Yarı-direkt Lie Çarpımı

Tanım 5.1: Z, Y birer Lie cebir olmak üzere Z nin Y üzerine bir ‘‘¹” Lie cebir etkisi (Tanım 4.5) mevcut olsun. Bu durumda:

Z⋉_1 Y = f(z; y) : z 2 Z; y 2 Y g kümesi her z₁; z₂ 2 Z, y1; y₂ 2 Y ve k 2 K olmak üzere;

i ) (z1; y1) + (z2; y2) = (z1 +z2; y1+y2)

i i ) [(z1; y1); (z2; y2)] = ([z1; z2]; [y1; y2] +z1 y² z2 y¹)

i i i ) k(z; y) = (kz; ky)

ikili işlemleri ile birlikte bir Lie cebir yapısı oluşturur. Bu yapıya Z ile Y nin yarı-direkt çarpımı denir ve Z⋉_1Y şeklinde gösterilir. Bu yapının Lie cebir olabilmesi için Tanım 4.1 i sağlaması gerekir.

İspat: Z ⋉_1 Y bir Lie cebiri olabilmesi için bilineerlik, alternatiflik ve Jacobi şartlarını sağlaması gerekir.

1) [-,-] Bilineerlik: Her z₁; z₂; z₃ 2 Z, y1; y₂; y₃ 2 Y ve a; b 2 K olmak üzere;

[a(z1; y1) +b(z2; y2); (z3; y3)]

= [(az1; ay1) + (bz2; by2); (z3; y3)]

= [(az₁+bz₂; ay₁+by₂); (z₃; y₃)]

= ([az1+bz2; z3]; [ay1+by2; y3] + (az1+bz2) y³ z3 (ay¹+by2))

= (a[z1; z3] +b[z2; z3]; a[y1; y3] +b[y2; y3] +az1 y³ +bz₂ y3 z₃ ay1 z₃ by3)

= (a[z1; z3]; a[y1; y3] +az1 y³ z3 ay¹) + (b[z2; z3]; b[y2; y3] +bz2 y³ z3 by²)

=a[(z1; y1); (z3; y3)] +b[(z2; y2); (z3; y3)]

olur ve [-,-] bilineerdir. Aynı şekilde

[(z3; y3); a(z1; y1) +b(z2; y2)] = a[(z3; y3); (z1; y1)] +b[(z3; y3); (z2; y2)]

bulunur.

2) Alternatiflik: Her z; z2; z2 2 Z; y; y¹; y2 2 Y için

[(z; y); (z; y)] = ([z; z]; [y; y] + z  y z  y)

= (0; 0)

ve Anti-komütatiflik için:

[(z₁; y₁); (z₂; y₂)] = ([z₁; z₂]; [y₁; y₂] +z₁ y2 z₂ y1)

= ( [z2; z1]; ([y2; y1] +z2 y¹ z1 y²))

= [(z2; y2); (z1; y1)]

bulunur.

3) Jacobi Özdeşliği:

[(z1; y1); [(z2; y2); (z3; y3)]] + [(z2; y2); [(z3; y3); (z1; y1)]] + [(z3; y3); [(z1; y1); (z2; y2)]]

= [(z₁; y₁); ([z₂; z₃]; [y₂; y₃] +z₂1y₃ z₃1y₂)] + [(z₂; y₂); ([z₃; z₁]; [y₃; y₁] +z3¹y1 z1¹y3)] + [(z3; y3); ([z1; z2]; [y1; y2] +z1¹y2 z2¹y1)]

= ([z1; [z2; z3]]; [y1; [y2; y3] +z2¹y3 z3¹ y2] +z1 ¹([y2; y3] +z2¹y3

z3 ¹y2) [z2; z3]¹y1) + ([z2; [z3; z1]]; [y2; [y3; y1] +z3¹y1 z1¹y3] +z2¹([y3; y1] +z3¹y1 z1¹ y3) [z3; z1]¹y2)

+ ([z₃; [z₁; z₂]]; [y₃; [y₁; y₂] +z₁1y₂ z₂1 y₁] +z₃ 1([y₁; y₂] +z₁1y₂ z2 ¹y1) [z1; z2]¹y3)

= ([z1; [z2; z3]] + [z2; [z3; z1]] + [z3; [z1; z2]]; [y1; [y2; y3]] + [y2; [y3; y1]] + [y3; [y1; y2]]

+ [y₁; z₂1y₃] [y₁; z₃1y₂] + [z₁1y₂; y₃] + [y₂; z₁ 1y₃] +z₁1(z₁1y₃) z1 ¹(z3¹ y2) z2¹(z3¹y1) +z3¹(z2¹y1) + [y2; z3 ¹y1]

[y2; z1 ¹y3] + [z2¹y3; y1] + [y3; z2¹ y1] +z2 ¹(z3¹ y1) z2¹(z1¹y3) z3 ¹(z1¹ y2) +z1¹(z3¹y2) + [y3; z1¹y3] [y3; z2¹y1] + [z3¹y1; y2] + [y1; z3¹y2] +z3 ¹(z1¹ y2) z3¹(z2¹y1) z1¹(z2¹y3)

+z₂1(z₁1y₃)

= 0

olup Jacobi Özdeşliği sağlanır. Aynı şekilde

[[(z₁; y₁)(z₂; y₂)]; (z₃; y₃)] + [[(z₂; y₂); (z₃; y₃)]; (z₁; y₁)] + [[(z₃; y₃); (z₁; y₁)]; (z₂; y₂)] = 0 bulunur.

Yardımcı Teorem 5.1: A herhangi bir Lie cebir olmak üzere;

((z; y); a) 2 ((Z ⋉1 Y ); A) 7 ! (y; z) ▶ a 2 A

şeklinde tanımlı bir bilineer dönüşümünün, (Z⋉_1Y ) nin A üzerinde etkisi (Sol) olabilmesi için gerek ve yeter şart her z; z⁰2 Z; y; y⁰2 Y ve a; a⁰2 A için:

L1)  (z; 0) ▶ [a; a⁰] = [(z; 0)  a; a⁰] + [a; (z; 0)  a⁰]

 (0; y) ▶ [a; a⁰] = [(0; y)  a; a⁰] + [a; (0; y)  a⁰]

L2)  [(z; 0); (z⁰; 0)]▶ a = (z; 0) ▶ ((z⁰; 0)▶ a) (z⁰; 0)▶ ((z; 0) ▶ a)

 [(0; y); (0; y⁰)]▶ a = (0; y) ▶ ((0; y⁰)▶ a) (0; y⁰)▶ ((0; y) ▶ a)

 [(0; y); (z⁰; 0)]▶ a = (0; y) ▶ ((z⁰; 0)▶ a) (z⁰; 0)▶ ((0; y) ▶ a)

 [(z; 0); (0; y⁰)]▶ a = (z; 0) ▶ ((0; y⁰)▶ a) (0; y⁰)▶ ((z; 0) ▶ a)

şartlarını sağlamasıdır.

5.4 1- ve 2- Simpleksler

L1 = (Z ⋉1 Y ) Lie cebiri L üzerinde 1-simpleks olarak adlandırılır. Ayrıca bu yapının geometrik açıdan simplisel formu (z; y) 2 L¹ için:

z ^y (z + @(y))

şeklinde ifade edilir. Bu geometrik gösterim gruplar için Gohla ve Martins (2013), değişmeli cebirler için ise Akça vd. (2015) tarafından tanımlanmıştır. Bu gösterim ile birlikteL1 deki herhangi iki elemanın çarpımı:

[z ^{y //}(z + @(y)); z^{0 y0 //}(z + @(y⁰))]

= ([z; z⁰] ^[y;y

0]+z1y⁰ z⁰1y

//([z; z⁰] +@([y; y⁰] +z ¹y⁰ z⁰¹y)) şeklinde resmedilir.

Not 5.1: Bu geometrik formun kullanılmasının sebebi aşağıdaki yardımcı teoremin görselleştirilmesi ve benzer olarak üst boyutlarda da elde edilecek geometrik yapıların anlaşılmasına kolaylık sağlamasıdır.

Yardımcı Teorem 5.2: L, üzerinde tanımlanan 1-simpleks ve 0-simpleks yapıları arasında

d_0;1:L1 = (Z⋉_1 Y ) ! Z = L0

tanımlı iki farklı yüzey (sınır) morfizmi:

d0( z ^y (z + @(y)) ) =z d1(z ^y (z + @(y)) ) =z + @(y) biçiminde tanımlanır. Yine her z 2 Z için

s₀ :L0 =Z ! (Z ⋉¹ Y ) =L1

s0(z) = (z; 0)

şeklinde bir dejenere morfizmi tanımlıdır ve bu morfizmin geometrik olarak simplisel formu s0(z) = ( z ⁰ (z + @(y)) ) = (z ! z)⁰

şeklinde gösterilir.

Not 5.2: L nin tanımından Y nin X üzerinde mevcut olan ²etkisi yardımı ile (Y ⋉2 X ) yarı-direkt Lie çarpımı elde edileceği açıktır.

Yardımcı Teorem 5.3: (Z⋉1Y ) nin (Y⋉2X ) üzerine her z 2 Z; y; y⁰2 Y; x 2 X için (z; y) ˇ (y⁰; x) = ([y; y⁰] +z ¹y⁰; z ³x + @(y) ³x + !([y] ˝ [y⁰])

şeklinde birˇ etkisi mevcuttur.

00ˇ⁰⁰ Lie cebir etkisi olabilmesi için Tanım 4.5 de verilen L₁ ve L₂ şartlarını Yardımcı Teorem 5.1 yardımıyla sağlaması gerekir.

İspat: Tanımlanan bu etki şu şekilde iki parça halinde düşünülebilir;

(z; 0) ˇ (y⁰; x) = (z 1y⁰; z 3x) ve

(0; y) ˇ (y⁰; x) = ([y; y⁰]; @(y) 3x + !([y] ˝ [y⁰]))

Not 5.3: Tezin geri kalan bölümlerinde, uzun işlem gerektiren ispatların okuyucuya daha anlaşılabilir gelmesi için !([ ]˝[ ]) kuadratik dönüşümü yerine⁰⁰!([ ]; [ ])⁰⁰ve¹; ²; ³ yerine⁰⁰⁰⁰notasyonu kullanılacaktır.

L1) Her z 2 Z, y; y1⁰; y₂⁰ 2 Y ve x¹; x2 2 X için:

(z; 0) ˇ [(y1⁰; x₁); (y₂⁰; x₂)] = (z; 0) ˇ ([y1⁰; y₂⁰]; [x₁; x₂] +y₁⁰  x2 y₂⁰  x1)

= (z  [y1⁰; y₂⁰]; z  ([x¹; x2] +y₁⁰  x² y₂⁰  x¹)

= ([z  y1⁰; y₂⁰] + [y₁⁰; z  y2⁰]; [z  x¹; x2] + [x1; z  x²] +z  (!([ı(x2]; [y₁⁰]) z  (!([ı(x1]; [y₂⁰]))

bulunur ve

[(z; 0) ˇ (y1⁰; x₁); (y₂⁰; x₂)] + [(y₁⁰; x₁); (z; 0) ˇ (y2⁰; x₂)]

= [(z  y1⁰; z  x¹); (y₂⁰; x2)] + [(y₁⁰; x1); (z  y2⁰; z  x²)]

= ([z  y1⁰; y₂⁰]; [z  x¹; x2] + (z  y1⁰) x² y₂⁰  (z  x¹)) + ([y₁⁰; z  y2⁰]; [x1; z  x²] +y₁⁰  (z  x²) (z  y2⁰) x¹)

= ([z  y1⁰; y₂⁰] + [y₁⁰; z  y2⁰]; [z  x¹; x2] + [x1; z  x²] +!([ı(x₂); [z  y1⁰]) +!([z  ı(x2)]; [y₁⁰])

!([ı(x1); [z  y2⁰]) +!([z  ı(x¹)]; [y₂⁰])

= (z  [y1⁰; y₂⁰]; z  [x¹; x2] +z  (!([ı(x²]; [y₁⁰])) z  (!([ı(x¹)]; [y₂⁰])) olup böylelikle her z 2 Z, y1⁰; y₂⁰ 2 Y ve x¹; x2 2 X için

(z; 0) ˇ [(y1⁰; x1); (y₂⁰; x2)] = [(z; 0) ˇ (y1⁰; x1); (y₂⁰; x2)] + [(y₁⁰; x1); (z; 0) ˇ (y2⁰; x2)]

elde edilir. Ayrıca

(0; y) ˇ [(y1⁰; x₁); (y₂⁰; x₂)]

= (0; y) ˇ ([y1⁰; y₂⁰]; [x1; x2] +y₁⁰  x² y₂⁰  x¹)

= ([y; [y₁⁰; y₂⁰]]; @(y)  ([x¹; x2] +y₁⁰  x² y₂⁰  x¹))

= ([y; [y₁⁰; y₂⁰]]; @(y)  ([x1; x₂]) +@(y)  (y1⁰  x2) @(y)  (y2⁰  x1))) olur ve

[(0; y) ˇ (y1⁰; x1); (y₂⁰; x2)] + [(y₁⁰; x1); (0; y) ˇ (y2⁰; x2)]

= [[y; y₁⁰]; @(y)  x1 +!([y]; [y₁]); (y₂⁰; x₂)] + [(y₁⁰; x₁); ([y; y₂⁰]; @(y)  x2

+!([y]; [y₂⁰)]

= [[y; y₁⁰]; y₂⁰]; [@(y)  x¹+!([y]; [y₁⁰]); x2]) + [y; y₁⁰] x² y₂⁰  (@(y)x¹ +!([y]; [y₁⁰]) + ([y₁⁰; [y; y₂⁰]; [x1; @(y)  x²+!([y]; [y₂⁰])

+y₁⁰  (@(y)  x²+!([y]; [y₂⁰]) [y; y₂⁰] x¹))

= ([[y; y₁⁰] + [y]; [y₂⁰)]; [@(y)  x1; x₂] + [!([y]; [y₁⁰]); x₂]

+ [x1; @(y)  x²] + [x1; !([y]; [y₂⁰])] +y  (y1⁰  x²) y₁⁰  (y  x²) +y₂⁰  (@(y)  x¹) +y₂⁰  !([y]; [y1⁰]) +y₁⁰  (@(y)  x²)

+y₁⁰  !([y]; [y2⁰]) y  (y2⁰  x1) y₂⁰  (y  x1))

= ([y; [y₁⁰; y₂⁰]]; @(y)  ([x¹; x2]) +@(y)  (y1⁰  x²) @(y)  (y2⁰  x¹))) olup, buna göre y; y₁⁰; y₂⁰ 2 Y ve x¹; x2 2 X için

(0; y) ˇ [(y1⁰; x₁); (y₂⁰; x₂)] = [(0; y) ˇ (y1⁰; x₁); (y₂⁰; x₂)] + [(y₁⁰; x₁); (0; y) ˇ (y2⁰; x₂)]

olur. Diğer Lie cebir etki şartı için ise:

L2) Her z 2 Z; y; y1; y₂; y₁⁰; y₂⁰ 2 Y ve x1; x₂ 2 X için

[(z1; 0); (z2; 0)] ˇ (y⁰; x) = ([z1; z2]; 0) ˇ (y⁰; x)

= ([z1; z2] y⁰; ([z1; z2] x) olur ve

(z; 0) ˇ ((z2; 0) ˇ (y⁰; x)) (z₂; 0) ˇ ((z1; 0) ˇ (y⁰; x))

= (z1; 0) ˇ (z² y⁰; z2 x) (z2; 0) ˇ (z¹ y⁰; z1 x)

= (z1 (z² y⁰); z1 (z² x)) (z2 (z¹ y⁰); z2 (z¹ x))

= (z₁ (z2 y⁰) z₂ (z1  y⁰); z₁ (z2 x) z₂ (z1  x))

= ([z1; z2] y⁰; [z1; z2] x)

olur. Böylece her z₁; z2 2 Z; y⁰ 2 Y ve x 2 X için:

[(z₁; 0); (z₂; 0)] ˇ (y⁰; x) = (z; 0) ˇ ((z2; 0) ˇ (y⁰; x)) (z₂; 0) ˇ ((z1; 0) ˇ (y⁰; x)) elde edilir. Ayrıca

[(z1; 0); (0; y2)]ˇ (y⁰; x)

= (0; z₁ y2)ˇ (y⁰; x)

= ([z1 y²; y⁰]; @(z1 y²) x + !([z¹ y²]; [y⁰])

= ([z1 y²; y⁰]; [z1; @(y2)] x + !([z¹ y²]; [y⁰]) bulunur ve

(z1; 0) ˇ ((0; y²)ˇ (y⁰; x)) (0; y2)ˇ ((z¹; 0) ˇ (y⁰; x))

= (z1; 0) ˇ ([y²; y⁰]; @(y2) x + !([y²]; [y⁰]) (0; y2ˇ (z¹  y⁰; z1 x)

= (z1 [y²; y⁰]; z1 (@(y²) x + !([y²]; [y⁰]))) ([y2; z1 y⁰]; @(y2) (z¹  x) +!([y2]; [z1 y⁰]))

= ([z₁ y2; y⁰] + [y₂; z₁ y⁰] [y₂; z₁ y⁰]; z₁ (@(y2) x)

+!([z1 y²]; [y⁰]) +!([y2]; [z1 y⁰]) @(y2) (z¹ x) !([y2]; [z1 y⁰]))

= ([z1 y²; y⁰]; [z1; @(y2)] x + !([y²]; [z1 y⁰]))

elde edilir. Buna göre her z₁ 2 Z, y2; y⁰2 Y ve x 2 X için

[(z1; 0); (0; y2)]ˇ (y⁰; x) = (z1; 0) ˇ ((0; y²)ˇ (y⁰; x)) (0; y2)ˇ ((z¹; 0) ˇ (y⁰; x))

bulunur. Ayrıca

(0; y1)ˇ ((z²; 0) ˇ (y⁰; x)) (z2; 0) ˇ ((0; y¹); (y⁰; x))

= (0; y1)ˇ (z² y⁰; z2 x) (z2; 0) ˇ ([y¹; y⁰]; @(y1) x + !([y¹]; [y])

= ([y1; z2  y⁰]; @(y1) (z² x) + !([y¹]; [z2 y⁰]) (z2 [y¹; y⁰]; z2 (@(y¹) x) + z² !([y¹]; [y⁰])

= ([y₁; z₂  y⁰] z₂ [y1; y⁰]; @(y₁) (z2 x) + !([y1]; [z₂ y⁰])

= ( [z2 y¹; y⁰]; @(z2 y¹) x !([z2 y¹]; [y⁰])) ve

[(0; y1); (z2; 0)] ˇ (y⁰; x)

= ([0; z2]; [y1; 0] + 0 z2 y¹)ˇ (y⁰; x)

= (0; z2  y¹)ˇ (y⁰; x)

= ( [z₂ y1; y⁰]; @(z₂ y1) x !([z₂ y1]; [y⁰])) olur. Böylece her z₂ 2 Z; y1; y⁰2 Y ve x⁰2 X için:

[(0; y1); (z2; 0)] ˇ (y⁰; x) = (0; y1)ˇ ((z²; 0) ˇ (y⁰; x)) (z2; 0) ˇ ((0; y¹); (y⁰; x)) elde edilir. Benzer şekilde:

[(0; y1); (0; y2)]ˇ (y⁰; x⁰)

= (0; [y₁; y₂])ˇ (y⁰; x⁰)

= ([[y1; y2]; y⁰]; @([y1; y2]) x⁰+!([[y1; y2]]; [y⁰])) ve

(0; y1)ˇ ((0; y²)ˇ (y⁰; x⁰)) (0; y2)ˇ ((0; y¹)ˇ (y⁰; x⁰))

= (0; y₁)ˇ ([y2; y⁰]; @(y₂) x⁰+!([y₂]; [y⁰])) (0; y2)ˇ ([y¹; y⁰]; @(y1) x⁰+!([y1]; [y⁰]))

= ([y1; [y2; y⁰]]; @(y1) (@(y²) x⁰+!([y2]; [y⁰])) +!([y1]; [[y2; y⁰]])) ([y2; [y1; y⁰]]; @(y2) (@(y¹) x⁰+!([y1]; [y⁰])) +!([y2]; [[y1; y⁰]]))

= ([[y1; y2]; y⁰]; @([y1; y2]) x⁰+!([[y1; y2]]; [y⁰]))

bulunur. Buna göre her y₁; y2; y⁰2 Y ve x 2 X için:

[(0; y₁); (0; y₂)]ˇ (y⁰; x⁰) = (0; y₁)ˇ ((0; y2)ˇ (y⁰; x⁰)) (0; y₂)ˇ ((0; y1)ˇ (y⁰; x⁰)) olur.

Tanım 5.2: (Z⋉_1 Y ) nin (Y ⋉_2 X ) üzerine mevcut olan⁰⁰ˇ⁰⁰etkisi ile elde edilen L2 = (Z⋉_1 Y )⋉_ˇ(Y ⋉_2 X )

şeklindeki yeni bir Lie cebir yapısı L üzerindeki 2-simpleks Lie cebiri olarak adlandırılır.

Her bir (z; y; y⁰; x) 2 (Z ⋉¹ Y )⋉_ˇ(Y ⋉_2 X ) elemanı da:

simplisel formda geometrik olarak bu şekilde resmedilir.

Tanım 5.3: L üzerinde tanımlanan 2- simpleks ve 1-simpleks yapıları arasında:

d_0;1;2 :L2 = (Z⋉_1 Y )⋉_ˇ(Y ⋉_2 X ) ! (Z ⋉¹ Y ) =L1

biçiminde üç farklı sınır (yüzey) morfizmi:

d0(z; y; y⁰; x) = (z; y); d1(z; y; y⁰; x) = (z; y+y⁰) ; d2(z; y; y⁰; x) = (z+@(y); y⁰+ı(y)) şeklinde tanımlanır ve bu morfizmler de yine simplisel formda:

d₀

şeklinde resmedilir. Yukarıda tanımlanan morfizmlerin indislerinin, 2 simpleksin sınırları

şeklindedir. Burada dikkatlice bakılırsa her bir di morfizmi, 2-simpleksi farklı şekilde dejenere ederek, i olarak numaralandırılan kenarı ortadan kaldırarak 1-simplekse dönüştürür.

Tanım 5.4: İki farklı simpleks arasında:

s_0;1:L1 = (Z⋉_1 Y ) ! (Z ⋉¹ Y )⋉_ˇ(Y ⋉_2 X ) =L2

biçiminde iki farklı dejenere morfizmi:

s0(z; y) = (z; y; 0; 0); s0(z; y) = (z; 0; y; 0);

şeklinde tanımlanır ve simplisel formu ise:

s0

Not 5.4: L üzerindeki yukarıda tanımlanan 0-, 1-, 2- simpleksler arasındaki morfizmler May (1992) tarafından verilen simplisel özdeşliklerin tüm şartlarını sağlar. Böylece 0-, 1-, 2-simpleksler ve bu yapılar arasında tanımlanan morfizmler yardımıyla aşağıdaki şekilde resmedilebilen bir 2-truncated simplisel cebir yapısı elde edilir.



5.5 3- Simpleksler

Bu bölümde Ellis (1993) tarafında Lie cebirler üzerinde tanımlanan 3- simpleks yapısı tanıtılacaktır. Ama öncelikle 3- simplekslerin inşaasında temel oluşturacak yarı-direkt Lie çarpım objelerinin tanımı verilecektir.

Yardımcı Teorem 5.4: (Y ⋉_2 X ) in X üzerine her (y; x) 2 (Y ⋉2 X ) ve x⁰2 X için (y; x)▶ x⁰=y 2x⁰+ [x; x⁰]

şeklinde bir▶ etkisi mevcuttur.

İspat: ‘‘▶” bir Lie cebir etkisi olabilmesi için Tanım (4.5) deki şartları sağlaması gerekir.

L1) Her y₁; y2 2 Y ve x; x¹; x2 2 X için;

(y1; x1)▶ ((y2; x2)▶ x) (y2; x2)▶ ((y1; x1)▶ x)

= (y1; x1)▶ (y2²x + [x2; x]) (y2; x2)▶ (y1²x + [x1; x])

=y₁2(y₂2x + [x₂; x]) + [x₁; y₂2x + [x₂; x]]

y2²(y1²x + [x1; x]) + [x2; y1²x + [x1; x]]

=y1²(y2²x) + [y1²x2; x] + [x2; y1²x] + [x1; y2²x] + [x1; [x1; [x2; x]]

y₂2(y₁2x) [y₂2x₁; x] [x₁; y₂2x] [x₂; y₁ 2x] + [x₁; [x₂; [x₁; x]]

=y1²(y2²x) y2²(y1² x) + [[x1; x2]; x] + [y1²; x] [y2² x1; x]

= ([y1; y2]▶ x + [[x1; x2] +y1²X2 y2²X1])

= ([y1; y2]; [x1; x2] +y1²x2 y2²x1)▶ x

= [(y1; x1); (y2; x2)]▶ x

olur. Böylece [(y₁; x1); (y2; x2)] ▶ x = (y1; x1) ▶ ((y2; x2) ▶ x) (y2; x2) ▶ ((y1; x1)▶ x) sağlanmış olur.

L2) Her y 2 Y ve x; x¹; x2 2 X için;

[(y; x) ▶ x1; x2] + [x1; (y; x)▶ x2]

= [y ²x1+ [x; x1]; x2] + [x1; y ²x2+ [x; x2]]

= [y ²x1; x2] + [[x; x1]; x2] + [x1; y ²x2] + [x1; [x; x2]]

= [y ²x1; x2] + [x1; y ²x2] + [x; [x1; x2]]

=y 2[x₁; x₂] + [x; [x₁; x₂]]

= (y; x)▶ [x1; x2]

olup ve (y; x)▶ [x1; x2] = [(y; x)▶ x1; x2] + [x1; (y; x)▶ x2] sağlanmış olur.

Tanımlanan bu etki yardımıyla

(Y ⋉_2 X )⋉▶X şeklinde yeni bir yarı-direkt Lie çarpım cebiri elde edilir.

Yardımcı Teorem 5.5: (Z⋉_1Y ) nin ((Y ⋉_2X )⋉_▶X ) üzerinde her (z; y) 2 (Z ⋉1Y ) ve (y⁰; x; x⁰)2 ((Y ⋉² X )⋉_▶X ) için:

(z; y) ¹(y⁰; x; x⁰) = ([y; y⁰] +z ¹y⁰; z ³x + @(y) ³x + !([y] ˝[y⁰]; z ³x + @(y⁰)³x⁰) şeklinde ¹etkisi mevcuttur.

İspat: ” 1” bir Lie cebir etkisi olabilmesi için tanım (4.5) deki şartları sağlaması gerekir.

Uyarı 5.1: Bu bölümdeki ispatlar için Not 5.3 ü dikkate alınız.

L1) Her z; z 2 Z, y; y⁰; y⁰⁰ 2 Y ve x; x⁰2 X için;

(z; y) ¹((z⁰; y⁰) ¹(y⁰⁰; x; x⁰)) (z⁰; y⁰) ¹((z; y) ¹(y⁰⁰; x; x⁰))

= (z; y) ¹([y⁰; y⁰⁰] +z⁰ y⁰⁰; z⁰ x + @(y⁰) x + !([y⁰]; [y⁰⁰]); z⁰ x⁰ +@(y⁰) x⁰) (z⁰; y⁰) ¹([y; y⁰⁰] +z  y⁰⁰; z  x + @(y)  x

+!([y]; [y⁰⁰]); z  x⁰+@(y)  x⁰)

= ([y; [y⁰; y⁰⁰]] +z  ([y⁰; y⁰⁰] +z⁰ y⁰⁰); z  (z⁰ x + @(y⁰) x + !([y⁰]; [y⁰⁰])) +@(y)  (z⁰ x + @(y⁰) x + !([y⁰]; [y⁰⁰]))

+!([y]; [[y; y⁰⁰] +z⁰ y⁰⁰]); z  (z⁰ x⁰+@(y⁰) x⁰) +@(y)  (z⁰ x⁰+@(y⁰) x⁰))

([y⁰; [y; y⁰⁰]] +z⁰ ([y; y⁰⁰] +z  y⁰⁰); z⁰ (z  x + @(y)  x + !([y]; [y⁰⁰])) +@(y⁰) (z  x + @(y)  x + !([y]; [y⁰⁰]))

+!([y⁰]; [[y; y⁰⁰] +z  y⁰⁰]); z⁰ (z  x⁰+@(y)  x⁰) +@(y⁰) (z  x⁰+@(y)  x⁰))

= ([y; [y⁰; y⁰⁰]] + [y; z⁰ y⁰⁰] +z  [y⁰; y⁰⁰] +z  (z⁰ y⁰⁰) [y⁰; [y; y⁰⁰]]

[y⁰; z  y⁰⁰] z⁰ [y; y⁰⁰] z⁰ (z  y⁰⁰); z  (z⁰ x) + z  (@(y⁰) x) +z  !([y⁰]; [y⁰⁰]) z⁰ (z  x) z⁰ (@(y)  x) z⁰ !([y]; [y⁰⁰])

+@(y)  (z⁰ x) + @(y)  (@(y⁰) x) + @(y)  !([y⁰]; [y⁰⁰]) @(y⁰) (z  x)

@(y⁰) (@(y)  x) @(y⁰) !([y]; [y⁰⁰]) +!([y]; [[y⁰; y⁰⁰]]) +!([y]; [z⁰ y⁰⁰])

!([y⁰]; [[y; y⁰⁰]]) !([y⁰]; [z  y⁰⁰]); z  (z⁰ x) + z  (@(y⁰) x⁰) z⁰ (z  x⁰) z⁰ (@(y)  x⁰) +@(y)  (z⁰ x⁰) +@(y)  (@(y⁰) x⁰)

@(y⁰) (z  x⁰) @(y⁰)(@(y)  x⁰))

= ([[y; y⁰]; y⁰⁰] + [z  y⁰; y⁰⁰] [z⁰ y; y⁰⁰] + [z; z⁰] y⁰⁰; [z; z⁰] x +@([y; y⁰]) x + [z; @(y⁰)] x + [@(y); z⁰] x + !([z  y⁰]; [y⁰⁰])

!([z⁰ y]; [y⁰⁰]) +!([[y; y⁰]]; [y⁰⁰]); [z; z⁰] x⁰+@([y; y⁰]) x⁰ + [z; @(y⁰)] x⁰+ [@(y); z⁰] x⁰)

= ([[y; y⁰]; y⁰⁰] + [z  y⁰; y⁰⁰] [z⁰ y; y⁰] + [z; z⁰] y⁰⁰; [z; z⁰] x + @([y; y⁰]) x + [z; @(y⁰)] x + [@(y); z⁰] x + !([[y; y⁰]]; [y⁰⁰]) +!([z  y⁰]; [y⁰⁰])

!([z⁰ y]; [y⁰⁰]); [z; z⁰] x⁰+@([y; y⁰]) x⁰+ [z; @(y⁰)] x⁰+ [@(y); z⁰] x⁰)

= ([[y; y⁰] +z  y⁰ z⁰ y; y⁰⁰] + [z; z⁰] y⁰⁰; [z; z⁰] x

+@([y; y⁰] +z  y⁰ z⁰ y)  x + !([[y; y⁰] +z  y⁰ z⁰ y]; [y⁰⁰]); [z; z⁰] x⁰ +@([y; y⁰] +z  y⁰ z⁰ y)  x⁰)

= ([z; z⁰]; [y; y⁰] +z  y⁰ z⁰ y) ¹ (y⁰⁰; x; x⁰⁰)

= [(z; y); (z⁰; y⁰)] ¹(y⁰⁰; x; x⁰)

bulunur ve böylelikle

[(z; y); (z⁰; y⁰)] ¹(y⁰⁰; x; x⁰) = (z; y) ¹((z⁰; y⁰) ¹(y⁰⁰; x; x⁰)) (z⁰; y⁰) 1((z; y) 1 (y⁰⁰; x; x⁰))

olup L1 şartı sağlanır. Yukarıdaki ispat geçişlerine bakıldığı zaman özellikle Not 4.2 ve

!([[y; y⁰]]; [y⁰⁰]) =@(y) ³!([y⁰]; [y⁰⁰]) +!([y]; [[y⁰; y⁰⁰]])

@(y⁰)3!([y]; [y⁰⁰]) +!([y⁰]; [[y; y⁰⁰]]) eşitliği kullanılmıştır.

L2) Her z 2 Z, y; y¹; y2 2 Y ve x¹; x₁⁰; x2; x₂⁰ 2 X için;

[(z; y) ¹ (y1; x1; x₁⁰); (y2; x2; x₂⁰)] + [(y1; x1; x₁⁰); (z; y) ¹(y2; x2; x₂⁰)]

= [([y; y₁] +z  y1; z  x1+@(y)  x1+!([y]; [y₁]); z  x1⁰

+@(y)  x1⁰); (y2; x2; x₂⁰)] + [(y1; x1; x₁⁰); ([y; y2] +z  y²; z  x² +@(y)  x²+!([y]; [y2]); z  x2⁰ +@(y)  x⁰2)]

= ([[y; y1] +z  y¹; y2]; [z  x¹+@(y)  x¹+!([y]; [y1]); x2] + ([y; y1] +z  y¹) x² y2 (z  x¹+@(y)  x¹+!([y]; [y1]))

; [z  x1+@(y)  x1+!([y]; [y₁]); x₂⁰] [x₂; z  x1⁰ +@(y)  x1⁰]

+ [z  x1⁰ +@(y)  x1⁰; x₂⁰] + ([y; y1] +z  y¹) x2⁰ y2 (z  x1⁰ +@(y)  x1⁰) + ([y1; [y; y2] +z  y²]; [x1; z  x²+@(y)  x²+!([y]; [y2])] +y1  (z  x² +@(y)  x2+!([y]; [y₂])) ([y; y₂] +z  y2) x1; [x₁; z  x2⁰ +@(y)  x2⁰]

[z  x²+@(y)  x²+!([y]; [y2]); x₁⁰] + [x₁⁰; z  x2⁰ +@(y)  x2⁰] +y1 (z  x2⁰ +@(y)  x2⁰) ([y; y2] +z  y²) x1⁰)

= ([[y; y1]; y2] + [z  y¹; y2] + [y1; [y; y2]] + [y1; z  y²]; [z  x¹; x2]

+ [@(y)  x¹; x2] + (@(y)  y¹) x² [y; y1] x²+ [y; y1] x²+ (z  y¹) x² y₂  (z  x1) y₂ (@(y)  x1) y₂ !([y]; [y1]) + [x₁; z  x2]

+ [x1; @(y)  x²] (@(y)  y²) x¹+ [y; y2] x¹+y1  (z  x²)

+y1 (@(y)  x²) +y1 !([y]; [y²]) [y; y2] x¹ (z  y²) x¹; [z  x¹; x₂⁰] + [@(y)  x1; x₂⁰] + (@(y)  y1) x2⁰ [y; y₁] x2⁰ [x₂; z  x1⁰] [x₂; @(y)  x1⁰] + [z  x1⁰; x₂⁰] + [@  x1⁰; x₂⁰] + [y; y1] x2⁰ + (z  y¹) x2⁰ y2 (z  x1⁰)

y2  (@(y)  x1⁰) + [x1; z  x2⁰] + [x1; @(y)  x2⁰] [z  x²; x₁⁰] [@(y)  x²; x⁰₁] (@(y)  y²) x1⁰ + [y; y2] x⁰1+ [x₁⁰; z  x2⁰] + +[x1; @(y)  x2⁰]

+y1 (z  x2⁰) + +y1 (@(y)  x2⁰) [y; y2] x1⁰ (z  y²) x⁰1)

= ([y; [y1; y2]] +z  [y¹; y2]; z  ([x¹; x2] +y1 x² y2 x¹) +@(y)  ([x¹; x2] +y1 x² y2 x¹) +!([y]; [[y1; y2]]); z  ([x¹; x₂⁰] [x2; x⁰₁] + [x₁⁰; x₂⁰]

+y1 x2⁰ y2 x⁰1) +@(y)  ([x¹; x₂⁰] [x2; x₁⁰] + [x₁⁰; x₂⁰] +y1 x2⁰ y2 x1⁰)

= (z; y) 1([y₁; y₂]; [x₁; x₂] +y₁ x2 y₂ x1; [x₁; x₂⁰] [x₂; x₁⁰] + [x₁⁰; x₂⁰] +y1 x⁰2 y2 x1⁰)

= (z; y) ¹[(y1; x1; x₁⁰); (y1; x1; x₁⁰)]

elde edilir ve

(z; y) 1[(y₁; x₁; x₁⁰); (y₁; x₁; x₁⁰)] = [(z; y) 1(y₁; x₁; x₁⁰); (y₂; x₂; x₂⁰)]

+ [(y1; x1; x₁⁰); (z; y) ¹(y2; x2; x₂⁰)]

olduğundan L2 şartı sağlanır. Dikkat edilirse yukarıdaki adımlarda Not 4.2 de bahsedilen özel dönüşümler ile

z 3!([y]; [y⁰]) =!([z 3 y]; [y⁰]) +!([y]; [z 3y⁰]) ve

y⁰²!([y]; [y⁰⁰]) y⁰⁰²!([y]; [y⁰])

=!([ı!([y]; [y⁰⁰])]; [y⁰]) !([ı!([y]; [y⁰])]; [y⁰⁰])

=!([@(y) ¹y⁰⁰ [y; y⁰⁰]]; [y⁰]) !([@(y) ¹y⁰ [y; y⁰]]; [y⁰⁰])

=!([@(y) ¹y⁰⁰]; [y⁰]) !([[y; y⁰⁰]]; [y⁰]) !([@(y) ¹y⁰]; [y⁰⁰]) +!([[y; y⁰]]; [y⁰⁰])

=!([@(y) ¹y⁰⁰]; [y⁰]) @(y) ³!([y⁰⁰]; [y⁰]) !([y]; [[y⁰⁰; y⁰]]) +@(y⁰⁰)³!([y]; [y⁰]) +!([y⁰⁰]; [[y; y⁰]]) !([@(y) ¹y⁰]; [y⁰⁰]) +@(y⁰⁰)3!([y]; [y⁰]) +!([y⁰⁰]; [[y; y⁰]]) !([@(y) 1y⁰]; [y⁰⁰])

!([y⁰]; [[y; y⁰⁰]])

= !([y⁰⁰]; [@(y) ¹y⁰]) !([y][[y⁰⁰; y⁰]]) +@(y⁰⁰)³!([y]; [y⁰]) +!([y⁰⁰]; [[y; y⁰]]) +!([y⁰]; [@(y)  y⁰⁰]) +!([y; [[y⁰; y⁰⁰]]])

@(y⁰)³!([y]; [y⁰⁰]) !([y⁰]; [[y; y⁰⁰]])

=!([y]; [[y⁰⁰; y⁰]]) !([y]; [[y⁰⁰; y⁰]]) +!([y]; [[y⁰; y⁰⁰]])

=!([y]; [[y⁰; y⁰⁰]]) eşitlikleri kullanılmıştır.

Yardımcı Teorem 5.6: (Y ⋉2X ) in ((Y ⋉2X )⋉▶X ) üzerinde her (y; x⁰⁰)2 (Y ⋉2X ) ve (y⁰; x; x⁰)2 ((Y ⋉2 X )⋉▶X ) olmak üzere;

(y; x⁰⁰) ²(y⁰; x; x⁰) = ([y; y⁰]; y²x y⁰²x⁰⁰+[x⁰⁰; x]; @(y)³x⁰+!([y+ı(x⁰⁰)]˝[y⁰+ı(x⁰)]) şeklinde bir 2 etkisi mevcuttur.

İspat: L1) Her y; y₁; y2 2 Y ve x; x⁰; x1; x2 2 X için;

(y1; x1) ²((y2; x2) ²(y; x; x⁰)) (y2; x2) ²((y1; x1) ²(y; x; x⁰))

= (y1; x1) ²([y2; y]; y2 x y  x²+ [x2; x]; @(y2) x⁰ +!([y2+ı(x2)]; [y + ı(x)]))

(y₂; x₂) 2([y₁; y]; y₁ x y  x1+ [x₁; x]; @(y₁) x⁰ +!([y1+ı(x1)]; [y + ı(x)]))

= ([y1; [y2; y]]; y1 (y² x y  x²+ [x2; x]) [y2; y]  x¹

+ [x₁; y₂ x y  x2+ [x₂; x]; @(y₁) (@(y2) x⁰+!([y₂+ı(x₂)]; [y + ı(x)])) +!([y1+ı(x1)]; [[y2; y] + ı(y2 x y  x²+ [x2; x])])

([y2; [y1; y]]; y2 (y¹ x y  x¹+ [x1; x]) [y1; y]  x²

+ [x2; y1 x y  x¹+ [x1; x]; @(y2) (@(y¹) x⁰+!([y1+ı(x1)]; [y + ı(x)])) +!([y2+ı(x2)]; [[y1; y] + ı(y1 x y  x¹+ [x1; x])])

= ([y₁; [y₂; y]] [y₂; [y₁; y]]; y₁ (y2 x) y₁ (y  x2) + [y₁ x2; x]

+ [x2; y1 x] y2 (y  x¹) +y  (y² x¹) + [x1; y2 x] [x1; y  x²] + [x1; [x2; x]] y2 (y¹ x) + y² (y  x¹) [y2 x¹; x] [x1; y2  x]

+y₁ (y  x2) y  (y1 x2) [x₂; y₁ x] + [x2; y  x1] [x₂; [x₁; x]]

; @(y1) (@(y²) x⁰) +@(y1) !([y²]; [y]) + @(y1) !([y²]; [ı(x)]) +@(y1) !([ı(x²)]; [y]) + @(y1) !([ı(x²)]; [ı(x)]) + !([y1]; [[y2; y]]) +!([y1]; [[y2; ı(x)]]) +!([y1]; [[y; ı(x2)]]) + +!([y1]; [[ı(x2); ı(x)]])

@(y2) (@(y¹) x⁰) @(y2) !([y¹]; [y]) @(y2) !([y¹]; [ı(x)])

@(y₂) !([ı(x1)]; [y]) @(y₂) !([ı(x1)]; [ı(x)]) !([y₂]; [[y₁; y]])

!([y2]; [[y1; ı(x)]]) + !([y2]; [[y; ı(x1)]]) !([y2]; [[ı(x1); ı(x)]])

!([ı(x2)]; [[y1; y]]) !([ı(x2)]; [[y1; ı(x)]]) + !([ı(x2)]; [[y; ı(x2)]])

!([ı(x₂)]; [[ı(x₁); ı(x)]]))

= ([[y1; y2]; y]; y1 (y² x) y2 (y¹ x) [y  x¹; x2] [x1; y  x²]

= ([[y₁; y₂]; y]; y₁ (y2 x) y₂ (y1 x) [y  x1; x₂] [x₁; y  x2] y  (y¹ x²) +y  (y²  x¹) + [[x1; x2]; x] + [y1 x²; x] [y2 x¹; x]

; @(y1) (@(y²) x⁰) @(y2) (@(y¹) x⁰) +!([[y1; y2]]; [y])

+!([[y1; y2]]; [ı(x)]) + !([[ı(x1); ı(x2)]]; [y]) + !([[ı(x1); ı(x2)]]; [ı(x)]) +!([[y1; ı(x2)]]; [y]) + !([[y1; ı(x2)]]; [ı(x)]) !([[y2; ı(x2)]]; [y])

!([[y₂; ı(x₂)]]; [ı(x)]))

= ([[y1; y2]; y]; [y1; y2] x y  ([x¹; x2] +y1 x² y2 x¹) + [[x1; x2] +y1 x² y2 x¹; x]; @([y1; y2]) x⁰+!([[y1; y2] +ı([x₁; x₂] +y₁ x2 y₂ x1)]; [y + ı(x)]))

= ([y1; y2]; [x1; x2] +y1 x² y2 x¹) ²(y; x; x⁰)

= [(y1; x1); (y2; x2)] ²(y; x; x⁰) elde edilir ve

[(y1; x1); (y2; x2)] ²(y; x; x⁰) = (y1; x1) ²((y2; x2) ²(y; x; x⁰)) (y2; x2) ²((y1; x1) ²(y; x; x⁰)) olduğundan L1 şartı sağlanır. Yukarıdaki eşitlikte dikkat edilirse

!([[y; y⁰]]; [y⁰⁰]) =@(y) ³!([y⁰]; [y⁰⁰]) +!([y]; [[y⁰; y⁰⁰]])

@(y⁰)³!([y]; [y⁰⁰]) !([y⁰]; [[y; y⁰⁰]]) eşitliği kullanılmıştır.

L2) Her y; y₁; y2 2 Y ve x; x¹; x2; x₁⁰; x₂⁰ 2 x için;

[(y; x) ²(y1; x1; x₁⁰); (y2; x2; x₂⁰)] + [(y1; x1; x₁⁰); (y; x) ²(y2; x2; x₂⁰)]

= [([y; y₁]; y  x1 y₁ x + [x; x1]; @(y)  x1⁰

+!([y + ı(x)]; [y2+ı(x2)])); (y2; x2; x₂⁰)] + [(y1; x1; x₁⁰); ([y; y2]; y  x² y2 x + [x; x²]; @(y)  x2⁰ +!([y + ı(x)]; [y2+ı(x2)])]

= ([[y; y1]; y2]; [y  x¹ y1 x + [x; x¹]; x2] + [y; y1] x² y2 (y  x¹ y1 x + [x; x1]); [y  x¹ y1 x + [x; x¹]; x₂⁰] [x2; @(y)  x1⁰ +!([y + ı(x)]; [y1+ı(x1)])]

+ [@(y)  x1⁰ +!([y + ı(x)]; [y₁+ı(x₁)]); x₂⁰] + [y; y₁] x2⁰ y₂ (@(y)  x⁰1

+!([y + ı(x)]; [y1+ı(x1)]))) + ([y; [y; y2]]; [x1; y  x² y2 x + [x; x²]]

+y1 (y  x² y2  x + [x; x²]) [y; y2] x¹; [x1; @(y)  x⁰2

+!([y + ı(x)]; [y₂+ı(x₂)])] [y  x2 y₂ x + [x; x2]; x₁⁰] + [x₁⁰; @(y)  x2⁰

+!([y + ı(x)]; [y2+ı(x2)])] +y1 (@(y)  x2⁰ +!([y + ı(x)]; [y2+ı(x2)])) [y; y2] x1⁰)

= ([[y; y1]; y2] + [y1; [y; y2]]; [y  x¹; x2] [y1 x; x²] + [[x; x1]; x2] +y  (y¹ x²) y1 (y  x²) y2 (y  x¹) +y2  (y¹ x) [y2 x; x¹] [x; y2 x¹] + [x1; y  x²] [x₁; y₂ x] + [x1[x; x₂]] +y₁ (y  x2) y₁ (y2 x) + [y1 x; x2] + [x; y₁ x2] y  (y² x¹) +y2 (y  x¹); [y  x¹; x₂⁰] [y1 x; x2⁰] + [[x; x1]; x₂⁰] [x2; @(y)  x1⁰] [x2; !([y]; [y1])] [x2; @(y)  x¹] + [x2; y  x¹] [x2; [x1; x]] + [@(y)  x1⁰; x₂⁰]

+ (@(y)  y1) x2⁰ [y; y₂] x2⁰ + [@(y)  x1; x₂⁰] [y  x1; x⁰₂] + [y₁ x; x2⁰]

+ [[x1; x]; x₂⁰] + [y; y1] x2⁰ y2  (@(y)  x1⁰) y2 !([y]; [y¹]) y2 !([y]; [ı(x¹)]) y2 !([ı(x)]; [y¹]) y2 !([ı(x)]; [ı(x¹)]) + [x1; @(y)  x2⁰] + [x1; !([y]; [y2])]

+ [x1; @(y)  x²] [x1; y  x²] + [x1; y2 x] + [x¹; [x2; x]] [y  x²; x₁⁰] + [y2 x; x1⁰] [[x; x2]; x₁⁰] + [x₁⁰; @(y)  x⁰2] (@(y)  y²) x1⁰ + [y; y2] x1⁰ + [x₁⁰; @(y)  x²] [x₁⁰; y  x2] + [x₁⁰; y₂ x] + [x1⁰; [x₂; x]] + y₁ (@(y)  x2⁰) +y₁  !([y]; [y2]) +y1 !([y]; [ı(x²)]) +y1 !([ı(x)]; [y²]) + +y1 !([ı(x)]; [ı(x²)]) [y; y2] x1⁰)

= ([y; [y₁; y₂]]; [y  x1; x₂] + [x₁; y  x2] +y  (y1 x2) y  (y2 x1) y₁ (y  x) +y2 (y¹ x) + [x; [x¹; x2]] + [x; y1 x²] [x; y2 x¹]; [@(y)  x¹; x₂⁰]

+ [x1; @(y)  x2⁰] [@(y)  x²; x₁⁰] [x2; @(y)  x1⁰] + [@(y)  x⁰1; x₂⁰] + [x₁⁰; @(y)  x⁰2] +@(y)  (y¹ x2⁰) @(y)  (y² x⁰1) +!([y]; [[y1; y2]]) +!([y]; [[ı(x1); ı(x2)]]) +!([y]; [[y1; ı(x2)]]) !([y]; [[y2; ı(x1)]]) +!([ı(x)]; [[y1; y2]])

+!([ı(x)]; [[ı(x₁); ı(x₂)]]) +!([ı(x)]; [[y₁; ı(x₂)]]) !([ı(x)]; [[y₂; ı(x₁)]])

= ([y; [y1; y2]]; y  ([x¹; x2] +y1  x² y2 x¹) [y1; y2] x + [x; [x¹; x2] +y1 x² y2 x¹]; @  (y)([x¹; x₂⁰] [x2; x₁⁰] + [x⁰₁; x₂⁰] +y1 x2⁰ y2 x1⁰)

+!([y + ı(x)]; [[y₁; y₂] +ı([x₁; x₂] +y₁ x2 y₂ x1)]))

= (y; x) ²([y1; y2]; [x1; x2] +y1 x² y2 x¹; [x1; x₂⁰] [x2; x₁⁰] + [x₁⁰; x₂⁰] +y1 x⁰2

y2 x1⁰)

= (y; x) ²([y1; y2]; [x1; x2] +y1 x² y2 x¹; [x1; x₂⁰] [x2; x₁⁰] + [x₁⁰; x₂⁰] +y1 x⁰2

y2 x1⁰)

= (y; x) 2[(y₁; x₁; x⁰₁); (y₂; x₂; x₂⁰)]

elde edilir ve

(y; x) ²[(y1; x1; x₁⁰); (y1; x1; x₁⁰)] = [(y; x) ²(y1; x1; x₁⁰); (y2; x2; x₂⁰)]

+ [(y1; x1; x₁⁰); (z; y) ²(y2; x2; x₂⁰)]

olduğundan L2 şartı sağlanır. Bu eşitliğin sağlanmasında özellikle Not (4.1), z ³!([y]; [y⁰]) =!([z ³ y]; [y⁰]) +!([y]; [z ³y⁰]) ve

y⁰²!([y]; [y⁰⁰]) y⁰⁰²!([y]; [y⁰]) =!([y]; [[y⁰; y⁰⁰]]) eşitlikleri kullanılmıştır.

Yardımcı Teorem 5.7: ((Z⋉_1 Y )⋉_ˇ(Y ⋉_2 X )) nin ((Y ⋉_2 X )⋉_▶ X ) üzerine:

(0; 0; y; x⁰⁰)▶ (y⁰; x; x⁰) = (y; x⁰⁰) 2(y⁰; x; x⁰) ve

(z; y; 0; 0)▶ (y⁰; x; x⁰) = (z; y) ¹(y⁰; x; x⁰) şeklinde tanımlı bir▶ etkisi vardır.

Bu tanımlamalar ile birlikte artıkL üzerinde bir 3- simpleks yapısı oluşturulabilir.

Tanım 5.5: L üzerindeki 3- simpleks cebiri yarı-direkt Lie çarpımı yardımıyla L3 = ((Z⋉1 Y )⋉ˇ(Y ⋉2 X ))⋉▶ ((Y ⋉2 X )⋉▶X )

Tanım 5.6: Tanımlanan bu 3-simpleks ve 2-simpleksler arasında d0(z; y; y⁰; x; y⁰⁰; x⁰; x⁰⁰) = (z; y; y⁰; x);

d1(z; y; y⁰; x; y⁰⁰; x⁰; x⁰⁰) = (z; y; y⁰+y⁰⁰; x + x⁰);

d₂(z; y; y⁰; x; y⁰⁰; x⁰; x⁰⁰) = (z; y + y⁰; y⁰⁰; x⁰+x⁰⁰);

d3(z; y; y⁰; x; y⁰⁰; x⁰; x⁰⁰) = (z + @(y); y⁰+ı(x); y⁰⁰+ı(x⁰); x⁰⁰)

şeklinde dört farklı yüzey morfizmi mevcuttur. Bu dört morfizmin her biri, yukarıda tanımlanan tetrahedronun farklı bir yüzüne sınır dönüşümü olarak:

0

şeklinde bir numaralandırma ile aşağıdaki şekillere karşılık gelmektedir:

d0

Tanım 5.7: Benzer şekilde bu iki simpleks arasında, s0;1;2:L2 ! L³olarak, s0(z; y; y⁰; x) = (z; y; y⁰; x; 0; 0; 0)

s₁(z; y; y⁰; x) = (z; y; 0; 0; y⁰; x; 0) s2(z; y; y⁰; x) = (z; 0; y; 0; y⁰; 0; x)

şeklinde tanımlı üç farklı dejenere morfizmi vardır ve bu morfizmler simplisel formda:

s0

Not 5.5: Lie cebir üzerindeki 3-simpleks yapısının da inşa edilmesi sonucu, Not 5.4 de bahsedildiği üzere, aşağıdaki şekilde resmedilen bir ‘‘3-truncated’’ simplisel cebir yapısı elde edilir.

6. LIE CEBİRLER ÜZERİNDE ÇAPRAZLANMIŞ

Belgede Lie Cebirlerin Kuadratik Modüllerinin Noktasal Homotopi Teorisi Emre Özel YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik - Bilgisayar Anabilim Dalı Ağustos 2017 (sayfa 30-51)