyoloji, kimya, fizik, elektrik ve bilgisayar mühendisliği gibi çeşitli teknik alanlar için de gerekli matematiksel bilginin ayrılmaz parçası haline gelmiştir. Matris kavramı, 19. yüzyıl ortalarından beri bilinmektedir. İngiliz matematikçi Sylvester, 1850 yılında “matris” kavramını kullanmıştır. 1853 yılında İngiliz bilgini Hamilton “Linear and Vector Functions” isimli çalışmasında matrislerin bazı özelliklerinden faydalanmış fakat matris ismini kullanmamıştır. Yine bir İngiliz matematikçisi Cayley, 1858 yılında çok meşhur olan “Memorie On The Theory of Matrices” isimli çalışmasında Matris Cebirinin modern esaslarını kurmuştur. Daha sonraları Fransız Laguerre ve Alman Frobenius matrislerle ilgili yeni kavram ve teoremler üzerinde durmuşlardır.

Tanım 1.1.1. m,n∈ Z+ ve 1≤i≤m , 1≤ j≤n olmak üzere

( )

i, j ikililerin cümlesi M olsun. F herhangi bir cisim,

F M f : →

( )

i,j → f

( )

i,j =aij

n m mn m m n n a a a a a a a a a A × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 22 21 1 12 11 (1.1)

şeklinde düzenlenen tabloya matris denir.

Bir matrisi oluşturan değerlere matrisin elemanları denir. Genelde m×n

tipindeki bir matris (1.1) ile verilir. ve bu gösterim A=

[ ]

a_{ij m×n} veya A=

[ ]

a_ij ile de ifade edilir. Bu gösterimde, a matrisinin genel elemanlarının gösterimi olup i satırı _ij ve j ‘de sütunu belirtir. i indisi 1’den m ’ye kadar herhangi bir pozitif tamsayı değerini alırken, j indisi ise 1’den n ’ye kadar herhangi bir pozitif tamsayı değerini alabilir. Böylece, i=2 ve j=3 ise a ;_ij a haline gelir, 2. satır ve 3. sütundaki elemanı ₂₃ gösterir.

Eğer bir matrisin satır ve sütunları eşit ise, yani m=n ise matrise kare matris denir ve

[ ]

n n ij a A= _× biçiminde gösterilir.

A matrisinin kare matris olması durumunda, a₁₁,a₂₂,...,a_nn elemanları esas köşegen üzerinde bulunurlar.

Bir matrisin elemanları fonksiyonlar, operatörler ve hatta bir matris de olabilir. Yani

(

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡

_∫

1 _{t +1dt t}2 _3t 0 2 _, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − θ θ θ θ sin cos cos sin ve ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + x x e x dx d e x x x x x 1 2 5 ln 2 3 2

matrislere birer örnektir. Sonuç olarak matrislerin birer sayısal değer olmadıklarına dikkat edilmelidir.

Tanım 1.1.2. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n A λ λ λ . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 2 1

tipindeki n×n matrisine köşegen matris denir ve A=köş

(

λ₁,λ₂,...,λ_n

)

ile gösterilir.

Tanım 1.1.3. Esas köşegeni üzerinde elemanları 1 ve diğer bütün elemanları 0 olan köşegen matrise birim matris denir ve I veya _n I ile gösterilir.

O halde birim matris

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 0 1 n I şeklinde olur.

Tanım 1.1.4. Bir kare matrisin esas köşegeninin üstündeki (altındaki) elemanlarının hepsi 0 ise, böyle matrislere alt (üst) üçgen matris denir.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 33 32 31 22 21 11 0 0 0 a a a a a a , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 33 23 22 13 12 11 0 0 0 a a a a a a

matrisleri bu matrislere örnektirler.

Tanım 1.1.5. Bir köşegen matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanların hepsi birbirine eşit, diğer elemanları sıfır ise , yani

j

i= için a_ij =λ , i≠ için j a_ij =0 ise böyle matrislere skaler matris denir ve

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = λ λ λ λ λ . . . 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 biçiminde gösterilir.

Tanım 1.1.6. A=

[ ]

a_ij , n×n tipinde bir matris olsun . O takdirde I

BA AB= =

olacak şekilde n×n tipinde B matrisi var ise , B ’ye A matrisinin tersi denir ve 1

− = A

B şeklinde gösterilir.

Tanım 1.1.7. A=

[ ]

a_ij , m×n tipinde bir matris olsun. A matrisinin satır ve sütunlarının yer değiştirmesiyle elde edilen ve _{A ile gösterilen matrise , A} T

matrisinin transpozesi denir. Yani, i=1,2,...,m ve j =1,2,...,n olmak üzere

( )

ji

T _a

A =

dir.

Tanım 1.1.8. n×n tipinde bir A matrise ; i) AT _{= ise simetrik matris} A

ii) AT ₌₋A _{ise ters-simetrik matris}

iii) _AT_{A= AA}T _{=In ise ortogonal matris denir.}

Örnek 1.1.1. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 4 3 4 1 2 3 2 1 simetrik matris ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 0 0 0 c b c a b a

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1

ortogonal matrislere örnek olurlar.

Uyarı 1.1.1.

1. Bir simetrik matriste, elemanlar matrisin esas köşegenine göre simetrik dizilmişlerdir.

2. Bir ters-simetrik matriste, esas köşegen elemanları sıfırdır.

3. A bir ortogonal matris ise, _AT _{= A}−1_’dir.

Tanım 1.1.9. Bir A kare matrisinde a elemanları yerine bu matrisin _ij determinantında a ’ lere tekabül eden _ij A kofaktörleri (işaretli minörleri) _ij konulduğunda elde edilen matrisin transpozesine, A matrisinin Adjoint’i denir ve A ∗ ile gösterilir.

1.2.İç Çarpım

Tanım 1.2.1. V, F cismi üzerinde vektör uzayı olsun. Buna göre I:V×V →F dönüşümü , I1) ∀x∈V için 0(x,x)≥0,(x,x)=0⇔ x= I2) ∀a∈F,∀x,y∈V için )(ax,y)=a(x,y I3) ∀a∈F,∀x,y∈V için (x,y)=(y,x),(x,ay)=a(x,y) I4) ∀x,y,z∈V için )(x+y,z)=(x,z)+(y,z

şartlarını sağlıyorsa buna bir iç çarpım denir.

F cismi kompleks sayılar cismi ise (x,ay)=a(x,y) dır.

Tanım 1.2.2. Bir vektör uzayı üzerinde iç çarpım tanımlanmışsa bu uzaya iç çarpım uzayı denir.

Ayrıca herhangi bir υ vektörü için uzunluk (veya norm) υ olarak gösterilir ve

υ = (υ,υ)1/2 _{= (υ}

12 +υ22+…+υn2)1/2

dır.

Eğer x,y∈ℜnise, o takdirde xi,yi∈ℜ (1≤ i ≤n ) olmak üzere

x= (x1,x2,…,xn) ve y= ( y1,y2,…,yn ) olarak alabiliriz. Bu durumda x ve y vektörlerinin iç çarpımı (x,y)= x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn =

∑

= n i i iy x 1 şeklinde tanımlanır.

2. NORMLAR

ℜ üzerinde tanımlanan mutlak değer fonksiyonu ile; sayıların büyüklükleri, dizilerin yakınsaklığı, fonksiyonların sürekliliği, limitleri ve verilen bir reel sayı için bu sayıya en yakın asal ve tamsayıyı bulma gibi yaklaşım problemleri çözülebilir. Aynı şeyler bir vektör uzayı üzerinde tanımlanan norm için de geçerlidir.V reel vektör uzayı olmak üzere bu uzayda tanımlanan bir norm ile vektör normlarını karşılaştırabiliriz. Vektör dizilerinin yakınsaklığı irdelenebilir, dönüşümlerin sürekliliği ve limitleri çalışılabilir, verilen bir vektör için V vektör uzayının bir alt uzayı veya bir alt cümlesindeki en yakın elemanını bulmak gibi yaklaşım problemleri düşünülebilir. Bu problemler genellikle analiz, Lie teori, nümerik analiz, diferansiyel denklemler, Markov zincirleri, ekonometri, biyoloji ve sosyolojide popülasyon modellemede, fizik ve kimyada denge durumlarında ortaya çıkar. Ayrıca, normlar; singüler değer ayrışımında (SVD) Ax=b probleminin analizinde önemli rol oynarlar. Bu bölümde öncelikle vektör normları üzerinde, daha sonra da matris normları üzerinde duracağız.

Norm işlemi , a sembollerinden birisi ile gösterilecektir. a ise normun

çeşidini belirten sabittir.

2.1. Vektör Normları

Tanım2.1.1. F reel yada kompleks sayılar cismi ve V, F cismi üzerinde tanımlanmış vektör uzayı olmak üzere;

. : V→ℜ+_∪{0}

v→ v

şeklinde ifade edilen ve i) Her v∈V için ,

i a) v≠0 ise , v >0 dır,

ii) α∈F ve v∈V için , αv = α v dir, iii) u,v∈V için , u+v ≤ u + v dir,

aksiyomlarını sağlayan . dönüşümüne, vektör normu denir.

Yani vektör normu, her x vektörüne karşılık gelen, x şeklinde gösterilen negatif olmayan bir sayıdır.

Diğer bir ifade ile x vektörünün pozitif bir sayıya dönüştürülmesi işlemine norm denir.

Tanım 2.1.2. Üzerinde norm tanımlanmış bir vektör uzayına normlu uzay denir.

Teorem 2.1.1. V, F cismi üzerinde tanımlanmış bir normlu uzay ve x,y∈V olmak

üzere y x y x − ≤ − dır.

İspat: ( N3) aksiyomunu göz önüne alırsak

y y x y y x x = − + ≤ − + ifadesinden y x y x − ≤ − (2.1)

eşitsizliğini elde ederiz. Benzer şekilde

x x y x x y y = − + ≤ − + veya x y x y − ≤ −

eşitsizliğini yazarız. Halbuki

x y x y x y y x− = −1( − ) = −1 − = − olduğundan y x x y − ≤ − (2,2)

yazabiliriz. Sonuçta (2.1) ve (2.2) eşitsizliklerinden y x y

yazılabilir ki ispat tamamlanır.

Teorem 2.1.2. [46] V bir iç çarpım uzayı ve x∈V için ƒ:x→ _{x =(x,x)}1/2 dönüşümü V üzerinde bir normdur.

İspat:

N1) İç çarpımın birinci aksiyomundan, ∀x∈V için (x,x)≥0 ve x =(x,x)1/2 olduğundan x ≥0 olur. x =0 , (x,x)=0 olmasını gerektirir. O halde (x,x)=0 ise x=0 bulunur. Diğer taraftan x=0 ise (x,x) ve dolayısıyla x =0 dır. Böylece tanımlanan dönüşüm, vektör normunun pozitiflik özelliğini sağlar.

N2) ∀a∈F , ∀x∈V için ax→ _{ax =(ax,ax)}1/2 =

[

aa(x,x)

]

1/2 =

[

a2(x,x)

]

1/2 =_a(x,x)1/2 =a x

Olur ki homojenlik özelliği de sağlanır.

N3) ∀x,y∈V için x+y→ _{x+ y =(x+ y,x+ y)}1/2 ) , ( 2 y x y x y x+ = + + =(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y) = x 2 + 2Re(x,y) + y 2 2 2 2 x y y x + + ≤

(

)

2 y x + ≤

Olur ki , buradan üçgen eşitsizliği de sağlanmış olur. Sonuç olarak;

ƒ:x→ _{x =(x,x)}1/2

Dönüşümü vektör normu özelliklerini sağladığı için V üzerinde bir normdur.

Teorem 2.1.3. (Paralelkenar Kuralı) V bir iç çarpım uzayı olmak üzere u,v∈V için ) ( 2 2 2 2 2 v u v u v u+ + − = + dir. İspat: ) , ( ) , ( 2 2 v u v u v u v u v u v u+ + − = + + + − − =(u,u)+(u,v)+(v,u)+(v,v)+ (u,u)-(u,v)-(v,u)+(v,v) =2(u,u)+2(v,v) =2(u 2 + v 2) olur ve ispat tamamlanır.

Teorem 2.1.4. x ve y herhangi iki vektör olsun. Bu takdirde

2 2

) ,

(x y ≤ x y

(Schwarz Eşitsizliği) eşitsizliği geçerlidir.

İspat. x ve y vektörleri verilsin. İç çarpım tanımını kullanarak ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0≤ x+αy 2₂ = x x + x αy + αy x + αy αy = x 2₂ +α(x,y)+α(x,y)+αα y 2₂ (2.3) Yazarız. (x,y)=0 ise Schwarz eşitsizliği sağlanmış olur. (x,y)≠0 ise

) , ( 2 2 y x x − = α seçersek , (2.3) ifadesi 2 2 2 2 2 4 2 ) , (x y x y x ≥ olur. Buradan 2 2 2 2 2 4 2 _(x,y) x y x ≥ olup 2 2 2 2 2 y ( yx, ) x ≥

olur. Her iki tarafın karekökünü alırsak,

) , ( 2 2 y x y x ≥

olur ki, bu da istenendir.

Teorem 2.1.5. [46] x ve y herhangi iki vektör olsun.

2 2

2 x y

y

x+ ≤ +

(Üçgen eşitsizliği) eşitsizliği geçerlidir.

İspat: 2 2 2 2 2 2 x (x,y) (y,x) y y x+ = + + + 2 2 2 2 2Re(x,y) y x + + = 2 2 2 2 2 2 2x y y x + + ≤ 2 2 2 ) ( x + y ≤

2 2

2 x y

y

x+ ≤ +

elde edilir ki, ispat tamamlanır.

Buraya kadar genel anlamda vektör normu tanımı ve özellikleri verildi. Şimdi de vektör normlarının çeşitlerinden bahsedelim.

a)Toplam normu: x bir vektör olmak üzere

∑

= = + + + = n i i n x x x x x 1 2 1 1 ... şeklinde tanımlanır.

b)Euclide normu(Frobenius normu): x bir vektör olmak üzere

∑

= = + + + = n i i n x x x x x 1 2 / 1 2 2 / 1 2 2 2 2 1 2 ( ... ) ( ) olarak tanımlanır.

c) Maksimum normu: x herhangi bir vektör olmak üzere

i

i x

x _∞ =max

ile tanımlanır.

(a) ve (b) de verilen normlar genel olarak 1<p<∞ olmak üzere

p p n p p p x x x x 1/ 2 1 ... ) ( + + + =

∑

= = n i p p i x 1 / 1 ) ( (2.4)

Hölder normu ( _p normu) olarak adlandırılır.

Tanım 2.1.3. Eşitlik (2.4) ile verilen Hölder ( _p ) normuna normu da denir.

p-normlarının klasik bir sonucu olarak 1 + 1 =1 q p olmak üzere p p y x y x, ) ≤ (

ile tanımlanan eşitsizliğe Hölder Eşitsizliği denir.

x herhangi bir vektör olmak üzere normlar arasında; a) x ₂ ≤ x ₁ ≤ n x ₂

b) x _∞ ≤ x ₂ ≤ n x _∞

c) x _∞ ≤ x₁ ≤n x _∞ bağıntıları mevcuttur.[46]

Teorem 2.1.6. Bir vektör uzayında tanımlanan 2 2 2 2 1 2 x x ... xn x = + + + , n x x x x₁ = ₁ + ₂ +...+ , ) ,..., , max(x₁ x₂ x_n x _∞ = normları arasında ∞ ≤ ≤ x n x x n 1 2 1 bağıntısı geçerlidir. İspat:

∑

= = n i i x x 1

1 toplamında x1 ,x2 ,…, xn ‘lerin en büyüğü x ∞ ile tanımlanmıştı. O halde ∞ ≤ x x_i ( i=1,2,…,n) olup ∞ ∞ ∞ ∞ + + + = ≤ + + + = x x x x x x n x x_{1 1 2} ... _n ... (2.5)

olur. Diğer taraftan x_∞ normu x₁ ,x₂ ,…, x_n sayılarından x_k gibi bir tanesine eşit olacağından 1 2 1 x ... x x x x x _∞ = _k = + + + _n = (2.6) elde edilir. (2.5) ve (2.6) ‘dan

∞ ∞ ≤ x ≤n x

x ₁ (2.7) bulunur. Diğer taraftan

2 2 2 2 2 1 2 ... ... _{k n} k x x x x x ≤ + + + + olup buradan 2 2 2 2 2 1 x ... x x x x x _∞ = _k ≤ + + + _n = (2.8) olur. O halde 2 2 2 2 1 2 x x ... xn x = + + + 2 2 2 _... k k k x x x + + + ≤ olup ∞ = ≤ nx n x x _{2 k} (2.9) elde edilir. (2.8) ve (2.9) ‘den

∞ ∞ ≤ x ≤ n x x ₂ (2.10) ve (2.7) ile (2.10)’den de ∞ ≤ ≤ x n x x n 1 2 1

bağıntısı elde edilir ki ispat tamamlanmış olur.

Örnek 2.1.1. x=[1,2,3]T _{vektörü için yukarıdaki norm özelliklerini sağlatınız.} Çözüm: 9 4 1 3 2 12 2 2 2 = + + = + + x = 14 ≅3,74 6 3 2 1 1 = + + = x ve

3

max =

=

∞ _i xi

x

elde edilir. O halde

2 1 2 x n x x ≤ ≤ ⇒ 3.74≤6≤1,73×3,74=6,47 , ∞ ∞ ≤ x ≤ n x x ₂ ⇒ 3≤3,74≤1,73×3=5,19 ve ∞ ∞ ≤ x ≤n x x ₁ ⇒ 3≤6≤3×3=9

olur ki , norm özellikleri gerçeklenmiş olur.

Örnek 2.1.2. x=[1,-2,3,5]T vektörü için yukarıdaki norm özelliklerini sağlatınız.

Çözüm: 25 9 4 1 5 3 ) 2 ( 12 2 2 2 2 = + − + + = + + + x = 39 ≅6,24 11 5 3 2 1 1 = + − + + = x ve 5 max = = ∞ _i xi x

elde edilir. O halde

2 1 2 x n x x ≤ ≤ ⇒ 6,2≤11≤2×6,2=12,4 , ∞ ∞ ≤ x ≤ n x x ₂ ⇒ 5≤6,24≤2×5=10 ve ∞ ∞ ≤ x ≤n x x ₁ ⇒ 5≤11≤4×5=20

2.2. Matris Normları

Tanım.2.2.1. F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn(F); bileşenleri F cisminin elemanları olan n-kare mertebeli karesel matrislerin cümlesi olmak üzere ;

{ }

0 ) ( : . M_n F →R+∪ A A→

şeklinde ifade edilen ve i) A∈Mn(F) için,

i a) A≠0 ise, A > 0 dir.

i b) A=0 olması için gerek ve yeter şart A =0 olmasıdır, ii) a∈F ve A∈Mn(F) için, aA = a A dır,

iii) A,B∈Mn(F) için, A+B ≤ A + B dir, iv) A,B∈Mn(F) için, AB ≤ A B dir,

aksiyomlarını sağlayan . dönüşüme, matris normu denir.

Tanım 2.2.2. F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn,m(F); bileşenleri F cisminin elemanları olan n×m mertebeli matrislerin cümlesi olmak üzere ;

{ }

0 ) ( : . _{M , F} →_R+ ∪ m n A A→

şeklinde ifade edilen ve i) A∈Mn,m(F) için,

i b) A=0 olması için gerek ve yeter şart A =0 olmasıdır, ii) a∈F ve A∈Mn,m(F) için, aA = a A dır,

iii) A,B∈Mn,m(F) için, A+B ≤ A + B dir,

aksiyomlarını sağlayan . dönüşüme, genelleştirilmiş matris normu denir.

O halde bir matris normu daima genelleştirilmiş matris normudur. Fakat bunun tersi doğru değildir. Örneğin toplam normu

∑

j i ij

a

,

genelleştirilmiş bir matris

normudur, fakat bir matris normu değildir.

Ayrıca x herhangi bir vektör olmak üzere matris normları ile vektör normları arasında

x A Ax ≤

şeklinde bir ilişki vardır. Bu eşitsizliği sağlayan A matris normuna , x vektör normu ile uygundur denir.

Herhangi bir vektör normundan, vektör normuyla uygun olan bir matris normu

Ax ≤ A x

eşitsizliğinden her x≠0 için sup, en küçük üst sınır olmak üzere

x Ax A x 0 sup ≠ ≤

olarak elde edilir. Burada

x x z= alırsak, z =1 olacağından Az A z 1 sup = ≤ eşitliği yazılabilir.

Teorem 2.2.1. A bir matris ve z herhangi bir vektör olmak üzere Az A z 1 max = =

ifadesi matris normudur.

İspat: İspat için A normunun, matris normu şartlarını sağladığını göstermemiz gerekir.

i) A≠0 ise z =1 olmak üzere Az≠0 olacak şekilde daima bir z vektörü bulunabilir. Öyle ki A ≥0’dır.

A=0 ise z =1 olacak şekilde her z için Az =0 olmasını gerektirir. z’yi birim vektör olarak seçersek Az , A matrisinin sütunlarına karşılık gelir. Halbuki A matrisinin sütunlarının normları sıfırdır. Bu nedenle A matrisinin sütunları sıfırdır, yani A=0’dır.

ii) Herhangi bir c skaleri için

cAz cA z 1 max = = =c Az z 1 max = =c A elde edilir.

iii) zo, z₀ =1 ve (A+B)z₀ = A+B olacak şekilde bir vektör olsun. Bu

takdirde 0 ) (A B z B A+ = + 0 0 Bz Az + ≤

0 0 B z z A + ≤ B A + ≤ olur.

iv) zo, z₀ =1 ve ABz₀ = AB olacak şekilde bir vektör ise

) ( ₀ 0 A Bz ABz AB = = ≤ A Bz₀ 0 z B A ≤

olur. z₀ =1 yerine yazılırsa

B A AB ≤

elde edilir ki bu da istenendir.

Sonuç olarak A Az

z 1

max

=

= ile tanımlı A , matris normu olur.

Tanım 2.2.3. A , m×n matris olmak üzere,

∑

= = m i ij j a A 1 1 max

ile tanımlanan matris normuna sütun normu denir.

Tanım 2.2.4. A , m×n matris olmak üzere,

∑

= ∞ = n j ij i a A 1 max

Tanım 2.2.5. A , m×n matris olmak üzere, 2 / 1 2 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∑

= = n j ij m i E a A ) ( ) (_AH_{A iz AA}H iz = =

∑

= = r i i A 1 2_{( )} σ r: rank

ile verilen norma Euclide normu denir.

Bazen Euclide norm yerine Frobenius normu, Schur norm veya Hilbert-Schmidt normu ifadeleri de kullanılır.

Tanım 2.2.6. Herhangi bir A matrisinin AT transpozesini alalım. Bu AT matrisinin elemanlarının her biri yerine elemanın kompleks konjugesini koymakla elde edilen yeni

( )

_AT _{matrisine A matrisinin hermitian(eşlenik) transpozesi denir ve A}H _ile gösterilir.

Tanım 2.2.7.

A

=

(

a

ij

)

m×n ve AHA nın özdeğerlerinin kareköküne A’nın singüler değerleri denir ve

= ) (A

σ { λ_i : λ_i , AHA nın özdeğerleri } dir.

Tanım 2.2.8. A , m×n matris ve AH _{matrisi A matrisinin eşlenik transpozesi olmak} üzere AHA çarpım matrisinin spektral normu denir ve A ₂ ile gösterilir. Yani;

=

2

A {λ: λ, AH_{A’nın mutlak değerce en büyük özdeğerinin karekökü}}

) ( ) max( _max 2 A A A A _{= λ} H _=σ

olarak tanımlanır.

Tanım 2.2.9. A, m×n matris olmak üzere,

P P n j ij m i P a A / 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∑

= = (1<p<∞)

şeklinde tanımlanan norma A matrisinin _P normu denir.

Örnek 2.2.1. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 1 2 0 1 0 3 0 1 A

matrisinin normlarını bulunuz.

Çözüm: İlk olarak

∑

= = m i ij j a A 1

1 max sütun normunu bulalım.

(

) (

) (

)

{

1 0 2 , 0 1 1 , 3 0 2

}

max 1 = + + − + + − + + A =max{3,2,5}=5

olarak bulunur. İkinci olarak

∑

= ∞ = n j ij i a A 1

max satır normunu bulacak olursak,

(

) (

) (

)

{

1 0 3 , 0 1 0 , 2 1 2

}

max + + − + + − + + = ∞ A =max{4,1,5}=5 elde edilir. 2 / 1 2 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∑

= = n j ij m i E a

A Euclide normu ise

(

2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

2 1 2 0 1 0 3 0 1 + + − + + + + − + + = E A = 20 = 4,472136 olur. = 2

1885563 , 4 5440037 , 17 5440037 , 8 9 73 9 2 = + = + = = A elde edilir.

Teorem 2.2.2. [46] Genelleştirilmiş bir matris normu daima matrisin elemanlarına bağımlıdır. Yani ε>0 olmak üzere her i,j için a_ij −b_ij <δ iken A − B <ε olacak şekilde ε’a bağlı bir δ>0 vardır.

İspat: A ve B , n-kare matrisler olsun. Eij eij=1 ve diğer bütün elemanları sıfır ( Eij=eieTj ) olan bir matris ise

(

)

∑

− = − j i ij ij ij E b a B A , olur. _ij j i E m , max

= alırsak matris normunun M1) aksiyomundan m>0 olacaktır. M2)

ve M3) aksiyomlarından da

∑

∑

− ≤ − ≤ − j i ij ij j i ij ij ij b E m a b a B A , ,

elde edilir. Herhangi bir ε>0 için ₂ mn

ε

δ = alalım. Eğer A ve B matrislerini

i,j=1,2,…,n için δ < − _ij ij b a olacak şekilde seçersek

ε

= <

−_{B mn}2

A

elde ederiz. a_ij −b_ij <δ ve A−B ≥ A − B olduğundan

ε

< − B A

Teorem 2.2.3. [46] A, n-kare matris, A_α ve A genelleştirilmiş iki matris normu _β olsun. Sadece normların seçimine bağlı

M A A m≤ ≤ β α

olacak şekilde bir m ve M pozitif sayıları mevcuttur.

İspat: Eij , eij=1 ve diğer bütün elemanları sıfır (Eij=eieTj ) olan bir matris olmak

üzere α ij j i E k , 2 =max ve ij j i a a , max

= olarak seçelim. Matris normunun M2) ve M3)

aksiyomlarından 2 , ak E a A j i ij ij ≤ ≤

∑

α α (2.11)

olur. a=1 olacak şekilde bütün matrislerin cümlesini ℑ ile gösterip

α B k B∈ℑ = min 1

seçersek Teorem (2.3.1.) den B _α, B matrisinin elemanlarına bağlı olduğundan

α

0

1 B

k = olacak şekilde bir B₀ ∈ℑ vardır. M1) aksiyomundan k1>0 ve k1, A

matrisinden bağımsızdır. a_n = ve a B∈ℑ olmak üzere A matrisini A=anB olarak

seçersek 1 ak B a A_α = _α ≥ (2.12.) olur. (2.11) ve (2.12) ‘ den 2 1 A ak ak ≤ _α ≤ (2.13) elde ederiz. Benzer şekilde . normuna bağlı olarak _β

2

1 A ah

olacak şekilde h1, h2 pozitif sayıları vardır.(2.13) ve (2.14) eşitsizliklerini taraf tarafa bölersek 2 2 1 1 h k B A h k ≤ ≤ β α elde edilir ve 1 1 h k m= ve 2 2 h k

M = dersek ispat tamamlanmış olur.

Tanım 2.2.10. A, n-kare matris olmak üzere A matrisinin mutlak değerce en büyük özdeğerine A’nın spectral yarıçapı denir veρ(A) ile gösterilir.

O halde herhangi bir λ_i özdeğeri için λ_i ≤ρ(A) olacaktır ve en az bir i )

1

( ≤i≤n değeri için λ_i =ρ(A) olacaktır.

Ayrıca, bir A kare matrisinin spektral yarıçapı, o matrisin normuna eşit veya küçüktür. Yani; A A)≤ ( ρ dır.

2.3. Matris Normları Arasındaki Bağıntılar

Matris normlarında , .₁ satır normunu , . ₂ spektral normunu , ._∞ sütun normunu bir önceki kısımda görmüştük. Ayrıca A , m×n matrisi için A _Δ =maxa_ij olsun. Bu durumda bu normlar arasında

1) A₂ ≤ A _E ≤ n. A ₂ 2) A_Δ ≤ A ₂ ≤ m.n.A _Δ

3) ∞ ≤ A A A_{2 1}. 4) A_∞≤ A ≤ m A_∞ n. . 1 2 5) 1 .A₁ A₂ n.A₁ m ≤ ≤ bağıntıları geçerlidir.[46] Örnek 2.3.1. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 2 3 0 1 4 2 0 1 A

matrisi için yukarıdaki bağıntıları gekçekleyelim.

Çözüm: Yukarıdaki bağıntılarda verilen normları hesaplarsak

(

) (

) (

)

{

1 4 3 , 0 1 2 , 2 0 1

}

max max 1 1 =

∑

= + + − + + − + + − = n i ij j a A

{

8,3,3

}

8 max = = ,

(

) (

) (

)

{

1 0 2 , 4 1 0 , 3 2 1

}

max max 1 − + − + − + + + + = =

∑

= ∞ n j ij i a A =6 2 / 1 2 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∑

= = n j ij m i E a A _{2 2 2 2 2 2 2 2 2} 1/2 1 2 3 0 1 4 2 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + + + + + + +} = − − − 36 = =6 , 5776928 , 5 8027756 , 1 7749172 , 3 2 13 2 57 2 = + = + = A ve 4 max = = Δ aij A elde edilir.

Şimdi bağıntıları gerçekleyelim. 1) 2 2 A n. A A ≤ _E ≤

(

5,5776928

)

. 3 6 5776928 , 5 ≤ ≤ 6608473 , 9 6 5776928 , 5 ≤ ≤ , 2) A _Δ ≤ A₂ ≤ m.n.A_Δ 12 4 . 3 . 3 5776928 , 5 4≤ ≤ = , 3) ∞ ≤ A A A _{2 1}. 9282032 , 6 6 . 8 5776928 , 5 ≤ = , 4) ∞ ∞≤ A ≤ m A A n. . 1 2 6 . 3 5776928 , 5 6 . 3 1 _{≤ ≤} , 5) 1 2 1 . . 1 A n A A m ≤ ≤ 856406 , 13 8 . 3 5776928 , 5 8 . 3 1 _{≤ ≤ =} ,

3.HADAMARD ÇARPIM VE ÖZELLİKLERİ

Bu bölümde, bilinen matris çarpımından daha basit olan bir matris çarpımı üzerinde duracağız.

Tanım.3.1. A=

[ ]

a_ij ∈M_m,n ve B=

[ ]

a_ij ∈M_m,n matrisleri verilsin.

[ ]

aijbij

B

A =

şeklinde tanımlanan çarpıma A ve B matrislerinin Hadamard Çarpımı denir.

Hadamard çarpımı için uygun şartlar iki matrisin aynı mertebeye sahip olması gerektiğidir ve bilinen matris toplamında olduğu gibi karşılıklı aynı indisli elemanların çarpımı şeklindedir. Hadamard çarpımı alanındaki ilk sonuçlar Issai Schur tarafından elde edildiği için bu çarpım Schur çarpımı olarak da adlandırılır. Bu alandaki çalışmaların çoğunluğu Hadamard çarpımı altında pozitif yarı tanımlı matrislerin durumu ile alakalıdır.

Tanım 3.2. A=

[ ]

a_ij ∈M_m,n matrisi verilsin.

( )

1/2 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∑

= n j ij i A a r i=1,2,…,m ve

( )

1/2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

= m i ij j A a c j=1,2,…,n

şeklindeki normlara sırayla A matrisinin Euclidean satır ve sütun normları denir.[46]. Yukarıda tanımlanan r_i

( )

A ,c_j

( )

A değerlerini,

( )

A r

( )

A r

( )

A r₁ ≥ ₂ ≥...≥ _m

( )

A c

( )

A c

( )

A c₁ ≥ ₂ ≥...≥ _n

olarak sıralayalım. Bu durumda

{

r₁

( ) ( )

A 2,r₂ A 2,...,r_m

( )

A 2

}

kümesi AA matrisinin ∗ esas köşegen elemanları ve

{

c₁

( )

A 2,c₂

( )

A 2,...,c_n

( )

A 2

}

kümesi de A∗A matrisinin

esas köşegen elemanlarıdır. Ayrıca σ₁

( )

A , A matrisinin en büyük singüler değeri olmak üzere daima

( )

A

( )

A r₁ ≤σ₁ (3.1)

( )

A

( )

A c₁ ≤σ₁ dır. [46].

Lemma 3.1.1. [46] Eğer A,B∈M_m,n ve D∈M_m ve E∈M_n köşegen matrisler ise ) ( ) ( ) ( ) (A B E DAE B DA BE D = = ) ( ) ( ) (AE DB = A DBE dir.

Lemma 3.1.2. [46] A,B∈M_m,n ve _x∈Cn _{olsun. x∈C}n _{vektörü için}

) ,..., , ( _{1 2 n} x köş x x x D = olmak üzere T xB

AD matrisinin i. köşegen elemanı (i=1,…,m) (A B)x vektörünün i. bileşeni ile çakışır.

İspat. Eğer A=

[ ]

a_ij , B=

[ ]

a_ij ve x=

[ ]

x_j ise i=1,…,m için

(

)

[

]

∑

∑

= = = = = n j i j ij ij n j ij j ij ii T xB a x b a b x A B x AD 1 1 ) (

olur ki, istenendir.

Lemma 3.1.3. [46] A,B,C∈M_m,n olsun. i=1,…,m için _{(A B)C}T _{matrisinin i.}

köşegen elemanı _{(A C)B}T _{matrisinin i. köşegen elemanı ile çakışır.}

Lemma 3.1.4. [46] A,B,C∈M_m,n ve _x,y∈Cn _için

(

)

(

T

)

x yAD B D iz x B A y∗ = ∗ dir.

İspat. e=[1,1,…,1]T olmak üzere Dxe=x olduğunu göz önüne alarak

(

)

(

)

[

(

)

]

(

T

)

x y y T y T_{D A B x e D A B x iz D AD B} e x B A y∗ ₌ ∗ ₌ ∗ ₌ ∗

olduğu gösterilmiş olur. İkinci eşitlik Lemma 3.1.1 ve Lemma 3.1.2 den elde edilmiştir. Örnek 3.1.1. x

(

A B

)

x iz

(

D AD BT

)

D_xAD_xB x x ∗ ∗ ∗ _{= = olduğu açıktır.}

Tanım 3.3. A, n-kare Hermityen matris olsun. Sıfırdan farklı _∀x∈Cn _{vektörü için}

0 > ∗_Ax x

ise A matrisine pozitif tanımlı matris denir. Eğer 0 ≥ ∗_Ax x

ise bu takdirde A matrisine pozitif yarı tanımlı matris denir. Eğer A Hermityen matrisi pozitif tanımlı ise aynı zamanda pozitif yarı tanımlıdır.

Teorem 3.1.1.(Schur Teoremi) Eğer A,B∈M_n pozitif yarı tanımlı matrisler ise o zaman A B matrisi de pozitif yarı tanımlıdır. Ayrıca B matrisi pozitif tanımlı ve A matrisinin köşegen elemanları sıfırdan farklı ise A B pozitif tanımlıdır. Özellikle, A ve B matrislerinin her ikisi de pozitif tanımlı ise A B pozitif tanımlıdır.

İspat. Lemma 3.1.4 den herhangi bir _x∈Cn _için

(

)

(

T

)

x xAD B D iz x B A x∗ = ∗

( )

( )

[

T

]

x x T B D A A D B iz 1/2 ∗ 1/2 1/2 1/2 =

( )

(

1/2 1/2

)

(

1/2

( )

1/2

)

_≥0 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ =iz A D_x B T ∗ A D_x B T

olacağından istenilen bulunmuştur.

Teorem 3.1.2. [46] Herhangi A,B∈M_m,n matrisleri için, σ₁

( )

A A matrisinin singüler değeri olmak üzere

(

A B

)

₁

( ) ( )

A ₁ B

1 σ σ

σ ≤

dir.

Teorem 3.1.3. [46] Herhangi A,B∈M_m,n matrisleri için

(

)

( ) ( )

( ) ( )

_{( ) ( )}

( ) ( )

A B B c A B A r B c A B A _{1 1} 1 1 1 1 1 1 1 _σ σ σ σ σ σ ≤ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ dir.

İspat. Yalnızca birinci eşitsizliği göstereceğiz. Her x,y birim vektörleri için

(

A B

)

_{= max}x∗

(

A B

)

y

1

σ olduğundan _x∈Cn _{ve y∈C}n _{vektörleri için}

(

A B

)

y x∗ _{değerini hesaplayalım.}

(

)

=

_∑

∗ j i i ij ij ia b y x y B A x ,

2 / 1 , 2 2 / 1 , 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤

∑

∑

j i j ij j i ij ia b x x 2 / 1 2 2 2 / 1 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∑

∑

∑

_ij j j j ij i i a y b x

( )

2 2 1/2 2 / 1 2 2 ) ( _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

x r A

∑

y c_j B j j i i i

( )

2 1/2 1 2 2 / 1 2 1 2 ) ( _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∑

x r A

∑

y c B j j i i

( ) ( )

1 _{2 2} 1 Ac B x y r =

olur ki, eşitsizlik elde edilir. Birinci eşitsizliğe Cauchy-Schwarz eşitsizliği denir. Şimdi de singüler değerlerin toplamı olarak tanımlanan Ky Fan k-normunu kullanarak teorem 3.1.2 deki eşitsizliğin genel halini verelim.

Teorem 3.1.4. [46] Herhangi A,B∈M_m,n matrisleri için

(

)

_∑

( ) ( )

∑

= = ≤ k i i i k i i A B A B 1 1 σ σ σ , k=1,…,n dir.

Teorem 3.1.5. [46] Herhangi A,B∈M_m,n matrisleri

2 2 2 / 1 2 2 / 1 2 2 A A B B A B B A ≤ ≤

dir. ( A , A matrisinin eşleniği.)

Teorem 3.1.6. [46] A∈M_n matrisi pozitif yarı tanımlı ve B∈M_n herhangi bir matris olsun.d_i

( )

A , A matrisinin köşegen elemanları olmak üzere

(

)

_∑

( ) ( )

∑

= = ≤ k i i i k i i A B d A B 1 1 σ σ k=1,…,n

ve eğer B matrisi de pozitif yarı tanımlı ise

(

)

_∑

( ) ( )

∑

= = ≤ k i i i k i i A B d A B 1 1 λ λ , k=1,…,n dir.

Teorem 3.1.2. [52] A,B,C∈M_m,n olsun. Eğer A= B C ise

( ) ( )

Ac C r A _{1 1} 2 ≤ dir. Tanım 3.4.

[ ]

n i R x x= ∈ ve

[ ]

n i R y

y= ∈ vektörleri verilsin. Eğer x ve y vektörlerinin bileşenleri artan sırada olmak üzere

∑

∑

= = ≤ k i i k i i y x 1 1 , k=1,2,…,n

ise x vektörü, y vektörü tarafından zayıf bir şekilde majorize edilmiştir denir ve y

xα_w şeklinde gösterilir. Hem xα_wy hem de

∑

∑

= = = n i i n i i y x 1 1

ise x vektörü, y vektörü tarafından majorize ediliyor denir ve xα y şeklinde ifade edilir.

Örnek 3.1.2. A∈M_n matrisi Hermityen olsun. O zaman A matrisinin köşegen elemanlarının vektörü, özdeğerlerinin vektörünü majorize eder. Yani,

∑

∑

= = ≤ k i ii k i i a 1 1 λ k=1,…,n-1 olur. k=n durumunda eşitlik sağlanır.

Lemma 3.1.7. [2] Eğer _{A B}T _Mmn , , ∈ ise

( )

_∏

( ) ( )

∏

= = ≤ k i i i k i i AB A B 1 1 σ σ σ , k=1,…,min{m,n} (3.2)

eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca, zayıf çarpanlanabilir majarizasyon eşitsizliği zayıf toplanabilir eşitsizliğini ifade eder.

Lemma 3.1.8. [2] Eğer 0x₁ ≥x₂ ≥...≥ x_n ≥ ve y₁ ≥ y₂ ≥...≥ y_n ≥0 değerleri için

∏

∏

= = ≤ k i i k i i y x 1 1 , k=1,…,n (3.3) eşitsizliği sağlanıyor ise

∑

∑

= = ≤ k i i k i i y x 1 1 , k=1,…,n (3.4)

eşitsizliği de sağlanır.

Tanım 3.1.3. A∈M_n matrisi verilsin. Eğer A matrisinin en büyük singüler değeri 1 veya 1’den küçük ise A matrisine büzülme matrisi denir. Yani,

( )

1

1 A ≤

σ

dir.

Lemma 3.1.9.[2] A,B∈M_n matrisleri verilsin. Bu takdirde A₌ X∗Y _olacak şekildeki herhangi X,Y∈M_r,n matrisleri için

(

)

_∑

( ) ( ) ( )

∑

= = ≤ k i i i k i i B Y c X c B A 1 1 σ σ , k=1,2,…,n (3.5)

dir. Buradan şu sonuç çıkar.

(

A B

)

k c

( ) ( ) ( )

X c Y B i i i k i i 1 1 1 σ σ

∏

∏

= = ≤ , k=1,2,…,n (3.6)

Lemma 3.1.10. [2] Herhangi A,B,C∈M_n için

(

)

[

_{A B C}

]

_iz

[

(

_{A C}T

)

_BT

]

iz = (3.7)

Lemma 3.1.11. [2] A∈M_n matrisi λ₁

( )

A ≥ λ₂

( )

A ≥...≥ λ_n

( )

A şartını sağlayan λ1(A),…,λn(A) öz değerlerine sahip olsun. Bu takdirde

( )

_∏

( )

∏

= = ≤ k i i k i i A A 1 1 σ λ , k=1,…,n (3.8) dir. Lemma 3.1.8 den

( )

_∑

( )

∑

= = ≤ k i i k i i A A 1 1 σ λ , k=1,…,n (3.9) elde edilir.

Lemma 3.1.12. [2] A,K_r,K_s∈M_n matrisleri verilsin.

( )

Kr σr

( )

Kr σ₁ = ...= , σ₁

( )

K_s =...=σ_s

( )

K_s =1 , σ_r+1

( )

K_r =...=σ_n =0 ve

( )

...

( )

0 1 = = = + s n s s K σ K

σ olsun.Bu takdirde X∗Y = A _{olacak şekildeki herhangi}

n r M Y X, ∈ _, için

(

)

[

]

_∑

{ }

( ) ( )

= ≤ rs i i i s r K c X c Y K A iz , min 1 (3.10) dir.

Lemma 3.1.13. [2] B∈M_n matrisi σ₁

( )

B ≥σ₂

( )

B ≥...≥σ_n

( )

B ≥0 sıralı singüler değerlere sahip olsun. Bu takdirde her Kj bir rank j kısmi izometrisi, β_j ≥0 , (j=1,…,n) ve

( )

∑

= = n k j k j σ B β , k=1,…,n (3.11)

Lemma 3.1.14. [2] C∈M_n ve 1≤k ≤n şartını sağlayan herhangi bir pozitif k tamsayısı için

( )

(

k

)

k j i C =iz CC

∑

=1 σ

4.CAUCHY-TOPLİTZ VE CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİ

Bu bölüm, sonraki bölümler için gerekli temel tanımlardan oluşmaktadır. Öncelikle, çalışma boyunca kullanılacak olan polygamma fonksiyonu ve onun özellikleri hakkında kısaca bilgi verelim.

4.1.GAMMA,PSİ VE RİEMANN ZETA FONKSİYONU Tanım.4.1.1. Gamma fonksiyonu,

∫

∞ − − = Γ 0 1 ) (x e ttx dt olmak üzere,

[

]

{

ln ( )

}

) ( ) ( x dx d x Psi x = = Γ Ψ

şeklinde tanımlı fonksiyona psi ( veya digamma ) fonksiyonu denir. Psi fonksiyonun n. Mertebeden türevine de polygamma fonksiyonu denir ve

( )

= _⎢⎣⎡

[

Γ

]

_⎥⎦⎤ = Ψ( , ) ln (x) dx d dx d x Psi dx d x n _n n n n

şeklinde gösterilir. n≥0 dır. Eğer, n=0 ise

[

]

{

ln ( )

}

) ( ) , 0 ( x dx d x Psi x = = Γ Ψ olur. [51].

Özellik.4.1.1. Δf(x)= f(x+1)− f(x) fark operatörü ve

∑

− = − ₌ Δ 1 0 1 _{( )} x ₍₎ i i f x f ters

fark operatörü olmak üzere

)]) 1 ( (ln[ ) , ( = Γ + Ψ x dx d x m _m (m>0)

eşitsizliğinin her iki tarafına ileri fark operatörünü uygularsak, )]) 1 ( (ln[ ) , ( = Δ Γ + ΔΨ x dx d x m _m ) 1 ( ) 2 ( ln + Γ + Γ = x x dx d m ) 1 ln( + = x dx d m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ₋ 1 1 1 _x dx d m m m x m ) 1 ( )! 1 ( ) 1 ( 1 + − − = −

olur. Şimdi de her iki yana ters fark operatörünü uygularsak,

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Δ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − Δ = Ψ − − − − m m m m x m x m x m ) 1 ( 1 )! 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )! 1 ( ) 1 ( ) , ( 1 1 1 1

elde edilir. Buradan da

) , ( )! 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 _{m x} m x m m ₋ Ψ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Δ− − (4.1.) yazılır. Ters fark operatörü

∑

−

= − ₌ Δ 1 0 1 _{( )} x _{( )} i i f x

f şeklinde tanımlı olduğu için (4.1.) ifadesi bir asimptotik serinin polygamma cinsinden değerini ifade eder. [57].

Özellik.4.1.2. a∈Ζ+ _{,b herhangi bir sayı n∈Ζ}+_{olmak üzere,}

0 ) , ( limΨ + = ∞ → a n b n dır. .[57].

Tanım.4.1.2. s>1 olmak üzere

∑

∞ = = 1 1 ) ( n ns s ζ

4.2. CAUCHY,HANKEL VE TOEPLİTZ FORMLARI

Tanım 4.2.1. x_i ≠ y_j(x_i,y_j∈C)ve 1≤ .i j≤n olmak üzere elemanları

j i ij y x c − = 1 (4.2) ile tanımlı

[ ]

n j i ij c A 1 , =

= matrisine Cauchy matrisi denir. [47,84,27].

n j i j i n y x A 1 , 1 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

= matrisi bir Cauchy matrisi olsun. Şimdi An matrisinin

determinantı için bir formül verelim. An matrisinin en son satırını önceki satırların her birinden çıkaralım ve bu işlemi sütunlar için de yapalım. Bunları yaptıktan sonra

(

n−1

)

. mertebeden A alt matrisini sağdan ve soldan köşegen elemanları ile _n−1 çarpalım. Buradan An matrisinin determinantını hesaplarsak

(

)(

)

(

)(

)

∏

− = − _{− −} − − − = 1 1 1 1 det det n i i n n i i n n i n n n n y x y x y y x x y x A A

elde edilir. Sonuçta

(

) (

)

(

)

∏

∏

∏

≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ < ≤ − − − = n j i j i n j i i j n j i j i n y x y y x x A , 1 1 1 det (4.3)

bulunur . x_i ≠ x_j ve y_i ≠ y_j ise A_n matrisi singüler değildir.

[

]

T n z z z = ₁... ve

[

]

T n b b b= ₁... olmak üzere b z A_n =

lineer denklem sistemini göz önüne alalım. Bu sistemi Cramer kuralı ile çözersek (4.3)’e benzer

( )

( )

(

) (

)

(

)

∏

∏

∏

∑

≠ ≠< ≤ ≤ ≠< ≤ ≤ ≠< ≤ ≤ = − − − − − = j k i i j n j i j i i j n i j k j i i j n j i n k k k n x y y y x x b A z , 1 , 1 , 1 1 1 det 1 1

ifadesi elde edilir. (4.3)’deki detA_n değeri z ifadesinde yerine yazılıp, gerekli düzenlemeler yapılırsa

(

)

(

)

∏

∏

≠ = = − − = _n i i i n i i y y y x u 1 1

(

_=1,2,3,...,n

)

_(4.4) ve

(

)

(

)

∏

∏

≠ = = − − = _n i i j k n j j k k x x y x v 1 1

(

k =1,2,3,...,n

)

(4.5) olmak üzere

∑

= − = n k k k k y x b v u z 1

(

=1,2,3,...,n

)

elde edilir.

Tanım 4.2.2. n≥1olmak üzere

( )

_∑

− = + − = 1 0 , 1 , n j i j i j i n x x h x x H

kuadratik formuna Hankel formu denir. Bu forma uyan matrise de Hankel matrisi denir ve

( )

1 0 , 1 − = + − = n j i j i n h H (4.6) olarak gösterilir. [35,48].

Bir Hankel matrisinin açık gösterimi,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − + + − − + + + − − 2 2 3 2 2 1 3 2 4 2 1 2 1 2 1 1 1 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n n n n n n n n n n n n h h h h h h h h h h h h h h h h H

şeklindedir. Buradan görüldüğü gibi Hankel matrisleri simetriktir. Ayrıca sonsuz mertebeden bir Hankel matrisi de

( )

∞ = + ∞ = hi j _{i, j 0} H olarak tanımlanır.

Tanım 4.2.3. n≥1ve t_i−j ler kompleks sayılar olmak üzere

( )

_∑

− = − − = 1 0 , 1 , n j i j i j i n x x t x x T

kuadratik formuna Toeplitz formu denir. Bu forma tekabül eden

( )

1 0 , 1 − = − − = i j n_{i j} n t T (4.7)

biçimindeki matrise Toeplitz matrisi denir. [48]. Bir Toeplitz matrisini açık olarak

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − + − + − + − + − − − 0 1 2 1 1 0 3 2 2 3 0 1 1 2 1 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t t t t t t t t t t t t t t t T n n n n n n n n n

şeklinde yazılır. Buradan görüldüğü üzere bir Toeplitz matrisinin elemanları esas köşegene paralel köşegenler boyunca aynıdır. Dolayısıyla bir Toeplitz matrisini, matrisin ilk satır vektörü ile ilk sütun vektörü temsil eder diyebiliriz.

,... , ,..., , , , , _{1 1 2 2} 0 a b a b an bn

a katsayıları reel olmak üzere

( )

_∑

∞

(

)

= + + = 1 0 2 cos sin n n n n _{a nx b nx} r a x f (4.8)

Fourier serisini ele alalım. Bu seri kutupsal koordinatlarda bir harmonik fonksiyonun açılımıdır. Eğer t_i−j =t_m,

n n

m a ib

t = − , t_−m =t =a_n +ib_n

(

m=0,∓1,∓2,...,∓

(

n−1

)

)

olmak üzere t_−m =t_m ise T matrisi hermityen olur ve bu matris _n−1

( )

_∑

− = − − = 1 0 , 1 , n j i j i j i n x x t x x T

hermityen toeplitz formuna karşılık gelir. Ayrıca sonsuz mertebeden bir Toeplitz matrisi de