Bulanık esnek kümelerde benzerlik ölçümü

(1)

T.C.

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BULANIK ESNEK KÜMELERDE BENZERLİK ÖLÇÜMÜ

Zübeyde AKBAL Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN

2011

(2)

T.C.

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

BULANIK ESNEK KÜMELERDE BENZERLİK ÖLÇÜMÜ

Zübeyde AKBAL

TOKAT 2011

(3)

(4)

(5)

i ÖZET Yüksek Lisans Tezi

BULANIK ESNEK KÜMELERDE BENZERLĠK ÖLÇÜMÜ Zübeyde AKBAL

Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN

Bu çalışmada; önce bulanık kümeler ve özellikleri verilmiştir. Daha sonra esnek kümeler ve onların işlemleri tanıtıldı. Bulanık ve esnek küme teorileri sırasıyla 1965’de Zadeh ve 1999’da Molodtsov tarafından ilk olarak ortaya atılmıştır. Her iki teoride, belirsizlik içeren problemleri modellemek için bir matematiksel araç olarak kullanılmış ve karar verme problemleri, bilgi sistemleri, cebirsel yapılar, optimizasyon teorisi ve matematiksel analiz gibi belirsizlik içeren bir çok alana uygulanmıştır. Ardından bulanık esnek kümeleri tanıttıktan sonra, esnek kümelerdeki benzerlik ölçümünden yararlanarak, bulanık esnek kümelerde benzerlik ölçümü tanılamadık ve bir örnekle esnek kümelerdeki benzerlik ölçümüyle kıyaslamasını yaptık.

2011, 32 sayfa

Anahtar Kelimeler: Bulanık Kümeler, Esnek Kümeler, Bulanık Esnek Kümeler, Benzerlik Ölçümü, Esnek Kümelerde Benzerlik Ölçümü, Bulanık Esnek Kümelerde Benzerlik Ölçümü.

(6)

ii ABSTRACT Master Thesis

SIMILARITY MEASURE OF FUZZY SOFT SETS Zübeyde AKBAL

Gaziosmanpaşa University

Graduete School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Naim ÇAĞMAN

In this work, we first introduce about fuzzy sets and their properties. We then introduce soft sets and their operations. Fuzzy and soft set theories were produced by Zadeh in 1965 and Molodtsov in 1999, respectively, as a mathematical tool to deal with uncertainties. They are applied to some fields which contain uncertainties, such as; decision making problems, information systems, algebraic structures, optimization theory and basic mathematics analysis. Moreover, after introducing fuzzy soft set theory and similarity measure of soft sets, we define similarity measure of fuzzy soft sets. We finally compare the similarity measure of soft sets and similarity measure of fuzzy soft sets with an example.

2011, 32 page

Key Words: Fuzzy Sets, Soft Sets, Fuzzy Soft Sets, Similarity Measure, Similarity Measure of Soft Sets, Similarity Measure of Fuzzy Soft Sets.

(7)

iii ÖNSÖZ

Bu çalışmada bana destek olan ve her aşamasında bilgilerini esirgemeyen danışman hocam Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN’a, bölümdeki tüm hocalarıma ve manevi desteğini esirgemeyen aileme teşekkür ederim.

Zübeyde AKBAL Ocak 2011

(8)

iv İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii ÖNSÖZ ... iii İÇİNDEKİLER ... iv ÇİZELGELER DİZİNİ ... v 1. GİRİŞ…...………..1 2. GENEL KAVRAMLAR ... 3 2.1. Bulanık Kümeler ... 3 2.2. Esnek Kümeler ... 5

2.2.1. Esnek Küme Ġşlemleri ... 11

2.3. Esnek Kümelerde Benzerlik Ölçümü ... 17

2.4. Uygulama ... 19

3. BULANIK ESNEK KÜMELERDE BENZERLİK ÖLÇÜMÜ ... 21

3.1. Bulanık Esnek Kümeler ... 21

3.2. Bulanık Esnek Kümelerde Benzerlik Ölçümü ... 24

3.3. Uygulama ... 27

4. SONUÇ ... 29

KAYNAKLAR ... 30

(9)

v

ÇİZELGELER LİSTESİ

Sayfa

Çizelge 2.2.1. Esnek Küme gösterimi ... 7

Çizelge 2.2.2. Örnek 2.2.3 için esnek küme gösterimi ... 7

Çizelge 2.2.3. Örnek 2.2.3 için esnek kümenin kısaltılmış gösterimi ... 8

Çizelge 3.1.1. Bulanık esnek küme gösterimi ... 23

(10)

1

1. GİRİŞ

Belirsiz tipteki problemlerin çözümü için, aralık matematiği, olasılık teorisi, bulanık kümeler teorisi, yaklaşımlı kümeler teorisi, esnek kümeler teorisi gibi farklı teoriler geliştirildi. Her bir teorinin güçlü olduğu uygulamalar bulunmaktadır.

Bulanık kümenin temelini teşkil edecek bulanık mantık kavramı ilk kez Eflatun tarafından ortaya atmıştır. Eflatun’a göre mantıkta “doğru” ve “yanlış” tan başka bir “üçüncü seçenek” söz konusuydu. Mantıksal paradokslar ve Heinsenberg’in belirsizlik ilkesi, 1920’lerde çok-değerli mantık sistemlerinin gelişmesine yol açtı. Kuantum teorisyenleri, iki değerli sistemlerin “doğru” ve “yanlış” tan oluşan değer kümesine, bir üçüncü değer ekleyerek “belirsiz” ifadesine giriş yaptılar. Pek az batılı bilim adamı, çok değerli mantığı benimsemesine rağmen, Lukasiewcz, Gödel ve Black ilk çok-değerli mantık ve küme sistemlerini geliştirdiler. Lukasiewcz, daha sonra doğruluk değerleri kümesini tüm sayılara genelleştirdi.

Azeri kökenli Lotfi Zadeh (1965), daha sonra doğruluk değerleri kümesini [0,1] reel sayılar aralığına genelleştirerek bulanık mantığı ve dolayısıyla bulanık kümeleri tanımladı. Matematik dünyasının bulanık mantık ile tanışması 1930’larda olmasına rağmen, ilk ticari bulanık mantık uygulamaları 1980’lerde ortaya çıktı. 1990’larda ise iyice hız kazanarak ticari amaçlı uygulamalarda önemli bir yere gelmiştir. Bulanık kümelerin kullanışlılığı büyük oranda ayrı ayrı kavramlara uygun üyelik fonksiyonlarını farklı biçimde tanımlayabilme becerimize bağlıdır. Bundan dolayı bulanık kümeler, uzman sistemlerde, karar verme mekanizmalarında, modellemede, sosyal bilimlerde v.b. gibi çok farklı alanlarda kullanılmaktadır.

Bulanık kümeler teorisi hızla gelişmesine rağmen bazı yapısal zorluklara sahiptir. Bir bulanık küme onun üyelik fonksiyonu yardımı ile tanımlanır. Üyelik fonksiyonunun oluşturulmasının fazlasıyla bireysel olmasından dolayı, her bir durum için bir üyelik fonksiyonu inşa etme zorluğuyla karşılaşılır. Bu nedenle, Molodtsov (1999) üyelik fonksiyonu inşasından bağımsız bir kümeler teorisine ihtiyaç olduğunu görerek esnek küme kavramını ortaya atmıştır. O halde diyebiliriz ki, esnek küme teorisi, belirsizlikle

(11)

2

başa çıkmak için bir matematiksel araçtır.

Daha sonra, Maji ve ark. (2003) esnek küme işlemlerini tanımlamıştır. Bu tanımları kullanarak, birçok araştırmacı bulanık esnek kümeler üzerine çalışmalar yapmıştır. Aktaş ve Çağman (2007), Roy ve Maji (2007), Yang ve ark. (2007), Kong ve ark. (2008), Yao, Bing-xue Liu, Jin-liang Yan, Rui-xia (2008), Majumdar ve Samanta (2008), Xiao ve ark. (2009), Athar Kharal (2010), Wei Xu, Jian Ma, Shouyang Wang, Gang Hao (2010), Z. Xiao, K. Gong, Y. Zou (2009), Young Bae Jun, Dong Soo Lee, Mehmet Ali Ozturk, Chul Hwan Park (2009), bu çalışmışlardan bazılarıdır.

Bu çalışmada; birinci bölümde, özellikleriyle birlikte, bulanık kümeler ve esnek kümeler verildi. Ek olarak, Majumdar ve Samanta (2008)’nın, Maji ve ark. (2003)’nın esnek küme işlemlerini kullanarak tanımladığı esnek kümelerde benzerlik ölçümü verildi. İkinci bölümde, Çağman ve Enginoğlu (2010a)’nun tanımladığı esnek küme işlemlerine dayalı bulanık esnek küme teorisi tanıtıldı. Ardından, esnek kümelerdeki benzerlik ölçümünden yararlanarak, bulanık esnek kümelerde benzerlik ölçümü tanımlanarak bir örnekle esnek kümelerdeki benzerlik ölçümüyle kıyaslaması yapıldı. Son bölümde de çalışmanın genel bir değerlendirmesi yapıldı.

(12)

3

2. GENEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, tezde kullanacağımız, temel tanım ve teoremleri vereceğiz.

2.1. Bulanık Kümeler

Bu bölümde Zadeh (1965), Dubois ve Prade (1980), Zimmermann (1991), Enginoğlu (2008), Deli (2010), Çağman ve ark. (2010a) kaynaklarından yararlanılmıştır.

Geleneksel küme teorisinde kesin sınırlı küme kavramı vardır. Bu kavram bir nesnenin bir kümenin elemanı olması ya da olmaması gibi iki seçenekli bir mantığa dayanmaktadır. Bulanık küme kavramı, klasik kümenin gerçek dünyadaki özellikle insanları içeren kısmen karmaşık sistemlerle uğraşırken yetersiz kalmasından dolayı 1965’de Zadeh tarafından ortaya atılmıştır. Zadeh, niteliklerin ikili üyelik fonksiyonu ile ifade edildiği klasik kümeler yerine, dereceli üyelik fonksiyonu ile ifade edildiği bulanık kümeler tanımlamasını önermiştir.

Bulanık küme kavramı, duyarlılığın arttırılması açısından, klasik kümelerinkine göre daha uygun olan yeni bir araç sağlamaktadır. Getirdiği yaklaşım, klasik küme kuramlarında kullanılan iki değerli üyeliği çok değerliliğe taşıyarak genelleştirmektir.

Tanım 2.1.1. U bir evrensel küme olsun. U üzerinde bir X bulanık kümesi

 

0,1 :U 

X



fonksiyonu ile tanımlanır. Bu _Xfonksiyonuna X bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu denir.

) (x

X

 _{değeri x elemanının X bulanık kümesine ait olmasının derecesini temsil eder. O}

halde U üzerinde bir X bulanık kümesi aşağıdaki gibi yazılabilir

 

(14)

5

2.2. Esnek Kümeler

Bu bölümde Molodsov (1999), (2004) Maji ve ark. (2002;2003), Enginoğlu (2008), Çağman ve ark. (2010a), kaynaklarından yararlanılmıştır.

Esnek küme teorisi, Molodtsov (1999) tarafından belirsizlikle başa çıkmak için bir matematiksel araç olarak ortaya atılmıştır. Daha sonra birçok araştırmacı esnek kümeler üzerinde çalışmıştır. Bu bölümde Çağman ve Enginoğlu (2010a)’nun tanımladığı esnek küme teorisi üzerinde durulacaktır.

Tanım2.2.1. U bir başlangıç evreni; P(U), U’nun kuvvet kümesi; E başlangıç evreninin elemanlarını niteleyen tüm parametrelerin kümesi ve AEolsun. f_A:EP(U)_ve

A

e için f_A(e)olmak şartıyla, sıralı ikililerden oluşan kümeye (fA,E)



(e,fA(e)):eE,fA(e)P(U)



, şeklinde U üzerinde bir (fA,E)esnek kümesi denir.

Burada, f_A fonksiyonuna (f_A,E) esnek kümesinin yaklaşım fonksiyonu denir. Her

E

e f_A(e)kümesine de e-yaklaşım değer kümesi veya e-yaklaşım kümesi denir.

Esnek kümenin tanımına göre, bir (fA,E)esnek kümesi biçimsel olarak onun üyelik fonksiyonu olan f_A’ya eşittir. Biz herhangi bir esnek kümeyi onun üyelik fonksiyonu ile belirliyoruz ve bu iki kavramı birbiri ile yer değiştirilebilir olarak görüyoruz.

Bundan sonra (f_A,E) notasyonu yerine F_A notasyonunu kullanacağız. f_A notasyonundaki A alt indisi, f_A’nın F_A esnek kümesinin yaklaşım fonksiyonu olduğunu gösterir.

Eğer (e,fA(e)), FA esnek kümesine aitse (e,fA(e))FAaksi takdirde (e, fA(e))FA

şeklinde yazarız. Diğer bir ifadeyle, her bir (e, f_A(e)) elemanı için sadece iki olasılık vardır. Yani (e,f_A(e)), ya F_A esnek kümesine dahildir ya da değildir.

(15)

6













(e₂, u₂,u₄ ),(e₅, u₁,u₂ ),(e₆, u₂,u₃,u₅ )



F_A 

şeklinde yazılır.

Yukarıdaki gösterimlerin yanı sıra, işlenen verilerin daha rahat görülebilmesi için tablo yöntemi kullanılabilir. U bir evrensel küme, E tüm parametrelerin kümesi ve A E

olsun. U üzerinde bir F_A_{esnek kümesi için, onun bilgi tablosu,} i1,2,...,m ve

n j 1,2,..., _için

 

0,1 :UE A f            ) ( , 0 ) ( , 1 ) , (( ) , ( j A i j A i j i f j i e f h e f h e h e h A 

(16)

7

Çizelge 2.2.1: Esnek küme gösterimi

A f  1 e e2  en 1 h (h₁,e₁) A f  (h₁,e₂) A f   _f (h₁,e_j) A  2 h f_A(h2,e1) f_A(h2,e2)  f_A(h2,ej)      m h f_A(hi,e1) f_A(hi,e2)  f_A(hm,en)

Örnek 2.2.3. Örnek 2.2.2’de inşa ettiğimiz FAesnek kümesi çizelge 2.2.2 veya çizelge

2.2.3’deki gibi gösterilebilir.

Çizelge 2.2.2: Örnek 2.2.3 için esnek küme gösterimi

A f  e1 e2 e 3 e4 e 5 e 6 e 7 1 u 0 0 0 0 1 0 0 2 u 0 1 0 0 1 1 0 3 u 0 0 0 0 0 1 0 4 u 0 1 0 0 0 0 0 5 u 0 0 0 0 0 1 0

(17)

8

Çizelge 2.2.3: Örnek 2.2.3 için esnek kümenin kısaltılmış gösterimi

Tanım 2.2.4. F_A, U üzerinde bir esnek küme olsun. Eğer eEiçin f_A(e) ise )

(e

fA e - yaklaşım kümesine, fA’nın boş-değeri ve (e, fA(e)) elamanına da A

F ’nın boş- elemanı denir.



 ) (e

f_A olmasının anlamı U da ki elemanların hiçbirinin eEparametresi ile ilişkili olmadığıdır. Bu tür parametrelerin göz önüne alınması anlamsız olduğu için, biz böyle elemanları bir esnek kümede göstermeyeceğiz.

Tanım 2.2.5. Bütün elemanları boş olan esnek kümeye boş esnek küme denir ve F__ile gösterilir. Burada her eEiçin f_(e) şeklinde olduğu açıktır.

Tanım 2.2.6. FA U üzerinde bir esnek küme olsun. Eğer eE için fA(e)U ise

) (e

f_A e-yaklaşım kümesine, f_A’nın mutlak-değeri ve (e,f_A(e)) elemanına da

A

F ’nın mutlak-elemanı denir.

U e

fA( ) olmasının anlamı, U 'nun bütün elemanlarının eEparametresi ile ilgili

olduğudur. A f  e₂ e ₅ e ₆ 1 u 0 1 0 2 u 1 1 1 3 u 0 0 1 4 u 1 0 0 5 u 0 0 1

(18)

9

Tanım 2.2.7. FA esnek kümesinin tüm elemanları mutlak ise bu esnek kümeye mutlak

esnek küme denir ve F_A~ile gösterilir.

Eğer A = E ise, mutlak esnek kümeye, evrensel esnek küme denir ve F_E~ ile gösterilir.

FA  şeklinde yazılır.

Eğer B



e1, e3



ve fB(e1), fB(e3) ise FB esnek kümesi boş esnek kümedir.

Yani F_B  F_ şeklindedir.

Eğer C 



e₁, e₂



ve f_C(e₁)U, f_C(e₂)Uise F esnek kümesi mutlak esnek _C

kümedir. Yani F_C F_C~ şeklindedir.

Eğer D = E ve her e_iE, i1,2,3,4için f_A(e_i)U ise F_D esnek kümesine evrensel

esnek küme denir. Yani FD F_E~şeklindedir.

Tanım 2.2.9. FA ve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. Eğer her eE için

) ( )

(e f e

fA  B

oluyorsa, FA kümesine FB kümesinin esnek alt kümesidir denir ve FA FB

~ _{ile gösterilir.}

Esnek küme teorisindeki temel kavram yaklaşımdır. e₁,e₂ E için f_A(e₁) f_A(e₂) ise e₂ parametresinin yaklaşım değeri, e1 parametresinin yaklaşım değerinden daha

büyüktür. Bunun anlamı, e2_{parametresi U evrensel kümesinde} e1_{parametresinden}

(19)

10

Yorum 2.2.10. F_A ~ F_B olması FA kümesinin her elemanının FB kümesinin elemanı

olması anlamına gelmez. Bu yüzden, klasik alt küme tanımı esnek alt küme tanımı için geçerli değildir. Örneğin U

geçerlidir.

i. F_A ~ F_E~

ii. F_ ~ F_A

iii. F_A ~ F_A

iv. F_A ~ F_B ve F_B ~ F_C  F_A ~ F_C

İspat. İspatları esnek kümelerin yaklaşım fonksiyonlarını kullanarak yapalım. E e  için, i. f_A(e)Uolduğundan f (e) f~(e) E A  ii.   fA(e) olduğundan f(e) fA(e) iii. fA(e) fA(e) olduğundan fA(e) fA(e) iv. fA(e) fB(e)_ve fB(e) fC(e) fA(e) fC(e) dir.

Önerme 2.2.12. U üzerinde aşağıdaki sonuçlar geçerlidir.

i. Boş esnek küme tektir. ii. Evrensel esnek küme tektir.

İspat. Tanım 2.2.5 ve 2.2.7'den açıktır.

Tanım 2.2.13. Eğer F_A ~ F_Biçin FB kümesinde FA kümesinin elemanı olmayan en az

bir eleman varsa, FA kümesine FB kümesinin öz esnek alt kümesi denir ve FA ~ FB ile

(20)

11

Tanım 2.2.14. FA ve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. Eğer her eEiçin

) ( )

(e f e

f_A  _B

oluyorsa FA esnek kümesi FB esnek kümesine eşittir denir ve FA FB ile gösterilir.

Önerme 2.2.15. FA, FB ve FC U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde aşağıdaki

sonuçlar geçerlidir.

i. F_A F_B ve F_B F_C F_AF_C

ii. F_A ~ F_B ve F_B ~ F_A F_AF_B

İspat. Her eEiçin, yaklaşım fonksiyonlarını kullanarak ispatlayalım.

i. f_A(e) f_B(e) ve f_B(e) f_C(e) f_A(e) f_C(e) dir.

ii. f_A(e) f_B(e) ve f_B(e) f_A(e)  f_A(e) f_B(e) olur.

Tanım 2.2.16. FA esnek kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine, FA esnek kümesinin

kuvvet kümesi denir.

2.2.1 Esnek Küme İşlemleri

Tanım 2.2.1.1. FA ve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FA ve FB esnek

kümelerinin birleşiminin yaklaşım fonksiyonu,

E e

 _için f_A_~_B(e) f_A(e)f_B(e), biçiminde tanımlanır. Bu kümelerin birleşimi F_A~ F_Bile gösterilir.

Karışıklığı önlemek için, “~ _{” şeklinde esnek birleşim ve “}__{” şeklinde klasik birleşim} kullandık. Burada, A~ B bir küme işlemi değildir. Bu sadece fA~B’nin FA~B esnek

(21)

12

Önerme 2.2.1.2. F_A, F_B ve F ,_C U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde aşağıdaki

sonuçlar geçerlidir. i. F_A~ F_A F_A ii. F_A~ F_ F_A iii. F_A~ F_E~  F_E~ iv. FA FA F_E~ ~ _   v. F_A~ F_B F_B~ F_A vi. (F_A~F_B)~ F_C F_A~(F_B~ F_C)

i. f_A_~_A(e) f_A(e) f_A(e) f_A(e) ii. f_A_~_(e) f_A(e) f_(e) f_A(e) iii. f_A_~_E~(e) f_A(e)f_E~(e) f_E~(e) iv. f (e) f (e) f~(e) E c A A   v. f_A_~_B(e) f_A(e) f_B(e) f_B(e) f_A(e) f_B_~_A(e) vi. ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ~ ( ~ ~ ~ ) ~ ( e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f C B A C B A C B A C B A C B A              

Tanım 2.2.1.3. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek

kümelerinin kesişiminin yaklaşım fonksiyonu, eE_için ) ( ) ( ) ( ~ e f e f e f_A__B  _A  _B

biçiminde tanımlanır. Bu kümelerin birleşimi FAFB

~ _{ile gösterilir.}

Karışıklığı önlemek için, “~ _{” şeklinde esnek birleşim ve “}__{” şeklinde klasik kesişim} kullandık. Burada, A~ B bir küme işlemi değildir. Bu sadece f_A_~_B’nin F_A_~_B esnek

(22)

13

Önerme 2.2.1.4 F_A, F_B ve F , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde aşağıdaki _C

sonuçlar geçerlidir. i. F_A~ F_A F_A ii. F_A ~ F_ F_ iii. F_A~ F_E~ F_A iv. FAFA F_  ~ v. F_A ~ F_B F_B ~ F_A vi. (F_A ~ F_B)~ F_C F_A~ (F_B ~ F_C) vii. F_A~ F_BF_A~ F_BF_B ve F_A~F_B F_A

i. f_A_~_A(e) f_A(e) f_A(e) f_A(e) ii. f_A_~_(e) f_A(e) f_(e) f_(e) iii. f_A_~_E~(e) f_A(e) f_E~(e) f_A(e) iv. f_A(e) f_Ac(e) f_(e) v. f_A_~_B(e) f_A(e) f_B(e) f_B(e) f_A(e) f_B_~_A(e) vi. ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ~ ( ~ ~ ~ ) ~ ( e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f C B A C B A C B A C B A C B A               vii. FA ~ FB  fA(e) fB(e) fB(e) ve fA(e) fB(e) fA(e)

Tanım 2.2.1.5. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun. FA esnek kümesinin



A

F ile

gösterilen tümleyeninin yaklaşım fonksiyonu, her eE için )

( )

(e f e f_A  _Ac

(23)

14

Karışıklığı önlemek için, “°” şeklinde esnek tümleyen ve “c_{” şeklinde klasik tümleyen}

kullandık. Burada, 

A bir küme işlemi değildir. Bu sadece f_A’nın F esnek kümesinin _A

yaklaşım fonksiyonu olduğunu göstermek için kullanılan bir notastondur.

Önerme 2.2.1.6. F_A, U üzerinde bir esnek küme olsun. O halde aşağıdaki sonuçlar geçerlidir.

i. (F_A) F_A

ii. F_ F_E~

İspat. Her eE için esnek kümelerin yaklaşım fonksiyonlarını kullanarak ispatı kolaylıkla yapabiliriz. i. (f_Ac(e))c  f_A(e) ii. f (e) U f (e) U U f~(e) E c       

Önerme 2.2.1.7. U üzerindeki FA ve FB esnek kümeleri için De’Morgan kuralları

geçerlidir.

i. (F_A~F_B) F_A~ F_B

ii. (F_A~F_B) F_A~ F_B dir.

İspat. Her eEiçin,

i. c B c A c B A c B A B A e f e f e f e f e f e f )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ~ ) ~ (      _   ii. c B c A c B A c B A B A e f e f e f e f e f e f )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ~ ) ~ (      _  

(24)

15

Önerme 2.2.1.8. F_A, F_B ve F , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde aşağıdaki _C

i. F_A~(F_B~ F_C)(F_A~F_B)~(F_A~F_C)

ii. F_A~(F_B~ F_C)(F_A~F_B)~(F_A~F_C)

İspat. Her eE için,

i. ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ~ ) ~ ( ~ ~ ~ ) ~ ( ~ e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f C A B A C A B A C A B A C B A C B A C B A                     ii. ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ~ ) ~ ( ~ ~ ~ ) ~ ( ~ e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f e f C A B A C A B A C A B A C B A C B A C B A                    

Buradaki birleşim ve kesişim işlemleri, ikili işlem olarak adlandırılır.

Tanım 2.2.1.9. FAve FB U üzerinde iki esnek küme olsun. FA_ve FB_esnek

kümelerinin farkı, eE için

) ( \ ) ( ) ( \ ~ e f e f e f_A _B  _A _B

yaklaşım fonksiyonu yoluyla tanımlanır ve F \A FB

~

ile gösterilir.

Karışıklığı önlemek için, “~\ ” şeklinde esnek tümleyen ve “\” şeklinde klasik fark kullandık. Burada, A \~Bbir küme işlemi değildir. Bu sadece f_A~_\_B’nın

B A

F ~_\ esnek

(25)

16

Önerme 2.2.1.10. F_A, F_B ve F , U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde aşağıdaki _C

i. F_A~\ F_B F_A~F_B

ii. F_A~\ F_B F_ F_A~ F_B

iii. ABF_A~\ F_B F_A_veF_B~\ F_A F_B İspat. Her eE için,

i. f ~_\ (e) f_A(e)\ f_B(e) f_A(e) f_B(e)

B

A   

ii. fA(e)\ fB(e) f(e) fA(e) fB(e)

iii. AB f_A(e)\ f_B(e) f_A(e) ve f_A(e)\ f_B(e) f_B(e)

Tanım 2.2.1.11. F_Ave F_B, U üzerinde iki esnek küme olsun. F_A_ve F_B esnek kümelerininFAFB

~

ile gösterilen simetrik farkı,

)) ( \ ) ( ( )) ( \ ) ( ( ) ( ~ ) (e f e f e f e f e f e f_A  _B  _A _B  _B _A

yaklaşımlı fonksiyonu ile tanımlanır.

Tanım 2.2.1.12. Eğer FAFBF ise FAve FB esnek kümeleri aykırıdır denir.

Şimdi yukarıdaki tanım ve önermeler için birer örnek verelim.

Örnek 2.2.1.12. U



u₁,u₂,u₃,u₄,u₅



evrensel küme veE



e₁,e₂,e₃,e₄



tüm

parametreler kümesi olsun. Kabul edelim ki A



e₁, e₂



ve B



e₂,e₃,e₄



, gibi E’nin iki

alt kümesi için











~ 4 4 1 3 3 2 1 2 4 2 1 u u e u u u e u u e U e F F_A _B 

 



( , )



~ 1 2 u e F FA B 

















   B A B A F e u u u e u u e u u u F F F ~ )  ( , , , ),( , , ),( , , , )  ~ ( 1 1 3 5 2 4 5 3 2 3 5









   B A B A F e U e u u u u e U e U F F F ~ )  ( , ),( , , , , ),( , ),( , )  ~ ( ₁ ₂ ₂ ₃ ₄ ₅ ₃ ₄





 





 B A B A F e u u e u F F F ~\  ( ₁, ₂, ₄ ),( ₂, ₃ )  ~















( , , ),( , , ),( , , ),( , )



~ 4 4 1 3 3 2 2 4 2 1 u u e u u e u u e U e F F_A _B 

2.3 Esnek Kümelerde Benzerlik Ölçümü

Bu bölümde Majumdar ve Samanta (2008) kaynağından yararlanılmıştır.

Bazı durumlarda iki kümeyi karşılaştırmaya gerek duyulmaktadır. Bu kümeler bulanık, değer olabilir. İki model veya imgenin özdeş olup olmadığı veya aşağı-yukarı özdeş veya en azından derecelerinin özdeş olup olmadığı Majumdar tarafından araştırılmıştır. Chen (1995a, 1995b, 1997) ve Xu (2001), Hong ve Kim (1999), Pappis (1991, 1993) gibi birkaç araştırmacı bulanık kümeler, bulanık sayılar ve değer kümeleri arasındaki benzerlik ölçüm problemlerini incelemiş, Majumdar (2008) ise esnek kümelerdeki benzerlik kavramını genişletmiştir.

U evrensel küme, E de boştan farklı sonlu parametreler kümesi olsun. O halde U

üzerinden bir esnek kümeyi bir matris olarak gösterebiliriz.



U {x₁,x₂,x₃} E{e₁,e₂,e₃,e₄} olarak verilsin.

) ,

(F E , esnek kümesi F(e₁){x₁, x₂}, F(e₂){x }, ₂ F(e₃){x₁, x₃}, F(e₄){x } ₁

şeklinde tanımlansın. Bu durumda (F,E)_{aşağıdaki gibi bir matris biçiminde ifade} edilebilir.

(27)

18

) ( j i F e

x  ise 1, xiF(ej) ise sıfıra eşit olur. O halde aşağıdaki gibi üyelik matrisi olacak şekilde bir matris oluşur.

3 2 1 ) ( x x x e F 0 1 1 ) (e₁ F 0 1 0 ) (e₂ F 1 0 1 ) (e₃ F 0 0 1 ) (e₄ F  A      0 1 1

0 1 0

1 0 1

     0 0 1 olarak gösterelim.

O zaman (F,E) esnek kümesi A matrisi tarafından gösterilir. (F,E) A yazarız. )

,

(F E ’nin tümleyeni (F,E)c yi B matrisi ile gösterirsek

      1 0 0 B 1 0 1 0 1 0      1 1 0 olur.

Verilen herhangi bir A üyelik matrisi için kolaylıkla (F,E) esnek kümesinin oluşturulabileceği aşikârdır. Bundan sonra F(e_i) vektörüyle veya basitçe F(e_i) ile üyelik matrisinin bir sütununu göstereceğiz. Burada F(e₁)(1,0,0),

) 0 , 1 , 0 ( ) (e₂  F ,F(e₃)(1,0,1), F(e₄)(1,0,0) dır.

Şimdi U üzerinden (F₁,E₁) ve (F₂,E₂) iki esnek küme arasındaki benzerlik ölçümünü tanımlayalım.

(28)

19

Tanım 2.3.1. Eğer E₁ E₂ ise (F₁,E₁), (F₂,E₂) esnek kümeleri arasındaki benzerlik







  i i i i i i e F e F e F e F F F S 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ). ( ) , ( olarak tanımlanır.

Eğer E₁ E₂ ve EE₁E₂  ise, ilk olarak eE₂ E için F₁(e)0,

E E

f  ₁ için F₂(f)0 tanımlanır. Sonuçta S(F₁,F₂) formülü ile benzerlik ölçümü yapılır.

Not 2.3.2. Eğer E₁E₂  ise S(F₁,F₂)0 dır.

Not 2.3.3. Ayrıca F₁(e_i).F₁c(e_i)0 olacağından S(F₁,F₁c)0 dır.

2.4 Uygulama

Bilgisayarın aşırı kullanımının birey üzerindeki etkisini belirleyen bir esnek küme ve bir Z bireyinin özelliklerini gösteren bir esnek küme oluşturalım. Daha sonra bu iki esnek kümenin benzerlik ölçümünü yaparak Z bireyinin özelliklerinin ne derecede bilgisayar kullanımına bağlı olduğunu yorumlayalım:

Evrensel küme sadece iki elemanı “evet” ve “hayır”ı içersin. Yani U 

 

e,h olsun. E parametreler kümesi bazı özellikleri içersin.



1

e sosyal zeka



2

e aile ilişkilerinde uyum

 3 e obezlik  4 e yaratıcılık  5 e genel kültür

(29)

20  6 e dinamiklik  7

e kemik hastalıkları olmak üzere E



e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆,e₇



olsun.

Şimdi aşırı bilgisayar kullanan bireylerdeki özellikleri gösteren esnek küme (F,E) olsun. r E F hayı evet ) , ( 1 0 1 e 1 0 2 e 0 1 3 e 0 1 4 e 0 1 5 e 1 0 6 e 0 1 7 e

Bilgisayar kullanan Z bireyinin özelliklerini gösteren esnek küme (G,E) olsun.

r E G hayı evet ) , ( 1 0 1 e 0 1 2 e 0 1 3 e 1 0 4 e 0 1 5 e 0 1 6 e 1 0 7 e Not: (0,1) 7 4_ 

 için eğer S(F,G) ise S(F,E) S(F,G)



 olarak gösterip (F,E) ve (G,E)esnek kümelerinin  benzerliğinin olduğunu kabul edeceğiz.

Bu iki esnek kümenin benzerliği







  i i i i i i e G e F e G e F G F S 2 2 ) ( ) ( ) ( ). ( ) , ( = 7 4 7 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 _ _                   

olduğundan (F,E) ve (G,E) istenilen yeterli benzerliğe sahip değildir. Dolayısıyla Z bireyindeki özelliklerin bilgisayar kullanımı kaynaklı olduğu söylenemez.

(30)

21

3. BULANIK ESNEK KÜMELERDE BENZERLİK ÖLÇÜMÜ 3.1 Bulanık Esnek Kümeler

Bu bölümde Çağman ve ark. (2010a), Çağman ve ark. (2010b) den yararlanılmıştır.

Tanım 3.1.1. U başlangıç evrensel küme ve E parametrelerin kümesi olsun. P(U),

U ’nun bir kuvvet kümesidir ve AEdir. U evrenindeki bir F esnek kümesi _A



(x, f (x)):x E,f (x) P(U)



F_A _A  _A  düzenli sıralı ikililerin kümesiyle

tanımlanmaktadır. Burada f_A:EP(U) yoluyla verilen bir tasvirdir.

A

f , F esnek kümesinin yaklaşık fonksiyonu olarak adlandırılır. U üzerinden tüm _A

esnek kümelerin kümesi S(U) ile gösterilecektir.

Tanım 3.1.2. F_AS(U) olsun. Tüm xE için f_A(x) ise, F , _A F ile gösterilen

bir boş küme olarak adlandırılır. f _A(x), U ’da parametre ile ilişkili olan elemanın

olmadığı anlamına gelmektedir.

Tanım 3.1.3. FAS(U) olsun. Tüm xA için fA(x)U ise, F , A FA~ tarafından

gösterilen A evrensel esnek küme olarak adlandırılır. Eğer AE ise, A evrensel esnek küme F_E~tarafından gösterilen evrensel esnek küme olarak adlandırılır.

Şimdi bulanık esnek kümeyi tanımlayalım.

Bundan sonra, U üzerinden tüm bulanık kümelerin bir kümesi yerineF(U) kullanacağız ve düzeni sağlamak için sırasıyla bulanık esnek kümeler için

C B A  

 , , …sembollerini ve bunların uygun bulanık kümeleri için de _A,_B,_C… sembollerini kullanacağız.

(31)

22

Tanım 3.1.4. U bir başlangıç kümesi olsun. E tüm parametrelerin kümesi ve A E

olsun. U evrenindeki bir _A bulanık esnek kümesi



(x, _A(x)):x E, _A(x) F(U)



A   

  

şeklinde sıralı ikililer tarafından tanımlanmış olur.

Burada her xE için ve eğer xA ise _A(x) gibi _A:EF(U)

 



( )/ : , ( ) 0,1



)

(x  ₍_x₎ u u uU ₍_x₎ u 

A A A

 U üzerinden bir bulanık kümedir.

U üzerinden tüm bulanık esnek kümelerinin kümesi FS(U) olarak gösterilecektir.

Tanım 3.1.5. _AFS(U) olsun. Eğer her xE için _A(x) ise, o zaman_A, 

olarak gösterilen bir boş bulanık esnek küme olarak adlandırılır.

Tanım 3.1.6._AFS(U) olsun. Eğer her xA için _A(x)U ise, o zaman _A, _A~

olarak gösterilen bir evrensel bulanık esnek küme olarak adlandırılır. Eğer AE ise, o zaman bir evrensel bulanık esnek küme _E~ olarak gösterilen evrensel bulanık esnek

küme olarak adlandırılır.

Örnek 3.1.7. U



u₁,u₂,u₃,u₄,u₅



bir evrensel kümesi ve E



x₁,x₂,x₃,x₄



tüm parametrelerin bir kümesi olarak alalım.

ve _B(x₁) , _B(x₃) ise, _B bulanık esnek kümesi, _B _ bir boş bulanık esnek kümedir.

Eğer C



x₁, x₂



ve _C(x₁)U, _C(x₂)U ise, _C bulanık esnek kümesi, _C _C~

(32)

23

Eğer DEve tüm x_i E için _D(x_i)U ise, _D bulanık esnek kümesi _D _E~ bir

evrensel bulanık esnek küme olur.

Tanım 3.1.8. _A, BFS(U) olsun. O zaman A_her xE için A(x)B(x) ise B

A 

 ~ _{olarak gösterilen}

B

 bulanık esnek kümesinin bir bulanık esnek alt kümesi olur.

Not: Klasik alt kümelerin tanımlarında olduğu gibi, _A~ _B _A bulanık esnek kümesinin her elemanının B bulanık esnek kümesinin her elemanı olacağı anlamına

gelmez. Örneğin U 

o zaman her xE için _A(x)_B(x) ifadesi geçerli olur. Böylece _A ~ _B’dir.



u



A

x , 0,,2/ )

( ₁ ₂ olduğu halde (x₁,



0,,2/u₂



)_B dir.

Tanım 3.1.9. _AFS(U) olsun. U



u₁,u₂,,u_m



, E



x₁,x₂,,x_n



ve A E

olduğunu farz edelim. O zaman _A çizelge 3.1.1 biçimde sunulabilir. Çizelge 3.1.1: Bulanık esnek küme gösterimi

A  1 x x ₂  x n 1 u _A(x₁)(u1) _A(x₂)(u1)  _A(x_n)(u1) 2 u ₍ ₎( ₂) 1 u x A   ₍ ₎( ₂) 2 u x A    ₍ ₎(u₂) n A x        m u ₍ ₎( ) 1 m x u A   ₍ ₎( ) 2 m x u A    ₍_x ₎(u_m) n A  

(33)

24

Burada (x) A



 , _Abulanık kümesinin üyelik fonksiyonudur. Eğer i1,2,,m_ve j1,2,,n için a_ij ₍_x₎(u_i)

j A





 , ise, o zaman _A bulanık esnek kümesi bir matris olarak tek biçimde karakterize edilebilir.

 

aij _m__n        1 21 11 m a a a  2 22 12 m a a a            mn n n a a a  2 1

) (x  ₍_x₎ u u uU ₍_x₎ u  B _B _B 

kümesi de U üzerinden bir bulanık kümedir.

O zaman _A, _B bulanık esnek kümeleri arasındaki benzerliği

 





      _    j i i i x i x j i i x i x B A u u u u S j B j A j B j A 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( ). ( ) , (         olarak tanımlarız. Örnek U 



u₁,u₂,u₃



ve E



x₁,x₂,x₃



için ve A  x ₁ x ₂ x ₃ 1 u 0,3 0,4 0,1 2 u 0,2 0 1 3 u 0 0,3 0,2

(35)

26

Bulanık esnek kümelerini

 

           2 , 0 3 , 0 0 1 0 2 , 0 1 , 0 4 , 0 3 , 0 ij a ve

 

           1 8 , 0 3 , 0 1 , 0 9 , 0 2 , 0 0 1 , 0 2 , 0 ij b

matrisleri ile gösterelim. Bu durumda,

 





      _    j i i i x i x j i i x i x B A u u u u S j B j A j B j A 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( ). ( ) , (         67 17 68 , 2 68 , 0   olur. B  x ₁ x ₂ x ₃ 1 u 0,2 0,1 0 2 u 0,2 0,9 0,1 3 u 0,3 0,8 1

(36)

27

3.3 Uygulama

Bilgisayarın çok kullanımının birey üzerindeki etkisini _A bulanık esnek kümesi ile gösterelim. Bilgisayarı çok kullanan bir Z bireyinin özelliklerini ise _B ile gösterelim.

A

 , _B bulanık esnek kümelerinin benzerlik ölçümünü yaparak Z bireyine çok bilgisayar kullanımının ne derecede etki ettiğini hesaplayalım.

Not: (0,1) 7

4  

 için eğer S(_A,_B) ise S(A)S(B)



olarak gösterip,_A ve _B esnek kümelerinin  benzerliğinin olduğunu kabul edeceğiz.

Evrensel küme “kesinlikle var(u ,var₁) (u₂), biraz var(u₃), yok(u₄)” elemanlarını içersin. U 



u1,u2,u3,u4



.

E parametreler kümesi aşağıdaki özellikleri içersin:



1

x sosyal zeka



2

x aile ilişkilerindeki uyum

 3 x obezlik  4 x yaratıcılık  5 x genel kültür  6 x dinamiklik  7

(37)

28 Bu durumda, A  x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ x ₆ x ₇ 1 u 0,2 0,3 0,2 0,4 0,45 0,1 0,1 2 u 0,25 0,35 0,4 0,6 0,7 0,15 0,15 3 u 0,45 0,5 0,55 0,3 0,3 0,25 0,2 4 u 0,75 0,65 0,1 0,1 0,2 0,60 0,4 ve B  x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ x ₆ x ₇ 1 u 0,1 0,7 0,1 0,2 0,4 0,65 0,5 2 u 0,15 0,4 0,3 0,3 0,75 0,2 0,3 3 u 0,3 0,35 0,6 0,5 0,25 0,25 0,15 4 u 1 0,2 0,25 0,7 0,15 0,15 0,1 olup

 





      _    j i i i x i x j i i x i x B A u u u u S j B j A j B j A 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( ). ( ) , (         7 4 1955 1518 8875 , 4 795 , 3 _ _ 

olduğundan _A ve _B istenilen yeterli benzerliğe sahiptir. Dolayısıyla Z bireyindeki özelliklerin bilgisayar kullanımı kaynaklı olduğu söylenebilir.

(38)

29

4. SONUÇ

Bu çalışmada esnek kümeler, bulanık esnek kümeler ve esnek kümelerde benzerlik ölçümü üzerinde çalışılarak bulanık esnek kümelerde benzerlik ölçümü tanımlanmıştır. Uygulamalardan da görüldüğü gibi iki kümeyi karşılaştırmaya gerek duyulduğunda bulanık esnek kümelerdeki benzerlik ölçümü, esnek kümelerdeki benzerlik ölçümünden daha hassastır.

(39)

30

KAYNAKLAR

Çağman, N., Çıtak, F. ve Enginoğlu, S., 2010a. Fuzzy parameterized fuzzy soft set theory and its applications. Turkish Journal of Fuzzy Systems, 1(1), 21-35. Çağman, N. ve Enginoğlu, S., 2010a. Soft set theory and uni-int decision making.

European Journal of Operational Research, 207 848-855.

Çağman, N. ve Enginoğlu, S., 2010b. Soft matrix theory and its decision making. Computers & Mathematics with Applications, 59/10 3308-3314.

Çağman, N. , Enginoğlu, S. ve Çıtak, F., 2010b. Fuzzy soft set theory and its applications. Iranian Journal of Fuzzy Systems (Baskıda).

Deli, İ.,2010. Bulanık parametreli Esnek Küme Ortalamaları ve Uyglamaları (Yüksek Lisans Tezi) Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı.

Dubois, D. ve Prade, H., 1980. Fuzzy Sets and Systems. Theory and Applications, Academic Press, New York.

Enginoğlu, S., 2008. Esnek Kümeler ve Esnek Karar Verme Metotları (Yüksek Lisans Tezi) Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı.

Jun, Y. B., Lee, D. S., Ozturk, M. A., Park, C. H., 2009. Applications of soft sets in rings. Kyoungpook Mathematical Journal.

Karadaş, S., 2004. Fuzzy Ölçüm Metotları (Yüksek Lisans Tezi), Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı.

Kharal, A., 2010. Distance and Similarity Measures for Soft Sets. New Mathematics and Natural Computation.

Kovkov, D. V., Kolbanov, V. M. and Molodtsov, D., 2007. Soft Sets Theory-Based Optimization. Journal of Computer and Systems Sciences International, 46(6), 872-880.

Maji, P. K., Bismas, R. and Roy, A. R., 2003. Soft set theory. Computers and Mathematics with Applications, 45(1), 555-562.

Majumdar, P. And Samanta, S. K., 2008. Similarity measure of soft sets. New Mathematics and Natural Computation, 4(1), 1-12.

Majumdar, P. and Samanta, S.K., 2010. Generalised fuzzy soft sets. Computers and Mathematics with Applications, 59, 1425-1432.

Molodtsov, D., 1999. Soft set theory-first results. Computers and Mathematics with Applications, 37(1), 19-31.

Molodtsov, D., 2004. The Theory of Soft Sets (in Russian). URSS Publishers, Moscow. Roy, A.R., Maji, P.K., 2007. A fuzzy soft set theoretic approach to decision making

problems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 203, 412-418. Xiao, Z., Gong, K., Zou, Y., 2009. A combined forecasting approach based on fuzzy

soft sets. Journal of Computational and Applied Mathematics, 228, 326-333. Xiao, Z., Chen, L., Zhong, B., Ye, S., 2005. Recognition for Soft Information Based on

the Theory of Soft Sets. In Proceedings of ICSSSM-05 (Ed: J. Chen), IEEE, Volume: 2, pp: 1104-1106.

Xu, W., Ma, J., Wang, S., Hao, G., 2010. Vague soft sets and their propertie., Computers and Mathematics with Applications, 59, 787-794.

Yang, X., Yu, D., Yang, J., Wu, C., 2007. Generalization of Soft Set Theory: From Crisp to Fuzzy Case. In Fuzzy Information and Engineering: Proceedings of the