Yerleşmenin Tarihi Gelişimi

Desde os primeiros trabalhos de O'Kelly (1986, 1987), um número cada vez maior de pes- quisadores tem estudado os problemas de sistemas eixo-raio. Alguns exames da literatura (Campbell, 1994a,b; Campbell et al., 2002) têm mostrado a constante evolução das formu- lações e dos métodos de resolução para os problemas da área.

Uma abordagem comum na resolução do problema é a decomposição do mesmo em dois subproblemas. O primeiro envolve encontrar a melhor conguração de concentradores possível; enquanto o segundo identica quais as melhores rotas para enviar os uxos desde as origens até os destinos, através da estrutura de concentradores propostas. Nesse sentido, alguns métodos heurísticos e exatos se destacam na literatura.

Klincewicz (1991) propõe duas heurísticas diferentes e uma meta-heurística, busca tabu, para achar boas soluções para o problema em um tempo computacional relativamente curto para a época. Skorin-Kapov e Skorin-Kapov (1994) propõem um algoritmo também baseado em busca tabu, porém mais eciente do que o proposto por Klincewicz. Em seu trabalho, Aykin (1994) desenvolve um método de enumeração para abordar o que viria a ser sua formu- lação (Aykin, 1995). Campbell (1996), por sua vez, apresenta uma heurística de troca gulosa que obtém bons resultados em face aos tempos computacionais apresentados. Usando simu- lated annealing para obter limites superiores dentro de um algoritmo de branch-and-bound, Ernst e Krishnamoorthy (1996) obtêm resultados muito bons a um tempo computacional muito baixo.

Em relação aos métodos exatos, Klincewicz (1996) é um dos primeiros autores a abordar o problema sob uma visão de otimalidade ou ε-ótimo; em oposição à grande maioria dos métodos heurísticos presentes na literatura (Campbell et al., 2002). Isso é parcialmente ex- plicado pelo número relativamente grande de variáveis, isto é, variáveis com quatro índices, e da proximidade da área com o problema quadrático de atribuição O'Kelly (1987). Klincewicz, usando a formulação de Campbell (1996), desenvolve uma Relaxação Lagrangeana baseada no método de aproximação de subida dual (dual ascent approximation). Pirkul e Schilling (1998) também desenvolvem uma Relaxação Lagrangeana ajustando os multiplicadores via subgradiente, porém o fazem usando a formulação de Skorin-Kapov et al. (1996). Mais re- centemente, Mayer e Wagner (2002) empregam o método de Klincewicz (1996) na formulação de Skorin-Kapov et al. (1996) obtendo um desempenho muito superior ao conseguido por Klincewicz.

Conforme mostrado por O'Kelly e Bryan (1998), o uso de um fator constante de desconto (o parâmetro α) para representar os efeitos de economia de escala é uma simplicação míope da realidade. Essa simplicação permite soluções ótimas com uxos muito pequenos e descontos grandes nas conexões entre concentradores; contrariando assim as aplicações reais, nas quais o desconto oferecido depende da quantidade de uxo sendo transportado entre concentradores. Com o objetivo de evitar esse tipo de soluções, O'Kelly e Bryan propõem então uma formulação, conhecida como FLOWLOC (veja o capítulo 4), na qual o fator constante de desconto é substituido por uma função côncava linear por partes e dependente da quantidade de uxo presente nas conexões entre concentradores.

Em razão do baixo desempenho computacional da formulação FLOWLOC proposta por O'Kelly e Bryan (1998), Klincewicz (2002) desenvolve um algoritmo de enumeração implícita e duas heurísticas, uma baseada no procedimento de busca aleatória adaptativa gulosa (GRASP) e outra em uma busca tabu. Klincewicz demonstra que, para uma dada conguração de concen- tradores instalados, o problema pode ser transformado em um problema clássico de localização de facilidades não capacitadas. Resultados desanimadores são apresentados para instâncias com até 25 pontos de demanda e com diferentes parâmetros para a função côncava.

Uma formulação mais elaborada é proposta por Racunica e Wynter (2005). Racunica e Wynter propõem um modelo não-linear com funções côncavas de desconto para todas as conexões da rede e linearizado por um número muito grande de variáveis inteiras, mesmo para instâncias de

pequeno porte. A heurística proposta apresenta baixa eciência, como mostrado nos poucos resultados computacionais realizados.

Os efeitos de congestionamento são outra consideração importante a ser observada no desenho de sistemas eixo-raio. Grove e O'Kelly (1986) são um dos primeiros a apresentar como os atrasos nos sistemas aéreos do tipo eixo-raio são inuenciados pela quantidade de uxo que passa através de um concentrador (congestionamento). Através da simulação em uma estrutura de concentradores dada, Grove e O'Kelly calculam o atraso médio ocorrido quando o uxo no sistema é aumentado. Um outro trabalho envolvendo congestionamento é o de Marianov e Serra (2003).

Marianov e Serra modelam as redes eixo-raio aéreas como uma rede de las M/D/c, pro- pondo restrições de capacidade baseadas na probabilidade de clientes estarem esperando no sistema. Devido à complexidade dessas restrições, os autores propõem uma linearização, re- solvendo a formulação resultante por um algoritmo de busca tabu. Marianov e Serra propõem também uma formulação para alocação de servidores (pistas de pouso) em cada concentrador instalado, porém não apresentam nem resultados de desempenho computacional, nem méto- dos de resolução para a mesma. Ainda usando os conceitos de teoria das las, Kara e Tansel (2003) propõem duas formulações lineares interessantes que minimizam os atrasos excessivos, computando para tal os tempos de tráfego e de transiente durante a carga e descarga nos concentradores.

Muitos pesquisadores abordam ainda os efeitos de congestionamento através de restrições de capacidade de uxo (Aykin, 1994; Ernst e Krishnamoorthy, 1999; Ebery et al., 2000). Essa simplicação é feita para facilitar o uso de algoritmos do tipo branch-and-bound e heurísticas de caminho mínimo. Contudo, as soluções obtidas por essas formulações e por esses métodos nem sempre captam com exatidão a natureza exponencial dos efeitos de congestionamento, isto é, quanto maior o congestionamento, maiores são os custos envolvidos.

Elhedhli e Hu (2005) são um dos primeiros autores a considerarem os efeitos de conges- tionamento explicitamente na função objetivo do problema de localização de concentradores com atribuição simples. Através de uma função convexa (lei de potência) usada por órgãos gestores de sistemas de transportes (Gillen e Levinson, 1999), que estima os custos de atraso em função do uxo que passa pelos concentradores instalados, Elhedhli e Hu apresentam uma formulação não-linear, seguido de uma linearização e resolução por Relaxação Lagrangeana. Devido a exibilidade da abordagem, outras funções convexas de congestionamento podem ser utilizadas, como por exemplo, a função apresentada por Kleinrock (1993), muito empregada em redes de telecomunicações.

Os algoritmos de resolução propostos neste trabalho são todos baseados no método de decomposição de Benders (Benders, 1962), assunto da próxima seção 2.5.