Aşağıda yerel olmayan elastisite teorisi için sonlu elemanlar yöntemi ile kirişlerin analizi ile ilgili literatür özeti yer almaktadır.
Phadikar ve Pradhan (2010), en genel halde kirişlerin ve plakların eğilme, titreşim ve burkulması için sonlu elemanlar formülasyonunu geliştirmişlerdir. Pradhan ve Mandal
26
(2013), yerel olmayan Timoshenko kiriş modelini kullanarak ve sonlu elemanlar formülasyonundan yararlanarak karbon nanotüplerde sıcaklık etkisini incelemişlerdir.
Eltaher vd. (Eltaher vd. 2013a; Eltaher vd. 2013b; Eltaher vd. 2012, 2013c; Mahmoud vd. 2012), yerel olmayan Euler-Bernoulli kiriş modelini ile fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler (Eltaher vd. 2013a; Eltaher vd. 2012, 2013c) ve izotropik malzemelerden (Alshorbagy vd. 2013; Eltaher vd. 2013b) yapılmış nanokirişler için yerel olmayan sonlu elemanlar geliştirdiler. Euler-Bernoulli kiriş elemanı, dört serbestlik derecesine ve iki düğüm noktasına sahiptir; burada, eksenel ve enine yer değiştirmeler için sırasıyla Lagrange ve Hermite kübik interpolasyon fonksiyonları kullanılmıştır. Eltaher vd. (2013b) fonksiyonel derecelendirilmiş kirişlerin serbest titreşim problemi, Eltaher vd. (2013c) ise fonksiyonel derecelendirilmiş nanokirişlerin eğilme ve burkulma problemlerini araştırmışlardır. Alshorbagy vd. (2013) izotropik nano kirişlerin statik eğilmesini çalışmışlardır.
Demir ve Civalek (2013), mikrotüpçüğü Eringen’in yerel olmayan elastisite teorisine göre çubuk olarak modelleyerek sonlu elemanlar yöntemi ile ve analitik olarak çözümünü gerçekleştirmişlerdir. Ayrıca faz hızı ve grup hızı gibi kavramları da küçük ölçek etkisini de dikkate katarak irdelemişledir. İki tarafı ankastre ve tek tarafı ankastre tek tarafı serbest çubuklar için değişik küçük ölçek parametresinin eksenel ve burulmalı titreşim frekanslarını nasıl değiştirdiği üzerinde durulmuştur. Her iki mesnet koşulunda da eksenel titreşimin frekansının burulmalı titreşime göre daha fazla olduğu ayrıca küçük ölçek etkisinin frekansı düşürdüğü sonucuna varılmıştır. Sürekli modele göre sonlu elemanlar yönteminin frekansları daha yüksek olmakla birlikte eleman sayısı artırıldıkça sonlu elemanlar yöntemi sonuçları analitik çözüm sonuçlarına yaklaşmaktadır.
Adhikari vd. (2013), Sönümlü nano çubukların serbest ve zorlanmış eksenel titreşimlerini incelemişlerdir. İki farklı sönümleme tipine göre çalışmışlardır. Zorlanmış titreşim tepkisini elde etmek için frekansa bağlı bir dinamik sonlu elemanlar yöntemi geliştirilmiştir. Dinamik rijitlik matrisini elde etmek için frekansa uyarlanabilir kompleks değerli şekil fonksiyonları önerilmiştir. Yerel olmayan çubuğun rijitlik ve kütle matrisleri de klasik sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Dinamik sonlu elemanlar yöntemi ile klasik sonlu elemanlar yöntemi sonuçları karşılaştırılmıştır. Bir asimptotik analiz kullanılarak, klasikten farklı olarak, yerel olmayan bir çubuğun maksimum bir kesme frekansı olduğu gösterilmiştir. Sönümsüz ve sönümlenmiş sistemler için bu maksimum frekans için yerel olmayan parametrenin bir fonksiyonu olarak kapalı formlu bir tam ifade elde edilmiştir. Önerilen dinamik sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak elde edilen frekans tepki fonksiyonu, maksimum frekansın yakınında son derece yüksek modsal yoğunluğu göstermektedir.
de Sciarra ve Barretta (2014), yerel olmayan Euler-Bernoulli kiriş teorisi ile izotropik nanokirişlerin statik eğilme analizini yerel olmayan elastisite teorisine göre gerçekleştirmiştir. Kullandığı eleman, iki düğüm noktasına ve 6 serbestlik derecesine sahiptir. Bu çalışmada yüksek dereceli şekil fonksiyonları kullanmışlardır. Kullandıkları şekil fonksiyonu ile eğilme davranışını doğru bir şekilde elde ettiklerini söylemişlerdir. Bu yöntemle tek tarafı ankastre mesnetli kirişe yapılan tekil yüklemede hem yüklemeden önceki kısmın hem de yüklemeden sonra kısmın küçük ölçek parametresinden etkilendiğini vurgulamışlardır. Bu gözlem var olan sonlu elemanlar yöntemi ve analitik
27
yöntemlere göre farklıdır çünkü var olan yöntemlerde yerel olmayan etkinin tekil yüklemeden sonra çıktığı savunulmaktadır.
Nguyen vd. (2015), izotropik nano kirişlerin statik eğilme analizi için yerel olmayan karışık bir element geliştirdi. İki düğümlü elemana sahiptir ve hem deplasman hem de eğilme momenti için Lagrange interpolasyon işlevlerine dayanılarak oluşturulmuştur. Karışık eleman, tek tarafı ankastre mesnetli kirişe uygulanan tekil yükün her iki tarafındaki yerel olmayan etkiyi de yakalayabilmektedir. Civalek ve Demir (2016), sonlu elemanlar yöntemi ile mikrotüpçüklerin Winkler tipi zemin modeli ile burkulması ile ilgili çalışmışlardır.
Eltaher vd. (2016a) nanomekanik bir kütle sensörü olarak karbon nanotüplerin potansiyel uygulamasını araştırmak için basitleştirilmiş bir yerel olmayan sonlu eleman formülasyonu sunmaktadır. Demir ve Civalek (2017) sonlu elemanlar yöntemi ile Pasternak zemin üzerindeki nano kirişin sıcaklık etkisi ile titreşimini Euler-Bernoulli kiriş teorisinden yararlanarak incelemişlerdir. Bütün etkilerin sonlu elemanlarla matrislerini teker teker sunarak hem boyutsuz formda hem de silisyum karbür üzerinde değişik parametlerin frekansa etkisi araştırılmıştır.
Yukarıda belirtilen çalışmalarda yerel olmayan Euler-Bernoulli kiriş teorisine göre yapılan çalışmalardır. Buna ek olarak, yerel olmayan nanotüplerde kayma deformasyon etkisini elde etmek için yerel olmayan Timoshenko kiriş teorisi geliştirildi. Reddy ve El-Borgi (2014) yerel olmayan elastisite teorisine göre Euler-Bernoulli ve Timoshenko kiriş teorisi yardımıyla doğrusal olmayan eğilme denklemlerini ve sonlu eleman formülasyonunu geliştirmişlerdir. Deplasmanların mesnet koşullarına ve uygulanan yüklemeye bağlı olduğundan bahsedilmiştir. Genel olarak yerel olmayan etkinin kiriş rijitliğini azaltma eğiliminde olduğu vurgulanmıştır.
Tek bir ilave parametre ile sonuçları moleküler dinamik ve atomistik sonuçlara çok yakın olarak tahmin edebilen yerel olmayan elastisite teorisi ile literatürde oldukça fazla çalışma bulunmaktadır. Yakın zamanda eğilme, burkulma ve titreşim için yapılan çalışmaları toplu olarak sunan makaleler ön plana çıkmaya başlamıştır (Arash ve Wang 2012; Eltaher vd. 2016b; Thai ve Kim 2015; Thai vd. 2017)