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O estudo dos Fractais inicia logo após a aplicação do 1º instrumento de pesquisa. Ao concluir o desenho, a professora reúne os alunos e inicia um questionamento:

PM7 - Vocês sabem que árvore é esta? A38 - Araucária.

PM - Correto! A araucária é conhecida também por outro nome. Vocês sabem qual é este nome?

A25 - É a árvore que dá pinhão. Um pinheiro.

7 _{abreviação de professora de Matemática.} 8 _{abreviação de aluno e número que o identifica.}

PM – Sim, é a árvore cujas sementes são os pinhões. A araucária também é conhecida como pinheiro do Paraná.

A23 – Por quê? É só lá que tem?

A29 - Claro que não, se aqui no colégio tem....

Após as risadas do grupo, conversamos brevemente sobre a adaptação da araucária em regiões frias, sendo este o motivo de maior concentração na região Sul do Brasil. E o questionamento seguiu...

PM – Qual será a circunferência desta araucária? A 32 – 1 metro?

PM – Como podemos medir a circunferência? Vamos medi-la?

Os alunos se distribuíram em grupos. Alguns usaram a fita métrica, outros a régua, outros contornaram a árvore dando as mãos de forma a abraçar a mesma. Todos os grupos registraram a medida da circunferência obtida e a apresentaram para os demais grupos. As medidas variaram entre 60 cm a 120 cm. Foram discutidas as variações das medidas encontradas, chegando à conclusão de que o instrumento que utilizaram para fazer a medição talvez não fosse o mais adequado.

Em seguida, uma nova atividade foi proposta. A professora virou um copo de água no chão formando uma poça. Após alguns segundos, a água penetrou no solo e demarcou uma área irregular úmida. Então, a professora solicitou aos alunos o perímetro da área demarcada pela água.

A fim de determinar o perímetro da poça, os alunos sugeriram várias maneiras. O aluno A10 mencionou que, para determinar o perímetro, seria necessário o

π

Novamente perceberam que com a fita métrica a medida seria mais precisa. Após várias medições, nas quais obtiveram valores diferentes, compreenderam que o limite da poça não era um círculo, mas que a linha que delimitava a poça era sinuosa, sendo este o motivo que levou à determinação de medidas diferentes.

Foi a partir desse momento que a professora introduziu a palavra Fractal, indagando se já haviam ouvido falar sobre Fractais ou sobre a Geometria Fractal. Propôs-se, então, aos alunos que realizassem em duplas ou em trios um seminário sobre os Fractais. Para tanto, os grupos iniciaram o estudo dos Fractais a partir de pesquisas em sites da internet.

Os alunos tiveram livre acesso aos sites que continham dados sobre o assunto, e ao concluírem a pesquisa foi realizado em sala de aula o seminário em

que o resultado das pesquisas foi apresentado, propiciando argumentações e questionamentos por parte dos grupos ouvintes.

Os alunos concluíram que os Fractais são formas geométricas complexas que se repetem infinitamente, com ligeiras e constantes variações de escala. Também constataram que os mesmos estão intimamente relacionados à Teoria do Caos.

Então, os alunos retornaram ao Laboratório de Informática para realização de mais uma atividade. Nessa atividade utilizaram o aplicativo Google Earth a fim de visualizar a linha que limita os Estados do Rio Grande do Sul e Santa Catarina, assim como o contorno do Rio Guaíba. O objetivo dessa atividade era fazer com que os alunos se deparassem com o incremento de irregularidade que se observa no perímetro de um objeto sob aproximações sucessivas, comprovando assim, que a Geometria Fractal, apresentada por Mandelbrot (1998) ao questionar a medida da extensão da costa litorânea da Grã-Bretanha, tem aplicações cotidianas. O trabalho de visualização iniciou com uma foto de um satélite que, ao se aproximar lentamente do ponto desejado, permitiu perceber as sinuosidades das linhas-limite. Seguindo a orientação da professora de perceber a geometria do relevo, limites de Estados, Países e costas litorâneas, foi oportunizada aos alunos nova pesquisa, buscando as ruas onde moram, as praias que freqüentam, entre outras.

Ao concluir a atividade e discutir os seus resultados, a professora organizou uma apresentação, destacando a origem da palavra Fractal, assim como as propriedades e aplicações deste conceito.

Em sala de aula foram realizadas outras duas atividades: a construção de fractais como a Poeira de Cantor (figura 8) e o triângulo de Sierpinski (figura 9).

O primeiro fractal proposto foi a Poeira de Cantor9_{, e os alunos seguiram os} seguintes passos para a construção desta figura:

1º passo: traçar um segmento de reta de 12 cm;

2º passo: dividir o segmento em três partes iguais e eliminar a central;

3º passo: repetir o 2º passo em cada segmento, e assim sucessiva e indefinidamente.

Para obter partes iguais, a divisão dos segmentos foi feita através do Teorema de Tales, tirando proveito do conteúdo desenvolvido na 8º série.

9_{George Cantor (1845 –1918), matemático descendente de portugueses, nasceu na Rússia e adotou} nacionalidade alemã. Foi o primeiro matemático a estudar, ao final do século XIX, a Teoria dos Conjuntos.

Figura 8 - Poeira de Cantor

A construção do triângulo de Sierpinski10 foi realizada seguindo as etapas: 1ª desenhar um triângulo eqüilátero;

2ª marcar os pontos médios em cada lado do triângulo;

3ª a partir dos pontos médios, marcar quatro triângulos eqüiláteros; 4ª pintar com cor preta o triângulo central;

5ª repetir em cada um dos triângulos não pintados as construções 2ª, 3ª e 4ª; 6ª repetir sucessivamente a 5ª etapa.

Figura 9 - Triângulo de Sierpinski

Após a construção do triângulo de Sierpinski, os trabalhos foram expostos (figura 10).

Figura 10 – Exposição do Triângulo de Sierpinski

Os trabalhos em Matemática exigiram dos alunos o desenvolvimento de habilidades no uso de régua e esquadro e foi possível perceber a dificuldade dos alunos no manuseio desses instrumentos de medida.