Uyar 5.1.5. 𝜀 eliptik e risi t pk Ed ards modelindeki gibi nemli bir simetri
elli ine sahiptir. le ki e er 𝑥, 𝑦 noktas 𝜀 n n bir eleman sa 𝑦, 𝑥 noktas nda 𝜀 e risinin bir eleman d r.
Teorem 5.1.6 (Fouotsa ve Diao 2017). 𝑜0= 2 0
2c
c , 1 de lik eleman olmak ere
ikili olmayan cisim erinde tan ml 𝜀 eliptik e risi bir ras onel olarak 𝐸𝑐: 𝑥2 𝑦2 𝑐2 1 𝑥2 𝑦2
Edwards modeline denktir.
spat. φ 𝜀 → 𝐸𝑐 d n m 𝑥, 𝑦 ↦ 𝑥+1 𝑥−1 , 1+ 1− 2 0 2c c , 1 ↦ 0,1
1, 2
0
2c
c ↦ 1,0
olarak tan mlans n.
d n m 𝑐 0 2 0 2 2 2 c c
c c olmak ere 𝜀 e risini 𝐸𝑐: 𝑥2 𝑦2 𝑐2 1 𝑥2𝑦2
Edwards modeline resmeder. 𝑜0= 2
0
2c
c , 1 etkisi eleman d nda 𝜀 : 1 𝑥
2 𝑦2 𝑥2𝑦2 𝜆𝑥𝑦 eliptik
e risi 3 tane 2-torsiyon rasyonel noktaya sahiptir. Ve bunlar 𝜆 2𝑐
𝑐 olmak ere 𝑃2 1 , 1 𝑃3 𝜆, 1 ve 𝑃4 1 , 1 noktalar d r.
Bunun an s ra 𝜀 eliptik e risi 𝐹𝑞 erinde ras onel olan Q1 1, 𝜆 , Q2
1,1 Q3 1, 𝜆 ve Q4 1, 1 gibi 4 tane 4-torsiyon noktas na sahiptir. 2 mertebeli ve 4 mertebeli rasyonel mertebelerin etkileri
𝑥, 𝑦 𝑄0 𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦 𝑃3 𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦 𝑄1 1, 𝑥 𝑥, 𝑦 𝑄3 1 , 𝑥 𝑥, 𝑦 𝑃2 1 𝑥, 1 𝑥, 𝑦 𝑃4 1 𝑥, 1 𝑥, 𝑦 𝑄2 𝑦,1 𝑥 𝑥, 𝑦 𝑄4 𝑦, 1 𝑥 eklindedir.
22
Uyar 5.1.7. E er 𝐹𝑞 bir ikili cisimse bu durumda 𝑃3 𝑜0 , 𝑃4 𝑃2, 𝑄3 𝑄1 ve 𝑄4 𝑄2 dir. stelik 𝜀 eliptik e risi erindeki ras onel noktalar n sa s 4 ile b l nebilir.
5.2. Weierstrass Modelleri ile Bir Rasyonel Denklik
Teorem 5.2.1 (Fouotsa ve Diao 2017). 𝜀 : 1 𝑥2 𝑦2 𝑥2𝑦2 𝜆2𝑥𝑦 eliptik
e risi karakteristi i 𝑝 0 olan bir 𝐹𝑞 sonlu cismi erinde tan ml bir eliptik e ri olsun.
1.) p 2 ise bu durumda 𝜀 bir k bik Weierstrass modele bir rasyonel olarak denktir.
2.) p = 2 ise bu durumda 𝜀 eliptik e risi bir ras onel olarak 𝑣2 𝑢𝑣 𝑢3 1/𝜆4
Weierstrass modeline denktir.
Karakteristi i 2 olan cisimler i in 𝜀 modeliyle Weierstrass modeli aras ndaki bir ras onel d n m ve bunun tersi a a daki gibi verilmi tir.
Sonuç 5.2.2 (Fouotsa ve Diao 2017). 𝜀 : 1 𝑥2 𝑦2 𝑥2𝑦2 𝜆2𝑥𝑦 eliptik e risi ikili olmayan bir 𝐹𝑞 cismi erinde tan mlanm olsun. Bu durumda 𝜀 𝑗 invar ant
𝑗 𝑐 −4 𝑐 𝑐 + 8 𝑐 𝑐 +16𝑐 𝑐 +16 𝑐 𝑐 +4 𝑐 𝑐 +8 𝑐 𝑐 −16𝑐 𝑐 +16 𝑐
𝑐 𝑐 𝑐 −2 𝑐 𝑐 +2 𝑐 𝑐 +4 𝑐
olur.
5.3. Yeni Theta Modeli Üzerinde Nokta Toplam Form lleri
Bu k s mda 𝜀 : 1 𝑥2 𝑦2 𝑥2𝑦2 𝜆2𝑥𝑦 eliptik e risi erinde nokta toplam form llerini elde edebilmek i in sevi e d rt theta modeli erinde toplama form llerini kullanaca .
Teorem 5.3.1. 𝑥1, 𝑦1) ve 𝑥2, 𝑦2) 𝜀 erinde iki nokta olsun. Bu durumda 𝑥3, 𝑦3 𝑥1, 𝑦1 𝑥2, 𝑦2) olacak ekilde 𝑥3, 𝑦3 noktas n n koordinatlar a a daki gibi verilir. 𝑥3, 𝑦3
𝑐0 𝑥1 𝑦1𝑥2𝑦2 2𝑐2 𝑦1 𝑥1𝑥2𝑦2 𝑐0 𝑦2 𝑥1𝑦1𝑥2 2𝑐2 𝑥2 𝑥1𝑦1𝑦2 ,
𝑐0 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2 2𝑐2 𝑥1𝑦2 𝑦1𝑥2 𝑐0 1 𝑥1𝑦1𝑥2𝑦2 2𝑐2 𝑥1𝑦1 𝑥2𝑦2
𝑥1, 𝑦1) noktas n n tersi ise 𝑥1, 𝑦1 𝑥1, 1 dir.
Karakteristi i 2 olan cisimler erinde 2 noktan n toplam i in koordinatlar mod 2 deki indirgeme ard m la elde edilir.
𝑥1, 𝑦1 𝑥2, 𝑦2 𝑥 + 𝑥
+𝑥 𝑥 , 𝑥 𝑥 +
1+𝑥 𝑥 5.1
Uyar 5.3.2. Yukar da verilen nokta toplam form lleri herhangi bir cisim erinde birle tirilebilir. Yani toplam form lleri bir noktan n iki kat n hesaplamak i in de ge erlidir. 𝑥2, 𝑥1 erinde ve 𝑦2, 𝑦1 ile de i tirilerek verilen bir 𝑥1, 𝑦1 noktas n n iki kat a a daki gibi bulunur.
2 𝑥1, 𝑦1 𝑐0𝑥1 1 𝑦12 2𝑐2𝑦1 1 𝑥12 𝑐0𝑦1 1 𝑥12 2𝑐 2𝑥1 1 𝑦12 , 𝑐0 𝑥1 2 𝑦 12 4𝑐2𝑥1𝑦1 𝑐0 1 𝑥12 𝑦 12 4𝑐2𝑥1𝑦1 5.2
ikili cisimlerde (5.1) ve (5.2) form lleri ard m la 𝑥1, 𝑦1 noktas n n iki kat
2 𝑥1, 𝑦1 𝑥1 1 𝑦1 2 𝑦2 1 𝑥1 2 , 𝑥1 𝑦1 2 1 𝑥1𝑦1 2 olarak bulunabilir.
24
6. YEN MODELDE TOPLAM FORMÜLLER N HESAPLAMA MAL YETLER
Bu b l mde sonlu cisim erinde tan ml eni model i in hem afin hem de projektif koordinatlardaki toplam form llerinin mali etlerini bulaca . Burada nceki b l mdeki i lemlere ilaveten I ile tersinme g sterilmektedir. Afin koordinatlarda 𝑥1, 𝑦1 ve 𝑥2, 𝑦2 𝐹𝑞 cismi erinde tan ml 𝜀 : 1 𝑥2 𝑦2 𝑥2𝑦2 𝜆2𝑥𝑦 eliptik
e risi iki nokta olsun. A a daki form ller 𝑥3, 𝑦3 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 elli indeki
𝑥3, 𝑦3 noktas n hesaplama a arar.
𝐴 𝑥1. 𝑦1 ; 𝐵 𝑥2. 𝑦2 ; 𝐶 𝑥1 𝑦1. 𝐵 ; 𝐷 𝑦1 𝑥1. 𝐵; 𝐸 𝑦2 𝑥2. 𝐴 ; 𝐹 𝑥1 𝑦1. 𝐴 ; 𝐺 𝐴 𝐵 ; 𝐻 𝑥1 𝑦2 . 𝑥2 𝑦1 𝐺 ; 𝐼 𝑥1 𝑦1 . 𝑥2 𝑦2 𝐻 ; 𝐽 1 𝐴. 𝐵 ; 𝑥3 𝑐0. 𝐶 2𝑐2. 𝐷 / 𝑐0. 𝐸 2𝑐2. 𝐹 ; 𝑦3 𝑐0. 𝐻 2𝑐2. 𝐼 / 𝑐0. 𝐽 2𝑐2. 𝐺
Bu form ller ikili olma an cisimler erinde 2𝐼 9𝑀 8𝑚 maliyete sahiptir. kili cisimler erinde ise mali et 2𝐼 5𝑚 eklindedir. Bir noktan n tersini alman n bir tersinme maliyetindedir, bu ise olduk a pahal bir i lemdir. Bununla beraber 𝑥1, 𝑦1 ve 𝑥2, 𝑦2 gibi iki noktan n toplam ve fark a n mali ete sahiptir. Ger ekten de bu iki noktan n fark n 𝑥4, 𝑦4 ile g sterirsek 𝑥4, 𝑦4 𝑥1, 𝑦1 𝑥2, 𝑦2 noktas a a daki
form l ard m la hesaplan r. 𝑥4, 𝑦4
𝑐0 𝑥1𝑦2 𝑦1𝑥2 2𝑐2 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2 𝑐0 1 𝑥1𝑦1𝑥2𝑦2 2𝑐2 𝑥1𝑦1 𝑥2𝑦2
,𝑐0 𝑦1 𝑥1𝑥2𝑦2 2𝑐2 𝑥1 𝑦1𝑥2𝑦2 𝑐0 𝑦2 𝑥1𝑦1𝑥2 2𝑐2 𝑥2 𝑥1𝑦1𝑦2
Nokta toplam n hesaplamada kullan lan 8 polinomu tekrar ele alal m. 𝐹1 𝑥1 𝑦1𝑥2𝑦2 , 𝐹2 𝑦1 𝑥1𝑥2𝑦2 , 𝐹3 𝑦2 𝑥1𝑦1𝑥2, 𝐹4 𝑥2 𝑥1𝑦1𝑦2 , 𝐹5 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2 , 𝐹6 𝑥1𝑦2 𝑦1𝑥2,
o halde ukar da verilen form ller a a daki gibi tekrar a labilir: 𝑥1, 𝑦1 𝑥2, 𝑦2 𝑐0𝐹1 2𝑐2𝐹2 𝑐0𝐹3 2𝑐2𝐹4 , 𝑐0𝐹5 2𝑐2𝐹6 𝑐0𝐹7 2𝑐2𝐹8 , 𝑥1, 𝑦1 𝑥2, 𝑦2 𝑐0𝐹6 2𝑐2𝐹5 𝑐0𝐹7 2𝑐2𝐹8 , 𝑐0𝐹2 2𝑐2𝐹1 𝑐0𝐹3 2𝑐2𝐹4 .
6.1. Projektif Koordinatlarda Hesaplamalar
𝑡 𝑥𝑦 gibi eni bir koordinat tan mla arak 𝜀 eliptik e risi ℙ2 projektif u a na
g meri . Daha etkili hesaplama apabilmek i in bir noktan n iki kat n alma ve iki noktan n toplam n hesaplamada Hisil ve arkada lar n n (2009) akla m n kullanaca . le ki burada 𝑧 0 ve 𝑥 𝑋/𝑍 , 𝑦 𝑌/𝑍 , 𝑡 𝑇/𝑍 , 𝑇 𝑋. 𝑌/𝑍 olmak ere 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑇 ∈ ℙ3 geni letilmi projektif koordinatlar n bulal m. ℙ3 teki
tan ml bir e rinin projektif kapan m
𝑍2 𝑋2 𝑌2 𝑇2 𝜆2. 𝑇. 𝑍 olur. 6.1.1. Nokta Toplam 𝑋3, 𝑌3, 𝑇3, 𝑍3 𝑋1, 𝑌1, 𝑇1, 𝑍1 𝑋2, 𝑌2, 𝑇2, 𝑍2 noktas n n koordinatlar 𝑋3 𝑋1.𝑍2 𝑌1. 𝑇2 . 𝑍1. 𝑍2 𝑇1. 𝑇2 𝑌3 𝑋1. 𝑋2 𝑌1. 𝑌2 . 𝑍1. 𝑌2 𝑋2. 𝑇1 𝑍3 𝑍1. 𝑍2 𝑇1. 𝑇2 . 𝑍1. 𝑌2 𝑋2. 𝑇1 𝑇3 𝑋2. 𝑍2 𝑌1. 𝑇2 . 𝑋1. 𝑋2 𝑌1. 𝑌2
𝑋3 hesaplaman n mali eti 5𝑀 dir. Ger ekten de 𝑋1.𝑍2, 𝑌1. 𝑇2, 𝑍1. 𝑍2, 𝑇1. 𝑇2 ve ara
arp md r. Ben er gerek e 𝑌3 noktas i inde ge erlidir. 𝑍3 ve 𝑇3 hesaplaman n maliyeti 1𝑀 olup 𝑋3 ve 𝑌3 hesaplan rken bu arp mlar aten hesapland ndan toplam maliyet 12𝑀 kar.
26
6.1.2. Bir Noktan n ki Kat n Alma
𝑋3, 𝑌3, 𝑇3, 𝑍3 2. 𝑋1, 𝑌1, 𝑇1, 𝑍1 noktas n n koordinatlar :
𝑋3 𝑋1.𝑍1 𝑌1. 𝑇1 . 𝑍1 𝑇1 2
𝑌3 𝑌1. 𝑍1 𝑋1. 𝑇1 . 𝑋1 𝑌1 2
𝑍3 𝑌1. 𝑍1 𝑋1. 𝑇1 . 𝑍1 𝑇1 2
𝑇3 𝑋1. 𝑍1 𝑌1. 𝑇1 . 𝑋1 𝑌1 2
olarak elde edilir.
𝑋3 n hesaplanmas n n mali eti 3𝑀 1𝑆 dir. Ger ekten de
𝑋1. 𝑍1 , 𝑇1. 𝑌1 , 𝑋1 𝑌1 2 dir. Ben er i lemler 𝑌
3 i in de ge erlidir. 𝑍3 ve 𝑇3 n
hesaplanmas n n her biri 1𝑀 maliyetine sahiptir ve bu arp mlar 𝑋3 ve 𝑌3 n hesaplanmas nda aten kullan lm t r. O halde bir noktan n iki kat n n alman n toplam maliyeti 8𝑀 2𝑆 dir.
7. MAL YET KAR ILA TIRMALARI LE SONUÇ VE TARTI MA
Bu b l mde ikili cisimler erinde toplam form llerini kar la t raca . A a daki i elge (Fouotsa ve Diao 2017) de er almaktad r.
Modeller ki Kat n Alma Toplama
Weierstrass 7M + 3S 14M + 1S
Yeni theta modeli 8M + 2S 12M
4 seviyeli theta modeli 3M + 6S + 2m 7M + 2S + 2m
kili Edwards 2M + 5S + 2m 16M + 1S + 4m
Çizelge 7.1. e itli modellerin mali et kar la t rmalar
Yeni kriptosistemlerin olu turulmas i in gerekli motivas on daha h l ve daha g venli ifreleme istenmesinden sa lanmaktad r. Bu nedenle literat rde s rekli eni al malar eklenmekte olup rne in ikili cisimler erindeki en g ncel al malar (Kohel 2012) ve (Kohel 2017) olmu tur.
i elge 7.1 ikili sa cisimleri erindeki sistemleri kar la t rmaktad r. e itli modellerle ilgili kar la t rmalar i in (H l 2010), (Fouotsa ve Diao 2017), (Diao ve Fouotsa 2015) ve (Cohen ve Fre 2006) ka naklar incelenebilir. Modeller aras nda kar la t rma aparken do al olarak tek kriter mali et hesaplar de ildir, ba ka fakt rler de g n nde bulundurulmal d r. (Foutosa ve Diao 2017) al mas ndaki temel ama theta fonksi onlar ile eliptik e riler aras ndaki ili ki i grup ap s n koru arak vermek oldu u i in mali et hesaplar ikinci planda kalm t r, bu nedenle yeni theta modelinin toplamada 4 sevi eli theta modelinden bira daha ava olmas bu nedene ba lanabilir. i elge 7.1 kare alma i lemi olan S nin arpma i lemi olan M e g re ok daha a mali etli bir i lem oldu u dikkate al narak incelenmelidir.
Sadece ikili cisimler de il, karakteristi i tek sa olan cisimler erinde tan ml eliptik e riler, grup ap s ve etkili hesaplama la ilgili olarak geni kapsaml bir al ma
28
(H l 2010) doktora te i olup ilgili te in 112. sa fada eliptik e rilerin farkl modellerinin mali et kar la t r lmalar ap lm t r.
KAYNAKLAR
Bernstein, D., Lange, T., (2007) Faster Addition and Doubling on Elliptic Curves, ASI- ACRYPT, 29-50.
Bernstein, D. J., Lange, T., Farashahi, R., Binary Edwards curves. In: Cryptographic Hardware and Embedded Systems CHES.(2008), 10th International Workshop, Washington, D.C., USA, August 10-13, (2008). Proceedings, Lecture Notes in
Computer Science, pp. 244 265. Springer.
Kohel, D., (2012) Efficient Arithmetic in Elliptic Curves in Characteristic 2, INDOCRYPT 2012.
Kohel, D., (2017) Twisted 𝜇4 Normal Form for Elliptic Curves, EUROCRYPT 2017. Cohen, H., Frey, G., (2006) Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve
Cryptography, Chapman&Hall/CRC.
Diao, O., Fouotsa, E., (2015) Arithmetic of the Level Four Theta Model of Elliptic Curves, Afr. Math. 26:283-301.
Edwards, H., (2007) A Normal Form for Elliptic Curves, Bulletin of the American
Mathematical Society. 44(3): 393-422.
Fouotsa, E., Diao, O.,(2017) A Theta Model for Elliptic Curves. Mediterr. J. Math., 14:65, DOI: 10.1007/s00009-017-0840-y1660-5446/17/020001-16.
H s l, H., Koon-Ho, W., Carter, K., Dawson, G., Eds (2009) Jacobi Quartic Curves Revisited, Information Security and Privacy, 14th Australasian Conference, ACISP 2009, Brisbane-Avustralya, Springer, Proceedings, Lecture Notes in
Computer Science, 452-468.
H l, H., Elliptic Curves, Group Law and Efficient Computation. Quennsland University of Technology, Avustralya, Doktora Tezi.
Mumford, D., (1966) On the Equations Defining Abelian Varieties-I, Inventiones Math., 1, 287-354
Mu , K., (2009) Eliptik E ri Kriptolojisi i in Alternatif bir Eliptik E ri Formu: Ed ards E rileri. Orta Do u Teknik niversitesi, Y ksek Lisans Te i.
Smart, N. P., (2001).The Hessian form of an elliptic curve. In: Cryptographic Hardware and Embedded Systems CHES (2001), Third International Workshop, Paris, France, May 14 16, , Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, 118 125.
Springer.
ÖZGEÇM Ki isel Bilgiler Ad So ad Do um Yeri ve Tarihi E itim Durumu Lisans renimi Bildi i Yabanc Diller
Deneyimi al t Kurumlar leti im: Adres E-posta Adresi : Ba ram Ya ar : K r ehir / 1989
: Ad aman niversitesi, Matematik : ngili ce
: el stanbul Temel Lisesi Kavram Koleji
stanbul Kurs Merke i
: Osmangazi/Bursa
: bayrammatematik40@gmail.com