Uyumluluk, Kararl¬l¬k ve Yak¬nsakl¬k

t_i y⁰⁰(t_i); (y0 = 0:2) y⁰⁰(t_i); (y0 = 0:8)

0 0:42 2:6

0:1 0:67 3:8

0:2 0:99 5:8

0:3 1:406 9:4

0:4 1:99 16:3

0:5 2:852 32:14

Tablo 2.7: Örnek 2.11 için farkl¬ba¸slang¬ç de¼gerleri ile yakla¸s¬m tablosu

2.3.2 Nonlineer problemler için Newton iterasyonuyla Geri Euler yöntemi

Alternatif olarak (2.14) problemi

F (t_i+1; y; Y_i) = y Y_i hf (t_i+1; y) (2.16) fonksiyonunun s¬f¬ryerini belirleme problemi olarak dü¸sünülerek, her i için

y_n+1= y_n F (t_i+1; y_n; Y_i)=F_y(t_i+1; y_n; Y_i); n = 0; 1; 2; ::: (2.17) ile tan¬mlanan Newton iterasyonu uygulanabilir. Bu ¸sekilde tan¬mlanan ite-rasyon için y0 = Y_i uygun bir seçenek olarak dü¸sünülebilir.

Örnek 2.11 için Newton yöntemi ile Geri Euler uygulamas¬Program 2.5 ile gerçekle¸stirilmektedir.

Program 2.5 ile Geri Euler yönteminin Newton yöntemi ile birlikte gerçek-le¸stirilen uygulamas¬n¬Örnek 2.11 için gerçekle¸stiriniz(Al¬¸st¬rma 14).

2.4 Uyumluluk, Kararl¬l¬k ve Yak¬nsakl¬k

Önceki bölümde inceledi¼gimiz hata kavramlar¬, sonlu fark yakla¸s¬m¬n¬n ilgili diferensiyel denklemi hangi düzeyde temsil edebilece¼ginin birer ölçüsü idiler.

Basama¼g¬ yüksek olan bir sonlu fark yakla¸s¬m¬, ilgili diferensiyel denklem için bu anlamda tercih sebebidir. Ancak hesaplamalar¬n bilgisayar say¬sis-temi üzerinde gerçekle¸stirilmi¸s olmas¬, her aritmetik i¸slem sonucunda olu¸ s-mas¬beklenen ve kesme hatas¬kaynakl¬hataya ilaveten yuvarlama hatas¬ad¬

verilen hataya neden olmaktad¬r(Bknz Bölüm 2). Sonlu fark yöntemlerinin bir k¬sm¬her ad¬mda olu¸smas¬muhtemel yuvarlama hatalar¬n¬çözüm bölgesi

üzerinde kontrollü olarak biriktirirken, di¼ger bir k¬sm¬nda söz konusu birikim ancak ad¬m uzunlu¼gunun belirli bir de¼gerden küçük seçilmesi durumunda sa¼glanabilmektedir. En kötü ihtimalle, ad¬m uzunlu¼gu ne olursa olsun, yu-varlama hatalar¬n¬n kontrolsüz olarak artmas¬na engel olunamayan ve pratik olarak kullan¬lamayan fark yöntemleri de mevcuttur. Bu yöntemler s¬ras¬yla

¸sarts¬z olarak say¬sal kararl¬, ¸sartl¬ say¬sal kararl¬ ve say¬sal karars¬z olarak adland¬r¬lmaktad¬rlar.

Bu amaçla teknik olarak a¸sa¼g¬da verilen tan¬m¬yla yöntemin say¬sal ola-rak kararl¬olmas¬yani yuvarlama hatalar¬n¬kontrollü olaola-rak biriktirebilmesi gerekmektedir.

TANIM 2.6. (Bir yöntemin say¬sal kararl¬l¬¼g¬) Tan¬m kümesinde key… olarak seçilen bir tn = nh = sabit noktas¬ndaki yerel kesme hatas¬, h ! 0(dolay¬s¬yla n! 1 ) için s¬f¬ra yakla¸s¬rken ayn¬noktadaki kümülatif hata da s¬f¬ra yakla¸s¬y-orsa, ilgili yönteme say¬sal kararl¬yöntem ad¬verilmektedir.

Yukar¬daki tan¬ma göre, seçilen sabit noktada fark denklemi diferensiyel denklemi daha iyi temsil ederken say¬sal çözümle elde edilen yakla¸s¬mlar¬n da problemin gerçek çözümüne yak¬nsamas¬arzu edilmektedir. Di¼ger deyimle, diferensiyel denklemle uyumlu olan yöntem say¬sal olarak ta kararl¬ olmas¬

durumunda iyi sonuçlar üretebilmektedir.

A¸sa¼g¬daki Teorem ile ·Ileri Euler yönteminin say¬sal olarak kararl¬oldu¼gu ifade edilmektedir.

TEOREM 2.1. (·Ileri Euler yönteminin say¬sal kararl¬l¬k kriteri)(2.1) ile tan¬mlanan ba¸slang¬ç de¼ger probleminde f fonksiyonu ve @f =@y k¬smi türevinin (t₁; y₁) ba¸slang¬ç noktas¬n¬ içeren bir D = [a; b] [c; d] dikdörtgeninde sürekli oldu¼gunu ve ayr¬ca

M = maxfj@f=@yj; (t; y) 2 Dg

oldu¼gunu kabul edelim. ·Ileri Euler yöntemi (2.1) problemi için say¬sal kararl¬d¬r.

Ispat.·

h ad¬m uzunlu¼gu ve D dikdörtgeni içerisinde kalan ti; i = 1; 2; ; n noktalar¬ile (2.1) problemi için D bölgesi içerisinde kalan ve

Y_i+1= Y_i+ hf (t_i; Y_i); i = 1; 2; ; n (2.18)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

2.4 Uyumluluk, Kararl¬l¬k ve Yak¬nsakl¬k 25

ile tan¬mlanan Euler yakla¸s¬mlar¬n¬göz önüne alal¬m. y(t) gerçek çözümünün her ti noktas¬nda Ek(t_i; h) ile gösterilen kesme hatas¬ile

y(t_i+1) = y(t_i) + hf (t_i; y(t_i)) + hE_k(t_i; h) (2.19) ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glad¬¼g¬n¬biliyoruz. ti noktas¬ndaki kümülatif hatay¬ise k¬saca

e_i = y(t_i) Y_i

notasyonu ile gösterelim. (2.18) y¬(2.19) den taraf tarafa ç¬kararak,

e_i+1= e_i+ h(f (t_i; y(t_i)) f (t_i; Y_i)) + hE_k(t_i; h) (2.20) ba¼g¬nt¬s¬n¬ elde ederiz. f fonksiyonu y de¼gi¸skenine göre türevlenebilir ve türevi sürekli oldu¼gundan türevler için Ortalama De¼ger Teoremine göre

f (ti; Yi) f (ti; y(ti)) = @f =@y(ci)ei (2.21) sa¼glanacak biçimde Yi ve y(ti) noktalar¬ aras¬nda bir ci noktas¬ mevcuttur.

(2.21) ba¼g¬nt¬s¬n¬(2.20) da yazarak

ei+1= (1 + h@f =@y(ti; ci))ei+ hEk(ti; h)

elde ederiz. ·Ileri Euler yöntemi için yerel kesme hatas¬tan¬m¬gere¼gi jjE^kjj1 = maxi(i=1;2;:::;n)jE^k(t_i; h)j = maxi(i=1;2;:::;n)jh

2y⁰⁰(c_i)j Bh e¸sitsizli¼gini sa¼glayan B > 0 sabiti mevcuttur. Buradan

jeⁱ⁺¹j (1 + hM )e_i+ Bh²; i = 1; 2; :::; n e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r.

e₁ = 0 oldu¼gundan(ilk ad¬mda Y1 = y(t₁))

e₂ = hE_k(t₁; h) hjjE^kjj1 Bh²

je³j (1 + M h)je²j + Bh²

(1 + M h)Bh²+ Bh² = (1 + (1 + M h))Bh² ...

jeⁿ⁺¹j (1 + (1 + M h) + (1 + M h)²+ + (1 + M h)^{(n 1)})Bh²

= ((1 + M h)ⁿ 1)=((1 + M h) 1)Bh²

= [((1 + M h)ⁿ 1)=M ]Bh B

M(e^{M hn} 1)h

= 1

M(e^{M (tn+1 t1)} 1)Bh

= 1

M(e^{M (b a)} 1)Bh

Son e¸sitsizlik n + 1 inci ad¬mdaki kümülatif hatan¬n, kesme hatas¬n¬n üst s¬n¬r¬ ile s¬n¬rland¬¼g¬ göstermektedir. Yukar¬da son sat¬rda 1 + M h e^{M h} e¸sitsizli¼gini kulland¬k. Bu durumda sabit tn = nh noktas¬nda h ! 0(ve dolay¬s¬yla n ! 1) için kesme hatas¬s¬f¬ra yakla¸s¬rken, kümülatif hata da s¬f¬ra yakla¸s¬r. O halde yöntem kararl¬d¬r.

ÖRNEK 2.12. y⁰ = ay; a > 0; y(0) = 1 probleminin [0; 1] aral¬¼g¬nda h > 0 ad¬m uzunlu¼gu ile elde edilen ileri Euler yakla¸s¬mlar¬ile sa¼g uç noktada olu¸san kümülatif hatan¬n > 0 de¼gerinden küçük olmas¬ için seçilebilecek en büyük h ad¬m uzunlu¼gu ne olmal¬d¬r?

Çözüm. [0; 1] aral¬¼g¬n¬ h = 1=n uzunluklu alt aral¬klara bölelim.t1 = 0; t₂ = h; :::; t_n+1 = 1 olmak üzere yukar¬daki teoreme göre t_n+1 = 1 noktas¬nda olu¸san hata,

jeⁿ⁺¹j 1

M(e^{M (b a)} 1)Bh <

için

h < M (e^M 1)B

elde ederiz. Örne¼gimiz için gerçek çözüm y = e^at; y⁰⁰(t) = a²e^at ve M = a; B = max

0 c 1(jy⁰⁰(c)=2j) = a²e^a

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

2.4 Uyumluluk, Kararl¬l¬k ve Yak¬nsakl¬k 27

olup,

h < a a²e^a(e^a 1)

sa¼glanmal¬d¬r. a = 1 için h < 0:2141 ; a = 2 için h < 0:0106 elde ederiz.

Buradan a n¬n artan de¼gerleri için daha küçük ad¬m uzunluklar¬kullanmam¬z gerekti¼gi sonucunu elde ederiz.

TANIM 2.7. (Bir yöntemin Yak¬nsakl¬¼g¬) Sabit bir ti = ih2 [a; b] noktas¬nda i ! 1 (ve dolay¬s¬yla tⁱ noktas¬n¬ sabit k¬lacak biçimde h ! 0) için eⁱ = (y(t_i) Y_i) ! 0 ise say¬sal yönteme tⁱ noktas¬nda yak¬nsak yöntem ad¬verilir.

E¼ger yöntem 8tⁱ 2 [a; b] noktas¬nda yak¬nsak ise bu taktirde yönteme belirtilen aral¬kta yak¬nsak yöntem ad¬verilir.

TEOREM 2.2. (Lax Denklik Teoremi) Sabit katsay¬l¬ bir ba¸slang¬ç de¼ger problemi için uyumluluk ve kararl¬l¬k, yak¬nsakl¬¼ga denktir.

Çünkü uyumlu bir yöntemde ad¬m uzunlu¼gu s¬f¬ra yakla¸s¬rken kesme hatas¬n¬n da s¬f¬ra yakla¸st¬¼g¬n¬biliyoruz. Kararl¬yöntemde ise kesme hatas¬n¬n s¬f¬ra yakla¸smas¬hatan¬n s¬f¬ra yakla¸smas¬n¬sa¼glamaktad¬r. O halde uyumlu ve kararl¬bir yöntemde ad¬m uzunlu¼gu s¬f¬ra yakla¸s¬rken hata da s¬f¬ra yak-la¸smal¬d¬r. Dolay¬s¬yla yöntem yak¬nsak olmal¬d¬r. Bu sonucun tersi de do¼grudur.

Sonuç 2.1. Euler yöntemi, Teorem 2.1 den kararl¬ bir yöntemdir. Ayr¬ca yöntemin uyumlu oldu¼gunu biliyoruz. O halde yöntem yak¬nsakt¬r.

Sonuç 2.2. Geri Euler yönteminin kararl¬l¬¼g¬ Teorem 2.1 e benzer biçimde gösterilebilir(Al¬¸st¬rma 15). Ayr¬ca yöntem uyumlu bir yöntemdir(Al¬¸st¬rma 10). O halde, Lax denklik teoremi gere¼gince Geri Euler yöntemi de yak¬nsak bir yöntemdir.

Al¬¸st¬rmalar 2.1.

1. y0 = t + 3y; y(0) = 1 ba¸slang¬ç de¼ger problemi verilmi¸s olsun.

(a) Problemin gerçek çözümünün

(b) Y1 = y(0) = 1 ve h = 1=4 ad¬m uzunlu¼gu ile [0; 1] aral¬¼g¬ndaki ileri Euler yakla¸s¬mlar¬n¬hesaplay¬n¬z.

(c) ti = ih; i = 1; 2; : : : ; 5 noktalar¬nda y(ti) gerçek çözüm de¼gerlerini hesaplay¬n¬z.

(d) ei = y(t_i) Y_i; i = 1; 2; :::; 5 kümülatif hatalar¬n¬belirleyiniz.

(e) Elde etti¼giniz sonuçlar¬, sütunlar¬nda s¬ras¬yla (ti,Yi,y(ti),ei) de¼gerleri yer alan bir yakla¸s¬m tablosuyla ifade ediniz.

2. Soru 1 (b-d) ¸s¬klar¬n¬geri Euler yöntemi için gerçekle¸stiriniz.

3. Soru 1 i y0 = t 3y; y(0) = 1 ba¸slang¬ç de¼ger problemi için ve ileri Euler yöntemi ile tekrarlay¬n¬z.(Gerçek çözümün

y(t) = 10e ^3t 9 + t

3 1 9 olarak verildi¼gini kontrol ediniz)

4. Soru 1 i y0 = t 3y; y(0) = 1 ba¸slang¬ç de¼ger problemi için ve Geri Euler yöntemi ile tekrarlay¬n¬z.

5. Soru 1 ve Soru 3 için ileri Euler yöntemi ile elde etti¼giniz kümülatif hatalar¬

kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Artan t de¼gerleri için kümülatif hatalar nas¬l de¼gi¸siyor?

6. Soru 2 ve Soru 4 için geri Euler yöntemi ile elde etti¼giniz kümülatif hatalar¬

kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Artan t de¼gerleri için kümülatif hatalar nas¬l de¼gi¸siyor?

7. Soru 1 ve Soru 3 te tan¬mlanan denklemlere ait kom¸su çözüm e¼grileri ve yön alanlar¬a¸sa¼g¬da verilmektedir. Öncelikle hangi ¸seklin hangi denkleme ait oldu¼gunu belirleyerek, Soru 5 te elde etti¼giniz sonuçlar¬, ilgili ¸sekle ait kom¸su çözüm e¼grileri cinsinden yorumlay¬n¬z.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

2.4 Uyumluluk, Kararl¬l¬k ve Yak¬nsakl¬k 29

8. ·Ileri Euler yöntemi için verilen program¬a¸sa¼g¬daki ba¸slang¬ç de¼ger problem-lerinin belirtilen aral¬klarda, belirtilen ad¬m uzunluklar¬ile çal¬¸st¬rarak, her bir problem için yöntem yakla¸s¬m tablosunu(Tablo 9.2) elde ediniz.

(a) y0 = y(4 y); y(0) = 1; [0; 10]; h = 0:1 (b) y0 = y(4 y); y(0) = 5; [0; 10]; h = 0:1 (c) y0 = y(4 y); y(0) = 1; [0; 2=5]; h = 0:01

(d) c) ¸s¬kk¬nda verilen ba¸slang¬ç de¼ger probleminin t = ln(5)=4 nok-tas¬nda s¬n¬rl¬olmad¬¼g¬n¬gösteriniz.

9. (Ad¬m uzunlu¼guna göre kümülatif hata) Soru 1 deki ba¸slang¬ç de¼ger prob-lemini h = 0:1; h = 0:05; h = 0:025 ad¬m uzunluklar¬ ile ve ileri Euler yöntemiyle [0; 2] aral¬¼g¬nda çözerek, t = 2 noktas¬ndaki kümülatif hata-lar¬n¬kar¸s¬la¸st¬ral¬m. Kümülatif hatalar nas¬l de¼gi¸smektedir. Elde etti¼giniz sonuçlar teorik olarak elde edilen O(h) hatas¬n¬do¼gruluyor mu?

10. Soru 9 u Geri Euler yöntemi için tekrar ediniz. Geri Euler yönteminin kümülatif hatas¬hakk¬nda ne dü¸sünüyorsunuz?

11. y0 = ay; y(0) = y₁; a > 0; ba¸slang¬ç de¼ger problemi için (h < 1=jaj) için ileri Euler iterasyonlar¬n¬n y = 0 denge noktas¬na monoton yak¬nsak, (1=jaj < h < 2=jaj) için ise sal¬n¬ml¬yak¬nsak, yani ard¬¸s¬k yakla¸s¬mlar¬n denge noktas¬n¬n sa¼g¬nda ve solunda yer ald¬¼g¬n¬gösteriniz.(Not:p, g(t) nin bir sabit noktas¬ve t1 ba¸slang¬ç noktas¬p ye yeterince yak¬n olmak üzere, t_i+1 = g(t_i); i = 1; 2; ::: iterasyonu verilmi¸s olsun. E¼ger 0 < g⁰(p) < 1 ise iterasyon monoton yak¬nsak, 1 < g0(p) < 0 ise iterasyon sal¬n¬ml¬olarak yak¬nsakt¬r.)

12. y0 = t + y; y(0) = 1 ba¸slang¬ç de¼ger problemi verilmi¸s olsun ve ileri Euler yöntemiyle elde edilecek olan yakla¸s¬mlar için ad¬m uzunlu¼gunun h > 0 oldu¼gunu kabul edelim.

(a) Problemin y(t) çözümünü belirleyiniz.

(b) t1 = 0; t₂ = h; t₃ = 2h; olmak üzere t2 noktas¬nda olu¸san E_k(t₂; h) = y(t3) y(t2)

h f (t₂; y(t₂)) kesme hatas¬n¬n h > 0 parametresine ba¼gl¬olarak

E_k(t₂; h) = he^t2 = O(h); h! 0 biçiminde ifade edilebilece¼gini gösteriniz.

(c) t2 noktas¬nda olu¸san yerel hatan¬n

E_yerel(t₂; h) = hE_k(t₂; h) = O(h²); h! 0 oldu¼gunu gösteriniz.

(d) Y2; Y₃ yakla¸s¬mlar¬n¬h cinsinden belirleyiniz.

13. Soru 12 yi geri Euler yöntemi için tekrar ediniz.

14. Geri Euler Yönteminin yerel Kesme hatas¬, Yerel Hata ve Kümülatif hata-lar¬n¬belirleyerek, ileri Euler yöntemine ait sonuçlarla kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

15. ·Ileri Euler yönteminin kararl¬l¬k analizini takip ederek, Geri Euler yönteminin de kararl¬oldu¼gunu ispatlay¬n¬z.

16. Sabit nokta iterasyonunu kullanan Geri Euler yöntemi yard¬m¬yla Soru 8-a da verilen problemin yakla¸s¬k çözümlerini elde ediniz.

17. Newton yöntemini kullanan Geri Euler yöntemi yard¬m¬yla soru 8-a da ve-rilen problemin yakla¸s¬k çözümlerini elde ediniz.

18. Newton yöntemini kullanan Geri Euler yöntemi yard¬m¬yla, Örnek2.11 için h = 0:1,h = h=2 = 0:05,h = h=4 = 0:025 alarak t = 1 an¬nda olu¸san kümülatif hatalar¬n nas¬l de¼gi¸sti¼gini gözlemleyiniz. Elde etti¼giniz sonuçlar¬n yöntemin tahmini kümülatif hatas¬ile uyumlu mudur?

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

2.4 Uyumluluk, Kararl¬l¬k ve Yak¬nsakl¬k 31

19. Canl¬nüfus modeli(Verhulst, 1838) olarak bilinen dN=dt = rN (1 N=K); N (0) = N₀

ba¸slang¬ç de¼ger problemini gözönüne alal¬m. Bu modelde N (t); t an¬ndaki canl¬ nüfusunu, r nüfus art¬¸s oran¬n¬, K ortam¬n bar¬nd¬rabilece¼gi maksi-mum nüfusu ve N0 ise ba¸slang¬ç an¬ olarak kabul edilen t = 0 an¬ndaki nüfusu temsil etmektedir. Bu model için a¸sa¼g¬daki analitik ve say¬sal ird-elemeyi gerçekle¸stirelim:

(a) Problemin analitik çözümünün

N (t) = (N₀Ke^rt)=((K + N₀(e^rt 1)))

oldu¼gunu gösteriniz.(Not: Denklemin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen bir denklem oldu¼guna dikkat ediniz.)

(b) lim_t!1N (t) = K oldu¼gunu gösteriniz.

(c) ·Ileri Euler yöntemi ile problemin (b) de belirtilen özelli¼gi sa¼glayan çözümü için problem parametreleri cinsinden ad¬m uzunlu¼gu en fa-zla ne olabilir?(ipucu: N = K asimtotik kararl¬denge noktas¬kom¸ su-lu¼gunda verilen diferensiyel denkleme kar¸s¬l¬k gelen lineer denklemi belirleyerek, Soru 11 deki analizinden faydalan¬n¬z).

(d) N0 = 400; 800; 2000 ba¸slang¬ç de¼gerleri ve r = 0:5; K = 1500 için [0; 10]aral¬¼g¬ndaki çözüm e¼grilerini uygun ad¬m uzunlu¼gu ve ileri Euler yöntemi ile elde ediniz.

(e) N = Kdenge noktas¬n¬n asimtotik kararl¬bir denge noktas¬oldu¼gunu gösteriniz.(Not: Kom¸su çözüm e¼grileri artan zaman de¼gerleri için N = K denge noktas¬na yak¬ns¬yorlarsa, denge noktas¬na asimtotik kararl¬ denge noktas¬ ad¬ verilmektedir. N₀ > K için dN=dt <

0; N₀ < K için dN=dt > 0 oldu¼gunu gösteriniz.)

(f ) Elde etti¼giniz Euler yakla¸s¬mlar¬ ile gerçek çözümün gra…klerini ayn¬

eksende çizerek, çözümleri kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Elde etti¼giniz çözüm e¼grileri N = K denge noktas¬n¬n kararl¬olmas¬yla uyumlu mudur?

20. Proje (S¬n¬rs¬z çözümleri ay¬klayacak ve kümülatif hata kontrolü gerçek-le¸stirecek biçimde Euler yöntemini geli¸stirelim).

Soru 7-c de kar¸s¬la¸s¬lan ve sonlu t an¬nda analitik çözümün s¬n¬rs¬z olmas¬

durumu ba¸slang¬ç de¼ger problemlerinde kar¸s¬la¸s¬lan tipik bir durumdur. Bu

durumda önceden belirtilen ve s¬n¬rs¬z çözüme ula¸s¬lan t noktas¬n¬içeren bir aral¬kta say¬sal çözüm belirlemeye çal¬¸smak anlaml¬ de¼gildir. O halde kullan¬labilecek en küçük ad¬m uzunlu¼gu ile de mutlak de¼gerce belirli bir de¼gerden büyük bir yakla¸s¬ma ula¸s¬ld¬¼g¬nda yönteme ait iterasyonlar dur-mal¬d¬r. ·Ikinci önemli bir nokta ise, genelde gerçek çözümü bilemeyece¼gimiz için belirtilen aral¬kta elde edilen say¬sal yakla¸s¬m¬n gerçek çözümü hangi düzeyde temsil edebildi¼gidir. Bu durumda elde edilen yakla¸s¬m¬n iyi bir yakla¸s¬m olup olmad¬¼g¬n¬ kontrol eden bir mekanizma da geli¸stirilmelidir.

A¸sa¼g¬daki ad¬mlar yukar¬da belirtilen hususlar¬ dikkate alarak ileri Euler yönteminin daha esnek bir versiyonunu geli¸stirmek için ipuçlar¬olarak kabul edilebilir. Bu ipuçlar¬ do¼grultusunda uygun bir algoritma ve algoritmaya ait program geli¸stiriniz. Geli¸stirdi¼giniz program ile Soru 8 c yi çözmeye çal¬¸s¬n¬z.

(a) Tahmini olarak seçilen bir ba¸slang¬ç h ad¬m uzunlu¼gu ile elde etti¼giniz de¼gerler mutlak de¼gerce belirtilen Ymax (örne¼gin 1x10⁴) de¼gerinden küçük kald¬¼g¬ sürece yöntemi aral¬k sa¼g uç noktas¬na ula¸sana kadar uygulay¬n¬z.

(b) E¼ger sa¼g uç noktaya ula¸smadan de¼gerleriniz mutlak de¼gerce Ymax

a ula¸sm¬¸s ise, h ad¬m uzunlu¼gunu küçülterek(örne¼gin h yerine h=2 alarak) iterasyon i¸slemini tekrar ediniz. Bu i¸slemi sa¼g uç noktaya kadar tekrar ediniz. E¼ger önceden belirledi¼giniz en küçük h(örne¼gin 1x10 ⁴) de¼geri ile de sa¼g uç noktaya kadar ula¸samad¬ysan¬z, s¬n¬rl¬

çözüm olarak elde etti¼giniz yakla¸s¬mlar¬ gra…ksel olarak kullan¬c¬ya sununuz.

(c) Sa¼g uç noktaya ula¸sman¬z durumunda, önceki ad¬mla sa¼g uç nokta için elde etti¼giniz yakla¸s¬m de¼geri ile yeni ad¬m uzunlu¼gu ile elde etti¼giniz yakla¸s¬m de¼geri aras¬ndaki fark mutlak de¼gerce uygun bir biçimde be-lirleyece¼giniz f ark(örne¼gin 1x10 ⁴)sabiti’nden küçük kal¬yorsa i¸slemi do¼gru ad¬m uzunlu¼gu ile gerçekle¸stirilmi¸stir. Tan¬m kümesinde farkl¬

ad¬m uzunluklar¬ile elde etti¼giniz sonuçlar¬gra…ksel olarak kullan¬c¬ya sununuz.

(d) De¼gilse ad¬m uzunlu¼gunu tekrar küçülterek gerekirse kabul edilebilir en küçük h ad¬m uzunlu¼gu ile de i¸sleme devam ediniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

2.4 Uyumluluk, Kararl¬l¬k ve Yak¬nsakl¬k 33

%---% Newton iterasyonu ile Geri Euler Uygulamas¬

% Örnek: y’=1+y^2,y(0)=y0

%---function sonuc=geulernewt(n)

...(baslangic degerler ve sabitler) for i=1:n

test=1;y1=y(i);sayac=0;

while test

y2=y1-F(t+h,y1,y(i))/Fy(t+h,y1,y(i));

fark=abs(y2-y1);

y1=y2;

sayac=sayac+1;

test=(fark>tol)&(sayac<Max_sayac);

if sayac==Max_sayac

error(’iraksak iterasyon’);

end end

y(i+1)=y2;t(i+1)=t(i)+h;

end

...(gerçek çözüm, hata ve grafik çizimleri) function yp=f(t,y)

yp=1+y^2;

function yp=fy(t,y) yp=2*y;

function yp=F(t,y,yi) yp=y-yi-h*f(t+h,y);

function yp=Fy(t,y,yi) yp=1-h*fy(t+h,y);

%---Program 2.5: Geri Euler Yöntemi Uygulamas¬(Newton)

Belgede Euler Yöntemleri ve Hata Analizi (sayfa 23-33)