Bazı Yardımcı Sonuçlar

Bu kısımda G operatörlerinin bazı özellikleri ile ilgili Lemmalar vereceğiz. _n

Lemma 3.1: pN olsun. O halde en az birM3

 

p >0 sabiti vardır öyle ki; her

26

27

olur. Buradaki son integralde xy değişken değiştirmesi yapılırsa t

 

eşitsizliği bulunur. Bu eşitsizlikte

28

şeklinde yazılabileceğinden bu değer (3.16) da yerine yazılırsa

     

yazılabilir. Buradan

   

3

 

olarak elde edilir.

Bu eşitsizlikler ve (3.9) eşitliği (3.14) eşitsizliğini verir. (3.1), (3.8) ve (3.9)

yazılabilir. Eşitliğin her iki tarafının mutlak değeri alınırsa

29

olur. Buradan

         

gösterilmek istenirse

0

eşitsizliği sağlanır.

(3.8) eşitliğinden x  ve 0 p r, N için

30

olduğu açıktır. Yani;

   

eşitsizliği daha da büyüterek



^p

 

^x



^{2 4 1}



^x2p



bulunur. Ayrıca

31

olarak elde edilir.

Hölder eşitsizliği, (3.6), (3.8), (3.14) ve (3.18) formüllerini kullanılarak aşağıdaki iki lemma verilebilir.

Lemma 3.2: Her rN için sabit bir M4

 

r >0 sayısı vardır. Öyle ki x  , 0 n2r olmak üzere



^r;



⁴

^{ }

^{r/ 2 r}

Gn tx x M r n^ x

eşitsizliği sağlanır.

İspat: x  , 0 n2r olsun.



^r;

 

^r.1;



n n

G tx x G tx x

şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğe Hölder eşitsizliği uygulanırsa

   ^{ }  ^{ }

elde edilir. (3.6) eşitsizliğinden,

32

bulunur ve ispat tamamlanır.

Lemma 3.3: p r, N olsun. Öyleyse sabit bir M5



p r ,



0sayısı vardır. Öyle ki

eşitsizliği sağlanır.

İspat: (3.18) eşitsizlikleri göz önüne alınırsa

       

yazılabilir. Bu eşitsizliğe Hölder eşitsizliği uygulanırsa,

33 eşitsizliğinin sağ tarafının supremumu alınarak eşitsizlik daha da büyütülebilir.

2

 olduğundan ondan daha büyük bir değer olan 1 alınırsa,

       

bulunur ve ispat tamamlanır.

Şimdi G_{n p;} operatörleri için aşağıdaki Lemma verilebilir.

Lemma 3.4: pN olsun. Öyleyse sabit bir M6

 

p 0 vardır. Öyle ki her f C^p

34 eşitsizliği sağlanır.

İspat: f C_p , pN ise, öyleyse 0 j p olmak üzere ^{ j}

eşitliğinden yola çıkılarak bu eşitliğin her iki tarafının mutlak değeri alınırsa

 

elde edilir ve eşitliğin sağ tarafının supremumu alınırsa,

 

^{ }

35

eşitsizliği bulunur ve bu eşitsizliğe Lemma 2 ve Lemma 3 uygulanırsa,

   

^{ }

 

yazılabilir. Bu bulunan eşitsizliğin her iki tarafınında supremumu alınırsa ve 1 /n^j/ 21 olduğu için bunun yerine onun en büyük değeri olan 1 alınırsa,

elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.

(3.11), (3.12) formülleri ve (3.20) eşitsizliği pN ve n2p için G_{n p;} nin C^p den Cp ye giden lineer operatör olduğunu gösterir.

Şimdi bu bölümde G operatörünün yakınsaklığı ile ilgili iki teoremi ve ispatını _n vereceğiz.

Teorem 3.1: pN₀ ile f f, ',f ''C_p olmak üzere; f nin I üzerinde 2 kez türevlenebilen bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Bu durumda sabit bir M7

 

p >0 sayısı vardır, öyle ki x  ve 0 n2p4 için

36

eşitsizliği sağlanır.

İspat: x > 0 ve f teoremdeki şartları sağlasın. t > 0 için

   

^'

  

^''

 

t s

x x

f t  f x  f x tx 

 

f u duds

yazılabilir. Buradan da

   

^'

    

^''

 

t

x

f t  f x  f x tx 



tu f u du

yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafına G operatörü uygulanırsa ve _n G t xn



^;



 x olduğu göz önüne alınırsa

                

eşitsizliğini sağlanır. Bu ifade göz önüne alınırsa

37

elde edilir. Daha sonra (3.6) ve (3.18) eşitsizliği ve Hölder eşitsizliği kullanılarak

   

38

yazılabilir. Yani

   

geçerlidir. Bu sebeple

   

Yazılabilir. (3.5) den ise

         

bulunur. Bu da istenilendir.

Teorem 3.2: pN₀ olsun. Öyleyse sabit bir M9

 

p  sayısı vardır. Öyle ki her 0

39 eşitsizliği sağlanır.

İspat: x h , 0 için f C_p nin f Stieklov fonksiyonu _h

olan ifadesini göz önüne alalım. Bu eşitliğin her iki tarafı  ile çarpılırsa

         

yazılabilir. Eşitliğin her iki tarafına f x fonksiyonu eklenirse

 

         ^{ }  ^{ }

tarafındaki f x fonksiyonu integral içine alınabilir. Böylece

 

         ^{   } 

yazılabilir. İleri fark tanımından yararlanarak ise

     

yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafının mutlak değeri alınırsa

40

elde edilir. Bu eşitsizliğin her iki tarafın supremumu alındığı takdirde ise

         

elde edilir. burada

/ 2 /2

eşitsizliği bulunur. Daha sonra f Stieklov fonksiyonu tekrar göz önüne alındığında _h

41

yazılabilir. Ortalama değer teoremi gereğince,

       

gerekli düzenlemeler yapılırsa

        

42

şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafının supremumu alınır ve süreklilik modülü tanımı kullanılırsa

 

eşitliği için Lemma1, Teorem1, (3.25) ve (3.26) eşitsizlikleri göz önüne alınarak, bu eşitliğin her iki tarafına G operatörü uygulanırsa _n

     ^{         } 

eşitliği yazılabilir. Eşitliğin her iki tarafından f x çıkarılırsa

 

                 

bulunur ve eşitliğin her iki tarafının mutlak değeri alınırsa

     

43

olur. Bu eşitsizliğin her iki tarafı p

 

x ile çarpılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa

               

olarak bulunur. Bu da ispatı tamamlar.

Şimdi bu bölümde G_{n p;} operatörü için (3.7) ve (3.24) değerlerinin farklı bir şeklinin ispatını yapalım.

Teorem 3.3: pN olsun. Öyleyse sabit bir M11

 

p  sayısı vardır. Öyle ki her 0

44

eşitsizliği elde edilir. Burada  , (3.10) formülü ile tanımlanan ifadedir. ₁

İspat: (3.11)-(3.13) ve (3.3) tanımlarından, her f C^p, x  , 0 p 0 ve n2p2 düzenlemeler yapılırsa;

   

45

yazılır ve bu eşitliğin her iki tarafının mutlak değeri alınırsa

   

olduğu bilindiğinden her iki tarafın mutlak değeri alınırsa

46

elde edilir ve buradan da

   

eşitliğinin her iki tarafının da mutlak değeri alınırsa

    

^{ }

   

^{ }

  

47

bulunur ve buradan da

 

1 ^{ } 0

elde edilir. (3.32) eşitsizliğinde (3.33) değerini kullanarak

   

48

bulunur ve Lemma2 den de

   

şeklinde yazılabilir ve bu da bize (3.27) eşitsizliğini verir.

49

Teoremde verilen (3.28) eşitsizliği, (3.18) eşitsizliği ve x 0 ve nN için



 

 ^{ } 

^{ }



1 f ^p ;C x0; / n x 1 1 f ^p ;C0;1/ n

    eşitsizliği ile (3.27) değerinden elde

edilir. Yani;

   

yazılabilir ve buradan

       

^{/ 2  }

bulunur. Bu eşitsizliğin her iki tarafının supremumu alınırsa

     

^{/ 2  }

elde edilir. Bu eşitsizlikte başta verilen eşitsizlik yerine yazıldığı taktirde

     

^{/ 2}

 

^{ }

50 olur, buradan

     

^{/ 2  }

elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

Teorem 2 ve Teorem 3 den aşağıdaki sonuçlar elde edilebilir.

Sonuç 1: Her f C_p, pN₀ ve x  için 0

51 dır.

Sonuç 3: n2p2 için G_{n p;} operatörleri yardımı ile f C^p nin (3.27) yaklaşım hızının derecesi, (3.1) formülü ile tanımlanan G klasik gamma operatörleri için _n verilen (3.7) operatörünün yaklaşım hızının derecesinden daha iyidir.

Bu bölümde ise G ve _n G_{n p;} operatörleri için Voronovskaya tipi teorem verilecek.

Teorem 3.4: pN₀ ve f f, ', f ''C_p olmak üzere; f nin I üzerinde 2 kez türevlenebilen bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Bu durumda her x  için 0

   

52

yazılabilir. Daha sonra n2p2 için Hölder eşitsizliğini uygulanarak

  

bulunur ve (3.6) eşitsizliğinden ise

 



^4;



¹

^{ }

^{2 2 4}

Gn tx x M n x^

olduğu açıktır. O halde

53

elde edilir. (3.5) ve (3.38) eşitliğini uygulayarak (3.37) eşitliğinden

  

^;

 ^{ }

¹₂ ^''

^{ }  ^{ }

^2;

  ^

^,

^{ }

^2;



n n n

G f t x  f x  f x G tx x G  t x tx x

yazılabilir. Buna göre

           

elde edilir.

54

eşitsizliği sağlanır.

İspat: x > 0 ve f kabulleri sağlasın. Teorem 4’ün ispatına benzer olarak 0 j p

55

bulunur ve burada

   

yazılabilir. Daha sonra, basit hesaplamalar ile

   

yazılabilir. Burada s  denir ve gerekli düzenlemeler yapılırsa j i

   

56

olur. mN₀ için aşağıda verilenler kolaylıkla doğrulanabilir.

 

eşitlikleri sağlanır. Gerçekten de

   

⁰

 

¹

 

²

 

^{ 1}

 

yazılabilir ve buradan da

 

bulunur. Benzer şekilde

57

olduğu açıktır. Bu tanımları ve (3.3) formülünü kullanarak, (3.41) eşitliğinden

   

58



olduğu bilindiğinden ve (3.42), (3.43),

(3.44) eşitliklerinden

   

yazılabilir. Buradan

     

^{ }

     

59

olduğundan Hölder eşitsizliği ve daha sonra (3.46), (3.6) eşitliklerinin uygulanmasıyla

  

bulunur. Buradan da

  

olur. Dolayısıyla

  



²

 

^{ 2 / 2}



lim _{n p} ^p ; 0_x ^p

n G t t x ^ x n^{ }

    (3.47)

elde edilir. Bu durumda (3.45) ve (3.47) eşitliğinden ispat tamamlanır.

60

5. TARTIŞMA VE SONUÇ

Yaklaşımlar teorisinin temel amaçlarından tezin baş kısmında bahsedildi. Bu tezde uygulamalarda oldukça önemli bir fonksiyon olan Gamma fonksiyonu yardımıyla oluşturulan Gamma operatörünün değişik bir şeklinin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bu inceleme sırasında yaklaşımlar teorisinde kullanılan temel tanımlar ve teoremler kullanılmıştır. Elde edilen sonuçlar amaca uygun olarak bulunmuştur.

İncelemeler yarı sonsuz aralıkta ağırlıklı uzaylarda yapılmıştır.

Sonuç itibariyle tez bir operatörün yaklaşım özellikleri ile ilgili olup, bu yaklaşım özellikleri elde edilirken yapılan işlemler diğer başka tip operatörlerin incelenmesinde de yol gösterici bir kaynak olacağını düşünmekteyiz.

Sonraki aşamalarda bu operatörü baz alarak farklı şekillerde tanımlanabilecek orijinal operatörler elde edilip, bu operatörlerin yaklaşım özelliklerini incelemek amaçlarımızdan birisi olacaktır.

61

KAYNAKLAR

 

1 Ditzian, Z. and Totik,V., Moduli of Smoothness (New York: Springer-Verlag), 1987.

 

2 Finta, Z., Direct local and global approximation theorems for some linear positive operators. Analysis in Theory and Applications, 20(4), 307-322, 2004.

 

3 Guo, S. and Qiulan, Qi, On pointwise estimate for gamma operators.

Approximation Theory and its Applications, 18(3), 93-98, 2002.

 

4 Totik, V., The gamma operators in L_p spaces. Publicationes Mathematicae (Debrecen), 32, 43-55, 1985.

 

5 Becker, M., Global approximation theorems for Szasz-Mirakyan and Baskakov operators in polynomial weight spaces. Indiana University Mathematics Journal, 27(1), 127-142, 1978.

 

6 Kirov, G.H., A generalization of the Bernstein polynomials. Mathematica Balkanica, 6(2), 147-153, 1992.

 

7 Altın, A., Uygulamalı Matematik, Ankara, Gazi Kitabevi, 131-141, 2011.

 

8 Balcı, M., Matematik Analiz 1, Ankara, 165-168, 7. Basım, Balcı Yayınları, 2008.

 

9 Acar, T., Genelleştirilmiş Bernstein Operatörlerin Yakaşım özellikleri, Kırıkkale Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 2015.

62

 

10 Yılmaz, B., Hölder Uzayında Yakınsaklık Özellikleri, Kırıkkale Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 2006.

 

11 Özhavzalı, M., Kantorovich Tipli Bazı Lineer Pozitif Operatörlerin Yaklaşım Özellikleri, Kırıkkale Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 2014.

 

12 Rempulska L., Skorupka M., Integral Transforms and Special Functions, Vol.

18, No. 9, 653-662, September 2007.

Belgede Approximation properties of modified gamma operators (sayfa 32-0)