Günlük yaşam problemlerinin cevapları, bulgularda açıklanacağı üzere yazılı bir çalışma kağıdı olarak toplanmıştır. Bu uygulama öğrencilerin her zamanki kendi çalışma ortamlarında velilerin gözetiminde yapılmıştır. Uygulama; zaman, soru vb. değişkenler bakımından aynıdır ve veliler tarafından kayıt altına alınarak gerçekleştirilmiştir. Alt problemlerin birincisi için; öğrenciler tarafından çözülen açık uçlu 5 günlük yaşam problemine ait veriler uzman görüşüne dayandırılarak hazırlanmış cevap anahtarına göre değerlendirilmiştir (Ek 4). Açık uçlu sorulara verilen öğrenci cevapları; tam puan – kısmi puan – 0 puan olarak değerlendirilmiştir. Soruların çözümünde belli bir aşamaya kadar gelen ancak sonucu bulamayan, çözümü modelleyip genellemeyi yanlış yaptığı için sonucu
bulamayan ya da sonucu sezip mantıklı bir şekilde sunamayan öğrenci cevapları gibi
çözümler kısmi puan olarak değerlendirilmiştir. Örneğin aşağıdaki çözümde öğrenci cebirsel
olarak ne yapması gerektiğini sezgisel olarak anlamış ve sonuca ulaşmış ancak modelleme yapamadığından zihninde çözümü canlandıramamıştır.
Şekil 7
Kısmi Puan Örneği
Soruların analizi KOM Projesi kapsamında aşağıda açıklandığı şekilde yüzeysel olarak değerlendirilmiştir:
1.Matematiksel Düşünme (matematiksel düşünce modlarına hakim olmak):
1, 2 ve 5 numaralı sorularda matematiğin sunduğu cevap çeşitleri olarak modelleme yapma, cebirsel olarak bir genellemeye varma, birden fazla çözüm sunabilme,
3, 4 ve özellikle 5 numaralı sorularda sorunun içeriğini ve sınırlarını bilme
2 numaralı soruda genelleme yapabilme
2 numaralı sorunun a ve b kısımları arasında ayrım yapabilme 2) Matematiksel Problemleri Çözme ve Sorma:
Problemlerin tamamının çözüm yolunu tanımlayabilme
Sorulan problemleri çözme 3.Matematiksel Modelleme:
Problemlerin ilgili konuyla bağlantısını fark edebilme
1, 2, 3 ve 5 numaralı sorularda gerçeklik modelinin elemanlarını çevirebilme, yorumlayabilme
Bu soruları matematikleştirme
1, 2 ve 5 numaralı sorulardaki modelleri olası alternatiflerde analiz etme
Araştırmacının tüm modelleme sürecinin öğrenci tarafından bilinçli şekilde inşa edilmesini gözlemleyebilmesi ve kontrolü sağlaması
4.Matematiksel Muhakeme:
3, 4 ve 5 numaralı sorularda argüman zincirini takip edebilme
4 numaralı soruda kanıtın ne olmadığını sezebilme, ispatı ortaya çıkarabilme
Tüm sorulardaki ifadeleri ispatlayabilme
5.Matematiksel Oluşları Temsillerle Gösterme (konular ve durumlar):
Tüm soruların farklı temsil şekillerini anlama
1, 2 ve 5 numaralı sorularda temsiller arası geçiş yapabilme 6.Matematiksel Sembollerin ve Şekillerin Ele Alınması:
3 numaralı soruda tablodan doğal dile geçiş yapabilme
1 numaralı sorunun çözümünü işlemsel olarak yaparken matematiğin kurallarını anlayabilme
Doğal dilde verilmiş olan 1, 2, 3, ve 5 numaralı soruları sembolik dile çevirebilme
2 numaralı soruda formül içeren ifadeleri kullanarak genelleme yapabilme 7.Matematikle, Matematikte ve Matematik Hakkında İletişim:
4 ve 5 numaralı sorulardaki metinleri anlayabilme
Bu sorularda kendini teknik olarak ifade edebilme 8.Araç Gereçlerden Faydalanma:
Tüm soruları somutlaştırma adına çeşitli araçlar kullanabilme
İkinci alt problem için; yapılan görüşmede ilk olarak öğrencilerin her soru için verdikleri cevapları kendilerinin değerlendirmeleri sağlanmıştır (Ek 2). Öğrencilerin, kendi cevaplarındaki yanlış ya da eksik bilgileri düzeltmelerine olanak sağlamak adına yapılan görüşmeden elde edilen veriler, ses kayıt cihazıyla kayıt altına alınmıştır.
Üçüncü alt problem için ise uzman görüşüyle hazırlanan sorular kullanılarak yarı yapılandırılmış görüşmeden veriler elde edilmiştir. Görüşmeler, araştırmacı tarafından okul dışındaki ortamlarda olacak şekilde her öğrenciyle ayrı ayrı yapılmıştır. Süre sınırlaması olmadan öğrencilerin kendilerini rahatça ifade edebilmelerine olanak sağlanmıştır.
Uygulanan 5 günlük yaşam problemi yaz tatilinde uygulanmış ve öğrencilere bu problemleri kimin ne için gönderdiği söylenmemiştir. Buradaki amaç matematiksel
yetkinliğin vurguladığı kavramlardan olan isteğin ne şekilde – ne düzeyde öğrencilerde var olduğunun anlaşılmasıdır.
Günlük yaşam problemlerinin sorulduğu yazılı uygulamanın öğrenciler tarafından bitirilme süreleri not edilmiştir. Öğrencilerin problemleri kaç dakikada bitirdiği tablo ile gösterilmiştir (Tablo 3). Buradaki amaç; öğrencilerde var olan matematiksel bilgi ve işlem beceri düzeylerine göre problemlere verilen doğru cevaplar bağlamında işlemsel akıcılığın ne düzeyde olduğu hakkında fikir edinmek istenmesidir.
4.Bölüm Bulgular 4.1.Birinci Alt Probleme Dair Bulgular
Bu bölümde öğrencilerin çözdüğü 5 tane günlük yaşam problemi değerlendirilecek ve öğrencilerin matematiksel düşünme becerilerini ortaya koymada yaşadıkları sorunlar ele alınacaktır. Günlük yaşam problemlerini çözen öğrencilerin cevaplarına göre hazırlanmış tablo aşağıdaki gibidir:
Tablo 2
Öğrencilerin 5 Günlük Yaşam Problemi Uygulamasından Aldıkları Puanlar Sorular
Tablo 3
Öğrencilerin Problemleri Çözme Süreleri (dakika)
P Y1 Y2 O2 D1 D2
18 16 14 20 11 26
4.1.1.Birinci soruya dair öğrencilerin yaşadıkları sorunlar. “Eren, doğum gününe 7 arkadaşını davet etmiştir. Yandaki pastayı kendi de dahil herkese eşit şekilde paylaştırmak istiyor. 3 bıçak darbesiyle (3 kez kesecek) bu dağılımı yapabilir mi? Nasıl?”
Birinci soruda öğrencilerden matematiksel düşünme ve model sunma, strateji geliştirme, mantıksal çözüm üretme, problem çözme gibi beceriler beklenmektedir. 2 tane dikeyde, 1 tane yatayda kesiş; her yarımda parçaları üst üste ya da yan yana dizerek kesiş ile çözüme ulaşılabilir.
Bu soruda Y1, işlemsel olarak çözümü sezmiş hatta kesirlerin tekrarlı çarpımı ile nasıl 8 parça elde edileceğini göstermiş ancak problemin çözümüne somut kanıt
oluşturamadığından yani gerçeklik modelini zihninde canlandıramadığından sonuca varamamıştır. Öğrenci formül bulmaya takılmış, araştırmacı da gerçek yaşam senaryoları sunmuştur. Araştırmacı ve Y1 sonraki sorulara geçerek değerlendirme yaptıktan sonra birinci soruyu tekrar incelemişlerdir. Ancak öğrenci gerçek yaşam durumlarıyla kendi yaptığı işlem arasında bağlantı kuramamıştır. Araştırmacı çözümü anlatıp öğrenciye ilgili matematik konusunu sormuştur. Öğrenci sorunun üslü ifadelerle bağlantısını kurmuştur. Araştırmacı,
soruda parçaları üst üste koyarak soruyu çözmüş, öğrenci ise parçaları yan yana koyup bıçağın uzunluğunu artırmayı düşünebilmiştir.
Y2, soruyu “yapılamaz” olarak cevaplamış nedeni sorulduğunda böyle bir işlemin oluşturulamayacağını söylemiştir. Pastayı sadece daire olarak düşünmüş yani Y2 soruyu gerçek yaşam problemi olarak değil matematiksel işlemler ile çözülmesi zorunlu olan bir soru olarak düşünmüştür. Matematiksel modelleme için günlük yaşamda kullanılan araç gereçlerle ilişki kuramadığı anlaşılan öğrencinin, araştırmacının öne sürdüğü argümanları takip etmesi sebebiyle matematiksel muhakeme yapabildiği görülmüştür.
O2, sorunun üstünü çizmiş, günlük hayatta böyle bir şey olamayacağını iddia etmiştir.
Araştırmacı görüşmede çözüm yollarını anlatmış ancak O2 çözümü hala mantıksız bulmuştur.
Yani çözümden ziyade soruyu kendi zihninde mantıklı bir çerçeveye oturtamamıştır. Problemi tanımlamada, muhakeme etmede sorun yaşamıştır.
Tablo 4
Öğrencilerin Birinci Soruda Yaşadıkları Sorunlar
Öğrenciler Yaşadıkları sorunlar
Y1 Zihninde somut kanıt oluşturamadı
Gerçeklik ile bağlantı kuramadı
Y2 Soruyu işlem ile çözemediğinden
yapılamaz olduğunu düşündü
O2 Gerçek hayatta böyle bir durumun
olabileceğini kabullenmedi
Genel olarak, günlük yaşamında pasta yapma-kesme tecrübesi olan öğrenciler zihninde problemi canlandırabilmişlerdir, bazı öğrenciler probleme sadece “işlem gereken soru” gözüyle bakmış ve bir çözüm bulamamışlardır. Pastayı 2 boyutlu düşünme, pastanın
kremasının bozulacağı düşüncesi, matematik problemlerinin sadece işlemle çözülmesi gerektiği düşüncesi gibi algılar öğrencilerin doğru cevabı vermelerini engelleyen durumlar olarak karşımıza çıkmaktadır.
4.1.2.İkinci soruya dair öğrencilerin yaşadıkları sorunlar. “Bir restoranda bulunan kare masaların her birine 4 kişi oturabiliyor. Bu kare masaların ikisini birleştirince oluşan dikdörtgen masaya toplam 6 kişi oturabiliyor.
a) 18 tane kare masa birleştirilince toplam kaç kişi oturabilir? (hepsi bitişik) b) Bu restorana 109 kişi geliyor ve hepsi birlikte oturmak istiyor. Kaç tane kare masa birleştirilmelidir?”
İkinci soruda öğrenciden beklenen strateji geliştirme, genelleme yapma, bağıntı kurma, formül sunma, matematiksel düşünme (matematiksel düşünce modlarına hakim olmak), matematiksel problemleri çözme ve sorma, matematiksel modelleme, matematiksel muhakeme gibi becerilerdir. Bu soruda öğrenciler genel olarak şekil çizme yöntemini kullanabileceklerini düşünmüşler, çoğu modelleme yapabilmiş yani matematiksel oluşları temsillerle göstermenin kapsadığı durumların farkındadırlar, ancak öğrencilerin genelleme, bağıntı kurma, formül sunma gibi matematiksel düşünme ve işlemsel becerilerde yanlış ya da eksik bilgilere sahip oldukları, modelleme yapmalarına rağmen işlem ve genelleme hataları sebebiyle sonuca ulaşamadıklarından anlaşılmıştır.
Y2, çözümüne modelleme ile başlamış ancak modellemede sadece 2 masayı
birleştirmiş, diğer masalar eklendiğinde masaların birleşim yerine sandalye konulamayacağını düşünemediğinden yanlış bir genellemeye varmıştır. Çözüm için genel bir formül bulmuş ancak ikişerli masalara göre formülü oluşturduğundan yanlış sonuca ulaşmıştır. Y2, soruyu anlamasına rağmen sözel ifadeyi cebirsel olarak ifade edememiştir. Genelleme yanlış olduğundan b sorusunda da yanlış çözüm vermiştir. Matematiksel oluşları temsillerle
gösterebilen bu öğrenci, modelleme sürecinin izlenmesi ve kontrolünde, sembolik dile çevirmede hata yapmıştır.
Matematiksel bilgi ve beceri eksikliği bulunan O2 problemin çözümünü modelleme ile bulmuş ancak problemi tanımlayamamış, matematiksel düşünme – muhakeme
yeterliklerini gösterememiştir.
D1, problemi anlamadan sadece verilen sayılarla 4 işlem yapmıştır. Problemi tanımlayamamıştır. D1, sadece işlem yaparak çözüm sunmuş ancak soruyu anlamada sorun yaşadığı için soruyu yanlış cevaplamıştır. 4’e bölme nedeni sorulduğunda “ayrı ayrı oturdular şimdi” diyerek yanlışını fark etmiş ancak hala problemde istenileni anlayamamıştır. Öğrenci, sayıları gördüğü anda aklına ilk gelen işlemi yazmış, sorunun mantığını anlamaya
çalışmamıştır.
D2 ise modelleme ile soruyu çözmüş ancak her iki masada üçer kişi saydığından yani modellemeden cebirsel temsillere geçiş sağlayamadığından yanlış sonuca ulaşmıştır.
Tablo 5
Öğrencilerin İkinci Problemde Yaşadıkları Sorunlar
Öğrenciler Sorunlar
Y2 yanlış bir genellemeye varmıştır.
D1 problemi anlamamıştır.
D2 modellemeden cebirsel temsillere geçiş
sağlayamamıştır.
4.1.3.Üçüncü soruya dair öğrencilerin yaşadıkları sorunlar. Bu problemde öğrencinin, gerçek yaşam durumlarıyla bağlantı kurabilmesi, tabloyu yorumlayabilme- temsiller arası seçim ve geçişleri gerçekleştirebilme, olasılıkları değerlendirebilme, muhakeme edebilme gibi matematiksel yeterlikler beklenmektedir.
Üçüncü soru şöyledir:
O2 tam puan almıştır ancak yanlış yorumlamalarla tam puan aldığı görülmüştür. O2 soruyu anlatmaya başladığında, çözüme tablodan başlamış ve 40 ile 15 i toplamış devamını getirememiştir. Sonraki görüşme sorularına göre öğrencinin, problemin ilk paragrafında bulunan açıklama kısmını okumadığı anlaşılmıştır. O2 matematiksel problemleri çözme ve sorma adımlarında sorun yaşamıştır ve mevcut modelleri yorumlamada olası durumları düşünemediğinden eksik bilgilere sahip olduğu düşünülmektedir.
D1 ise problemde verilen davranışların ifadeler kısmında puanlanmaması gerektiğini düşünmüş ve bu sebeple yanlış sonuca varmıştır. Farklı temsilleri yorumlama becerisine sahip öğrencinin araç gereçlerden faydalanmada yansıtıcı olamadığı anlaşılmış, soruyu net
tanımlayamadığı için kısmen hata yaptığı görülmüştür.
D2, tabloyu tamamen kendince yorumlamış, tabloya göre biraz puan aldıysa evet, hiç puan alamadıysa hayır şeklinde cevap verdiği görülmüştür. Tablolar arasında geçiş
yapamamış, soruyu argüman zincirini takip etmek yerine sadece kendi inanışları doğrultusunda cevaplamıştır.
Temsiller arası geçiş, matematiksel problemleri çözme ve modeli kendi içinde analiz etme-eleştirme yeterliklerine sahip olmadığı düşünülmüştür.
Öğrencilerin okuduğunu anlamada sorunlar yaşadıkları, matematikte iletişim, verilen - istenen durumları açıkça göremedikleri, işlem hataları yaptıkları gözlemlenmiştir. Muhakeme, problem çözme, temsiller arası geçiş yeterliklerinde sorunlar yaşamaktadırlar.
Tablo 6
Öğrencilerin Üçüncü Problemde Yaşadıkları Sorunlar
Öğrenciler Sorunlar
O2 problemi tam okumamıştır, problemde
isteneni anlamamıştır
D1 Problemi net tanımlayamamıştır
D2 Temsiller arası geçiş yapamamış,
kendi inanışlarına göre cevap vermiştir
4.1.4.Dördüncü soruya dair öğrencilerin yaşadıkları sorunlar. “Kızımla yolda yürürken tanımadığımız bir teyze yaklaştı ve kızımın ne kadar güzel olduğunu söyledi. Bizi biraz inceledikten sonra şöyle dedi “babasına benziyor sanırım”
Bunun üzerine ben de sinirlendim ve “ben çirkin miyim?” dedim.
Yukarıdaki olayda hatalı davranan var mı? Varsa kimdir? Neden?”
Bu problemde ise genel olarak amaç, yapılan genelleme hatası-tümevarımsal hatanın fark edilmesini sağlamaktır. Mantıksal çıkarımlarda bulunarak muhakeme etmeleri,
duygulardan bağımsız cevaplar vermeleri ve matematikle iletişim kurmaları beklenmektedir.
Y2, annenin hatalı olduğunu anlamış son anda açıklamadan teyzenin de hatalı
olduğunu söylemiştir. Ancak görüşmeler sonrasında problemi tanımlayabilmiş ve muhakeme edebilmiştir.
D2, matematikle matematik hakkında sorulan problemi bağdaştıramamış, iletişimde duygularına göre hareket etmiştir. Öğrenci kendine mantıksal bir kanıt, gerekçe
bulamadığından kendini bu gibi konularda ifade edememiştir.
Tablo 7
Öğrencilerin Dördüncü Problemde Yaşadıkları Sorunlar
Öğrenciler Sorunlar
Y2 Yargıda bulunamamıştır
D2 Tamamen duygusal olarak
cevaplandırmıştır, mantıksal düşünme gerçekleşmemiştir
Bu problemde öğrencilerin çoğu cevabı bulmuş ya da sezmiştir. Ancak öğrencilere, öğrencilerin gerçek yaşamlarında onları ilgilendiren bir durum bağlamında bu soru
sorulduğunda çoğu öğrenci aynı hataya düşmüş, duygusal olarak davranmış ve yanlış genellemeye gitmişlerdir. Matematiksel muhakeme için tanımlanmış eylemleri
gerçekleştiremedikleri görülmüştür. Probleme çözüm getirmede açıklayıcı nitelikte olan önemli kelimelere (tanıdığım vb.) vurgu yapıldığında öğrencilerin problemi mantıksal olarak analiz etmeye yöneldikleri fark edilmiş, vurgunun önemi açığa çıkarılmıştır.
4.1.5.Beşinci soruya dair öğrencilerin yaşadıkları sorunlar. “Bir bomba ile karşı karşıyasınız. Sadece 15 saniye süreniz var ve soruyu çözmeniz bombayı etkisiz hale getirecek.
Çözümü yapacağınız ekranda 4 işlem için gerekli olan semboller çalışmıyor.
İşte soru:
“Bir ağaç fidesinin boyu 15 cm’dir. Her ay 3 cm uzayan bu fide 6 ay sonra
uzamamaya başlıyor. Fide, 3 ay bu şekilde aynı boyda kalıp sonraki aylarda 1’er cm uzuyor.
10 ay sonraki boyu kaç cm’dir? “
Bu soruda ölçülmek istenen kriz anında matematiksel düşünme becerilerini ortaya koyabilme, strateji geliştirme, grafik sunma, matematiksel oluşları temsillerle gösterme becerileridir. Öğrencilerden beklenen cevaplar; zihinden işlemler, şekil – tablo ile çözüm sunma, grafik çizme ya da 4 işlem olmadan ortaya koyacakları herhangi bir çözüm yöntemi iledir.
Y1, problemi tanımlamış, matematiksel düşünme sağlayarak takvim çizmiştir. Ancak matematiksel metin içindeki bir ifadeyi net şekilde anlayamadığından dikkatsizlik yapmış ve sadece işlemsel bir hata sebebiyle doğru sonuca ulaşamamıştır. Bu sebeple kısmi puan almıştır.
Y2, zihinden işlem yaparak listeleme yöntemini seçmiş ve problemin adımlarına uygun çözüm yapmıştır. Dikkatsizlik sonucu işlemsel bir hata yaptığından doğru sonuca ulaşamamış ancak problemi anladığından kısmi puan almıştır.
O2, verilen bir içerikte aktif modelleme yapma becerisi gerekirken öğrenci soruyu eksik okuduğundan modelleme yapamamış hatta problem içerisinde bu sebeple çelişkiye düşmüştür. Öğrenci, problemdeki açıklama kısmını “kafa karıştırıcı olsun diye, gereksiz”
olarak düşünmüş ve metinlerin tamamını okumadan 4 işleme geçmiştir.
D1 ise sadece işlem yapmıştır ve işlemde hata vardır. D1 soruyu anlamadan sayılarla işlem yaptığından soruyu yanlış cevaplamıştır. Muhakeme etmeden problemi çözmeye başlamıştır.
D2 başlangıçta soruyu anlamış, ancak devamında çözümü üretememiş ve dikkatinin dağıldığı fark edilmiştir. Hem stratejik hem de işlemsel hatalar yapmıştır. Çözüme yönelik mantıksal muhakeme yapmadan “işlem yoksa kesirlerde modelleme yaparım” düşüncesini benimsemiştir.
Öğrenciler beşinci soruda, okuduğunu anlamada, işlemde ve strateji geliştirmede sorunlar yaşamışlardır. Hatalarının farkında olan öğrencilerden yeterli bilgiye sahip olanlar
hatalarını düzeltebilmiş, olmayanlar ise bir çözüm üretememişlerdir. Öğrencilerin
matematiksel oluşları sembolle göstermede strateji geliştirme ve matematiksel muhakeme becerilerinde sorunlar yaşadıkları görülmektedir. Verilen bir içerikte aktif modelleme yapabilme becerisine bazı öğrenciler tam bazısı kısmi olarak sahiplerdir.