Weakly θ-Pre-I Sürekli Fonksiyonların Diğer Bazı Sürekli Fonksiyonlarla

4. WEAKLY θ-PRE-I-SÜREKLİ FONKSİYONLAR

4.3. Weakly θ-Pre-I Sürekli Fonksiyonların Diğer Bazı Sürekli Fonksiyonlarla

Bir ideal topolojik uzaydaki weakly θ-pre-I sürekli fonksiyonu, weakly θ-pre sürekli fonksiyonlarla karşılaştırabilmek için gerekli olan lemmayı verelim.

Lemma 4.3.1. Her A⊂ X kümesi için pCl_θ

( )

A⊂_PICl_θ

( )

A dır.

İspat: x∈pCl_θ

( )

A olsun. x∈U ⊂ X pre-I-açık kümesi verilsin. Her pre-I- açık küme pre açık olduğundan, pre-θ kapanış noktası tanımı gereğince,

( )

U ∩ A≠∅

pCl ve her zaman pCl

( )

U ⊂_PICl

( )

U olduğundan, _PICl

( )

U ∩ A≠∅

olup, pre-θ-I kapanış noktası tanımından x∈_PICl_θ

( )

A elde edilir.

Lemma 4.3.1 den görüldüğü gibi bir ideal topolojik uzaydaki her weakly θ-pre- I sürekli fonksiyon weakly θ-pre süreklidir fakat karşıtı aşağıdaki örnekten de görüldüğü gibi doğru değildir.

Örnek 4.3.1. X =

{

a,b,c

}

kümesi τ =

{

∅,X,{a,b}

}

üzerinde

{

∅,X,{a},{b,c}

}

ν topolojisi ve I =

{

∅, b{ }

}

ideali verilsin. Bir

(

,τ,

) (

,ν

)

: X I X

f → birim fonksiyonu weakly θ-pre süreklidir fakat weakly θ-pre-I sürekli değildir.

Teorem 4.3.1. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν fonksiyonunun strongly θ-pre-I sürekli olması için gerek ve yeter Y uzayının her B alt kümesi için,

( )

(

f B

)

(

( )

B Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

)

olmasıdır ([31], Şimşekler).

Açıktır ki strongly θ-pre-I süreklilik, weakly θ-pre-I sürekliliği gerektirir. Fakat tersinin doğru olmadığını aşağıdaki Örnek 4.3.2 ile gösterdik:

Örnek 4.3.2. X =

{ }

a b, _{kümesi üzerinde}τ =

{

X, ,∅{ }a

}

topolojisi ve ideali verilsin. Bir

{

, b{ }

I = ∅

}

f :

(

X,τ,I

) (

→ X,τ

)

fonksiyonu f a( )= b ve

( )

f b = a şeklinde tanımlansın. Bu takdirde, fonksiyonu weakly f θ-pre-I süreklidir fakat strongly θ-pre-I sürekli değildir.

Aşağıdaki sonuçlardan görüldüğü gibi weak θ-pre-I süreklilik, sürekliliğin zayıf bir formudur.

Bunu gösterebilmek için öncelikle ispatımız için gerekli olan lemmayı verelim. Lemma 4.3.2. A kümesi

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayında açık ise, bu takdirde Cl

( )

A=_PICl_θ

( )

A dır.

İspat:

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayında bir A açık kümesini alalım. A kümesi X uzayında açık küme ise, _PICl_θ

( )

A ⊂Cl

( )

A olduğunu göstermeliyiz. Varsayalım kix∉Cl

( )

A olsun. Kapanış noktası tanımından bir U∈ϑ_{( )}_x açık kümesi için, U ∩ A=∅ olur. Buradan U ⊂

(

X −A

)

olup, X -A kümesi kapalı bir küme olup her kapalı küme de pre-I-kapalı olduğundan her iki tarafın pre-I-kapanışı alınırsa, _PICl

( )

U ⊂_PICl

(

X −A

)

= X −A olur. Buradan _PICl

( )

U ∩ A= ∅ olacağından, pre-θ-I kapanış noktası tanımını gereği x∉_PICl_θ

( )

A bulunur, yani;

( )

A Cl

( )

A Cl

PI θ ⊂ dir.

Şimdi A kümesi

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayında açıksa Cl

( )

A⊂_PICl_θ

( )

A olduğunu gösterelim. x∈Cl

( )

A ve x∈V ∈PIO

( )

X olsun. Bu takdirde,

( )

(

Cl V

)

Int V

x∈ ⊂ ∗ olup, _A∩_Int

(

_Cl∗

( )

)

≠ _{∅ dır.}_A_{kümesi açık olduğundan}

( )

(

Cl V

)

A Int

(

( )

)

Int

( )

A Int

(

( )

)

Int

A∩ ∗ ⊂ ∩ = ∩

=Int

(

A∩Cl

( )

)

⊂Int

(

A∩V

))

⊂Cl

(

A∩V

)

olur. Böylece Cl

(

A∩V

)

≠∅ ve A∩V ≠∅ olduğunu elde ederiz.

(

A∩V

)

∪

(

A∩Cl

(

Int

( )

))

= A∩

(

V ∪Cl

(

Int

( )

))

= A∩_PCl

(

)

olup, A∩V ≠∅ olduğundan, A∩ pCl

( )

V ≠∅ olur, pre-θ −kapanış noktası tanımından x∈pCl_θ

( )

A bulunur. Her zaman pCl_θ

( )

A⊂_PICl_θ

(

)

olduğundan,

( )

A Cl

x∈_PI _θ dır. Sonuç olarak A açık kümesi için, Cl

( )

A =PIClθ

(

)

olduğu gösterilmiş olur.

Teorem 4.3.2. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν _{bir fonksiyon olsun. Eğer} fonksiyonu sürekli ise, bu takdirde fonksiyonu weakly

f θ_{-pre-I süreklidir.}

İspat : V ⊂Yaçık küme olsun. O zaman 1

( )

f − V _{kümesi açık olduğundan,}

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − ₌ θ

dir. Ayrıca fonksiyonu sürekli olduğundan, f

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl −1 _⊂ −1 olur. Buradan,

( )

(

f V

)

(

( )

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 1 − − − ₌ _⊂ θ

sağlanır. Bu da, f fonksiyonunun weakly θ-pre-I sürekli olduğunu gösterir.

Örnek 4.3.3. Örnek 4.3.2 de verdiğimiz fonksiyon weakly θ-pre-I süreklidir fakat sürekli değildir.

Bu yüzden weak θ -pre-I süreklilik süreklilikten daha zayıftır.

Popa ve Noiri [25] de almost weakly sürekliliğin bir karakterizasyonunu aşağıdaki gibi vermişlerdir.

Teorem 4.3.3. f :

(

X,τ

) ( )

→ Y,ν fonksiyonunun almost weakly sürekli olması için gerek ve yeter şart her açık V ⊂Y kümesi için, pCl f

(

−1

( )

)

⊂ f −1

(

Cl V

( ))

Lemma 4.3.3.

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayında her A alt kümesi için, sağlanır.

( )

A Cl

( )

pCl ⊂_PI _θ

İspat: x∈pCl

( )

A ve x∈U∈PIO

(

X,x

)

olsun. x∈pCl

( )

A olduğundan, pre kapanış noktası tanımı gereği ve her pre-I-açık küme pre-açık olduğundan

dır. Her zaman ∅ ≠ ∩ A U U⊂_PICl

( )

U sağlandığından, olup, pre-

( )

U ∩ A≠∅ Cl PI

θ-I kapanış noktası tanımı gereği x∈_PICl_θ

( )

A dır.

Teorem 4.3.4. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν _{bir fonksiyon olsun. Eğer} fonksiyonu weakly

θ_{-pre-I sürekli ise, bu takdirde fonksiyonu almost weakly süreklidir.}f

İspat: Y uzayında bir V ⊂Y_{açık kümesini alalım. Her}A kümesi için, Lemma 4.3.3 den pCl

( )

A⊂_PIClθ

( )

A olup,

( )

(

f V

)

(

( )

)

pCl −1 _⊂_PI −1

ve fonksiyonu weakly f θ-pre-I sürekli olduğundan,

( )

(

f V

)

(

( )

)

(

( )

)

pCl −1 _⊂_PI −1 _⊂ −1 θ olup,

( )

(

)

(

( ))

pCl f − V ⊂ f − Cl V

bulunur . Buradan, fonksiyonu almost weakly sürekli olur.f

Uyarı 4.3.1. Aşağıdaki örnekte almost weakly sürekliliğin, weakly θ-pre-I sürekliliğigerektirmediğini gösterdik.

Örnek 4.3.4. X =

{

a,b,c

}

kümesi üzerinde, τ =

{

∅,X,{a},{a,b},{a,c}

}

{

∅,X,{b},{c},{b,c}

}

ν topolojileri ile I =

{

∅, b{ }

}

ideali verilsin. birim fonksiyonu

(

,τ,

) (

,ν

)

: X I X

f → almost weakly süreklidir, fakat weakly θ-pre-I sürekli değildir.

Böylece weak θ-pre-I süreklilik, süreklilik ve almost weak süreklilik arasındadır.

Teorem 4.3.4 ün karşıtının sağlanması için öncelikle gerekli olan ifadeleri verelim.

Tanım 4.3.1

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzay olsun. F ⊂ X pre-I-kapalı kümesi ve x X F∈ − noktası için , x U∈ ve _{olacak şekilde ayrık, pre-I-açık U ve V} komşulukları varsa

(

F⊂V

)

, ,

X τ I ideal topolojik uzayına pre-I-regular uzay denir ([2], Açıkgöz ve ark.).

Lemma 4.3.4.

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayının pre-I-regular uzay olması için gerek ve yeter şart her x∈X noktası ve noktasının her x U∈PIO

( )

X komşuluğu için x∈V⊂_PICl

( )

V ⊂U_{olacak şekilde}V∈PIO

(

X,x

)

kümesinin olmasıdır ([2], Açıkgöz ve ark.).

Teorem 4.3.5. I_n ideali,

(

X,τ

)

topololojik uzayında hiçbir yerde yoğun olmayan kümelerin ideali olsun.

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayı ve A⊂ X kümesi için, I =I_n ise A kümesinin pre-I-açık olması için gerek ve yeter şart A kümesinin pre açık olmasıdır ([6], Dontchev).

Lemma 4.3.5.

(

X,τ,I =I_n

)

ideal topolojik uzayının pre-I-regular uzay olması için gerek ve yeter şart her A⊂ X kümesi için, _PICl_θ

( )

A = pCl

(

)

olmasıdır.

İspat:⇒ Varsayalım ki

(

X ,,τ I_n

)

ideal topolojik uzayı pre-I-regular uzay olsun.A⊂ X ve x∈_PI Cl_θ

( )

A noktası verilsin. U kümesi, X _{uzayında pre-I-açık} küme ve olduğunu kabul edelim. O zaman en az bir kümesi vardır öyle ki

x U∈ W ∈PIO

(

X,x

)

( )

W U Cl

x∈ ⊂_PI ⊂ dır. x∈_PICl_θ

( )

A olduğundan, pre-θ-I kapanış noktası tanımı gereği _PICl

( )

W ∩ A≠∅_{olup, U A}∩ ≠ ∅ dır. Teorem 4.3.5 gereği

( )

A pCl

x∈ dir. Bir

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayında her A alt kümesi için olduğundan,

( )

A Cl

( )

pCl ⊂_PI _θ _PICl_θ

( )

A = pCl

( )

A elde edilir.

⇐Varsayalım ki herA⊂ X _{kümesi için}_PICl_θ

( )

A = pCl

(

)

olsun. ve pre-I-kapalı küme olsun. kümesi pre-I-kapalı küme ise, dır. Her zaman

x X∈

x F∉ F F=_PICl

( )

F Cl

( )

pCl ⊂_PI olduğundan, x∉pCl

( )

F ve hipotez gereği dır. Bu yüzden en az bir

( )

F Cl

x∉_PI _θ U∈PIO

(

X,x

)

kümesi vardır, öyle ki

( )

U ∩ F =∅

PI dır. Böylece x U∈ ve F ⊂ X−PICl

( )

U olur. Buradan

(

X ,,τ In

)

ideal topolojik uzayının pre-I-regular uzay olduğunu ispatlamış oluruz.

Aşağıdaki teorem, Teorem 4.3.4 ve Lemma 4.3.5 ün direk sonucudur.

Teorem 4.3.6.

(

X ,,τ I_n

)

ideal topolojik uzayı pre-I-regular uzay ise, bu takdirde f :

(

X,τ,I_n

) ( )

→ Y,ν fonksiyonunun weakly θ-pre-I sürekli olması için gerek ve yeter şart fonksiyonunun almost weakly sürekli olmasıdır. f

Uyarı 4.3.2. Weakly θ-pre-I sürekli fonksiyonları, almost weakly I- sürekli fonksiyonlarla karşılaştırabilmek için Tanım 4.1.5 ifadesini aşağıda tekrar verdik. Ayrıca karşılaştırma yapabilmek için, almost weakly I- sürekli fonksiyonlar için bazı karakterizasyonları da inceledik ve elde ettik.

f :

(

X,τ

) (

→ Y,ν,I

)

bir fonksiyon olsun.Y uzayının her V açık kümesi için,

( )

V Int

(

( )

)))

f −1 _⊂ −1 ∗ _{oluyorsa, bu fonksiyona almost weakly I-sürekli} fonksiyon denir.

Tanım 4.3.2.

(

X,τ

)

topololojik uzayı üzerindeki bir I ideali için, eğer

{ }

∅

= ∩ I

Lemma 4.3.6.

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzay olsun. I idealinin codense olması için gerek yeter şart X uzayının her A açık kümesi için, olmasıdır ([15], Jankovic ve Hamlet).

∗ ⊂ A

Lemma 4.3.7.

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayında A⊂ X kümesi verilsin. Eğer ise, bu takdirde

∗ ⊂ A

A A∗ ₌Cl

( )

A∗ ₌Cl

( )

A ₌Cl∗

( )

A _{dır ([28],} _{Renuka Devi ve}

ark.).

Teorem 4.3.7. f :

(

X,τ

) (

→ Y,ν,I

)

bir fonksiyon ve

(

Y ,,ν I

)

ideal topolojik uzayında I ideali codense olsun. fonksiyonu için aşağıdaki özellikler denktir: f

(a) fonksiyonu almost weakly I-süreklidir; f

(b) Yuzayının her V açık kümesi için, Cl

(

Int

(

f −1

( )

))

_⊂ f−1

(

Cl∗

( )

)

( )

x noktasını içeren her V açık kümesi için,

( )

(

)

(

f Cl V

)

Cl −1 ∗ kümesi noktasının bir komşuluğudur. x

İspat: (a)⇒ (b): açık kümesi V Y uzayının bir alt kümesi olsun.Y −Cl

( )

kümesi Y uzayında açıktır ve fonksiyonu almost weakly I-sürekli olduğundan, f

( )

(

)

(

( ))

(

( )))))

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)))

( )

(

)

(

Int f V

)

Cl X V Y f Cl Int V Cl Y Cl f Cl Int V Cl Y Cl f Cl Int V Cl Y f V Cl f X 1 1 1 1 1 1 − − − ∗ − − − − ⊂ − ⊂ − ⊂ − ⊂ − = − olur ve

( )

(

)

(

Int f V

)

(

( )

)

Cl −1 _⊂ −1

olup,

(

Y ,,ν I

)

ideal topolojik uzayında I ideali codense olduğundan Cl

( )

V ₌Cl∗

( )

olur. Buradan,

( )

(

)

(

Int f V

)

Cl −1 _⊂ _f−1

(

_Cl

( )

)

₌ _f−1

(

_Cl∗

( )

)

elde edilir. Böylece

( )

(

)

(

Int f V

)

(

( )

)

Cl −1 _⊂ −1 ∗

(b)⇒ (c): x∈X noktası ve f

( )

x noktasını içeren bir V açık kümesi verilsin. kümesi uzayında açık olup,

( )

V Cl

Y − Y

(

Y ,,ν I

)

ideal topolojik uzayında I ideali

codense olduğundan, Cl

( )

V ₌Cl∗

( )

V _dır.

X ₋Int

(

f−1

(

Cl∗

( )

)))

₌X ₋Int

(

f−1

(

( )

)))

olup, (b) ifadesi gereği,

( )

(

)

(

)

(

Cl f ClV

)

(

Int

(

Y Cl

( )

)))

(

Y Cl

( )

))

Int X − −1 = −1 − ⊂ −1 ∗ − _olup, ⊂ f−1

(

Y−Cl

( )

))

= f−1

(

Y−Int

(

)))

_⊂ f −1

(

Y ₋V

)

₌ X ₋ f −1

( )

V dır. Buradan,

( )

V Int

(

( )

)))

f−1 ⊂ −1 ∗

elde edilir ki x_∈ f −1

( )

V ile birlikte düşünüldüğünde

( )

V Int

(

( )

)))

x∈ −1 ⊂ −1 ∗

olup, Cl

(

f−1

(

Cl∗

( )

))

kümesinin noktasının bir komşuluğu olduğu görülür. x

(c) (a): V kümesi Y uzayında herhangi bir açık küme ve olsun. O zaman ve (c) ifadesi gereği

⇒ x_∈ f −1

( )

x ∈V

f Cl

(

f −1

(

Cl∗

( )

))

kümesi, noktasının bir komşuluğu olup, x

( )

(

)

(

)

(

Cl Cl V

)

Int x∈ _f −1 ∗ _{olur. Buradan}

( )

V Int

(

( )

)))

f−1 _⊂ −1 ∗

elde edilir. Böylece fonksiyonu almost weakly I-süreklidir. f

Almost weakly I-sürekli fonksiyonlar için bir kriter daha verelim:

Teorem 4.3.8. f :

(

X,τ

) (

→ Y,ν,I

)

bir fonksiyon ve

(

Y ,,ν I

)

ideal topolojik uzayında I ideali codense olsun. fonksiyonunun almost weakly I-sürekli olması için gerek ve yeter şart her açık kümesi için,

V ⊂Y pCl

(

f−1

( )

)

_⊂ f −1

(

Cl∗

( )

)

İspat: ⇒ V kümesi Y uzayının bir açık alt kümesi olsun. fonksiyonu almost weakly I-sürekli ve

(

Y,ν,I

)

ideal topolojik uzayında I ideali codense olduğundan, Teorem 4.3.7 gereği,

(

Int

(

f−1

( )

))

⊂ f −1

(

Cl∗

( )

)

dır. Buradan, pCl

(

f −1

( )

)

₌ f −1

( )

V _∪Cl

(

Int

(

f −1

( )

))

_⊂ f−1

(

Cl∗

( )

)

olup, pCl

(

f −1

( )

)

⊂ f −1

(

Cl∗

( )

)

elde edilir.

⇐ V açık kümesi Y uzayının bir alt kümesi olsun. pCl

(

f −1

( )

)

⊂ f −1

(

Cl∗

( )

)

olup, pre kapanış noktası tanımı gereğince,

(

Int

(

f−1

( )

))

_⊂ pCl

(

f −1

( )

)

_⊂ f −1

(

Cl∗

( )

)

olup,

(

Int

(

f−1

( )

))

⊂ f −1

(

Cl∗

( )

)

(

Y ,,ν I

)

ideal topolojik uzayında I ideali codense olduğundan, fonksiyonu almost weakly I-süreklidir.

Uyarı 4.3.3. Weakly θ-pre-I süreklilik, almost weakly I-süreklilikten bağimsızdır.

Örnek 4.3.5. X =

{

a,b,c

}

kümesi üzerinde τ =

{

∅,X,{a},{a,c}

}

topolojisi ile ideali ve

{

, a{ }

I = ∅

}

Y =

{ }

1,2,3 kümesi üzerinde ν =

{

∅,Y,{1}

}

topolojisi ile ideali verilsin.

{

,{1} 1 = ∅

}

f :

(

X,τ,I

) (

→ Y,ν,I₁

)

_fonksiyonu f

( )

a =3 f

( )

b =2 şeklinde tanımlansın. Bu takdirde fonksiyonu weakly

( )

c =1

f f θ-pre-I süreklidir

fakat almost weakly I-sürekli değildir.

Örnek 4.3.6. X =

{

a,b,c

}

kümesi üzerinde, τ =

{

∅,X,{a},{a,b}{a,c}

}

topolojisi ile I =

{

∅, b{ }

}

ideali ve ν =

{

∅,X,{b},{c},{b,c}

}

topolojisi ile

{

,{ }

1 a

I = ∅

}

ideali verilsin. f :

(

X,τ,I

) (

→ X,ν,I₁

)

birim fonksiyonu almost weakly I-süreklidir fakat weakly θ-pre-I sürekli değildir.

Teorem 4.3.9. f :

(

X,τ,I

) (

→ Y,ν,I₁

)

bir fonksiyon ve

(

Y, Iν, ₁

)

ideal topolojik uzayında I₁ ideali codense olsun. Eğer f fonksiyonu weakly θ-pre-I sürekli ise, bu takdirde fonksiyonu almost weakly I-süreklidir. f

İspat: V kümesi Y uzayının bir açık alt kümesi olsun. fonksiyonu weakly f θ-pre-I sürekli olduğundan,

_PICl

(

f −1

( )

)

_⊂ f −1

(

( )

)

olur ve

(

Y, Iν, ₁

)

ideal topolojik uzayında ideali codense olduğundan, I₁

pCl

(

f −1

( )

)

_⊂_PI Cl

(

f −1

( )

)

_⊂ f −1

(

( )

)

₌ f −1

(

Cl∗

( )

)

θ olup,

( )

(

f V

)

(

( )

)

pCl −1 ⊂ −1 ∗

bulunur. Böylece fonksiyonu almost weakly I-süreklidir. f

Teorem 4.3.10. f :

(

X,τ,I_n

) (

→ Y,ν,I₁

)

bir fonksiyon olsun.

(

X ,,τ I_n

)

ideal topolojik uzayı pre-I-regular uzay ve

(

Y, Iν, ₁

)

ideal topolojik uzayında codense ise, bu takdirde

(

, ,

) (

, , 1

)

: X I Y I

f τ _n → ν fonksiyonunun weakly θ-pre-I sürekli olması için gerek ve yeter şart fonksiyonunun almost weakly I-sürekli olmasıdır. f

İspat: ⇒ Teorem 4.3.9 den açıktır.

kümesi Y uzayının bir açık alt kümesi olsun. fonksiyonu almost weakly I- sürekli ve

(

⇐ V f

)

I₁ , ,

Y ν ideal topolojik uzayında codense olduğundan, I₁

( )

(

f V

)

(

( )

)

pCl −1 _⊂ −1 ∗

dır. Lemma 4.3.5 ve Cl∗

( )

V ⊂Cl

( )

V _{ifadesi gereği,}

( )

(

f V

)

pCl

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 1 1 − − ∗ − − ₌ _⊂ _⊂ θ olup,

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

bulunur. Böylece fonksiyonu weakly f θ-pre-I süreklidir.

Şimdi weak θ-pre-I sürekliliğin weak süreklilikle hangi koşullar altında birbirini gerektirdiğini inceleyeceğiz. Weak θ-pre-I süreklilik weak süreklilikten bağımsızdır.

Örnek 4.3.7. Örnek 4.3.4. te verdiğimiz fonksiyon weak süreklidir fakat weakly θ-pre-I sürekli değildir.

Örnek 4.3.8. X =

{

a,b,c

}

kümesi üzerinde, τ =

{

∅,X,{a},{b,c}

}

topolojisi ideali ve

{

, a{ }

I = ∅

}

ν =

{

∅,X,{c},{a,b}

}

topolojileri verilsin.

(

,τ,

) (

,ν

)

: X I X

f → birim fonksiyonu weakly θ-pre-I süreklidir fakat weakly sürekli değildir.

Rose [26] de weak sürekliliğin bir karakterizasyonunu aşağıdaki gibi vermiştir.

Teorem 4.3.11. f :

(

X,τ

) ( )

→ Y,ν _{fonksiyonunun weakly sürekli olması için} gerek ve yeter şart her açık V ⊂Y kümesi için, _{Cl f}

(

−1

( )

)

_⊂ _f−1

(

_{Cl V}

( ))

_olmasıdır ([26], Rose).

Tanım 4.3.3.

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzay olsun. kapalı kümesi ve F

x X F∈ − noktası için , ve olacak şekilde ayrık, pre-I-açık U ve V

komşulukları varsa

(

x U∈ F ⊂V

)

, ,

X τ I ideal topolojik uzayına p-I-regular uzay denir ([31], Şimşekler).

Lemma 4.3.8.

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayının p-I-regular uzay olması için, gerek ve yeter şart her x_{∈ noktası ve noktasının her U açık komşuluğu}X

için _{olacak şekilde}

( )

V U Cl

x∈ ⊂_PI ⊂ V ∈PIO

(

X,x

)

kümesinin olmasıdır

Lemma 4.3.9.

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayının p-I-regular uzay olması için, gerek ve yeter şart her A⊂ X kümesi için _PICl_θ

( )

A ⊂Cl

( )

A olmasıdır.

İspat: ⇒Varsayalım ki

(

X, ,τ I

)

uzayı p-I-regular uzay olsun. A⊂ X ve noktası verilsin. U kümesi,

( )

A Cl

x∈_PI _θ X _{uzayının bir açık kümesi ve}

x U∈ olsun. O zaman en az bir W∈PIO

(

X,x

)

kümesi vardır öyle ki

( )

W U

Cl W

x∈ ⊂_PI ⊂ dır. x∈_PI Cl_θ

( )

A olduğundan, pre-θ-I kapanış noktası tanımı gereği _PICl

( )

W ∩ A≠∅ olup, U ∩A≠ ∅ dır. Böylece x Cl A∈ ( ) dir.

⇐ Varsayalım ki herA⊂ X kümesi için _PICl_θ

( )

A ⊂Cl

(

)

olsun.x X∈

noktası ve x F∉ , F kapalı küme verilsin. O zaman x Cl F∉ ( ) ve hipotez gereği dır. Bu yüzden en az bir

( )

F Cl

x∉_PI _θ U∈PIO

(

X,x

)

kümesi vardır, öyle ki

( )

U ∩ F =∅

PI dır. Böylece x U∈ ve F ⊂ X−PICl

( )

U olur. Buradan

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayının p-I-regular uzay olduğu ispatlanır.

Teorem 4.3.12. Eğer

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayı p-I-regular uzay ve

(

,τ,

) ( )

,ν

: X I Y

f → weakly sürekli fonksiyon ise, bu takdirde f fonksiyonu weakly

θ-pre-I süreklidir.

İspat: V ⊂Y kümesi açık olsun. Lemma 4.3.9 gereği,

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayı p-I-regular uzay olduğundan,

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

dır. f fonksiyonu weakly sürekli olduğundan,

( )

(

)

(

( ))

Cl f− V _⊂ f− Cl V olur. Böylece

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

Lemma 4.3.10. Eğer

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayında X uzayının her pre-I- açık alt kümesi, α -I-açık küme ise, bu takdirde her A⊂ X kümesi için

( )

A Cl

( )

A Cl ⊂_PI _θ dır.

İspat :A⊂ X kümesi ve x Cl A∈ ( ) noktası verilsin. x∈U∈PIO

( )

X pre-I- açık küme olsun. Hipotez gereği, U kümesi α-I-açık kümedir ve

( )

(

)

(

Cl IntU

)

Int

(

U Cl

(

Int

( )

))

Int

(

U Cl

(

Int

( )

))

Int

(

pCl

( )

)

Int U

x∈ ⊂ ∗ ⊂ ∪ ∗ ⊂ ∪ =

dır.

x Cl A∈ ( )olduğundan, Int

(

pCl

( )

)

∩ A≠∅ ve bu yüzden pCl

( )

U ∩ A≠∅ dır. Buradan x∈pCl_θ

( )

A dır. Her zaman pClθ

( )

A⊂_PIClθ

( )

A olduğundan,

dır. Dolayısıyla

( )

A Cl

x∈_PI _θ Cl

( )

A ⊂_PI Cl_θ

( )

A elde edilir.

Teorem 4.3.13. Eğer

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayının her pre-I-açık alt kümesi, α -I-açık küme ve f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν fonksiyonu weakly θ-pre-I sürekli ise, bu takdirdef fonksiyonu weakly süreklidir.

İspat : V ⊂Y açık küme olsun.f fonksiyonu weakly θ- pre-I sürekli olduğundan,

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ dır. Lemma 4.3.10 gereği,

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl −1 _⊂_PI −1 θ dır. Bu yüzden

(

1_{( )}

)

(

_{( )}

)

Cl f− V _⊂ f− Cl V

olur ki, bu f fonksiyonun weakly sürekli olduğunu gösterir.

Uyarı 4.3.4. Weak θ-pre-I süreklilik, weak I-süreklilikten bağimsızdır.

Örnek 4.3.9. Örnek 4.3.6. de verilen birim fonksiyonu weakly I-süreklidir fakat weakly θ-pre-I sürekli değildir.

Örnek 4.3.10. X =

{

a,b,c

}

kümesi üzerinde, τ =

{

∅,X,{b}

}

topolojisi ile ideali ve

{

, b{ }

I = ∅

}

ν =

{

∅,X,{a,b

}

topolojisi ile I₁ =

{

∅,

{ } { }

a , b,{a,b}

}

ideali verilsin. f :

(

X,τ,I

) (

→ X,ν,I₁

)

birim fonksiyonu weakly θ-pre-I süreklidir fakat weakly I-sürekli değildir.

Teorem 4.3.14.

(

Y ,,ν I

)

ideal topolojik uzayında I ideali codense ve

(

) (

Y I

)

f : ,τ → ,ν, fonksiyonu weakly I-sürekli ise, bu takdirde her açık kümesi için,

V ⊂Y

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl −1 _⊂ −1 ∗ _{olmasıdır ([16], Jeyanthı ve ark.).}

Teorem 4.3.15. Eğer

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayı p-I-regular uzay ve

(

Y, Iν, 1

)

ideal topolojik uzayında I1 ideali codense olsun. f :

(

X,τ,I

) (

→ Y,ν,I1

)

weakly I-sürekli fonksiyon ise, bu takdirdef fonksiyonu weakly θ-pre-I süreklidir.

İspat : V ⊂Y kümesi açık olsun. Lemma 4.3.9 gereği

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayı p-I-regular uzay olduğundan

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

dır. f fonksiyonu weakly I-sürekli ve ideali codense olduğundan, I1

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl −1 ⊂ −1 ∗ olur. Böylece

( )

(

f V

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 1 1 − − ∗ − − _⊂ _⊂ _⊂ θ olup,

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

olur. Bu yüzden f fonksiyonu weaklyθ-pre-I süreklidir.

Teorem 4.3.16. Eğer

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayının her pre-I-açık alt kümesi, α -I-açık küme ve

(

Y, Iν, ₁

)

ideal topolojik uzayında I₁ ideali codense ve

(

, ,

) (

, , 1

: X I Y I

f τ → ν

)

fonksiyonu weakly θ-pre-I sürekli ise, fonksiyonunun weakly I- süreklidir.

İspat : V ⊂Y açık küme olsun.f fonksiyonu weakly θ- pre-I sürekli olduğundan,

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

dır. Eğer

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzayının her pre-I-açık alt kümesi, α -I-açık küme ise,

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl −1 _⊂_PI −1

olur ve

(

Y, Iν, ₁

)

ideal topolojik uzayında ideali codense olduğundan, I₁

( )

(

ClV

)

(

( )

)

f−1 = −1 ∗ dır. Bu yüzden

( )

(

f V

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

Cl −1 _⊂_PI −1 _⊂ −1 ₌ −1 ∗ θ olup,

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl −1 ⊂ −1 ∗

olur ki, bu f fonksiyonunun weakly I-sürekli olduğunu gösterir.

Şimdi de weakly I-süreklilik ile almost weakly I-sürekliliği karşılaştıralım. Weakly I-süreklilik için ([1], Açıkgöz ve ark.) de verilen bir teoremi verelim.

Teorem 4.3.17. f :

(

X,τ

) (

→ Y,ν,I

)

fonksiyonunun weakly I-sürekli olması için gerek ve yeter şart Y_{uzayının her V açık kümesi için,}

( )

V Int

(

( )

))

f −1 ⊂ −1 ∗ _{olmasıdır ([1], Açıkgöz ve ark.).}

Teorem 4.3.18. f :

(

X,τ

) (

→ Y,ν,I

)

bir fonksiyon olsun. Eğer fonksiyonu weakly I-sürekli ise, fonksiyonu almost weakly I-süreklidir.

f f

İspat: Teorem 4.3.17 ve Tanım 4.1.5 gereği açıktır.

Ancak aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi almost weakly I-sürekli fonksiyonun, weakly I-sürekli olması gerekmez.

Örnek 4.3.11. X =

{

a,b,c

}

kümesi üzerinde, τ =

{

∅,X,{b}

}

topolojisi ve

{

∅,X,{a,b

}

ν topolojisi ile I₁ =

{

∅,

{ } { }

a , b,{a,b}

}

ideali verilsin.

(

) (

, , 1

)

: X X I

f τ → ν birim fonksiyonu almost weakly I-süreklidir fakat weakly I- sürekli değildir.

Tanım 4.3.4. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν bir fonksiyon olsun. Y uzayının her V açık kümesi için _f−1( )_V _{kümesi, pre-}_θ_{-I kapalı küme ise, bu fonksiyona contra}_θ_-pre-I sürekli fonksiyon denir.

Teorem 4.3.19. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν fonksiyonu contra θ-pre-I sürekli ise, bu takdirde f_{fonksiyonu weakly}θ- pre-I süreklidir.

İspat : uzayının bir Y V_{açık kümesini alalım. O zaman} _f−1( )_V _{kümesi pre-}

θ-I kapalı olduğundan,

( )

(

f V

)

( )

V f

(

( )

)

Cl PI 1 1 1 − − − ₌ _⊂ θ

dır. Buradan, f_{fonksiyonunun weakly}θ- pre-I sürekli olduğu açıktır.

Aşağıdaki örnek weak θ-pre-I sürekliliğin, contra θ-pre-I sürekliliği gerektirmediğini gösterir.

Örnek 4.3.12. X =

{ }

a b, _{kümesi üzerinde}τ =

{

X, ,∅{ }a

}

Sierpinski topolojisi ile I =

{

∅, b{ }

}

ideali verilsin. f :

(

X,τ,I

) (

→ X,τ

)

birim fonksiyonu weakly θ- pre-I süreklidir fakat contra θ-pre-I sürekli değildir.

4.4. Bazı Özellikler

f :

(

X,τ

) ( )

→ Y,ν fonksiyonu için, X ×Y uzayının

{(

x,f

( )

)

:x∈X

}

alt kümesi f fonksiyonunun grafiği olarak adlandırılır ve G

( )

f ile gösterilir. Her

noktası için,

( ) (

x,y ∈ X×Y

) (

−G f

)

(

U V×

)

∩G f

( )

= olacak şekilde uzayında φ Y

x y noktalarını içeren sırasıyla açık kümeleri varsa fonksiyonunun grafiğine kapalı grafik denir ([36], Genel topoloji).

Y X f : →

( )

f G

Tanım 4.4.1. Her

( ) (

x,y ∈ X×Y

) ( )

−G f noktası için,

( )

x,y ∈

(

_PICl

( )

U ×V

)

⊂ X×Y −G

( )

f olacak şekilde Y uzayında y noktasını içeren bir V açık kümesi ve U∈PIO

(

X,x

)

_{pre-I-açık kümesi varsa} f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν fonksiyonunun G

( )

f grafiğine strongly pre-I- kapalı denir ([31], Şimşekler).

Teorem 4.4.1. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν fonksiyonu weakly θ-pre-I sürekli ve uzayı Hausdorff uzay ise, bu takdirde

Y G

( )

f grafiği X Y× çarpım uzayında

strongly pre-I-kapalıdır.

İspat:

( ) (

x,y ∈ X×Y

) ( )

−G f olsun. Hipotez gereği, uzayı Hausdorff uzayı olduğundan V_veW ayrık, açık kümeleri vardır ki

y V∈ ve f x( )∈W dir. Böylece ( ) ( )

f x ∉Cl V olur ve bu yüzden _x_∉_f−1

(

_{Cl V}( )

)

_dir. _f_{fonksiyonu weakly}_θ_{- pre-} I sürekli olduğundan x_∉_PICl

(

f −1

( )

)

θ dir. Bu yüzden pre-θ-I kapanış noktası tanımından _Cl

( )

_U ∩ _f −

( )

_V =∅ olacak şekilde bir

PI 1 U∈PIO

(

X,x

)

kümesi vardır.

Buradan

( )

x,y ∈

(

_PICl

( )

U ×V

)

⊂ X×Y−G

( )

f olur ki, bu da grafiğinin, strongly pre-I- kapalı oluşunu ispatlar.

( )

f G

Sonuç 4.4.1. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν _{fonksiyonu strongly θ-pre-I-sürekli ve}Y uzayı Hausdorff uzay ise, bu takdirde G

( )

f grafiği X Y× çarpım uzayında strongly pre-I-kapalıdır ([31], Şimşekler).

Teorem 4.4.2. ([34], Yüksel ve ark.)

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzay ve olsun.

0 ,

A X ⊂ X

(1) A∈PIO( X) ve X₀ ∈SIO(X) ise, A∩X0∈PIO X( 0) (2) A PIO X∈ ( 0) ve X0∈PIO X( ) ise, A PIO X∈ ( ).

Teorem 4.4.3. ([34], Yüksel ve ark.)

(

X, ,τ I

)

ideal topolojik uzay ve olsun ve

A⊂ X ⊂X _PICl_X

( )

0 ifadesi A kümesinin alt uzayında pre-I- kapanışını göstersin.

(1) X uzayında X₀semi-I-açık küme ise, _PICl_X

( )

A⊂_PICl

(

)

dır. (2) A∈PIO

(

X₀ ve X₀∈PIO

( )

X ise, PICl

( )

A⊂PIClX0

( )

A .

B⊂ A⊂ X ise, o zaman B kümesinin pre-θ-I kapanışını A alt uzayıyla bağlantılı olarak _PICl_A_θ

( )

B ile gösterebiliriz.

Lemma 4.4.1. B⊂ A⊂ X olacak şekilde bir X uzayının A veB alt kümeleri verilsin. A kümesi semi-I-açık ise, _PICl_A_θ

( )

B⊂_PICl_θ

( )

B dır.

İspat: x∈_PICl_A_θ

( )

B ve U∈PIO

(

X,x

)

olsun. O zaman x U∈ ∩A ve Teorem 4.4.2 den U ∩A∈PIO

( )

A dır. x∈_PICl_A_θ

( )

B olduğundan, pCl UA( ∩A)∩ ≠ ∅B

dır. Teorem 4.4.3 den _PICl_A

(

U ∩A

)

⊂_PICl

(

U ∩A

)

dır. Böylece

(

U∩A

)

∩B≠∅

PI olup ve bu yüzdenPICl

( )

U ∩ B≠∅ dır. Böylece

( ) x∈pCl B_θ dır.

Teorem 4.4.4. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν _weaklyθ-pre-I sürekli fonksiyon ve kümesi

X uzayının semi-I-açık bir alt kümesi ise f /_A :

(

A,τ_A,I_A

) ( )

→ Y,ν kısıtlanmış fonksiyonu da weakly θ-pre-I süreklidir.

( )

(

f V

)

(

( )

V A

)

(

( )

V A

)

A Cl_A _A _PI _A _PI PI = ∩ ⊂ ∩ ∩ − − −1 1 1 / _θ _θ θ _⊂_PI Cl

(

f−1

( )

)

_∩A_⊂ f−1

(

( )

)

_∩A₌ f _/_A−1

(

)

dir. Bu yüzden f /_A :

(

A,τ_A,I_A

) ( )

→ Y,ν fonksiyonu weakly θ-pre-I süreklidir. Son olarak fonksiyonların çeşitli tipleri ile weakly θ-pre-I sürekli fonksiyonların bir araya gelmesiyle oluşan bazı özellikleri inceleyeceğiz.

Teorem 4.4.5. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν fonksiyonu weakly θ-pre-I sürekli ve

( ) (

,ν ,σ

)

: Y Z

g → fonksiyonu sürekli ise gD f :

(

X,τ,I

) (

→ Z,σ

)

_bileşke fonksiyonu weakly θ-pre-I süreklidir.

İspat: Z uzayında V bir açık alt küme olsun. O zaman,

_PICl

((

g f

) ( )

−1 V

)

₌_PI Cl

(

f−1

(

g−1

( )

))

_⊂ f −1

(

g−1

( )

))

θ θ D _⊂ _f−1

(

_g−1

(

_{Cl V}

( )))

₌

(

_{g f}_D

)

−1

(

_{Cl V}

(

))

olduğundan, _PICl_θ

((

gD f

) ( )

−1 V

)

⊂

(

gD f

)

−1

(

( )

)

olup, g fD bileşke fonksiyonu weakly θ-pre-I süreklidir.

Tanım 4.4.2 f :

(

X,τ,I

) (

→ Y,ν,I₁

)

fonksiyonu verilsin.

(

X ,,τ I

)

uzayının her pre θ-I kapalı alt kümesinin görüntüsü,

(

Y, Iν, ₁

)

uzayında pre θ-I kapalı küme ise,

fonksiyonuna pre

f θ-I kapalı fonksiyon denir.

Teorem 4.4.6. f :

(

X,τ,I

) (

→ Y,ν,I₁

)

_{fonksiyonunun pre}θ-I kapalı fonksiyon olması için gerek ve yeter şart her A⊂ X kümesi için,

olmasıdır.

( )

(

f A

)

(

Cl _PI

PI θ ⊂ θ

))

İspat: ⇒ fonksiyonu pre f θ-I kapalı olsun.

(

X ,,τ I

)

uzayının herhangi bir X

fonksiyonuna göre görüntüsü alınırsa, f

( )

A ⊆ f

(

_PICl_θ

( )

)

ve her iki tarafın pre θ-I kapanışı alınırsa, _PICl_θ

(

( )

)

⊆_PI Cl_θ

(

_PICl_θ

( )

))

olur. fonksiyonu pre f θ-I kapalı fonksiyon olduğundan, f

(

_PICl_θ

( )

)

kümesi pre θ-I kapalı kümedir.

( )

(

)

(

f Cl A

)

(

( )

)

Cl _PI _PI

PI θ θ = θ olup, PIClθ

(

( )

)

⊆ f

(

PIClθ

( )

)

bulunur.

⇐Her A⊂ X kümesi için, _PICl_θ

(

( )

)

⊆ f

(

_PICl_θ

( )

)

olduğunu kabul edelim. fonksiyonunun pre f θ-I kapalı olduğunu gösterelim. Herhangi bir K, pre

θ-I kapalı alt kümesini alalım. K kümesi pre θ-I kapalı ise, dir. Kabulumüz gereği

( )

K Cl K =_PI _θ

( )

(

f K

)

(

( )

)

( )

K Cl _PI

PI θ ⊆ θ = elde ederiz. Her A⊂ X

kümesi için, A⊆_PI Cl_θ

( )

A olduğundan, f

( )

K ⊂_PI Cl_θ

(

( )

)

olup, buradan

( )

(

f K

)

(

K Cl PI θ =

)

elde edilir. Teorem 4.4.7. f :

(

X,τ,I

) (

→ Y,ν,I₁

)

ve g:

(

Y,ν,I₁

) (

→ Z,σ

)

fonksiyonları verilsin. gD f :

(

X,τ,I

) (

→ Z,σ

)

_{bileşke fonksiyonu weakly}θ-pre-I sürekli ve fonksiyonu örten ve fonksiyonu pre

f f θ-I kapalı fonksiyon ise, o zaman fonksiyonu weakly

θ -pre-I süreklidir.

İspat: Z uzayında V bir açık alt küme olsun. O zaman g fD _bileşke

fonksiyonu weakly θ-pre-I sürekli olduğundan,

( )

(

)

(

f g V

)

(

( )

))

Cl PI 1 1 1 1 − − − − _⊂ θ

dır. fonksiyonuna göre görüntüsü alınırsa ve örtenlikten, f

( )

(

)

(

)

(

Cl f g V

)

(

( )

)

f PI 1 1 1 − − − _⊂ θ elde edilir. f

(

_PICl

(

f −1

(

g−1

( )

)))

θ , fonksiyonu pref θ-I kapalı olduğundan, Teorem 4.4.6 gereği,

( )

(

)

(

)

(

f f g V

)

(

( )

)))

Cl PI PI 1 1 1 1 − − − − _⊂ θ θ dır. Ve bu yüzden,

( )

(

)

(

)

(

f f g V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 1 − − − _⊂ θ

( )

(

)

(

g V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

olur ki buda ispatı tamamlar. Böylece fonksiyonu weakly g θ -pre-I süreklidir.

Teorem 4.4.8. f :

(

X,τ,I

) ( )

→ Y,ν ve g:

( ) (

Y,ν → Z,σ

)

fonksiyonları verilsin. Eğer gD f :

(

X,τ,I

) (

→ Z,σ

)

_{bileşke fonksiyonu weakly}θ-pre-I sürekli ve

fonksiyonu birebir, clopen ise, bu takdirde fonksiyonu weakly

g f θ -pre-I

süreklidir.

İspat: uzayında kümesi bir açık alt küme olsun. fonksiyonu açık ve bileşke fonksiyonu, weakly

Y V g

g D θ-pre-I sürekli olduğundan,

( )

(

f V

)

(

( )

)))

(

( )

)))

Cl _PI PI 1 1 1 1 1 − − − − − _⊂ _⊂ θ θ

dir. Dahası fonksiyonu kapalı ve birebir olduğundan, g

( )

(

)

(

)

(

g Cl gV

)

(

( )

)))

(

( )

)

f −1 −1 _⊂ −1 −1 ₌ −1 olur ve

( )

(

f V

)

(

( )

)

Cl PI 1 1 − − _⊂ θ

SONUÇ VE ÖNERİLER

(

X,τ

)

topolojik uzayında tanımlanan weakly θ-pre- sürekli fonksiyonları ele aldık. Bu süreklilik çeşidini ideal topolojik uzaylarda tanımlayarak ideal topolojik uzay ve topolojik uzaylarda daha önceden tanımlanan süreklilik çeşitleriyle karşılaştırdık ve tanımladığımız bu süreklilik çeşidine ait birçok özellik ve karakterizasyon elde ettik.

İncelemiş olduğumuz bu süreklilik çeşidinden yola çıkılarak daha farklı karakterizasyon ve özellikler elde edilebilir.

KAYNAKLAR

[1] Açıkgöz A., Noiri T. and Yüksel Ş., 2004, A decompositions of continuity in ideal topological spaces, Acta Math. Hungar., 105 (4), 285-289.

[2] Açıkgöz A., Yüksel Ş., Gürsel E., 2006, On a new concept of functions in ideal topological spaces, Journal of the faculty of science, Vol 29., 30-35.

[3] Bourbaki N., 1966, General Topology, Addison-Wesley, Mass.

[4] Baker C. W., 2003, Weakly θ- pre continuous functions, Acta Math. Hungar 100 (4) 343-351.

[5] Csaszar A., 1997, Generalized open sets, Acta Math. Hungar., 75, 65-87. [6] Dontchev J., 1996, On pre-I-open sets and a decomposition of I-continity,

Banyan Math., Vol. 2.

[7] Dontchev J., Ganster M., and Rose A., 1999, İdeal resolvabilitiy, Topology and its aplications, 93, 1-16

[8] Dontchev J., Ganster M., and Noiri T., 2000, On p-closed spaces, Internant. J. Math. Math. Sci., 24, 203-212.

[9] El-Deeb N., Hasanein I. A., Mashhour A. S., and Noiri T., 1983, On p- regular spaces, Bull. Math. Soc. Sci. Math. R. S. Roumanie, 27 (75) 311- 317

[10] Guo Jun Weng, 1981, On S-closed spaces, Acta Math. Sinica, 24, 55-63.

[11] Hayashi E., 1964, Tolologies defined by local properties, Math. Ann., Vol. 156, 205-215.

[12] Hatır E. and Noiri T., 2002, On decompositions of continuity via idealization, Acta Math. Hungar., 96 (4), 341-349.

[13] Jankovic D. S., 1985, θ-reguler spaces, Internal. J. Math. & Math. Sci., Vol.8, No. 3, 615-619

[14] Jankovic D. and Hamlet T.R., 1990 East Central University, Ada, OK 74820 [15] Jankovic D., Hamlet T.R. ,1990, New topologies from old via ideals, Amer.

Math. Monthly., Vol. 97, 295-310.

[16] Jeyanthi V., Renuka Devi V., Sivaraj D., 2006, Weakly I- continuous functıons, Acta Math. Hungar., 113 (4), 319-324.

[17] Kuratowski K., 1933,Topologie 1, Worszsawa,

Belgede İdeal topolojik uzaylarda weakly ?-pre-I sürekli fonksiyonlar üzerine (sayfa 53-77)